Tarefa 4INTEGRAL DE FUNES DE DUAS VARIVEIS Prof. Eliana M. S. Soares Esse texto foi projetado para ser estudado juntamente com um livro texto, escolhido dentre os indicados na bibliografia, realizando cada etapa e refletindo sobre cada passo realizado. Integral definida de funo de uma varivel real O conceito de integral j conhecido para funes de uma varivel real. Dada uma funo f definida e contnua num intervalo [a,b], podemos definir a integral de f em [a,b], denotada por

f ( x)dxa

b

onde [a,b] indica o intervalo de variao da varivel independente. Qual o significado da integral assim definida? Como ela calculada? Em que situaes esse conceito pode ser aplicado? Pense nisso, antes de prosseguir. A integral de f ao longo do intervalo [a,b] definida como o limite das chamadas "somas de Riemann". Essas somas so definidas pelo produto da imagem da funo em pontos escolhidos de sub-intervalos (parties) de [a,b]. Se o limite dessas somas existe, para o nmeros de partio tendendo ao infinito, ento esse valor do limite o valor da integral. Consulte um livro de clculo, o Anton 1, se necessrio para recordar esse conceito, ou veja Stewart p. 967 para uma reviso. O Teorema Fundamental do Clculo auxilia no clculo de integrais. Segundo esse resultado a integral de f ao longo de [a,b] resulta na diferena da primitiva de f, desde que essa exista, calculada nos extremos do intervalo de definio da integral, ou seja,

f ( x)dx = F (b) F (a) , onde F a primitiva de fa

b

Por exemplo, calcule as integrais indicadas, utilizando o teorema fundamental do clculo: a)

(2 x + 1)dx0

2

b)

1

2 (4 x )dx

1

2

c)

cos 2 dt1

t

( a) 6, b)

22 1 , c) 2sen ) 3 2

Desenhe a regio cuja rea dada pelo seu valor da integral do item b; A integral do item c) d um valor negativo, como interpretar isso? Faa uma anlise da situao geomtrica, nesse caso. Faa isso antes de prosseguir.

Se f for uma funo de duas variveis, como considerar a integral de f ? Lembre-se que uma funo de duas variveis est definida numa regio do plano xy (que pode ser o prprio R2). Dessa forma parece natural considerar a integral de f, definida numa regio do plano xy. Nesse caso as parties para definir a integral so pequenos retngulos. Consulte Anton, p. 400 (fig. 7.1.2 e fig. 7.1.3) ou Stewart 968, fig. 4) e veja uma representao dessa partio. A seguir estude o texto do livro escolhido examinando com ateno a notao e a definio de uma integral dupla. Analise tambm os exemplos que ilustram esse item. Esteja atento para a notao de integral dupla, onde R a regio onde a integral est definida. Faa isso antes de continuar Observe que se f positiva para os pontos de R, ento o valor da integral dupla pode ser interpretado como o volume do slido que tem por base R e altura f. Isto est relacionado interpretao geomtrica da integral dupla. Como possvel calcular a integral dupla, sem precisar calcular o limite que a define? Consulte novamente um dos livros indicados e estude o tpico: clculo de integrais duplas (no Anton, pg. 402, no Stewart p.976) examinando com ateno as figuras, os exemplos e as definies apresentadas. Observe como definida a forma de calcular uma integral dupla. Leia o texto que segue consultando o livro texto, de forma que as ilustraes e exemplos do livro complementem o que o texto apresenta: Integrais iteradas Voc deve ter percebido que a idia para calcular a integral dupla de uma dada funo, considerar uma das variveis fixa e variar a outra. Para entender essa idia consideraremos uma regio do plano bem simples: um retngulo R formado de pontos (x,y) tal que: axb cyd Desenhe-a para voc entender melhor.

