introdução à Álgebra linear 2014.1 aula 20: autovalores e autovetores
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Introdução à Álgebra Linear2014.1
Aula 20:
Autovalores e Autovetores
Recapitulando: matriz de uma transformação linear
Sejam T: V→W uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W. Sem perda de generalidade consideremos dim V=2 e dim W=3. Sejam A={v1,v2} e B={w1,w2,w3}
1) Escrevemos os vetores T(v1) e T(v2) como combinação linear do vetores de B
2) Tomamos os escalares de T(vi) na base B e os colocamos como a coluna i da matriz
[v]A[T(v)]B[T(v1)]B [T(v2)]B
Matriz de T em relação as bases A e B
Matriz de uma transformação linear
Matriz de Mudança de BaseSe considerarmos I: V→V a transformação linear identidade,
I(v)=v.
Ao escrevermos a matriz desta transformação em relação às bases A e B (A uma base de V e B outra base de V). Obteremos
[I(v)]B= [v]A
Ou ainda: [v]B = [v]A
ABI
ABI
Matriz de mudança de base de A para base B
O papel desta matriz é transformar as coordenadas de um vetor v na base A em coordenadas do mesmo vetor v na base B.
Autovetores e AutovaloresSeja T:V→V um operador linear. Um vetor v ϵ V, v≠0, é autovetor do operador T se existe λ ϵ IR tal que
T(v)= λv. Seja M a matriz desta transformação em relação à base canônica então (6)
pode ser rescrito comoMv=λv
λv-Mv=0ou ainda
λIv-Mv=0(λI-M)v=0.
Determinar se operador T possui um autovetor v≠0 equivale a determinar para quais valores de λ o sistema homogêneo (7) tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado autovalor de M.
Se λ é um autovalor de M então cada solução não trivial de (7) será o autovetor de M associado ao autovalor λ, ou seja será autovetor do operador T.
(6)
(7)
Autovetores e Autovalores De acordo com o que já estudamos
M é invertível ↔ Mv=0 tem somente solução trivial logo
(λI-M)v=0 tem solução não trivial ↔ (λI-M) não é invertível, ou seja,
det(λI-M)=0Exemplo:
(b) Seja M=[T], encontre os autovalores de M e dê exemplo de autovetores
associados a cada autovalor
Autovetores e AutovaloresTeorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são
equivalentes:a) A é invertível.b) Ax=0 só tem a solução trivial.c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.e) Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1.f) Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b nx1.g) det(A)≠0.h) A tem posto n.i) As linhas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IRn.j) As colunas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IRn.k) Zero não é um autovalor de A.