interpoladores mnt

InterpoladoresMODELOS DIGITAIS DO TERRENO:

GRADES REGULARES E IRREGULARES E SUAS CARACTERÍSTICAS

Discentes: Gabriela Bitto de OliveiraOrientador: Nilton ImaiCurso: Engenharia Ambiental

2° ano

Presidente Prudente, 08 de março de 2010

UNESPFACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIAFCT – Campus de Presidente Prudente

Unesp

Índice

Modelo Digital do Terreno ....................................................................................................2

Diferença das grades ..............................................................................................................2 Grade Regular

Grade Irregular

Comparação entre as representações de MDT ....................................................................5

Interpoladores ........................................................................................................................5Diferentes Tipos de Interpoladores

Linhas de Quebra ................................................................................................................10

Bibliografia ..........................................................................................................................12

Presidente Prudente, 08 de março de 2010 1

Modelo Digital do Terreno (MDT)

A representação do relevo ou terreno é uma componente fundamental no processo cartográfico que, em formato digital, recebe o nome de Modelo Digital do Terreno (MDT) e consiste de um conjunto de dados que explicitam as coordenadas (X, Y, Z) do terreno e a forma como os mesmos estão relacionados.

“O modelo digital do terreno (MDT) é simplesmente uma representação estatística da superfície contínua do terreno por um grande número de pontos selecionados com conhecimento das coordenadas X, Y, Z em um sistema de coordenadas arbitrário” (Charles Miller e R. A. LaFlamme, 1958).

Na Cartografia, o MDT é utilizado para a geração de ortofotos, mapas topográficos e temáticos, em Sistemas de Informações Geográficas (SIG) etc. O Modelo Digital do Terreno, também tem aplicações em outras áreas, como por exemplo (Petrie & Kennie, 1990; Bourrogh, 1986) : – Engenharia Civil– Mapeamento Batimétrico;– Mapeamento Geológico e Geofísico;– Simulação e Visualização do Terreno;– Engenharia Militar.

O MDT pode ser classificado quanto à forma como os dados estão distribuídos : regular ou irregularmente espaçados.

Diferença das Grades

Grade Regular:Modelo de grade regular também chamado de grade retangular é uma

representação matricial aonde cada elemento da matriz está associado a um valor numérico. Este modelo digital aproxima superfícies através de um poliedro de faces retangulares. Os vértices desses poliedros podem ser os próprios pontos amostrados, caso estes tenham sido adquiridos nas mesmas localizações xy que definem a grade desejada.

O espaçamento da grade, ou seja, a resolução em x ou y, deve ser idealmente menor ou igual a menor distância entre duas amostras com cotas diferentes.

Nesta distribuição, os dados são estruturados em forma matricial, onde uma posição qualquer da matriz implica em uma posição correspondente na malha, e


armazena-se apenas o valor da cota Z do ponto.

As desvantagens das malhas regulares são, entre outras, segundo (Burrough, 1986) :

– Grande quantidade de dados redundantes em áreas onde o terreno é uniforme : como a malha é regular, em terreno muito movimentado, ocorre uma falta (subamostragem) de pontos para melhor explicitar o terreno; e ao contrário, onde o terreno é pouco movimentado, ocorre uma superamostragem dos pontos;

– Ao se gerar uma grade muito fina (densa), com distância entre os pontos muito pequena, existirá um maior número de informações sobre a superfície analisada permitindo que o método interpolador tenha mais liberdade de criar valores entre pontos amostrados, porém necessitará maior tempo para sua geração e em função do algoritmo, isto poderá criar tendências irreais no resultado.

– Ao se gerar distâncias grandes entre os pontos, onde mais de um ponto amostral fiquem dentro de um quadrângulo, será criada uma grade grossa pois produzira um efeito de média espacial, que poderá acarretar perda de informação.

– Incapacidade de se adaptar a áreas de relevo complexo sem alterar o tamanho da malha : devido a própria característica da malha regular, é impossível adaptá-la a relevos muito movimentados.

