introdução à álgebra linear

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OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 1 FACULDADE DA FUNDAÇÃO DE ENSINO DE MOCOCA MOCOCA – SP ÁLGEBRA LINEAR – 3º PERÍODO – CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Prof. Mestre Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães [email protected] 27 DE JANEIRO DE 2014 CAPÍTULO 1 – ÁLGEBRA LINEAR – NOÇÕES INICIAIS 1. UM EXEMPLO BEM SIMPLES Num sítio há 10 animais, entre cabras e galinhas. Contando patas e pés são 26. Quantas são as cabras, quantas são as galinhas? Os alunos mais jovens costumam resolver esse problema de uma forma muito simples, por tentativa e erro. Sabemos que há 10 animais, então chutamos os números, sendo a soma igual a 10: CABRAS GALINHAS ANIMAIS PATAS E PÉS 4 6 4+6=10 4X4+2X6=28 (é muito) 5 5 5+5=10 4X5+2X5=30 (é muito, e mais ainda que 28 precisa então ser menos que 4 cabras) 2 8 2+8=10 4x2+2x8=24 (é pouco só podem ser 3 cabras) 3 7 3+7=10 4x3+2x7=26 (na mosca!) Chegamos de forma inequívoca na resposta: 3 cabras e 7 galinhas. Sempre surge a pergunta: “Se dá pra resolver assim, de forma simples, para que complicar, professor?” Algumas respostas possíveis, com perguntas: - “E se for uma fazenda na África com búf alos, rinocerontes e avestruzes e dados o número de animais, patas e pés, e de chifres?” - “E se tivermos números muito grandes e decimais na situação”. Desafiando os meus alunos a resolver o problema, há uma solução encontrada por uma aluna chamada Talita (que depois fiquei sabendo pelo Prof. Rômulo Campos Lins que o Prof. Antônio José Lopes Bigode teve a mesma solução de um aluno do 3º ano do Ensino Fundamental): - Imagine todos os bodes e galinhas na frente da sala. Mande as cabras ficarem de pé - Olhando para o chão contaremos 20 patas e pés, 2 de cada animais, já que as cabras estão de pé. Quantas patas e pés faltam? 6!!! Ou seja, há 6 patas de cabra erguidas: ou seja, há 3 cabras, e por consequência 7 galinhas. A resolução de Talita é uma resolução por aritmética, que faz as operações 26-20=6, 6:2=3 (número de cabras), 10-3=7 (número de galinhas). Veja que a lógica das 3 operações a serem resolvidas é bem complicada e é preciso pensar muito para chegar nelas.

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Page 1: Introdução à álgebra linear

OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 1

FACULDADE DA FUNDAÇÃO DE ENSINO DE MOCOCA MOCOCA – SP

ÁLGEBRA LINEAR – 3º PERÍODO – CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Prof. Mestre Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães

[email protected] 27 DE JANEIRO DE 2014

CAPÍTULO 1 – ÁLGEBRA LINEAR – NOÇÕES INICIAIS 1. UM EXEMPLO BEM SIMPLES Num sítio há 10 animais, entre cabras e galinhas. Contando patas e pés são 26. Quantas são as cabras, quantas são as galinhas? Os alunos mais jovens costumam resolver esse problema de uma forma muito simples, por tentativa e erro. Sabemos que há 10 animais, então chutamos os números, sendo a soma igual a 10:

CABRAS GALINHAS ANIMAIS PATAS E PÉS

4 6 4+6=10 4X4+2X6=28 (é muito)

5 5 5+5=10 4X5+2X5=30 (é muito, e mais ainda que 28 – precisa então ser menos que 4 cabras)

2 8 2+8=10 4x2+2x8=24 (é pouco – só podem ser 3 cabras)

3 7 3+7=10 4x3+2x7=26 (na mosca!)

