Universidade Aberta do Brasil - UFPB VirtualCurso de Licenciatura em Matematica

Introducao a` Algebra

Prof. Lenimar Nunes de Andradee-mail: lenimar@mat.ufpb.br

versao 1.0 22/fevereiro/2010

Sumario

1 Operacoes binarias 11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Exemplos de operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Propriedades das operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Grupos 112.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Grupos de classes de restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Grupos de permutacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.9 Nucleo de um homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.10 Isomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.11 Potencias e multiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.12 Grupos cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.13 Classes laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.14 Subgrupos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.15 Grupos quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.16 Grupos diedrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.16.1 Rotacoes e reflexoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.16.2 Simetrias de um quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.16.3 Simetrias de um triangulo equilatero . . . . . . . . . . . . . 382.16.4 Grupos diedrais e isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.17 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Aneis 423.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

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3.2 Definicao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Subaneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 Aneis comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 Aneis com unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.7 Aneis de integridade e corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.8 Homomorfismo de aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.9 Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.10 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.11 Aneis-quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.12 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Polinomios 594.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Sequencias e polinomios sobre um anel . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Proposicoes basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4 Grau de um polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5 Imersao de A em A[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.6 Notacao usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7 Divisao em A[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.8 Razes de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.9 Polinomios sobre um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.10 Polinomios irredutveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.11 Funcoes polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.12 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

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Captulo 1

Operacoes binarias

1.1 Introducao

O conceito de operacao e dos mais basicos em Matematica. Desde os primeirosanos de escola que ouvimos falar de operacoes de adicao, multiplicacao, divisao, etc.A formalizacao desse conceito esta nas secoes a seguir.

Uma operacao binaria e uma regra que permite associar dois elementos de umconjunto com um terceiro elemento. Pode ter varias propriedades tais como comu-tatividade, associatividade, elemento neutro, entre outras.

Dado um conjunto e uma operacao definida nele:

A ordem dos elementos e importante para a operacao? Se a operacao for usada mais de uma vez em determinada expressao, entao

sempre devemos comecar a operar com os primeiros elementos ou podemoscomecar tambem pelos ultimos elementos?

Dada uma operacao em um conjunto, existe algum elemento que tenha propri-edades especiais?

E possvel inverter todos os elementos do conjunto de acordo com a operacaodefinida nele?

1.2 Definicoes

Definicao 1.1. Consideremos A um conjunto nao vazio. Uma operacao binaria sobreA e uma funcao f : A A A. E comum denotar-se o valor generico f (x, y) deuma operacao por x y (le-se: x estrela y).

Dessa forma, uma operacao binaria sobre um conjunto A e uma lei que associa acada par (x, y) um unico elemento x y A. O elemento x y chama-se composto dex e y, x e denominado primeiro termo ou termo da esquerda e y e o segundo termoou termo da direita.

1

Outras notacoes tambem sao usadas para denotar uma operacao sobre um con-junto A:

Notacao aditiva neste caso a operacao e denotada por +, o composto x y edenotado por x + y e e chamado de soma, os termos sao chamados de parcelas.

Notacao multiplicativa neste caso a operacao e denotada por , o compostox y e denotado por x y e e chamado de produto, os termos sao chamados defatores.

Notacao de composicao neste caso a operacao e denotada por , o compostox y e denotado por x y e e chamado de composicao. Outros smbolos para uma operacao generica tambem podem ser utilizados tais

como , ?, , , etc.

1.3 Exemplos de operacoes

Exemplo 1.1. Consideremos a funcao f : definida por f (x, y) = x+y.Dados dois numeros reais x e y, f associa ao par (x, y) o numero real x + y que echamado a soma de x e y.

Exemplo 1.2. Seja f : , f (x, y) = x y que associa a cada par deinteiros (x, y) o seu produto x y. A funcao f e a operacao de multiplicacao sobre osinteiros.

Exemplo 1.3. Sejam A , e E = (A). As funcoes f : E E E, f (X, Y) =X Y e g : E E E, g(X,Y) = X Y sao as operacoes de intersecao e uniaosobre E.

Exemplo 1.4. A funcao f : definida por f (x, y) = x y e a operacaode subtracao sobre .

Exemplo 1.5. Consideremos E = Mmn() o conjunto de todas as matrizes m ncom elementos reais. A funcao f : E E E, f (X, Y) = X + Y e a operacao deadicao sobre E.

Exemplo 1.6. Consideremos E = = conjunto de todas as funcoes de em . Afuncao F : E E E, F( f , g) = f g e a operacao de composicao sobre E.

1.4 Propriedades das operacoes

Consideremos uma operacao sobre um conjunto A.

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Definicao 1.2 (Propriedade associativa). Dizemos que e uma operacao associativaquando x (y z) = (x y) z para quaisquer x, y, z A.Exemplo 1.7. A adicao e uma operacao associativa sobre porque x + (y + z) =(x + y) + z para quaisquer x, y, z . A adicao tambem e associativa sobre osconjuntos , , e .