Grade Irregular:

Modelo de malha triangular também chamado de grade irregular ou grade triangular: é conjunto de poliedros cujas faces são triângulos. Os vértices do triângulo são geralmente os pontos amostrados da superfície. Esta modelagem, considerando as arestas dos triângulos sendo assim, se torna a forma mais comum de representar pontos irregularmente espaçados, pois triângulos oferecem uma maneira relativamente fácil de incorporar as linhas notáveis ou breaklines, ou seja, permite que as informações morfológicas importantes, como as descontinuidades representadas por feições lineares de relevo (cristas) e drenagem (vales), sejam consideradas durante a geração da grade triangular, possibilitando assim, modelar a superfície do terreno preservando as feições geomórficas da superfície.

Uma das triangulações mais utilizadas é a Triangulação de Delaunay que faz as seguintes exigências :


– Os triângulos devem ser os mais equiláteros possíveis : triângulos não equiláteros, acarretam problemas em regiões que mudam rapidamente de inclinação quando da interpolação;

– Os lados dos triângulos devem ser os menores possíveis : lados grandes ou muito desproporcionais implicam em triângulos pouco equiláteros. Pois quanto mais equiláteras forem as faces triangulares, maior a exatidão com que se descreve a superfície. O valor de elevação em qualquer ponto dentro da superfície pode ser estimado a partir das faces triangulares, utilizando-se interpoladores.

A triangulação tem algumas desvantagens : – A geração da triangulação é mais complicada do ponto de vista computacional :

uma triangulação otimizada necessita de algoritmos complexos para ser realizada;– A estrutura dos dados deve ser mais elaborada : para satisfazer a otimização de um

algoritmo de triangulação, os dados que representam a triangulação devem ser muito bem estruturados.


Comparação entre as representações de MDT

As malhas triangulares são normalmente melhores para representar a variação do terreno, pois capturam a complexidade do relevo sem a necessidade de grande quantidade de dados redundantes. As grades regulares têm grande redundância em terrenos uniformes e dificuldade de adaptação a relevos de natureza distinta no mesmo mapa, por causa da grade de amostragem fixa.

Para o caso de variáveis geofísicas e para operações como visualização 3D, as grades regulares são preferíveis, principalmente pela maior facilidade de manuseio computacional.

Grade Irregular Grade Regular

Melhor representação de relevo complexo

Facilita o manuseio e conversão

Incorporação de restrições como linha de crista

Adequada para geofísica e representação 3D

Apresenta regularidade na distribuição espacial dos vértices das células do modelo

Não apresenta regularidade na distribuição espacial dos vértices das células do modelo

Os vértices dos retângulos são estimados a partir das amostras

Os vértices dos triângulos pertencem ao conjunto amostral

Apresenta problemas para representar superfícies com variações locais acentuadas

Representa melhor superfícies não homogêneas com variações locais acentuadas

Estrutura de dados mais simples Estrutura de dados mais complexa

Relação topológica entre os retângulos são explicitas

É necessário identificar e armazenar as relações topológicas entre os triângulos

Mais aplicados em representações qualitativas e para análises multiníveis no formato “raster”

Mais aplicadas em apresentações quantitativas

InterpoladoresTanto nas malhas regulares quanto nas irregulares, se for necessário realizar

uma densificação, esta é feita através de uma interpolação na malha regular, ou com a colocação de uma malha regular sobre a triangulação. Neste caso os pontos são interpolados em função do triângulo ao qual pertencem. Para os pontos da malha de densificação que caiam fora da malha triangular, é necessário fazer uma extrapolação com a fronteira visível a esses pontos. Para a geração da grade regular torna-se necessário estimar, através de interpoladores matemáticos, os valores para as células que não possuem medidas de elevação, considerando-se a vizinhança de medidas de elevação


conhecidas.“A interpolação é a arte de ler entre os valores de uma tabela” (Sadosky, 1980). O

resultado do processo de interpolação espacial pode ser representado através de isolinhas, que são linhas de mesmo valor numérico (Watson, 1992). Interpolação espacial é o procedimento para se estimar valores de propriedades de locais não amostrados, baseando-se em valores de dados observados em locais conhecidos (Burrough, 1986). Os interpoladores são distinguidos em (1) globais ou locais; (2) exatos ou suavizantes; e(3) determinísticos ou estocásticos.

Interpoladores globais consideram todos os pontos da área amostrada, permitindo interpolar o valor da função em qualquer ponto dentro do domínio dos dados originais, já que determinam apenas uma função que é mapeada através de toda a região. A adição ou remoção de um valor tem conseqüências no domínio de definição da função, ou seja, afeta todo o mapa. Há uma tendência dos algoritmos de interpolação global agerar superfícies mais suaves, com mudanças menos bruscas, porém este é pouco apropriado para o processamento computacional e precisão do modelo. Assim ussa-se os interpoladores locais onde há funções definidas para porções determinadas do mapa, portanto a alteração de um valor afeta localmente os pontos próximos ao mesmo.

