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Introdução à Álgebra Linear 2014.1 Aula 20 : Autovalores e Autovetores

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Page 1: Introdução à Álgebra Linear 2014.1 Aula 20: Autovalores e Autovetores

Introdução à Álgebra Linear2014.1

Aula 20:

Autovalores e Autovetores

Page 2: Introdução à Álgebra Linear 2014.1 Aula 20: Autovalores e Autovetores

Recapitulando: matriz de uma transformação linear

Sejam T: V→W uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W. Sem perda de generalidade consideremos dim V=2 e dim W=3. Sejam A={v1,v2} e B={w1,w2,w3}

1) Escrevemos os vetores T(v1) e T(v2) como combinação linear do vetores de B

2) Tomamos os escalares de T(vi) na base B e os colocamos como a coluna i da matriz

[v]A[T(v)]B[T(v1)]B [T(v2)]B

Matriz de T em relação as bases A e B

Page 3: Introdução à Álgebra Linear 2014.1 Aula 20: Autovalores e Autovetores

Matriz de uma transformação linear

Page 4: Introdução à Álgebra Linear 2014.1 Aula 20: Autovalores e Autovetores

Matriz de Mudança de BaseSe considerarmos I: V→V a transformação linear identidade,

I(v)=v.

Ao escrevermos a matriz desta transformação em relação às bases A e B (A uma base de V e B outra base de V). Obteremos

[I(v)]B= [v]A

Ou ainda: [v]B = [v]A

ABI

ABI

Matriz de mudança de base de A para base B

O papel desta matriz é transformar as coordenadas de um vetor v na base A em coordenadas do mesmo vetor v na base B.

Page 5: Introdução à Álgebra Linear 2014.1 Aula 20: Autovalores e Autovetores

Autovetores e AutovaloresSeja T:V→V um operador linear. Um vetor v ϵ V, v≠0, é autovetor do operador T se existe λ ϵ IR tal que

T(v)= λv. Seja M a matriz desta transformação em relação à base canônica então (6)

pode ser rescrito comoMv=λv

λv-Mv=0ou ainda

λIv-Mv=0(λI-M)v=0.

Determinar se operador T possui um autovetor v≠0 equivale a determinar para quais valores de λ o sistema homogêneo (7) tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado autovalor de M.

Se λ é um autovalor de M então cada solução não trivial de (7) será o autovetor de M associado ao autovalor λ, ou seja será autovetor do operador T.

(6)

(7)

Page 6: Introdução à Álgebra Linear 2014.1 Aula 20: Autovalores e Autovetores

Autovetores e Autovalores De acordo com o que já estudamos

M é invertível ↔ Mv=0 tem somente solução trivial logo

(λI-M)v=0 tem solução não trivial ↔ (λI-M) não é invertível, ou seja,

det(λI-M)=0Exemplo:

(b) Seja M=[T], encontre os autovalores de M e dê exemplo de autovetores

associados a cada autovalor

Page 7: Introdução à Álgebra Linear 2014.1 Aula 20: Autovalores e Autovetores

Autovetores e AutovaloresTeorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são

equivalentes:a) A é invertível.b) Ax=0 só tem a solução trivial.c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.e) Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1.f) Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b nx1.g) det(A)≠0.h) A tem posto n.i) As linhas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IRn.j) As colunas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IRn.k) Zero não é um autovalor de A.