integrais definidas propriedades da integral definidas

Integrais Definidas

Propriedades da Integral Definidas

Integrais

• A idéia de integral está relacionada ao cálculo de áreas e distâncias.

• Existe uma conexão entre o cálculo integral e o diferencial, que são relacionados pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

• Tal teorema simplifica bastante a solução de muitos problemas.

O Problema da Área

• Tentemos resolver o seguinte problema:

• Achar a área de uma região S que está sob a curva y = f(x) de a até b.

O Problema da Área

• S está limitada por:• O gráfico de uma função

contínua f;• Pelas retas verticais

x=a e x=b ;

• Pelo eixo x

O Problema da Área

• Ao tentar resolver o problema devemos pergunar:

• - Qual o significado da palavra área?

O Problema da Área

• Esta pergunta é facil de ser respondida para regiões de lados retos.

O Problema da Área

• Não é fácil encontrar área de regiões com lados curvos.

– Temos uma idéia intuitiva de qual é a área de uma região.

– Parte do problema da área é tornar precisa essa idéia intuitiva, dando uma definição exata de área.

O Problema da Área

• Lembre-se de que, ao defnir uma tangente, primeiro aproximamos a inclinação da reta tangente por inclinações de retas secantes, e então, tomamos o limite dessas aproximações.

– Uma idéia similar será usada para áreas.

Exemplo 1

Use retângulos para estimar a área da sob a parábola y = x2 de 0 até 1 ilustrada a seguir.

Solução

Note que a área se S deve estar compriendida entre 0 e 1, pois S está contido em um quadrado de lado 1.

- Mas podemos fazer melhor que isso!

Solução

Suponha que S seja dividida em quatro faixas S1, S2, S3, e S4 traçando as retas verticais x = ¼, x = ½, e x = ¾.

Solução

Podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual à largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa.

Solução

Cada retângulo tem largura ¼e as alturas são (¼)2, (½)2, (¾)2, e 12.

Solução

• Se charmarmos de R4 a soma das áreas desses retângulos aproximantes obtemos:

22 2 231 1 1 1 1 14 4 4 4 2 4 4 4 1R

1532

0.46875

Solução

Vemos que a área A de S é menor que R4.

Portanto , A < 0,46875

Solução

Em vez de usar os retângulos desta figura, podemos usar retângulos menores da figura a seguir.

Solução

Aqui, as alturas são os valores de f à esquerda dos subintervalos.

– O retângulo mais à esquerda desapareceu porque sua altura é zero.

Solução

• A soma das áreas desses retângulos aproximantes é:

22 22 31 1 1 1 1 14 4 4 4 4 2 4 40L

732

0.21875

Solução

Vemos que a área de S é maior que L4.

Portanto, temos uma estimativa superior e inferior para A: 0,21875 < A < 0,46875

Solução

A figura mostra o que acontece quando dividimos a região S em oito faixas com a mesma largura.

0,2734375 < A < 0,3984375

Vídeo

Solução

• Portanto, é possível mostrar que

1lim lim

3n nn nR L

Regiões mais gerais

A largura do intervalo [a,b] é b – a.

x

b a

n

Definição

A área da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes

Também pode ser mostrado que:

Pontos amostrais

Podemos tomar como altura do i-ésimo retângulo como o valor de f em qualquer número no i-ésimo subintervalo

*ix

1,i ix x

Pontos amostrais

Chamamos os pontos de pontos amostrais.

* * *1 2, , , nx x x

Integral definida

Se f é uma função contínua definida em , dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimentos iguais.

Sejam as extremidades desses subintervalos, escolhemos os pontos amostrais nesses subintervalos .

Então a integral definida de f de a a b é

desde que o limite exista.

*

1

( ) lim ( )nb

i xa ni

f x dx f x

0 1, , na x x x b * * *1 2, , , nx x x

(Integral de Riemann)

Integral definida

Quando o limite anterior existe dizemos que f é integrável.