Interpoladores exatos geralmente são utilizados quando se tem certeza dos valores dos pontos no qual a interpolação está baseada. Eles sempre honram os dados, de maneira que após o processo de interpolação não há presença de resíduos, ou seja, a predição sobre os locais amostrados vai ser igual ao próprio valor amostrado. Interpoladores suavizantes (smoothing), aocontrário, são utilizados quando há incerteza sobre os valores dos pontos amostrados, geralmente provenientes de locais que sofrem variações ou flutuações rápidas. Produzem suavização das curvas da superfície gerada, fazendo com que possíveis erros presentes nos dados tendam a ser minimizados.

Interpoladores estocásticos fazem uso da teoria da probabilidade, e incorporam critérios estatísticos na determinação do peso atribuído aos pontos amostrais para o cálculo das interpolações. Interpoladores determinísticos já não fazem uso da probabilidade. Para calcular a medida de uma grandeza no espaço, eles geram uma combinação linear dos valores amostradosbaseando-se apenas na geometria da distribuição espacial dos dados amostrados (Soares, 2000).

Isaaks & Srivastava (1989), afirmam que não há uma resposta simples para a escolha de um interpolador espacial apropriado ou superior, e colocam ainda que isto depende de inúmeras variáveis, como por exemplo a configuração espacial dos dados e o parâmetro a ser estudado.

Segundo (McCullagh, 1988), os requisitos desejáveis para uma função interpoladora são : – Que reproduza uma superfície contínua;– O tempo de computação não seja proibitivo;– Tenha propriedades matemáticas de interesse para a aplicação.


Diferentes Tipos de Interpoladores:

➢ Inverso ponderado da distância: Este método pode ser classificado tanto como um interpolador exato como

suavizante, faz com que os pesos dos dados sejam avaliados durante o processo de interpolação, tal que a influência de cada ponto é inversamente proporcional á distância do nó da malha. O modelo baseia-se na dependência espacial, isto é, supõe que quanto mais próximo estiver um ponto do outro, maior deverá ser a correlação entre seus valores. Dessa forma atribui maior peso para as observações mais próximas do que para as mais distantes.

Souza (2002) afirma que o algoritmo “inverso de uma distância” é o que melhor representa a superfície do solo para a geração do modelo digital do terreno (MDT), uma vez que ele possui a característica de suavizar a superfície em estudo. Uma característica negativa deste método é a geração de efeito mira, ou ‘bull’s eye’ em Inglês, ao redor dos pontos observados. Este é um método rápido e requer pouco custo computacional.

➢ Kriging, krigagem ou krigeagem: Este não é um simples método de interpolação estocástico pois utiliza geoestatística

para efetuar a interpolação, o que em muitos casos é uma grande vantagem sobre outros métodos. A krigagem define o grau de dependência ou correlação espacial entre as amostras através do semivariograma (Cressie, 1991) que é definido como a esperança matemática do quadrado da diferença entre pares de uma variável no espaço. Uma vez modelado o semivariograma, é possível verificar o nível de anisotropia dos dados, e então definir os melhores pesos para as amostras. Kriging pode ser um interpolador tanto exato como suavizador. Este método tenta expressar tendências sugeridas pelos dados, como por exemplo, pontos de elevada altitude ao longo de uma cadeia montanhosa podem ser conectados, ao invés de gerar “efeito mira”. Portanto a Krigagem, entendida como um estimador que se baseia numa série de técnicas de análise de regressão, sejam essas lineares ou não, procura minimizar a variância estimada a partir de um modelo prévio levando em consideração a dependência estocástica entre os dados distribuídos no espaço (Landim, 2003). Existem várias formas sendo as mais usuais a Krigagem ordinária, universal, indicativa e a Cokrigagem.

A superfície gerada pela Krigagem cria uma forma de revelo mais uniforme, evidenciada pela delimitação dos complexos recifais aonde percebe a diferença entre as duas imagens, e a forma mais suave das linhas batimétricas. Devido esse fato, esse método é o mais utilizado na geração de superfícies de interpolação. Em compensação, esse método não permite avaliar detalhes de estruturas discretas apresentadas no revelo como os possíveis canais de fluxo, submersos, transversais a linhas de costas.