Exemplo 1.8. A multiplicacao e associativa sobre porque x (y z) = (x y) z paraquaisquer x, y, z . A multiplicacao tambem e associativa sobre os conjuntos ,, e .

Exemplo 1.9. A adicao e a multiplicacao de matrizes de Mnn() tambem sao asso-ciativas.

Exemplo 1.10. A composicao de funcoes de em e associativa porque f (gh) =( f g) h para quaisquer f , g, h .Exemplo 1.11. A potenciacao sobre = {1, 2, 3, } nao e associativa porque, porexemplo, 4(3

2) , (43)2. Note que 4(32) = 49 e (43)2 = 46.

Exemplo 1.12. A operacao de divisao sobre + = {x |x > 0} nao e associativaporque, por exemplo, 4 = 8 : (4 : 2) , (8 : 4) : 2 = 1.

Exemplo 1.13. Denotando por 3 o espaco tridimensional, a operacao de produtovetorial em 3 nao e associativa porque, por exemplo,

~i (~i ~j~k

)

~j

, ( ~i ~i~0

) ~j ~0

.

Observacao. Quando uma operacao e associativa, nao ha necessidade de parentesesao escrevermos o composto de mais de dois elementos. Por exemplo, faz sentidoescrevermos 2 + 3 + 5 porque tanto faz calcularmos (2 + 3) + 5 ou 2 + (3 + 5) quedao o mesmo resultado. No entanto, nao faz sentido escrever algo como 25 : 5 : 5,porque, dependendo da ordem com que as divisoes sao feitas, o resultado pode ser25 ou 1.

Definicao 1.3 (Propriedade comutativa). Dizemos que e uma operacao comutativaquando x y = y x para quaisquer x, y A.Exemplo 1.14. A adicao em e uma operacao comutativa porque x + y = y + x paraquaisquer x, y . A adicao tambem e comutativa em outros conjuntos tais como, , , e Mmn().

Exemplo 1.15. A multiplicacao em e comutativa porque x y = y x para quaisquerx, y . A multiplicacao tambem e comutativa em outros conjuntos numericoscomo , , e .

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Exemplo 1.16. A potenciacao em nao e comutativa porque, por exemplo, 25 = 32e 52 = 25 o que implica 25 , 52.

Exemplo 1.17. A multiplicacao em M22() nao e comutativa porque[1 11 0

] [2 34 5

]=

[6 82 3

][

2 34 5

] [1 11 0

]=

[5 29 4

]Exemplo 1.18. A composicao de funcoes de em nao e comutativa, porque sef (x) = x2 e g(x) = 3x + 1, entao ( f g)(x) = f (g(x)) = f (3x + 1) = (3x + 1)2 e(g f )(x) = g( f (x)) = g(x2) = 3x2 + 1. Portanto, f g , g f .Definicao 1.4 (Elemento neutro). Dizemos que e A e um elemento neutro a` es-querda para a operacao definida em um conjunto A quando e x = x para todox A. De modo analogo, dizemos que e A e um elemento neutro a` direita para quando x e = x para todo x A. Se e e simultaneamente elemento neutro a`esquerda e a` direita, entao dizemos simplesmente que e e elemento neutro para essaoperacao.

Observacao. Se a operacao for comutativa, entao o elemento neutro a` esquerdatambem e elemento neutro a` direita e vice-versa.

Exemplo 1.19. O numero 0 (zero) e o elemento neutro da adicao em porquex + 0 = x = 0 + x para todo x . O zero tambem e o elemento neutro das adicoesem , , e .

Exemplo 1.20. O elemento neutro das multiplicacoes em,, , e e o numero1 (um) porque x 1 = x = 1 x para todo x nesses conjuntos.Exemplo 1.21. O elemento neutro da multiplicacao em M22() e a matriz identi-

dade[

1 00 1

]porque[

1 00 1

] [x yz w

]=

[x yz w

]=

[x yz w

] [1 00 1

]para quaisquer x, y, z,w .Exemplo 1.22. O elemento neutro da composicao de funcoes em e a funcaoidentidade I definida por I(x) = x, porque I f = f = f I para toda f Exemplo 1.23. A divisao em admite 1 como elemento neutro a` direita porquex : 1 = x para todo x . No entanto, a divisao nao possui elemento neutro a`esquerda porque nao existe e que seja fixo (independente de x) e que e : x = xpara todo x .

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Proposicao 1.1. Se uma operacao possuir elemento neutro, entao ele e unico.Demonstracao. Vamos supor que e1 e e2 sejam dois elementos neutros para . Entao,como e1 e elemento neutro temos e1 e2 = e2 e, como e2 e elemento neutro temose1 e2 = e1. Logo, e1 e2 = e2 = e1 de onde conclumos que e1 = e2, ou seja, oelemento neutro, se existir, e unico.

