lista de exerccios

integrabilidade - parte II

Adilson E. Presoto

O texto base desta lista e o Captulo 11 de [1]

1. Seja f : [a, b] R integravel, contnua a` direita no ponto x0 [a, b). Prove que F : [a, b] R, dada porF (x) =

xaf(t)dt, e derivavel a` direita no ponto x0, com F

+(x0) = f(x0). Enuncie fato analogo com

esquerda no lugar de direita. De exemplos com f integravel, descontnua no ponto x0, nos quais:

a) Existe F (x0);

b) Nao existe F (x0).

2. Seja f : [a, b] R derivavel, com f integravel. Prove que, para quaisquer x, c [a, b], tem-se f(x) =f(c) +

xcf (t)dt. Conclua que o Teorema 5 de [1, Secao 1 - Captulo 11] vale com integravel no lugar

de contnua.

3. Seja f : [a, b] R, com f (x) 0 para todo x [a, b]. Se {x [a, b]; f (x) = 0} tem conteudo nulo,prove que f e crescente.

4. Dada f : [a, b] R com derivada contnua, prove o Teorema do Valor Medio como consequencia doTeorema do Valor Medio para integrais.

5. Sejam f : [a, b] R contnua e , : I [a, b] derivaveis. Defina : I R pondo (x) = (x)(x)

f(t)dt,

para todo x I. Prove que e derivavel e

(x) = f((x))(x) f((x))(x).

6. Seja f : [a.b] R definida por

f(x) =

0, se x I,1

q, se x =

p

qirredutvel.

e g : [0, 1] R definida por g(x) = 0 e g(x) = 1 se x > 0. Mostre que f e g sao integraveis poremg f : [0, 1] R nao e integravel.

7. Dada f : [a, b] R com derivada integravel, seja m = (a+ b)/2. Prove que

f(a) + f(b) =2

b a ba

[f(x) + (xm)f (x)] dx.

8. Sejam f, p : [a, b] R tais que f e contnua, p e integravel e p(x) > 0 para todo x [a, b]. Prove que se ba

f(x)p(x)dx = f(a)

ba

p(x)dx,

entao existe c (a, b) tal que f(a) = f(c). Vale um resultado analogo com f(b) no lugar de f(a).Conclua que no Teorema 1 de [1, Secao 1 Captulo 11] pode-se tomar c (a, b) e que no Corolario doTeorema 5 de [1, Secao 1 Capulo 10] pode-se exigir (0, 1).

9. Com o auxlio de somas de Riemann prove a validez dos seguintes limites

1

a) limn

1

np+1

ni=1

ip =1

p+ 1,

b) limn

1

n

ni=1

sen

(ipi

n

)=

2

pi.

10. Dada f : [a, b] R, limitada ou nao, faz sentido considerar a soma de Riemann (f ;P ), para todaparticao pontilhada. Prove que, se existe lim

|P |0

(f ;P ), entao f e uma funcao limitada.

11. Prove a recproca do Teorema 7 de [1, Secao 2 Captulo 11]: se existir lim|P |0

(f ;P ) = L entao a

funcao limitada f [a, b] R e integravel e ba

f(x)dx = L.

12. Sejam f, g : [a, b] R integraveis. Para toda particao P = {a = t0 < t1 < . . . < tn = b} de [a, b] sejamP = (P, ) e P# = (P, ) pontilhamentos de P . Prove que

lim|P |0

ni=1

f(i)g(i)(ti ti1) = ba

f(x)g(x)dx.

13. Seja f : [a, b] R e convexa, prove que

f

(a+ b

2

) 1b a

ba

f(x)dx.

14. Verifique a convergencia ou divergencia das integrais 10

dx

1 cosx, 33

dx

x2e

11

dx3x.

15. Verifique a convergencia ou divergencia das integrais 0

dx

(1 + x)x,

dx

1 + x6e

1

xdx

1 ex .

16. Mostre que

0

sen (x2)dx converge mas nao absolutamente.

17. Mostre que

0

x sen (x4)dx converge, embora a funcao x sen (x4) seja ilimitada.

18. Seja f : [a,) R contnua positiva, monotona nao crescente. Prove que se af(x)dx converge entao

limxxf(x) = 0.

19. (Criterio de Cauchy) Seja f : [a,) R integravel em cada intervalo limitado [a, x]. Prove que aintegral impropria

a

f(x) = limx

xa

f(t)dt

existe se, e somente se, para todo > 0 dado, existe A > 0 tal que A < x < y implica

yx

f(t)dt

< .20. Prove o Teorema 12 de [1, Secao 4 Captulo 11].

Referencias

[1] lima, e., l., Analise Real - funcoes de uma variavel, vol. 1, 10aedicao, Projeto Euclides, Instituto deMatematica Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 2010.

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