introdução à análise vetorial prof. luis s. b. marques ministÉrio da educaÇÃo secretaria de...
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Introdução à análise Vetorial
Prof. Luis S. B. Marques
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOSECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICAINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINACAMPUS JOINVILLE
DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINOCOORDENAÇÃO ACADÊMICAEletroEletronica
A derivada
23 25 xxy xxy 415 2'
A derivada
• A derivada pode ser interpretada como a medida da inclinação ou coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um ponto específico.
A derivada
• A derivada pode também ser interpretada como a taxa de variação instantânea de uma função.
A Integral
?)( dxxf
xxxf 415)( 2
Cxx
dxxf 2
4
3
15)(
23
Cxxdxxf 23 25)(
A Integral
• A integral definida representa a área sob uma determinada curva.
A Integral
8
0
4)( dxdxxf
4)( xf
804)( xdxxf
3284)( dxxf
A Integral
8
0 8
3)( dx
xdxxf
8
3)(
xxf
80
2
28
3)(
xdxxf
122
83
28
643)(
dxxf
A Integral
4
0 3)( dx
xdxxf
3)(x
xf
40
2
6)(
xdxxf
3
8
6
16
6
4)(
2
dxxf
y = x/3
Vetores e escalares
• Algumas grandezas físicas são totalmente definidas por um número e uma unidade. Quando dizemos, por exemplo, que a temperatura de uma pessoa é 38oC a informação está completa.
• Escalar
• Entretanto, ao informarmos que a velocidade de um carro é igual a 100km/h, não foi dito em que direção e em qual sentido este carro se movimenta.
• Vetor
Vetores e escalares
• Os vetores representam grandezas que possuem módulo, direção e sentido e são representados por setas.
• O deslocamento entre os pontos A e B pode ser representado por um vetor.
• O vetor, no plano, pode ser decomposto em duas componentes: ax e ay.
Vetores e escalares
• Pode-se representar um vetor através de suas componentes em um dado sistema de coordenadas.
cosaax
senaay
jaiaa yx
• Sendo i e j vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Adição de Vetores
jaiaA yx
jbibB yx
jbaibaBA yyxx
)()(
Produto escalar
cosabba
• O produto escalar entre dois vetores a e b resulta em um escalar e é definido através da equação:
• módulo do primeiro multiplicado pela componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro.
• Uma aplicação é encontrada na definição de trabalho, em que a força e a distância estão sobre o mesmo eixo de referência.
dFW
EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força na direção definida pelo vetor dados abaixo:
SOLUÇÃO : O trabalho é definido como sendo o produto Escalar
entre o Vetor Força e o vetor Deslocamento , portanto :
F
r
zyx aaaF
432 zyx aaar
754
zyxzyx aaaaaarFW
754432
JoulesrFW 357.45.3)4.(2
EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força na direção definida pelo vetor dados abaixo:
SOLUÇÃO 2 : O ângulo entre os dois vetores é definido:
F
r
zyx aaaF
432 zyx aaar
754
rF
rFCos
Rad816,0
cosrFrF
JoulesrF 35816,0cos5,94,5
Produto vetorial
absenba
• O produto vetorial entre dois vetores a e b é definido através da equação:
• O resultado do produto vetorial entre dois vetores a e b é um vetor c perpendicular ao plano formado pelos dois vetores a e b.
• Uma aplicação é a definição de força que atua em um condutor em condução.
)( BVQF
PRODUTO VETORIAL :
Dado os Vetores
Definido como:
zyx
zyx
fff
zyx
aaa
Fr
zxyyxzxyz afyfxafzfxafzfyFr
....)..(
zzyyxx afafafF
zyx azayaxr
Produto vetorial
EXERCÍCIO : Calcule o Torque em relação à origem realizado pela força aplicado ao ponto (4,5,6) .
SOLUÇÃO : O Torque é definido como sendo o produto Vetortial
entre o vetor Posição do ponto de aplicação e o vetor Força, portanto :
zyx aaaF
32
zyx aaar
654
zyx
zyx
aaa
aaa
Fr
363
321
654
F
Vetor posição• A localização de um ponto no espaço pode ser
descrita através das suas coordenadas cartesianas (x,y,z).
• O vetor da origem ao ponto (x,y,z) é definido como Vetor Posição r.
Campo escalar
Para definir um campo basta atribuir a cada ponto do espaço uma propriedade. Assim, quando definirmos que cada ponto de uma sala possui uma temperatura estamos definindo um campo escalar.
Campo vetorial
É definido pelo conjunto dos Pontos do ESPAÇO caracterizados por uma FUNÇÃO VETORIAL. Quando observamos um escoamento de água e dizemos que cada partícula possui uma velocidade, estamos definindo um campo vetorial.
Exemplos : Velocidade, Campo Gravitacional, Campo Elétrico, Campo Magnético.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
x
yxa
z
ya
za
r
zyx azayaxr
zyx adzadyadxrd
zyxP ,,
x y zdS dydz a dxdz a dxdy a
x x y y z zdS dS a dS a dS a
dV dxdydz
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS
x
y
z
r
a
a
zadzadadrd
zazaar
zP ,,
Cosx Seny zz
zdS d dz a d dz a d d a
z zdS dS a dS a dS a
dV d d dz
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS
adrSenardadrrd r
arSenararr r
CosSenrx .
SenSenry .
.z r Cos2222 zyxr
x
y
z
a
ra
r
,,rP
Senr
2rdS r Sen d d a rSen drd a rdrd a
r rdS dS a dS a dS a
2dV r Sen drd d
SISTEMAS DE COORDENADAS
0
20