Definicao 1.5 ( Elementos invertveis ). Consideremos uma operacao sobre umconjunto A que tenha elemento neutro e. Dizemos que x A e invertvel (ou sime-trizavel) quando existir um elemento x A tal que x x = e = x x. O elementox e chamado o inverso (ou o simetrico) para a operacao .

Quando a operacao e uma adicao, o inverso de x costuma ser denotado por x.Quando a operacao e uma multiplicacao, o inverso de x e indicado por x1.

Exemplo 1.24. Considerando a adicao em , temos que 5 e um elemento invertvele seu inverso e o 5 porque (5) + 5 = 0 = 5 + (5).Exemplo 1.25. Considerando a multiplicacao em , temos que 3 e invertvel e seuinverso e 13 porque

13 3 = 1 = 13 3. Note que se a multiplicacao fosse em , entao o

3 nao seria invertvel porque nao existe x tal que x 3 = 1 = 3 x.

Exemplo 1.26. Considerando a multiplicacao em M22(), o elemento X =[

5 41 1

]e invertvel e seu inverso e X1 =

[1 41 5

]porque

[5 41 1

] [1 41 5

]=

[1 00 1

]=

[1 41 5

] [5 41 1

]

Agora, com a mesma operacao, o elemento Y =[ 4 41 1

]nao e invertvel porque a

equacao [ 4 41 1

] [a bc d

]=

[1 00 1

]leva ao sistema linear

4a + 4c = 14b + 4d = 0a + c = 0b + d = 1

que nao tem solucao.

Exemplo 1.27. A funcao f (x) = x3 e uma bijecao de em , logo, possui umainversa que e a funcao de em definida por g(x) = 3

x. Como f g = I = g f ,

temos que f e invertvel e f 1 = g.

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Proposicao 1.2. Se a operacao em A tem elemento neutro e, e associativa e umelemento x e invertvel, entao o inverso de x e unico.

Demonstracao. Consideremos x e x elementos inversos de x. Como x x = e,temos que x (x x) = x e, ou seja, (x x

e

) x = x o que implica x = x.Logo, o inverso e unico.

Proposicao 1.3. Consideremos uma operacao com elemento neutro sobre A. Se xe invertvel, entao o inverso x tambem e invertvel e (x) = x (ou seja, o inverso doinverso de x e igual ao proprio x).

Demonstracao. Como x e o inverso de x, temos x x = e = x x. Isso mostra quex tambem e invertvel e seu inverso e x.

Proposicao 1.4. Se e uma operacao em A que e associativa, tem elemento neutroe, x e y sao dois elementos invertveis, entao x y e invertvel e (x y) = y x.Demonstracao. Devemos mostrar que (x y) (y x) = e e que (y x) (x y) = e: Usando duas vezes a propriedade associativa, temos: (x y) (y x

z

) = x (y

(y xz

)) = x ((y ye

) x) = x (e x) = x x = e.

De modo analogo: (y x) (x y) = y ((x (x y)) = y ((x x) y) =y (e y) = y y = e.

Logo, y x e o inverso de x y. Definicao 1.6 (Elementos regulares). Dizemos que um elemento a A e regular a`esquerda com relacao a uma operacao sobre A quando para quaisquer x, y Atemos que

a x = a y x = y.De modo analogo, dizemos que a A e regular a` direita com relacao a quando

para quaisquer x, y A tivermosx a = y a x = y.

Se a for regular a` esquerda e a` direita, simultaneamente, entao dizemos simples-mente que a e regular.

Exemplo 1.28. 2 e regular para a adicao em porque

2 + x = 2 + y x = ypara quaisquer x, y . Esse elemento tambem e regular com relacao a` adicao emoutros conjuntos numericos como , , e .

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Exemplo 1.29. Considerando a operacao de multiplicacao em , temos que 2 eregular com relacao a essa operacao porque

2 x = 2 y x = ypara quaisquer x, y . Note que 0 nao e regular para essa operacao porque0 4 = 0 5, mas 4 , 5.Definicao 1.7 (Propriedade distributiva). Consideremos um conjunto A no qual estaodefinidas duas operacoes e . Dizemos que e distributiva a` esquerda com relacao a quando

x (yz) = (x y)(x z)para quaisquer x, y, z A. Dizemos que e distributiva a` direita com relacao a quando

(yz) x = (y x)(z x)para quaisquer x, y, z A. Quando for distributiva a` esquerda e a` direita comrelacao a , entao diremos simplesmente que e distributiva com relacao a .

Observacao. Se for uma operacao comutativa, entao a distributividade a` esquerdae a` direita, se ocorrerem, ocorrem simultaneamente.

