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Universidade Federal de Ouro Preto – UFOPInstituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB

Departamento de Educação Matemática – DEEMAMestrado Profissional em Educação Matemática

INTERPRETAÇÃO DOS ENUNCIADOS DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Um estudo com alunos do sexto ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do

interior de Minas Gerais.

Mestranda: Clarissa Alves de Oliveira

Orientador: Plinio Cavalcanti Moreira

Ouro Preto2018

INTERPRETAÇÃO DOS ENUNCIADOS DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Um estudo com alunos do sexto ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do

interior de Minas Gerais.

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática daUniversidade Federal de Ouro Preto, MG, comorequisito parcial para obtenção do grau de Mestreem Educação Matemática.

Mestranda: Clarissa Alves de Oliveira Orientador: Plinio Cavalcanti Moreira

Ouro Preto2018

Dedico essa conquista aos três homens da minha vida:

Meu marido Icaro e meus filhos Gustavo e Felipe,

por quem vivo.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, que está comigo em todos os momentos.

Agradeço ao meu marido Icaro pelo companheirismo e incentivo sempre.

Agradeço aos meus filhos Gustavo e Felipe, por todo amor, que me dá forças para seguir.

Agradeço ao meu orientador Plinio, por todo apoio e ensinamentos.

Agradeço à minha mãe Esmênia e minha irmã Cristina e meu irmão Raul, por sempre meincentivarem.

Agradeço ao meu pai José Alves, que lá do céu, sei que está torcendo por mim.

Agradeço ao meu amigo Paulo, porque sem o seu imenso coração, esse trabalho não seriapossível.

Agradeço aos amigos que fiz no mestrado e levarei para a vida: Vanessa, Pablo, Aline, Edmare Bruno, por todos momentos vividos, apertos e risos.

Agradeço aos professores e colegas da UFOP, por compartilharem suas experiências.

Agradeço aos professores da banca, Sarquis e Dilhermando, pelas valiosas colaborações.

Agradeço à professora Amanda pelo imenso apoio.

Agradeço aos alunos participantes, professores e diretores da escola em que a pesquisa foirealizada, por toda colaboração.

“A linguagem não é uma coisa morta em que cada palavra significa

algo de uma vez por todas” (WITTGENSTEIN, 2004, P. 35)

Interpretação dos enunciados de problemas matemáticos: um estudo com alunos do 6°ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do interior de Minas Gerais

RESUMO

O presente trabalho vincula-se à linha de pesquisa Formação de Professores, Cultura eEnsino-Aprendizagem de Matemática do Mestrado Profissional em Educação Matemática daUFOP/MG. O objetivo da pesquisa é avaliar as contribuições que uma sequência deatividades relacionadas com a resolução de problemas pode oferecer para os processos deensino e de aprendizagem da matemática na Educação Básica. As atividades foram elaboradasa partir do estudo de pesquisas científicas do campo da Educação Matemática sobre essatemática. Em termos dos procedimentos metodológicos, foram realizados testes de sondagem(no início e no final dos trabalhos) e, posteriormente, durante cerca de cinco semanas em salade aula de sexto ano de uma escola pública de MG, trabalhamos um conjunto de atividadespreparadas especialmente com o propósito de proporcionar o desenvolvimento da capacidadede leitura e interpretação de textos matemáticos, mais particularmente, de enunciados deproblemas matemáticos. Como instrumentos de produção de dados foram utilizados:observação direta das aulas nas quais se desenvolveram as atividades propostas, diário decampo e gravação (em áudio e vídeo) das aulas realizadas durante o período de trabalho decampo, assim como registros das soluções dadas pelos alunos às questões propostas nasdiferentes atividades durante o trabalho de campo, o qual se desenvolveu durante o períodoregular de aulas da escola. Os resultados mostram que, embora haja limitações de vários tipose natureza, o conjunto de atividades proposto, considerando a prática escolar vigenteatualmente no Brasil, pode contribuir de várias maneiras para o desenvolvimento dacapacidade de interpretação dos enunciados de problemas matemáticos dos alunos do sextoano do Ensino Fundamental, entre elas as seguintes: promover maior atenção na leitura dosenunciados, de modo a obter-se um entendimento matemático mais completo e preciso dasituação-problema proposta; promover uma leitura mais crítica dos enunciados, de modo a sercapaz de avaliar a relevância ou irrelevância de cada um dos dados fornecidos; promover aconsideração da possibilidade de que o problema dado tenha uma, nenhuma ou váriassoluções; promover o reconhecimento e maior familiaridade com a linguagem própria damatemática escolar no que concerne a precisão das informações dadas nos enunciados deproblemas matemáticos. A partir deste relato de pesquisa foi elaborado um ProdutoEducacional, visando divulgar, especialmente entre professores de matemática do segundosegmento do Ensino Fundamental, os resultados obtidos, assim como uma descrição eavaliação crítica da experiência desenvolvida nessa turma de sexto ano.Palavras-chave: Educação Matemática, Resolução de Problemas; Linguagem Matemática;Interpretação de enunciados de problemas matemáticos.

Interpreting mathematical problems’ texts: a study with sixth grade students at a secondaryschool in Minas Gerais

ABSTRACT

This research aims to evaluate what types of contributions a set of problem solving tasks mayoffer to the mathematics teaching and learning processes in school education. The proposedtasks were designed according to research findings we came across as the outcome of areview of the specialized literature in the field of Mathematics Education. As to themethodological procedures in applying the tasks, we worked for five weeks, in a real sixthgrade school classroom, with 23 students, so as to expose them to situations that could help todevelop the skills associated to adequately interpreting the texts usually met in schoolmathematics problem solving tasks. As the instruments of data production we used directobservation of the students in the classroom, a field diary, audio and video recordings, as wellas the student’s written production along the work with the tasks. Results show that in spite ofmany constraints, the proposed set of tasks has contributed in various ways to the aimstargeted by the project, such as: to promote greater attention in the reading of the problemstexts, so as to get a better mathematics understanding of the situation described in theproblem; to engender a critic reading of the problems so as to help the students consider therelevance or irrelevance of each one of the given data; to take into account the possibility thatthe given problem may have one, more than one or none solution; to foster familiarity withthe school mathematical language as referred to the precision of the data given in themathematics problems texts. We have also produced an “Educational Product” aiming tospread, among the schoolteachers, the results obtained in the investigation, as well as adescription and a critic evaluation of the practice we have experienced as a sixth grade teacheralong the work developed with the sixth grade students.Key-words: Mathematics Education; Problem Solving; Mathematical Language; Interpretingschool mathematics problems texts.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Texto do exercício 1 do Bloco 1.............................................................................................23

Figura 2: Exercício 1 bloco 1, respostas dos itens a e b da aluna A7.....................................................25

Figura 3: Exercício 1 bloco 1, respostas a e b do aluno A9...................................................................25

Figura 4: Exercício 1 bloco 1, resposta de A8........................................................................................26

Figura 5: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A9..............................................................................26




Figura 9: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A17............................................................................28

Figura 10: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A11..........................................................................28

Figura 11: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A12..........................................................................29

Figura 12: Exercício 2 bloco 1, resposta do aluno A3............................................................................29

Figura 13: Exercício 2 bloco 1, resposta da aluna A7............................................................................30

Figura 14: Exercício 2 bloco 1, respostas da aluna A1..........................................................................30

Figura 15: Exercício 2 bloco 1, respostas do aluno A17........................................................................31

Figura 16: Exercício 2 bloco 1, resposta das letras a e b do aluno A15................................................32

Figura 17: Exercício 2 bloco 1, resposta da aluna A10..........................................................................32

Figura 18: Trecho de “A casa sonolenta” (Napping House) de Audrey Wood......................................34

Figura 19: Exercício 4 bloco 1, resolução da aluna A18........................................................................34

Figura 20: Exercício 4 bloco 1, resolução da aluna A6..........................................................................34

Figura 21: Exercício 4 bloco 1, resolução do aluno A12.......................................................................35





Figura 26: Exercício 5 bloco 1...............................................................................................................37




Figura 30: Exercício 6 bloco 1, resolução da aluna A10........................................................................39

Figura 31: Exercício 6 bloco 1, letra b...................................................................................................40

Figura 32: Exercício 6 bloco 1, letra b resolução de A6........................................................................40

Figura 33: Exercício 6 bloco 1, letra b, resolução de A13.....................................................................40

Figura 34: Exercício 6 bloco 1, letra b, resolução de A17.....................................................................41

Figura 35: Exercício 7 bloco 1, resolução de A12.................................................................................42

Figura 36: Exercício 7 bloco 1, resolução de A5...................................................................................43




Figura 40: Exercício 3 bloco 2, resolução da dupla A1 e A5.................................................................47

Figura 41: Exercício 3 bloco 2, resolução da dupla A20 e A21.............................................................48


Figura 43: Exercício 4 bloco 2, letra d, resolução da dupla A8 e A18...................................................49

Figura 44: Instrução geral da atividade do bloco 3................................................................................50

Figura 45: Construção do enunciado do Grupo 2 segundo o Grupo 1...................................................52


Figura 47: Construção do enunciado do Grupo 5 segundo Grupo 1......................................................54







Figura 54: Construção do enunciado do Grupo 4, segundo o Grupo 5..................................................58




Figura 58: Bloco 4, resolução do Grupo 1..............................................................................................61

Figura 59: Bloco 4, representação do Grupo 7.......................................................................................63

Figura 60: Bloco 4, resolução do problema do Grupo 5........................................................................64

Figura 61: Bloco 4, resolução do problema do Grupo 3........................................................................65

Figura 62: Bloco 5..................................................................................................................................65

Figura 63: Bloco 5 – Resolução de A12.................................................................................................66

Figura 64: Bloco 5 – Resolução A17......................................................................................................67

Figura 65: Bloco 5 – Formulação de Problemas....................................................................................68

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Análise da comparação entre as sondagens inicial e final......................................73Quadro 2 - Resultado por aluno da comparação entre as sondagens......................................119Quadro 3 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 1 do bloco 1.........................126Quadro 4 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 2 do bloco 1.........................132Quadro 5 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 3 do bloco 1.........................137Quadro 6 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 4 do bloco 1.........................141Quadro 7 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 5 do bloco 1.........................143Quadro 8 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 6 do bloco 1.........................145Quadro 9 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 1 do bloco 2.........................151Quadro 10 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 2 do bloco 2.......................154Quadro 11 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 3 do bloco 2.......................157Quadro 12 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 4 do bloco 2.......................160Quadro 13 - Análise dos desempenhos dos alunos nas atividades do bloco 3.......................164Quadro 14 - Análise dos desempenhos dos alunos nas atividades do bloco 4.......................168Quadro 15 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 1 do bloco 5.......................171Quadro 16 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 2 do bloco 5.......................174Quadro 17 - Resultado geral do desempenho dos alunos nas atividades................................179

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO..........................................................................................................................7

CAPÍTULO 1............................................................................................................................11

REVISÃO DE LITERATURA.................................................................................................11

1.1 Resolução de Problemas..................................................................................................11

1.2 Dificuldades usuais na resolução de problemas matemáticos.........................................13

1.3 O que dizem as pesquisas sobre o tema..........................................................................15

CAPÍTULO 2............................................................................................................................20

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS..............................................................................20

CAPÍTULO 3............................................................................................................................23

OS DADOS E ALGUMAS OBSERVAÇÕES PRELIMINARES..........................................23

3.1 Bloco 1............................................................................................................................23

3.2 Bloco 2............................................................................................................................44

3.3 Bloco 3............................................................................................................................50

3.4 Bloco 4............................................................................................................................59

3.5 Bloco 5............................................................................................................................65

CAPÍTULO 4............................................................................................................................70

ANÁLISE E RESULTADOS...................................................................................................70

4.1 Comparando os desempenhos nas sondagens.................................................................72

4.2 Desempenho nas atividades e na sondagem final: há correlação?................................124

CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................................................184

REFERÊNCIAS......................................................................................................................187

APÊNDICES...........................................................................................................................192

7

INTRODUÇÃO

Desde que comecei a lecionar matemática (aulas particulares), antes mesmo de

iniciar a graduação (Licenciatura em Matemática), notava certa dificuldade dos alunos

com a resolução de problemas. Pude perceber, ao longo do tempo, que uma parte dessa

dificuldade se relacionava com a interpretação dos enunciados dos problemas. Mesmo

que parecessem conhecer a matemática específica dos tópicos envolvidos nos

problemas, alguns alunos não conseguiam resolvê-los, em alguns casos porque não

conseguiam construir estratégias adequadas, em outros porque trabalhavam com uma

compreensão confusa dos enunciados. Sempre me interessei pela língua portuguesa,

mas durante os cinco anos em que permaneci trabalhando com aulas particulares, em

sua maioria de matemática, acabei me afeiçoando a esta disciplina e decidi que minha

graduação seria em Matemática (Licenciatura).

Durante o curso de graduação, me encantei ainda mais com a Matemática,

porém a questão da dificuldade dos alunos na interpretação de textos matemáticos e,

mais precisamente, dos enunciados dos problemas, ainda me inquietava. Fiz o curso de

Licenciatura em Matemática na Universidade Federal de São João del Rei – UFSJ,

depois fiz uma Especialização em Matemática, também na UFSJ, onde me iniciei na

pesquisa em Educação Matemática. Desde então, carreguei comigo o sentimento de que

precisava encontrar uma maneira de associar a língua portuguesa, a Matemática e a

Educação e foi no Mestrado Profissional em Educação Matemática na Universidade

Federal de Ouro Preto que vim a ter essa oportunidade. Após uma revisão inicial da

literatura especializada na Resolução de Problemas, pude perceber que existe uma

grande diversidade de pesquisas sobre esse assunto, algumas delas relacionadas

especificamente com a dificuldade de compreensão dos enunciados dos problemas, mas

ainda assim decidi desenvolver minha pesquisa de mestrado com o foco neste tema.

Um bom desempenho no que concerne à “Resolução de Problemas” é

considerado um dos objetivos principais do ensino da Matemática na Educação Básica.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) a resolução de problemas é

o ponto de partida para a atividade matemática, sendo que, ainda segundo este

documento, o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos são

expostos a situações desafiadoras e trabalham no sentido de desenvolver estratégias de

solução dos problemas que se apresentam a partir dessas situações.

8

Pozo e Echeverria (1998) também destacam a necessidade e a importância da

resolução de problemas como conteúdo curricular da Educação Básica. Segundo eles:

Orientar o currículo para a solução de problemas significa procurar eplanejar situações suficientemente abertas para induzir nos alunos umabusca e apropriação de estratégias adequadas não somente para daremrespostas a perguntas escolares, como também às da realidadecotidiana (POZO E ECHEVERRIA, 1998, p.14).

De acordo com os PCN, os problemas não têm desempenhado, com o devido

vigor, seu papel no ensino escolar. Na maioria das vezes são utilizados apenas como

forma de aplicação de conhecimentos trabalhados anteriormente com os alunos:

[...] o saber matemático não se tem apresentado ao aluno como umconjunto de conceitos inter-relacionados, que lhes permite resolver umconjunto de problemas, mas como um interminável discursosimbólico, abstrato e incompreensível. Nesse caso, a concepção deensino e aprendizagem subjacente é a de que o aluno aprende porreprodução/imitação (Brasil, 1998, p.40).

Na mesma direção, Oliveira (2012), em uma análise de materiais didáticos para

a escola básica, conclui que atividades de reprodução ou repetição de algoritmos se

apresentam em grande número, enquanto situações desafiadoras aparecem em

quantidade bastante reduzida.

Outra questão fundamental referida na literatura é a constatação de uma grande

dificuldade de interpretação dos problemas pelos alunos, tornando-se, assim, rara e

esporádica a utilização da resolução de problemas como meio de estimular a

aprendizagem matemática. Brito e Oliveira (2008) destacam essa dificuldade de

interpretação dos enunciados e a relacionam com o pouco hábito de leitura dos

brasileiros. Além disso, segundo esses autores, o aluno não consegue transportar para a

sala de aula as mesmas estratégias que utiliza para interpretar questões do seu cotidiano.

Lorensatti concorda com Brito e Oliveira e afirma que “as mesmas operações realizadas

no dia-a-dia, quando propostas por professores ou organizadas nos livros didáticos, por

meio dos códigos matemático e linguístico, costumam se tornar verdadeiros enigmas”

(LORENSATTI, 2009, p.89). Assim, “em situações de ensino de matemática é

fundamental a mediação da Língua Materna que funciona como degrau natural na

aprendizagem da escrita” (MACHADO, 1994, p. 135). Castro (2003) também considera

que a ferramenta de trabalho mais importante do professor em sala de aula é a

linguagem e que esta participa da construção do conhecimento matemático.

9

Por outro lado, há que se considerar que a linguagem matemática não é

“natural”, como é a língua materna em sua versão usual no interior dos diferentes

grupamentos sociais. Esta última é aprendida num contexto social e familiar, intensiva e

extensivamente, enquanto a linguagem matemática só é trabalhada em contextos

particulares e específicos, normalmente tendo como base uma compreensão anterior da

língua portuguesa “culta”. Além disso, embora tenham estruturas e elementos de

precisão e de rigor bastante diferenciados, essas três categorias de linguagem

(matemática, linguagem oral cotidiana dos alunos e língua portuguesa culta) são

constituídas de muitas palavras em comum, em termos da pronúncia ou da escrita, mas

que possuem distintos significados em cada uma delas. Assim, é muito possível que um

professor, em sua fala em determinados momentos de suas aulas de matemática, esteja

utilizando palavras e expressões com significados próprios da linguagem matemática e

o aluno esteja tentando entender essa fala a partir dos significados usuais que essas

mesmas palavras e expressões possuem na linguagem que utiliza no cotidiano ou

mesmo na língua portuguesa culta. Isso pode ser um forte complicador no processo de

ensino e aprendizagem matemática, especialmente no Ensino Fundamental. Parece

importante, então, desenvolver uma atenção específica, na sala de aula de matemática,

ao trânsito frequente entre linguagens, de modo que esse trânsito se incorpore ao

processo de ensino. Além disso, é importante notar que os estudantes costumam ter

dificuldade com a própria língua portuguesa culta, fazendo com que a construção,

leitura e interpretação de textos não matemáticos no processo geral de escolarização

também não sejam tarefas simples para muitos deles.

De acordo com Smole e Diniz (2001), o cuidado na elaboração dos problemas e

o trabalho específico com a proposição de tarefas de interpretação de texto podem levar

os alunos a ler os enunciados dos problemas matemáticos com mais autonomia e

compreensão. Entretanto, é bom ter em mente que esses cuidados com a linguagem não

implicam, na realidade atual da escola brasileira, uma subordinação, simplista e

mecânica, da linguagem matemática e do português culto à linguagem oral cotidiana

dos alunos. Acreditamos que isso não seria produtivo no processo de desenvolvimento

da educação escolar nas condições vigentes nem seria de implementação viável como

inciativa individual de alguns professores de matemática da escola básica. O que nos

parece viável, neste momento histórico, é desenvolver um esforço didático-pedagógico

no sentido de tornar acessível ao aluno a possibilidade de reconhecer o contexto

10

adequado, dentro do processo de aprendizagem matemática escolar, em que devem ser

interpretados os textos dos enunciados dos problemas matemáticos com os quais precisa

lidar nesse processo. Assim, nossa pesquisa buscou avaliar as limitações e as

potencialidades didáticas e pedagógicas de um conjunto de atividades em sala de aula

(elaboradas a partir de nossa experiência profissional e de indicações feitas em estudos

científicos já desenvolvidos sobre o tema). Avaliamos o trabalho didático com essas

atividades em termos de seu potencial de promover avanços significativos no processo

de compreensão, por parte de alunos do sexto ano da Educação Básica, dos enunciados

dos problemas matemáticos escolares e, a partir daí, na construção de estratégias

adequadas de resolução.

O presente relato está organizado em quatro capítulos, além desta Introdução,

das Considerações Finais, das Referências e dos apêndices. No primeiro capítulo

fazemos uma revisão da literatura que nos pareceu pertinente, comentando,

abreviadamente, os trabalhos que auxiliaram no embasamento da pesquisa. No segundo

capítulo, apresentamos os procedimentos metodológicos utilizados na estruturação e

aplicação das atividades. No terceiro, descrevemos os dados da pesquisa obtidos a partir

da realização das atividades em sala de aula e no quarto fazemos a análise desses dados,

apresentando nossa resposta para a questão de pesquisa. Encerramos o texto com as

Considerações Finais, em que situamos nossos resultados em relação à literatura

específica sobre a temática trabalhada e apresentamos as conclusões que o trabalho

permitiu extrair.

11

CAPÍTULO 1

REVISÃO DE LITERATURA

Neste capítulo, tratamos da temática Resolução de Problemas no ensino da

matemática, destacando as diferentes concepções que encontramos na literatura. Em

seguida são abordadas algumas dificuldades identificadas no trabalho escolar com o

tema. Finalmente mencionamos algumas questões referentes às relações entre a

linguagem matemática, a linguagem oral cotidiana e o português culto, tendo como

pano de fundo a interpretação de textos matemáticos. Apresentamos também os

resultados de um levantamento das pesquisas sobre a temática geral de Resolução de

Problema no ensino escolar feito a partir do Portal de teses e dissertações da CAPES.

1.1 Resolução de Problemas

Resolver problemas é uma prática intrínseca ao ser humano ao longo de sua

existência. “A História da Matemática mostra que ela é proveniente de diferentes

origens e contextos, motivada por problemas de ordem prática (divisão de terras,

cálculo de créditos) e por problemas vinculados a outras ciências (Física, Astronomia)

” (BRASIL, 1998, p.40). Segundo Kilpatrick e Stanic (1989), os problemas compõem

os currículos de matemática desde a antiguidade, estando registrados em documentos

milenares, como os papiros egípcios. Contudo, de acordo com esses autores, somente no

início do século XX surge a preocupação com o uso da resolução de problemas como

ferramenta de ensino de matemática. A abordagem da Resolução de Problemas começa

a se destacar nos currículos escolares em meados do século XX, depois da publicação

da obra A arte de Resolver Problemas, de G. Polya, em 1945. Machado (1987) vê a

Resolução de Problemas como uma forte tendência dentro da Educação Matemática

hoje, na medida em que expressa uma postura de educadores e professores engajados

em rever suas metodologias de ensino da matemática na escola. Onuchic (2003) destaca

que a Resolução de Problemas, como metodologia de ensino, pode contribuir para

substituir a postura passiva, tradicionalmente imposta aos alunos, por uma atitude mais

ativa e interessada frente ao aprendizado. Assim, a Resolução de Problemas tem sido

trabalhada também como uma metodologia em que o problema é visto como um ponto

de partida para a atividade matemática escolar.

12

Através da resolução de problemas, o aluno pode desenvolver um tipo de

habilidade que lhe proporciona autonomia para a aprendizagem. Supõe-se que, se tiver

oportunidades, durante sua vida escolar, de matematizar diferentes situações-problema,

poderá desenvolver experiência e capacidade específica para enfrentar e resolver

problemas sociais mais gerais, eventualmente relevantes em seu dia a dia, e que sejam

passíveis de uma abordagem matemática. Além disso, desenvolverá, evidentemente, sua

capacidade de resolução de problemas matemáticos escolares. Enfim, teria adquirido

condições de apreciar melhor a força e o sentido da matemática escolar, tanto na escola

como fora dela.

Segundo os PCN (1997), um problema matemático demanda a realização de

uma sequência de ações ou operações mentais para obter uma resposta ou resultado.

Uma compreensão profunda da situação de onde emerge o problema permite ao aluno

construir uma solução que, em princípio, não se encontra disponível. Resolver um

problema pressupõe, portanto, que o aluno elabore uma ou várias estratégias de

resolução, execute os procedimentos correspondentes, realizando simulações, tentativas,

criticando e avaliando essas tentativas, formulando novas hipóteses, se for o caso.

Posteriormente, é importante comparar seus próprios resultados com os de outros alunos

engajados na resolução do mesmo problema, a fim de “validar” seus procedimentos.

Dessa maneira,

[...] o aluno precisa ser estimulado a questionar sua própria resposta, aquestionar o problema, a transformar um dado problema numa fontede novos problemas, evidenciando uma concepção de ensino e deaprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pelavia da ação refletida que constrói conhecimentos (BRASIL, 1997,p.33).

Para Pozo (1998), um problema é uma situação nova onde não cabem

procedimentos automáticos que permitem a solução de forma imediata, mas que exige

um processo de reflexão e construção de uma sequência de passos a serem

adequadamente realizados. Se a questão exige apenas a utilização de habilidades ou

técnicas já aprendidas, o aluno está só exercitando uma técnica, realizando tarefas já

conhecidas, não está efetivamente resolvendo um problema.

A literatura especializada costuma referir-se à temática que temos em foco sob

dois aspectos complementares: a heurística da resolução de problemas e o ensino de

matemática através da resolução de problemas. Sob o primeiro aspecto, destacam-se

quatro passos fundamentais, indicados no clássico livro de Polya (1977): 1) a

13

compreensão do enunciado do problema; 2) a concepção de um plano de resolução; 3) a

execução do plano; 4) o exame retrospectivo da solução alcançada. Sob o segundo

aspecto, o processo é trabalhado como uma metodologia de ensino em que o problema

constitui um ponto inicial. Nesse caso, é importante que os problemas propostos estejam

atrelados ao cotidiano do aluno e que possibilitem o seu desenvolvimento matemático,

num exercício de reflexão a respeito da realidade que o cerca.

Dante (1988) identifica seis tipos de problemas matemáticos:

1. Exercícios de reconhecimento: têm o objetivo de testar se determinados

conceitos ou propriedades foram aprendidos;

2. Exercícios de algoritmos: resolver operações diretamente solicitadas;

3. Problemas-padrão: o aluno precisa “traduzir” para a linguagem matemática

para, então, produzir a solução;

4. Problemas-processo ou heurísticos: a resolução não pode ser encontrada

utilizando apenas os dados fornecidos no enunciado, necessitando mobilizar

conhecimentos específicos da situação-problema;

5. Problemas de aplicação: exigem o uso de conceitos, técnicas, procedimentos,

domínio da linguagem, abstrações etc. para matematizar situações reais;

6. Problemas de quebra-cabeça: desafios que dependem, quase sempre, de um

ou mais “truques”.

Em nossa pesquisa, trataremos prioritariamente dos problemas-padrão, já que

nosso principal interesse não é exercitar a resolução de problemas como metodologia de

ensino de tópicos ou conceitos matemáticos específicos, e sim realizar um trabalho com

a linguagem e interpretação de textos matemáticos, visando favorecer o

desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas no sexto ano do Ensino

Fundamental. Para uma maior efetividade no ensino e aprendizagem da matemática em

geral, é importante que o aluno tenha uma adequada familiaridade com o texto

matemático. Conforme comentado anteriormente, dificuldades com a linguagem

matemática podem levar a interpretações errôneas e, consequentemente, a complicações

na compreensão dos textos matemáticos ao longo da vida escolar. É nessa direção de

desenvolvimento intelectual do aluno da escola que o nosso estudo pretende contribuir.

1.2 Dificuldades usuais na resolução de problemas matemáticos

14

Dentre as dificuldades encontradas diante de enunciados de problemas

matemáticos, Freitas (2015) destaca o vocabulário limitado dos alunos. Tais

dificuldades são mais ou menos naturais porque os alunos da escola, em geral, são ainda

crianças ou adolescentes, e, portanto, estão, naturalmente, por desenvolver uma maior

riqueza de vocabulário em função do correspondente desenvolvimento de sua

experiência de vida em geral. Mas também, observa-se que, muitas vezes, as palavras

utilizadas nesses enunciados não fazem parte do cotidiano de comunicação de ideias no

seio das comunidades a que pertence uma grande parcela do alunado escolar. É

importante destacar ainda que, além do pouco hábito de leitura dos brasileiros em geral,

há também que se considerar a questão do pertencimento a classes sociais com maior ou

menor acesso à “linguagem culta”, linguagem esta que é parte do capital simbólico e

cultural normalmente implícito nos valores subjacentes ao processo de escolarização

básica (Bourdieu, 2003). Entretanto, estudos indicam que tais limitações de acesso à

linguagem culta podem ser, se não superadas, pelo menos amenizadas, com a utilização

de estratégias de trabalho docente escolar que se concentrem especificamente na

valorização da compreensão dos enunciados dos problemas matemáticos, a partir de

suas particularidades discursivas. Tais pesquisas indicam que a compreensão bem-

sucedida dos enunciados dos problemas depende da familiaridade com o gênero

discursivo específico (enunciados de problemas matemáticos) e dos termos e expressões

que neles se encontram, além da retenção das informações contidas nos problemas e da

mobilização de conhecimentos prévios.

Para Wittgenstein “Ensinar uma linguagem [...] não é explicar, mas antes é

adestrar” (WITTGENSTEIN, 2005, p.39). Normalmente, o indivíduo é inserido num

ambiente em que se usam determinadas palavras, de modo que passa a entender o

sentido dessas palavras através do uso. Ainda de acordo com Wittgenstein, não existe

uma linguagem, mas sim linguagens, ou ainda, jogos de linguagem, com uma variedade

de usos em diferentes situações. Na atividade matemática, recorremos aos jogos de

linguagem, entre outras situações, na substituição de valores específicos numa fórmula,

na execução de um algoritmo, na interpretação de gráficos, na interpretação dos

enunciados dos problemas etc. Assim, na resolução de problemas, entendemos que não

seria o trabalho com uma linguagem artificialmente “mais simples” que levaria

necessariamente à superação, a médio prazo, das dificuldades de compreensão dos

enunciados. Acreditamos que a produção de familiaridade com o texto padrão a partir

15

de seu uso, tal como se apresenta no contexto escolar, poderia contribuir de modo mais

efetivo, uma vez que, desta forma, o aluno adequar-se-ia, gradativamente, ao sistema

padrão de comunicação das ideias matemáticas, bem como a um processo de

reconhecimento do contexto em que os textos matemáticos são produzidos. Smole e

Diniz (2001), por exemplo, afirmam que há necessidade de um trabalho pedagógico

específico com o texto de problemas nas aulas de matemática. Fonseca e Cardoso

(2005) também destacam a importância de um trabalho com os gêneros textuais.

Segundo as autoras [...] é necessário conhecer as diferentes formas em que o conteúdo

do texto pode ser escrito. Essas diferentes formas também constituem especificidades

dos gêneros textuais próprios da matemática, cujo reconhecimento é fundamental para

a atividade de leitura (FONSECA e CARDOSO, 2005, p.65).

1.3 O que dizem as pesquisas sobre o tema

Realizamos um levantamento de pesquisas feitas nos programas de pós-

graduação brasileiros, considerando, prioritariamente, aspectos ligados à interpretação

de textos e enunciados de problemas matemáticos. Nesse sentido, recorremos ao banco

de teses e dissertações da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível

Superior (CAPES) e à Biblioteca Digital de Teses e Dissertações do Instituto Brasileiro

de Informação em Ciência e Tecnologia (IBICT), utilizando os seguintes conjuntos de

palavras-chave: problemas matemáticos interpretação dificuldade, linguagem

matemática interpretação dificuldade, problemas matemáticos linguagem, resolução de

problemas interpretação, problemas matemáticos compreensão enunciados, problemas

matemáticos enunciados. Foram localizadas 355 pesquisas e a partir das informações

contidas nos resumos, foram selecionadas trinta produções que seriam de nosso

interesse direto. Inicialmente, a seleção teve como critério: (a) que a pesquisa tivesse

como objeto principal de estudo a dificuldade de interpretação dos enunciados de

problemas matemáticos, (b) relações entre problemas matemáticos e linguagem e (c)

utilização de problemas matemáticos no ensino escolar.