f ( x, y )dydxR

Seja f(x,y) uma funo contnua para os pontos desse retngulo e f(x,y)0 para (x,y)R. Se considerarmos x fixo, e y variando de c d, ento f uma funo s de y e ento podemos definir:

f ( x, y)dyc

d

que a integral simples (de uma varivel) que resulta numa funo de

x. Vamos chamar o valor dessa integral de I(x), ou seja, I(x)=

f ( x, y )dyc

d

Esse valor

representa a rea de uma "fatia" do slido de base R e altura f. Veja se voc visualiza essa regio. Faa um esboo para ver se voc entendeu. Podemos agora definir

I ( x)dx , cujo valor o volume do slido de base R e altura f.a

b

Sendo assim a integral dupla pode ser calculada por integrais iteradas ou integrais parciais, da seguinte forma:b b d f ( x, y )dydx = I ( x)dx = f ( x, y )dy dx a R ac

Para entender melhor, veja p. 404 do Anton, onde as Fig 7.1.5 e Fig 7.1.6 ilustram a situao. Idem para p. 976, fig. 1 e fig 2, que esto nas pginas seguintes a essa. Para exemplificar, vamos escrever a integral da funo f(x,y)=1+xy na regio limitada por y=0, y=2, x= -1 e x=1 (desenhe essa regio), com base no que foi explicado no pargrafo anterior. Faa esboos da regio e das fatias, como foi explicado.

Faa antes de prosseguir Confira: A integral da funo f(x,y)=1+xy na regio limitada definida, do tipo

(1 + xy)dydxR

Para obter os extremos observe que a integral interna depende de y, portanto vamos examinar a regio considerando x fixo e y variando: Qual a variao de y para cada x fixo?? Veja que para cada x fixo, na regio, y varia de y=0 y=2, portanto so esses os extremos da integral interna. Para a integral externa vamos pensar de forma anloga: Nesse caso x varia e y est constante: examinamos a regio, perguntando: como x varia para cada y fixo? Para cada y fixo, x varia de x= -1 x=1, e ento esses so os extremos da integral externa. Assim:

(1 + xy)dydx = R

1

2

1 0

(1 + xy )dydx

Analise essa expresso e identifique as integrais iteradas e o que elas significam. Para calcular o valor numrico dessa integral dupla vamos calcular primeiro a integral interna, considerando x fixo. Dessa forma utilizaremos as regras j conhecidas de integral para funo de uma varivel (pois como x est fixo, agora temos funo de uma varivel!). O resultado uma integral de x , cuja maneira de calcular j sabemos.

1 0

(1 + xy)dydx = (2 + 2 x)dx = 41

1 2

1

Confira cada passo com ateno, para entender o que est sendo feito. Essa aprendizagem importante, pois ser utilizada nas situaes seguintes. Veja mais exemplos na pg. 404 do Anton, ou Stewart p. 978. Com base nesses estudos e consultamostre que o valor da integral de 2x2-3xy, na regio limitada por x= -1, x=5, y=0 e y=3 90. Desenhe a regio e identifique os extremos dessa integral. Calcule-a. Agora vamos ver um caso onde a regio de integrao no retangular.Seja f(x,y)= x2+y2 e R a regio limitada por y=x , y=0 e x=2. Desenhe essa regio. Para encontrar os extremos de integrao observe a regio e veja que y varia de y=0 y=x para cada x fixo, e que x varia de x=0 x=2 para varrer toda a regio. Ou seja, a integral da funo f(x,y)= x2+y2, para valores de (x,y) variando na regio limitada por y=x , y=0 e x=2 pode ser expressa por:

(x0 0

2 x

2

+ y 2 )dydx

Examine e veja se voc entendeu. Calcule o valor dessa integral. Voc deve encontrar

16 . 3O SNB pode calcular o valor de uma integral dupla, para tanto escreva-a utilizando o editor de texto matemtico e obtenha seu valor pelo caminho: compute, ou maple evaluate, dependendo da verso. Se for necessrio consulte o help do SNB. Consulte p. 407 412 do Anton ou 982 987 do Stewart, para ver mais exemplos. A seguir, mostre que o valor da integral de (x+y) na regio limitada pelos grficos de y=x2 e y=2x

