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Universidade Federal da ParaíbaDepartamento de Matemática
Introdução à Análise Real - 2013.1
Lista 3
Nome/Matrícula: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Questões:
1. Dê exemplo de uma sequência (an) para ilustrar cada situação abaixo:
(a) limitada e estritamente decrescente.
(b) não limitada e não monótona.
2. As afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas? Justifique suas respostas! (As afirmaçõesfalsas devem ser justificadas com um contra-exemplo).
(a) Toda sequência divergente é não limitada.
(b) A soma de duas sequências divergentes é uma sequência divergente.
(c) Se uma sequência (an) diverge, então a sequência (|an|) também divergente.
(d) Se a sequência (an) é convergente, então a sequência ((−1)nan) também convergente.
3. Calcule, caso exista, limn→∞
an, onde an é igual a
(a)n
√n2 + n (b)
ln(n)
en(c)
2n
en(d)
n2
n+ 1− n2
n + 2
(e)(
1 +1
3n
)
n
(f)
√n! + e2n
5√n!− en
(g)n
en(i)
3n√n + 1
7− 2n√n
4. Em cada caso verifique se a sequência é convergente ou divergente.
(a)√n2 + 1−
√n (b)
2n
n!(c)
2n
1 + 2n(d)
n!
nn
(e)n
2n+
(−1)n
n(f)
1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)
n!2n.
5. Use a definição de limite de sequência para mostrar que
(a) lim1
n2 + 1= 0 (b) lim
1
8n3 − 7= 0 (c) lim(
√n + 1−
√n) = 0.
6. Use a definição de limite de sequência para mostrar que
lim3n
n+ sen(2n)= 3 (d) lim
3n2 + 4n
n2 + n− 4= 3.
7. Mostre que se a > 0 então lim n
√a = 1.
8. Mostre que
1
(a) lim n
√n = 1.
(b) lim n
√
n
√n = 1.
(c) lim n
√
n
√
n
√n = 1.
9. Seja (xn) uma sequência tal que lim x2n = a e lim x2n−1 = a. Mostre que lim xn = a.
10. Seja a 6= 0. Se lim yn
a= 1, então lim yn = a.
11. Sejam lim xn = a, lim yn = b e |xn − yn| ≥ ǫ para todo n ∈ N. Mostre que |a− b| ≥ ǫ.
12. Sejam x1 = 1 e xn+1 = 1 + 1
xn
. Mostre que
|xn+2 − xn+1| ≤1
2|xn+1 − xn| para todo n ∈ N.
Conclua que existe a = lim xn e determine a.
13. Sejam x1 = a e xn+1 = 1 +√xn para todo n ∈ N. Mostre que a sequência (xn) é limitada.
Conclua que existe a = lim xn e determine a.
14. Sejam a = lim xn e yn = x1+···+xn
npara todo n ∈ N. Mostre que a = lim yn.
15. Dado a > 0, defina indutivamente a sequência (xn) da seguinte forma, x1 =√a e xn+1 =√
xn + a. Mostre que (xn) é convergente e calcule seu limite
ℓ =
√
a+
√
a+√a+ · · ·
16. Mostre que lim 5n3 − 4n2 + 7 = +∞.
17. Sejam (xn) e (yn) sequências de números reais positivos. Prove que, se existir c > 0 tal quexn > c para todo n ∈ N e lim yn = 0, então lim xn
yn= +∞.
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