Chegamos de forma inequívoca na resposta: 3 cabras e 7 galinhas. Sempre surge a pergunta: “Se dá pra resolver assim, de forma simples, para que complicar, professor?” Algumas respostas possíveis, com perguntas: - “E se for uma fazenda na África com búfalos, rinocerontes e avestruzes e dados o número de animais, patas e pés, e de chifres?” - “E se tivermos números muito grandes e decimais na situação”. Desafiando os meus alunos a resolver o problema, há uma solução encontrada por uma aluna chamada Talita (que depois fiquei sabendo pelo Prof. Rômulo Campos Lins que o Prof. Antônio José Lopes Bigode teve a mesma solução de um aluno do 3º ano do Ensino Fundamental): - Imagine todos os bodes e galinhas na frente da sala. Mande as cabras ficarem de pé

- Olhando para o chão contaremos 20 patas e pés, 2 de cada animais, já que as cabras estão de pé. Quantas patas e pés faltam? 6!!! Ou seja, há 6 patas de cabra erguidas: ou seja, há 3 cabras, e por consequência 7 galinhas. A resolução de Talita é uma resolução por aritmética, que faz as operações 26-20=6, 6:2=3 (número de cabras), 10-3=7 (número de galinhas). Veja que a lógica das 3 operações a serem resolvidas é bem complicada – e é preciso pensar muito para chegar nelas.

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Uma solução simples e geral é a seguinte – equacionar os dados! Apesar de tecnicamente mais fácil resolver por aritmética, por equacionamento não é necessário utilizar tantos raciocínios, e o problema torna-se computacionalmente mais fácil. Sendo x o número de cabras e y o número de galinhas, temos o sistema:

{

Resolvendo, concluímos que há 3 cabras e 4 galinhas, pela resolução do sistema por qualquer método. Há 5 métodos mais conhecidos de resolução: - os métodos tradicionais: adição, substituição e comparação. - os métodos com uso de matrizes: Regra de Cramer e Método de Eliminação de Gauss. 2. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR Sistemas Lineares – O que é? É muito comum na vida real os problemas poderem ser equacionados em termos de duas variáveis no formato ax+by=c, sendo x e y os valores desconhecidos e a, b e c valores reais. Exemplos:

I. Temos duas pessoas cuja soma das idades é 25 anos. Sendo x e y as idades de cada pessoa, temos a equação x+y=25 (que é 1x+1y=25).

II. Vamos distribuir 100 litros de leite em recipientes de 1 litro e 2,5 litros. Chamamos a quantidade de recipientes de 1 litro de x e de recipientes de 2,5 litros de y, temos que x+2,5y=100.

III. Fiz um investimento em duas aplicações à juros simples respectivamente de 10% e 20% ao ano. Após 1 ano, as duas aplicações rendem R$ 10.000. Chamando uma aplicação de x e outra de y, temos que 0,1x+0,2y=10000,

IV. Comprei dois tipos de molhos em grandes quantidades. O primeiro molho custou R$ 1,50 e o segundo R$ 2,50. Gastei R$ 10.000,00. Chamando o primeiro molho de x e o segundo de y, temos a equação 1,5x+2,5y=10000.

Isso é extremamente útil para resolver problemas do cotidiano (de verdade mesmo!). Para resolver um

sistema é preciso ter duas equações com duas variáveis (ou 3 equações e 3 variáveis, ou 4 equações e 4 variáveis, etc.

O problema do exemplo III, por exemplo, poderia ter a informação adicional de o capital inicial, dividido nas

duas aplicações era de R$ 30.000,00, o que recaria num sistema com duas equações. 1ª equação: x+y=30.000 2ª equação 0,1x+0,2y=10.000

Isso pode ser escrito de forma simplificada como:

{

Vamos concluir que a aplicação x vale R$ 3.000,00 e a aplicação y vale R$ 7.000,00. Resolver esse tipo de problema por um método, um algoritmo, é um desafio muito antigo. Com duas variáveis é relativamente fácil, porém, imagine um sistema com muitas equações.

Veja um exemplo:

Nesse caso talvez nem fosse muito difícil resolver o sistema (até mesmo pois trata-se de um sistema

homogêneo o exemplo, ou seja, sistemas onde os resultados de cada equação são iguais à zero).

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Veja vários bons exemplos de aplicações no site:

http://www.feng.pucrs.br/~gacs/new/disciplinas/asl/apostilas/Aula01.pdf Desde a antiguidade busca-se encontrar mecanismos de resolver sistemas.

