introduÇÃo À anÁlise combinatÓria

7/16/2019 INTRODUO ANLISE COMBINATRIA

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INTRODUO ANLISE COMBINATRIA

A anlise combinatria o ramo da Matemtica que tem por objetivo resolver problemasque consistem, basicamente, em escolher e agrupar os elementos de um conjunto. Possui

aplicao direta no clculo das probabilidades, sendo instrumento de vital importnciapara as cincias exatas e aplicada em diversas reas como: engenharia, medicina,tecnologia da informao entre outras.

1- PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEMDEFINIO: O principio fundamental da contagem diz que um acontecimento ocorre emduas situaes sucessivas e independentes, sendo que a primeira situao ocorre de (a)maneiras e a segunda situao ocorre de (b) maneiras, ento o nmero total de

possibilidades de ocorrncia desse acontecimento dado pelo produto de a por b ou seja(a . b).Exemplo 1: Em quantas ordens diferentes 4 pessoas podem se sentar num sof de 4lugares?RESOLUO: A rvore de possibilidades nos mostra todos os modos possveis para asquatro pessoas se sentarem num sof de 4 lugares.

EXEMPLO 2: Um rapaz possui 4 bermudas e 3 camisas. De quantos modos diferentes elepode se vestir com essas roupas?

RESOULUO: Esta situao nos oferece mais uma possibilidade de resoluo alm da


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rvore de possibilidades; que elaborar uma tabela de dupla entrada, uma para ascamisas e outra para as bermudas.

C ber B1 B2 B3 B4

C1 C1b1 C1b2 C1b3 C1b4C2 C2b1 C2b2 C2b3 C2b4

C3 C3b1 C3b2 C3b3 C4b4

As possibilidades existentes so 3 . 4 = 12

EXEMPLO 3: Renato, Jos e Cristina disputam um torneio de xadrez no qual so atribudosprmios ao campeo e ao vice-campeo. Quais so as premiaes possveis?

RESOLUO DE EXERCCIOS

1) Marina tem 5 blusas e 2 saias. De quantos modos diferentes ela pode se vestir comessas roupas? R: 10

2) Em um baile h 12 moas e 8 rapazes. Quantos casais podem ser formados? R: 963) Renato vai a um clube no qual existem 4 portas de entrada que do acesso a 2

elevadores. Ele pretende ir ao 6. Andar. De quantas maneiras diferentes poderfaz-lo? R: 8

4) Quantos nmeros pares de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal?R:45

5) Uma pessoa possui 10 envelopes diferentes e 8 selos diferentes. De quantos modosessa pessoa pode enviar uma carta utilizando1 envelope e 1 selo? R: 80

6) Sabendo que os nmeros de telefone no comeam com zero nem com 1, calculequantos diferentes nmeros de telefone podem ser formados com 7 algarismos? R:

8 . 10

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EXERCCIOS DE REVISO

1) Num hospital existem trs portas de entrada que do para um amplo saguo no qual

existem 5 elevadores. Um visitante deve se dirigir ao 6. Andar utilizando-se de um doselevadores. De quantas maneiras diferentes ele poder faz-lo? R: 15

2) Uma companhia de mveis tem dez desenhos para mesas e quatro desenhos paracadeiras. Quantos pares de desenhos de mesa e cadeira pode a companhia formar? R: 40

3) Quantos nmeros de trs algarismos distintos podem ser formados usando-se osalgarismos 1,2,3,4 e 5? R: 60

4) Um restaurante oferece no cardpio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada umprato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poder fazerseu pedido? R: 120

5) Quatro times de futebol disputam um torneio. Quantas so as possibilidades declassificao para os trs primeiros lugares? R: 24

6) Numa eleio de uma escola h 3 candidatos a presidente, 5 a vice-presidente, 6 asecretrio e 7 a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleio? R: 630