Das 30 pesquisas selecionadas, 03 são teses de doutorado e 27 dissertações de

mestrado. Podemos agrupá-las em três categorias: 14 tratam da importância do trabalho

com resolução de problemas para os processos de ensino e de aprendizagem da

matemática, 5 versam sobre as estratégias cognitivas utilizadas pelos alunos durante a

16

resolução dos problemas e 11 investigam a dificuldade de resolução dos problemas

matemáticos, alguns focando diretamente a interpretação dos textos matemáticos,

enquanto outros se ligam na compreensão do problema e na articulação dos dados com

estratégias de solução.

Dentre as pesquisas que enfatizam a importância da Resolução de Problemas

como metodologia de ensino, podemos citar Poffo (2011), Dantas (2011), Morais

(2010), Comério (2012), Hoffman (2012), Alves (2006), Redling (2011), Oliveira

(2012), Lima, (2012), Luna (2011), Müller (2015), Obst (2015), Lavigne (2015) e

Feitosa (2015). Todos os autores acima mencionados concordam com Onuchic e

Alevato a respeito da ideia geral de que ensinar matemática através da resolução de

problemas desenvolve a capacidade do aluno de pensar matematicamente e de utilizar

diferentes estratégias em diferentes problemas, melhora sua autoestima e confiança,

reforçando ou construindo uma crença de que a matemática faz sentido. Poffo, por

exemplo, constatou que

[...] os alunos utilizaram seus conhecimentos matemáticos comorecursos para interpretar, analisar e resolver problemas em diversoscontextos. [...] desenvolveram e aprimoraram sua capacidade deinvestigação e perseverança na busca de resultados para a solução dassituações-problema trabalhadas... (POFFO, 2011, p.101).

Os estudos de Santiago (2011), Silva (2012), Lima (2007), Leite (2014) e Lima

(2014) indicam, como já comentado, que há uma forte interação entre a linguagem

matemática e a língua portuguesa quando se foca a compreensão dos enunciados dos

problemas. Dentre outros aspectos, Lima (2014) comparou o uso de expressão oral e

escrita, na descrição das resoluções de problemas por parte dos sujeitos de sua pesquisa,

constatando que o registro oral é, em geral, mais rico do que o escrito e que a mediação

do professor durante a atividade é fundamental para que o aluno avance.

Nas investigações sobre as dificuldades no aprendizado matemático,

encontramos estudos voltados para a metodologia de ensino, para a linguagem

matemática em geral e para os processos de resolução de problemas (Weber, 2012;

Lorensatti, 2011; Moura, 2007; Ligeski, 2013; Rabelo, 1995; Albuquerque, 2007;

Yamasaki, 2014; Araújo, 2015; Freitas, 2015; Loureiro, 2013; Pereira, 2015).

Pacheco (2000, apud Moura 2007) identificou em sua pesquisa alguns fatores

que podem dificultar o trabalho docente com a resolução de problemas: a postura

impaciente do professor, diante das dificuldades apresentadas pelos alunos; vocabulário

17

utilizado nos enunciados dos problemas, inadequados à faixa de idade dos alunos;

insegurança do professor, que leva muitas vezes a uma espécie de algoritmização da

resolução através de passos a serem seguidos. Para Moura (2007), é preciso que o aluno

consiga ativar esquemas, evocar conceitos e criar representações mentais a fim de que

possa produzir soluções para um problema. Além disso, ainda segundo a autora, a

verbalização deve ser trabalhada, já que algumas crianças podem não ter familiaridade

com o conhecimento linguístico e conceitual necessário para entender a situação-

problema apresentada. Brito et.al (1994) concordam que a leitura interpretativa é muito

importante para se chegar à compreensão e resolução de um problema. Nesher e Teubal

(1975, apud Moura, 2007) evidenciaram dificuldades de alguns estudantes em traduzir a

formulação verbal dos problemas para a linguagem matemática correspondente. Os

autores constataram que alguns alunos têm dificuldade em compreender o problema

proposto, devido ao entendimento inadequado das palavras utilizadas no enunciado e do

não reconhecimento das relações matemáticas associadas à situação descrita.

Para tentar minimizar as dificuldades de interpretação dos enunciados, Hoffman

(2012) e Dantas (2011) utilizaram, em aulas de matemática, diversas técnicas de leitura

de textos em diferentes gêneros discursivos, conseguindo perceber avanços na

compreensão dos enunciados dos problemas matemáticos. Duarte et al. (2013)

consideram a atividade com a linguagem matemática peça primordial para a

compreensão dessa importante área do conhecimento. Os autores ainda destacam a

relevância do papel do educador no sentido de facilitar a compreensão e,

consequentemente, a aprendizagem dos alunos.

Podemos inferir que existe um consenso, na literatura científica especializada,

em torno da ideia de se trabalhar a leitura e a escrita em matemática, ainda que não se

consiga, tão frequentemente como seria desejável, colocar essa ideia em prática nas

salas de aula da escola. Segundo Cagliari (2010), há uma tendência, entre os professores

de matemática, de pensar que ler e compreender um texto é um problema que cabe ao

professor de língua portuguesa resolver. Existe ainda uma crença amplamente acatada,

embora muitas vezes não explicitada, de que a língua portuguesa e a matemática são

disciplinas opostas. Smole e Diniz (2001) ressaltam que as habilidades de ler e escrever,

por um lado, e resolver problemas, por outro, têm sido tratadas separadamente no ensino

e que atribuir exclusivamente às aulas de língua portuguesa a responsabilidade de tornar

os alunos competentes leitores e escritores distancia ainda mais a matemática do mundo

18

real, pois ela passa a ser vista apenas reduzida ao trabalho com números e, muitas vezes,

sem significado.

A importância da prática de leitura nas aulas de matemática, de acordo com

Carrasco (2001), está centrada nas possibilidades que ela oferece para o aluno, através

da imersão nos meandros de um texto, a oportunidade de extrair significados daquilo

que se lê. Outro recurso importante, segundo Smole e Diniz (2001), é a oralidade, que

deve ser utilizada para favorecer a aprendizagem da matemática na escola:

Estimulando esse falar, estamos permitindo que os alunos modifiquemconhecimentos prévios e construam novos significados para as ideiasmatemáticas. Dessa forma, simultaneamente, os alunos refletem sobreos conceitos e os procedimentos envolvidos na atividade proposta,apropriam-se deles, revisam o que não entenderam, ampliam o quecompreenderam, e, ainda, explicitam suas dúvidas e dificuldades.(DINIZ; SMOLE, 2001, p.17)

A formulação de problemas, também é considerada importante atividade no

desenvolvimento do ensino da matemática na escola. Para Medeiros e Santos,

[...] na Matemática, a atividade de formulação de problemasmatemáticos é tão importante quanto a resolução de problemas.Ao passarmos à sala de aula, aquela atividade passa a ter, ainda,uma importância primordial para os alunos, uma vez que estáassociada à sua criatividade. Sob este ponto de vista, aformulação de problemas matemáticos constitui um ricopotencial didático ...(MEDEIROS; SANTOS, 2007, p.88).

Pozo (1998) aponta também algumas técnicas que, se exercitadas, ajudariam a

avançar na compreensão dos enunciados de problemas matemáticos. Por exemplo:

expressar o problema com suas próprias palavras; explicar aos colegas em que consiste

o problema; representar o problema em diagramas, figuras etc.; indicar qual é a meta do

problema; apontar onde reside a dificuldade da tarefa; separar os dados relevantes dos

não relevantes; indicar os dados com os quais contamos para resolver a tarefa; indicar

quais os dados que não estão presentes no enunciado, mas que são necessários para

resolver a tarefa; procurar um problema semelhante e que já tenha sido resolvido;

analisar inicialmente alguns exemplos concretos, quando o problema é muito geral;

procurar diferentes situações (cenários, contextos, tarefas etc.) nas quais esse problema

possa fazer sentido.

Machado (2009) propõe o desenvolvimento da capacidade de imaginação, como

complemento à capacidade de contextualização. Segundo esse autor, precisamos saber

lidar com problemas de nossa realidade, mas as abstrações matemáticas residem

19

também no polo das extrapolações e da imaginação. E, nesse sentido, haveria uma

relação natural entre a matemática e os contos de fadas, como também entre a

matemática e a teatralização, esta última diretamente relacionada à imaginação vivida

pelos atores na representação de personagens em histórias fictícias.

A proposta da nossa pesquisa é entender as possibilidades didáticas (e as

limitações) de uma sequência de atividades de sala de aula, construída a partir das

conclusões e indicações da literatura especializada, revisada acima de forma abreviada,

e envolvendo leitura, escrita, formulação de problemas, narração de histórias,

representação através de teatros/mímicas, uso de diagramas e desenhos para a

construção de interpretações de enunciados e resolução de problemas matemáticos.

Assim, a nossa questão de investigação pode ser formulada da seguinte maneira:

Como uma sequência de atividades, elaboradas a partir dos resultados de estudos e

pesquisas sobre Resolução de Problemas, no campo da Educação Matemática, pode

contribuir para o desenvolvimento da capacidade de interpretação dos enunciados de

problemas matemáticos de alunos do sexto ano do Ensino Fundamental?

A decisão de desenvolver a pesquisa com alunos do sexto ano do Ensino

Fundamental se deve ao fato de que, nessa etapa, os alunos estão em uma fase de

transição do Ensino Fundamental I para o Fundamental II, em que se desenvolve ainda

um processo de adaptação ao trabalho com professores específicos para cada disciplina

e a um novo tipo de ambiente escolar. Acreditamos que um trabalho com a linguagem

matemática possa ser de extrema importância nessa transição. Além disso, alunos do

sexto ano podem estar um pouco mais familiarizados com certas expressões e jogos de

linguagem do que em anos escolares anteriores, o que facilitaria, em princípio, a

aceitação, o reconhecimento e o eventual domínio de um vocabulário diferenciado,

pertencente especificamente à linguagem matemática.

20

CAPÍTULO 2

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Construímos, em função das questões identificadas a partir da revisão de

literatura, um conjunto de atividades didáticas para uso em sala de aula, envolvendo

interpretação de enunciados: oralidade, formulação de problemas, descrições,

encenações e mímicas. Trabalhamos essas atividades numa turma do 6° ano do Ensino

Fundamental de uma escola pública do interior de Minas Gerais. A turma era composta

por 23 alunos, porém apenas 22 foram considerados participantes, já que um deles foi

faltoso à maioria dos encontros. Para preservarmos a identidade dos alunos, os

denominamos como A1, A2, A3, ..., A22. Na produção dos dados utilizamos o diário de

campo com as observações da pesquisadora e os registros das atividades realizadas

pelos alunos. Recorremos também ao auxílio de gravação (em áudio e vídeo) das aulas

durante o período de campo.

As atividades foram desenvolvidas pela pesquisadora durante as aulas da

professora de matemática regular da turma, que também auxiliou nos procedimentos de

sala de aula. A realização das atividades foi feita em 18 encontros, perfazendo o total de

4,5 semanas, distribuídas em 3 meses, de março a junho de 2017. As atividades foram

planejadas para cada grupo de encontros, sendo que no primeiro realizamos uma

sondagem inicial, com o objetivo de situar as possíveis dificuldades dos alunos em

relação à interpretação e resolução de problemas, bem como o de comparar com o

desempenho desses alunos na sondagem final, após a realização das atividades

planejadas.

A sondagem inicial constou de problemas variados envolvendo as quatro

operações com os números naturais. Os problemas tinham características diferentes:

alguns exigiam mais de um “passo” para sua resolução, outros demandavam alguma

familiaridade com o raciocínio combinatório, havia problemas que exigiam o uso de

operações sucessivas com números, problemas com mais de uma solução e também

exercícios simples de resolução “direta”, a fim de permitir reconhecer o que os alunos já

sabiam a respeito de certos elementos relacionados com as operações e seus algoritmos.

No segundo encontro, realizamos a discussão dos exercícios constantes da

sondagem inicial. A discussão foi um procedimento realizado sempre depois de cada

bloco de atividades e tinha a finalidade de permitir aos alunos avaliar a correção ou

21

incorreção de suas estratégias, bem como as possíveis limitações, além de oferecer-lhes

a possibilidade de expor e discutir as suas resoluções, proporcionando-nos um melhor

entendimento das dificuldades enfrentadas por eles no desenvolvimento das atividades.

No terceiro encontro iniciamos o primeiro bloco de atividades. Elas abordavam a

leitura e a escrita, bem como interpretação, descrição e formulação de problemas. Tais

tarefas foram realizadas individualmente. Smole e Diniz (2001), Carrasco (2001),

Fonseca e Cardoso (2005) dentre outros, afirmam que esses tipos de tarefa abrem

possibilidades didáticas de superação de dificuldades relativas à compreensão do

enunciado de problemas matemáticos. A formulação de problemas, para Dante (2009) e

Medeiros e Santos (2007), caracteriza uma metodologia útil no sentido de exercitar a

criatividade e de favorecer as percepções dos alunos a respeito da estrutura dos

problemas matemáticos. No quarto encontro prosseguimos com as atividades do Bloco

1 e no encontro seguinte, fizemos a discussão.

O sexto e sétimo encontros foram utilizados para as atividades do Bloco 2, que

envolviam leitura e interpretação de texto, problemas com “excesso” de dados (alguns

dados irrelevantes), problemas com várias soluções e problemas sem solução. De

acordo com Mandel (1994), os problemas sem solução permitem que os alunos

relativizem criticamente suas limitações no entendimento do problema, a partir da

percepção de que, em alguns casos, os dados fornecidos não permitem produzir uma

solução válida, o que reforça a compreensão estrutural do problema (verificação das

relações entre os dados e a pergunta). Além disso, o erro passa a ser visto, por muitos

alunos, como uma possibilidade que transcende o simples conhecimento matemático e

pode se localizar, de alguma forma, na própria formulação do problema (MANDEL,

1994). Esta atividade foi realizada em dupla. No oitavo encontro realizamos a discussão

das tarefas constantes desse bloco.

O nono, décimo e décimo primeiro encontros foram utilizados no

desenvolvimento das atividades do Bloco 3, que tratava de questões envolvendo a

teatralização de situações-problema, encenações, mímicas e desenhos. Machado (2009),

propõe as atividades de teatralização e mímica visando o desenvolvimento de diferentes

formas de linguagem na comunicação de ideias, além de servir como exercícios

concretos de aprofundamento, tanto da compreensão como da contextualização das

ideias envolvidas nos enunciados. Os desenhos e diagramas são enfaticamente sugeridos

por vários autores (e.g., Pozo, 1998), pois ajudam na compreensão e síntese dos textos

22

dos enunciados. A atividade foi realizada em grupos de 4 pessoas e a discussão das

tarefas desse bloco aconteceu simultaneamente com a execução da atividade.

No décimo segundo e décimo terceiro encontros realizamos as atividades do

Bloco 4, que envolviam identificação de dados relevantes e irrelevantes em problemas

matemáticos, baseadas nas técnicas propostas por Pozo (1998). A atividade foi realizada

em duplas e a discussão, assim como no bloco anterior, foi realizada à medida em que

as questões eram finalizadas pelos alunos.

Do décimo quarto ao décimo sexto encontro, trabalhamos o Bloco 5 que

envolvia problemas com dois ou mais passos. Desenvolvemos nesse bloco novas

atividades com formulação de problemas, de acordo com as sugestões de Dante (2009) e

Medeiros e Santos (2007). No décimo sétimo encontro realizamos a discussão das

tarefas do Bloco 5. Todas as tarefas envolviam, propositadamente, o trabalho com a

oralidade, conforme indicam Smole e Diniz (2001).

O décimo oitavo e último encontro foi destinado à sondagem final, com

atividades similares às da sondagem inicial, a fim de possibilitar algum tipo de

comparação.

O conjunto de questões compondo cada uma das atividades está mostrado nos

APÊNDICES, ao final deste texto.

23

CAPÍTULO 3

OS DADOS E ALGUMAS OBSERVAÇÕES PRELIMINARES

Apresentamos os dados juntamente com a descrição da realização das atividades,

separadas por blocos, comentando, no mesmo movimento, os registros e a participação

dos alunos.

3.1 Bloco 1

Foram realizadas, em 3 encontros, as atividades do bloco 1, que abordam leitura,

escrita, interpretação, descrição e formulação de problemas, desenvolvidas

individualmente. Os dois primeiros encontros foram destinados à realização das

atividades pelos alunos e no terceiro foi feita a discussão geral.

No primeiro dia trabalhamos leitura, escrita, interpretação e descrição. Pedi aos

alunos que lessem com atenção o texto “Tão visível e vivenciada quanto despercebida”

para depois responderem algumas questões relacionadas ao texto lido.

Figura 1: Texto do exercício 1 do Bloco 1

Fonte: Dantas 2011.

24

Ao final do texto, seguiam-se cinco perguntas:

a) Você gostou do texto? Por quê?

b) Podemos afirmar que esse texto é um poema? Por quê?

c) Você acha que a matemática está presente na sua vida? De que forma?

d) “Nos sólidos geométricos,

Das rochas a beira mar,”

Por que o autor classificou as rochas como sólidos geométricos?

e) Associe alguns elementos citados no texto a figuras geométricas que você

conhece.

Comentários da pesquisadora: A7, uma aluna que costuma conversar e brincar

muito durante as aulas e geralmente participa pouco das atividades, perguntou:

professora, o que é “ambrolhos”? (Referia à palavra “abrolhos”, do texto). Em outro

momento a mesma A7 pergunta, em voz alta: “professora, porque esse texto é um

poema?” (talvez querendo obter a resposta para a pergunta da letra b) e A17 responde:

“porque ele rima”.

Comparando o registro na folha de respostas com o que foi dito em sala durante

as atividades, pode-se conjecturar que A7 não fez uma leitura atenta do texto. Perguntar

o significado de “ambrolhos”, quando está escrito abrolhos no texto é uma indicação

dessa possível desatenção na leitura, num sentido estrito (a grafia da palavra). Por outro

lado, nas respostas apresentadas na figura 2 abaixo, quando perguntada se gostou do

texto, A7 responde simplesmente “As rimas” e explica: “Porque combina”. Essa é outra

indicação de desatenção na leitura, agora no sentido semântico, ou seja, a resposta não

parece ter sido construída para a pergunta efetivamente formulada. Talvez pudesse

constituir uma resposta adequada para uma pergunta do tipo “O que você gostou no

texto?”. Destacamos esse ponto por sua importância crucial na interpretação de textos

matemáticos, como referido recorrentemente na literatura que trata dessa temática,

especialmente na resolução de problemas. Um problema matemático, na escola, quase

sempre termina com uma pergunta, cuja resposta deve ser construída a partir do que foi

dado no enunciado. Assim, fica muito difícil, se não impossível, produzir estratégias

adequadas para a resolução do problema, se a pergunta não é muito bem compreendida.

25

Figura 2: Exercício 1 bloco 1, respostas dos itens a e b da aluna A7

Fonte: Dados da pesquisa.

As respostas para a pergunta da letra a) indicam que a maioria dos alunos gostou

do texto e soube expressar a razão que os levou a gostar. Eis algumas das razões

apresentadas: “Sim, porque a mensagem é boa”, “Sim, porque é muito criativo”, “Sim,

porque fala da importância da geometria”, “Sim, porque gosto de poemas”. Embora as

frases sejam curtas e pouco elaboradas em termos das ideias expressas no texto, estão

bem construídas, objetivas e adequadas, como respostas possíveis à pergunta formulada.

Durante a atividade em sala, perguntei aos alunos se haviam gostado do texto.

A9 respondeu que não. Em seu registro, fica confirmada essa negativa:

Figura 3: Exercício 1 bloco 1, respostas a e b do aluno A9


A9 afirma que o texto é um poema “porque ele tem muitos parágrafos”.

Como diz não gostar de poemas na letra a), pode-se inferir que este aluno não

gosta de textos com muitos parágrafos. Vários alunos responderam da mesma

forma, embora, ao contrário de A9, tenham gostado do texto. Outros citaram a

existência das rimas, dica dada em voz alta por A17. A8 diz que é “porque ele

tem as frases bem curtas”.

Figura 4: Exercício 1 bloco 1, resposta de A8

26

Na letra c) perguntava-se:

c) Você acha que a matemática está presente na sua vida? De que forma?Fonte: Dados da pesquisa.

A8 cita como exemplo o café da manhã, quando utiliza meia xícara de leite e “a

outra de café”, referindo-se provavelmente à outra metade, de modo a associar a

situação com o uso das frações.

Muitos alunos deram exemplos do cotidiano, como a expressão numérica da

quantidade de roupas, frutas, sapatos e também “pela soma de dinheiro que nós vamos

dar para comprar um pão na padaria”, conforme registro de A18. Alguns mencionaram

as formas geométricas, como quadros e cadernos retangulares etc.

A9 também cita a utilização do dinheiro no cotidiano:

Figura 5: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A9

27


Podemos perceber uma dificuldade com a escrita e a expressão das ideias. As

palavras “condo”, “vomo”, “pissaria”, “lachonete”, “soma” (no lugar de somar)

compõem uma frase que, além das falhas gramaticais, não se finaliza adequadamente,

remetendo o leitor a não mais que uma conjectura do que se pretendia dizer. Esse tipo

de dificuldade na expressão de ideias por escrito pode facilmente se reverter para a

leitura, comprometendo a compreensão de um texto em que a precisão do significado

das sentenças tem um sentido fundamental, como nos enunciados de problemas

matemáticos.

A3 responde a pergunta da letra c) conforme figura abaixo.



Neste caso também, não se pode saber exatamente a que A3 se refere. Pode ser

que esteja associando a matemática à resolução de problemas da “vida real”, mas

poderia estar se referindo a seus próprios problemas com a matemática, na escola.

Nas respostas à pergunta da letra d), temos diferentes registros parecidos com o

de A1, mostrado na figura abaixo.



Como destacamos acima, alguns alunos responderam como A1, procurando

justificar a classificação do autor com argumentos de ‘figuras planas e não-planas’. No

28

caso de A1, se trocarmos a expressão figura geométrica por sólidos geométricos a

resposta fica bastante razoável (desconsiderando a gramática, no que tange à

concordância). Outras respostas semelhantes registradas foram: “Porque a rocha tem um

formato parecido com várias figuras geométricas”, “Porque cada uma delas tem seu

tamanho e formato”, “Porque eles tem o mesmo formato”.



Também há registros parecidos com o de A6, em que fica claro o entendimento

de que um sólido tem 3 dimensões.

Outros, como A17 e A11, justificaram a classificação do autor pelo formato das

rochas serem o de sólidos curvilíneos, como se pode ver nas figuras abaixo.





De um modo geral, os alunos parecem ter entendido a pergunta, ainda que nem

todas as respostas tenham sido matematicamente corretas.

29

Na letra e), pedia-se para associar elementos do texto com figuras geométricas

que eles conheciam. A maioria dos alunos, como A12, desenhou figuras espaciais ou

planas, colocando os respectivos nomes, mas não fizeram a associação solicitada com os

elementos do texto, o que sugere que podem não saber o significado da palavra associar

ou que não viram necessidade de explicitar os elementos do texto associados às figuras

desenhadas. Ou, ainda, que fizeram uma leitura rápida, passando a responder a pergunta

sem uma releitura do texto e/ou da própria pergunta que procuravam responder. No

entanto, como foi explicado o significado de ‘associar’, quando da apresentação da

atividade aos alunos, talvez seja razoável concluir que a dificuldade esteja na execução

efetiva da associação pedida e menos no significado da palavra. Por outro lado,

observamos que não foi pedido que explicitassem os elementos do texto associados às

figuras geométricas, o que pode dar margem a um entendimento de que era necessário

listar apenas as figuras geométricas que o aluno conhece, supondo-se uma referência

implícita a certos elementos do texto, como no caso da resposta de A12, mostrada

abaixo.



Na tarefa de número 2, houve dúvida geral sobre o que deveriam fazer. O

enunciado era:

2) Em cada caso desenhe a figura geométrica pedida e escreva uma frase (ou mais de uma) que descreva suas características essenciais.

a) Desenhe um retângulo Descrição

b) Desenhe um triângulo Descrição

c) Desenhe um quadrado Descrição

d) Desenhe um círculo Descrição

30

A3 perguntou o que poderia escrever na descrição, talvez por não saber atribuir

um significado a ‘características essenciais’.



A maioria dos alunos demonstra confundir figuras planas com espaciais. A3

desenha um retângulo e diz que tem 6 lados. Talvez esteja contando com as “faces” do

retângulo (frente e verso), por exemplo.

Devido ao grande número de dúvidas nessa questão, expliquei que as

características essenciais precisam identificar a figura, frente a outras. Que explicassem

o que faz o triângulo ser triângulo e o que faz o quadrado ser quadrado, o que os

diferencia das outras figuras.

A7 escreveu “uma caixa de sapato”, e desenhou uma figura espacial que é

formada de faces retangulares.

Figura 13: Exercício 2 bloco 1, resposta da aluna A7


31

Figura 14: Exercício 2 bloco 1, respostas da aluna A1


A1 desenhou duas figuras e descreveu que é plano, mas “...se você juntar as

formas se forma não plano...” Na letra b, ela descreve o triângulo como “formado por 3

faces”. A1 parece estar confundindo faces com lados, além de mostrar certa confusão na

distinção entre figuras planas e espaciais. São várias as indicações de uso de uma

linguagem pouco precisa nas respostas a essas questões. Isso pode complicar bastante o

entendimento de enunciados de problemas matemáticos, não apenas pela linguagem

imprecisa, mas também pela falta de clareza nos conceitos.

A17 descreve e exemplifica, talvez pensando ainda na associação da tarefa

anterior.

Figura 15: Exercício 2 bloco 1, respostas do aluno A17


32

A15, quando diz que “seus lados não são idênticos”, parece estar tentando

diferenciar o retângulo do quadrado. No entanto, percebe-se que não concebe a figura

numa posição em que os lados maiores estejam na vertical. Como este aluno pensaria

um retângulo com os lados maiores transversalmente colocados em relação à vertical?

Será que conseguiria aceitar que um quadrado é um retângulo? Num determinado

problema, isso pode ser importante. Entretanto, essas classificações encaixantes (todo

quadrado é um retângulo, todo retângulo é um paralelogramo etc.) podem ser bastante

artificiais, considerando-se que, na linguagem natural, não se pensa um quadrado como

um retângulo, por exemplo. Quadrado é quadrado e retângulo é retângulo. A lógica de

uma classificação encaixante precisa ser fortemente trabalhada. Ver figura 16 abaixo.

Figura 16: Exercício 2 bloco 1, resposta das letras a e b do aluno A15


A10 apresentou uma descrição de círculo que poderia se aplicar igualmente à

esfera. Além disso, não parece fazer sentido para qualquer figura plana. Nenhuma figura

plana “pararia em pé”, exatamente por ser plana e não possuir uma dimensão que lhe

permitiria parar em “pé” (o apoio teria que ter três dimensões). Ver figura 17, abaixo.

Figura 17: Exercício 2 bloco 1, resposta da aluna A10


33

É muito importante, em termos da pesquisa, observar as dúvidas e eventuais

incorreções manifestadas pelos alunos, as quais se referem não apenas ao conhecimento

matemático em si, mas muitas vezes, e de modo fundamental, às interpretações das

perguntas e, consequentemente, ao encaminhamento da construção das respostas.

Limitações no vocabulário, tanto para se expressar como para entender o que se pede,

ficam claras nas respostas a esta questão. Por outro lado, a percepção dessas limitações

só se torna possível com a análise das respostas às questões da atividade. É claro que em

algum momento é preciso que o aluno da escola entenda o que significa a expressão

“propriedades que caracterizam” certa figura geométrica, mas parece que não basta que

o professor explique. É preciso vivenciar situações em que o significado dessa

expressão tenha um papel importante, como, por exemplo, nessa questão 2. Além disso,

pode-se notar ainda quão crucial para o desenvolvimento matemático dos alunos é o

professor não se restringir à matemática em si, na discussão das respostas apresentadas.

Mais do que conhecer ou vir a conhecer o que caracteriza matematicamente um

retângulo, por exemplo, talvez seja o aluno desenvolver uma reflexão e um eventual

entendimento do que significa, dentro do seu processo de aprender a matemática

escolar, características de uma figura. Entender que não se trata de apenas dizer

propriedades que uma determinada figura possui, mas perceber as propriedades que, em

seu conjunto, a distinguem de qualquer outra. É claro que isso envolve muita

matemática, em si, mas é importante notar que na discussão, em uma sala de sexto ano,

daquilo que caracteriza uma dada figura geométrica, correm inseparáveis as ideias

estritamente matemáticas e a busca de uma precisão no uso e na interpretação da

linguagem, adequando-se esses dois aspectos, ao estágio de escolaridade dos alunos. Por

exemplo: as respostas de A3 e A7 à tarefa 2 do bloco 1 que foram descritas acima nas

figuras 12 e 13 respectivamente, mostram que ambos têm noção do que seja um

retângulo. Porém, muitas vezes é preciso ir além de uma noção vaga, embora isso não

signifique necessariamente tentar alcançar precocemente (isto é, sem um contato

suficientemente familiar com o objeto) as definições formais que podem ser em certos

casos até impossíveis de serem trabalhadas em determinado estágio do processo de

escolarização. Achar o ponto de equilíbrio, em cada caso, precisa ser uma preocupação

constante do professor. É bem provável que não haja regras gerais, quanto a este ponto.

No encontro seguinte, prosseguimos com a realização das atividades do bloco 1,

que envolviam interpretação de texto e formulação de problemas.

34

No primeiro exercício, foi exposto um cartaz cujo texto os alunos foram

solicitados a reproduzir, depois de visualizá-lo por 5 minutos. Foi pedido que deixassem

as folhas das atividades viradas para baixo. Colei o cartaz no quadro e eles começaram a

ler imediatamente.

O cartaz ficou exposto durante o tempo pré-determinado, quando, então, foi

retirado. Pedi que virassem a folha de atividades e disse que deveriam recontar o texto

com suas próprias palavras. Mais precisamente, o pedido era assim: 4) Reconte, com

suas palavras, o trecho do texto que lhes foi apresentado. Eles pediram diversas vezes,

reclamando muito, para que eu retornasse com o cartaz. Respondi que não seria possível

e pedi novamente que escrevessem com suas palavras o que lembravam do texto. A

intenção da atividade era exercitar a memória de leitura deles (sentido e enredo do texto

do cartaz), além de perceber como estaria seu vocabulário na reprodução do que haviam

apreendido.

Figura 18: Trecho de “A casa sonolenta” (Napping House) de Audrey Wood

Fonte: Fábulas e Contos (2013)

Um aluno disse que se lembrava do cachorro apenas. Outro aluno disse: o

cachorro estava dormindo! Alguns disseram: na barriga da avó! E assim foram

desenvolvendo suas atividades. Nos registros das atividades, encontramos três

categorias de reproduções do texto. Sete alunos reproduziram com mais detalhes,

conforme registro de A18 abaixo.

