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IV Simpósio Brasileiro de Geomática – SBG2017

II Jornadas Lusófonas - Ciências e Tecnologias de Informação Geográfica - CTIG2017

Presidente Prudente - SP, 24-26 de julho de 2017

p. 496-502

L. C. Ribeiro; G. N. Guimarães ISSN 1981-6251

INTERPOLAÇÃO DE DADOS GRAVIMÉTRICOS VISANDO A

OBTENÇÃO DE ALTITUDES COM SIGNIFICADO FÍSICO

LETICIA CRISTINA RIBEIRO¹

GABRIEL DO NASCIMENTO GUIMARÃES²

Universidade Estadual Paulista - Unesp

Faculdade de Ciências e Tecnologia - FCT1Programa de Pós-Graduação em Ciências Cartográficas, Presidente Prudente - SP

[email protected]

Universidade Federal de Uberlândia - UFU

Engenharia de Agrimensura e Cartográfica2Instituto de Geografia, Monte Carmelo - MG

[email protected]

RESUMO – A gravimetria é uma técnica de grande utilidade na geodésia, uma vez que ela permite o

conhecimento do campo de gravidade terrestre, por meio do valor da aceleração de gravidade, o qual trata-

se de um dos três pilares da geodésia moderna. A gravimetria terrestre pode ser medida de forma relativa e

absoluta. A medida gravimétrica é realizada sobre a superfície terrestre e não sobre o geoide, necessitando,

portanto, do cálculo das correções das anomalias de gravidade, que realizam a regularização das massas

existentes entre o geoide e superfície física. O conhecimento das anomalias de gravidade juntamente com

o número do geopotencial possibilita o cálculo de altitudes científicas, que por sua vez são altitudes que

possuem significado físico, uma vez que são vinculadas ao campo de gravidade. Neste trabalho, foram

processados dados gravimétricos advindos de levantamentos gravimétricos e calculadas as anomalias de

gravidade de 7 campanhas gravimétricas. Foi realizada também a interpolação gravimétrica para 33

estações RRNN e, com isso calculada uma altitude de caráter científico. Assim comparou-se os resultados

com os valores aproximados de altitude normal-ortométrica disponível no IBGE verificando se o método

usado foi satisfatório, onde os resultados apontaram consistências entre os valores obtidos e calculados.

Palavras chave: Gravimetria, Anomalias de gravidade, Interpolação, Altitude científica.

ABSTRACT - Gravimetry is a technique of great utility in geodesy, since it allows the knowledge of the

terrestrial gravity field, through the value of gravity acceleration, which is one of the three objects of study

of the geodesy. Terrestrial gravimetry can be measured relatively and absolutely. The gravimetric

measurement is carry out on a terrestrial surface and not on the geoidal surface, which, therefore, the

calculation of the corrections of gravity anomalies, which makes a regularization of the masses existing

between the geoid and terrestrial surface. The knowledge of gravity anomalies and the geopotential number

make it possible to calculate scientific heights, which in turn are heights that have physical meaning, since

they are linked to the field of gravity. In this work, gravity data derived from gravimetric surveys and

calculated as gravity anomalies of 7 gravity campaigns were processed. A gravimetric interpolation was

also performed for 33 benchmark stations, with a calculated scientific heights. Thus, we compare the results

with the approximate values available normal-orthometric height in the IBGE, verifying if the method used

is satisfactory, where the results are consistent between the values obtained and calculated.

Key words: Gravimetry, Gravity anomalies, Interpolation, Scientific height.

1 INTRODUÇÃO

O conhecimento do campo de gravidade é de

fundamental importância para a determinação da dimensão

e da forma da Terra, assim como fornece subsídios para

investigações acerca de seu comportamento dinâmico

(SANTOS; ESCOBAR, 2000). Uma maneira de

determinar o campo de gravidade é através de medidas de




aceleração de gravidade na superfície terrestre; essas

medidas são realizadas através de gravímetros.

