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Introdução àanálise dedados

agronômicose uso dosoftware R

Anderson RSilva

Regressãolinear

Regressãolinearpolinomial

ANOVA daregressão

R2

Regressão emdadosexperimentais

Correlação

Teste dacorrelação

Correlaçãoem dadosexperimentais

Introdução à análise de dados agronômicos e uso do software R

Anderson R Silva

Programa de Pós-Graduação em Estatística e Experimentação AgronômicaESALQ/USP

25 a 30 de novembro de 2013



Anderson RSilva

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ANOVA daregressão

R2


Correlação



Parte 3 - Conteúdo

1 Regressão linearRegressão linear polinomialANOVA da regressãoR2

Regressão em dados experimentais

2 CorrelaçãoTeste da correlaçãoCorrelação em dados experimentais



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Correlação



Regressão linear

Permite estudar como uma (simples) ou mais (múltipla) variáveis explanatóriasexercem, ou parecem exercer, in�uência sobre uma variável resposta. Esse estudo éfeito a partir de estimativas dos parâmetros que compoem o modelo de regressão.Por exemplo:

• Regressão linear simples de Y em X :Y = β0 + β1X + ε

• Regressão linear múltipla de Y em X1,X2, ...,Xk :Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ...+ βkXk + ε

em que os β's são os parâmetros à serem estimados1.

1O método de estimação aqui utilizado é, em geral, o método dos mínimos quadrados



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Regressão linear polinomial

Considere a regressão de Y em X , com base em n pares de observações (Yi ,Xi )(i = 1, 2, ..., n). O modelo de regressão polinomial de grau k é expresso por:

Yi = β0 + β1Xi + β2X2i + ...+ βkX

ki + εi

Esse tipo de análise de regressão é estudado utilizando a técnica de polinômios

ortogonais, especialmente interessante devido à independência dos termos daequação de regressão ajustada.



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Assim, a equação polinomial anterior pode ser representada em termos dospolinômios ortogonais (P1,P2, ...,Pk) da seguinte forma:

Yi = Y + B1M1P1i + B2M2P2i + ...+ BkMkPki + εi

em que:P1,P2, ...,Pk são os polinômios ortogonais

M1,M2, ...,Mk são constantes de arredondamento tabeladas2

Bj =∑n

i=1 cjiYi

rKj, para j = 1, 2, ..., k

cji e Kj são também tabelados; r é o número de observações para cada nível de X .

2Consulte Pimentel-Gomes, 2009, cap.12



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Sendo os níveis de X equidistantes, os três primeiros polinômios são dados por:

P1i = xiP2i = x2i −

n2−112

P3i = x3i −xi (3n

2−7)20

em que xi = (Xi − X )/q, sendo q a distancia entre dois níveis consecutivos de X .



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Exemplo 1

Os resultados apresentados a seguir referem-se a dados de rotação do motor, emRPM, e ao consumo horário de combustível, em litros, de um trator em sistema deplantio direto.

RPM (X) Consumo de combustível (Y)

1600 5,581800 7,712000 9,242200 9,732400 10,94

Fonte: adaptado de Cecon et al., 2012.



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ANOVA da regressão

Se n níveis distintos de X estão sendo utilizados, pode-se construir um modelopolinomial de, no máximo, grau n − 1, embora sejam de maior interesse os modelosde até 3o grau.E tem-se que:

SQ(total) = SQ(linear) + SQ(quad .) + SQ(cubico) + SQ(desvios)

sendo que:

SQ(linear) =(∑n

i=1 c1iYi)2

rK1= B2

1 rK1

SQ(quad .) =(∑n

i=1 c2iYi)2

rK2= B2

2 rK2

SQ(cubico) =(∑n

i=1 c3iYi)2

rK3= B2

3 rK3

SQ(desvios) = SQ(total)− SQ(linear)− SQ(quad .)− SQ(cubico)



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ANOVA da regressão

O esquema de ANOVA para uma regressão polinomial de 3o grau é:

FV GL SQ QM F

Efeito linear 1 SQ(linear) SQ(linear) QM(linear)QM(desvios)

Efeito quad. 1 SQ(quad.) SQ(quad.) QM(quad .)QM(desvios)

Efeito cúbico 1 SQ(cubico) SQ(cubico) QM(cubico)QM(desvios)

Desvios de regressão n − 3− 1 SQ(desvios) SQ(desvios)n−3−1

Total n − 1 SQ(total)



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R2

O coe�ciente de determinação (grau de ajuste) do modelo ajustado é dado por:

R2 =SQ(modelo)

SQ(total)∈ [0, 1]



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Regressão em dados experimentais

• Na experimentação agrícola é comum a comparação de tratamentosquantitativos (doses de um fertilizante, concentrações de uma substância etc.).