35

Figura 19: Exercício 4 bloco 1, resolução da aluna A18


Dez alunos fizeram uma espécie de resumo, conforme registros abaixo.



Figura 21: Exercício 4 bloco 1, resolução do aluno A12


A6 foi bem sucinta, mas conseguiu mencionar as informações principais do

texto. A12 trouxe menos aspectos do texto original, lembrou-se do cachorro que dormiu

e lembrou-se de que estava em cima da avó. Porém traz uma referência à avó que pode

ter associado com a palavra ‘roncando’ do texto original. Ele escreveu “redonda”, talvez

por começar com a letra r também, talvez por associar com alguma ideia matemática.

E a outra categoria são de alunos que não recontaram o trecho, escrevendo

apenas uma frase, talvez por não saber o significado de ‘recontar’, ou por não se

lembrarem do texto (apesar de alguns alunos terem falado alto em sala vários aspectos

do trecho em questão). Em alguns casos, talvez, também por falta de interesse no

trabalho.

36



A8 escreveu apenas “É um poema.” A8 é uma aluna que participou fortemente

das atividades em grupo, onde utilizava a oralidade. Percebo que na escrita e em

atividades individuais ela parece não ter interesse ou não se envolver por ter

dificuldades que não se sente capaz de enfrentar de forma positiva.



A7 escreve “cochicha” conforme figura acima. Talvez ela possa ter associado

com a palavra ‘cochilar’, que constava no texto original. Como não é o primeiro registro

de troca de palavras por A7, podemos incluir a possiblidade de algum tipo de dislexia,

que, de acordo com International Dyslexia Association, é “considerada um transtorno

específico de aprendizagem, caracterizada por dificuldade no reconhecimento preciso e/

ou fluente da palavra, na habilidade de decodificação e em soletração” (IDA, 2002,

apud ABD, 2016). Não podemos considerar que ela tenha recontado o texto, apenas

registrou uma das ideias do texto, talvez a principal, que é a de ‘dormir’.

37



No registro de A21, podemos notar que ele menciona algumas ideias do texto

original, mas de forma bastante confusa.



A20 também refere-se à ideia de dormir, mas sem recontar e numa construção

que parece sem sentido.

Recordemos que na resolução de um problema, um elemento que acaba

ajudando bastante é a retenção na mente, a partir de certo número de releituras do

enunciado, da situação problemática como um todo, de modo a poder trabalhar sobre as

relações entre os dados e a pergunta, sem uma dependência total de reler a cada vez o

enunciado desde o começo. Isso permite tornar a situação mais “real” para quem está

tentando entendê-la, colocando-se como alguém que poderia estar participando da

situação. É claro que pode-se abrir mão do quantitativo exato dos dados, mas em algum

momento é preciso reter na memória quais são os elementos fornecidos pelo problema,

ainda que não se retenha os valores exatos. Outro elemento importante que faz uso

dessa retenção é a construção de figuras ou diagramas que sintetizam a situação,

38

facilitando a fixação da atenção, durante o planejamento de estratégias de resolução,

apenas nos aspectos matematicamente relevantes da situação e desprezando dados

irrelevantes. Portanto, esse tipo de atividade, proposta e comentada acima, não se

restringe à memória pura e simples, mas também e, principalmente, à retenção das

ideias centrais da situação descrita.

A questão seguinte foi essa, dada na figura 26, abaixo.

Figura 26: Exercício 5 bloco 1

Fonte: Tudo Interessante (2015)

Os alunos responderam essa questão de modo mais ou menos semelhante.

Citaram que havia um menino e uma menina deitados em uma cama, alguns disseram

ser mãe e filho, outros disseram ser um casal. Mencionaram que o menino lia um livro e

a menina mexia no celular, comentaram que havia almofadas, xícara na janela etc. Um

aluno ainda disse ser uma casa de praia. Alguns destacaram que o casal se olha,

conforme descrição de A1, a seguir.

39



Alguns registros ficaram diferentes dos demais. No registro de A8, ela apenas

enumera o que vê na imagem, sem criar uma situação conforme figura abaixo.



A8 ainda cita algumas partes do corpo separadamente, talvez isso seja para ela

uma descrição com o máximo de detalhes. Cita a palavra “braco” duas vezes,

provavelmente querendo escrever braço.

Outro registro diferente foi o de A7, que não descreveu com detalhes a imagem,

apenas escreveu: “eles gostavam de ler livros”.



O próximo exercício era sobre formulação de problemas:

6) Invente problemas, cujas soluções sejam dadas pelas formas apresentadas

abaixo.

40

a) Solução: 1.345 + 208 = 1553

b) Solução: 288 – 322 = 144

144 + 12 = 156

c) Solução: 90 + 15 = 105

d) Solução: 12.467 árvores.

e) Solução: Cada um recebeu 75 figurinhas.

Surgiram algumas dúvidas de como teriam que ser os problemas, recebendo

então a informação de que os enunciados teriam que estar de acordo com as soluções

dadas abaixo.

O problema relativo à solução dada na letra a), que apresentava apenas uma adição, a

turma conseguiu formular bem.



Na letra b, houve um erro na digitação do exercício, porém, depois de impresso,

resolvemos deixar para ver o que aconteceria. Podemos notar que há uma subtração de

um número menor por um maior (eles ainda não conhecem os números negativos) e

além disso, mesmo que fosse 322 – 288, a resposta não seria 144 e sim 34.

Figura 31: Exercício 6 bloco 1, letra b

Fonte: Elaborado pelo autor.

41

Alguns alunos questionaram, disseram não estar entendendo. Disse a eles que

fizessem do jeito que conseguissem. Alguns deixaram em branco e outros fizeram

trocando o 288 e o 322 de lugar, porém deixando o 144 como resposta, sem conferir se

realmente estava certo.

Figura 32: Exercício 6 bloco 1, letra b resolução de A6


Figura 33: Exercício 6 bloco 1, letra b, resolução de A13


A13 utiliza “meu pai comeu” para representar a subtração e “emprestei” no

sentido de ‘dar’ para representar a adição em seguida.

Figura 34: Exercício 6 bloco 1, letra b, resolução de A17


42

A17, apesar de utilizar termos coerentes com as operações como “perdeu” e

“ganhei”, começa falando do professor, depois diz “ganhei” (falando dele próprio) e na

pergunta final escreve “ Com quanto ela ficou.”

Na letra c), que envolvia apenas uma adição, como na letra a), a turma em geral

foi bem.

c) Solução : 90 + 15 = 105

Escreveram problemas do tipo: “Juliana foi para a rua e comprou uma blusa de

15 reais e uma calça de 90 reais. Quantos reais Juliana gastou?” ou “ Eu tenho 90 reais e

meu avô me deu mais 15, quantos reais tenho agora?”

Na letra d), cuja solução era: 12.467 árvores, alguns utilizaram adição de dois

valores para chegar a este, outros utilizaram a subtração ou também divisão, em geral

foram bem.

A4 por exemplo escreveu: “Em um parque tem 9.578 árvores. Os alunos de uma

escola plantaram mais 2.889. Quantas árvores o parque tem agora?”

Alguns alunos utilizaram o valor da solução dado no problema formulado,

porém sem ele ser a solução. Por exemplo, A11 escreveu: “Em um parque gigante tem

12.467 árvores, foram cortadas 10.005 árvores, quantas árvores sobraram?”

Na letra e), cuja solução era: Cada um recebeu 75 figurinhas. A11 escreveu: “Eu

tem 150 figurinhas, vou dividir em entre eu e meu irmão. Cada um recebeu 75

figurinhas, perdi 30. Com quantas fiquei.” A11 formula o problema com uma divisão de

150 por 2 para chegar aos 75, porém parece não perceber que o problema precisaria

terminar por aí para se ter a solução desejada. Ele acrescentou dados como “perdi 30” e

a pergunta final não se refere à solução dada no exercício. Cerca de metade dos alunos

que fizeram a lera d), formularam problemas com a ideia da divisão, mesmo que alguns

não tenham realizado a operação corretamente. A outra metade formulou problemas

com ideia de soma ou subtração: “Eu tinha 50 figurinhas e ganhei mais 25, com quantas

eu fiquei?” ou também conforme A10 “Pedro quer dar figurinhas para um amigo, no

momento ele tem 150. Quantas vai dar para o amigo?” Já supondo talvez, que ‘Pedro’

daria a metade de suas figurinhas para o amigo.

O número 7, último exercício do bloco, também tratava de formulação de

problemas. Um pouco diferente do exercício anterior, ele coloca como solução uma

expressão envolvendo multiplicação e soma. Seu enunciado é:

43

7) Imagine que é um professor do sexto ano e que pretende colocar para seus alunos

um problema que possa ser resolvido através da conta 3 x 5 + 2. Invente um problema

cuja solução seja dada por essa conta.

Nesse exercício, 6 alunos deixaram em branco, três fizeram incompleto, como é

o caso de A21, que escreveu apenas “tenho o quíntuplo de 3”, sete alunos formularam

um problema em que se pedia apenas para resolver a expressão, ou citando os valores e

operações como o exemplo de A12, o qual, embora quase tautológico, mostra que o

aluno entendeu que a expressão 3x5+2 indica que a multiplicação por 5 deve ser feita

em primeiro lugar e só então se faz a soma com 2.

Figura 35: Exercício 7 bloco 1, resolução de A12


Apenas cinco alunos conseguiram formular um problema, onde a solução seria

encontrada através da expressão dada, como foi o caso de A5.

Figura 36: Exercício 7 bloco 1, resolução de A5


44

No terceiro encontro foi realizada a discussão das atividades do bloco 1.

Durante a discussão, muitos se propuseram a expor suas soluções para a turma.

Conversamos sobre todas as atividades e pude notar que a maioria dos alunos participou

bastante na hora de contar para a turma os problemas que formulados.

Em minha percepção, as atividades do bloco 1 foram interessantes para

trabalhar, entre outros aspectos, a memória, o vocabulário, a imaginação, especialmente

importantes para fortalecer a capacidade de retenção mental de uma situação-problema,

juntamente com o que é conhecido (dado) e o que é pedido (incógnita) na situação em

questão. Senti que foi importante também, para os estudantes, a oportunidade de criar e

expor para a turma seus próprios enunciados de problemas. A experiência de formular

problemas parece ter contribuído para o desenvolvimento de maior segurança para

expor suas ideias, uma vez que eles mesmos haviam criado os problemas. Sentiram-se

confiantes para falar a respeito do que eles próprios haviam inventado. Estar numa

situação de inventar um problema pode deslocar o aluno de uma posição subalterna em

relação ao saber (“tenho que entender a lógica que vem de outrem”) para uma posição

em que os outros precisam entender a lógica de sua própria criação. Isso pode lhes dar a

segurança referida acima, no sentido de que se sentem capazes de criar e não apenas de

receber, prontas, as criações de outrem (seja do professor, do livro, do colega mais

aplicado etc.). Isso vai ao encontro das ideias de Dante (2009) e Medeiros e Santos

(2007).

3.2 Bloco 2

As atividades do bloco 2 foram realizadas em três encontros. Envolviam leitura,

interpretação de texto, problemas com excesso de dados, problemas com várias soluções

e problemas sem solução. As atividades foram realizadas em dupla.

No primeiro encontro trabalhamos leitura e interpretação de texto. No segundo,

trabalhamos problemas com excesso de dados, problemas com várias soluções e

problemas sem solução; e no terceiro realizamos a discussão.

O primeiro exercício tratava de um problema, seguido de 5 questões

relacionadas a ele, conforme figura abaixo.

45


Fonte: Adaptado de Ferraz (2016)

Formaram-se 8 duplas e 2 trios. Na letra a), não tiveram dúvidas. A maioria

realizou a multiplicação de 52 por 40, demonstrando entender o que se pedia no

problema. Apenas um trio não resolveu a questão, escrevendo respostas para as quais

não conseguimos dar sentido.

Na letra b), durante a realização da atividade, os alunos tiveram dúvidas com

relação à palavra ‘lucro’. Explicamos várias vezes o que significava lucro neste

contexto, porém, apenas 4 duplas realizaram a subtração de 120 por 52. Duas duplas

multiplicaram 120 por 40, sendo que uma delas deixou o resultado dessa conta como

resposta; e a outra subtraiu 2080 do resultado, calculando o lucro de José em toda a

encomenda. Um dos trios multiplicou 120 por 52 e o outro escreveu respostas para as

quais não encontramos sentido. Uma dupla subtraiu 120 de 2080. Talvez essa questão

tenha ficado difícil pelo fato do significado da palavra ‘lucro’ ser desconhecido da

maioria. Durante a discussão desse exercício, perguntei o que era lucro. Responderam:

“É quanto ele vai ganhar a mais”. Reforcei que era a diferença entre o que ele recebeu e

o que ele gastou. Expliquei que ele teria que incluir, no custo, o tempo de trabalho gasto

para fazer os armários.

Quanto à letra c), seis duplas realizaram a multiplicação das fileiras dos azulejos

16 x14 e, dessas, apenas 4 dividiram o resultado por 18, que era a quantidade de

azulejos por caixa. As demais fizeram a soma de 16 com 14, multiplicação de 14 por 18

46

e até divisão de 16 por 14. Durante a discussão, perguntei a eles quantos azulejos havia

na parede e alguns disseram que precisava somar 14 com 16. Alguns disseram que teria

que multiplicar.

Na letra d), apenas 3 duplas realizaram a multiplicação de 12 por 34. Esse

exercício dependia da dupla ter conseguido resolver a letra anterior. Uma dupla

multiplicou 52 por 34, talvez pensando no gasto de José, na letra a), que era 52 reais.

Na letra e), a maioria realizou corretamente a soma de 120 com 60, totalizando

os 180 que José gastaria, por dia, com a mão de obra. Apenas 3 duplas pareceram não

ter entendido o que era pedido. Uma delas multiplicou 120 por 60.

No exercício 2 deste bloco, havia uma bula de remédio, seguida de cinco

perguntas relacionadas à bula.


47

Fonte: Cócco e Hailer (1999)

Os alunos em geral parecem ter conseguido interpretar corretamente o texto da

bula e entender o que era pedido. Na letra a), todas as duplas e um dos trios marcaram a

resposta correta, indicando entender que a ‘composição’ do medicamento são ‘os

elementos que estão presentes no remédio.’ Também responderam qual era a

composição do medicamento. O outro trio deixou em branco a questão. Na letra b)

também não houve dúvida.

Na letra c), a maioria respondeu “1 comprimido por dia”. Embora alguns tenham

respondido somente “1 vez ao dia”, parecem ter entendido a questão, já que a dosagem

para adultos era ‘um comprimido duas vezes ao dia’. O mesmo trio seguiu escrevendo

respostas que nos pareceram sem sentido, sem apresentarem dúvidas ou pedirem ajuda à

professora.

Na letra d) não houve dúvidas e a maioria conseguiu interpretar quais eram os

componentes encontrados em maior e menor quantidade no medicamento.

A maioria também conseguiu resolver corretamente a letra e), apesar de

precisarem relacionar a posologia para adultos com a quantidade de comprimidos por

embalagem. Uma dupla dividiu 50 por 2, e outra respondeu “1 embalagem”, talvez por

terem confundido com a posologia para crianças.

No segundo encontro, pedi que continuassem com suas duplas e trabalhamos

problemas com excesso de dados, problemas com várias soluções e problemas sem

solução. O exercício 3 pedia que sublinhassem as informações que não eram necessárias

para a resolução dos problemas dados, conforme segue abaixo.

48



Em geral grifaram conforme registro da dupla A1 e A5, a seguir:

Figura 40: Exercício 3 bloco 2, resolução da dupla A1 e A5

Fonte: Dados da pesquisa

Parecem ter percebido quais informações eram irrelevantes para a resolução dos

problemas, embora na letra b), ainda pudessem ter grifado o trecho “(...) na sexta-feira,

na sessão das 20 h”. A maioria não grifou esse trecho.

49

Figura 41: Exercício 3 bloco 2, resolução da dupla A20 e A21


Durante a discussão desse exercício, os alunos em geral mostraram-se

interessados, quiseram expor para a turma as informações que haviam grifado. Notei

que estavam usando corretamente os termos ‘relevante’ e ‘irrelevante’, os quais já

haviam sido usados por mim em algumas situações na sala.

O exercício 4, último do bloco 2, pedia que resolvessem os problemas e

explicassem com haviam pensado para resolver.


Fonte: Elaborado pela pesquisadora, inspirada no livro L’age du Captain.

Na letra a), em geral realizaram a soma 25 mais 32 para responderem quantas

pessoas havia no total. Algumas duplas ignoraram a segunda pergunta, outras

50

responderam não saber quantas aeromoças estavam no vôo. Note-se que “não saber

responder” é bastante diferente de “não há dados suficientes para responder”. Apenas

um trio respondeu “57 pessoas, a quantidade de aeromoças não da para saber pois o

problema não dá informações”. Nem todas as duplas explicaram como pensaram para

resolver, mas as que explicaram, disseram ter somado para descobrir o total de pessoas.

Durante a discussão, notei que estavam debatendo entre as duplas o modo como

haviam resolvido o exercício. Sobre a quantidade de aeromoças, uns disseram que

precisava subtrair, embora nos registros ninguém tenha subtraído. Outros disseram que

não tinha jeito de resolver. Depois da discussão, perguntei novamente quantas pessoas

havia no total e responderam “57”. Perguntei quantas aeromoças e responderam

prontamente “não dá pra saber”.

Na letra b), temos respostas como: “15 de 10 e uma de 5”, “10 de 10 e 11 de 5”.

Duas duplas responderam: “2 notas de 5 e 10 notas de 10”. Durante a discussão li o

problema para a turma e alguém disse: “ele usou 10 de 10 e 11 de 5!” Perguntei se

alguém havia feito diferente e responderam: “15 de 10 e 1 de 5!” Então dei outros

exemplos e mostrei a eles que era um problema com mais de uma solução. Na minha

percepção eles se mostraram surpresos.

Na letra c) em geral responderam “3 sabonetes” explicando que dividiram 12 por

4 para saber. Algumas duplas ignoraram a segunda pergunta, apenas uma a respondeu:

“4 tipos de sabonete”. Durante a discussão, quando fiz a segunda pergunta para a turma,

uns responderam 4 e outros responderam 2. Perguntei: “será que o tipo é diferente?”

Responderam em ‘coro’: “não tem como saber!” Percebi, com a discussão desse

exercício, que estavam mais atentos às informações dos problemas.

Na letra d), estava o clássico problema da Idade do Capitão. Em seis registros

realizaram a soma 26 + 10, alguns explicando que somaram a quantidade de cabras e

carneiros para encontrar a idade. Nos outros 3 registros responderam: “não dá para

responder”, “não dá para saber” e “está perguntando coisa que não tem nada haver

(sic)”, conforme registro do exercício da dupla formada por A8 e A18 (a seguir).

Figura 43: Exercício 4 bloco 2, letra d, resolução da dupla A8 e A18


51

Percebi, após esse bloco de atividades, que os alunos estavam mais atentos, não

aceitando qualquer informação como verdadeira, além de parecerem mais seguros em

suas falas e exposições das resoluções para a turma. As atividades realizadas até então,

parecem ter desenvolvido certa segurança nos alunos mais engajados, indo ao encontro

das ideias de Smole, Diniz e Candido (2000), que afirmam que, quando o professor

oportuniza essas situações ativas de expressão, os alunos podem “conectar suas

experiências pessoais com as dos colegas, refletir sobre o significado das ações que

realizaram, avaliar seu desempenho, ao mesmo tempo que ampliam seus vocabulários e

suas competências linguísticas” (SMOLE, DINIZ, CÂNDIDO, 2000, p.18).

3.3 Bloco 3

O bloco 3 trazia atividades envolvendo teatro, encenações, mímicas e desenhos.

A atividade foi realizada em grupo, durante 3 encontros. Formaram-se quatro grupos de

4 pessoas e um de 5 pessoas.

Cada grupo recebeu uma folha com a mesma instrução sobre a atividade:

Figura 44: Instrução geral da atividade do bloco 3


Abaixo da instrução vinham os problemas, cada grupo tinha um problema

diferente. Os problemas eram:

Problema - Grupo 1 (A11, A13, A17, A22)

Três novelos de lã pesam 200 gramas. São necessários exatamente seis desses novelos para fazer um pulôver. Quantos gramas de lã estarão incorporadas ao pulôver?


52

O 6° ano fará uma apresentação para toda a escola. Para isso, a diretora alugou 350cadeiras para organizá-las na quadra, em fileiras. Cada fileira terá 10 cadeiras.Quantas fileiras ela organizará?


Eu e mais quatro amigos fomos a um restaurante. A conta de 65 reais foi divididaigualmente entre nós. Paguei minha parte e ainda fiquei com 11 reais. Que quantia eutinha quando entrei no restaurante?

Problemas - Grupo 4 (A7, A9, A15, A21)

Cristina foi a uma livraria para comprar 5 cadernos e 1 livro. O total da conta foi 22reais. Como o livro custou 7 reais e todos os cadernos têm o mesmo preço, quanto elapagou por caderno?

Problema - Grupo 5 (A2, A4, A8, A16, A18)

Numa partida de basquete, Júnior fez o triplo dos pontos feitos por Manuel. Os doisjuntos marcaram 52 pontos. Quantos pontos Júnior marcou nessa partida?

Pedi que cada grupo resolvesse seu problema e depois (sem deixar os outros

grupos verem os seus respectivos enunciados) combinassem uma maneira de representar

esse problema na frente da sala, para que os outros grupos tentassem adivinhar o

enunciado. A ideia inicial era conduzir a atividade para que eles montassem uma

encenação de teatro, mas eles foram se sentindo mais à vontade para fazer mímicas e

deixei que prosseguissem nessa direção.

Assim que resolveram os problemas, foram surgindo dúvidas de como fariam

para representar. Os integrantes do grupo 2 perguntaram se podiam utilizar as carteiras

da sala. Outra aluna perguntou se a turma teria que adivinhar só o enunciado ou se teria

que adivinhar a resposta também. Resposta: só o enunciado. Ela perguntou como fariam

para dizer se a turma estava errando ou acertando. Disse para fazerem o sinal de joia.

Ela perguntou também como faria para expressar os números. Disse para serem

criativos com os sinais, mas sem falar. Avisei a toda a turma que poderiam usar o

quadro para desenhar o cenário, mas que não poderiam escrever nada, nem os números.

O grupo 2 foi o primeiro a representar. Desenharam carteiras no quadro e os

alunos foram dando os palpites. Expliquei que eles teriam que ir direcionando os

colegas, se estavam falando certo ou quase certo, ou errado.

O grupo estava muito apegado ao desenho e se esquecendo de representar. A3

fez alguns pontinhos (querendo mostrar fileiras provavelmente).

53

A17 levantou-se, foi ao quadro e contou a quantidade de pontinhos, gritando:

“Dez vezes oito!” A12 pegou uma carteira da sala e fez o gesto de colocá-la no chão e

mostrou com os dedos os números 3, depois 5 e depois zero. Em meio a muita gritaria

A8 levantou-se e disse: “350 cadeiras!” A19 mostrou que sim. A8 falou algo parecido

com “cada fileira com 10 cadeiras” e A12 disse que havia acertado. O grupo

comemorou.

Em meio a muitos outros palpites, pedi a todos os grupos que construíssem o

enunciado da maneira que achavam que seria. Disse a eles que o grupo que conseguisse

escrever o enunciado mais parecido ganharia um prêmio. Os grupos se uniram na sala,

tentando formular. Percebi que o incentivo do prêmio havia estimulado os alunos. A

ideia de oferecer o prêmio surgiu porque havia muito tumulto e gritaria na sala, então,

para que conseguíssemos prosseguir com a atividade, fiz essa tentativa.

A3 começou a fazer gestos de futebol e A9 levantou-se e disse: “Um estádio tem

350 cadeiras!” A8 gritou: “Na quadra!” A12 acenou positivamente.

A9 e A8 são alunos que geralmente não participam ativamente nas aulas

tradicionais e têm dificuldade com o conteúdo, porém, se envolveram e participaram

ativamente dessa atividade. Pedi novamente aos grupos que construíssem da maneira

que conseguissem, pois daria início à apresentação do próximo grupo.

O enunciado original do grupo 2 era:

O 6° ano fará uma apresentação para toda a escola. Para isso, a diretora alugou 350cadeiras para organizá-las na quadra, em fileiras. Cada fileira terá 10 cadeiras.Quantas fileiras ela organizará?

As construções do enunciado do problema do grupo 2 ficaram da seguinte

maneira:

Figura 45: Construção do enunciado do Grupo 2 segundo o Grupo 1


54



Os grupos 3 e 4 escreveram em suas folhas somente: “Numa quadra...” e “Em

uma quadra...” não concluindo a escrita do enunciado.

A construção do enunciado do grupo 2 feita pelo grupo 1 ficou então: “Em uma

apresentação na quadra tem 350 cadeiras em 10 fileiras. Quantas cadeiras há em cada

fileira?” O grupo 5 escreveu: “Uma quadra da escola tem 10 carteiras com 350 filheiras

cada uma. Quantas carteiras?” Apesar dos dados principais constarem no problema, eles

parecem não ter pensado na impossibilidade de haver 10 carteiras com 350 fileiras. Ou

podem ter pensado em 10 fileiras com 350 cadeiras cada uma e não souberam registrar.

A pergunta final também não ficou completa, além de redundante com o dado que

assegurava que a quadra da escola tinha 10 cadeiras.

O grupo 5 foi o próximo a representar. Desenharam no quadro uma cesta de

basquete e um placar com um ponto de interrogação. Esclareci que poderiam desenhar

apenas o cenário e representar, com gestos, o problema.

A12 disse: “Já sei! Numa partida de basquete...” E as integrantes do grupo

acenaram positivamente. As integrantes do grupo faziam o número 3 com a mão.

Alguns alunos disseram: “Eu acertei três cestas...” Elas acenaram que não. Disseram

também: “O placar ficou 3 a 3.” A8 fazia um ‘x’ com os dedos. E disseram: “Ela

acertou 3 vezes?” Ou então: “3 vezes 3...”, “3 a 3!” Também disseram: “3 cestas de 3

pontos!” Em meio a muitos gestos e palpites, percebi que a turma em geral parecia bem

envolvida com a atividade. A8 fez gesto de 5 e 2 com as mãos. Alguém gritou: “52

pontos!” Ela acenou positivamente. A18 fez gestos de 52 x 3 com as mãos e apontando

para a colega. Os alunos estavam falando: “A18 marcou 52 pontos, A4 marcou...”

A3 reclamou que estava se confundindo, pois o grupo mostrava sinal de vezes,

depois de mais, depois de menos. Pedi para os grupos escreverem seus enunciados

conforme haviam entendido, pois daria início ao próximo grupo.

55

O enunciado original do grupo 5 era: Numa partida de basquete, Júnior fez o

triplo dos pontos feitos por Manuel. Os dois juntos marcaram 52 pontos. Quantos

pontos Júnior marcou nessa partida?

As construções do enunciado do problema do grupo 5 pelos outros grupos

ficaram da seguinte maneira:

Figura 47: Construção do enunciado do Grupo 5 segundo Grupo 1




Nas duas construções podemos perceber que os grupos não mencionaram nada

relacionado com ‘triplo’, apesar do grupo 5 ter tentado representar isso com alguns

gestos. Em ambas as construções, os grupos citaram um total de 52 pontos. Foi o

máximo que conseguiram deduzir da representação. O fato importante é que toda a

turma, inclusive os grupos 3 e 4, que não registraram suas construções, participaram

ativamente da atividade, trabalhando as expressões corporais, criatividade e oralidade.

O grupo 3 foi o próximo a representar seu problema que tinha o seguinte

enunciado: Eu e mais quatro amigos fomos a um restaurante. A conta de 65 reais foi

dividida igualmente entre nós. Paguei minha parte e ainda fiquei com 11 reais. Que

quantia eu tinha quando entrei no restaurante?

A1 fez gestos apontando para si, depois o sinal de mais e o número 4 e apontou

para si novamente. A8, atenta, gritou prontamente: “Eu e mais 4 pessoas!” Elas

acenaram positivamente. E então continuaram, mostraram gestos como se estivessem

comendo. Alguém gritou: “Eu e mais quatro pessoas ‘tava comendo’!” Elas acenaram

que não. A8 estava muito participativa novamente, se empenhando em adivinhar o

problema. As aulas diferenciadas claramente motivam A8. A1 fez um desenho no

quadro, tentando fazer a conta do restaurante. A12, que também estava participativo na

atividade, ficou de pé e perguntou: “Isso é um papel? Um cardápio? Dinheiro?” A8 se

56

levantou e foi na frente do grupo, apontou para o quadro e disse alto: “Isso é a conta de

uma lanchonete!” Depois de muitos gestos e palpites, alguns integrantes se dirigem para

a frente da sala, na tentativa de elaborar o enunciado.

As construções do enunciado do problema do grupo 3, de acordo com os outros

grupos ficaram da seguinte maneira:



Na construção do grupo 1, temos um problema que faz sentido. O grupo não

mencionou o restaurante ou lanchonete conforme foi dito em sala, mas construiu um

problema que poderia existir, embora faltem dados do problema original.



O grupo 2 menciona os 11 reais, porém como sendo o troco da conta toda.



O grupo 5 menciona alguns dados do problema original também, porém a

pergunta final “Qual foi sua conta?” fica sem sentido ou redundante, já que

mencionaram que gastaram 65 reais.

57

O fato é que os grupos em geral se empenharam para representar, adivinhar e

redigir. Trabalhando vocabulário, criatividade, trabalho em equipe e oralidade. Apenas

o grupo 4 não foi, novamente, muito participativo e não construiu um enunciado.

O próximo grupo a apresentar foi o grupo 1, cujo problema era:


Somente foram para a frente da sala para representar A11 e A17. As outras duas

integrantes do grupo A13 e A22 disseram não querer participar da atividade.

A11 desenhou uma balança com os três novelos de lã no quadro. Alguém disse:

“É uma balança!” Outros disseram: “Três novelos pesam...?”, “Três novelos de lã da pra

fazer 1 travesseiro...?”, “Uma almofada?”, “Uma camisa?”, “Quanto eles 3 pesam

juntos?” Depois de muitos gestos e palpites, alguns concluíram que 3 novelos de lã

pesavam 200 gramas. A11 mostrou o 5 e o 1 com as mãos e A8 gritou: “51!” Na

sequência alguém disse: “3 novelos dá pra fazer 51 camisas!” Alguém disse: “6!” E A11

acenou positivamente.

Depois de algum tempo, disse à turma que achava que já tinham todos os dados

necessários e então passaríamos para o próximo grupo. A8 disse: “Quantas camisas se

pode fazer com cada novelo?”

Comparando o enunciado original com os construídos temos:




O grupo 2 menciona que 3 novelos de lã pesam juntos 200 gramas e que 6

novelos “da para fazer uma camisa” depois perguntam “quantos novelos de lã da para

fazer cada camisa”. Apesar de terem construído um enunciado com os detalhes

principais do problema, a pergunta final fica redundante, já que mencionaram que

seriam necessários 6 novelos para fazer uma camisa.

58

O grupo 3 fez um desenho parecido com o que foi feito no quadro pelo grupo 1 e

escreveram “ 6 novelo de lã faz uma camisa. Quantos novelos de lã faz 4 camisa”. Seria

uma possibilidade, porém menos elaborada que o enunciado original.