A gravimetria é a técnica que possibilita a obtenção

do valor da variação de aceleração da gravidade e pode ser

obtida de forma relativa ou absoluta. Na relativa obtém-se

a diferença da gravidade entre duas estações, já na absoluta

o valor da aceleração da gravidade é adquirido em uma

estação, não necessitando do conhecimento prévio em um

outro ponto de aceleração conhecido.

A densificação de uma rede gravimétrica é feita por

meio de medidas relativas, devido à maior facilidade de

transporte destes gravímetros quando comparado às

medidas absolutas, pelo baixo custo, pelas condições

incontroláveis da atmosfera, uma vez que as medições de

gravímetros absolutos são realizadas sob condições

controladas de temperatura e umidade, entre outras.

As determinações relativas são realizadas por meio

dos gravímetros de mola. Estes, baseiam-se numa massa

que é mantida suspensa por meio de um sistema elástico e

que é atraída mais ou menos conforme a força da gravidade

do local, sendo que uma posição de equilíbrio é

reestabelecida através de um parafuso de compensação. O

deslocamento necessário para atingir essa posição de

equilíbrio é posteriormente transformado em valores de

aceleração de gravidade (BLITZKOW, 2004).

O valor da aceleração de gravidade (g) pode variar

desde 978 mGal no equador até 983 mGal nos polos

(VANÍČEK; KRAKIWSKY, 1986). Em Geodésia, a

unidade empregada para representar g é o Gal, em

homenagem a Galileu Galilei.

Com o campo de gravidade modulado, por meio

destes levantamentos gravimétricos, é possível calcular o

modelo geoidal, obtendo a ondulação geoidal.

Para calcular um modelo geoidal é necessário o

conhecimento das anomalias de gravidade. Isto porque não

é possível medir o valor de aceleração da gravidade no

geoide e sim na superfície física da Terra. Dessa forma, as

anomalias de gravidade têm sido importantes no cálculo do

modelo de ondulação geoidal e na determinação de altitude

físicas.

O cálculo do modelo geoidal é importante pois

quando combinada a ondulação geoidal com medidas

advindas de receptores GNSS (Global Navigation Satellite

System) torna-se possível obter uma altitude com

significado físico.

O conhecimento das altitudes físicas é importante

para obras de engenharia, principalmente as obras que

envolvem água, uma vez que a água respeita o sentido

físico e não o sentido geométrico. Estas altitudes são

calculadas por meio da junção do número do geopotencial

com a aceleração da gravidade. Assim, com uma rede

gravimétrica homogênea (medidas gravimétricas com

distância de 5 a 8 km entre si), é possível realizar a

interpolação dos dados gravimétricos para pontos que estão

entre estas medidas. Possibilitando, portanto, a atribuição

do valor de aceleração da gravidade e assim realizar o

cálculo da altitude física em pontos de interesses.

Este trabalho tem como objetivo o processamento

de dados gravimétricos, bem como o cálculo das anomalias

de gravidade, visando a interpolação dos valores da

aceleração de gravidade em 33 estações RRNN

(Referências de Nível), na região do Triângulo Mineiro e

Alto Paranaíba, no estado de Minas Gerais, para a

determinação da altitude normal.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Gravimetria

A gravidade envolve as massas e o efeito rotacional

da Terra. O campo de gravidade varia em função da

densidade no interior da Terra, da interação da Terra em

função do Sol e da Lua e também da altitude e posição

geográfica (AMARANTES, 2012; SÁ, 2004).