Exemplo 1.30. Em a multiplicacao e distributiva com relacao a` adicao porque

x (y + z) = x y + x ze, como a multiplicacao em e comutativa, deduzimos a partir da igualdade anteriorque

(y + z) x = y x + z xpara quaisquer x, y, z .Exemplo 1.31. Se E for um conjunto nao vazio qualquer e A = (E), entao aintersecao de conjuntos em A e distributiva com relacao a` uniao porque

X (Y Z) = (X Y) (X Z)e

(Y Z) X = (Y X) (Z X)para quaisquer X,Y, Z A.

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Exemplo 1.32. Em a divisao e distributiva a` direita com relacao a` adicao, porque

(x + y)/z = x/z + y/z

para quaisquer x, y, z . No entanto, nao e distributiva a` esquerda porque, porexemplo,

1/(2 + 3) , 1/2 + 1/3

.

Definicao 1.8 (Parte fechada para uma operacao). Consideremos um conjunto A , no qual esta definida uma operacao e X um subconjunto nao vazio de A. Dizemosque X e uma parte fechada de A com relacao a` operacao se, e somente se,

x, y X x y Xpara quaisquer x, y X.Exemplo 1.33. Consideremos a operacao de multiplicacao sobre os racionais , A oconjunto dos racionais positivos e B o conjunto dos racionais negativos. Como A , e para quaisquer x, y A temos

x, y A x y Aconclumos que A e parte fechada de com relacao a` multiplicacao.

Como 2 B, 3 B e (2)(3) = 6 < B, temos que B nao e parte fechada de com relacao a` multiplicacao.

Definicao 1.9 (Tabua de uma operacao). Seja A = {a1, a2, . . . , an} um conjunto comn elementos. Uma operacao sobre A e uma funcao que associa a cada par (ai, a j)o elemento ai a j. Uma tabua para a operacao e uma tabela de n linhas porn colunas, cujo elemento da i-esima linha e j-esima coluna e o elemento ai a j,conforme mostrado a seguir:

a1 a2 . . . a j . . . ana1

...

a2...

......

ai . . . . . . . . . ai a j...

an

Exemplo 1.34. Se A = {1, 0, 1}, entao a tabua de multiplicacao sobre A e: 1 0 11 1 0 10 0 0 01 1 0 1

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Se A = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}, entao a tabua da operacao de uniao sobre A e: {1} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4}{1} {1} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4}{1, 2} {1, 2} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4}{1, 2, 3} {1, 2, 3} {1, 2, 3} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4}{1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4}

Exemplo 1.35. Se A = {1, 2, 3, 6}, entao a tabua da operacao mmc(x, y), o mnimomultiplo comum de x e y, e:

mmc 1 2 3 61 1 2 3 62 2 2 6 63 3 6 3 66 6 6 6 6

1.5 Exerccios propostos

1)) Mostre que a operacao usual de subtracao, definida sobre o conjunto dos numerosinteiros, nao e comutativa, nao e associativa e nao tem elemento neutro.

2)) Consideremos a operacao binaria definida em E = {a, b, c, d, e} de acordo coma seguinte tabua:

* a b c d ea a b c b db b c a e cc c a b b ad b e b e de d b a d c

a) Calcule a b, d d e [(c a) e] a a partir da tabua;b) Calcule (a b) c e a (b c) a partir da tabua. A partir desses resultados, e

possvel concluir se a operacao e associativa?

c) Calcule (b d) c e b (d c) a partir da tabua. A partir desses resultados, epossvel concluir se a operacao e associativa?

3)) Consideremos dois inteiros dados a e b e a operacao sobre definida porx y = ax + by para quaisquer x, y . Determine condicoes sobre a e b para queessa operacao tenha a propriedade citada em cada um dos itens:

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a) comutativa;

b) associativa;

c) comutativa e associativa;

d) tenha elemento neutro.

4)) Verifique, em cada caso a seguir, se definida sobre e comutativa, associativaou se tem elemento neutro:

a) x y = x + y + x2yb) x y = x + y 3c) x y = 3x3 + y3d) x y = |x||y|e) x y = max(x, y)

5)) Verifique, em cada caso a seguir, se , definida sobre , o conjunto dos numerosreais positivos, e comutativa, associativa ou se tem elemento neutro:

a) x y = xy1+xyb) x y = x+y1+xyc) x y = x2 + y2

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Captulo 2

Grupos

2.1 Introducao

Os grupos sao conjuntos especiais que tem grande importancia na Matematica.Sao conjuntos que estao ligados a uma determinada operacao e que satisfazem avarias propriedades: associatividade e existencia do elemento neutro e do elementoinverso. Muitos conjuntos e operacoes familiares sao considerados grupos. Porexemplo, o conjunto dos numeros inteiros, o conjunto dos numeros reais, o con-juntos das matrizes de determinada ordem, juntamente com a operacao de adicaousual definida em cada um desses conjuntos, podem ser considerados grupos.