52 . 15

Uma vez que o clculo das integrais duplas se reduzem ao clculo de integrais iteradas, que so integrais de funes de uma varivel real, utilizaremos os teoremas e regras j conhecidos para integral de funo de uma varivel, nos clculos que sero realizados, bem como as regras e casos de primitivao. Veja p. 974 do Stewart ou p. 402 do Anton para ver as propriedades da integral dupla. Antes de prosseguir, faa um mapa conceitual dos conceitos e regras estudados. Isso ser til na resoluo dos problemas a seguir.

Problemas de aprendizagem1: 1. Mostre que: 2. Mostre que

5xdydx = 3 . Desenhe a regio onde esta integral est definida.0 0

1 x

5

0

1

4

4x

2 1 e y dA = (1 e 16 ) . Desenhe a regio onde esta integral est 8

definida. Veja qual ordem de integrao mais conveniente. 3. Mostre que a integral da funo f(x,y)=x, na regio do primeiro quadrante, limitada pela circunferncia de centro em (0,0) e raio 2 e a reta y=1

5 . 6

4. Considere o slido limitado pelos grficos das funes expressas a seguir: a) z= 1-x2 , y=0, z=0 e y=3 c) z=4-x2 y2 ,z=0 Em cada caso: desenhe o slido, em R3, definido pelos grficos das funes identifique qual a regio base, no plano xy, do slido e desenhe-a identifique tambm a funo que d a altura do slido escreva a integral dupla cujo valor o volume do slido calcule o valor do volume do slido Lembre-se: Se f contnua, definida para x e y tal que f(x,y)0 para todo (x,y) em R, ento a integral b) x+2y+z=4 e os planos coordenados d) z=2-x2 y2 e z=1+x2 +y2

f ( x, y)dydxR

fornece o valor do volume da regio abaixo do grfico de f e acima de R. Assim, para calcular os volumes solicitados preciso analisar com ateno esses aspectos. Veja p. 410 do Anton, exemplo. 4 e 5, ou p. 984 e 985, exemplo. 2 e 4, para entender melhor, como o conceito de integral dupla pode ser utilizado para calcular o volume de slidos. Confira a seguir, os passos principais da resoluo, em cada caso. Esteja atento para entender o que est sendo feito. a) z = 1 x 2, y = 0, z = 0, y = 3 O volume do slido dado por:

(1 x )dydx = 41 3 2 1 0

Base do slido: retngulo limitado por x = -1, x =1, y = 0 e y =3 Altura do slido: cilindro z = 1 x 2 b) x + 2y +z = 4 e os planos coordenados: O volume do slido dado por:

0

4

4 x 2 0

(4 x 2 y )dydx = 163

Base do slido: tringulo limitado por x+2y=4, e os eixos coordenados.

Altura do slido: plano z = 4-x-2y. c) O volume do slido dado por:4

0

2

4 x 2

0

( 4 x 2 y 2 )dydx

Base do slido: regio limitada pela circunferncia de centro na origem e raio 2 Altura do slido: parabolide d). O volume do slido dado por:

4

1 2

0

1 2 x 2

0

(1 2 x 2 2 y 2 )dydx

Clculo de rea de regies, por meio de integrais duplas: Observe que

dA , onde f(x,y)=1, para cada (x,y) de R, fornece o valor da rea daR

regio. Consulte p. 411 do Anton e exemplo 7 da p. 412, ou formula 10, p.987 do Stewart. Assim calcule a rea das regies do plano limitadas pelos grficos das seguintes funes. Em cada caso, desenhe a regio: a) y=x2+1 e y=2x2-3, ( a rea 32/3); b) y=x2 e y= 2x+3, ( a rea tambm 32/3); c) y=2x+3 e y=6x-x2, ( a rea 4/3). Confira: a) a rea da regio regio limitada por y=x2+1 e y=2x2-3 dada por:

2

2

x 2 +1

dydx =

2 x 2 3

32 3

14 12 10 8 6 4 2 -3 -2 -1 0 -2 1 x 2 3

regio limitada por y=x2+1 e y=2x2-3 b) a rea da regio limitada por y=x2 e y=2x+3 dada por:

1

3

2 x +3

dydx =

x2

32 3

16 14 12 10 8 6 4 2 -3 -2 -1 0 -2 1 2 x 3 4

regio limitada por y=x2 e y=2x+3 c) a rea da regio limitada por y=2x+3 e y=6x-x2 dada por:

3

6 x x2

1

2 x+3

dydx = 315

4

10

5

-1

0 -5

1

2

3

x

4

5

6

regio limitada por y=2x+3 e y=6x-x2

Mostre que o volume do slido do primeiro octante limitada pelo plano

x y z + + =1 a b c

1 abc , para a, b, c nmeros reais positivos, quaisquer. 6Confira: O volume do slido do primeiro octante limitada pelo planob x +b a

x y z + + = 1 dada por: a b c

0 0

a

((1

x y 1 )c)dydx = abc a b 6

Problemas de aprendizagem 2: Apresente a resoluo desses problemas por meio de passos organizados, entendendo o porque de cada um deles. Evite copiar ou fazer de forma mecnica, esteja atento para entender o que feito. Se tiver dificuldades reveja os conceitos e exemplos do livro e das notas de estudo. 1). Calcule o volume do slido abaixo da superfcie z=6-2y, acima do retngulo de vrtices (0,0), (4,0), (0,2),(4,2). Desenhe o slido, que um prisma de base retangular. Calcule o volume e confira com a frmula da geometria espacial para seu clculo. 2). Expresse a integral dupla, cujo valor o volume do slido abaixo da superfcie z=1xy, acima da regio limitada por , y=x, y=1,eixo y. 3). Encontre o volume do slido limitado por x=0, y=x, y=2 e z=4-y2 . 4). Encontre o volume do slido abaixo do cilindro z=9-x2 e acima do tringulo de vrtices (0,0), (2,1), (0,3). 5). Desenhe o slido cujo volume dado pela integral:

(4 y0 2

1

2

2

)dydx Desenhe a base do slido e especifique que superfcie define sua1 2

altura. 6). Troque a ordem de integrao da integral

1 1+ x 2

( x + y )dydx

Desenhe a regio expressa na integral dada e identifique os extremos para dA=dxdy. Apresente os passos e os clculos necessrios a para resoluo. No necessrio calcular o valor da integral. 7). Calcule a integral da funo z=4-x, na regio limitada por y=10-x2 e y=1. Desenhe a regio para identificar os limites de integrao. Apresente os passos e os clculos necessrios a para resoluo. 8) Considere a integral

5dxdy .Desenhe a regio do plano xy que a base de0 0

1 y

integrao. No desenho especifique o nome dos eixos coordenados e os pontos, para facilitar seu entendimento. Escreva a funo integrando. Visualize o slido cujo volume dado por essa integral. Desenhe-o, especificando os eixos e os valores limites.