A gravimetria consiste em determinar o valor da

aceleração de gravidade por meio de medições realizadas

sobre ou próximas à superfície terrestre. Os valores da

aceleração de gravidade são obtidos por medições

conduzida por gravímetros. Os gravímetros absolutos,

fornecem o valor da aceleração de gravidade para cada

ponto isoladamente, possui uma maior precisão, porém é

de difícil manuseio, geralmente eles são utilizados na

marcação de referências gravimétricas. Dessa forma, as

medições utilizando gravímetros relativos partem das

medições absolutas, possibilitando assim, expandir a rede

gravimétrica. Já a obtenção dos dados gravimétricos,

quando realizado com gravímetro relativo, é mais rápida e

fácil. Seu funcionamento é baseado na medição da variação

de uma massa teste, encontrada dentro do gravímetro, por

meio da relação de equilíbrio da força de gravidade e outra

força presente nestes gravímetros, conhecidas como força

forçaeanalógicosgravímetrosnosmecânica

eletromagnética nos gravímetros digitais. Nos gravímetros

relativos, as medições ocorrem em circuitos; estes são

compostos por estações de referência, nas quais o valor da

gravidade é conhecido e também por estações

complementares, que são instaladas nos pontos em que se

deseja obter o valor da aceleração.

2.2 Anomalias de gravidade

O cálculo de altitudes científicas, requer o

conhecimento de anomalias de gravidade. A anomalia

gravimétrica é obtida por meio da gravidade teórica no

ponto correspondente a normal da Terra, da medida de

gravidade na superfície física e da correção das anomalias

de gravidade (equação 1) (SÁ, 2004).

Δg = gobs + Cg – γ ( 1)

onde, g é a gravidade medida na superfície física

(gravidade observada), Cg é a correção para redução da

gravidade para o geoide, e γ é a gravidade teórica ou

normal. As correções gravimétricas mais utilizadas são:

anomalia ar livre, Bouguer e Helmert.




A anomalia ar livre despreza as massas topográficas

externas à superfície geoidal considerando o aumento da

aceleração de gravidade sobre o geoide relativamente à

superfície física em função da altitude; em outras palavras,

corrige apenas a elevação do ponto de observação.

A anomalia de Bouguer remove as massas entre o

ponto onde foi realizada a medição e o geoide, reduzindo

assim a estação ao geoide.

Já a anomalia de Helmert envolve a anomalia ar

livre e a topografia (correção de terreno), ela considera que

as massas são condensadas sobre o geoide. Remove

irregularidades externas a ele, nela a massa total da Terra

não é modificada, mas o campo de gravidade externo é

alterado (LOBIANCO, 2005; SÁ, 2004).

2.3 Altitudes Físicas

As técnicas GNSS tem se destacado como grandes

colaboradores na determinação de valores de altitude, pois

com a utilização de satélites para a obtenção da posição no

espaço, a altitude passou a ser obtida de forma mais

simples e rápida.

Quando se utiliza desta técnica, a altitude obtida é

uma grandeza referenciada à um elipsoide, ou seja, possui

carácter geométrico. Da mesma forma são as altitudes

niveladas, que são obtidas por meio de técnicas terrestres

com o auxílio de níveis.

Em trabalhos que envolvem água, estas altitudes

não são recomendadas considerando o fato de que a água

obedece ao campo de gravidade, necessitando, portanto, da

utilização de altitudes que estejam vinculadas ao campo de

gravidade. Estas, são chamadas de altitudes físicas.

Estas altitudes realizam o controle e o

monitoramento da altitude no tempo (BLITZKOW et al.

2004) que pode variar em estruturas que sofrem

deslocamentos ou deformações e ainda em função dos

movimentos da crosta terrestre, isto se dá devido ao fato de

que a superfície de referência é estável, ou seja, não sofre

variação no tempo ou então controla a variação.

Elas são obtidas por meio da divisão do número do

geopotencial (m²/s²) pela aceleração da gravidade no ponto

considerado (m/s²), expresso na equação 2.

msm

sm

g

CH C

2

22

(2)

onde C é o número do geopotencial, g é a aceleração de

gravidade.

O número do geopotencial corresponde à diferença

de potencial entre uma superfície equipotencial e uma

superfície equipotencial de referência ao longo da vertical.

Dessa forma parece simples, porém há a dificuldade de não

se conhecer o valor da aceleração de gravidade no interior

da crosta terrestre, função da inexistência de um modelo de

distribuição de massas na crosta.