7) Com os algarismos 0,1,2,4,5 sem os repetir, quantos nmeros compreendidos entre 200e 1000 podemos formar? R: 36

8) Cinco homens e uma mulher pretendem utilizar um banco de cinco lugares. De quantasmaneiras diferentes podem sentar-se, nunca ficando em p a mulher? R: 600

9) Existem 5 ruas interligando os supermercados S1 e S2, e 3 ruas interligando ossupermercados S2 e S3. Para ir de S1 a S3, passando por S2 , quantos trajetos diferentes

podem ser utilizados? R: 15

10) Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6 so formados nmeros de 4 algarismos distintos.Dentre eles quais so divisveis por 5? R: 60

2 NMERO FATORIAL

DEFINIO: Dado um nmero n, sendo n IN e n2, temos:n! = n(n -1). (n -2) . (n 3)...2 . 1

OBS: a leitura do smbolo ( n!) n fatorial


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( n !) o produto de todos os nmeros naturais de 1 at nPor definio ( 0 ! = 1) e, (1! = 1)

EXEMPLOS:2! = 2 . 1 = 2

3! = 3 . 2. 1 = 64! = 4 . 3. 2. 1 = 245! = 5 . 4 . 3. 2 . 1 = 120

RESOLUO DE EXERCCIOS

1) Simplificar as expresses:a)

b)

c)

d)

EXERCCIOS DE REVISO1 Calcule o valor de :

a) 0! =b) 1! =c) 6! =d) 7! =e) 2! + 3! =f) 1! + 4!=g) 3! 2! =h) 2! 3! =i) 0! 5! =j) 4! 2! =

2 Simplifique as expresses:

a)

b)

c)

d)

e)


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PERMUTAO SIMPLESPermutao Simples de (n) elementos distintos qualquer grupo ordenado desses (n)elementos

EXEMPLO 1: Permutando os 3 elementos distintos do conjunto A = {x, y, z} temos: {(x,y,z);(x,z,y); (y,z,x); (y,x,z); (z,x,y) e (z,y,x)}Obtemos o nmero de permutaes simples igual a 6

Para o clculo do nmero de permutaes simples usamos:Pn = n! ou seja, Pn = n( n -1) (n 2) ........ 1

EXEMPLO 2: Calcular o nmero de anagramas da palavra LPIS, lembrando que um

anagrama uma palavra formada com as mesmas letras da palavra dada, podendo ou noter sentido na linguagem usual.RESOLUO: A palavra LPIS possui 5 letras logo precisamos calcular P5 = 5!E, 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 portanto, temos 120 possibilidades de anagramas da palavra lpis.

EXEMPLO 3: De quantos modos diferentes 6 pessoas podem se sentar em 6 cadeiras, emfila? R: 720

Exemplo 4: Da palavra LIVRO:a) Quantos anagramas podemos formar? R: 120b) Quantos so os anagramas que comeam com vogal? R: 48c) Quantos so os anagramas que comeam com consoante? R: 72

EXERCCIOS DE REVISO

1) Quantos nmeros de cinco algarismos distintos podem ser formados usando-se osalgarismos 1,2,3,5 e 8? 120

2) Quantos so os anagramas das palavras:

a) CAF R: 24

b) BRASIL R: 720

3)Quantos anagramas da palavra EDITORA:


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a) comeam por A? R: 720

b) comeam por A e terminam por E? R:120

4) Quantos anagramas da palavra PROBLEMA:

a) comeam por R? R: 5040

b) comeam por vogal? R:15120c) comeam por P e terminam por M?

ARRANJO SIMPLES

DEFINIO: Chamam-se arranjos simples todos os agrupamentos simples de (p)elementos que podemos formar com (n) elementos distintos, sendo p n. Cada umdesses agrupamentos se diferencia de outro pela ordem ou natureza de seus elementos.

