Introdução à análise Vetorial

Prof. Luis S. B. Marques

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOSECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICAINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINACAMPUS JOINVILLE

DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINOCOORDENAÇÃO ACADÊMICAEletroEletronica

A derivada

23 25 xxy xxy 415 2'

A derivada

• A derivada pode ser interpretada como a medida da inclinação ou coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um ponto específico.

A derivada

• A derivada pode também ser interpretada como a taxa de variação instantânea de uma função.

A Integral

?)( dxxf

xxxf 415)( 2

Cxx

dxxf 2

4

3

15)(

23

Cxxdxxf 23 25)(

A Integral

• A integral definida representa a área sob uma determinada curva.

A Integral

8

0

4)( dxdxxf

4)( xf

804)( xdxxf

3284)( dxxf

A Integral

8

0 8

3)( dx

xdxxf

8

3)(

xxf

80

2

28

3)(

xdxxf

122

83

28

643)(

dxxf

A Integral

4

0 3)( dx

xdxxf

3)(x

xf

40

2

6)(

xdxxf

3

8

6

16

6

4)(

2

dxxf

y = x/3

Vetores e escalares

• Algumas grandezas físicas são totalmente definidas por um número e uma unidade. Quando dizemos, por exemplo, que a temperatura de uma pessoa é 38oC a informação está completa.

• Escalar

• Entretanto, ao informarmos que a velocidade de um carro é igual a 100km/h, não foi dito em que direção e em qual sentido este carro se movimenta.

• Vetor

Vetores e escalares

• Os vetores representam grandezas que possuem módulo, direção e sentido e são representados por setas.

• O deslocamento entre os pontos A e B pode ser representado por um vetor.

• O vetor, no plano, pode ser decomposto em duas componentes: ax e ay.

Vetores e escalares

• Pode-se representar um vetor através de suas componentes em um dado sistema de coordenadas.

cosaax

senaay

jaiaa yx

• Sendo i e j vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Adição de Vetores

jaiaA yx

jbibB yx

jbaibaBA yyxx

)()(

Produto escalar

cosabba

• O produto escalar entre dois vetores a e b resulta em um escalar e é definido através da equação:

• módulo do primeiro multiplicado pela componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro.

• Uma aplicação é encontrada na definição de trabalho, em que a força e a distância estão sobre o mesmo eixo de referência.

dFW

EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força na direção definida pelo vetor dados abaixo:

SOLUÇÃO : O trabalho é definido como sendo o produto Escalar

entre o Vetor Força e o vetor Deslocamento , portanto :

F

r

zyx aaaF

432 zyx aaar

754

zyxzyx aaaaaarFW

754432

JoulesrFW 357.45.3)4.(2

EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força na direção definida pelo vetor dados abaixo:

SOLUÇÃO 2 : O ângulo entre os dois vetores é definido:

F

r

zyx aaaF

432 zyx aaar

754

rF

rFCos

Rad816,0

cosrFrF

JoulesrF 35816,0cos5,94,5

Produto vetorial

absenba

• O produto vetorial entre dois vetores a e b é definido através da equação:

• O resultado do produto vetorial entre dois vetores a e b é um vetor c perpendicular ao plano formado pelos dois vetores a e b.

• Uma aplicação é a definição de força que atua em um condutor em condução.

)( BVQF

PRODUTO VETORIAL :

Dado os Vetores

Definido como:

zyx

zyx

fff

zyx

aaa

Fr

zxyyxzxyz afyfxafzfxafzfyFr

....)..(

zzyyxx afafafF

zyx azayaxr

Produto vetorial

EXERCÍCIO : Calcule o Torque em relação à origem realizado pela força aplicado ao ponto (4,5,6) .

SOLUÇÃO : O Torque é definido como sendo o produto Vetortial

entre o vetor Posição do ponto de aplicação e o vetor Força, portanto :

zyx aaaF

32

zyx aaar

654

zyx

zyx

aaa

aaa

Fr

363

321

654

F

Vetor posição• A localização de um ponto no espaço pode ser

descrita através das suas coordenadas cartesianas (x,y,z).

• O vetor da origem ao ponto (x,y,z) é definido como Vetor Posição r.

Campo escalar

Para definir um campo basta atribuir a cada ponto do espaço uma propriedade. Assim, quando definirmos que cada ponto de uma sala possui uma temperatura estamos definindo um campo escalar.

Campo vetorial

É definido pelo conjunto dos Pontos do ESPAÇO caracterizados por uma FUNÇÃO VETORIAL. Quando observamos um escoamento de água e dizemos que cada partícula possui uma velocidade, estamos definindo um campo vetorial.

Exemplos : Velocidade, Campo Gravitacional, Campo Elétrico, Campo Magnético.

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

x

yxa

z

ya

za

r

zyx azayaxr

zyx adzadyadxrd

zyxP ,,

x y zdS dydz a dxdz a dxdy a

x x y y z zdS dS a dS a dS a

dV dxdydz

SISTEMAS DE COORDENADAS

SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS

x

y

z

r

a

a

zadzadadrd

zazaar

zP ,,

Cosx Seny zz

zdS d dz a d dz a d d a

z zdS dS a dS a dS a

dV d d dz

SISTEMAS DE COORDENADAS

SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS

adrSenardadrrd r

arSenararr r

CosSenrx .

SenSenry .

.z r Cos2222 zyxr

x

y

z

a

ra

r

,,rP

Senr

2rdS r Sen d d a rSen drd a rdrd a

r rdS dS a dS a dS a

2dV r Sen drd d

SISTEMAS DE COORDENADAS

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