➢ Curvatura Mínima ou spline: O nome deriva de uma ferramenta flexível de desenho técnico, e é um método de

interpolação muito aceito e utilizado atualmente. Distinto de outros métodos de interpolações polinomiais, o spline não utiliza apenas um polinômio de grande ordem para interpolação de todo o conjunto de dados, mas sim divide a série de dados em


subconjuntos e utiliza polinômios de pequenas ordens para cada subconjunto. A soma ou junção deles é que forma a interpolação sobre todo o domínio. Muito utilizado em geociências, este método gera curvas mais suaves ao mesmo tempo tentando honrar ao máximo os dados, entretanto não é um interpolador exato. Outras vantagens do spline são a boa convergência, aproximações precisas das derivações, e boa estabilidade na presença de erros de aproximação.

➢ Método de Shepard modificado:Pode ser tanto um interpolador exato como suavizante, e é muito similar ao método

inverso ponderado da distância descrito acima. Distingue-se deste por utilizar localmente o método dos mínimos quadrados para reduzir ou eliminar o efeito mira.

➢ Vizinho natural: Diferente das demais técnicas, esta não extrapola valores, resolvendo a interpolação

somente para o interior do domínio dos dados. Esta técnica utiliza polígonos Thiessen para avaliação de pesos para os pontos. Este método faz a interpolação através da média ponderada dos pontos vizinhos, onde os pesos são proporcionais às áreas proporcionais.

➢ Vizinho mais próximo: Este método atribui o valor do ponto mais próximo para cada nó. Muito eficiente se

os pontos estão espaçados regularmente e precisam ser convertido em arquivos de malha regular. Mostra-se útil para o preenchimento de lacunas nos dados. De acordo com Franke (1982), o algoritmo de “vizinho mais próximo” é o método mais simples, tem como principal característica, assegurar que o valor interpolado seja um dos valores originais, ou seja, não gera novos valores. O produto final deste interpolador é caracterizado por um efeito de degrau.

O vizinho mais próximo é o mais simples dos interpoladores. Os valores observados não são modificados, havendo apenas uma redistribuição dos mesmos em uma grade regular. É usado, também, quando desejamos transformar dados brutos em grade regular sem modificação dos valores observados.

➢ Função da base radial: Função da base radial é um conjunto de métodos de interpolação exatos. A maioria

dos métodos são derivações de spline, com características similares uns dos outros. O método de derivação multi-quadrático é o padrão automático no Surfer©, pois é considerado o melhor na maioria dos casos.

➢ Triangulação com interpolação linear: Este é um interpolador exato e utiliza malha irregular com triangulação Delaunay.

Funciona melhor quando os dados estão distribuídos de forma regular ao longo do domínio. Dados que contenham áreas dispersas ou espaçadas tendem a apresentar feições triangulares no gráfico.


➢ Médias móveis: Este método atribui valores aos nós da malha através da média dos dados que estão

no domínio da elipse de busca do nó. A elipse, cujo tamanho pode ser determinada pelo usuário assim como também o número mínimo de dados a serem utilizados, situa-se no centro do nó, que tem seu valor obtido pela média aritmética dos dados observados dentro da elipse. Caso o número de dados observados no domínio da elipse seja menor que o estipulado, nenhum valor é atribuído ao nó.

➢ Médias local:Este interpolador estima os valores de pontos da grade regular apenas calculando a

média de pontos selecionados ao redor de cada nó. Os pontos são selecionados em função do número de vizinhos ou do raio de busca.

➢ Polinômio local: Este método atribui valores aos nós da malha utilizando o método dos mínimos

quadrados a partir dos dados de dentro da elipse de busca do nó, sendo que os dados observados mais próximos do nó obtêm maior peso nos cálculos, e os mais distantes, menores pesos.

➢ Regressão polinomial: Não é exatamente um método de interpolação, pois não tenta prever valores da

variável dependente. Serve para definir padrões e tendências de larga-escala dos dados. Segundo Landim (1998), este método recebe o nome de análise de superfície de tendência, e ajusta um plano aos dados através de uma regressão pelo método dos mínimos quadrados.