• Nesses casos não é adequada a comparação de médias.

• A análise de regressão deve ser aplicada visando determinar uma relaçãofuncional entre a resposta e os níveis do tratamento e, com isso, pesquisar (porexemplo) pontos críticos (resposta máxima, mínima ou ponto de in�exão).



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Regressão em dados experimentaisO efeito do tratamento quantitativo pode ser, então, desdobrado em efeito linear,quadrático, ... grau k, cada um associado a 1 grau de liberdade.A ANOVA de regressão polinomial para um experimento em DIC (por exemplo),�ca da forma:

FV GL SQ QM F

Trat. k = I − 1 SQ(Trat.)Linear 1 SQ(linear)Quad. 1 SQ(quad.)Cúbico 1 SQ(cubico)...Grau k 1 SQ(grau k)

Resíduo n − k − 1 SQ(Res.)

Total n − 1

Obs.: Todas as fontes de variação podem ser testadas com o QM(Res).



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O teste da falta de ajuste

A regressão de dados com experimentais permite testar a falta de ajuste de cadaum dos modelos polinomiais ajustados. Por questões de interpretação prática,desdobra-se o efeito de tratamento até, no máximo, o efeito cúbico e o restante étratado como falta de ajuste do modelo em consideração (linear, quadrático oucúbico).



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Exemplo 2No trabalho �Efeito de doses de gesso na cultura do feijoeiro (Phaseolus vulgarisL.)�, Ragazzi (1979) utilizou um experimento inteiramente casualizado com quatrorepetições para estudar o efeito de 7 doses de gesso: 0, 50, 100, 150, 200, 250 e300 kg/ha sobre diversas características do feijoeiro. Para a característica peso de1000 sementes, obteve os seguintes resultados:

Dose de gesso Peso de 1000 sementes

0 134,8 139,7 147,6 132,350 161,7 157,7 150,3 144,7100 160,7 172,7 163,4 161,3150 169,8 168,2 160,7 161,0200 165,7 160,0 158,2 151,0250 171,8 157,3 150,4 160,4300 154,5 160,4 148,8 154,0

Fonte: Ragazzi, 1979



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Exemplo 3

O grau de impureza (%) de um determinado produto químico é suposta ser afetadapela pressão. Em um ensaio em blocos casualizados três repetições foram utilizadaspara cada um dos níveis de pressão aplicados. A temperatura foi utilizada como umfator de controle local. Os dados referentes são apresentados a seguir:

Pressão (psi)Temperatura (oF) 25 30 35 40 45

100 5 4 6 3 5125 3 1 4 2 3150 1 1 3 1 2

Fonte: Abebe, 20??



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R2

O coe�ciente de determinação no caso de dados experimentais é determinado daseguinte forma:

R2 =SQ(modelo)

SQ(Trat.)∈ [0, 1]



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Correlação

A correlação é uma medida do grau de associação linear entre duas variáveis X e Y .Na análise de correlação não há diferenciação da variáveis, isto é, ambas sãotratadas como dependentes ou resposta.Dados n pares de valores (xi , yi ), o coe�ciente de correlação de Pearson3 é dado por:

r =

∑ni=1 xiyi − nx y∑ni=1 x

2i − nx2

No R, use a função: cor(x, y).

3Esse coe�ciente é indicado para variáveis normais ou, no mínimo, contínuas.

Para variáveis discretas ou categóricas são indicadas as correlações não paramétricas de Spearman

ou de Kendall.



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Teste da correlação

O valor da correlação amostral pode ser testado usando a estatística t-Student:

t =r√n − 2√1− r2

∼ t(n − 2)

cujas hipóteses associadas são:

H0 : ρ = 0

H1 : ρ 6= 0

No R, use a função: cor.test(x, y).



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Exercício

Considere os dados do exemplo 1, sobre consumo de combustível de um tratoragrícola.Pode-se a�rmar que a verdadeira correlação (ρ) entre essas variáveis é não nula?



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Correlação em dados experimentais

Ver script �cor_experimental.r�

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