A definicao de grupo surgiu no incio do seculo XIX com o jovem matematicofrances Evariste Galois (pronuncia-se como Galua) estudando determinados ti-pos de equacoes algebricas. Apos contribuicoes de outras areas como Geometriae Aritmetica, estabeleceu-se definitivamente como importante teoria matematica apartir de 1870. Grupos estao por tras de muitas outras estruturas algebricas impor-tantes tais como corpos e espacos vetoriais e sao considerados importante ferramen-tas para o estudo de simetrias em geral. Tem varias aplicacoes a` Fsica e tambem a`Qumica.

Neste captulo, queremos explorar conteudos relacionados com as seguintes per-guntas:

Como identificar se determinado conjunto com uma operacao e um grupo? Haalguma importancia na ordem na qual e realizada uma operacao com dois deseus elementos?

O conjunto, sendo um grupo, pode conter subconjuntos que tambem sao con-siderados grupos? Caso esses conjuntos sejam todos finitos, ha alguma relacaoentre suas quantidades de elementos?

Dados dois grupos, existe alguma relacao entre eles? Eles se comportam damesma forma, com as mesmas propriedades algebricas?

Para responder a esses questionamentos, desenvolvemos a seguir as nocoes de gru-pos, subgrupos, homomorfismos, isomorfismos, entre outras.

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2.2 Definicoes

Definicao 2.1. Suponhamos que G seja um conjunto nao vazio e uma operacaosobre G. Dizemos que G e um grupo com relacao a` operacao quando forem verifi-cadas simultaneamente as seguintes propriedades:

for associativa, ou seja, x (y z) = (x y) z para quaisquer x, y, z G; possuir elemento neutro, ou seja, existir e G tal que x e = e x = x para

todo x G; todo elemento de G for invertvel (simetrizavel) com relacao a , ou seja, para

todo x G, existe x1 G tal que x x1 = x1 x = e.Se, alem das tres propriedades acima, a operacao for comutativa, ou seja, se x y =y x para quaisquer x, y G, entao dizemos que G e um grupo abeliano ou um grupocomutativo com relacao a` operacao .Observacao. Quando a operacao puder ficar subentendida, podemos dizer sim-plesmente que G e um grupo no lugar de (G, ) e um grupo ou no lugar de Ge um grupo com a operacao .Observacao. Se G for um grupo com relacao a` operacao , entao ele deve ser fe-chado com relacao a essa operacao, ou seja, para quaisquer x, y G, devemos tertambem que x y G.Observacao. Quando a operacao for uma adicao, entao diremos que G e um grupoaditivo; quando for uma multiplicacao, diremos que e um grupo multiplicativo.

2.3 Exemplos

Exemplo 2.1. Consideremos o conjunto dos numeros inteiros com a operacao deadicao de inteiros. Temos as seguintes propriedades:

x + (y + z) = (x + y) + z, x, y, z , ou seja, a operacao de adicao de inteiros eassociativa;

x + 0 = x e 0 + x = x, x , ou seja, o 0 (zero) e o elemento neutro da adicaode inteiros;

x + (x) = 0 e (x) + x = 0, x , ou seja, todo elemento x de possui umsimetrico (inverso aditivo) que e o x.

Devido a`s tres propriedades anteriores, dizemos que e um grupo com relacao a`adicao de inteiros que e o mesmo que afirmar que (,+) e um grupo.

Alem das tres propriedades anteriores, temos tambem uma quarta propriedadeque e a seguinte:

12

x + y = y + x, x, y , ou seja, a adicao e comutativa.Por causa dessas quatro propriedades anteriores, dizemos que (,+) e um grupoabeliano ou um grupo comutativo.

Exemplo 2.2. Obtemos resultados analogos se trocarmos no exemplo anterior por, ou . Ou seja, (,+), (,+) e (,+) tambem sao grupos abelianos com relacaoa` adicao definidas nesses conjuntos.

Note que o conjunto dos numeros naturais, , nao e um grupo com relacao a`adicao porque um natural positivo x nao possui simetrico x que tambem pertenca aesse conjunto.

Exemplo 2.3. Consideremos o conjunto dos racionais nao nulos, , com a operacaode multiplicacao. As seguintes propriedades sao verificadas:

(x y) z = x (y z), x, y, z ; x 1 = x 1, x ; x x1 = x1 x = 1, x , onde x1 = 1x .

Devido a essas propriedades, podemos afirmar que (, ) e um grupo. Como aseguinte propriedade

x y = y x, x, y tambem e valida, temos que (, ) e um grupo abeliano.

Note que e preciso que o 0 (zero) seja retirado do conjunto para poder ser validaa segunda propriedade anterior porque o 0 nao tem inverso multiplicativo. Assim,(, ) nao e um grupo multiplicativo.Exemplo 2.4. De modo semelhante ao exemplo anterior, temos que (, ) e (, )tambem sao grupos abelianos multiplicativos.