➢ Polinomial Global : A interpolação polinomial global ajusta uma superfície suavizada definida por uma função matemática (polinomial) aos pontos observados. Esta superfície gradualmente muda e captura o padrão de escala dos dados. Seria como ajustar um plano aos pontos observados, que pode ser linear (função polinomial de primeira ordem), de segunda ordem (quadrática), de terceira ordem (cúbica), até a décima ordem. O resultado é uma superfície matemática suavizada que representa as tendências graduais da superfície da área de interesse.

➢ Ajuste linear: Garante continuidade entre as superfícies de triângulos vizinhos mas não garante uma suavidade na transição entre as superfícies. Isso ocorre devido ao comportamento linear dentro de cada triangulo, onde pode-se estimar, com facilidade, o valor de qualquer ponto da superfície definida pela malha triangular. O esforço computacional, neste caso, é mínimo. Os três pontos dos vértices de cada triângulo definem um plano no espaço tridimensional. Dessa forma, para qualquer ponto a ser estimado deve- se buscar o triângulo que o contém e, através de uma álgebra simples de solução de sistemas lineares, obtém-se facilmente o valor de cota desse ponto.


➢ Ajuste quíntico: Outro modelo mais complexo, proposto por Akima em 1978, que é uma função interpoladora bivariada de grau cinco com garantia de continuidade C1 globalmente sugerindo o ajuste de uma superfície polinomial de quinta ordem incompleta para cada triângulo da malha triangular. Ou seja, a função interpoladora é contínua e a derivada de primeira ordem também é contínua, o que garante a suavidade da superfície Uma interpolação muito utilizada juntamente com a Triangulação de Delaunay.

Linhas de Quebra

Os modelos digitais de elevação que utilizam grades regulares retangulares são amplamenteutilizadas nos sistemas de informação geográfica. A popularidade deste modelo se deve a facilidadede geração e de manipulação dos dados por utilizar uma matriz como estrutura de armazenamento eé adequado para superfí-cies suaves e de variação contínua. Quando a superfície tem grandes variações ou tem descontinuidades, estas grades apresentam deficiências.

As descontinuidades na superfície ocorrem ao longo de linhas, em geral conhecidas por linhas de quebra (linhas de falha, linhas de vale e linhas de crista), que permitem caracterizar esta superfície. Devido a esta propriedade, as linhas de descontinuidade são chamadas também de linhas características.

Um modelo de superfície mais adequado do que o que utiliza grades regulares retangulares énecessário para incorporar a descontinuidade da superfície em lados diferentes das linhas características. Os modelos de grades irregulares triangulares permitem modelar as superfícies preservando estas linhas de quebra.

Ao gerar a malha triangular por um software, este não tem como “saber” como é o terreno e suas declividades. Portanto, os softwares utilizam um algoritmo que interpola pontos que são mais próximos, pois teoricamente tem mais chances de serem interpolados.


Nesta primeira triangulação, representada na figura acima, percebe-se o erro na representação do relevo em foco. Não houve necessidade de levantar mais pontos no pé do talude, pois ele é linear e com declividade constante. Assim, o software irá gerar a malha triangular de forma errada, resultando numa representação da superfície também errada, gerando produtos equivocados, como as curvas de nível da figura a seguir.

Qualquer produto gerado a partir deste MDT, conterá erros, pois o modelo não representa fielmente a área levantada.

Para se fazer correção desta superfície, deve-se importar as linhas de pé-de-corte como linhas de quebra, e novamente gerar a malha triangular do modelo, conforme figura a seguir.

As linhas de quebra, ruptura ou breaklines são as que definem descontinuidades na superfície para os dois diferentes lados de uma linha de triangulação, como linhas de fundo de vale ou de cristas de morros. Um rio, por exemplo, pode ser editado como uma linha de quebra, pois ao longo de suas margens, há uma descontinuidade do relevo. Estas linhas de quebra podem ser ou não consideradas na geração de uma grade triangular. Outros exemplos de linhas de quebra: fundos de vale; margens de rios, cristas de aterro e corte, pés de aterro e corte, muros de contenção de terreno, limites de lâminas d’água (rios, lagos, mar); bordas e eixos de estradas, entre outros. Alguns softwares exigem que a linha de quebra deve ser tridimensional e a sua projeção no plano não pode ser atravessada pelas arestas da triangulação do MDT.


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