O grupo 5 fez uma construção parecida com a do grupo 2, em que, apesar de já

terem mencionado que 3 novelos de lã “da para fazer 6 camisas”, na pergunta final

escrevem: quantos novelos de lã serão usados para fazer 6 camisas?

A pergunta do problema original pode ter dificultado ao grupo 1 na

representação, pois os termos ‘incorporados’ e ‘pulôver’ não parecem comuns ao seu

vocabulário, dificultando também as tentativas de interpretação.

Em seguida, passamos à representação do grupo 4, formado por A7, A9, A15 e

A21. O problema tinha o seguinte enunciado:

Cristina foi a uma livraria para comprar 5 cadernos e 1 livro. O total da conta foi 22reais. Como o livro custou 7 reais e todos os cadernos têm o mesmo preço, quanto elapagou por caderno?

A7 desenhou no quadro vários quadradinhos, provavelmente querendo

representar os cadernos e o livro do problema. Pedi ao grupo que não apenas

desenhasse, mas fizesse a mímica ou representação. A9 começou a fazer gestos de ler e

escrever com a folha que estava em sua mão. Já haviam falado cadernos e o grupo

acenou positivamente. O grupo não estava fazendo muita representação, então disse que

também tentaria adivinhar. Como não me lembrava do enunciado do problema deles,

comecei a falar coisas que A7 havia representado para tentar incentivar os alunos a

falarem e o grupo a representar também. A9 mostrou o número 7. Eu disse: “22

cadernos custam 7...” e A9 acenou positivamente. Olhando para o enunciado agora, vejo

que era 22 reais o preço de 5 cadernos e 1 livro e que o livro havia custado 7 reais. Mas

A9 parece não ter percebido isso quando acenou positivamente para mim, parece que o

59

fato de terem sido mencionados os números e palavras que apareciam no enunciado já

bastava para ele. O grupo foi se empenhando na representação e apenas A21 não

representou, nem participou em momento algum. Depois de várias tentativas, encerrei a

atividade e informei que analisaria qual grupo seria o vencedor.

Figura 54: Construção do enunciado do Grupo 4, segundo o Grupo 5


A construção do grupo 5 ficou bem parecida com a original. Apesar de faltarem

alguns detalhes como ‘cadernos de mesmo preço’, os dados principais, o sentido do

problema e a pergunta final estão coerentes.



Na construção do grupo 3, usaram 22 para a quantidade de cadernos, quando

este foi o valor pago.



60

O grupo 2 diz “ cada um custa 7 reais” e pergunta “ quanto ela pagou” sendo que

já havia mencionado que “custou 22 reais”.



O grupo 1 quase consegue construir o enunciado de acordo com o original,

faltando apenas informar que o livro custava 7 reais.

Pode-se observar que, no geral, os alunos parecem se empenhar muito mais em

imaginar o que poderia ser o enunciado, isto é, dar uma possibilidade de resposta para a

tarefa, do que verificarem as chances de terem elaborado uma boa resposta. Em outras

palavras, talvez se possa detectar uma preponderância do exercício da imaginação sobre

a ação analítica a respeito da legitimidade daquilo que a imaginação sugere. Talvez,

uma participação mais frequente nesse tipo de atividade poderia levá-los, com a ajuda

do professor, ao desenvolvimento de uma crítica de suas próprias tentativas e a um

eventual avanço nessa direção.

3.4 Bloco 4

Iniciei a aula apresentando para eles os enunciados que haviam construído no

encontro anterior, referentes ao bloco 3. Li todas as construções dos enunciados,

comentando e comparando com os originais. Os grupos 3 e 4 praticamente não

construíram nada. Os grupos 2 e 5 construíram enunciados confusos. Todos

concordaram que o grupo 1 havia se saído melhor. O grupo 1, formado por A11, A13,

A22 e A17, foi considerado vencedor, ou seja, o grupo que apresentou a construção dos

enunciados mais próximos dos originais. Suas construções ficaram próximas de um

problema razoavelmente estruturado, ainda que não traduzissem as propostas originais.

Estavam todos aparentemente ansiosos para a premiação. O grupo vencedor ganhou

uma caixa de bombom e os outros grupos receberam, cada um, uma caixa de “Bis”,

como prêmio de participação.

61

Encerrei a premiação e dei início ao Bloco 4, que trata de identificação de dados

dos problemas. Pedi a eles que formassem duplas e cada uma recebeu um problema.

Havia uma instrução em cada folha com os seguintes dizeres:

Cada grupo explicará, para a turma, do que se trata o problema, identificará os dadosrelevantes e irrelevantes (poderá usar desenhos ou diagramas) e explicará porque elessão ou não relevantes.

Dei um tempo para resolverem e A9, que ficou sem par, se dispôs a iniciar.

Problema - Grupo 10 (A9)

Como dividir igualmente 2 gatos pretos e um amarelo entre três crianças?

A9 leu o problema e alguns colegas disseram: “cada um receberá 1”. Alguém

disse: “cada um receberá 2 gatos”. A9 então gritou: “são três crianças e três gatos”.

Gritaram: “um pra cada um”.

Perguntei para A9 se tinha informação desnecessária no problema. Ele disse que

não. Perguntei a ele se para saber com quantos gatos cada criança ficaria, era necessário

informar as cores dos gatos. Ele disse que não. Então pedi a ele que escrevesse no

quadro os dados irrelevantes e ele escreveu “dados irrelevantes: cor dos gatos”. No seu

registro, ele apenas resolveu o problema, mas não seguiu as instruções de identificar os

dados relevantes e irrelevantes.

O próximo grupo a apresentar foi o Grupo 1, formado pela dupla A11 e A12.

Problema - Grupo 1 (A11 e A12)

Pedro está escrevendo um grande letreiro com a palavra "canguru", pintando uma

letra por dia. Ele começou a escrever o letreiro na quarta-feira e trabalha todos os

dias. Em que dia da semana ele irá terminar o letreiro?

A11 leu o problema para a turma e mal terminou de ler a turma já começou a

gritar: “sexta-feira”, “sábado”. Alguns pediram para ler de novo e outros continuaram

‘chutando’. A11 leu de novo e os colegas começaram a gritar: “terça-feira”, “quarta-

feira”. Pedi que escrevessem “canguru” no quadro. A8 disse: “Começou na quarta,

então quinta, sexta, sábado, domingo, segunda e terça, porque é canguru”. Perguntei a

eles quais dados eram necessários e quais seriam desnecessários para a resolução do

problema. A12 disse que não precisava dizer que ele trabalhava todos os dias. Então

perguntei a ele, se o cara trabalhasse dia sim dia não, por exemplo, influenciaria no dia

que ele iria terminar? Ele disse não. Depois perguntou: “Ele trabalha todos os dias na

palavra canguru, ou é no trabalho dele?” A partir desse comentário pode-se entender seu

62

raciocínio: foi dado que ele pinta uma letra por dia, então não interessa se ele trabalha

(no seu trabalho regular, isto é, fora da pintura da palavra canguru) ou não. Aliás,

podemos inclusive dizer que o enunciado realmente gera essa dúvida pois alguém que

pinta apenas uma letra por dia, deve estar ocupado com outras coisas, provavelmente do

seu trabalho regular.

Em seu registro, o grupo 1 classificou como dado irrelevante, a frase “Trabalha

todos os dias”, explicando que no problema já diz que Pedro pinta uma letra por dia.

Como dados relevantes eles mencionaram os dados essenciais para a resolução e

explicaram que a palavra, o dia em que começou e quantas letras ele pinta por dia são

necessários para a resolução do problema. Na sequência escrevem a resposta, conforme

podemos ver abaixo. Observa-se que a dupla seguiu as instruções da atividade,

demonstrando entendimento do que era para ser feito, além de compreensão do

enunciado do problema.

Figura 58: Bloco 4, resolução do Grupo 1


Problema – Grupo 2 (A17 e A19)

Simão levantou-se faz uma hora e meia. Daqui a três horas e meia irá tomar o trem

para a cidade de sua avó. Quanto tempo antes da partida do trem ele se levantou?

O grupo 2 leu seu problema para a turma e montou a operação no quadro 01:30

+ 03:30, totalizando 04:60. Alguns colegas disseram: “04 horas e 60 minutos é 5 horas!

63

Então é 5 horas!” Perguntei aos membros da dupla sobre os dados relevantes e

irrelevantes e A17 respondeu que era irrelevante dizer que ia tomar o trem pra ir para a

cidade de sua avó. Em seu registro demostraram ter compreendido as instruções e o

problema.

Problema – Grupo 9 (A2 e A16)

Caio é um garoto de 6 anos e gosta muito de brincar com bolinhas de gude.

Todos os dias acorda às 8 horas, toma o seu café com leite, come uma fruta, um

pãozinho integral com queijo e corre para a casa de seu amigo Júnior para brincar.

Caio levou 2 dúzias de bolinhas coloridas para jogar. Dezesseis dessas bolinhas eram

azuis e as demais eram verdes. No final do jogo ele havia perdido um quarto de suas

bolinhas verdes e Júnior ficou muito contente, pois agora tinha três vezes mais bolinhas

azuis do que restou ao Caio. Quantas bolinhas Júnior tinha ao iniciar o jogo?

A dupla leu o problema, porém, talvez pelo fato de o problema ter um enunciado

mais longo, a turma se dispersou. Pedi a A2 que lesse novamente. Durante a leitura, os

colegas apontavam os dados irrelevantes que iam surgindo. A12 estava empenhado em

ajudar na resolução das colegas, mas não adiantou muito. Os meninos ficaram

visivelmente perdidos diante da profusão de dados e, ao mesmo tempo, da ausência de

dados suficientes para a resolução. Resolvi não insistir e passar adiante para o problema

seguinte. As alunas registraram em sua folha os dados que consideraram relevantes, os

que consideraram irrelevantes, mas não mencionaram a ausência de dados relevantes

(por exemplo, quantas bolinhas verdes o Júnior tinha ao iniciar o jogo).

Problema- Grupo 7 (A8 e A18)

Pâmela subiu num banquinho de madeira escura e ficou exatamente com a

mesma altura de seu pai. Qual é o valor da diferença entre a altura de Pâmela e a de

seu pai?

A8 foi apresentar sozinha, A18 não compareceu à aula nesse dia. A8 leu o

problema e desenhou no quadro. Assim que A8 leu, alguns alunos disseram que a cor

escura do banco era irrelevante, mostrando estarem mais atentos aos dados dos

problemas. Em seguida, A14 se levanta, vai até o quadro e mede o banco do desenho de

A8, como podemos ver na figura abaixo.

64

Figura 59: Bloco 4, representação do Grupo 7


Perguntei à turma como faríamos para saber o valor da diferença de altura entre

Pâmela e o pai. A8 disse que estava faltando dados, que faltava a altura da menina, a

altura do banquinho e a altura do pai. Observe-se, no entanto, que dada a altura do

banquinho, as demais se tornariam irrelevantes, ou, por outro lado, dadas as alturas da

menina e do pai, a do banquinho se tornaria irrelevante. Quando A14 foi medir o

banquinho, sua colega do lado disse: “Mas o banco de verdade é maior do que esse!”

Ela respondeu: “ah, já sei!” E voltou ao quadro para medir o desenho de Pâmela e do

pai.

Em seu registro da atividade, o grupo 7 respondeu que “não dá para resolver,

porque não sabemos a altura de nenhum dos dois e assim não dá para ver a diferença”. E

mencionaram como dados irrelevantes a palavra ‘escura’. A8 disse que a diferença era a

altura do banco. É a melhor resposta possível, considerado o enunciado fornecido.

Problema- Grupo 4 (A3 e A20)

Numa prova de matemática do terceiro ano do Ensino Médio, a maioria dos

alunos foi muito bem. Na realidade, 3/5 dos alunos da classe obtiveram nota máxima

nesta prova. A prova tinha quatro questões, valendo 5 pontos cada questão. Dessa

forma, qual é o número de alunos que não obtiveram nota máxima nessa prova?

A3 leu o problema e disse que não teria como resolver porque não era dado o

total de pessoas que fizeram a prova. A3 disse que os alunos que não haviam tirado nota

65

máxima eram 2/5 do total, mas não tinha como calcular. Em seu registro o grupo

escreveu: “não dá para resolver porque não fala quantas questões eles acertaram”.

Observe-se que há um foco equivocado no dado ausente. Parece uma resposta feita só

pra apresentar alguma coisa à professora.

Os outros grupos não quiseram ir ao quadro, então li as questões e fui resolvendo

junto com a turma. Exponho aqui apenas os registros das duplas que deveriam

apresentar mas não quiseram.


Júlia e Sandro têm, juntos, 50 reais. Quanto dinheiro tem o Sandro sozinho?

Em seu registro a dupla escreveu: “Está faltando o dinheiro que Júlia tem”.


Um carro da marca FIATWAGEN possui um tanque de combustível cuja capacidademáxima é de 60 litros. O motorista, ao passar em frente ao campo de futebol deCachoeira Branca, percebeu que o tanque estava apenas com 1/4 da capacidade decombustível e, portanto, não seria possível completar a viagem planejada entre ascidades de Cachoeira Branca e Ouro do Campo, que distam entre si mais ou menos200 km, sem colocar mais combustível no carro. O motorista, então, vai ao posto degasolina, que se localiza ao lado do campo de futebol e pede ao frentista para enchercompletamente o tanque. Quantos litros, aproximadamente, foram colocados notanque?

Figura 60: Bloco 4, resolução do problema do Grupo 5


Problema - Grupo 3 (A5 e A6)Um criador de galinhas, chamado José Bonifácio, tem caixas de papelão paraarmazenar 6 ovos e caixas de um material plastificado para armazenar 12 ovos. Qual éo menor número de caixas que ele precisa para armazenar 66 ovos?

66

Figura 61: Bloco 4, resolução do problema do Grupo 3


As discussões geradas durante essas atividades foram importantes, a meu ver. O

exercício de verificar se os dados dos problemas eram ou não relevantes permitiu aos

alunos desenvolver uma reflexão não usual, para eles, acerca da importância de

reconhecer e organizar os dados matematicamente importantes para a resolução do

problema. Ao final desse bloco, percebi nos alunos uma atitude mais crítica, discutindo

uns com os outros sobre a relevância ou não dos dados, inclusive em atividades, que não

diziam respeito diretamente a essa questão. Além disso, eles parecem, no geral, ter

passado a organizar melhor as suas resoluções e respostas.

3.5 Bloco 5

As tarefas se referem a problemas com um ou mais passos e à formulação de

problemas.

Figura 62: Bloco 5

Fonte: Ferraz (2016)

67

Vários alunos perguntaram se eram 6 carrinhos juntos que custavam 78 reais,

referindo-se ao dado do problema 1 acima. A9 fez essa pergunta, respondi que sim, ele

então respondeu que não sabia quanto custava cada um. Então perguntei a ele: “Se você

comprar 3 chicletes por 1,50, quanto terá custado cada chiclete?” Ele respondeu

prontamente: “50 centavos!” Eu disse: “Então veja quanto custou cada carrinho.” No

registro de sua atividade, na letra a) ele dividiu 78 por 6 e encontrou o preço de cada

carrinho, porém não fez tudo que foi pedido. Na letra b) ele dividiu 13 por 4, na letra c)

apenas somou 84+84 resultando em 168, porém não conseguiu expressar a resposta e na

letra d) parece ter tentado usar o mesmo raciocínio da letra c): soma 78+78 e deixa a

resposta 156.

A maior parte dos alunos resolveu conforme A12 abaixo.

Figura 63: Bloco 5 – Resolução de A12


Na letra a), A12 resolveu os dois passos, calculando o preço de cada carrinho,

multiplicando-o em seguida por 18. Na letra b), multiplicou 13 por 3, para saber o preço

de 3 carrinhos. Na letra c), também realizou os dois passos, dividindo 84 por 4 para

saber o preço de cada carrinho e, em seguida dividiu 168 por 21, para saber quantos

carrinhos da marca FLASH André poderia comprar. Na letra d), dividiu 168 por 13,

encontrando 12. No total, 10 alunos resolveram dessa maneira. A17 resolveu de forma

diferente.

68

Figura 64: Bloco 5 – Resolução A17


Na letra a), somou 78+78+78. Na letra b), com o mesmo raciocínio, dividiu 78

por 2, pois 6:2=3. Na letra c) realizou os dois passos explicitamente, talvez por não ter

percebido que 168 é o dobro de 84. Na letra d), dividiu 168 por 13, embora não tenha

feito em nenhum momento a conta 78:6=13 para achar o preço de cada carrinho da

marca Tanque.

Alguns alunos escreveram simplesmente valores aleatórios, aos quais não

conseguimos dar sentido. Outros, apesar de terem tentado, mostraram dificuldade e não

completaram totalmente a tarefa.

Durante a discussão, perguntei à turma se eles entenderam a maneira que A17

resolveu e alguns disseram que haviam entendido. Pedi a ele, A 17, que explicasse para

a turma seu jeito de resolver e pedi a duas alunas que resolvessem no quadro, cada uma

de um dos jeitos, a fim de que confirmassem que os resultados eram os mesmos.

A17 resolveu a questão b) no quadro, explicando aos colegas como havia feito.

A11 e A8 resolveram as letras c) e d), explicando aos colegas.

Em seguida, para completar esse bloco, apresentamos seis problemas faltando

dados, pedindo aos alunos que completassem os enunciados com os dados que estavam

faltando. Os problemas foram os do quadro abaixo:

69

Figura 65: Bloco 5 – Formulação de Problemas


Na letra a) tivemos respostas como: “Ele perdeu 15 figurinhas porque competiu

com seu amigo que tinha 15” ou “Ganhou 15 na partida 1 e 5 na partida 2, depois

perdeu 7 no ônibus.” Tivemos alguns registros mais simples como: “ Deu 10 para seu

irmão.” Tivemos dados com valores altos como: “Ganhou mais 85 de seu pai e 60 de

sua mãe” Em geral formularam e resolveram bem os problemas, embora alguns poucos

não tenham apresentado a resolução.

Na letra b) em geral completaram com os valores e resolveram a subtração para

encontrar o número de galinhas que havia antes. Apenas 2 alunos somaram os valores

que colocaram.

Na letra c), a maioria inventou valores para a quantidade de peixes e a pergunta

final ficou do tipo “Quantos peixes há no total?” ou “Quantos peixes tem no aquário?”

Alguns acrescentaram antes da pergunta final: “Morreram 10, com quantos peixes ficou

o aquário?” ou “Eu vendi 7 vermelhos e 5 cinzas, com quantos peixes eu fiquei?”

70

Houve também o seguinte registro de A19: “Quantos peixes vermelhos tem a mais que

os cinzas?” Em geral foram bem nesse item, como também na resolução.

Na letra d) deram valores para a quantidade de cachorros que nasceram e

morreram, porém para a resposta final, não contaram com os dois que já havia na casa.

A letra e) foi bem tranquila, todos foram bem.

Na letra f), a maioria resolveu como ‘a mais’ e não como ‘vezes mais’, embora

alguns mesmo tendo realizado subtração para saber quantas crianças ‘a mais’ tinham,

colocaram na resposta “1 vez” ou “duas vezes mais”. Alguns inventaram os valores e na

resolução fizeram a multiplicação dos valores inventados, talvez induzidos pelo termo

‘vezes’. Apenas dois alunos, A19 e A15, resolveram corretamente, fazendo a divisão

dos valores que atribuíram. Nota-se claramente a falta de percepção da diferença entre

uma comparação aditiva e uma comparação multiplicativa.

Em todas as atividades trabalhadas, tivemos problemas com indisciplina da

turma. Os alunos gritam muito, parecendo querer falar sempre mais alto que o outro.

Nem a professora regular conseguia manter os alunos calmos. Em contrapartida, são

crianças muito carinhosas, fui recebida desde o primeiro encontro com muito carinho e

muitos abraços. A cada encontro que passava, esse carinho e afeto parecia aumentar. O

último encontro foi destinado à aplicação da sondagem final. Pedi aos alunos que

resolvessem com atenção, pois era um momento importante da pesquisa. Disse a eles

que provavelmente seria meu último dia e a atividade ocorreu num clima tranquilo.

Alguns alunos solicitavam de vez em quando que fôssemos às suas carteiras para tirar

dúvidas, mas poucas relacionadas à interpretação.

71

CAPÍTULO 4

ANÁLISE E RESULTADOS

Conforme dito anteriormente, as atividades de sondagem inicial e final foram

planejadas, entre outros objetivos, para que pudéssemos ter, ao final do trabalho, a

possibilidade de avaliar qualitativamente os efeitos da experiência vivenciada ao longo

das atividades sobre o desenvolvimento da competência dos alunos para compreender

os enunciados e, a partir daí, resolver problemas matemáticos adequados ao estágio de

escolarização em que se encontram (sexto ano). Assim, num primeiro movimento de

análise, fazemos uma comparação entre os resultados da sondagem inicial e final para

cada aluno participante da pesquisa, apresentando, ao final, um quadro que sintetiza os

resultados gerais dessa comparação. Num segundo movimento, selecionamos um grupo

de 10 alunos, segundo critérios que serão apresentados mais adiante, e procuramos obter

elementos que, na medida do possível, indicassem a existência (ou não) de uma

correlação positiva, entre o desempenho ao longo das atividades e o desempenho na

sondagem final. Comentaremos os nossos resultados, em maiores detalhes, ao final

deste capítulo.

Antes de apresentarmos os resultados da análise, talvez seja interessante

abrirmos um pequeno parêntesis para esclarecer como pensamos a noção de

aprendizagem, uma vez que as estratégias de análise buscam comparar os desempenhos

dos participantes em diferentes etapas do processo de ensino com eles trabalhado,

inferindo dessas comparações elementos que permitam avaliar as possíveis

contribuições e limitações do conjunto de atividades propostas, em termos das

manifestações de aprendizagem eventualmente ocorridas.

Há, como se sabe, muitas teorias de aprendizagem, agrupadas segundo seus

fundamentos, sejam de bases behavioristas, cognitivistas, socioculturais etc. Não

caberia aqui (nem nos sentimos capazes de) desenvolver, com a profundidade adequada,

uma discussão geral sobre essas teorias e seus conceitos fundamentais (o que se entende

por aprendizagem, por exemplo). Piaget associa aprendizagem a um processo de

adaptação, que ocorreria em quatro etapas, de modo contínuo: desequilibração,

acomodação, assimilação, reequilibração. Vergnaud (1994, p.50) enfatiza a adaptação

de esquemas a situações novas: “Há várias maneiras de desenvolver a complexidade

cognitiva [...]. Uma das mais essenciais é aprender a trabalhar com uma classe de

72

situações para a qual os esquemas mentais já desenvolvidos não funcionam”. Algumas

vezes são distinguidos os processos de aprender um conceito matemático, de aprender a

executar um algoritmo, de aprender a resolver problemas em geral, de aprender a andar

de bicicleta, de aprender certos comportamentos e/ou valores sociais. Fala-se até mesmo

em aprender a aprender. Vê-se, assim, a complicação envolvida na empreitada de dizer

o que se entende por aprendizagem. Por isso, vamos nos restringir, neste trabalho, a

comentar de modo simples, mas que acreditamos seja suficiente para os nossos

propósitos, a ideia de aprendizagem que nos interessa especificamente no contexto da

pesquisa que é objeto deste relato. Como já colocado, nosso foco é a interpretação dos

enunciados de problemas matemáticos. Sabemos, tanto a partir da nossa experiência,

como a partir da revisão de literatura apresentada, que os alunos da escola, em geral,

enfrentam dificuldades na resolução de problemas matemáticos e uma das mais

fundamentais (no sentido de que tudo o mais depende dela) é a de construir uma

interpretação apropriada dos enunciados dos problemas. Há que se considerar que uma

interpretação adequada dos enunciados depende, muitas vezes, do domínio de

conhecimentos matemáticos que permitem estabelecer formas de “traduzir” ou

expressar, na linguagem matemática, aquilo que se entende como enunciado no

problema (por exemplo, pode ser difícil – ou mesmo impossível - expressar uma

interpretação correta de uma situação multiplicativa através de uma conta de dividir se

não se conhecem os diferentes significados da divisão). Assim, o conjunto de atividades

que propusemos visou desenvolver uma aprendizagem específica, qual seja, aprender a

interpretar os enunciados. A ideia foi, então, expor os alunos participantes da pesquisa a

uma série de situações que, segundo a literatura, proporcionariam uma experiência de

enfrentamento com as principais dificuldades observadas nesse processo de construção

de um entendimento eficiente da situação-problema apresentada nos enunciados. Nossa

expectativa era a de que uma vivência refletida e interessada dessa experiência pudesse

desencadear um processo de mudança positiva nos sujeitos participantes, mudança essa

que se manifestaria no avanço da competência para interpretar enunciados de problemas

matemáticos. Esse processo de mudança, que se manifesta como avanço na competência

para a interpretação dos enunciados, é o que entendemos por aprendizagem, no contexto

deste trabalho.

Assim, coerentes com a noção de aprendizagem descrita acima, gostaríamos de

destacar alguns dos fundamentos que orientaram o desenvolvimento da análise que

73

apresentaremos nas duas seções seguintes deste capítulo: prestamos atenção especial a

aspectos ligados às mudanças percebidas na criticidade da leitura dos enunciados, de

modo a desenvolver a capacidade de distinguir diferenças conceitualmente importantes

entre expressões de linguagem “parecidas” (quantas vezes mais/quantas a mais, entre

outras); mudanças na postura de avaliação da relevância/irrelevância dos dados de um

problema; mudanças na capacidade de redigir enunciados de problemas matemáticos,

dada a solução; mudanças na atenção em relação à pergunta final do problema, entre

outros aspectos. Além disso, como entendemos que o processo de aprendizagem só se

realiza plenamente com uma vivência reflexiva e interessada do aprendiz, prestamos

atenção também no nível de engajamento com que os participantes vivenciaram a

experiência que lhes foi proposta através do conjunto de atividades elaboradas. Por isso,

consideramos o nível de engajamento dos participantes como um aspecto importante na

relativização dos resultados da comparação de desempenhos, tanto no caso da sondagem

inicial versus sondagem final, como no caso da possível correlação entre desempenho

nas atividades e desempenho na Sondagem Final. É claro que não se pode penetrar no

cérebro ou no coração dos aprendizes para determinar categoricamente o nível de

engajamento nas atividades propostas, mas é sempre possível detectar sinais e

evidências de um maior ou menor engajamento. Foi o que fizemos, com o aval da

professora regular da turma, que avaliou positivamente nossa avaliação. Isso explica os

parâmetros utilizados nos quadros em que sintetizamos os resultados gerais da nossa

análise.

4.1 Comparando os desempenhos nas sondagens

Inicialmente traçamos um breve perfil de cada um dos alunos participantes e, em

seguida, comparamos seus respectivos desempenhos nas sondagens inicial e final. Para

facilitar a leitura e eventual retorno aos dados mais relevantes de qualquer dos

participantes, decidimos apresentar um quadro para cada aluno(a), sintetizando a análise

desenvolvida na comparação. Ao final desta seção, apresentamos um quadro geral com

informações sobre o desempenho de todos os participantes e, logo em seguida, as

conclusões a que chegamos nesta etapa da análise. Na seção seguinte, cotejamos os

desempenhos dos participantes ao longo das atividades com o desempenho

correspondente na sondagem final.

74

Os desempenhos nas sondagens foram avaliados a partir de um critério que foca

especificamente a interpretação dos enunciados. Assim, mesmo quando um aluno não

tenha conseguido chegar às soluções corretas de alguns problemas, mas os aspectos

observados por nós evidenciaram a compreensão, parcial ou completa do que era pedido

nos problemas (e.g., o tipo de operação armada pelo aluno, as respostas dadas etc.), o

desempenho pode ter sido considerado bom. Desse modo, consideramos como corretas

as questões que julgamos corretamente interpretadas, mas nem sempre com a resposta

matematicamente esperada.

Embora a avaliação de desempenho nas sondagens tenha sido de caráter

qualitativo, com o foco na interpretação dos enunciados, decidimos atribuir pontos a

cada questão de cada uma das sondagens, a fim de assegurar maior precisão nos

registros e facilitar a comparação. E estabelecemos o seguinte critério para nomear os

desempenhos em cada sondagem: um desempenho correspondente a até 59% do total

dos pontos de uma sondagem foi considerado fraco; de 60 a 79% foi considerado

regular e de 80 a 100%, consideramos um forte desempenho. Insistimos em destacar

que as avaliações foram essencialmente qualitativas e as pontuações serviram apenas

para nos guiar nos fundamentos da comparação e evitar a necessidade de uma descrição

alongada das avaliações para cada questão, permitindo-nos retornar eventualmente a

cada uma delas e compará-las de modo rápido e eficiente. Enfim, a decisão pela

pontuação adequada em cada questão exige muita reflexão, mas uma vez realizada, a

pontuação ajuda a abreviar o prosseguimento do processo de comparação.

Cabe ainda ressaltar que houve um espaço de tempo de aproximadamente 3

meses entre as duas sondagens, que foi o período em que as diversas atividades foram

trabalhadas. Por isso, não nos preocupou o fato de haver, nas duas sondagens,

problemas semelhantes, pois a nosso ver, seria impossível relembrar a solução de cada

um deles na sondagem final, sem havê-la compreendido bem, na sondagem inicial.

Abaixo, apresentamos um quadro comparativo com os enunciados dos

problemas semelhantes das sondagens inicial e final, bem como a maneira como cada

aluno interpretou e resolveu. Logo abaixo das soluções dadas pelos alunos, vêm nossos

comentários. Alguns problemas foram omitidos, dependendo do aluno, mas todos foram

analisados, segundo o critério mencionado acima. Aqui apresentamos apenas uma

mostra do que consideramos mais interessante, em termos da análise desenvolvida.

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Quadro 1 - Análise da comparação entre as sondagens inicial e final

A1: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. Sondagem inicial Sondagem finalOs problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração. Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?

Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outrosforam deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?

Nesse caso, A1 realizou a divisão de36 por 12, mostrando umacompreensão equivocada do que oproblema pedia.

Aqui A1 interpreta e resolve corretamente oproblema.

Os problemas j e i envolvem noção de proporção.João tem 13 carrinhos e Carlos tem52. Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?

Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48.Quantas vezes mais dinheiro o irmão temem relação a Kelly?

A1 fez uma interpretação aditiva dacomparação entre o número decarrinhos de João e Carlos (quantoscarrinhos a mais), quando o problemademandava uma interpretaçãomultiplicativa (quantas vezes mais

A1 realiza a divisão, percebendo a diferençaentre ‘quanto a mais’ e ‘ quantas vezesmais’, (ainda que tenha respondido “4 vezesa mais”).

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carrinhos).

Os problemas abaixo k e g, são problemas que admitem mais de uma solução.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?

Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas,quantas figurinhas tem cada um?

Ao dividir 120 por 2, A1 supõe quecada amabas as pessoas têm a mesmaquantidade, o que não é dado doproblema. Parece pressupor que todoproblema matemático tenha uma esomente uma solução.

No problema equivalente da sondagem final,A1 responde demonstrando senso crítico,observando que o problema “(...) não falaque eles têm a mesma quantidade”,admitindo, assim, a possibilidade deinsuficiência de dados para determinar umaúnica solução

Os problemas abaixo envolvem 2 passos, nesse caso primeiro uma subtração e emseguida uma adição.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?

Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos amenos que Victor. Se João tem 8 anos amais do que Igor, quantos anos João tem?

Esses são problemas que envolvemoperações sucessivas. A1 realiza duasadições, sem perceber, talvez por faltade atenção ou por não ter o hábito dareleitura, que a primeira deveria seruma subtração.

No problema equivalente da sondagem final,A1 parece ter tido mais atenção na leitura doproblema. Além disso, como podemosobservar neste caso e em outros, A1 nãoapenas circula o número (como fezreiteradamente na sondagem inicial), masenuncia de modo claro sua resposta,demonstrando maior objetividade eorganização na comunicação de ideias.

Os problemas abaixo envolvem três passos com raciocínio aditivo e multiplicativo.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?

Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?

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Aqui A1 parece ter tido dificuldade naresolução. Há sinais de terdesmanchado algumas vezes o quetinha escrito. Além disso, a operaçãoque origina 90 não aparece (seria asubtração 216 – 126). Porém conseguechegar no resultado correto.

No problema equivalente na sondagem final,A1 parece não ter percebido que a respostaque deu era para a quantidade de jogos deDiego. Apesar de uma maior organização naresolução, apresentou uma respostaincorreta, não tendo verificado se o númeroque encontrou respondia a pergunta doproblema.

A2: Demonstrou certo interesse nas atividades em que participou, procurando tirardúvidas e expor suas soluções. Apresentou grande dificuldade na matemática játrabalhada em anos anteriores e, além disso faltou frequentemente às aulas. Sondagem inicial Sondagem finalO exercício abaixo é de resolução direta, aplicado para verificar o desempenho dosalunos em relação a conteúdos básicos, como as quatro operações fundamentais.Calcule quanto dá 144 dividido por18.

Calcule quanto dá 156 dividido por 13.

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Nesse exercício podemos verificar queA2 teve dificuldade com a divisão.

Aqui A2 consegue realizar o cálculo.

Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?


Nesse problema A2 realiza apenas oprimeiro passo. Podemos inferir que adificuldade aqui está na interpretação,pois ela parece entender a perguntacomo ‘quantas rosas foram enviadaspelos filhos?’

Aqui A2 também realiza apenas o primeiropasso. Analogamente ao problemaequivalente da sondagem inicial, A2interpreta equivocadamente a pergunta doproblema. Talvez tenha feito leitura rápida,sem atenção. Parece não ter evoluídosignificativamente, neste sentido, ao longodas atividades.

Os problemas que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição emultiplicação.Beto tinha 23 figurinhas. Num jogo,ganhou 2 figurinhas de cada um deseus 6 colegas e, depois comprou mais10 figurinhas. Com quantas figurinhasBeto ficou?

Bruna tinha 28 figurinhas. Num jogo,ganhou 3 figurinhas de cada um de seus 5colegas e, depois comprou mais 6figurinhas. Com quantas figurinhas Brunaficou?

Aqui A2 troca o número 23 por 32,apesar de ter realizado mentalmente amultiplicação de 6 por 2. De novo, háindícios de uma leitura rápida, sem

Nesse problema equivalente, A2 organizamelhor os dados e consegue chegar àsolução correta.

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verificação se a resposta está correta.Os problemas abaixo envolvem três passos, nesse caso divisão e subtração.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?


A2 soma 126 com 108, monstrandouma compreensão equivocada doenunciado do problema.

Aqui A2 realiza a subtração de 45 e 25,porém não percebe a necessidade de obter opreço de cada jogo para chegar à respostacorreta.

Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.

Dona Márcia comprou 7 dúzias debananas. Distribuiu duas bananas paracada macaco do zoológico que visitoue levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com asbananas?

Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com os ovos que sobraram?

Podemos inferir que A2 tevedificuldade para compreender oenunciado. Ela apenas divide 84 por12.

Aqui A2 parece já ter realizado a operação4x12 para saber quantos ovos Paulacomprou. Parece também ter compreendidoparte do enunciado, já que realizou asubtração dos ovos que se quebraram.Porém ela não conclui a resolução doproblema.

Os problemas j e i envolvem noção de proporção.

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João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?


A2 realiza a multiplicação de 52 por13. Talvez por causa da palavra‘vezes’ que aparece no enunciado.Porém fica claro que A2 nãocompreendeu o enunciado.

A2 realiza a subtração de 48 por 12,mostrando uma interpretação aditiva dacomparação, em lugar de umamultiplicativa, como pede o problema.

Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?


A2 resolve como a maioria da turma,demonstrando não perceber aexistência das várias soluções.

A2 mantém seu raciocínio e resolve comona sondagem inicial.



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A2 simplesmente multiplica 18 por 7,demonstrando uma compreensãoprecária do enunciado.

Aqui A2 consegue organizar os dados einterpretar o problema corretamente, apesarde ter apagado desnecessariamente aprimeira operação resolvida.

A3: Demonstrou interesse em algumas atividades de que participou, mas é um alunoque conversa muito durante as aulas.

Sondagem inicial Sondagem finalExercícios de resolução direta.

Efetue a seguinte conta: 1326 – 548. Efetue a seguinte conta: 5231 – 389

Na sondagem inicial A3 conseguerealizar a subtração.

Na sondagem final A3 teve dificuldade nasubtração.

Os problemas abaixo envolvem noção de multiplicação.

Se cada passagem de ônibus para ocentro da cidade custa 2,50 quanto sepagará por seis dessas passagens?

Se cada salgado da cantina da escola custaR$ 1,50, quanto se pagará por 5 salgados?

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Aqui A3 parece ter desmanchado oresultado da conta e escrito 15,00 apóster olhado de algum colega, pois naresposta ele escreve 13,30.

Aqui A3 realiza a multiplicação semmaiores dificuldades.

Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.

Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?


Nesse problema A3 realiza apenas oprimeiro passo. Como no caso deoutros colegas, parece entender apergunta como ‘quantas rosas foramenviadas pelos filhos?’

Aqui A3 também realiza apenas o primeiropasso. Analogamente ao problemaequivalente, A3 interpreta erroneamente apergunta do problema, mostrando não terevoluído, neste sentido, ao longo dasatividades.

Os problema que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição emultiplicação.

Beto tinha 23 figurinhas. Num jogo,ganhou 2 figurinhas de cada um deseus 6 colegas e, depois comprou mais10 figurinhas. Com quantas figurinhasBeto ficou?


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Aqui A3 soma todos os valores, semperceber que 6 é o número de colegase dois é o número de figurinhas porcolega.

Aqui A3 organiza melhor os dados e realizaa multiplicação e as adições corretamente,mostrando uma boa compreensão dasituação descrita no problema.

Os problemas abaixo envolvem três passos, nesse caso divisão e subtração.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?


A3 demonstra ter feito uma corretainterpretação do problema,construindo adequadamente aresolução, embora não tenha deixadoclaro de que modo surge o número 90e também não tenha apresentado aresposta final de modo explícito.

Já na sondagem final, A3 demonstra tercompreendido o problema também, porémse confunde na pergunta final, respondendoo número de jogos de Diego e não deSandro. Falha de atenção na leitura dapergunta do problema.



Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?

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A3 parece ter compreendido seuenunciado, consegue organizar osdados, porém responde quantasbananas dona Márcia utilizou paraalimentar os macacos e não quantosmacacos foram alimentados. De novo,constata-se uma desatenção na leiturado enunciado, o que é crucial naprodução de uma resposta incorreta.

No problema correspondente da sondagemfinal, A3 interpreta corretamente oenunciado e resolve corretamente.

Os problemas j e i envolvem noção de proporção.



Aqui A3 interpretou como ‘a mais’,tendo em vista que realizou asubtração e sua resposta foi 39. Noentanto, aparece a divisão, que podeter sido copiada de algum colega.

A3 interpreta corretamente o enunciado naforma de comparação multiplicativa (e nãoaditiva), mas parece ter se confundido comos dados do problema.



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Como a maioria dos colegas, A3divide por 2, sem perceber que não hádados que justifiquem a suposição deque ambos possuem a mesmaquantidade de dinheiro.

A3 mantém o raciocínio da divisão por 2.



A3 realiza duas subtrações. Podemospensar mais numa falta de atençãocom a leitura do que dificuldade deinterpretação.

Na sondagem final A3 parece ter realizado aleitura com mais atenção e consegueresolver corretamente o problema.

A4: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas.

Sondagem inicial Sondagem finalOs problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?


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Nesse caso, A4 resolve apenas aprimeira parte do problema, tendo,talvez, interpretado a pergunta como‘quantas rosas foram mandadas pelosfilhos?’

Na sondagem final A4 organiza melhor osdados e resolve os dois passos do problema,demonstrando ter interpretado corretamenteo que se pedia.



A4 parece ter entendido ‘ a menos’ enão ‘a mais’. Nessa caso podemospensar em uma leitura rápida e sematenção.

Na sondagem final, A4 organiza melhor osdados e demonstra ter compreendido o quese pedia no problema, resolvendo-ocorretamente.



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Como a maioria da turma, A4 realiza adivisão por 2, sem perceber as váriassoluções do problema.

Porém, A4 demonstra senso crítico, nasondagem final, em relação aos dados doproblema, produzindo uma respostaconsistente.

A5: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. Apresentamos neste quadro, apenas osproblemas em que A5 teve dificuldade na interpretação/resolução. Os outrosproblemas foram todos resolvidos corretamente. A5 conseguiu interpretar bem osenunciados e organizar o uso dos dados na resolução.Sondagem inicial Sondagem finalOs problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.



Nesse caso, A5 realizou simplesmentea divisão de 36 por 12, mostrando umainterpretação equivocada do problema.

Aqui A5 demonstra ter conseguidointerpretar corretamente a situação-problemae apresentou uma resolução consistente,embora não tenha deixado a respostaexplicitada.



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Como a maioria da turma, A5 realiza adivisão por 2, assumindo a hipótese deque as duas pessoas tivessem a mesmaquantidade de dinheiro.

Aqui A5 realiza a divisão por 2, porémescreve “o anunciado não fala que eles tem amesma quantidade”, demonstrando terdesenvolvido certo senso crítico em relaçãoa esse tipo de questão.

A6: Demonstrou interesse nas atividades realizadas questionando, expondo suasresoluções e discutindo com os colegas. Os problemas não referidos abaixo foramcorretamente resolvidos em ambas as sondagens.

Sondagem inicial Sondagem finalOs problemas abaixo envolvem noção de multiplicação.



Aqui A6 realiza normalmente amultiplicação.

Já na sondagem final ela parece ter seconfundido (tanto na indicação do sinal deadição em lugar de multiplicação, comotambém na execução da operação – queestaria incorreta tanto se fosse um casocomo o outro). Mostra também dificuldadecom a verificação da viabilidade doresultado (dois salgados já custariam 3 reais.




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A6 consegue compreender oenunciado e resolve corretamente oproblema.

Aqui A6 resolve apenas a primeiraoperação. Interessante notar que tenha seequivocado em duas questões muitopróximas das que havia feito de modocorreto na sondagem inicial.

Os problemas que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição emultiplicação.Beto tinha 23 figurinhas. Num jogo,ganhou 2 figurinhas de cada um deseus 6 colegas e, depois comprou mais10 figurinhas. Com quantas figurinhasBeto ficou?


A6 soma todos os valorescorrespondentes a figurinhas (observe-se que ela deixa de fora o 6), semperceber 2 era o número de figurinhaspor colega e são 6 colegas.

Aqui A6 já consegue compreender oproblema, organizar os dados e resolvercorretamente.

Os problemas j e i envolvem implicitamente a noção de proporção.



A6 resolve como a maioria da turma,considerando ‘quantos a mais’ e nãocomo ‘quantas vezes mais’.

Na sondagem final A6 já conseguecompreender bem o enunciado do problemae o resolve corretamente.



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A6 resolve como a maioria da turma,sem perceber as inúmeraspossibilidades de resposta.

Aqui A6 mostra senso crítico, percebendoque faltam dados para que o problema tenhauma única resposta.



A6 realiza duas subtrações. Talveztenha lido o problema sem muitaatenção.

Aqui A6 consegue realizar uma leitura maisatenta e resolve o problema corretamente.

A7: Demonstrou desinteresse nas atividades realizadas, conversando e brincandomuito durante as aulas. Na sondagem final deixou em branco muitas questões. Masconseguiu resolver as de resolução direta (cálculos algorítmicos) na sondagem inicial.

Sondagem inicial Sondagem finalProblemas de dois passos que envolvem divisão e multiplicação.

Se três picolés de certo tipo custamseis reais, quanto se terá que pagar porsete picolés do mesmo tipo?

Se 4 barras de chocolate custam 24 reais,quanto se pagará por 6 barras iguais a essas?

Não fez.

A7 pegou dois dos númerosmencionados no enunciado e montou amultiplicação. Além de problemascom o entendimento da situação,podemos notar a dificuldade ao efetuara conta de multiplicar.Os problemas abaixo envolvem a noção de multiplicação por número natural.



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De novo, errou na conta, embora tenhapercebido corretamente que deveriamultiplicar

Evitou a multiplicação e fez uma somaiterada, acertando o resultado.




Embora tenha montado as contas demodo estranho, chegou ao resultadocorreto, ou seja, parece ter feito umainterpretação adequada da situação.

Aqui, A7 apenas faz uma subtração,mostrando ter prestado pouca atenção àpergunta do problema.



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Falha no entendimento da situação eexecução incorreta do algoritmo.

Falha no entendimento da situação, emboratenha conseguido fazer a conta de subtraçãocorretamente.

A8: Demonstrou interesse, principalmente nas atividades em equipe e com utilizaçãoda oralidade, liderando suas equipes, auxiliando os colegas e se envolvendo nasatividades dos outros grupos também. A8, segundo a professora da turma, é umaaluna com dificuldade nas atividades em geral e pouco participativa em aulastradicionais.

Sondagem inicial Sondagem inicial

Problemas de dois passos que envolvem divisão e multiplicação (e implicitamente aideia de proporção).



A8 efetua a multiplicação, dando aimpressão de ter compreendido oenunciado, embora não tenhaexplicitado a origem do 2 (talvezporque tenha feito mentalmente aconta 6 dividido por 3)

Aqui, A8 parece confusa com os dados doproblema. Primeiro realiza incorretamente aconta de divisão 24 por 4. Em seguidamultiplica 24 por 4. Interessante observarque ela faz a divisão, mas não utiliza oresultado obtido na outra conta, nemapresenta uma resposta explícita para apergunta.

Esse é um exercício de resolução direta, aplicado para verificar o desempenho dosalunos em relação a conteúdos básicos, como as quatro operações fundamentais.

Calcule quanto dá 144 dividido por18.


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A8 tem clara dificuldade para realizara divisão.

A dificuldade permanece na sondagem final.

Problemas que envolvem noção intuitiva de contagem, através da multiplicaçãoassociada ao raciocínio combinatório.

Se uma padaria vende 3 tipos desanduíche (misto quente, peito defrango, hambúrguer) e 5 tipos de suco(uva, morango, abacaxi, laranja emelancia), de quantas maneiras épossível montar uma refeiçãocomposta de um sanduíche e um suco?

Joana tem 2 calças e 3 camisetas de coresdiferentes. Quantos conjuntos de calça ecamiseta Joana consegue usar sem repetirum mesmo conjunto?

Aqui A8 parece querer realizar amultiplicação de 3 por 5, porém, comoela faz através da soma, pode ter seesquecido de um 3. A8 geralmenterealiza a multiplicação através desomas e diz que não sabe fazer contade divisão. De todo modo, parece tercompreendido o enunciado doproblema.

Na sondagem final A8 realiza amultiplicação, demonstrando ter entendido asituação e utilizando a multiplicação emlugar da soma iterada (talvez porque osnúmeros são “pequenos”).


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Efetue a seguinte conta: 1326 – 548. Efetue a seguinte conta: 5231 – 389.

Aqui, A8 não demonstra dificuldadecom a subtração, como no caso dadivisão e multiplicação.

A8 novamente não demonstra dificuldadecom a subtração.

Os problemas abaixo envolvem o raciocínio multiplicativo.



A8 realiza a multiplicação através desoma e novamente parece ter seesquecido de um termo. Apesar disso,demonstra ter compreendido oenunciado do problema. Não podemosafirmar, no entanto, se ela raciocinaaditivamente em situaçõesmultiplicativas ou apenas evita oalgoritmo da multiplicação porque nãoconsegue executá-lo corretamente

A8 demonstra ter compreendidomultiplicativamente a situação, executandocorretamente o algoritmo da multiplicaçãopara encontrar a solução do problema.


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A8 demonstra compreender oenunciado e consegue chegar àsolução correta.

A8 parece ter compreendido mal oenunciado, realizando uma soma na segundaetapa da resolução. Será que foi influenciadapela expressão “a mais” no enunciado?

Os problemas que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição emultiplicação.



A8 demonstra ter compreendido oenunciado, porém se confunde aorealizar a adição.

A8 demonstra ter compreendido oenunciado e, apesar de ter realizado amultiplicação de 3 por 5 como somassucessivas, consegue chegar ao resultadocorreto.

Os problemas abaixo envolvem três passos.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$

Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.

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126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?

Quantos jogos são do Sandro?

A8 parece não ter compreendido oenunciado. Realizou apenas a adiçãocom os dados (relativos a dinheiro)que constavam no problema.

Aqui, apesar de não ter conseguido chegar àsolução, A8 demonstra ter compreendido oenunciado. Quando ela realiza a subtraçãode 45 e 21, parece entender que os 24 reaisseria o valor que Sandro pagou pelos seusjogos. Ela também arma a divisão de 45 por15, parecendo entender que encontraria opreço de cada jogo, porém não chega a umaresposta final. Mostra evolução noentendimento da situação-problemaapresentada.




Aqui A8 demonstra não tercompreendido completamente oenunciado e chega a um resultadoincorreto na conta de multiplicação.

A8 parece ter compreendido o enunciado,executou os dois primeiros passoscorretamente, confundindo-se na últimaoperação, quando multiplica ao invés dedividir.

Os problemas j e i envolvem noção de comparação multiplicativa.João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?


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A8 realiza uma adição com os dadosque constam no enunciado, parecendonão compreender a situação e o que éperguntado.

Aqui A8 parece interpretar como quanto oirmão tem ‘a mais’ do que Kelly, ou seja,faz uma comparação aditiva.



A8 realiza divisão por 2 e tambémmultiplicação por 2. Podemosperceber que ela não compreende asituação fazendo várias contas semchegar a uma resposta final para oproblema apresentado.

Aqui A8 parece manter o raciocínio dadivisão por 2. Entretanto, não chega aoresultado da divisão. Assume um dado nãofornecido que se refere à possibilidade deque o número de figurinhas dos dois seja omesmo (talvez para que o problema admitauma só solução).



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A8 parece compreender apenas aprimeira parte do enunciado.

A8 pode ter se confundido com os dados. Deonde surge esse 18?

A9: Demonstrou um pouco mais de interesse nas atividades em grupo, mas no geralmostrou-se desinteressado e deixou muitos problemas sem fazer na sondagem final.Apresentaremos apenas os problemas que podemos comparar, tendo em vista que orestante da sondagem inicial foi resolvido corretamente, sem maiores intercorrênciasno que diz respeito às interpretações. Na comparação podemos observar que A9compreende bem os enunciados (tanto da sondagem inicial quanto da final). Ao queparece, deixou problemas sem fazer na sondagem final por desinteresse.Os problemas abaixo envolvem a noção de multiplicação.



A9 demonstra compreender oenunciado do problema, traduzindo-ocorretamente para a linguagemmatemática

A9 demonstra compreender o enunciado doproblema, traduzindo-o corretamente para alinguagem matemática.


Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosas

Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outros

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pelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?

foram deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?

A9 demonstra compreender oenunciado do problema, resolvendo-ocorretamente.

A9 demonstra compreender o enunciado doproblema e o resolve corretamente.



A9 demonstra compreender oenunciado do problema, traduzindo-ocorretamente para a linguagemmatemática

A9 demonstra compreender o enunciado doproblema, mas se confunde em relação aoque é pedido ao final. Encontra o número dejogos de Diego e não o de Sandro.

A10: Tímida, apresentando interesse na maioria das atividades individuais e escritas,porém não demonstrando interesse nas atividades orais.




100

Não fez.

Podemos perceber a dificuldade deA10 com a realização da divisão.

Problemas que envolvem raciocínio multiplicativo, na forma de contagem e cálculocombinatório.



A10 respondeu: “6”.

A10 parece ter compreendido oenunciado do problema e o resolveu,possivelmente, efetuando a conta demultiplicar mentalmente.

Parece ter feito a conta de multiplicarmentalmente.

Os problemas abaixo envolvem noção de multiplicação.



A10 parece ter compreendido oenunciado, apesar de realizar umasoma sucessiva ao invés damultiplicação.

A10 parece ter realizado o cálculomentalmente.

102

Quando A10 realiza a subtração de216 por 126, podemos pensar que elateria compreendido corretamente partedo enunciado do problema (subtraindopara encontrar o valor que Júliapagará). Porém responde “são dela 90caixas”, o que desfaz esseentendimento.

A10 não mostra como chegou a essenúmero. De qualquer forma parece não terpercebido que a pergunta do problema serefere aos jogos de Sandro e não aos deDiego.




A10 parece ter compreendido oenunciado do problema, apesar de terrealizado a divisão incorretamente.

A10 demonstra novamente tercompreendido o enunciado do problema,traduzindo-o corretamente para a linguagemmatemática e resolvendo com acerto.

Os problemas abaixo envolvem 2 passos, primeiro uma subtração e em seguida umaadição.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?


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Não consegui entender o que A10pensou. De onde aparece esse 16?

Nessa outra resolução, apesar de não terchegado à resposta correta, A10 demonstrater compreendido corretamente o enunciado.

A11: Conversa muito durantes as aulas, mas parece não ter muita dificuldade com amatemática. A maioria dos problemas foram resolvidos corretamente. A11 parececompreender bem os enunciados. Deixou vários problemas sem fazer na sondagemfinal.Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.



A11 resolve corretamente o problema. Podemos perceber que A11 conseguecompreender corretamente o enunciado,apesar de não ter colocado na resposta queforam 24 cães ‘a mais’.

Os problemas abaixo envolvem três passos.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?


A11 demonstra entender perfeitamenteo problema, expondo sua solução demaneira organizada e clara.

Aqui A11, como a maioria dos alunosparticipantes, confunde e dá como resposta onúmero de jogos de Diego, não o de Sandro.




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A11 não interpreta de modo correto asituação. Talvez por falta de atenção,não percebeu que foram dadas duasbananas para cada macaco.

Aqui A11 realiza somente a divisão,deixando subentendido que tenha realizadoos outros cálculos mentalmente. Podemosperceber que compreende bem o enunciadodo problema.

Os problemas j e i envolvem noção de proporção.João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?


A11 entende a situação como umacomparação aditiva e nãomultiplicativa.

A11 mantém o raciocínio da sondageminicial.

A12: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, fazendo perguntas, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. Apresentou um avanço na interpretaçãodos enunciados, quando comparamos seu desempenho nas sondagens inicial e final.




A12 parece não ter compreendidoadequadamente o enunciado. Nãorespondeu a pergunta feita.

Aqui A12 realiza as duas subtrações,monstrando uma compreensão completa doenunciado.

Os problemas abaixo envolvem três passos na resolução.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas de

Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) e

105

mesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?

pagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?

A12 parece não ter compreendidoadequadamente o enunciado. Nãoresponde a pergunta feita.

Aqui A12 demonstra melhora nacompreensão do enunciado, mas nãoresponde quantos são os jogos do Sandro esim os de Diego.




A12 parece não ter compreendido oenunciado. Ele apenas realiza adivisão de 84 por 12 e dá 7 comoresposta final.

aqui, A12 expressa claramente todos ospassos realizados, demonstrando tercompreendido todo o enunciado doproblema.



106

A12 parece não ter compreendido oenunciado, realizando uma adição quenão tem muito sentido no contexto doproblema.

Aqui A12 realiza a subtração e em seguida aadição demonstrando ter compreendido bemo enunciado do problema.

A13: Mostrou pouco interesse nas atividades realizadas, conversando muito duranteas aulas. Desempenho fraco em ambas as sondagens, demonstrando dificuldade comos conteúdos e com a interpretação dos enunciados. Deixou algumas questões embranco na sondagem final.Esse é um exercício de resolução direta (algoritmo), proposto para verificar odesempenho dos alunos em relação a conteúdos básicos, como as quatro operaçõesfundamentais.



Não fez.

Podemos perceber que A13 temdificuldade com a divisão.

A13 pode ter deixado em branco por terdificuldade com a divisão ou apenas pordesinteresse.



107

A13 soma 2 valores, um deles está noenunciado e o outro não. Além de nãoentender o enunciado, A13 aindademonstra falta de atenção com aleitura e dificuldades com a adição, jáque o resultado correto é 382.

Aqui A13 parece ter compreendido parte doenunciado quando realiza a subtração,porém ela para no meio do caminho e nãofinaliza a resolução.




Não fez.

A13 pode ter compreendido apenas oinício do enunciado, porém, além denão finalizar a resolução, mostra terdificuldade com a multiplicação. Os problemas j e i envolvem a comparação multiplicativa.João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?


108

A13 não compreendeu o enunciado doproblema, além de mostrar dificuldadecom a adição.

Aqui A13 pode ter interpretado como‘quanto dinheiro a mais’ e não ‘quantasvezes mais’, porém sinalizou uma subtraçãoe realizou uma adição.

Os problemas abaixo k e g, são problemas com mais de uma solução.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?


A13 parece não ter compreendido oque se pedia no enunciado.

Aqui A13 adiciona 280 com 280, talvezentendendo que cada um tem 280 figurinha.Percebe-se claramente que ela nãocompreende o enunciado (ou nem tentouentender).

Os problemas abaixo envolvem 2 passos.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?


A13 apenas escreve “158”. Talveztenha escrito algo apenas para nãoentregar a atividade em branco.

A13 realiza (incorretamente) umamultiplicação. Provavelmente não entendeuo enunciado.

A14: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre expondo suasresoluções e discutindo com os colegas.

Os problemas abaixo envolvem três passos.

Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?


109

A14 realiza todos os passos dasolução, demonstrando tercompreendido o enunciado doproblema.

A14 se confunde com a pergunta final,respondendo o número de jogos de Diego.



A14 divide por 2, sem perceber asvárias soluções.

A14 parece ter adquirido certo senso críticoem relação a esse tipo de problema.

A15: Não demonstrou interesse nas atividades realizadas, conversando muito duranteas aulas.

Esse é um exercício de resolução direta, aplicado para verificar o desempenho dosalunos em relação a conteúdos básicos, como as quatro operações fundamentais.Calcule quanto dá 144 dividido por18.


Podemos perceber a dificuldade emrealizar a operação.

Aqui A15 consegue fazer corretamente adivisão. E responde: “a equação da 12”.



110

A15 parece não compreender oenunciado.

A15 parece ter compreendido o enunciado,porém, como a maioria dos alunos, respondeo número de jogos de Diego e não o deSandro.




A15 parece ter compreendidoparcialmente o enunciado, masresponde que 72 macacos foramalimentados, não percebendo que esseera o número de bananas utilizadas naalimentação dos macacos. Nãoresponde corretamente a perguntafeita, porque para antes do passo final.

Aqui A15 parece não ter lido o problemacom atenção, ou não se esforçou paraentender o enunciado.

Os problemas j e i envolvem noção de proporção.João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?


111

A15 mostra um raciocínio correto,embora a multiplicação não seja tãonaturalmente adequada, no contexto,como a divisão.

A15 demonstra compreender bem oenunciado e apresenta uma resoluçãocorreta.



A15 assume que as pessoas possuem amesma quantidade de dinheiro, o quenão é mencionado no enunciado.

A15 mantém o raciocínio de igualquantidade para cada um.

Os problemas abaixo envolvem 2 passos.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?


A15 demonstra ter compreendido bemo enunciado e apresenta umaresolução correta.

Aqui também demonstra entendercorretamente o enunciado do problema.

A16: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas. São expostos aqui apenas os problemas em que A16mostra algum problema de interpretação.




112

A16 demonstra ter compreendidoparte do enunciado.

A16 mantém o raciocínio e parececompreender parte do enunciado.




A16 parece ter compreendido oenunciado, embora tenha seconfundido na obtenção do resultadoda multiplicação.

A16 não realiza o último passo da resoluçãocorreta.

A17: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas.



A17 não desenvolve todos os passosde uma resolução correta.

A17 parece ter compreendido parcialmenteo enunciado, confundindo-se na resposta àpergunta feita, como a maior parte doscolegas.

113




A17 parece não ter compreendido bemo enunciado.

A17 demonstra ter compreendido bem oenunciado, apresentando uma resoluçãocorreta do problema.



A17 parece ter compreendido parte doenunciado, porém quando realiza asegunda subtração, podemos pensarque ele confundiu as informações.

Aqui A17 parece ter realizado a atividadecom mais atenção e, portanto, chega àsolução correta.

A18: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas.

Problemas que envolvem o raciocínio combinatório e a contagem, via multiplicação.



114

Aqui A18 parece não tercompreendido o enunciado.

Aqui A18 parece ter compreendido bem oenunciado e apresenta uma resolução corretado problema.



A18 não realiza todos os passos daresolução.

A18 parece ter compreendido bem oenunciado, mas, como a maioria doscolegas, não responde a pergunta feita.




A18 parece ter compreendido parte doenunciado, porém não desenvolve umdos passos essenciais da resolução.

Aqui A18 mostra um raciocíniointeressante: ela divide 48 por 3 e emseguida subtrai 1 do resultado, parecendoperceber que 1 bolo corresponde a 3 ovos e,assim, chega à solução correta.

A19: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas apesar de ser um aluno muito conversador.

115

Os problema que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição emultiplicação.



A19 parece não compreendercompletamente o enunciado.

Aqui a resolução é corretamente delineada,demonstrando uma compreensão completado enunciado do problema.




Percebe-se que A19 compreende oenunciado, porém se confunde aorealizar a divisão.

Aqui A19 expõe os dados organizadamentee consegue chegar à solução correta.

Os problemas j e i envolvem noção de proporção.João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos que JoãoCarlos tem?


A19 parece entender o problema comouma comparação aditiva (quanto amais) e não como uma comparaçãomultiplicativa (quantas vezes mais).

Aqui A19 demonstra entender corretamenteo enunciado e apresenta uma solução semerros.

A20: Demonstrou pouco interesse nas atividades realizadas. Segundo a professoraregular, tem dificuldade em todas as disciplinas, conversas dispersivas durante asaulas.

Problemas de dois passos que envolvem divisão e multiplicação.

116



Podemos perceber que A20 nãocompreende matematicamente oenunciado. Ele apenas soma algunsdados do problema.

Aqui também, A20 demonstra não tercompreendido corretamente o enunciado doproblema.

Os problemas abaixo envolvem a noção de multiplicação de um decimal por númerointeiro.Se cada passagem de ônibus para ocentro da cidade custa 2,50 quanto sepagará por seis dessas passagens?


Podemos perceber que A20 nãocompreende matematicamente oenunciado.