Note que (, ) nao e um grupo multiplicativo porque os unicos elementos in-vertveis de sao 1 e 1.Exemplo 2.5. Vamos denotar por Mmn() o conjunto de todas as matrizes de or-dem m n com elementos inteiros. Consideremos a operacao de adicao de matrizesdefinida por:

a11 . . . a1n... . . .

...

am1 . . . amn

+

b11 . . . b1n... . . .

...

bm1 . . . bmn

=

a11 + b11 . . . a1n + b1n... . . .

...

am1 + bm1 . . . amn + bmn

A operacao de adicao assim definida e associativa (ou seja,(A + B) +C = A + (B +C)para quaisquer A, B,C Mmn()), possui elemento neutro que e a matriz nula

O =

0 . . . 0... . . .

...

0 . . . 0

13

e toda matriz

X =

a11 . . . a1n... . . .

...

am1 . . . amn

possui um inverso aditivo

X =a11 . . . a1n... . . .

...

am1 . . . amn

que e tal que X + (X) = (X) + X = O. Portanto, (Mmn(),+) e um grupo aditivo.

A adicao de matrizes de Mmn() e comutativa, ou seja X,Y Mmn(), X+Y =Y + X temos que o grupo (Mmn(),+) e abeliano.

De modo analogo temos que (Mmn(),+), (Mmn(),+) e (Mmn(),+) tambemsao grupos abelianos.

Exemplo 2.6. Seja GLn() o conjunto de todas as matrizes quadradas n n de ele-mentos reais cujos determinantes sao diferentes de 0, ou seja,

GLn() = {X Mnn() | det(X) , 0}.Consideremos a multiplicacao de matrizes definida por:

a11 . . . a1n... . . .

...

am1 . . . amn

b11 . . . b1n... . . .

...

bm1 . . . bmn

=

c11 . . . c1n... . . .

...

cm1 . . . cmn

onde ci j = ai1b1 j +ai2b2 j + +ainbn j = nk=1 aikbk j para quaisquer i, j {1, 2, . . . , n}.A operacao de multiplicacao assim definida e associativa (ou seja,(AB)C = A(BC)para quaisquer A, B,C Mmn()), possui elemento neutro que e a matriz identidade

I =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...... . . .

...

0 0 . . . 1

e toda matriz X GLn() possui um inverso multiplicativo X1 que e tal queX X1 = X1 X = I. Portanto, (GLn(), ) e um grupo multiplicativo.

GLn() e denominado grupo linear real de grau n e nao e um grupo abeliano se

n 2. Por exemplo, consideremos em GL2() os seguintes elementos: X =[

1 20 1

]e Y =

[0 13 4

]. Temos que X Y =

[6 93 4

]e Y X =

[0 13 10

]; logo, X Y , Y X.

De modo analogo, podem ser definidos o grupo linear racional de grau n GLn()e o grupo linear complexo de grau n GLn() ambos sao grupos multiplicativos naoabelianos.

14

Definicao: Se (G, ) for um grupo em que G e um conjunto finito com n elementos,entao a ordem de G e definida como sendo o numero de elementos distintos de G e edenotada por |G| ou por o(G). Se o conjunto G for infinito, entao dizemos que, nestecaso, a ordem de G e infinita.

Exemplo 2.7. Consideremos A = {1,1} e a operacao de multiplicacao definidanesse conjunto. A tabua de (A, ) e a tabua da sua multiplicacao:

1 11 1 11 1 1

Neste caso, (A, ) e um grupo abeliano de ordem 2, ou seja, |A| = 2.Exemplo 2.8. Se V for um espaco vetorial, entao (V,+) e um grupo. Assim, todoexemplo de espaco vetorial tambem e um exemplo de grupo aditivo.

2.4 Grupos de classes de restos

Exemplo 2.9. Sendo n > 1 um inteiro, consideremos n = {0, 1, . . . , n 1} o con-junto das classes de restos modulo n em que

a = {x | x a e multiplo de n} = {a + kn | k }.Definimos em n a seguinte operacao de adicao: x, y n, x + y = x + y. Essaoperacao assim definida possui as seguintes propriedades:

(x + y) + z = x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z = x + (y + z) paraquaisquer x, y, z n; logo, a adicao em n e associativa. x + 0 = x + 0 = x e 0 + x = 0 + x = x, para todo x n; logo, a adicao possui

elemento neutro 0.

x + n x = x + (n x) = n = 0 e n x + x = (n x) + x = n = 0 para todox n; logo, todo elemento x n possui inverso aditivo n x. x + y = x + y = y + x = y + x para quaisquer x, y n; logo, a adicao e

comutativa.

Dessa forma, conclumos que n e um grupo abeliano aditivo de ordem n que edenominado grupo aditivo das classes de restos modulo n.

