introdução à análise real - 2013.1 questões: a · introdução à análise real - 2013.1 lista...

2

Click here to load reader

Upload: vancong

Post on 09-Feb-2019

212 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Introdução à Análise Real - 2013.1 Questões: a · Introdução à Análise Real - 2013.1 Lista 3 Nome/Matrícula: ..... Questões: 1. Dê exemplo de uma sequência (a n)para

Universidade Federal da ParaíbaDepartamento de Matemática

Introdução à Análise Real - 2013.1

Lista 3

Nome/Matrícula: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Questões:

1. Dê exemplo de uma sequência (an) para ilustrar cada situação abaixo:

(a) limitada e estritamente decrescente.

(b) não limitada e não monótona.

2. As afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas? Justifique suas respostas! (As afirmaçõesfalsas devem ser justificadas com um contra-exemplo).

(a) Toda sequência divergente é não limitada.

(b) A soma de duas sequências divergentes é uma sequência divergente.

(c) Se uma sequência (an) diverge, então a sequência (|an|) também divergente.

(d) Se a sequência (an) é convergente, então a sequência ((−1)nan) também convergente.

3. Calcule, caso exista, limn→∞

an, onde an é igual a

(a)n

√n2 + n (b)

ln(n)

en(c)

2n

en(d)

n2

n+ 1− n2

n + 2

(e)(

1 +1

3n

)

n

(f)

√n! + e2n

5√n!− en

(g)n

en(i)

3n√n + 1

7− 2n√n

4. Em cada caso verifique se a sequência é convergente ou divergente.

(a)√n2 + 1−

√n (b)

2n

n!(c)

2n

1 + 2n(d)

n!

nn

(e)n

2n+

(−1)n

n(f)

1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)

n!2n.

5. Use a definição de limite de sequência para mostrar que

(a) lim1

n2 + 1= 0 (b) lim

1

8n3 − 7= 0 (c) lim(

√n + 1−

√n) = 0.

6. Use a definição de limite de sequência para mostrar que

lim3n

n+ sen(2n)= 3 (d) lim

3n2 + 4n

n2 + n− 4= 3.

7. Mostre que se a > 0 então lim n

√a = 1.

8. Mostre que

1

Page 2: Introdução à Análise Real - 2013.1 Questões: a · Introdução à Análise Real - 2013.1 Lista 3 Nome/Matrícula: ..... Questões: 1. Dê exemplo de uma sequência (a n)para

(a) lim n

√n = 1.

(b) lim n

n

√n = 1.

(c) lim n

n

n

√n = 1.

9. Seja (xn) uma sequência tal que lim x2n = a e lim x2n−1 = a. Mostre que lim xn = a.

10. Seja a 6= 0. Se lim yn

a= 1, então lim yn = a.

11. Sejam lim xn = a, lim yn = b e |xn − yn| ≥ ǫ para todo n ∈ N. Mostre que |a− b| ≥ ǫ.

12. Sejam x1 = 1 e xn+1 = 1 + 1

xn

. Mostre que

|xn+2 − xn+1| ≤1

2|xn+1 − xn| para todo n ∈ N.

Conclua que existe a = lim xn e determine a.

13. Sejam x1 = a e xn+1 = 1 +√xn para todo n ∈ N. Mostre que a sequência (xn) é limitada.

Conclua que existe a = lim xn e determine a.

14. Sejam a = lim xn e yn = x1+···+xn

npara todo n ∈ N. Mostre que a = lim yn.

15. Dado a > 0, defina indutivamente a sequência (xn) da seguinte forma, x1 =√a e xn+1 =√

xn + a. Mostre que (xn) é convergente e calcule seu limite

ℓ =

a+

a+√a+ · · ·

16. Mostre que lim 5n3 − 4n2 + 7 = +∞.

17. Sejam (xn) e (yn) sequências de números reais positivos. Prove que, se existir c > 0 tal quexn > c para todo n ∈ N e lim yn = 0, então lim xn

yn= +∞.

2