Aqui A20 parece ter compreendido oenunciado. Mas preferiu realizar a somasucessiva ao invés da multiplicação.

Os problemas que seguem envolvem dois passos.



117

Podemos perceber que A20 tambémnão compreende o enunciado, eleapenas multiplica os números queaparecem no enunciado.

Aqui A20 parece ter compreendidoparcialmente o enunciado, porém nãofinaliza a resolução.



A20 não compreende o enunciado, eleapenas soma os números do problema.

A20 parece ter compreendido a situação,mas não percebe que a pergunta se refereaos jogos de Sandro e não de Diego.

A21: Demonstrou pouco interesse nas atividades realizadas. Muito conversador.

Problemas de dois passos que envolvem divisão e multiplicação.



118

Não fez.

A21 parece não ter compreendidocorretamente o enunciado.

Esse é um exercício de resolução direta (uma conta a fazer), aplicado para verificar odesempenho dos alunos em relação a conteúdos básicos, como as quatro operaçõesfundamentais.

Calcule quanto dá 144 dividido por 18. Calcule quanto dá 156 dividido por 13.

Não fez.

Podemos perceber claramente adificuldade com a divisão.

Os problemas que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição emultiplicação.



Não fez.

119

Percebe-se a dificuldade de A21 com aquestão.



A21 apenas soma 216 com 216,demonstrando não ter compreendidobem o enunciado.

Neste caso, A21 parece ter compreendido oenunciado, embora tenha dado comoresposta o número de jogos de Diego e nãode Sandro.

A22: Mostrou-se desinteressada em todos os encontros da pesquisa, conversandomuito. Apresentou muita dificuldade de interpretação (talvez por desinteresse) nasondagem inicial e deixou muitas questões em branco na sondagem final.Os problemas abaixo envolvem três passos, nesse caso divisão e subtração.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00 nototal. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?


A22 apenas soma dois valores queaparecem no problema.

Aqui A22 demonstra compreender parte doenunciado ao realizar a subtração, porémem seguida ela divide 45 por 5, parecendonão compreender corretamente o que épedido.


Dona Márcia comprou 7 dúzias de Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela

120

bananas. Distribuiu duas bananaspara cada macaco do zoológico quevisitou e levou 12 bananas para casa.Quantos macacos ela alimentou comas bananas?

foi ao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?

Não fez.

Aqui A22 parece compreender apenasuma parte do enunciado. Mostradificuldade com a tabuada.

Os problemas j e i envolvem noção de proporção.João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos que JoãoCarlos tem?


Não fez.

A22 novamente apenas soma os valoresque aparecem no problema. Além dissoainda apresenta dificuldade em realizara soma.Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?


Não fez.

121

A22 demonstra não ter lido o enunciadocom atenção, já que usa dados que nãoconstam no problema.

A23: Aluno com problema de saúde e devido a isso faltoso em quase todos osencontros da pesquisa, portanto foi excluído do rol dos participantes.

A seguir, apresentamos os resultados, por aluno, da comparação entre as sondagens.

Em seguida, uma síntese geral desta primeira etapa da análise.

Quadro 2 - Resultado por aluno da comparação entre as sondagens

Resultado da comparação entre as sondagensA1: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. Quando comparadas as sondagensinicial e final, A1 mostra evolução em questões envolvendo operações sucessivas, naquestão que envolve proporção (‘a mais’/ ‘vezes mais’), percebendo a diferença dostermos e dos conceitos envolvidos. A1 demonstra senso crítico ao perceber oproblema que admite mais de uma solução. A aluna mostra maior organização naresolução dos problemas, além de evidenciar maior atenção com os enunciados.Dentro dos critérios escolhidos para nossa classificação, A1 passa de um desempenhofraco para forte quando comparamos as sondagens.A2: Demonstrou certo interesse nas atividades de que participou, procurando tirardúvidas e expor suas soluções, porém apresentou grande dificuldade na matemática játrabalhada em anos anteriores e, além disso, faltou frequentemente às aulas. Quandocomparadas as sondagens, mostrou evolução em algumas questões, principalmentenas de resolução direta, o que pode configurar uma maior atenção/organizaçãodurante a resolução. Porém, na maioria das questões, manteve o mesmo nível dedificuldade da sondagem inicial. Permanece com fraco desempenho na sondagemfinal.A3: Demonstrou interesse em algumas atividades de que participou, mas foi umaluno que conversou muito e pareceu disperso muito frequentemente. Quandocomparadas as sondagens, verificamos certa evolução em problemas que envolviamoperações sucessivas, evidenciando maior atenção durante a resolução. Mostrou aindacerta evolução na interpretação, ao perceber a diferença entre os termos ‘a mais’ e‘vezes mais’, apesar de não chegar à resposta correta na solução do problema. Porém,na grande maioria das questões manteve o desempenho da sondagem inicial,permanecendo com fraco desempenho na sondagem final.A4: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. Comparando as sondagens, mostrouevolução em vários tipos de problemas. Apresentou melhor organização dos dadosem geral, além de senso crítico no problema envolvendo várias soluções, produzindoresposta consistente. Dentro dos critérios escolhidos para nossa classificação, passade um desempenho regular para forte.A5: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. Apresentou evolução na interpretaçãode vários problemas, produzindo resoluções mais bem organizadas e consistentes,

122

além de demonstrar senso crítico para problema com várias soluções. Dentro doscritérios escolhidos para nossa classificação, evolui de um desempenho regular paraforte.A6: Demonstrou interesse nas atividades realizadas questionando, expondo suasresoluções e discutindo com os colegas. Apesar de apresentar confundir-se em algunsproblemas que havia resolvido corretamente na sondagem inicial, mostra evoluçãoem vários aspectos, demonstrando maior organização e senso crítico, além deevidenciar uma leitura mais atenta. Dentro dos critérios escolhidos para nossaclassificação, evolui de um desempenho regular para forte.A7: Demonstrou desinteresse nas atividades realizadas, conversando e brincandomuito durante as aulas. Teve muita dificuldade com o conteúdo matemático e isso sereflete na interpretação. Deixou em branco algumas questões da sondagem finalevidenciando a falta de interesse com as atividades. Dentro dos critérios escolhidospara nossa análise, A7 permanece com fraco desempenho.A8: Demonstrou interesse, principalmente nas atividades em grupo e com utilizaçãoda oralidade, liderando suas equipes, auxiliando os colegas e se envolvendo nasatividades dos outros grupos também. Apesar de apresentar certa evolução nainterpretação dos problemas, evidenciada ao armar corretamente determinadasoperações, A8 demonstra muita dificuldade com o conteúdo matemático mesmo emexercícios de resolução direta (algoritmos). Dentro dos critérios escolhidos para nossaanálise, A8 permanece com fraco desempenho na sondagem final.A9: Demonstrou um pouco mais de interesse nas atividades em grupo, mas no geralmostrou-se desinteressado. Parece ter compreendido bem os enunciados na sondageminicial, obtendo um desempenho regular, tanto nas interpretações quanto nasresoluções, porém deixou muitos problemas sem fazer na sondagem final, o que nãonos permitiu classificar esse aluno, segundo o desempenho neste sondagem.A10: Demonstrou pouco interesse em atividades envolvendo oralidade. Apesar decompreender corretamente alguns enunciados, apresenta dificuldade com conteúdomatemático e pouca organização, mantendo um nível fraco de desempenho, quandocomparadas as sondagens.A11: Demonstrou pouco interesse nas atividades e conversou muito durantes asaulas, mas parece não ter muita dificuldade com o conteúdo matemático em geral. Amaioria dos problemas da sondagem inicial foram resolvidos corretamente,demonstrando compreender bem os enunciados, porém deixou muitas questões embranco na sondagem final, não nos possibilitando afirmar algo sobre seu desempenhona comparação das sondagens.A12: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, fazendo perguntas, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. A12 apresentou evolução nainterpretação de vários problemas, produzindo resoluções mais organizadas econsistentes. Quando comparamos as sondagens, passa de um desempenho fraco paraforte.A13: Demonstrou pouco interesse nas atividades realizadas, conversando muitodurante as aulas. Apresentou muita dificuldade na interpretação e resolução dosproblemas, mesmo naqueles de resolução direta. Na sondagem final deixou algumasquestões em branco, contudo podemos dizer que, de acordo com os critérios,permanece com fraco desempenho.A14: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre expondo suasresoluções e discutindo com os colegas. Mostrou facilidade com o conteúdomatemático, obtendo forte desempenho na sondagem inicial e ainda apresentando

123

evolução em certas questões, chegando a obter 100% dos pontos na sondagem final.Portanto, quando comparamos as sondagens, se mantem com forte desempenho.A15: Mostrou desinteresse nas atividades realizadas, conversando muito durante asaulas. Teve dificuldades em questões que envolviam operações sucessivas e mesmoem questões de resolução direta (algoritmos), tanto na sondagem inicial quanto nasondagem final. Desempenho fraco nas duas sondagens.A16: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas. Mostrou evolução na interpretação de várias questões,passando de desempenho fraco para forte segundo nossos critérios de análise.A17: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas. Demonstrou evolução em problemas com vários passos eoperações sucessivas, apresentando maior organização e atenção nas interpretações enas resoluções. Em nossa análise, passa de um desempenho regular para forte quandocomparamos as sondagens.A18: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas. Apresentou evolução em várias questões. Evoluiu de umdesempenho fraco para forte, de acordo com nossos critérios.A19: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, porém muito conversador. Temfacilidade com o conteúdo matemático e mostrou evolução na interpretação dosenunciados. Quando comparamos as sondagens, se mantem com forte desempenho.A20: Demonstrou pouco interesse nas atividades realizadas. Segundo a professoraregular da turma, tem dificuldade em todas as disciplinas e sempre se envolve emconversas dispersivas durante as aulas. De todo modo, A20 apresentou evolução emalgumas interpretações, como no problema de multiplicação de decimal por inteiro eproblemas envolvendo mais de um passo. Mesmo assim, permanece com fracodesempenho na sondagem final.A21: Se mostrou desinteressado em todos os encontros da pesquisa, conversandomuito. Muita dificuldade na sondagem inicial, deixou várias questões em branco nasondagem final, não nos permitindo uma comparação de desempenho.A22: Mostrou-se desinteressada em todos os encontros da pesquisa, conversando muito. Teve muita dificuldade na sondagem inicial e deixou muitas questões em branco na sondagem final, não nos permitindo comparar os desempenhos.A23: Aluno com problema de saúde e devido a isso faltoso em quase todos osencontros da pesquisa. Por isso, foi excluído da análise.

Observando nosso quadro comparativo, vê-se que 8 alunos (A2, A3, A7, A8,

A10, A13, A15 e A20) mantiveram, na sondagem final, o fraco desempenho da

sondagem inicial, 4 alunos (A1, A12, A16 e A18) evoluíram de fraco desempenho

(sondagem inicial) para forte (sondagem final), 4 alunos (A4, A5, A6 e A17) passaram

de regular para forte desempenho e 2 alunos (A14 e A19) se mantiveram com forte

desempenho. Para quatro alunos (A9, A11, A21 e A22), ficamos impossibilitados de

fazer a comparação de desempenhos nas duas sondagens por haverem deixado muitas

questões em branco na sondagem final.

Agrupamos os desempenhos comparativos dos alunos em três categorias:

124

a) Categoria M-M, formada pelos desempenhos comparativos dos alunos A2, A3,

A7, A8, A10, A13, A15 e A20, que se mantiveram na classificação Fraco nas

duas sondagens.

b) Categoria M-B, desempenhos comparativos dos alunos A1, A4, A5, A6, A12,

A16, A17 e A18, que evoluíram de Fraco ou Regular para Forte.

c) Categoria B-B, desempenhos comparativos dos alunos A14 e A19, que se

mantiveram Forte nas duas sondagens.

Pode-se inferir dessa análise que, de um total de 18 alunos cujos desempenhos

comparativos pudemos classificar, 8 não foram afetados significativamente pelo

conjunto de atividades realizadas, 8 foram positivamente afetados e 2 permaneceram no

mesmo patamar em que já estavam antes das atividades (embora possam ter sido

positivamente afetados). É de se notar que apenas 2 (cerca de 11%) dentre os 18 alunos

cujos desempenhos categorizamos, estavam, no início das atividades, num patamar de

Forte desempenho. Ao final das atividades essa quantidade de alunos subiu para 10 em

18 (cerca de 55%,) ou seja, aumentou 5 vezes. É claro que isso nos diz algo bastante

positivo em relação à construção e execução do conjunto de atividades. No entanto,

olhando por outro ângulo, observamos que 45% dos alunos se encontravam num

patamar de desempenho Fraco, e aí permaneceram, ou seja, para esses alunos, o

conjunto de atividades proposto não conseguiu alavancar um salto de qualidade no

desenvolvimento da capacidade de interpretação de enunciados de problemas

matemáticos.

Várias hipóteses podem ser levantadas para explicar a dificuldade de alcançar a

todos, numa experiência desse tipo. Vamos colocar aqui algumas delas, ressaltando que

são apenas hipóteses, ou seja, uma confirmação só poderia ser feita através de pesquisas

específicas, que ficam sugeridas, a nós mesmos, em trabalhos futuros, ou aos possíveis

leitores interessados.

Em primeiro lugar, como já comentamos, partimos do princípio de que a

aprendizagem só acontece efetivamente quando há interesse e engajamento do aprendiz.

Contudo, não conseguimos alcançar boa parcela dos participantes, em termos da

chamada “motivação” para a aprendizagem: com uma única exceção (A8), todos os que

permaneceram com desempenho Fraco na sondagem final mostraram pouco interesse no

desenvolvimento dos trabalhos, ao longo das atividades. Nesse sentido, pode-se sempre

indicar essa incapacidade de envolver todos os participantes num nível de engajamento

125

minimamente produtivo, como uma limitação do trabalho relatado, tanto do ponto de

vista da concepção, como da execução. Mesmo não conseguindo alcançar a todos,

talvez pudéssemos ter reduzido, além do que efetivamente conseguimos, a porcentagem

dos que permaneceram com fraco desempenho.

Outro elemento a ser considerado é a dificuldade de alguns dos participantes

com certos aspectos conceituais da matemática envolvida na interpretação eficiente dos

enunciados de problemas matemáticos. Aqui vamos dar um exemplo bem simples

apenas para esclarecer a ideia geral: uma dificuldade em termos dos significados das

operações de divisão ou multiplicação, pode impossibilitar a interpretação correta de um

problema que envolve o raciocínio multiplicativo. Em outras palavras, uma pessoa pode

saber fazer uma conta de multiplicar ou de dividir e não saber quando, numa dada

situação, é preciso fazer essa conta para chegar à resposta correta do problema. E essa

deficiência conceitual também pode ter ajudado a limitar o alcance e as contribuições

positivas das atividades propostas. Por outro lado, há que se considerar que a escola tem

um ritmo próprio, que lhe é imprimido pelas recomendações curriculares, entre outros

fatores. Assim, seria muito difícil, talvez até incompatível com o desenvolvimento usual

do programa curricular do sexto ano, que revisitássemos as operações fundamentais

com os números, trabalhadas nos anos iniciais do Ensino Fundamental, juntamente com

seus diferentes significados e algoritmos, numa abordagem adequada, agregando esse

objetivo ao de desenvolver a capacidade de interpretação de enunciados de problemas

matemáticos.

Por último, mas ainda deixando intocados outros aspectos que limitaram o

alcance das atividades propostas, devemos levar em conta que a professora regular

daquela sala de sexto ano nos cedeu suas aulas para que implementássemos esse

trabalho específico, não éramos a professora regular da turma. Tínhamos um prazo para

terminar o trabalho de campo e “devolver” as aulas para a professora regular, assim

como tínhamos um prazo para terminar a construção deste relato visando a diplomação

no Programa da UFOP. Esses prazos impõem certas condições ao desenvolvimento das

atividades. Por outro lado, cada aluno tem um ritmo, segundo o qual se sente mais ou

menos pronto para enfrentar as dificuldades que surgem no desenrolar de um processo

de aprendizagem matemática. Como tínhamos um período definido para começar e

terminar o trabalho, não poderíamos nem abusar da boa vontade da professora que nos

cedeu o tempo das aulas, nem extrapolar os limites impostos pelo Programa de pós-

126

graduação de que somos parte discente. Nesse sentido, percebemos que atividades como

as de mímica e representação/teatro, por exemplo, se levadas a cabo reiteradas vezes ao

longo de todo o ano letivo, poderiam oferecer uma contribuição maior na direção de

favorecer o desenvolvimento da capacidade geral de expressar ideias e de entender

ideias expressas por outrem, ou seja, de favorecer o desenvolvimento da capacidade de

interpretação dos enunciados de problemas matemáticos. Além disso, tais atividades,

colocadas como um desafio reiteradas vezes ao longo do ano letivo, seguramente

contribuiriam para promover maior disposição e engajamento dos alunos no processo de

aprender. Talvez essa reiteração das atividades ao longo do ano letivo possa ser feita

com mais propriedade no caso em que a própria pesquisadora seja efetivamente a

professora regular da turma.

Há, por fim, aspectos, a serem considerados, que se ligam à origem social dos

alunos e suas relações com os valores subjacentes à prática real de formação escolar,

aspectos ligados às limitações da eficácia de uma ação individual de determinado

professor, às normas de funcionamento rotineiro da instituição escolar etc. Tudo isso

pode afetar a construção e a execução de uma proposta de atividades como a que aqui

relatamos, mas seriam necessárias muitas outras pesquisas para entender a contento

como tais aspectos limitam ou contribuem para o avanço da aprendizagem na

interpretação e resolução de problemas matemáticos. São pesquisas que ficam como

sugestões de trabalho futuro para quem se interessar por este que agora relatamos.

4.2 Desempenho nas atividades e na sondagem final: há correlação?

O segundo movimento de análise envolve a comparação de desempenho no

desenvolvimento das atividades e o desempenho na sondagem final, a fim de verificar

se estão correlacionados. O primeiro nos forneceu três categorias (M-M, M-B e B-B) de

desempenhos comparativos nas duas sondagens e informou a respeito dos efeitos das

atividades trabalhadas sobre o desempenho dos participantes, em termos de

interpretação e resolução de problemas matemáticos, como comentado na seção

anterior.

Para esta segunda etapa, selecionamos alguns alunos de cada categoria para

avaliarmos a existência ou não de uma correlação positiva entre os respectivos

desempenhos ao longo das atividades e na sondagem final. A amostragem foi necessária

127

dada a dificuldade de fazer a análise para todos os participantes, tendo em vista o prazo

de que dispúnhamos e o fato de que são muitas as atividades que compuseram os cinco

blocos. Nesse sentido, de um total de 8 alunos da categoria M-B, foram selecionados os

4 que mostraram maior evolução de desempenho na comparação entre as sondagens.

São eles A1, A4, A6 e A12. Da categoria B-B, temos apenas 2 alunos no total, portanto

analisamos os desempenhos de ambos. São eles A14 e A19. De 8 alunos no total da

categoria M-M, selecionamos uma amostra de 4, com os índices mais baixos na

comparação de desempenho nas duas sondagens. São eles A2, A7, A8 e A13.

Apresentamos os resultados e comentários por bloco de atividades e por aluno.

Bloco 1 – Leitura, escrita, interpretação e descrição

A primeira atividade tratava de um texto que abordava formas geométricas,

relacionando-as com certas formas encontradas na natureza. Pedimos que os alunos

lessem o texto e em seguida respondessem cinco perguntas.

128

Quadro 3 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 1 do bloco 1

Categoria M-B

129

A1A primeira pergunta era se o aluno

havia gostado do texto e por quê.

A1 responde de acordo com o que

foi perguntado, tanto na letra a)

como na letra b). Mostra ter

compreendido as perguntas, além de

parecer ter lido o texto com atenção.A1 se empenha em responder a

questão, justificando com vários

exemplos sua resposta.A1 afirma que a rocha é uma “figura

não plana” demonstrando perceber a

diferença entre figuras espaciais e

planas. Percebemos novamente o

empenho de A1, ao procurar

justificar sua resposta.Aqui A1 desenha uma esfera e um

cubo. O texto cita explicitamente a

esfera, referindo-se, provavelmente,

ao planeta Terra, mas A1 não parece

identificar isso claramente. Cita a

janela, associando-a ao cubo.

Percebe-se que realiza a atividade

com empenho, procurando fazer o

que foi pedido.A4

A4 demonstra entender as perguntas

e justifica suas respostas. Assim

como A1, ela parece ter lido o texto

e os enunciados das perguntas com

atenção.

130

Aqui A4 justifica com vários

exemplos a presença da matemática

em sua vida.

Empenho nas justificativas e

atenção com a leitura do texto e das

perguntas.

A4 apenas desenha uma esfera,

mostrando certa acomodação, não

fazendo uma releitura do texto em

busca de outras possíveis respostas

para essa pergunta.

A6A6 responde que gostou do texto

porque “parece uma música”.

Podemos notar que ela compreende

a pergunta e responde de acordo

com o que é perguntado. Na letra b,

A6 afirma que o texto é um poema

porque tem rimas. A6 responde as perguntas

exemplificando. Apesar de não usar

as vírgulas para separar os exemplos

citados, nota-se que A6 mostra-se

focada no que é pedido.Aqui A6 demonstra, além de

compreender o enunciado, que

entende os sólidos como figuras

tridimensionais.

131

Aqui, ela apenas desenha duas

figuras, porém não associa com

elementos do texto, como é pedido.

A12A12 é sucinto, mas responde o que

lhe é perguntado.

Na letra b afirma que o texto é um

poema “porque tem versos”.

Novamente breve na resposta,

porém demonstra compreender a

pergunta respondendo de acordo

com o que é perguntado.A12 demonstra compreender a

natureza tridimensional dos sólidos.

A12 desenha o cubo e um

paralelepípedo genérico, porém não

associa com os elementos do texto.

Categoria B-BA14 - Não compareceu nesse dia.A19

132

A19 também é sucinto em sua

resposta, porém responde o que foi

perguntado, mostrando compreender

o que se pede. Como a maioria dos

alunos, afirma que o texto é um

poema por conter rimas.

Lembramos que essa frases foi dita

na sala durante a atividade, talvez

por isso vários alunos tenham dado

tal resposta.Aqui A19 parece entender a palavra

‘forma’, na pergunta, no sentido de

forma geométrica.A19 afirma que as rochas são “não-

planas” e diz que “os sólidos

geométricos são divididos em

planos e não-planos”. Distingue

figuras planas das espaciais, porém

não se expressa de forma precisa.Aqui A19 faz uma associação, de

acordo com o que é pedido.

Categoria M-MA3

A3 afirma ter gostado do texto,

porém podemos notar certa

dificuldade na escrita: “(...) ela nos

encina (...)”. Escreve “ela” para

referir-se ao texto, e “encina”,

confundindo a grafia da palavra.A3 parece fazer uma associação dos

problemas da vida real com os

problemas matemáticos. Ele

demonstra compreender o que é

pedido e ainda faz uma brincadeira

com a resposta.

133

Letra d) Por que o autor classificou as rochas

como sólidos geométricos?

A3 deixou em branco. Talvez não

tenha compreendido bem a pergunta

ou não conseguiu encontrar uma

resposta no texto.A3 faz uma associação de janelas e

portas com retângulo e quadrado.

A7Percebe-se certa dificuldade de se

expressar por escrito e de manter

atenção no que é pedido na

pergunta. “As rimas” não é uma

resposta precisa para a primeira

pergunta e, na segunda, A7 não

explica o que combinaria com quê.Aqui A7 responde o que é

perguntado, porém, podemos notar

dificuldades com pontuação e

grafia. A7 escreve “rimo”, querendo

dizer ‘rima’. Provavelmente tenha

dado essa resposta pelo fato de A17

ter dito isso em voz alta na hora da

realização da atividade.Ela afirma que a matemática está

presente na sua vida nas compras da

casa. Aqui A7 responde o que é

pedido, mesmo que ainda demonstre

dificuldades com grafia e

pontuação.

134

A7 responde a pergunta feita,

apenas grafa incorretamente a

palavra comprimento.

Aqui A7 parece não ter

compreendido bem a pergunta e não

faz a associação pedida. A8

A8 afirma que gostou do texto

porque gosta de poemas.

Ela afirma que o texto é um poema

por ter “frases bem curtas”.

Responde o que é perguntado.A8 diz que a matemática está

presente em sua vida e cita o

exemplo do uso de meia xícara de

café, associando com as frações.Apesar de demonstrar não

compreender bem o conteúdo

matemático, A8 responde o que foi

perguntado.Faz a associação pedida, pensando

talvez em uma face da borracha

(embora as borrachas normalmente

tenham faces retangulares).A13 – Não compareceu no dia.

No exercício de número 2, foi pedido que desenhassem figuras geométricas

planas básicas e escrevessem a descrição delas. Apresentamos abaixo as resoluções dos

alunos.


Categoria M-BA1

135

Talvez A1 tenha desenhado as duas

figuras tentando fazer uma

associação. Parece confundir faces de

uma figura tridimensional com lados

de uma figura plana.

A4A4 também desenhou duas figuras e,

na sua descrição, podemos perceber

certa confusão de conceitos,

linguagem e conteúdo.

A6

136

A6 demonstra compreender bem o

que foi pedido, explicando na

descrição que as figuras planas têm

duas dimensões.

Descreve as figuras com algumas

falhas na essencialidade (por

exemplo, não se refere à

perpendicularidade dos lados do

retângulo).

A12A12 só fez as letras c e d. Desenha as

figuras pedidas, porém demonstra

falhas conceituais graves.

Categoria B-BA14 – Não compareceu nesse dia.

137

A19A19 desenha o que foi pedido e

descreve as figuras como se fossem

tridimensionais: refere-se a faces,

vértices e arestas.

Categoria M-MAluno A3

A3 desenha todas as figuras pedidas.

Na descrição, podemos notar grande

dificuldade com o conteúdo e com a

linguagem. Porém tenta realizar a

descrição pedida.

Aluna A7

138

A7 mistura figuras planas e espaciais

na hora de desenhar. Demonstra não

compreender bem o que seja uma

descrição das características

essenciais, cita apenas objetos

parecidos com as figuras que ela

desenhou.

A8A8 desenha todas as figuras

corretamente. Tenta realizar uma

descrição, como foi pedido.

139

A13 – Não compareceu nesse dia.

No exercício 3, foi pedido que relacionassem as duas colunas. Em uma estavam

os problemas e na outra coluna as contas que levavam às soluções.

Além disso, pedimos que explicassem como fizeram tal associação.


Categoria M-BA1

A1 resolveu os problemas

corretamente e explicou como fez

para resolvê-los.

A4

140

A4 faz a associação e explica.

A6 A6 relaciona as colunas, porém

explica apenas as letras a e b. A

associação parece ter sido feita

em função dos números dados em

cada problema e não pela

resolução.

A12Apenas fez a associação, sem a explicação.

Associou corretamente.Categoria B-BA14 – Não compareceu nesse dia.A19

141

A19 fez a associação

corretamente. Respondeu para

todas as alternativas “Eu li o

probleminha e pensei”. Ficamos

sem saber se ela associou

simplesmente pelos números

dados nos problemas e nas contas

ou se realmente resolveu e

associou a partir das resoluções.

Categoria M-MA3

A3 fez a associação pedida e

explicou que, em geral,

relacionou por causa dos números

e das contas.

142

A7A7 fez a associação correta. Na

primeira explicação ela diz “o

tanto que tem e que colocou e o

que faltou” demonstrando

relacionar seu raciocínio com os

termos usados no problema. Na

última explicação diz “porque o

tanto que ele ganhou da família e

o tanto que falta”.

Nas outras duas explicações,

relaciona com os números do

problema.

A8A8 não faz a associação correta e

escreve apenas “Porque a

operação de mais”, “Porque era a

divisão”, “Porque era a

multiplicação” e “Porque é

divisão”. Em nenhum dos

problemas foi utilizada a

multiplicação ou a divisão. A8

parece entender o que precisaria

fazer no exercício, mas

demonstra dificuldade com os

conceitos matemáticos.

A13 – Não compareceu nesse dia.

No exercício 4, foi feita a exposição, durante 5 minutos, de um cartaz com o

seguinte texto:

143

Passados os 5 minutos, o texto foi retirado e pedimos aos alunos que

recontassem, com suas palavras o trecho que lhes foi apresentado.


Categoria M-BA1

A1 parece ter retido algumas

informações do trecho. Ao recontar

ela se lembra de quase todos os

termos utilizados.A4

A4 se lembra dos personagens e de

alguns fatos e expressões: estavam

dormindo, na barriga da avó. A

casa sonolenta.A6

A6 resume bem todo o trecho com

os personagens e fatos principais.

Além de reter as informações, ela

consegue trabalhar com elas,

estruturando bem a recontagem.A12

A12 retém os personagens e apenas

algumas informações. Apesar

disso, consegue resumir

144

razoavelmente a situação. A12

inclui o termo “redonda”, que não

fazia parte do trecho.Categoria B-BA14

A14 reteve muitas informações do

texto. E procura recontar no mesmo

estilo do trecho apresentado.

A19A19 reteve também muitas

informações e reconta em discurso

indireto a situação.

Categoria M-MA3

A3 reteve poucas informações do

trecho. Além disso, acrescenta

informações por conta própria,

como “dorminhoco” e “adora”.

A7A7 parece não compreender o que

se pede. Ela apenas retém uma

ideia fundamental do trecho, que é

a de dormir, mas não consegue

estruturar o texto.A8

A8 também parece não

compreender que foi pedido para

recontar e responde apenas “É um

poema”. A13

145

A13 reteve poucas, porém

qualificadas, informações do

trecho. Conseguiu estruturar essas

informações e recontar.

No exercício 5, era pedido que descrevessem com o máximo de detalhes a

imagem abaixo.


Categoria M-BA1

A1, além de descrever o que vê,

parece criar uma situação,

descrevendo também uma

circunstância quando diz que “eles

pararam o que estão fazendo e

estão olhando um para o outro”.A4

A4 descreve o cenário, citando

alguns elementos.

A6A6 descreve apenas a

circunstância, dando ênfase para o

momento da imagem.A12

146

A12 também não descreve a

imagem com detalhes, cita apenas o

que imagina que acontece no

momento.

Categoria B-BA14

A14 realiza a descrição do cenário

e vai além, imagina que o quarto

seja numa casa de praia.

A19A19 descreve basicamente o

cenário, porém com poucos

detalhes.

Categoria M-MA3

A3 não faz a descrição pedida, mas

cria uma situação possível para

aquele cenário.

A7A7 também não descreve.

Restringe-se apenas a dois

elementos do cenário: os livros e a

leitura.A8

A8 enumera os elementos que vê

na imagem, inclusive partes do

corpo, procurando talvez descrever

com o máximo de detalhes como é

pedido.A13

147

A13 descreve com poucos detalhes.

No exercício 6, trabalhamos com formulação de problemas. Apresentamos as

soluções e pedimos que inventassem problemas de acordo com as soluções dadas.

Lembrando que a solução da letra b continha um erro, além de ter uma subtração de um

número menor por um maior (eles ainda não aprenderam números negativos). O

resultado também estava errado, porém como já foi dito, só percebemos depois de

impresso e resolvemos deixar assim para ver o que aconteceria. Seguem as resoluções,

por categoria.