A notao para o nmero de arranjos simples de (n) elementos tomados (p) a (p) : Nn, pOnde:

Nn, p =

()

EXEMPLO 1: U ma escola possui 18 professores. Entre eles, sero escolhidos: um diretor,um vice-diretor e um coordenador pedaggico. Quantas so as possibilidades de escolha?

RESOLUO:

CARGO DIRETOR VICE-DIRETOR COORD. PEDPOSSIBILIDADES 18 17 16

Logo:A18, 3 =

()=

= 18 . 17 . 16 = 4896

EXEMPLO 2: Quantos nmeros de 3 algarismos distintos podemos formar com oselementos do conjunto E = {1,2,3,4,5} R: 60

EXEMPLO 3: Uma empresa possui 16 funcionrios administrativos, entre os quais seroescolhidos 3, que disputaro os cargos de diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantasmaneiras pode ser feita esta escolha? R: 3360

EXEMPLO 4: Duas pessoas entram num nibus que tem 7 lugares vagos. De quantas

maneiras diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares? R: 42


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EXEMPLO 5: De quantos modos podem-se arrumar 4 livros de matemtica, 3 de geografiae 2 de biologia, numa estante, de modo que:a) fiquem dispostos em qualquer ordem? R:9!b) os livros de mesmo assunto fiquem juntos ? R: 1728

EXERCCIOS DE REVISO

1) Quantos nmeros de trs algarismos distintos podemos formar com os algarismos1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 ? R: 504

2) Quantas palavras de duas letras distintas podem ser formadas com as vogais de nossoalfabeto? R: 20

3) Quantos nmeros de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? R: 4536

4) Quantos so os nmeros compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismosdistintos escolhidos entre os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? R: 336

5) Considerando todos os nmeros de seis algarismos distintos que podem ser formados

com os algarismos 1,2,3,4,6,7 e 9, determine:a) quantos so pares? R: 2160b) quantos so mpares? R: 2880

6) Calcule quantos nmeros mltiplos de trs, de quatro algarismos distintos, podem serformados com 2,3,4,6,e 9. R: 72R: 720d) terminam por consoante?R: 25200

5) Encontre quantas maneiras podem ser dispostas 4 damas e 5 cavalheiros, numa fila, deforma que no fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas. R: 1152

6) Calcule o nmero de permutaes que podem ser feitas com as letras da palavraCAPTULO de forma que no fiquem juntas duas vogais e duas consoantes. R:1152

COMBINAO SIMPLES

Chamam-se combinaes simples todos os agrupamentos simples de (p) elementos que


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podemos formar com (n) elementos distintos, sendo p n. Cada um dessesagrupamentos se diferencia dos outros apenas pela natureza de seus elementos.

A notao para o nmero de combinaes simples de (n) elementos tomados (p) a (p) :

Cn, p = ()

EXEMPLO 1: Uma escola tem 9 professores de Matemtica. Quatro deles deverorepresentar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 professores so possveis?

RESOLUO: C9,4 =

()=

=

= 126

EXEMPLO 2: Quantos grupos diferentes de 4 lmpadas podem ficar acesos num galpoque tem 10 lmpadas? R: 210

EXEMPLO 3: Quantos subconjuntos de 4 elementos possuem um conjunto de 6elementos? R: 15

EXEMPLO 4: Quantas comisses de 5 membros podemos formar numa assembleia de 12participantes ? R: 792

EXEMPLO 5: Uma papelaria tem 8 cadernos de cores diferentes , e quero comprar 3 de

cores diferentes . Quantas possibilidades de escolha tenho? R: 56

EXERCCIOS DE REVISO

1) Quantas comisses de 6membros podemos formar com 10 alunos?R: 210

2) De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salo, dispondo de 8

jogadores? R: 56

3) Com 10 espcies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espcies diferentes,podem ser feitas? R: 210

4) Qual o nmero de diagonais de um hexgono? R: 9

5) Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moas. Quantos grupos podemos formar de 2 rapazes e3 moas? R:200


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