As altitudes físicas se dividem em altitude

ortométrica, altitude normal e altitude dinâmica. A altitude

dinâmica tem carácter puramente físico, o que torna seu

uso pouco recomendável. Ela é calculada dividindo o

número do geopotencial por um valor constante de

gravidade normal (γ0) (expressão 3), que é equacionado em

latitude padrão de 45º. Percebe-se que se a região for muito

extensa, a altitude apresentará distorções acentuadas,

devido ao fato da influência de densidade da crosta

terrestre não ser aplicada (FREITAS; BLITZKOW, 1999).

0

CH D (3)

Altitudes ortométricas se caracterizam como a

distância, ao longo da vertical, entre a superfície geoidal e

a superfície terrestre (4). Possui carácter puramente teórico

e existe uma dificuldade em ser obtida devido a

impossibilidade de se conhecer o valor da aceleração no

interior da crosta terrestre, salvo se conhecer a densidade e

a distribuição do material que compõe a litosfera

(SEVERO, 2013).

g

CHO (4)

Uma forma simples de determinação da altitude

ortométrica, utiliza a redução gravimétrica simplificada de

Poincaré-Prey e é conhecida como Altitude ortométrica de

Helmert. Tal redução, aplica uma série de simplificações

com respeito às massas externas ao geoide, como a

negligência da correção do terreno e variações de

densidade nas massas topográficas. A aproximação é dada

pela seguinte expressão (HEISKANEN e MORITZ, 1967).

PP Hgg 0424,0 (5)

Onde gp é o valor da gravidade observada no ponto P sobre

a superfície terrestre e Hp (km) é a altitude ortométrica

de P.

A definição da altitude normal (6) é feita de forma

similar à altitude ortométrica. A diferença é que o campo

de gravidade é normal (U0), enquanto na altitude

ortométrica é real (W0). O g é substituído pelo valor médio

da gravidade normal medida ao longo da linha normal entre

o teluroide, esse que por sua vez não é uma superfície

equipotencial, e o elipsoide de referência.

CH N (6)




3 METODOLOGIA

3.1 Processamento dos dados gravimétricos

Os dados das estações gravimétricas foram cedidos

pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística).

Estes são advindos de campanhas gravimétricas realizadas

nas regiões do Triângulo Mineiro e Alto Paranaíba. O

processamento foi realizado por meio do software livre

GravSur (AMARANTES, 2012). Para tanto, foi necessário

o conhecimento do valor da aceleração de gravidade da

estação de referência de cada campanha, bem como as

coordenadas (φ, λ e h). Com isso processou-se os dados

gravimétricos advindos de 7 campanhas gravimétricas e foi

realizado o cálculo das anomalias de gravidade para os

pontos destas campanhas.

3.2 Interpolação gravimétrica

Os valores da aceleração de gravidade, processados

na etapa anterior, foram usados na interpolação

gravimétrica para as 33 estações RRNN disponíveis na

região (Figura 1). As informações (identificação, φ, λ e H)

das RRNN foram obtidas na página do IBGE.

Figura 1 – Localização das estações RRNN

Esta interpolação foi feita por meio do software

PREDGRAV (DREWES, 2015). Este, interpola valores de

gravidade a partir do método dos mínimos quadrados. Para

tanto, o programa seleciona as 50 estações mais próxima

do ponto a ser interpolado. A rotina transforma os valores

de gravidade em anomalias de Bouguer que são utilizadas

para interpolar as 33 estações. Os valores interpolados são

transformados novamente para valores de aceleração de

gravidade. Uma vez conhecidos os valores da aceleração

de gravidade (pontos vermelhos), foi possível interpolar

para as RRNN (triângulos amarelos) que não possuem os

valores da aceleração atribuídas a elas.

Figura 2 – Processo para a interpolação dos dados

gravimétricos

Neste software foi inserido o arquivo contendo os

valores de aceleração da gravidade dos pontos e o arquivo

que continha informação de latitude, longitude e altitude

das estações para quais foram realizadas as interpolações.

Ao final foi gerado um arquivo .ASC contendo os valores

das acelerações de gravidade.




