integração numerica

Click here to load reader

Post on 15-Apr-2017

203 views

Category:

Education

1 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • CI202 - Mtodos Numricos 1

    Introduo

    Do ponto de vista analtico existem diversas

    regras, que podem ser utilizadas na prtica.

    Porm, tcnicas de integrao analtica, como o

    Teorema Fundamental do Clculo Integral, nem

    sempre resolvem todos os casos.

    Tambm no se pode dizer que uma funo

    simples ter tambm uma primitiva simples.

    Pois f(x) = 1/x (funo alggrica racional)

    ln(x) (funo transcendente primitiva de 1/x)

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

  • CI202 - Mtodos Numricos 2

    Introduo

    Quando no se pode calcular a integral por

    mtodos analticos, mecnicos ou grficos,

    recorre-se a mtodos algortmicos.

    Porm existem situaes em que apenas os

    mtodos numricos podem ser usados.

    Se no possuirmos a expresso analtica de f,

    poderemos apenas usar o mtodo numrico.

    A integrao numrica pode trazer timos

    resultados quando outros mtodos falham.

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

  • CI202 - Mtodos Numricos 3

    Introduo

    A soluo numrica de uma integral simples

    comumente chamada de quadratura.

    Sabe-se que do Clculo Diferencial e Integral que

    se f(x) uma funo contnua em [a,b], ento

    esta funo tem uma primitiva neste intervalo.

    Assim, existe F(x) tal que f(x) dx = F(x) + C, com F'(x) = f(x);

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

  • CI202 - Mtodos Numricos 4

    Introduo

    Demonstra-se que, no intervalo [a,b],

    tais mtodos, no se aplicam a alguns tipos de

    integrandos f(x), se no so conhecidas suas

    primitivas F(x).

    Nestes casos, e naqueles em que a obteno da

    primitiva, embora vivel, muito trabalhosa,

    podem ser empregados mtodos para o clculo

    do valor numrico aproximado de:

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    a

    b

    f x dxF bF a

    a

    b

    f x dx

  • CI202 - Mtodos Numricos 5

    Introduo

    A aplicao de tais mtodos obviamente

    necessria no caso em que o valor de f(x)

    conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo

    [a,b], ou atravs de um grfico. Lembrando que:

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    a

    b

    f x dxlimn

    i1

    n

    f x i x i Riemann ,

    onde X i x i1 , x i partes de a , b , com x0a , xnb

    e x ix ix i1, para n suficientemente grande

    e x i suficientemente pequeno.

    i1

    n

    f x i x i lima

    b

    f x dx

  • CI202 - Mtodos Numricos 6

    Introduo

    Sendo f(x) no negativa em [a,b],

    representa, numericamente, a rea da figura

    delimitada por y=0, x = a, x = b e y = f(x), como

    mostra a figura abaixo:

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    a

    b

    f xdx

    Aa

    b

    f x dx

  • CI202 - Mtodos Numricos 7

    Introduo

    Quando f(x) no for somente positiva, pode-se

    considerar f(x) em mdulo, para o clculo da rea,

    como mostra a figura abaixo:

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    Aa

    c

    f x c

    b

    f xdx Aa

    b

    f x dxou

  • CI202 - Mtodos Numricos 8

    Introduo

    A idia bsica da integrao numrica a

    substituio da funo f(x) por um polinmio que a

    aproxime razoavelmente no intervalo [a,b].

    Assim o problema fica resolvido pela integrao de

    polinmios (tarefa trivial).

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

  • CI202 - Mtodos Numricos 9

    Introduo

    Com este raciocnio podemos deduzir frmulas para

    aproximar a integral de f(x)dx no intervalo [a;b].

    As frmulas que deduziremos tero a expresso

    abaixo:

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    xia ,b , i0,1 , ... , n

    a

    b

    f x dxx

    0

    xn

    f x dxA0

    f x0A

    1f x

    1...An f xn

  • CI202 - Mtodos Numricos 10

    Frmulas de Newton-Cotes

    Nas frmulas de Newton-Cotes a idia de polinmio

    que aproxime f(x) razoavelmente que este

    polinmio interpole f(x) em pontos de [a,b]

    igualmente espaados.

    Consideremos a partio do intervalo [a,b] em

    subintervalos, de comprimento h, [ xi, x

    i+1], i =

    0,1,...,n-1. Assim xi+1

    xi = h = ( b - a ) / n.

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

  • CI202 - Mtodos Numricos 11

    Frmulas de Newton-Cotes

    As frmulas fechadas de Newton-Cotes so frmulas

    de integrao do tipo x0 = a, x

    n = b e

    Sendo os coeficientes Ai determinados de acordo

    com o grau do polinmio aproximador.

    Analisaremos a seguir algumas frmulas fechadas

    de Newton-Cotes como regra dos retngulos, regra

    dos trapzios e regra de Simpson.