Por exemplo, quando n = 5 temos 5 = {0, 1, 2, 3, 4} onde 0 = {5k | k } = {. . . ,15,10,5, 0, 5, 10, 15, . . . } 1 = {1 + 5k | k } = {. . . ,14,9,4, 1, 6, 11, 16, . . . }

15

2 = {2 + 5k | k } = {. . . ,13,8,3, 2, 7, 12, 17, . . . } 3 = {3 + 5k | k } = {. . . ,12,7,2, 3, 8, 13, 18, . . . } 4 = {4 + 5k | k } = {. . . ,11,6,1, 4, 9, 14, 19, . . . }

Observe que, neste caso,

5 = {5 + 5k | k } = {5 (k + 1) j

| k } = {5 j | j } = 0

e tambem que 6 = 1, 7 = 2, 8 = 3, etc.A tabua de operacao do grupo aditivo (5,+) e:

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

Exemplo 2.10. Seja p um numero primo e p = {1, 2, . . . , p 1}. Consideremosnesse conjunto a seguinte multiplicacao definida por x y = x y, x, y p. Essaoperacao possui as seguintes propriedades:

(x y) z = x y z = (x y) z = x (y z) = x y z = x (y z) para quaisquerx, y, z p; logo, a multiplicacao em p e associativa. x 1 = x 1 = x e 1 x = 1 x = x, para todo x p; logo, a multiplicacao

possui elemento neutro 1.

x y = x y = y x = y x para quaisquer x, y p; logo, a multiplicacao ecomutativa.

Para todo x p, como p e primo, mdc(x, p) = 1 e da existem inteiros a e b taisque ax+bp = 1 o que implica em a x + b p = a x+b p = a x+ b p

=0

= 1.

Como, em p, p = 0, temos que a x = 1 = x a; logo, todo elemento x ppossui inverso multiplicativo.

Dessa forma, fica mostrado que p e um grupo multiplicativo abeliano de ordemp 1, se p for primo.

Por exemplo, se p = 7, a tabua de operacao do grupo multiplicativo (7, ) e:

16

1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 62 2 4 6 1 3 53 3 6 2 5 1 44 4 1 5 2 6 35 5 3 1 6 4 26 6 5 4 3 2 1

Observacao: Se n nao for primo, entao n nao e um grupo com relacao a` multipli-cacao porque n pode ser fatorado na forma n = r s e, da, r s = r s = n = 0 eassim fica mostrado que existem elementos r, s n tais que r s < n, ou seja, nnao e fechado com relacao a essa operacao.

2.5 Grupos de permutacoes

Exemplo 2.11. Consideremos E um conjunto nao vazio e S E o conjunto de todas asfuncoes bijetoras f : E E. Em S E pode ser definida uma operacao que associaa cada ( f , g) E E a funcao composta f g. Essa operacao possui as seguintespropriedades:

f , g, h S E, ( f g) h = f (g h), ou seja, a operacao e associativa; A funcao identidade I : E E, I(x) = x, e o elemento neutro da operacao

porque I f = f I = f para toda f S E; Toda funcao f S E e bijetora e possui uma funcao inversa f 1 S E tal que

f f 1 = f 1 f = I.Logo, S E e um grupo com relacao a` operacao de composicao de funcoes que econhecido pelo nome grupo de permutacoes sobre E.

Observacao: Quando o conjunto E possuir pelo menos tres elementos, entao po-demos verificar que S E nao e abeliano. Para isso, sejam a1, a2, a3 E, dois a doisdistintos, e definamos as seguintes bijecoes:

f (a1) = a2, f (a2) = a3, f (a3) = a1 e f (x) = x se x E {a1, a2, a3} g(a1) = a1, g(a2) = a3, g(a3) = a2 e g(x) = x se x E {a1, a2, a3}

Neste caso, temos que f (g(a1)) = f (a1) = a2 e g( f (a1)) = g(a2) = a3 de ondeconclumos que f g , g f .

17

Exemplo 2.12. Se n for um inteiro maior do que 1 e E = {1, 2, . . . , n}, entao S Epassa a ser denotado por S n e e denominado grupo de permutacoes de grau n. Umelemento f S n tal que f (i) = ai com i E costuma ser denotado por

f =(

1 2 3 na1 a2 a3 an

)Com esse tipo de notacao, a ordem das colunas nao e importante, ou seja,(

1 2 na1 a2 an

)=

(2 1 na2 a1 an

)=

(n 2 1an a2 a1

), etc.

