integrais_-_parte_1_-_introducao
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Introdução a calculo 2 Intengrais definidasTRANSCRIPT
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2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
Captulo 5Integrais
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INTEGRAIS
No Capitulo
2 usamos
os
problemas
de tangente
e de velocidade
para
introduzir
a
derivada, que
a ideia
central do clculo diferencial.
Neste
captulo, comearemos
com os problemas
de rea
e de distncia
e os
utilizaremos
para
formular
a ideia
de integraldefinida, que
o conceito
bsico
do clculo
integral.
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INTEGRAIS
H
uma
conexo
entre o clculo
integral e o diferencial.
O Teorema
Fundamental do Clculo relaciona
a integral com a derivada
e
veremos, neste
captulo, que
isso
simplifica bastante
a soluo
de muitos
problemas.
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5.1 reas e Distncias
Nesta
seo, ns
descobriremos
que:Na tentativa
de encontrar
a rea
sob uma
curva
ou
a
distncia
percorrida
por
um carro, encontramos
o mesmo
tipo
especial de limite
INTEGRAIS
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Comeamos por tentar resolver o problema da rea: achar a rea de uma regio S que est
sob a curva y =
f (x) de a at
b.
Isso significa que S, ilustrada na Figura, est limitada pelo grfico
de uma funo continua f [onde f (x)
0], pelas retas
verticais x =
a e x =
b e pelo eixo x.
O PROBLEMA DA REA
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Ao tentar resolver o problema da rea, devemos nos perguntar: qual o significado da palavra rea?
Essa questo
fcil de ser respondida para regies com lados retos.
O PROBLEMA DA REA
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Para um retngulo, a rea
definida como
o produto do comprimento e da largura.
A rea de um tringulo a metade da base vezes
a altura.
RETNGULO E TRINGULO
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POLGONO
A rea de um polgono pode ser encontrada dividindo-
o em tringulos e a seguir somando-se as reas dos tringulos.
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No
to fcil, no entanto, encontrar a rea de uma regio com lados curvos.
Temos uma ideia
intuitiva de qual
a rea de uma regio.
Mas parte do problema da rea
tornar precisa essa ideia
intuitiva, dando uma
definio exata de rea.
O PROBLEMA DA REA
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Lembre-se de que, ao definir uma tangente, primeiro aproximamos a inclinao da reta tangente por inclinaes de retas secantes e, ento, tomamos o limite dessas aproximaes.
Uma ideia
similar ser
usada aqui para as reas.
O PROBLEMA DA REA
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Em primeiro lugar, aproximamos a regio S utilizando retngulos e depois tomamos o limite das reas desses retngulos a medida que aumentamos o nmero de retngulos.
Os exemplos a seguir ilustram esse procedimento.
O PROBLEMA DA REA
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Use retngulos
para estimar
a rea
sob a
parbola
y =
x
de 0 at
1 (a regio
parablica
S ilustrada
na
figura).
O PROBLEMA DA REA EXEMPLO 1
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Observamos
1
que a rea
de S deve
estar
em
algum
lugar entre 0 e 1, pois
S
est
contida
em
um quadrado
com lados
de comprimento
1, mas
certamente
podemos
fazer melhor
que
isso.
O PROBLEMA DA REA EXEMPLO 1
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Suponha
que
S seja dividida
em
quatro
faixas
S1
, S2
, S3
e S4
, traando
as retas
verticais
x
= ,
x
= , e x
= , como
na
Figura
(a).
O PROBLEMA DA REA EXEMPLO 1
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Podemos
aproximar cada
faixa
por
um
retngulo
com base igual
a largura
da
faixa
e altura
igual
ao lado
direito
da
faixa
[veja
a figura
(b)].
O PROBLEMA DA REA EXEMPLO 1
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Em outras palavras, as alturas desses retngulos so os valores da funo f (x) = x
nas
extremidades direitas dos subintervalos [0, ],
[, ], [, ]
e [, 1].
Cada um dos retngulos tem largura
e as alturas so ()2, ()2, ()2, and 12
O PROBLEMA DA REA EXEMPLO 1
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Se chamarmos R4
a soma das reas desses retngulos aproximantes, obteremos
Da figura (b) vemos que a rea A de S menor que R4, logo, A < 0,46875.
O PROBLEMA DA REA EXEMPLO 1
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Em vez de usar os retngulos na figura (b), poderamos usar os retngulos menores na figura seguinte, cujas alturas seguem os valores de f nas extremidades esquerdas dos subintervalos.
O retngulo mais esquerda desapareceu, pois sua altura 0.
O PROBLEMA DA REA EXEMPLO 1
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A soma das reas desses retngulos aproximantes
Vemos que a rea de S maior que L4; assim, temos estimativas inferior e superiorpara A:0,21875 < A