Encontra-se primórdios da resolução de problemas com sistemas de equações lineares nos escritos do

matemático hindu Bháskara Akaria, também chamado de Bháskara, que viveu entre 1114 e 1185, na Índia, em seu mais famoso livro, o Lilavati. Bháskara Akaria é também chamado de Bháskara II (o primeiro também é matemático, e também há um filósofo com o mesmo nome). Por Bháskara ter estudado um tipo de equação do 2º grau chamado “Equação de Pell”, no Brasil (e apenas aqui), a fórmula resolutiva da equação do 2º grau é chamada de Fórmula de Bháskara!

Bháskara Akaria

Fonte da imagem: http://matematicadasala.blogspot.com.br/2011/02/bhaskara.html

O conceito de sistemas lineares surge na China em 250aC com o livro “Nove Capítulos sobre Aritmética” sem utilização de equações (mas com a idéia de que ‘n’ incógnitas em um problema necessita de ‘n’ sentenças relacionando os dados, ou seja, as ‘n’ equações). O problema foi enunciado da seguinte forma: “Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medíocre, e um fardo de uma colheita ruim foram vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, três da medíocre, e um da ruim foram vendidos a 34 dou; e uma da boa, dois da medíocre, e três da ruim foram vendidos a 26. Qual o preço recebido pela enda de cada fardo associado a boa colheita, a colheita medíocre e a colheita ruim?” [1] Esse problema era resolvido por uma série de técnicas aritméticas, mas pode ser equacionado da seguinte forma:

Os chineses, porém, não utilizavam e nem conheciam os sistemas.

Em 1683, o japonês Seki Kowa associa os Sistemas Lineares a algo que se parece com os determinantes, dando os primórdios da Álgebra Linear. O conceito avançou em 1693 com Leibniz, com o estudo dos determinantes, em 1729 com Colin Maclaurin com a conhecida Regra de Cramer para resolver sistemas com várias equações e várias variáveis, e, a partir desse momento foram surgindo e sistematizando a Álgebra Linear.

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HISTÓRICO DA ÁLGEBRA LINEAR 250 aC – Primeiro registro de um problema (sem equações): Nove Capítulos Sobre Aritmética (China)

Século XX – Bháskara Akari publica primeiros problemas que recaiam em duas equações 1683 – Primeira técnica de simplificação de sistemas por Seki Kowa

1693 – Leibniz cria os determinantes 1729 – Colin Maclaurin: Regra de Cramer para resolver sistemas

1730 – Gabriel Cramer chega de forma independente na Regra de Cramer Século XVIII – Trabalhos de Bézout e Laplace

Século XVIII – Gauss formaliza técnicas de resolução de sistemas de equações 1812 – Cauchy formaliza a idéia de determinante e fixa a notação atual

Século XIX – Jacobi cria a teoria dos Sistemas Lineares na forma onde ainda é estudada

Evidente que computadores simplificaram muito a resolução de Sistemas Lineares e modernizaram a Álgebra Linear. A resolução de sistemas lineares pela regra de Cramer ainda que por computadores, demandariam milhões de anos de cálculos em supercomputadores, e desenvolveu-se técnicas alternativas (o método de eliminação de Gauss, ou escalonamento) e softwares que operam com esses programas. Técnicas como o chamado Método Simplex, utilizado na administração, utiliza da resolução de sistemas grandes, e, após o uso de computadores ficou muito mais fácil resolver sistemas! Sobre a História dos Sistemas, veja o texto de Hygino H. Domingues, disponível no site Só Matemática no link: http://www.somatematica.com.br/historia/sistemas.php. Para entender melhor os conceitos veja em: http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/sistemas_lineares.pdf .

LIVROS ONLINE

MATTHEWS, K.R. Elementary Linear Algebra. Brisbane – Austrália, University of Queensland, 2013. Disponível em: http://www.numbertheory.org/book/mp103.pdf BARRETO, J.A. Algebra Linear em Contexto. Caracas – Venezuela, Ábaco, 2007 Disponível em: http://www.abaco.com.ve/lineal/LibroLineal2009_Capitulo_1.pdf APLICATIVO ONLINE PARA RESOLVER SISTEMAS http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=KID9E087E1.1&lang=fr&cmd=reply&module=tool%2Flinear%2Flinsolver.en&system=&parms REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] http://www.feng.pucrs.br/~gacs/new/disciplinas/asl/apostilas/Aula01.pdf