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Introdução a Árvores e Árvores Binárias

Prof. Kariston Pereira

Adaptado de Material gentilmente fornecido pelo Prof. Rui Tramontin (DCC/UDESC)

UDESC – Prof. Kariston Pereira 2

Tópicos Abordados Introdução Definição de Árvore Árvores Binárias


Introdução Necessidade de se representar

estruturas de dados hierárquicas.

Estrutura de diretórios Taxonomias Organogramas Sintaxe de expressões

Tais estruturas sãorepresentadas porÁrvores.


Introdução Exemplos: expressão, taxonomiaa + (b * c) / d

a

b c

*

+

/

d

Animal

Mamífero Ave Réptil

Primata Cetáceo ......

Homem Gorila Baleia


Introdução Exemplo: sistema de arquivos


Definição de Árvore Definição recursiva:

Conjunto de nós. Existe um nó r denominado raiz, com zero ou mais

sub-árvores, cujas raízes são ligadas diretamente a r. Os nós raízes das sub árvores são ditos filhos de r.

nó raiz

... sub-árvores


Conceitos Básicos Grau de saída: número de filhos (sub-árvores) de um

nó.

Nó folha: grau de saída = 0.

Nó interno: grau de saída > 0.

Caminho: sequência de nós que tenham relação pai-filho.

Nível de um nó: número de nós no caminho até r.

Altura de árvore: maior nível dentre seus nós.


Conceitos Básicos

A

C

G

B

E F

I

D

H

J KNós

folhas

Grau = 3

Nível = 2

Altura = 3

Nós internos


Árvores Binárias Definição: é a árvore onde todos os seus nós

têm grau <= 2.

Portanto, cada nó pode ter um filho (sub-árvore) à esquerda e um filho à direira.


Tipos de Árvores Binárias Estritamente Binária: todo nó

interno tem exatamente 2 filhos.

Completa (Cheia): estritamente binária, e todas as folhas estão no mesmo nível.

Balanceada: para todo nó, a diferença de altura de suas sub-árvores é de no máximo 1.

Degenerada: todos os nós têm no máximo 1 filho (lista encadeada).


Tipos de Árvores Binárias:Quase Completa

Uma Árvore Binária de profundidade d será uma Árvore Binária Quase Completa se:

Cada follha na árvore estiver no nível d ou no nível d – 1 (até o nível d – 1 ela é completa);

Para cada nó nd na árvore com um descendente direito no nível d, todos os descendentes esquerdos de nd que forem folhas devem estar ao menos no nível d;

Uma árvore binária quase completa tem todos os seus níveis completos exceto o último, o qual pode ter apenas os elementos mais à esquerda.

N

N

S


Os nós de uma árvore binária quase completa podem ser numerados, de modo que seja atribuído o número 1 à raiz, um filho esquerdo receba a atribuição de um número equivalente ao dobro do número atribuído ao seu pai, e um filho direito receba a atribuição de um número equivalente a um mais que o dobro do número atribuído a seu pai.

Os nós são numerados começando da raiz, de cima para baixo e da esquerda para a direita, sem que haja a ausência de nós.

N

N

S

Tipos de Árvores Binárias:Quase Completa


Implementação (1/4) Nós de uma árvore podem ser

representados: Estaticamente. Dinamicamente.

Estaticamente, usa-se vetores: Para cada nó i, seu filho à esquerda está em

2i + 1 e seu filho à direita está em 2i + 2.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Binary_tree_in_array.svg


Implementação (2/4) Representação Dinâmica:

Nós são implementados como registros (alocados dinamicamente) ou classes.

Cada nó tem campos que armazenam a informação propriamente dita e referências a seus nós filhos.

Exemplo em C (quando o percurso é feito sempre de cima para baixo, da raiz para as folhas):

struct no{ char info; struct node *left; struct node *right;};typedef struct no node;


Implementação (3/4) Representação dos nós.

A

C

F

B

D E

G

A

B C

D E F

G


Implementação (4/4) Funções típicas em uma Árvore

Binária: Inicializar árvore vazia (maketree); Incluir nó (setleft, setright); Pesquisar nó (informação); Excluir nó; Remover sub-árvore; Calcular altura da árvore; Percorrer a árvore (pré-, em-, pós-ordem).


Funções Típicas Essenciaisnode* maketree(int x){ node *p; p = getnode(); p->info = x; p->left = NULL; p->right = NULL; return (p);}

setleft (node *p, int x){ if (p == null) printf (“inserção vazia\n”); else if (p->left != NULL) printf (“inserção incorreta\n”); else p->left = maketree(x);}

setright (node *p, int x){ if (p == null) printf (“inserção vazia\n”); else if (p->right != NULL) printf (“inserção incorreta\n”); else p->right = maketree(x);}


Funções Típicas EssenciaisAlgoritmo Exemplo para “Inserção Ordenada Sem Repetição”int number;node *tree, *p, *q;scanf(“%d”, &number);tree = maketree(number);while (houver números na entrada){ scanf(“%d”, &number); p = q = tree; while (number != info(p) && q != NULL) { p = q; if (number < info(p)) q = left (p); //obtem o filho esq. de p else q = right (p); //obetem o filho dir. de p } if (number == info(p)) printf (“%d %s\n”, number, “está repetido!”); else if (number < info(p)) setleft (p, number); else setright (p, number);}


Travessia em Árvores Binárias Há várias maneiras de percorrer os nós de uma árvore binária:

Pré-ordem: lê nó, percorre sub-árvore esquerda, percorre sub-árvore direita (/ + a * b c d).

Em-ordem: percorre sub-árvore esquerda, lê nó, percorre sub-árvore direita (a + b * c / d).

Pós-ordem: percorre sub-árvore esquerda, percorre sub-árvore direita, lê nó

(a b c * + d /).

a

b c

*

+

/

d


Travessia em Árvores Binárias

void pre_ordem(node *n){ if (n != null) { processa_info(n->info); pre_ordem(n->left); pre_ordem(n->right); }}

void em_ordem(node *n){ if (n != null) { em_ordem(n->left); processa_info(n->info); em_ordem(n->right); }}

void pos_ordem(node *n){ if (n != null) { pos_ordem(n->left); pos_ordem(n->right); processa_info(n->info); }}


Aplicações Árvores Binárias Representação de expressões.

Algoritmos de Ordenação (HeapSort).

Busca (Árvores Binárias de Busca/Pesquisa).


Exercícios Criar uma Árvore Binária, Incluir

alguns dados e Implementar os algoritmos de travessia/caminhamento apresentados:

Pré-Ordem; Em Ordem; Pós-Ordem.

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