Coordenadas polaresConsulte o livro texto para rever esse conceito. No Anton, veja p. 122 e no Stewart, p. 660. As coordenadas polares determinam, assim como as coordenadas cartesianas retangulares, a posio de um ponto no plano. O uso de um sistema de coordenadas polares pode simplificar as funes e relaes matemticas que aparecem nos problemas, especialmente os de Engenharia. Como voc j sabe, as coordenadas no sistema cartesiano so definidas por dois valores: abscissa e ordenada, (x, y), que denotam posio de um ponto qualquer, P, por exemplo. As coordenadas x e y so as medidas das distncias orientadas em relao a dois eixos fixos perpendiculares entre si. As coordenadas no sistema polar so definidas por uma distncia orientada e por uma medida de um ngulo relativo a um ponto fixo e um eixo. O ponto fixo chamado polo e o eixo de eixo polar. Assim as coordenadas que definem a posio de um dado ponto so r (distncia do ponto o polo) e (ngulo que o segmento que une o ponto ao polo forma com eixo polar, considerando positivo o sentido antihorrio). Ou seja, as coordenadas polares de P so dadas por (r, ). Por exemplo, o ponto P(2, /6), expresso em coordenadas polares ficar determinado se traarmos um segmento que forma ngulo /6 radianos com o eixo polar, e de comprimento 2 unidades. Desenhe-o num sistema de coordenadas polares. Observe que(2, 11 ), 6 (2, + 2 ) , (2, + 4) ,... so 6 6 Assim, (2, + 2n) , onde 6

coordenadasn ,

polares para o mesmo ponto P. coordenadas polares de P.

so

Se fizermos as restries: r > 0 e 0 < < 2, ento, existir um nico par de coordenadas polares para P. Com base no que foi explicado desenhe os seguintes pontos, expressos em coordenadas polares:

a)

(2, ) ; 4

b) (5, ) ; c) (1,

2

2 ); 3

d) (3,

5 ); 3

e) (4,

); 4

f) ( ,

5 ); 2 2

g) (-1, 0);

b) (2,1); i) (0, 3); j) c) 5 5, 4

2 , 2 2 4 ; 2, ; l) (0, ); m) 3, ; n) (2, -1); o) 5 3 3

; q) (-2, -3)

Relaes entre as Coordenadas polares e as Coordenadas Retangulares

Para relacionar as coordenadas cartesianas e as polares considera-se o plo, do sistema de coordenadas polares, coincidindo com a origem do sistema cartesiano e o eixo polar, com o semi-eixo positivo dos x. Desenhe essa situao e com auxlio de relaes trigonomtricas, obtenha algumas relaes entre coordenadas polares e cartesianas. Veja p. 123 do Anton 2 para examinar melhor essas relaes. Utilizando essas relaes, mostre que as coordenadas retangulares do ponto P1 (5, ) expresso em5 5 coordenadas polares so , 3 . 2 2 3

Analogamente mostre que as coordenadas polares do ponto P27 expresso em cartesianas, so 2, . 6

(

3 , 1

),

Com base nessas consideraes faa os exerccios a seguir, atento a cada passo, entendendo o que est sendo feito para que seja possvel utilizar esses conceitos em outras situaes. 1. Represente os seguintes pontos expressos em coordenadas polares: A 4, 4 F 2, 2

B 3,

5 6

C 2 , 4

D 2,

4 3

E 2,

7 4

4 G 2, 3

H 3,

3 2

I 2,

4 3

J ( 3, )

2. Determine as coordenadas cartesianas de cada um dos pontos do ex.1. 3. Encontre um par de coordenadas polares para cada um dos seguintes pontos, expressos em coordenadas cartesianas . Considere r > 0 e 0 < < 2 : K(1, -1) R 2,2 3 L 3 ,1

(

)T(-3, 3)

M(2, 2) U(5,-12).

N(-5, 0)

Q(0, -2)

(

)

S 1, 3

( )

Grficos de funes em coordenadas polares Veja p. 124 do Anton ou p. 662 do Stewart Como voc define o grfico de uma funo expressa em coordenadas cartesianas? Lembre do conceito de grfico de uma funo expressa em

coordenadas cartesianas e tente pensar como seria em polares. Faa isso antes de continuar. O grfico de uma funo, por exemplo, y = x2 em coordenadas cartesianas o conjunto de pontos (x, y) do plano que satisfazem a relao definida pela funo. Nesse caso, o conjunto de pontos do plano, (x, x2), que uma parbola.