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    a

    b

    f xdxx

    0

    xn

    f x dxA0

    f x0A

    1f x

    1...An f x n

    i0

    n

    Ai f x i

  • CI202 - Mtodos Numricos 12

    Regra dos Retngulos

    Seja o intervalo finito [a,b] no eixo x que

    particionado em n subintervalos igualmente

    espaados [ xi, x

    i+1 ], com x

    0 = a e x

    n = b e h

    i = x

    i+1 x

    i.

    Seja f uma funo contnua ou simplesmente

    Riemann integrvel, cuja integral no conhecida.

    Nosso objetivo calcular pelo mtodo

    da rea dos retngulos.

    Tais retngulos podem ser considerados de diversas

    maneiras.

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    Aa

    b

    f x dx

  • CI202 - Mtodos Numricos 13

    Regra dos Retngulos

    No primeiro caso, a rea de cada retngulo f(xi)*h

    i .

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

  • CI202 - Mtodos Numricos 14

    Regra dos Retngulos

    Em (b) a rea de cada retngulo f(xi+1

    )*hi .

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

  • CI202 - Mtodos Numricos 15

    Regra dos Retngulos

    E em (c) a rea de cada retngulo f((xi + x

    i+1)/2)*h

    i .

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

  • CI202 - Mtodos Numricos 16

    Regra dos Retngulos

    Em qualquer caso a soma das reas dos retngulos

    ser uma aproximao para:

    Subdividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos,

    pela regra dos retngulos, que ser indicado por

    R(h), dada pelas frmulas:

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    a

    b

    f xdx

    R hn

    i0

    n1

    f xih

    icaso a

    R hn

    i0

    n1

    f xi1hicaso b

    R hn

    i0

    n1

    f xix i12 hicaso c

  • CI202 - Mtodos Numricos 17

    Regra dos Retngulos

    Como hi constante, temos h = (b a) / n. Ento:

    Em geral, quando se utilizar a regra dos retngulos

    se efetua os clculos atravs do caso (c), ou seja:

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    R hnh

    i0

    n1

    f xicaso a

    R hnh

    i0

    n1

    f xi1caso b

    R hnh

    i0

    n1

    f x ixi12 caso c

    Rhnhi0

    n1

    f xi , sendo x ix ix i1

    2

  • CI202 - Mtodos Numricos 18

    Regra dos Retngulos

    Exemplo: Calcular . Considere n=4 e 4

    casas decimais com arredondamento.

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    1

    1

    x21 dx

    R h41,375

    1

    1

    x21 dx1,3333

  • CI202 - Mtodos Numricos 19

    Regra dos Retngulos

    Exerccio: Calcular . Considere n=4 e 4

    casas decimais com arredondamento.

    Respostas: R(h4) = 345,2234

    Analtico: 348,8307

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    4

    6

    exdx

  • CI202 - Mtodos Numricos 20

    Regra dos Trapzios

    Seja o intervalo finito [a,b] no eixo x que

    particionado em n subintervalos igualmente

    espaados [ xi, x

    i+1 ], com x

    0 = a e x

    n = b e h

    i = x

    i+1 x

    i.

    Seja f uma funo contnua ou simplesmente

    Riemann integrvel, cuja integral no conhecida.

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

  • CI202 - Mtodos Numricos 21

    Regra dos Trapzios

    Numericamente a regra dos trapzios obtida

    aproximando-se f por um polinmio interpolador de

    1 grau. Ento usa-se a frmula de Lagrange para

    expressar o polinmio p1(x) que interpola em x

    0 e x

    1

    temos:

    Assim, , que a rea do

    trapzio de altura h = x1 x

    0 e bases f(x

    0) e f(x

    1).

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    a

    b

    f x dx ax0

    bx1

    p1x dx

    x 0

    x1

    xx1h f x0xx

    0

    hf x

    1dx IT

    I Th

    2 f x0 f x1

  • CI202 - Mtodos Numricos 22

    Regra dos Trapzios

    Geometricamente: Podemos ver, conforme mostra a

    figura abaixo:

    A rea de cada trapzio :

    A soma dessas reas ser uma aproximao para:

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    f x i f xi1

    2hi

    a

    b

    f x dx

  • CI202 - Mtodos Numricos 23

    Regra dos Trapzios Repetida

    Dividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos, pela

    regra dos trapzios, o resultado, que ser indicado

    por T(h), dada pela frmula:

    Como hi constante, temos h = (b-a)/n. Ento:

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    T hni0

    n1

    f xi f xi12 hi

    T hnh

    2 f x

    02f x

    12f x

    2...2f xn1 f xn

    T hnhi0

    n1

    f x i f x i12

  • CI202 - Mtodos Numricos 24

    Regra dos Trapzios

    Exemplo: Calcular . Considere n=4 e 4

    casas decimais com arredondamento.

    Integrao NumricaIntegrao Numrica

    1

    1

    x21 dx

    T h41,25

    1

    1

    x21 dx1,3333

  • CI202 - Mtodos Numricos 25

    Regra dos Trapzios

    Exerccio: Calcular