Introdução Processos Markovianos Modelos de erro de transmissão em canais

Introdução aos Sistemas de Controle Através da

Rede

A. P. C. Gonçalves

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

1◦ Semestre de 2014

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Material baseado em

J. P. Hespanha et. al., “A Survey of Recent Results inNetworked Control Systems”,Proceedings of the IEEE, Vol. 95,pp 138–162, 2007 e suas referências.

A. Leon-Garcia, “Probability, Statistics, and Random Processesfor Electrical Engineering”, Pearson Prentice Hall, 2008.

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Introdução

O uso de um rede para conectar elementos distribuídos noespaço resulta em uma arquitetura flexível e diminuição decustos de manutenção e instalação.

Aplicação em diversas áreas como

rede de sensores móveis,

cirurgia remota,

colaboração háptica pela internet,

estradas automáticas e

veículos aéreos não tripulados.

Intersecção entre as teorias de controle e de comunicação

A teoria de controle enfoca o estudo de sistemas dinâmicos

interconectados por canais ideais.

A teoria de comunicação estuda a transmissão de informação

por canais imperfeitos.

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Canais com banda limitada

Taxa máxima de bits que um canal pode transmitir de formaconfiável (Shannon).

Determinação da taxa mínima de bits necessária paraestabilizar um sistema linear por realimentação.

Os dados são transmitidos em unidades atômicas chamadaspacotes. Pode-se considerar que mandar um único bit oumilhares de bits dentro de um pacote consumiria os mesmosrecursos da rede.

Um canal com banda limitada transmitiria um número finitode pacotes por unidade de tempo, mas cada pacote poderiacarregar um número alto (possivelmente infinito) de bits.

Para Shannon, tais canais teriam capacidade infinita, mas aestabilidade e o desempenho do sistema em malha fechadaseria limitado pela rede.

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Amostragem e Atraso

Sinais contínuos, para ser transmitidos em uma rede devemser:

amostrados,

codificados,

transmitidos através da rede,

decodificados no lado receptor.

O atraso total entre a amostragem e a decodificação pode seraltamente variável:

congestionamento de rede,

qualidade do canal.

Pacotes informam quando foram gerados, controlador podeestimar o atraso.

Tentativa de estabelecer um limitante superior para o intervalode amostragem que garanta estabilidade.

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Perda de pacotes

Dados podem ser perdidos enquanto em trânsito pela rede.

Perdas de pacotes acontecem por erros de transmissão na redefísica (mais comum em redes sem fio) ou por buffer overflows

devido a congestionamento da rede.

Tempos de transmissão longos podem implicar emreordenamento de pacotes e perda caso o receptor descartesinais muito antigos.

Protocolos confiáveis, como TCP, garantem a entrega dospacotes, mas tais protocolos não são muito úteis para controle,pois a retransmissão de dados antigos não é muito útil, emgeral.

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Arquitetura

PlantaPlanta

Sensores Sensores AtuadoresAtuadores

Rede

Enc.Enc. Dec.Dec.

ControladorControlador

Figura: Controle através da rede

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Arquitetura

Planta

SensoresAtuadores

Rede

Dec. Enc.

Controlador

Figura: Controle através da rede simplificado

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Processos Markovianos

Seja uma sequencia de variáveis aleatórias possivelmentedependentes (θ1, θ2, θ3, . . .) de termo geral θk , onde oparâmetro k é um valor crescente, normalmente o tempo.

Este processo tem a propriedade de Markov se qualquerpredição do próximo valor da sequencia θk+1, conhecidos osvalores predecessores (θ1, θ2, . . . , θk), puder se basear somenteno último valor θk .

Ou seja, o valor futuro de uma variável aleatória em umprocesso markoviano não depende de sua história passada,somente do valor atual.

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Cadeia de Markov

Em termos de probabilidades condicionais, a propriedade deMarkov pode ser resumida por

Prob(θk+1 = j |θk , θk−1, · · · , θ1, θ0) = Prob(θk+1 = j |θk)

Quando um processo de Markov só pode assumir valores emum conjunto finito ou contável, ele recebe o nome de Cadeia

de Markov

Em geral, se o conjunto onde a cadeia assume seus valorestem N elementos, ele é representado por K = {1, 2, . . . ,N}

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Cadeia de Markov

No instante k = 0 definimos a distribuição inicial deprobabilidade µi = Prob(θ0 = i), e i ∈ K.