Analogamente o grfico de uma funo, expressa em coordenadas polares, o conjunto de pontos, no plano polar, que satisfaz a relao definida pela funo. Por exemplo, se r = sen uma funo em coordenadas polares, ento seu grfico ser o conjunto de ponto no plano polar, que esto ligados por essa relao r = sen. Para ver como ficar esse grfico, faa uma tabela com os pontos definidos pela funo e os localize no plano polar. Consulte um dos livros indicados para conferir.. O SNB pode auxiliar na visualizao de grficos de funes em coordenadas polares. Para tanto digite a funo, e selecione o caminho maple, plot 2D, polar para obter o grfico. Selecione escala igual, nos eixos. O grfico de r = sen pode ser obtido digitando essa equao e selecionando o caminho maple, plot 2D. A Fig 1 mostra esse grfico:1 0.8 0.6 0.4 0.2

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Fig 1

Analogamente, se r = 2 sen, qual o grfico obtido? Voc deve ter obtido uma circunferncia com centro em (0,1) e raio 1: A seguir, faa, com auxlio do SNB os grficos as funes polares: b) r = 1 +sen a) r = 1- 2cos Veja mais exemplos e informaes na p.618 a 624 do Leithold vol.1, ou Anton p. 124 a 131.

Ateno: Circunferncias Observe que a equao da circunferncia centrada na origem e raio a, que em coordenadas cartesianas x2 + y2 = a2, em coordenadas polares r = a onde a o raio da circunferncia. A circunferncia com centro em (b, 0) e raio a, cuja equao em coordenadas cartesianas (x-b)2 + y2 = a2 , escrita em coordenadas polares por meio da . equao r = 2a cos, para 2 2 Analogamente r = 2a sen , para 0 a equao da circunferncia com centro em (0, b) e raio a, cuja equao em coordenadas cartesianas x2 + (y b)2 = a2 . Consulte p. 129 do Anton para examinar melhor essas idias.

Integral dupla em coordenadas polaresVamos ver agora como definir e calcular uma integral dupla quando o integrando e a regio so expressos em coordenadas polares. Isso ser til, pois em muitas aplicaes mais simples e mais fcil utilizar coordenadas polares, ao invs de cartesianas. Isso acontecer especialmente quando as regies consideradas so limitadas por circunferncias ou trechos delas. As coordenadas polares no espao tambm so denominadas de coordenadas cilndricas. Consulte Anton 2 p. 415 420 ou Stewart, p. 989 993, para ver o tipo de regio polar que ser considerado ao definir integral dupla em coordenadas polares e para entender como esto relacionados os elementos que definem uma integral dupla, em coordenadas polares. Veja os exemplos e as notaes.

Observe que,

f ( x, y)dydx = f (r , )rdrdR R

Onde

dA=rdrd , x=r cos, y=r sen e r2=x2+y2.

Assim para transformar uma integral expressa em coordenadas cartesianas numa integral em coordenadas polares, ou para escrever uma integral dupla em coordenadas polares, preciso identificar a regio do plano na qual a integral est definida, bem como a funo que est sendo integrada. A prxima etapa expressar a regio e a funo em coordenadas polares, lembrando que dA=dydx=dxdy=rdrd x=r cos y=r sen r2=x2+y2

Para identificar os extremos da integral preciso analisar a regio R, examinando como varia r para cada valor fixo de , e qual a variao de para que a regio toda seja abrangida. Por exemplo, vamos expressar em coordenadas polares a integral de f(x,y)=x2+y2 na regio limitada pela circunferncia de raio 2. Tente voc antes de prosseguir Observe que f pode ser expressa como f(r,)=r2 e que a circunferncia de raio 2 expressa em coordenadas polares como r=2. Examinando essa regio temos que para cada ngulo , fixo, o raio varia de 0 2, alm disso o ngulo precisa variar de 0 2 para abranger toda regio. Assim a integral dupla em coordenadas polares dada por:2 2

r0 0

2

rdrd

Vamos fazer agora outro tipo de problema: Transformar uma integral expressa em cartesianas, num integral em polares.