4 RESULTADOS E DISCUSSÕES

Ao todo foram processados dados gravimétricos

derivados de 7 campanhas gravimétricas, localizadas na

mesorregião do Triângulo Mineiro/ Alto Paranaíba. A

Figura 3 ilustra, como exemplo, a campanha realizada na

região do município de Campina Verde.

Figura 3 – Localização dos pontos da campanha de

Campina Verde

A Figura 4 apresenta o arranjo do circuito da

campanha de Campina Verde disponibilizado pelo

software GravSur. Nesta campanha, em particular, foi

utilizada apenas uma estação de referência, de onde se

partiu para determinar as demais.

Figura 4 – Circuito gravimétrico da campanha de Campina

Verde

Uma vez processados os dados gravimétricos, a

próxima etapa foi a análise dos dados para verificar a

existência de possíveis diferenças nas medidas. As

informações obtidas foram validadas utilizando o

programa computacional DIVA, desenvolvido por Michel

Sarrailh no Bureau Gravimétrique International (BGI).

Este programa valida o dado gravimétrico terrestre

identificado pelas coordenadas geodésicas.

Ele se baseia no comportamento da componente z,

nos diferentes pontos ou estações, usando as observações

da vizinhança desse ponto e o método da colocação por

mínimos quadrados. Obteve-se mapas da anomalia em z (ar

livre ou Bouguer) que foram gerados a partir da

triangulação dos pontos (x, y). Os mapas (Figuras 5 e 6)

gerados foram apresentados em formas de cores, sendo que

cada uma das cores representa uma faixa de valores da

anomalia de gravidade. As observações terrestres que

apresentaram resultados duvidosos na análise foram

verificadas em arquivos originais obtidos em campo,

averiguando assim, se não houve erro de digitalização das

leituras gravimétricas, coordenadas, altitudes ou até

mesmo erro de observação.

Ressalta-se que para as 7 campanhas processadas

não foi verificada nenhuma inconsistência em relação aos

valores de aceleração da gravidade.

Figura 5 – Anomalia Ar livre - campanha de Campina Verde




Figura 6 – Anomalia Bouguer - campanha de Campina Verde

Após a verificação dos dados processados, foi

utilizado o programa PREDGRAV para a interpolação dos

valores da aceleração da gravidade nas 33 RRNN. Foram

utilizadas cerca de 5089 estações no processo de

interpolação. A Tabela 1 apresenta os valores de gravidade

para cada uma das estações.

Tabela 1 – Estações e valores interpolados da gravidade

Estação Latitude Longitude Gravidade

(mGal)