A probabilidade conjunta para os primeiros n + 1 valores dacadeia é dada por

Prob(θn = in, · · · , θ0 = i0) =

Prob(θn = in|θn−1 = in−1) . . .Prob(θi = i1|θ0 = i0)Prob(θ0 = i0)

Vamos assumir que as probabilidades para mudanças de estadoem cada passo são fixas e não variam com o tempo, ou sejapij = Prob(θk+1 = j |θk = i),para todo k ∈ N.

Assim, a cadeia de Markov θk é completamente definida porsua distribuição inicial µi , i ∈ K e por sua matriz de

probabilidades de transição P = [pij ] ∈ RN×N .

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Cadeia de Markov

p11

p12 p13

p21

p22

p23

p31

p32 p33

1

2 3

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Exemplo: Cadeia de Markov para fala em pacotes

Se o n-ésimo pacote contém silêncio, a probabilidade dopróximo conter fala é α (1 − α para silêncio).

Se o n-ésimo pacote contém fala, então a probabilidade dopróximo conter silêncio é β (1 − β para fala).

P =

[

1 − α α

β 1 − β

]

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Exemplo: Estoque de lâmpadas

Uma casa tem duas lâmpadas novas em estoque no dia 0.

Em um dia qualquer, a probabilidade de um lâmpada da casaqueimar é p (q = 1 − p de nenhuma lâmpada queimar)

O número de lâmpadas em estoque segue uma cadeia deMarkov

P =

1 0 0p q 00 p q

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Canal de Gilbert

Cadeia de Markov com dois modos: BOM e RUIM.

No modo BOM, a transmissão ocorre sem erros.

No modo RUIM, há uma probabilidade peR de ocorrer erros.

Se peR = 1, diz-se que o canal de Gilbert é do tiposimplificado.

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Canal de Gilbert

replacements

RUIMBOMpRR

1 − pRR

pBB

1 − pBB

Figura: Canal de Gilbert Simplificado

Se pRR = 1− pBB , então o Canal de Gilbert Simplificado se reduz aum processo Bernoulli.

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Gilbert-Elliot

Generalização do modelo Gilbert.

Também considera uma cadeia com dois modos, mas comprobabilidade não nula de erro no modo BOM, peB > 0.

Naturalmente, peR > peB .

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Gilbert-Elliot

TransmissionTransmissionErrorOK

RUIMBOMpRR

1 − pRR

pBB

1 − pBB

peB1 − peB peR1 − peR

Figura: Canal Gilbert-Elliot

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Gilbert-Elliot

Em “Modelos Discretos para Análise de Ocorrência de Errosem Redes sem Fio”, G. A. B. Marcondes, Mestrado Inatel,2005, há várias comparações entre modelos estocásticos e umcanal com desvanecimento Raileigh não seletivo.

Para a transmissão de 10 milhões de bits, tempo de coerênciado canal igual a 10 vezes o tempo de símbolo, taxa detransmissão de 1bps e relação sinal ruído de 1 dB

As probabilidades que melhor refletem o modelo foram:

peB = 0.04, peR = 0.29

pBB = 0.87, pRR = 0.75

Outras comparações para os modelos apresentados aquipodem ser encontradas.

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Fritchman

Cadeia de Markov com N modos divididos em doisagrupamentos ou clusters U1 e U2.

A probabilidade de erro para os modos pertencentes a U1 ézero e para os modos em U2 é unitária.

1 2 i i + 1 N

U1 U2

Figura: Canal Fritchman

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Fritchman

O modelo Fritchman pode ser simplificado.

Não há transições entre modos diferentes dentro do mesmoagrupamento.

Só existe um modo correspondendo a falhas de transmissão.

1 2 N − 1 N

Figura: Canal Fritchman Simplificado

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McCullough

O modelo McCullough pode ser visto como um generalizaçãodo modelo Gilbert-Elliot model.

Ele pode representar qualquer número de modos no canal,para modelar diversos fenômenos físicos com diferentesprobabilidades de erro.

Para cada modo, há uma probabilidade de erro e umaprobabilidade complementar de sucesso na transmissão.

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McCullough

1 2

erroerro

sucessosucesso

Q11

Q12 Q21

Q22

P11

P12 P21

P22

p1

1 − p1

p2

1 − p2

Figura: Canal McCullough com dois modos

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McCullough

Se Pij = Qij , o modelo Gilbert-Elliot é recuperado.

Por outro lado, se P11 = P22 = 1 e P12 = P21 = 0 astransições entre modos só ocorrem depois de um erro detransmissão.

Este modelo mais simples é bastante usado na literatura.

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