Seja a integral

1

(1 x0

1

1 x 2

2

y 2 )dydx .

Identifique a regio onde ela est definida desenhando-a . Examine como r varia para cada valor fixo de , e qual a variao de para que a regio toda seja abrangida. Com isso escreva a integral em coordenadas polares. Voc deve ter obtido:

1

(1 ( x0

1

1 x 2

2

+ y ))dydx = 2 0

(1 r0

1

2

)rdrd

Com base nessas idias, faa os exerccios a seguir com ateno, refletindo sobre cada passo efetuado e apresentando-os de forma organizada.

1). Expresse, em coordenadas polares, a integral cujo valor o volume do slido limitado por z=3(x2+y2) e z=4-6x2-6y22 2 / 3

(

( 4 9r0 0

2

)rdrd )

2). Encontre a rea da regio limitada pela circunferncia de raio 1 e centro na origem e as retas y=x e y=0. Desenhe a regio para auxiliar na identificao dos extremos da integral. Analogamente, encontre a rea da regio limitada pela circunferncia de raio 2 e centro na origem e as retas y=2x e y=0.

3) Transforme a integral dupla

2

5dydx0

2

4 x 2

expressa em coordenadas cartesianas,

numa integral dupla em coordenadas polares. 4) Desenhe a regio limitada pelas circunferncias r=2cos e r=1, externa r=1 e interna r=2cos, no primeiro quadrante. Para isso utilize o SNB para auxiliar na visualizao. Escolha eixos com escalas iguais. Observe com ateno o grfico e identifique a regio definida pelo problema. Analise como varia r para cada valor fixo de , e qual a variao de para que a regio toda seja abrangida. Esses valores definem os extremos da integral dupla. Com esses dados, escreva a integral cujo valor a rea da regio considerada. Lembre-se que dA =rea da regio R. (consulte um livro ou reveja tuas notas de aula, para rever

R

essa idia) . 5) Encontre o volume do slido limitado por r=2, z=4-r2 e z=4, interior ao cilindro r=2 e exterior ao parabolide z=4-r2. 6). Mostre mediante uso de integrais duplas, que (considere coordenadas cartesianas ou polares, conforme for mais conveniente): 6.1). A rea de um crculo de raio R R2;

6.2). O volume de uma esfera de raio R

4 3 R ; 3

7). Desenhe os slidos definidos nos itens abaixo e identifique em que caso mais conveniente encontrar o volume em coordenadas polares e calcule o volume, nesses casos. (observe que no est sendo solicitado para calcular todos os volumes, apenas os que ficam mais simples em coordenadas polares. Para isso preciso uma anlise de cada caso). 7.1) z= x2 , y=0, z=3 e y=3 7.2) z= 4- x2-y2 e z= 2+x2+y2 7.3) z= x2 + y2 e z=2 7.4) z=1-x2 ,z=0, y=0 e y=1 7.5) x+y+z=2 no primeiro octante

8) Encontre a rea de uma placa com formato da regio limitada pelos grficos das funes y=x, y=1-x e pela reta y=0. Desenhe a regio definida pelo problema para auxiliar na visualizao dos extremos da integral. 9) Desenhe o slido cujo volume dado pelo valor numrico da integral1 0

1 3

(1 x 2 )dydx .Desenhe a base desse slido e escreva o nome da superfcie

que d a altura do slido. No desenho especifique o nome dos eixos coordenados e os pontos, para facilitar seu entendimento. 10) Desenhe a regio, no primeiro quadrante, limitada pela circunferncia de raio 4 e pela circunferncia de raio 2, exterior a circunferncia de raio 4 e interior a circunferncia de raio 2. Encontre a rea dessa regio.