Categoria M-BA1

Nas letras a, c e e, A1 elaborou

problemas simples e de acordo com

as soluções. Na letra b, onde havia

o erro, A1 elaborou o problema

como se a subtração fosse do maior

pelo menor. Na letra d, ela também

elaborou um problema cujo

resultado era dado pela conta,

porém, a situação do problema não

parecia tão real, já que não é uma

situação corriqueira: “Tenho

24.934 árvores, quero dar a metade

para um homem(...)”.

148

A4Todos os problemas de A4 foram

bem elaborados, abordando os

dados importantes em situações

reais. Na letra b, ela também troca

os números para ser possível

realizar a conta. Apesar de ter

confundido a última conta, já que

375: 8 não totaliza 75, ela consegue

se expressar bem.

A6

149

As letras a e b foram elaboradas de

maneira correspondente às contas.

Na letra c, A6 diz que 15 galinhas

tiveram filhotes, mas não especifica

quantos. Faltou dizer que cada

galinha teve um filhote (que

também era fêmea) para adequar o

problema à solução. Na letra d, o

problema, não se encaixa com a

solução. Na letra e, A6 parece

descrever uma situação utilizando a

solução fornecida, porém não

elabora um problema.

A12 A12 faz apenas as letras a, c e d,

todas corretamente (a menos de

ajustes em alguns pontos, como por

exemplo, um jardim com 12.000

árvores).

150

Categoria B-BA14

A14 elabora problemas

correspondentes às soluções dadas,

porém na letra e), a resposta não

fica condizente com a pergunta do

problema.

A19A19 elaborou problemas

condizentes com as soluções dadas.

Na letra b) ele troca os números

para tornar possível a subtração.

151

Categoria M-MA3

Na letra a, A3 diz “Maria tinha

1345 e ganhou mais 208 (...)” mas

não especifica o quê Maria tinha.

Apesar de o problema estar de

acordo com a solução dada, não

fica claramente enunciado. Na letra

b, ele troca a ordem dos números

também. Na letra c, o enunciado

fica confuso e não corresponde à

solução apresentada: “(...) ganhei

só 15 reais. Qual foi minha medida

de dinheiro?”

Na letra d o enunciado é claro e na

letra e), a pergunta não condiz com

a resposta.A7

Na letra a, A7 consegue elaborar

um problema condizente com a

solução dada. Na letra b, ela

também troca os termos de lugar e

elabora um problema de acordo

com a solução. Na letra c, o

problema elaborado não

corresponde à conta dada como

solução. A letra d), ela deixa em

branco e na letra e) ela elabora um

problema adequado à solução dada.

A8

152

A8 elabora enunciados condizentes

com as soluções nos itens a, b, c e

d. Porém na letra d, ela diz que as

árvores estavam “Em um campo” e

“na floresta” e depois pergunta

“Quantas árvores tem na estufa”

deixando a situação confusa, além

de não ter usado a pontuação

adequada.

Na letra e, A8 não elabora

problema condizente com a

solução.

A13A13 é bem confusa em sua escrita,

além de não utilizar pontuação

adequada. De toda forma, na letra

a), elaborou problema condizente

com a solução. Na letra b, ela

inverte os dados, como os outros

alunos, porém coloca uma situação

um pouco exagerada para a vida

real. Ela diz “(...) meu pai comeu

288” (galinhas).

Na letra d, ela diz “(...) eu

arranquei”, com relação às árvores,

o que também soa meio estranho,

além da solução não poder ser dada

pelo problema. Na letra e) o

enunciado é inconsistente com a

solução.

Bloco 2 – Leitura, escrita, interpretação e descrição

153

O bloco 2 foi realizado em duplas, portanto, alguns dos alunos que aparecem na

análise não fazem parte de nossa amostra. De qualquer forma, especificamos a qual

categoria os alunos pertencem.


A1 (M-B) e A5 (M-B)Podemos perceber que as alunas

armaram e fizeram as contas

corretamente. Na letra e, que não

aparece na imagem, elas realizam a

divisão de 120 por 2 e na sequência

somam 120 com 60, mostrando boa

compreensão da situação.A6 (M-B) e A9 (não categorizado)

A6 e A9 não tiveram bom

desempenho nesse exercício. Na

letra b) multiplicam 120 por 52, ao

invés de subtrair e na letra c)

somam 224 e 18 ao invés de

dividir. Na letra e) multiplicam 120

por 60 ao invés de somar. Mostram

dificuldade na compreensão

matemática da situação.

154

A12 (M-B) e A19 (B-B)A12 e A19 realizam corretamente

todo o exercício demonstrando

terem compreendido bem os

enunciados.

A14 (B-B) e A4 (M-B)A14 e A4, apesar de terem errado a

conta da letra b), demostram

compreender bem os enunciados do

problema.A3 (M-M)

A3 realiza a multiplicação na letra

a), demonstrando compreender o

enunciado. Nas letras b), c) e d)

demonstra não ter compreendido o

que se pedia e na letra e) consegue

resolver corretamente.

A7 (M-M)Não compareceu no dia.A8 (M-M) e A18 (M-B)

155

As alunas parecem ter

compreendido corretamente os

enunciados a), b) e e). Na letra c)

dividem 16 por 14, quando

deveriam multiplicar. Na letra d)

multiplicam 34 por 20.A13, A15 e A22 (todas M-M)

As alunas demonstram clara falta

de compreensão da situação.

O exercício 2 apresentou uma bula de remédio para que os alunos respondessem

algumas questões relacionadas ao texto da bula.

156


A1 (M-B) e A5 (M-B)As alunas demonstram ter

interpretado o texto da bula

corretamente.

A6 (M-B) e A9 (não categorizado)A dupla demonstra ter interpretado

o texto da bula corretamente.

A12 (M-B) e A19 (B-B)

157

A dupla demonstra ter interpretado


A14 (B-B) e A4 (M-B)A dupla demonstra ter interpretado


A3 (M-M)A3 parece ter entendido a questão,

porém na letra e), responde

incorretamente “1 embalagem”.

A7 (M-M) Não compareceu nesse dia.A8 (M-M) e A18 (M-B)

158

A dupla demonstra ter interpretado


A13, A15 e A22 (todos M-M)O trio parece ter dado respostas

aleatórias, incoerentes em relação

às perguntas. Parece que não leram

a bula com a devida atenção.

O exercício 3, pedia que sublinhassem as informações que não eram necessárias

para resolução dos problemas.


A1 (M-B) e A5 (M-B)

159

As alunas sublinharam dados

desnecessários em todos os itens,

porém, havia mais algumas

informações que elas podiam ter

destacado em a), b) e c).

A6 (M-B) e A9 (não categorizado)A dupla destacou dados



informações que podiam ter sido

destacadas em a), b) e c).

A12 (M-B) e A19 (B-B) A dupla destacou dados



informações que poderiam ter sido


A14 (B-B) e A4 (M-B)

160

A dupla destacou dados




destacadas em a) e b).

A3 (M-M)A3 destacou dados desnecessários

em todos os itens, porém, havia

mais algumas informações que

poderiam ter sido destacadas em a),

b) e c).

A7 (M-M)Não compareceu nesse dia.A8 (M-M) e A18 (M-B)

A dupla destacou dados





A13, A15 e A22 (todos M-M)

161

O trio destacou dados





O exercício 4 pedia que resolvessem os problemas e explicassem como

pensaram para resolvê-los.


A1 (M-B) e A5 (M-B)

162

Na letra a), A1 e A5 somaram a

quantidade de homens e mulheres e

explicam que precisariam somar

para obter o total de pessoas,

porém, não mencionam nada sobre

a quantidade de aeromoças. Na

letra b), apresentam uma solução

sem considerar outras possíveis. Na

letra c), dividem 12 por 4 supondo

que os sabonetes eram de mesmo

preço e ignoram a pergunta sobre

os tipos diferentes de sabonete que

poderiam estar à venda. Na letra d),

mostram certo senso crítico, ao

afirmarem: “Não dá pra

responder”.A6 (M-B) e A9 (não categorizado)

A6 e A9 também ignoram a

pergunta sobre a quantidade de

aeromoças na letra a).

Na letra b), apresentam apenas uma

solução. Na letra c) também

ignoram a pergunta sobre os tipos

diferentes de sabonete. Na letra d),

somam a quantidade de carneiros e

cabras para responder qual a idade

do capitão e ainda explicam que

fizeram isso.

A12 (M-B) e A19 (B-B)

163

A12 e A19 subtraem o número de

homens e mulheres e não explicam

porque o fizeram. Ignoram a

pergunta sobre a quantidade de

aeromoças. Na letra b) apresentam

apenas uma solução, sem explicar.

Na letra c) apenas dividem 12 por

4, também sem explicar e na letra

d) somam o números de carneiros e

cabras. Mostram entendimento

precário do enunciado. A14 (B-B) e A4 (M-B)

A14 e A4 também somam 25 com

32 e ignoram a pergunta sobre a

quantidade de aeromoças. Na letra

b) apresentam apenas 1 solução. Na

letra c), respondem ‘3 reais’ como

as outras duplas, sem explicar nem

considerar a pergunta sobre os tipos

diferentes de sabonetes. E na letra

d) somam o número de carneiros e

cabras, também sem explicar.A3 (M-M)

A3 soma a quantidade de homens e

mulheres e responde que não sabe a

quantidade de aeromoças, o que

mostra pelo menos que considerou

a pergunta. As outras respostas

seguiram como as duplas

anteriores, porém com tentativas

(insatisfatórias) de explicar como

pensou para resolver.

A7 (M-M) Não compareceu no dia.A8 (M-M) e A18 (M-B)

164

A8 e A18 somaram e explicaram

como fizeram na letra a), porém

não responderam adequadamente a

pergunta. Na letra b) apresentaram

uma solução, explicando que

multiplicaram 15 por 10,

desconsiderando outras possíveis.

Na letra c) deram a resposta 3,

porém mencionaram que havia 2

sabonetes de uma marca e 2 de

outra.A13, A15 e A22 (M-M)

O trio responde que não dá para

saber a quantidade de aeromoças,

pois o problema não dá

informações, demonstrando senso

crítico e autoconfiança na resposta.

Na letra b) apresenta uma solução,

sem explicar. Na letra c) responde

‘3 reais’ e dizem que há 4 tipos de

sabonete, sem explicação. E na

letra d), mostram senso crítico

novamente.

Bloco 3 - Enunciados de Problemas Matemáticos (Atividades envolvendo Teatro,

Encenações, Mímicas)

O bloco 3 foi realizado em grupo. Cada grupo recebeu um problema e teria que

montar uma apresentação gestual para a turma, de modo que os outros grupos pudessem

construir o enunciado do problema, na forma mais aproximada possível. A turma foi

dividida em 5 grupos e cada grupo recebeu uma folha com a seguinte instrução:

165

Abaixo, seguia um problema diferente para cada grupo.


Três novelos de lã pesam 200 gramas. São necessários exatamente seis desses novelos

para fazer um pulôver. Quantos gramas de lã estarão incorporadas ao pulôver?


O 6° ano fará uma apresentação para toda a escola. Para isso, a diretora alugou 350

cadeiras para organizá-las na quadra, em fileiras. Cada fileira terá 10 cadeiras.

Quantas fileiras ela organizará?


Eu e mais quatro amigos fomos a um restaurante. A conta de 65 reais foi dividida

igualmente entre nós. Paguei minha parte e ainda fiquei com 11 reais. Que quantia eu

tinha quando entrei no restaurante?


Cristina foi a uma livraria para comprar 5 cadernos e 1 livro. O total da conta foi 22

reais. Como o livro custou 7 reais e todos os cadernos têm o mesmo preço, quanto ela

pagou por caderno?

Problema - Grupo 5 (A2, A4, A8, A16, A18)

Numa partida de basquete, Júnior fez o triplo dos pontos feitos por Manuel. Os dois

juntos marcaram 52 pontos. Quantos pontos Júnior marcou nessa partida?

Quadro 13 - Análise dos desempenhos dos alunos nas atividades do bloco 3

Categoria M-BA1 – Grupo 3

166

A1 se empenhou bastante na

atividade, fazendo gestos e

desenhos. Também se empenhou

em adivinhar os enunciados dos

outros grupos. As construções dos

enunciados do seu grupo, em geral,

foram razoáveis.A4 – Grupo 5

A4 também mostrou empenho na

atividade, juntamente com seu

grupo, além de ter se empenhado

na construção dos problemas

apresentados pelos outros grupos.A6- Grupo 3

A aluna A6 também demonstrou

interesse nas atividades, além de se

empenhar na apresentação do seu

grupo. Esforçou-se em tentar

adivinhar os problemas dos outros

grupos.

A12 – Grupo 2A12 foi um dos alunos mais

empenhados da turma, tanto em sua

apresentação, quanto na

apresentação dos outros grupos.

Fez gestos, deu palpites, perguntou

e respondeu muito.

Categoria B-BA14 – Grupo 3

167

A14 também demonstrou interesse

na atividade, se prontificando a

tentar adivinhar os problemas dos

outros grupos e colaborando com o

seu grupo na apresentação.

A19 – Grupo 2A19, apesar de muitas brincadeiras

e conversas, fazia tudo que era

pedido. Colaborou com seu grupo

nas apresentações, além de se

envolver nas apresentações dos

outros grupos.

M-MA7 – Grupo 4

A7 se empenhou pouco. Fez

algumas tentativas na apresentação

do seu grupo e se dispersava nas

dos outros grupos.

A8 – Grupo 5A8, foi a aluna que mais

demonstrou interesse nas atividades

que envolviam oralidade. Se

engajou nas apresentações de seu

grupo, além de se empenhar nas

apresentações de todos os outros

grupos.A13 – Grupo 1Não possui imagens. Se recusou a apresentar com seu

grupo, além de não demonstrar

interesse nas apresentações de

168

outros grupos.

Bloco 4 - Identificação de dados dos problemas

O bloco 4 foi realizado em duplas, portanto, alguns dos alunos que aparecem na

análise não fazem parte de nossa amostra. De qualquer forma, especificamos a qual

categoria todos os alunos pertencem. As duplas teriam que explicar para a turma seu

problema, identificar dados relevantes e irrelevantes e explicar porque são ou não

relevantes para a resolução do problema. Havia uma instrução em comum em cada folha

conforme imagem abaixo:

Seguia então um problema diferente para cada dupla.

Problema - Grupo 1

Pedro está escrevendo um grande letreiro com a palavra "canguru", pintando uma

letra por dia. Ele começou a escrever o letreiro na quarta-feira e trabalha todos os

dias. Em que dia da semana ele irá terminar o letreiro?

Problema - Grupo 2

Simão levantou-se faz uma hora e meia. Daqui a três horas e meia irá tomar o trem

para a cidade de sua avó. Quanto tempo antes da partida do trem ele se levantou?

Problema - Grupo 3

Um criador de galinhas, chamado José Bonifácio, tem caixas de papelão para

armazenar 6 ovos e caixas de um material plastificado para armazenar 12 ovos. Qual é

o menor número de caixas que ele precisa para armazenar 66 ovos?

Problema - Grupo 4

169

Numa prova de matemática do terceiro ano do Ensino Médio, a maioria dos alunos foi

muito bem. Na realidade, 3/5 dos alunos da classe obtiveram nota máxima nesta prova.

A prova tinha quatro questões, valendo 5 pontos cada questão. Dessa forma, qual é o

número de alunos que não obtiveram nota máxima nessa prova?

Problema - Grupo 5

Um carro da marca FIATWAGEN possui um tanque de combustível cuja capacidade

máxima é de 60 litros. O motorista, ao passar em frente ao campo de futebol de

Cachoeira Branca, percebeu que o tanque estava apenas com 1/4 da capacidade de

combustível e, portanto, não seria possível completar a viagem planejada entre as

cidades de Cachoeira Branca e Ouro do Campo, que distam entre si mais ou menos

200 km, sem colocar mais combustível no carro. O motorista, então, vai ao posto de

gasolina, que se localiza ao lado do campo de futebol e pede ao frentista para encher

completamente o tanque. Quantos litros, aproximadamente, foram colocados no

tanque?

Problema - Grupo 6

Joana começou a ler um livro de filosofia, que estava escrito em inglês e tinha mais de

100 páginas. Ela leu 20 páginas no primeiro dia e 10 novas páginas no dia seguinte.

Quantas páginas ainda faltam para Joana terminar de ler o livro?

Problema - Grupo 7

Pâmela subiu num banquinho de madeira escura e ficou exatamente com a mesma

altura de seu pai. Qual é o valor da diferença entre a altura de Pâmela e a de seu pai?

Problema - Grupo 8


Problema - Grupo 9

Caio é um garoto de 6 anos e gosta muito de brincar com bolinhas de gude. Todos os

dias acorda às 8 horas, toma o seu café com leite, come uma fruta, um pãozinho

integral com queijo e corre para a casa de seu amigo Júnior para brincar. Caio levou 2

dúzias de bolinhas coloridas para jogar. Dezesseis dessas bolinhas eram azuis e as

demais eram verdes. No final do jogo ele havia perdido um quarto de suas bolinhas

170

verdes e Júnior ficou muito contente, pois agora tinha três vezes mais bolinhas azuis do

que restou ao Caio. Quantas bolinhas Júnior tinha ao iniciar o jogo?

Problema - Grupo 10


Quadro 14 - Análise dos desempenhos dos alunos nas atividades do bloco 4

Categoria M-BA1Não compareceu no dia. A4 e A10 (M-M) – Grupo 8

A dupla não quis apresentar para a

turma. Monstra senso crítico ao

escrever que estava “faltando o

dinheiro que Júlia tem.” Apesar

disso, não especifica os dados

pedidos.A6 e A5 (M-B) – Grupo 3

A dupla julgou relevante para a

resolução do problema o tipo de

material das caixas para armazenar

os ovos. Porém, aponta todos os

dados relevantes também. Ainda

apontam dados irrelevantes

corretamente.

A12 (M-B) e A11 (não categorizado) – Grupo 1

171

A dupla julgou irrelevante a

informação ‘trabalha todos os dias’,

justificando que “...no problema já

fala que ele pinta uma letra por

dia”. Dessa maneira, perguntei a

A12 o seguinte: se Pedro

trabalhasse dia sim dia não por

exemplo, terminaria na terça-feira

também? Ele disse que não. E

perguntou se Pedro trabalhava

todos os dias na palavra canguru ou

no trabalho dele. A pergunta faz

sentido, uma vez que não foi

mencionado, no enunciado, que

Pedro era pintor, por exemplo.

Poderia ter outro trabalho regular e

pintar apenas uma letra por dia, nas

horas de folga.Categoria B-BA14

A14 não compareceu no dia da

realização e portanto ficou sem

grupo para apresentar. Entretanto,

mostrou-se interessada nas

apresentações dos outros grupos no

outro dia. A imagem ao lado

mostra A14 se envolvendo na

apresentação do grupo 7, medindo

o tamanho do banquinho desenhado

por A8, na tentativa de descobrir a

diferença entra a altura de Pâmela e

do pai, conforme o enunciado do

problema do grupo 7.A19 e A17 (M-B) – Grupo 2

172

A dupla demonstrou compreender

bem as instruções do problema e

deram respostas satisfatórias.

Categoria M-MA3 e A20 (M-M) – Grupo 4

A dupla não fez a classificação de

dados relevantes ou irrelevantes.

A7 e A15 (M-M) – Grupo 5A dupla parece ter compreendido

bem a atividade. Apesar de não ter

apresentado para a turma, realizou

bem a classificação dos dados.A8 e A18 (M-B) – Grupo 7

A8 realizou a apresentação sozinha,

pois A18 não compareceu no dia.

Mostrou-se engajada, explicando

para toda a turma quais eram os

dados relevantes e irrelevantes.

Durante a discussão, percebeu que

a diferença entre as alturas pedidas

era a altura do banquinho e

mencionou o fato para a turma.A13 e A22 (M-M) – Grupo 6Não fizeram e não apresentaram.

173

Bloco 5 - Problemas com um ou mais passos e formulação de problemas

As atividades do bloco 5 foram realizadas individualmente. A primeira tratava

de 4 questões referentes às informações fornecidas no enunciado.


Categoria M-BA1

Compreendeu bem os enunciados,

desenvolvendo todos os passos para

resolver as questões, apesar de ter

errado a multiplicação na letra a).

A4A4 mostra um raciocínio bem

desenvolvido. Multiplica 78 por 3

na letra a), percebendo a proporção.

Na letra c), ela também percebe

que 168 é o dobro de 84 e dobra a

174

quantidade de carrinhos. Na letra

d), utiliza o mesmo raciocínio.A6

A6 demonstra compreender bem os

enunciados e realiza todas as

operações necessárias para a

resolução dos problemas.

A12 A12 demonstra compreender bem

os enunciados e realiza todas as



Categoria B-BA14Não compareceu nesse dia.A19

A19 demonstra compreender bem

os enunciados e realiza todas as


resolução dos problemas. No

entanto, erra a conta de

multiplicação da letra a).

Categoria M-MA3

A3 demonstra compreender bem os

enunciados e realiza todas as



A7A7 arma contas que não nos parece

fazer muito sentido no problema.

Talvez não tenha compreendido o

175

que se pede.A8

A8 realiza algumas operações,

parecendo perceber as proporções

envolvidas no problemas, porém se

responde incorretamente as letras c)

e d). Parece ter desmanchado

contas realizadas anteriormente em

todas as questões. Além disso, os

números que “sobem” nas contas,

não condizem com o desenrolar das

contas, dando-nos a impressão de

que copiou de alguém.A13

Na letra a), A13 parece

compreender bem a proporção

envolvida a proporção envolvida,

apesar da dificuldade com a

multiplicação, optando por realizar

uma soma reiterada. Na letra b),

A13 divide por 3, ao invés de

dividir por 2. Não responde a letra

d).

A segunda atividade envolvia formulação de problemas. Foram dados 6

problemas faltando informações, de modo que precisariam completar e resolver.

Vejamos as soluções abaixo.


Categoria M-BA1

176

A1 foi direta e sucinta nas suas

formulações. Apesar de errar a

subtração na letra b), esforçou-se

para completar os dados dos

problemas e para solucioná-los. Na

letra d) não conta com as cadelas

para dar a resposta e na letra f),

confunde ‘quantas vezes mais’ com

‘quantas a mais’.

A4

177

A4 demonstra empenho na

elaboração e solução dos seus

problemas. Utiliza números

maiores e realiza as operações com

atenção. Na letra d) não conta com

as cadelas e na letra f) confunde

‘quantas vezes mais’ com ‘quantas

a mais’.

A6A6 elabora problemas sucintos e

não os resolve, o que mostra certa

distração com o enunciado da

questão. Deixa em branco a letra f).

A12

178

A12 demonstra empenho e atenção

em suas elaborações e resoluções.

Categoria B-BA14Não compareceu nesse dia.A19

A19 demonstra empenho em suas

elaborações e resoluções. Além

disso foi o único que na letra d)

conta com as duas cadelas e na

letra f) percebe que a pergunta é

‘quantas vezes mais’, fazendo a

diferença em relação à comparação

aditiva.

Categoria M-MA3

179

A3 parece se esforçar para elaborar

e resolver os problemas, apesar de

cometer alguns equívocos.

A7A7 demonstra certo empenho nas

elaborações, porém não resolve

nenhum dos problemas. Talvez

falta de atenção na leitura das

instruções.

A8

180

A8 demonstra empenho na

elaboração e dificuldade nas

resoluções. Na letra d) não resolve

e na letra f) responde “1 vez”.

A13A13 demonstra dificuldade na

elaboração do problema da letra a).

Parece não perceber que já existe

uma pergunta final e cria outra

pergunta, deixando o problema sem

sentido. Na letra b) tem dificuldade

de elaboração, já que depois de

nascerem 4 galinhas fica um total

de três. Para resolver realiza

adição, demonstrando dificuldade

com a resolução também. Na letra

e) não interpreta corretamente, pois

soma os valores com os quais

completa o problema, sem atentar

para a pergunta. Na letra f) parece

não compreender o problema, tanto

na elaboração quanto na resolução.

181

Em nossa análise de desempenho nas atividades, consideramos vários quesitos

como: leitura, escrita, organização, retenção de dados, criatividade, articulação,

reconhecimento de dados essenciais, senso crítico, além do empenho nas atividades

escritas e orais, individuais e em grupo. Apresentamos abaixo o desempenho geral de

cada aluno nas atividades.

Quadro 17 - Resultado geral do desempenho dos alunos nas atividades

Categoria M-BA1A1 demonstrou atenção com a leitura e a escrita em geral, procurando sempre

justificar suas soluções para os problemas propostos. Apresenta falhas no domínio

de certos conteúdos, mas conseguiu interpretar bem os enunciados dos problemas

propostos, formulou problemas simples, porém de acordo com as soluções

apresentadas nas questões. Desempenho forte nas atividades.A4Demonstrou atenção com a leitura e escrita em geral. Resoluções organizadas e

justificativas corretas para as respostas. Além de empenho e boa interpretação dos

enunciados, formulou os problemas corretamente. No geral, desenvolveu bem as

atividades. Desempenho forte.A6Demonstrou atenção com a leitura e escrita em geral. Também apresenta resoluções

bem organizadas justificativas corretas para suas respostas, citando exemplos.

Mostrou capacidade de retenção de informações, quando reconta o trecho (exposto

durante cinco minutos) de maneira sucinta, com as informações essenciais e bem

estruturado. Apesar de não formular todos os problemas corretamente, desenvolveu

bem as atividades, no geral. Desempenho forte.A12 A12 também demonstrou atenção com a leitura e escrita em geral. Apresentou

respostas sucintas porém sempre com justificativas plausíveis, demostrando

empenho para realizar tudo que foi pedido. Elaborou os problemas corretamente,

criando situações de acordo com as soluções dadas. Interpretou corretamente os

enunciados. No geral, desenvolveu bem as atividades. Forte desempenho.Categoria B-BA14

182

Apresenta boa capacidade de retenção de informações na atividade em que deveria

reproduzir o texto exposto durante cinco minutos. Interpretou bem os enunciados

dos problemas propostos, formulou os problemas corretamente, de modo geral,

descreveu bem a situação do quadro, com criatividade e se empenhou nas atividades

realizadas. Forte desempenho.A19Também demonstrou atenção com a leitura e escrita em geral. Apresentou boa

interpretação dos enunciados e justificativas corretas, além de respostas sucintas.

Compreendeu bem os enunciados, realizando exatamente o que foi pedido. A19

demonstrou facilidade com a resolução dos problemas, com resoluções que mostram

um raciocínio matemático bem desenvolvido. Descreveu a situação apresentada em

uma das atividades de forma sucinta, mas com as informações essenciais. Elaborou

bem os problemas e se empenhou nas atividades em geral. Forte desempenho.Categoria M-MA3Apresentou boa organização, porém demonstra dificuldades com a escrita em geral

e com os conteúdos matemáticos, o que prejudicou seu desempenho, especialmente

na interpretação matemática da situação descritas nos enunciados. Reteve poucas

informações do trecho apresentado (cinco minutos de exposição), acrescentando, na

recontagem, informações que não constavam do texto original. Não fez uma boa

descrição do cenário apresentado, mencionando poucas informações sobre o

referido cenário. Mostrou dificuldades na formulação de problemas, com

enunciados confusos e soluções incoerentes. Apesar de aparentar certo empenho em

algumas atividades, no geral mostrou-se disperso ao longo das atividades. Fraco

desempenho.A7Apresentou dificuldades com a leitura, com a escrita e com a interpretação dos

enunciados das atividades em geral. A7 também apresentou dificuldades com os

conteúdos de geometria. Apesar da dificuldade em se expressar, A7 fez boas

associações no caso dos problemas e suas soluções. Não realizou a descrição

solicitada da imagem apresentada aos alunos, citando apenas um elemento da

imagem. Fraco desempenho.A8Dificuldades com a leitura, com a escrita e com os conteúdos matemáticos em geral.

A8 demonstrou dificuldade no caso das associações dos problemas com as soluções,

confundindo as operações matemáticas envolvidas. Não podemos afirmar nada

183

sobre o nível de retenção de informações de A8, já que na atividade proposta a

aluna não reconta o trecho, demonstrando dificuldade para interpretar o enunciado

da atividade. A8 também apresentou dificuldade com a descrição do cenário

apresentado numa das atividades. Empenhou-se na formulação dos problemas,

apesar da dificuldade em estruturar os textos dos problemas. Apesar de demonstrar

empenho nas atividades, especialmente naquelas que envolviam a oralidade, teve

um desempenho fraco.A13Não compareceu às aulas nas quais trabalhamos a descrição de figuras espaciais.

Reteve as principais informações do trecho que ficou exposto por cinco minutos,

recontando-o de maneira sucinta e bem estruturada. Conseguiu descrever bem o

cenário apresentado para descrição, apesar de ter mencionado poucos detalhes.

Trabalhando em trio, demonstrou falta de empenho/interesse e dificuldade com a

interpretação e resolução de alguns problemas propostos. Em certos momentos,

demonstrou senso crítico, identificando problemas sem solução. Recusou-se a

apresentar as atividades do Bloco 3 com seu grupo, além de não demonstrar

interesse nas apresentações dos outros grupos. Não realizou as atividades do Bloco

4, deixando a folha em branco. Nas atividades do Bloco 5, teve dificuldade na

elaboração e na resolução dos problemas. No geral, ao que parece, não se sentiu

motivada o suficiente para participar com maior emprenho nas atividades. Talvez

esta seja a principal razão de seu fraco desempenho.

Examinando o quadro geral acima, podemos constatar uma correlação clara

entre os desempenhos nas atividades e na sondagem final. A1, A4, A6, A12, A14 e

A19, que tiveram forte desempenho na sondagem final, desenvolveram bem as

atividades. A3, A7, A8 e A13, que tiveram fraco desempenho nas atividades, também

tiveram fraco desempenho na sondagem final. Como interpretamos essa constatação?

Não é possível, a nosso ver, atribuir a causa do forte (ou fraco) desempenho na

sondagem final ao correspondente forte (ou fraco) desempenho constatado na realização

das atividades. Em outras palavras, uma correlação, por si só, não estabelece um vínculo

causal entre o bom ou mau desempenho em cada uma das atividades cujos desempenhos

estão correlacionados. Entretanto, tendo em vista os resultados da primeira etapa da

análise, essa correlação constatada na segunda etapa pode ser entendida como um

reforço da conclusão de que o conjunto de atividades proposto tenha contribuído para

184

ajudar muitos alunos a avançar na compreensão dos enunciados e na competência para a

resolução de problemas matemáticos. Não obstante, como já comentado no final da

primeira etapa da análise, uma série de fatores devem se conjugar para caracterizar-se

efetivamente esse avanço: engajamento nas atividades, conhecimento prévio

minimamente compatível com o nível correspondente de formação escolar (no nosso

caso, o sexto ano do EF), tempo de maturação do aprendizado de cada aluno etc.