146Q-96056 -18,589 -46,517 978.279,6

658A-91834 -20,049 -47,406 978.407,0

163L-96057 -19,400 -47,321 978.269,7

981F-91791 -20,302 -49,197 978.499,1

990P-91692 -20,320 -47,088 978.391,6

990V-91691 -20,357 -47,036 978.413,4

992M-91677 -20,284 -47,064 978.405,7

992S-91674 -20,286 -47,064 978.405,8

992T-91673 -20,286 -47,067 978.412,7

992U-91672 -20,287 -47,066 978.413,3

992Z-91675 -20,286 -47,067 978.412,3

993U-91670 -20,288 -47,067 978.401,8

034J-91784 -20,032 -47,434 978.408,6

036F-91788 -20,119 -48,573 978.481,8

036G-91789 -20,125 -48,572 978.482,2

036X-91790 -20,294 -49,194 978.498,9

038R-91786 -20,025 -48,215 978.435,1

038T-91787 -20,036 -48,223 978.437,2

261F-92711 -18,424 -49,119 978.324,5

261H-92712 -18,407 -49,097 978.323,4

261L-92713 -18,388 -49,069 978.322,4

502D-91031 -19,762 -48,102 978.352,0

M03VGR -19,983 -47,767 978.429,6

B-RN2382A -19,999 -48,198 978.425,7

B-NIV11 -18,657 -48,184 978.261,9

B-NIV12 -18,654 -48,195 978.265,6

BASTO -19,312 -49,663 978.415,5

CHAVE -19,047 -50,485 978.434,6

COMEN -19,692 -49,084 978.454,5

ITUIT -18,966 -49,491 978.405,6

S_FCO -19,807 -49,894 978.463,8

STJLI -19,309 -47,537 978.288,6

UBERL -18,905 -48,285 978.298,2

A partir dos valores de gravidade das 33 estações

RRNN, foram calculados o número do geopotencial para

cada uma delas. Após isso, foi calculada a altitude de

Helmert. A Tabela 2 apresenta a comparação entre as

altitudes das estações RRNN, calculada pelo IBGE e a

altitude de Helmert, calculada neste trabalho.

Tabela 2 – Comparação entre a altitude do IBGE (normal-

ortométrica) e a altitude calculada (Helmert)

Estação Altitude Diferença

(m) IBGE (m) Calculada (m)

146Q-96056 834,020 833,970 0,050

658A-91834 580,885 580,885 0,000

163L-96057 1.096,250 1096,248 0,002




981F-91791 450,839 450,791 0,048

990P-91692 742,818 742,776 0,042

990V-91691 722,711 722,677 0,034

992M-91677 669,281 669,281 0,000

992S-91674 669,316 669,281 0,035

992T-91673 631,641 631,583 0,058

992U-91672 631,217 631,183 0,034

992Z-91675 632,307 632,283 0,024

993U-91670 686,299 686,280 0,019

034J-91784 573,567 573,586 0,019

036F-91788 473,593 473,590 0,003

036G-91789 469,954 469,990 0,036

036X-91790 457,174 457,191 0,017

038R-91786 499,734 499,689 0,045

038T-91787 497,504 497,489 0,015

261F-92711 523,211 523,188 0,023

261H-92712 523,424 523,388 0,036

261L-92713 523,343 523,288 0,055

502D-91031 763,407 763,375 0,032

M03VGR 503,571 503,589 0,018

B-RN2382A 535,644 535,588 0,056

B-NIV11 943,522 943,461 0,061

B-NIV12 922,614 922,563 0,051

BASTO 684,899 684,880 0,019

CHAVE 411,648 411,593 0,055

COMEN 560,073 560,086 0,013

ITUIT 561,441 561,386 0,055

S_FCO 483,857 483,890 0,033

STJLI 958,385 958,360 0,025

UBERL 829,858 829,870 0,012

Verifica-se na Tabela 2 que o desvio padrão das 33

estações RRNN foi de 0,018 m, enquanto que a média de

0,031 m. A maior diferença foi de 0,061 m e 22 % das

estações tiveram diferença superior acima de 0,050 m.

Além disso, 33 % das estações tiveram diferença abaixo de

0,020 m.

5 CONCLUSÕES

A interpolação de dados gravimétricos é uma forma

para se obter o valor da aceleração de gravidade em

referências de nível onde não há essa informação. Embora

a interpolação seja realizada a partir da anomalia de

Bouguer e não do valor da aceleração é necessária uma

análise criteriosa da ferramenta a ser utilizada. Os valores

de g utilizados para interpolarem a estação desejada

influenciam em função da distância do ponto a ser

interpolado, altitude, latitude e ainda, principalmente, da

variação de densidade no interior da crosta terrestre, seja

do ponto a ser interpolado, seja da estação utilizada para

interpolar.

A redução de Poincaré-Prey é uma maneira de se

determinar a altitude ortométrica sem tanta rigorosidade.

Os resultados apontaram que das 33 estações RRNN 7

apresentaram diferença superior a 0,050 m, enquanto que

11 apresentaram diferença abaixo de 0,020 m. Para

determinados tipos de trabalhos na engenharia, a altitude

ortométrica de Helmert pode ser empregada, pois não trará

consequências.

REFERÊNCIAS

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de dados gravimétricos aplicados à determinação do

modelo geoidal. 2012. 152 f. Tese de Doutorado.

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interpolaÇÃo de dados gravimÉtricos visando a...

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