( )b

af x dx

integrando

limite inferior

lim. superior

indica que a variável

independente é x

Cálculo da Integral2

0xdx

2

0

O cálculo da integral

,

pode ser calculada

pela determinação

da área do triângulo

retângulo da figura

destacado em

vermelhoaolado.

xdx

20 x

y

2

y x


0xdx

20 x

y

2

Logo teremos:

2

0A xdx

y x

2 2

2

2

2

02xdx

Cálculo da Integral 0

2x dx

0

2

O cálculo da integral

,

pode ser calculada

pela determinação

da área do triângulo

retângulo da figura

destacado em

vermelhoaolado.

x dx

2 0 x

y

2

y x


0xdx

Logo teremos:

0

2A x dx

2 22

2

0

22x dx

2 0 2

2

2 0 x

y

2

y x

Observação

Quando definimos a integral definida ,

implicitamente assumimos que .

Mas a definição como o limite da somas de

Riemann faz sentido mesmo que .

b

af x dx

a b

a b

Observação

Observe que se invertermos e , então

mudará de para .

Logo se , então .

a b x

/b a n /a b n

a b a b

b af x dx f x dx

Observação

Se , então , e

Vamos desenvolver agora algumas proprieda-

des básicas das integrais que nos ajudarão a

calcular as integrais de forma mais simples.

Para todos os efeitos vamos supor que as

funções a seguir sejam contínuas.

0x a b

0a

af x dx

Propriedades da Integral

Propriedade 1:

onde é qualquer constante.

b

acdx c b a

c

Observação da Propriedade 1

A propriedade 1 diz que a integral de uma

função constante, , é a função

constante vezes o comprimento do intervalo

.

f x c

,a b

Sendo e , então é a área

do retângulo da figura a seguir:

0c a b c b a

Observação da Propriedade 1

x

y

c

a b

área c b a

Exemplo

Determine . 2

04dx

Solução: Fazendo uso da propriedade 1

temos que:

b

acdx c b a

2

04dx 4 2 8 4 2 0


Propriedade 2:(Linearidade da Integral)Se e

são funções integráveis em , então

é uma função integrável em ,

para todo valendo a seguinte regra:

f

g ,a b

f g ,a b

,

b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

Observação

No caso de α β 1, 0 e 0

, , temos que

f x g x

x a b

b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

pode ser interpretado

como se segue:

Exemplo

Use as propriedades das integrais para calcular

. 2

04 3x dx

Solução

Fazendo uso das propriedades 1 e 2 temos:

2

04 3x dx

14

2 2

0 04 3dx xdx 4 2 0 3 2

2

04 3 14x dx


Propriedade 3:

Sejam e uma função integrável em

, e , respectivamente. Então

integrávelem , , valendo a seguinte regra:

a c b f

a c c b f

a b

b c b

a a cf x dx f x dx f x dx


Propriedade 3:

b c b

a a cf x dx f x dx f x dx

Aplicação

2

2

Fazendo uso das propriedadesdas integrais,

determine

, 0 2 onde, = .

, 2 0

f x dx

x se xf x

x se x

Solução

A representação do gráfico da função ,

, 0 2definida por = é:

, 2 0

f

x se xf x

x se x

20 x

y

2

2

Solução

2

2

Vamos fazer uso da propriedade 3 para

calcular .f x dx

20 x

y

2

2

Solução

2 0 2

2 2 0f x dx f x dx f x dx

0 2

2 0x dx xdx

2 2

4

2

24f x dx


Propriedade 4:

Se 0para todo , , então

( ) 0.b

a

f x x a b

f x dx

Se 0 para todo , , então

,0 ; ,f

f x x a b

G x x a b

0 x

y

a b

0.b

af x dx

Idéia Geométrica da 4P

Se 0 para todo , , então

, ; ,f

f x x a b

G x f x x a b

0b

af x dx

0 x

y

a b



Propriedade 5:

Se para todo , , então

.b b

a a

f x g x x a b

f x dx g x dx


Idéia de solução da Propriedade 5:

Se para todo , , então

0.

f x g x x a b

f x g x

Pela Propriedade 4, temos que

0 para todo , .b

af x g x dx x a b

Segue dai que .b b

a af x dx g x dx


Propriedade 6:

Se m para todo , , então

.b

a

f x M x a b

m b a f x dx M b a

M b a m b a b

af x dx


0 x

y

a b

m

M

f x

x

b

am b a f x dx M b a

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