Para finalizar essa seção, retomamos nossa questão de investigação: Como uma

sequência de atividades, elaboradas a partir dos resultados de estudos e pesquisas

sobre Resolução de Problemas, no campo da Educação Matemática, pode contribuir

para o desenvolvimento da capacidade de interpretação dos enunciados de problemas

matemáticos de alunos do sexto ano do Ensino Fundamental? Apresentamos a seguir

uma síntese geral da análise realizada, que pode ser entendida como a nossa resposta à

questão de pesquisa. A sequência de atividades que construímos e aplicamos aos alunos

do sexto ano do Ensino Fundamental contribuiu para o desenvolvimento da capacidade

de interpretação dos enunciados de problemas matemáticos, de acordo com nossas

análises, pelo menos das seguintes maneiras:

a) promovendo maior atenção na leitura dos enunciados, de modo a obter-se um

entendimento mais completo e preciso do texto desses enunciados, em termos

dos conceitos matemáticos associados à situação-problema proposta, em termos

da identificação e da organização mental daquilo que o texto fornece como

dados e em termos daquilo que é perguntado;

b) promovendo uma leitura mais crítica dos enunciados de problemas matemáticos,

de modo a desenvolver a capacidade de avaliar a relevância ou irrelevância de

certos dados para a obtenção de uma resposta correta para o problema;

c) promovendo a consideração da possibilidade de que o problema tenha apenas

uma solução, não tenha solução, ou tenha mais de uma solução.

d) promovendo o reconhecimento de uma linguagem típica da matemática escolar,

no que se refere, por exemplo, à precisão das informações fornecidas pelo

enunciado (e.g., no caso “João e Maria têm juntos 120 reais. Quanto tem cada

um?” não se afirma nada sobre terem ambos a mesma quantidade de dinheiro,

mas não é incomum o aluno do sexto ano acrescentar esse dado de modo a

tornar o problema “resolvível”, ou seja, com uma solução única e determinada.

185

Esse tipo de acréscimo aos dados fornecidos pelo enunciado não é permissível

na matemática escolar e uma solução que use esse fato não seria válida).

É claro que outras contribuições podem ser associadas ao conjunto de atividades

realizadas, mas essas são, a nosso ver, as mais diretamente vinculadas ao bom

desempenho na interpretação dos enunciados de problemas matemáticos no nível de

escolaridade em que trabalhamos.

Quanto às limitações do conjunto de atividades propostas e analisadas nesta

pesquisa, há que se retomar os comentários ao final da primeira etapa da análise, o que

solicitamos encarecidamente ao leitor que assim faça, para que não sejamos repetitivos

e estendamos ainda mais o já volumoso número de páginas deste trabalho.

186

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Parece consensual que uma boa capacidade de interpretação e compreensão dos

enunciados de problemas matemáticos é fundamental para a formação escolar do aluno.

Daí a importância de um trabalho voltado para a linguagem matemática nas salas de

aula da escola desde os anos iniciais, de forma que o aluno se sinta familiarizado com o

texto matemático ao longo de toda sua vida escolar. Nesse sentido, desenvolvemos,

apoiando-nos fortemente na literatura especializada, um conjunto de atividades, com a

expectativa de envolver o aluno no reconhecimento das especificidades do contexto da

linguagem matemática escolar e visando abrandar as dificuldades encontradas por ele

no que se refere à leitura e interpretação dos enunciados de problemas da matemática

escolar.

Nosso trabalho foi direcionado para uma resposta à seguinte questão de

investigação: Como uma sequência de atividades, elaboradas a partir dos resultados de

estudos e pesquisas sobre Resolução de Problemas, no campo da Educação

Matemática, pode contribuir para o desenvolvimento da capacidade de interpretação

dos enunciados de problemas matemáticos de alunos do sexto ano do Ensino

Fundamental?

Para testar esse conjunto de atividades, fizemos, num primeiro momento, uma

sondagem inicial, trabalhando, em seguida, cinco blocos de atividades que envolviam

leitura, escrita, formulação de problemas, descrição, representação através de mímicas,

uso de diagramas e desenhos para a interpretação dos enunciados e para a resolução dos

problemas propostos. Incentivamos o uso da oralidade, propusemos atividades

individuais e em grupo. Ao final, fizemos nova sondagem, para verificar os resultados

do trabalho. O trabalho de campo durou cerca de 3 meses, desde a sondagem inicial, em

março de 2017, até a sondagem final, em junho do mesmo ano.

Nossa análise dos dados foi realizada em duas etapas. Em um primeiro

momento comparamos o desempenho dos alunos nas sondagens inicial e final, o que

nos permitiu obter uma ideia geral do efeito do conjunto das atividades sobre a

capacidade de interpretação dos enunciados. Dos 22 alunos participantes da pesquisa,

descartamos 4 por razões técnicas e, de acordo com os resultados da sondagem inicial,

apenas 2 tiveram um forte desempenho. Na sondagem final, a quantidade de alunos com

187

o maior nível de desempenho (forte) ficou cinco vezes maior, passando a 10, o que

representa 55% dos alunos acompanhados na pesquisa. Assim, podemos concluir que o

conjunto de atividades contribuiu positivamente para o desenvolvimento da

competência dos alunos para interpretar os problemas propostos.

Na segunda etapa da análise constatamos a existência de uma correlação entre

o desempenho dos alunos ao longo das atividades e o correspondente desempenho na

sondagem final, o que veio reforçar a conclusão obtida na primeira etapa da análise.

Entretanto, não podemos deixar de mencionar que cerca de 45% dos alunos não

avançaram significativamente em relação ao desempenho observado na sondagem

inicial, o que projeta elementos que limitam o alcance do trabalho realizado, como

comentado no Capítulo 4.

Percebemos que o conjunto de atividades trabalhado produziu mudanças

significativas na atenção e precisão da leitura dos enunciados, levando a um

entendimento matemático produtivo das situações-problema apresentadas,

principalmente para aqueles alunos que se engajaram com mais motivação e interesse

nas atividades trabalhadas. Percebemos também o desenvolvimento de uma maior

autonomia nesses alunos, gerada pelo trabalho em atividades de formulação de

problemas e exposições orais ou de representações através de mimica.

Apesar dos resultados positivos, sabemos que existem limitações em nossa

pesquisa, as quais podem interferir diretamente nas potenciais contribuições do conjunto

de atividades. O nível de interesse dos alunos é um dos fatores essenciais para que as

atividades sejam mais proveitosas e nem sempre fomos capazes de engajar, com o nível

adequado de interesse, todos os alunos nas atividades. Outra limitação observada foi o

fato de que a pesquisadora não era a professora regular da turma, o que pode interferir

nas relações interpessoais e na programação das tarefas, que talvez devessem se

distribuir ao longo do ano, em reiteradas ocasiões, considerando a importância e a

necessidade de um trabalho a longo prazo, retomando por diversas vezes cada uma das

atividades trabalhadas. Um professor regular que deseje trabalhar nesse sentido,

precisaria “driblar” essa limitação, pois, como sabemos, deve cumprir um planejamento

curricular para o qual, normalmente, não há tempo “sobrando” para atividades de longo

ou médio prazo.

De toda forma, estamos seguros de termos produzido um trabalho que pode

servir de exemplo, com as adaptações necessárias, para muitos professores de sexto ano

188

do Ensino Fundamental e, possivelmente, inspirar outros professores, de todos os

estágios da escolarização básica, que compartilhem a visão de que é necessário um

trabalho específico com os alunos para o desenvolvimento de uma forte qualificação

para a interpretação dos enunciados de problemas matemáticos.

189

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RABELO, E. H. Produção e Interpretação de Textos Matemáticos: Um caminho paraum melhor desempenho na Resolução de Problemas. 1995. 227 f. Dissertação(Mestrado em Educação) – Universidade Estadual de Campinas. Campinas.

REDLING, J. P. A Metodologia de Resolução de Problemas: concepções e práticaspedagógicas de professores de matemática do ensino fundamental. 2011. 166 f.Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) - Universidade EstadualPaulista. Bauru.

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193

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SILVA, L.G. Resolução de problemas aritméticos na educação básica: interação entrea linguagem matemática e a língua materna. 2012. 153f. Dissertação (Mestrado emEducação Brasileira) – Universidade Federal de Alagoas. Maceió.

SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I., Ler escrever e resolver problemas: Habilidades básicaspara aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.

__________________________. Aprender a ler problemas em matemática. Disponívelem: < http://mathema.com.br/reflexoes/aprender-a-ler-problemas-em-matematica/>.Acesso em 14 mar. 2016.

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WITTGEINSTEIN, L. Observações Filosóficas (OF). Tradução de Adail sobral e MariaStela Gonçalves. São Paulo: Loyola, 2005.

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YAMASAKI, C. M. Considerações sobre alguns Aspectos da Linguagem. 2014. 88 f.Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) – Universidade Estadual deLondrina, Londrina, PR.

194

APÊNDICES

195

APÊNDICE 1

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Eu, ____________________________________ pai (mãe) ou responsável legalpelo(a) aluno(a) __________________________________________________, fuiinformado(a) de que meu(minha) filho(a) foi convidado(a) pela professora ClarissaAlves de Oliveira, aluna do Mestrado Profissional em Educação Matemática daUniversidade Federal de Ouro Preto, a participar de sua pesquisa, a qual se realizarána Escola Municipal Professor Nilce Ramos Moreira, escola em que meu filho estámatriculado. Sei que tal pesquisa conta com o apoio da direção e da coordenação dessaescola.

Estou ciente de que o trabalho envolverá a participação ativa dos alunos nasatividades propostas pela pesquisadora, com o objetivo de melhorar o desempenho dosmesmos na disciplina Matemática.

Estou ciente de que as atividades ocorrerão durante as aulas de Matemática eque meu filho não terá que retornar à escola após o horário normal de aulas paraparticipar. Todos os materiais utilizados durante as aulas serão providenciados pelapesquisadora, não acarretando assim nenhum ônus para mim nem para meu(minha)filho(a). Sei que as atividades da pesquisa não atrasarão o cumprimento do programa deMatemática. Também que os materiais utilizados não envolvem nenhum elementotóxico, inflamável ou venenoso e, assim, não haverá riscos à saúde ou à integridadefísica de meu(minha) filho(a).

Autorizo a gravação em áudio dos momentos de atividades referentes à pesquisae sei que nenhum aluno ou aluna terá seu nome mencionado nos relatórios da pesquisa.Sei também que os materiais serão arquivados nas dependências do Curso de MestradoProfissional em Educação Matemática na UFOP, sob a responsabilidade da coordenaçãodeste, sendo, após cinco anos de armazenamento, incinerados. Além disso, estou cientede que eu e meu(minha) filho(a) podemos desistir de participar da pesquisa a qualquermomento e por qualquer motivo.

Finalmente, estou ciente de que a escola terá acesso aos resultados do estudo tãologo os mesmos estejam disponíveis.

Sinto-me esclarecido(a) acerca da proposta e concordo com a participação demeu(minha) filho(a) na pesquisa.

Sei que posso a qualquer momento consultar o Comitê de Ética da Newton Paivae os pesquisadores responsáveis (contatos abaixo e no verso) para me informar sobrequestões éticas da pesquisa.

Pai, mãe ou responsável do(a) aluno(a)

_____________________________________

Conselheiro Lafaiete, _______ de _____________________ de 2017

196

Comitê de Ética em Pesquisa (CEP/Newton Paiva)Endereço: Avenida Carlos Luz, 987 CaiçaraCep 31.230-070 Belo Horizonte, MG – BrasilE-mail: [email protected] – Fone: (31)3516-2547

Imprimir a outra página no verso e não em duas folhas separadas.

____________________________Plinio Cavalcanti MoreiraPesquisador responsável (31)98859-9427

pliniocavalcan�[email protected]

_____________________________Clarissa Alves de Oliveira Pesquisadora (31)98746-4866

197

APÊNDICE 2

CARTA DE ANUÊNCIA

198

APÊNDICE 3

TERMO DE AUTORIZAÇÃO DO (A) PROFESSOR (A)

Autorizo os professores Clarissa Alves de Oliveira (Orientanda) e Plínio CavalcantiMoreira (Orientador) do Mestrado Profissional em Educação Matemática da UFOP arealizarem a pesquisa intitulada “Interpretação dos enunciados de problemasmatemáticos: Um estudo com alunos do sexto ano do Ensino Fundamental de umaescola pública do interior de Minas Gerais” com alunos do sexto ano do EnsinoFundamental, de acordo com as tarefas previstas no projeto de pesquisa.

Conselheiro Lafaiete, Minas Gerais, _______de _______ de 2017.

_________________________________________________Professor (a) da turma

199

APÊNDICE 4

TERMO DE AUTORIZAÇÃO DA ESCOLA

Autorizo os Professores Clarissa Alves de Oliveira (Orientanda) e Plinio CavalcantiMoreira (Orientador) do Mestrado Profissional em Educação Matemática daUniversidade Federal de Ouro Preto a realizarem a pesquisa intitulada “ Interpretaçãodos enunciados de problemas matemáticos: Um estudo com alunos do sexto ano doEnsino Fundamental de uma escola pública do interior de Minas Gerais” de acordo comas tarefas previstas no projeto de pesquisa.

Conselheiro Lafaiete, Minas Gerais, _______de _______ de 2017.

_________________________________________________Diretor (a) da Escola

200

APÊNDICE 5

Sondagem inicial

Aluno:____________________________________________________________

Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___

Resolva os problemas abaixo:

a) Se três picolés de certo tipo custam seis reais, quanto se terá que pagar por sete picolés do mesmo tipo?

b) Calcule quanto dá 144 dividido por 18.

c) Se uma padaria vende 3 tipos de sanduíche (misto quente, peito de frango, hambúrguer) e 5 tipos de suco (uva, morango, abacaxi, laranja e melancia), de quantas maneiras é possível montar uma refeição composta de um sanduíche e um suco?

d) Efetue a seguinte conta: 1326 – 548.

e) Se cada passagem de ônibus para o centro da cidade custa 2,50 quanto se pagará por seis dessas passagens?

f) Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foi mandada pelos netos e as outras rosas pelos filhos. Quantas rosas os filhos mandaram a mais que os netos?

g) Beto tinha 23 figurinhas. Num jogo, ganhou 2 figurinhas de cada um de seus 6 colegas e, depois comprou mais 10 figurinhas. Com quantas figurinhas Beto ficou?

h) Júlia e sua prima Joana compraram 108 caixas de bombom (todas de mesmo preço) e pagaram R$ 216,00 no total. Deste valor, Joana pagou R$ 126,00 pelas suas caixas. Quantas caixas são da Júlia?

i) Dona Márcia comprou 7 dúzias de bananas. Distribuiu duas bananas para cadamacaco do zoológico que visitou e levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com as bananas?

j) João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52. Quantas vezes mais carrinhos que João Carlos tem?

k) Eu e você temos, juntos, 120 reais. Quanto dinheiro tem cada um de nós?

l) Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anos a menos que Maria. Se Margarida tem 7 anos a mais que Joana, quantos anos Margarida tem?

201

APÊNDICE 6

Atividades - Bloco 1 – Leitura, escrita, interpretação e descrição

Aluno:____________________________________________________________Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___

1) Leia o texto abaixo:

Tão visível e vivenciada quanto despercebida

A geometria se vê,No contorno da peneira,No formato da tv,No gingado da capoeira,Nas portas e nas janelas,Na forma do pãozinho,Nas tamancas e chinelas,Na xícara do cafezinho,Na fachada das casas,Nas curvas do caminho,Das borboletas, nas asas,E também no meu cantinho,Nos sólidos geométricos,Das rochas a beira mar,Ou nos cristais assimétricos,Que não flutuam no ar.A esfera que gira no espaço,Em movimento de rotação,Na translação está o passo,Para a sua evolução.E, então?Chegamos à conclusão,De a geometria estar,Em todo e qualquer lugar,Na beleza dos abrolhos,Nas estrelas do mar,Ou no formato dos olhos,Que nos enchem de amor sem par,Deus deu ao homem inteligência,Para aprender a contar,E evoluindo na ciência,Sua vida melhorar,Da geometria a importância,Levou-o a compreender,E diante das circunstanciasSeus cálculos desenvolver.

Fonte: http://www.somatematica.com.br/poemas/p61.htmlRuth Nunes Dualibi

202

Agora responda as perguntas:

f) Você gostou do texto? Por quê?

g) Podemos afirmar que esse texto é um poema? Por quê?

h) Você acha que a matemá�ca está presente na sua vida? De que forma?

i) “Nos sólidos geométricos,

Das rochas a beira mar,”

Por que o autor classificou as rochas como sólidos geométricos?

j) Associe alguns elementos citados no texto a figuras geométricas que você conhece.

203

3) Em cada caso desenhe a figura geométrica pedida e escreva uma frase (ou mais de uma) que descreva suas características essenciais.

e) Desenhe um retângulo Descrição

f) Desenhe um triângulo Descrição

g) Desenhe um quadrado Descrição

h) Desenhe um círculo Descrição

204

4) O seguinte trecho será apresentado aos alunos durante 5 minutos. Cada um receberá uma cópia com o texto ou será exposto a ele através de um datashow. Em seguida, serão ocultados os textos e será pedido aos alunos que recontem o que lhes foi apresentado, por via oral ou escrita.

Trecho de “A casa sonolenta”. Napping House de Audrey WoodRetirado de: http://www.fabulasecontos.com/a-casa-sonolenta/

5) Descreva com o máximo de detalhes que puder, a imagem abaixo.

http://www.tudointeressante.com.br/2015/04/o-amor-esta-nas-pequenas-coisas

205

6) Invente problemas, cujas soluções sejam dadas pelas formas apresentadas

abaixo.

f) Solução: 1.345 + 208 = 1553

g) Solução: 288 – 322 = 144

144 + 12 = 156

h) Solução: 90 + 15 = 105

i) Solução: 12.467 árvores.

j) Solução: Cada um recebeu 75 figurinhas.

7) Imagine que é um professor do sexto ano e que pretende colocar para seus

alunos um problema que possa ser resolvido através da conta 3 x 5 + 2. Invente

um problema cuja solução seja dada por essa conta.

206

APÊNDICE 7

Atividades Bloco 2– Leitura, escrita, interpretação e descrição

DESAFIOS DE MATEMÁTICA!

Aluno(a):__________________________________________Data___/___/_________

1 - O PROBLEMA DO JOSÉ

José é um ótimo marceneiro e faz armários para vender. Quando recebeu umaencomenda de uma empresa para fazer 40 armários de uma vez, ficou preocupado.Quanto dinheiro seria necessário para comprar os materiais para fazer tantos armáriosde uma vez?

a) Sabendo que cada armário gasta cerca de 52 reais em materiais, ajude José a

calcular quanto dinheiro precisará investir para atender à encomenda.

b) José é caprichoso e seus armários são bem acabados. Assim, ele gasta várias

horas para produzi-los. Ao final, ele vende cada armário por 120 reais. Qual é

o lucro do José na venda de cada armário?

c) Os armários do José fazem muito sucesso e ele ficou animado porque percebeu

que, economizando um pouco de cada venda, poderia reformar sua marcenaria,

que está com infiltração na parede. A parede com problema tem atualmente 16

fileiras de azulejos no comprimento e 14 fileiras de azulejos na altura. Se José

quiser comprar azulejos novos com as mesmas medidas dos que precisam ser

substituídos, quantos azulejos deverão ser comprados para revestir toda a

parede? Cada caixa de azulejo vem com 18 azulejos. Quantas caixas ele

precisará comprar?

d) Após pesquisar bastante, José escolheu um tipo de azulejo cuja caixa custa 34

reais. Quanto ele gastará em azulejos nessa reforma?

e) O pedreiro que José contratou cobra 120 reais por dia e o ajudante cobra a

metade do valor cobrado pelo pedreiro. Quanto ele vai gastar por dia com mão

de obra?

2- BULA DE REMÉDIO

VITAMIN COMPRIMIDOSembalagens com 50 comprimidos

COMPOSIÇÃOSulfato ferroso .................... 400 mgVitamina B1 ........................ 280 mgVitamina A1 ........................ 280 mgÁcido fólico ......................... 0,2 mg

207

Cálcio F .............................. 150 mg

INFORMAÇÕES AO PACIENTEO produto, quando conservado em locais frescos e bem ventilados, tem validade de 12meses. É conveniente que o médico seja avisado de qualquer efeito colateral.

INDICAÇÕESNo tratamento das anemias.

CONTRA-INDICAÇÕESNão deve ser tomado durante a gravidez.

EFEITOS COLATERAISPode causar vômito e tontura em pacientes sensíveis ao ácido fólico da fórmula.

POSOLOGIAAdultos: um comprimido duas vezes ao dia. Crianças: um comprimido uma vez ao dia.

LABORATÓRIO INFARMA S.A.Responsável - Dr. R. Dias Fonseca

a) Marque a resposta correta e em seguida responda a pergunta indicada. No texto, a palavra COMPOSIÇÃO indica:

(A) as situações em que o remédio não deve ser tomado.(B) as vitaminas que fazem falta ao homem.(C) os elementos que estão presentes no remédio.(D) os produtos que causam anemias.

Qual é a composição do medicamento?

b) O remédio apresentado serve para tratar qual tipo de problema de saúde ?

c) Quantos comprimidos por dia são recomendados para crianças?

d) Qual componente da fórmula se encontra em maior quantidade? E em menor?

e) O médico indicou o medicamento para Dona Lúcia por 50 dias. Quantas caixas serão necessárias, se ela tomar conforme a posologia da bula?

208

3- Leia com atenção os seguintes problemas matemáticos e sublinhe as informações que não são necessárias para a resolução.

a) Victor foi ao supermercado comprar sucos. Comprou 7 garrafas de suco de caju, 5 de suco de morango, 8 de suco de abacaxi e pagou no caixa de número 6. Quantas garrafas de suco ele comprou?

b) Mariana resolveu ir ao cinema na sexta-feira, na sessão das 20 h. A carteira de dinheiro estava vazia, então ela pediu duas notas emprestadas à sua mãe. Colocou R$ 20,00 de gasolina na sua moto e gastou R$ 35,00 no cinema. Quando chegou em sua casa, sua mãe já estava dormindo. Tomou um copo de leite e foi para o seu quarto. Abriu a carteira e viu que ainda tinha R$ 45,00. Qual a quantia que a mãe de Mariana emprestou para ela ir ao cinema?

c) Em uma escola, no interior de Minas Gerais, a diretora, que era amiga da professora, deu a ela 100 lápis para serem divididos igualmente entre seus alunos. Na sala, havia 50 alunos no total, sendo que metade da classe era de alunos altos e a outra metade de alunos baixos. Quantos lápis cada aluno receberá?

d) Joana tem 235 figurinhas da Frozen e seu irmão Fábio tem o triplo dessa quantidade, só que do Capitão América. Quantas figurinhas Fábio tem?

4 – Resolva os problemas abaixo e explique como pensou para resolvê-los.

a) Num avião, estão 25 mulheres e 32 homens. Quantas pessoas no total? Quantas aeromoças estão nesse vôo?

b) Joca comprou um relógio por R$ 155,00. Ele usou notas de R$ 5,00 e de R$10,00. Quantas notas de cada valor ele usou para pagar o relógio?

c) Na farmácia havia a seguinte oferta: “comprando 4 sabonetes, pague apenas R$12,00”. Quanto custa cada sabonete? Quantos tipos diferentes de sabonete estão à venda?

d) Num navio há 26 carneiros e 10 cabras. Qual é a idade do capitão?

209

APÊNDICE 8

Atividades Terceiro Bloco– Enunciados de Problemas Matemáticos (Atividadesenvolvendo Teatro, Encenações, Mímicas)

Alunos:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___

Todos os integrantes do grupo deverão ler o enunciado do problema abaixo, resolverjuntos e combinar uma forma de representar para a turma (poderá usar: teatro,encenações ou mímicas). Um grupo de cada vez, apresentará para toda a turma, e osgrupos formados, deverão, entre si, reconstruir o enunciado do problema conformeimaginam estar coerente com a representação.

Problema - Grupo 1


210

Atividades Terceiro Bloco – Enunciados de Problemas Matemáticos (Atividadesenvolvendo Teatro, Encenações, Mímicas)



Problema - Grupo 2

O 6° ano fará uma apresentação para toda a escola. Para isso, a diretora alugou 350 cadeiras para organizá-las na quadra, em fileiras. Cada fileira terá 10 cadeiras. Quantas fileiras ela organizará?

211




Problema - Grupo 3

Eu e mais quatro amigos fomos a um restaurante. A conta de 65 reais foi divididaigualmente entre nós. Paguei minha parte e ainda fiquei com 11 reais. Que quantia eutinha quando entrei no restaurante?

212




Problemas - Grupo 4

Cristina foi a uma livraria para comprar 5 cadernos e 1 livro. O total da conta foi 22 reais. Como o livro custou 7 reais e todos os cadernos têm o mesmo preço, quanto ela pagou por caderno?

213




Problema - Grupo 5

Numa partida de basquete, Júnior fez o triplo dos pontos feitos por Manuel. Os dois juntos marcaram 52 pontos. Quantos pontos Júnior marcou nessa partida?

215

APÊNDICE 9

Atividades Quarto Bloco– Identificação de dados dos problemas.

Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________


Cada grupo explicará para a turma do que se trata o problema, identificará os dadosrelevantes e irrelevantes ( poderá usar desenhos ou diagramas) e explicará porque elessão ou não relevantes.

Problema - Grupo 1

Pedro está escrevendo um grande letreiro com a palavra "canguru", pintando uma letrapor dia. Ele começou a escrever o letreiro na quarta-feira e trabalha todos os dias. Emque dia da semana ele irá terminar o letreiro?

216


Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________



Problema - Grupo 2

Simão levantou-se faz uma hora e meia. Daqui a três horas e meia irá tomar o trem paraa cidade de sua avó. Quanto tempo antes da partida do trem ele se levantou?

217


Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________



Problema - Grupo 3

Um criador de galinhas, chamado José Bonifácio, tem caixas de papelão para armazenar6 ovos e caixas de um material plastificado para armazenar 12 ovos. Qual é o menornúmero de caixas que ele precisa para armazenar 66 ovos?

218


Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________



Problema - Grupo 4

Numa prova de matemática do terceiro ano do Ensino Médio, a maioria dos alunos foimuito bem. Na realidade, 3/5 dos alunos da classe obtiveram nota máxima nesta prova.A prova tinha quatro questões, valendo 5 pontos cada questão. Dessa forma, qual é onúmero de alunos que não obtiveram nota máxima nessa prova?

219


Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________



Problema - Grupo 5

Um carro da marca FIATWAGEN possui um tanque de combustível cuja capacidademáxima é de 60 litros. O motorista, ao passar em frente ao campo de futebol deCachoeira Branca, percebeu que o tanque estava apenas com 1/4 da capacidade decombustível e, portanto, não seria possível completar a viagem planejada entre ascidades de Cachoeira Branca e Ouro do Campo, que distam entre si mais ou menos 200km, sem colocar mais combustível no carro. O motorista, então, vai ao posto degasolina, que se localiza ao lado do campo de futebol e pede ao frentista para enchercompletamente o tanque. Quantos litros, aproximadamente, foram colocados no tanque?

220


Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________



Problema - Grupo 6

Joana começou a ler um livro de filosofia, que estava escrito em inglês e tinha mais de100 páginas. Ela leu 20 páginas no primeiro dia e 10 novas páginas no dia seguinte.Quantas páginas ainda faltam para Joana terminar de ler o livro?

221


Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________



Problema - Grupo 7

Pâmela subiu num banquinho de madeira escura e ficou exatamente com a mesma alturade seu pai. Qual é o valor da diferença entre a altura de Pâmela e a de seu pai?

222


Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________



Problema - Grupo 8


223


Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________



Problema - Grupo 9

Caio é um garoto de 6 anos e gosta muito de brincar com bolinhas de gude. Todos osdias acorda às 8 horas, toma o seu café com leite, come uma fruta, um pãozinho integralcom queijo e corre para a casa de seu amigo Júnior para brincar. Caio levou 2 dúzias debolinhas coloridas para jogar. Dezesseis dessas bolinhas eram azuis e as demais eramverdes. No final do jogo ele havia perdido um quarto de suas bolinhas verdes e Júniorficou muito contente, pois agora tinha três vezes mais bolinhas azuis do que restou aoCaio. Quantas bolinhas Júnior tinha ao iniciar o jogo?

224


Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________



Problema - Grupo 10


225

APÊNDICE 10

Atividades Bloco 5 – Significados das operações com números naturais

Problemas com um ou mais passos (Atividade individual)

Alunos:______________________________________________________________________________________________________________________________________Ano______Turma______Turno__________________Data_____________________

1) Observe os preços dos carrinhos em uma loja e ajude os vendedores a calcularem quanto cada cliente precisa pagar:

a) Carlos comprou 18 carrinhos da marca TANQUE. Quanto ele pagou?

b) João comprou apenas 3 carrinhos da marca TANQUE. Quanto ele pagou?

c) André tem R$168,00. Quantos carrinhos da marca FLASH ele pode comprar?

d) E se André usar esse dinheiro para comprar carrinhos da marca TANQUE. Quantos carrinhos poderá comprar?

Formulação de problemas

1) Complete os problemas criando dados e em seguida resolva-os.

a) Fernando tinha 25 figurinhas. ________________________________________

___________________________________________________________________________________________. Com quantas figurinhas Fernando ficou?

b) No sítio do meu avô havia algumas galinhas. Nasceram mais _____ galinhas.

Agora tem _____ galinhas. Quantas galinhas havia antes no sítio?

226

c) Um aquário tem ____ peixes de cor vermelha e ____ peixes de cor cinza.

_______________________________________________________________?

d) Em uma casa havia 2 cadelas e elas tiveram filhotes. Nasceram __ cachorrinhos.

Mas ____ filhotinhos morreram. Quantos cachorros restaram ao todo na casa?

e) Na sala do 2° ano há ____ alunos. Na sala do 3° ano há ____ alunos. Quantos

alunos a mais têm na sala do 3° ano?

f) A casa de Maria tem ____ crianças. A casa de João tem ____ crianças. Quantas

vezes mais crianças tem a casa de Maria?

227

APÊNDICE 11

Sondagem final

Aluno:___________________________________________________________Ano____ Turma____ Turno______________ Data ____/____/____

Resolva os problemas abaixo:

a) Marina tem um canil com 46 cães. Desses, 11 foram resgatados nas ruas e os outros foram deixados em sua porta. Quantos cães a mais foram deixados em suaporta em relação à quantidade dos que foram resgatados?

b) Sandro e Diego compraram 15 jogos de vídeo game (todos de mesmo preço) e pagaram o total de R$ 45,00. Desse valor, Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos. Quantos jogos são do Sandro?

c) Se cada salgado da cantina da escola custa R$ 1,50, quanto se pagará por 5 salgados?

d) Efetue a seguinte conta: 5231 – 389

e) Joana tem 2 calças e 3 camisetas de cores diferentes. Quantos conjuntos de calçae camiseta Joana consegue usar sem repetir um mesmo conjunto?

f) Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foi ao mercado e comprou 4 dúzias de ovos para fazer bolos. No caminho de volta, quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paula consegue fazer com o restante dos ovos que sobraram?

g) Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas, quantas figurinhas tem cada um?

h) Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos a menos que Victor. Se João tem 8 anos a mais do que Igor, quantos anos João tem?

i) Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48. Quantas vezes mais dinheiro o irmão temem relação a Kelly?

j) Se 4 barras de chocolate custam 24 reais, quanto se pagará por 6 barras iguais a essas?

k) Bruna tinha 28 figurinhas. Num jogo, ganhou 3 figurinhas de cada um de seus 5 colegas e, depois comprou mais 6 figurinhas. Com quantas figurinhas Bruna ficou?

l) Calcule quanto dá 156 dividido por 13.

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