Se f =(

1 2 na1 a2 an

)e g =

(1 2 nb1 b2 bn

)entao a composta f g pode

ser calculado da seguinte forma: para cada r {1, 2, , n}, se f : br 7 abr ,g : r 7 br, entao f g : r 7 abr , ou seja,

f g =(

1 br na1 abr an

)(

1 r nb1 br bn

)=

( r abr

)e, para calcular o inverso de um elemento, e so inverter as linhas:

f 1 =(

a1 a2 a3 an1 2 3 n

)Por exemplo, em S 5, se f =

(1 2 3 4 53 2 4 5 1

)e g =

(1 2 3 4 54 5 1 3 2

), entao:

f g =(

1 2 3 4 55 1 3 4 2

) g f =

(1 2 3 4 51 5 3 2 4

) f 1 =

(3 2 4 5 11 2 3 4 5

)=

(1 2 3 4 55 2 1 3 4

) g1 =

(4 5 1 3 21 2 3 4 5

)=

(1 2 3 4 53 5 4 1 2

)Observacao. Um elemento generico de S n e

f =(

1 2 3 na1 a2 a3 an

)onde a1, a2, , an {1, 2, , n}. O a1 pode ser escolhido de n maneiras. Comonao pode haver repeticao dos ai (porque f e uma funcao bijetora), o a2 pode serescolhido de n1 maneiras, o a3 de n2 maneiras, etc. Desse modo, pelo PrincpioFundamental da Contagem existem n(n 1)(n 2) 2 1 = n! possibilidades paraf . Logo, a ordem de S n e igual a n!.

18

Exemplo 2.13. Sendo S 3 = {e, 1, 2, 3, 4, 5}, onde e =(

1 2 31 2 3

),

1 =

(1 2 31 3 2

), 2 =

(1 2 32 1 3

), 3 =

(1 2 32 3 1

), 4 =

(1 2 33 1 2

)e 5 =(

1 2 33 2 1

).

A tabua de S 3 e:

e 1 2 3 4 5e e 1 2 3 4 51 1 e 4 5 2 32 2 3 e 1 5 43 3 2 5 4 e 14 4 5 1 e 3 25 5 4 3 2 1 e

Note que a ordem de S 3 e igual a 3! = 6.

2.6 Propriedades

As seguintes propriedades sao consequencias diretas das definicoes de um grupo(G, ). Algumas ja foram demonstradas no captulo anterior. O elemento neutro e de G e unico; Para todo x G, existe um unico inverso x1 G; Para todo x G, (x1)1 = x; Se x, y G, entao (x y)1 = y1 x1; E valida a lei do corte: para quaisquer a, b, x G temos que

a x = b x a = bx a = x b a = b

Se a, b G, a equacao a x = b possui uma unica solucao x G que ex = a1 b.

2.7 Subgrupos

Definicao 2.2. Seja (G, ) um grupo. Um subconjunto nao vazio H G que sejafechado com relacao a` operacao e denominado um subgrupo de G quando (H, )tambem for um grupo.

19

Exemplo 2.14. Sejam G = (,+) e H = (,+); com a operacao de adicao, ambossao grupos. Como H e fechado com relacao a` adicao (porque a soma de dois numerosinteiros sempre da como resultado um numero inteiro), podemos dizer, neste caso,que H e um subgrupo de G, ou seja, que e um subgrupo de com relacao a` adicaousual.

Exemplo 2.15. Todo grupo G admite pelo menos dois subgrupos: H1 = G e H2 = {e},onde e e o elemento neutro de G. Esses sao denominados subgrupos triviais de G.

Proposicao 2.1. Sendo (G, ) um grupo, um subconjunto nao vazio H G e umsubgrupo de G se, e somente se, x y1 H, x, y H.Demonstracao. () Suponhamos G e H grupos com relacao a` operacao e sejameG e eH os elementos neutros de G e H respectivamente. Como eH e o elementoneutro de H, temos eH eH = eH e, como eG e o elemento neutro de G temos queeH eG = eH. Portanto, eH = eH eH = eH eG e da, pela lei do corte temoseH = eG, ou seja, os elementos neutros de G e de H coincidem.

Seja y H e sejam y1H e y1G os inversos de y em G e em H, respectivamente.Entao, y y1H = eH e y y1G = eG. Como eH = eG, temos y y1G = y y1H e, da,y1G = y

1H , ou seja, os inversos de y em G e em H coincidem.

Assim, se x, y H, entao y1H = y1 H e da x y1 H.() Suponhamos agora que x, y H x y1 H. Como H nao e vazio,

existe algum h H. Por hipotese, tomando x = h e y = h, temos que h h1 H, ouseja, e H. Da, H possui elemento neutro.

Usando a hipotese, com x = e, temos que, para todo y H, e y1 H, ouseja, y1 H. Usando novamente a hipotese, x, y1 H x (y1)1 H, isto e,x y H.

Para quaisquer x, y, z H, temos x, y, z G e, como G e um grupo,x (y z) = (x y) z. Logo, a operacao em H e associativa e, juntamentecom as propriedades observadas anteriormente, fica mostrado que H e um grupo e,portanto, e um subgrupo de G.

Exemplo 2.16. Sejam G = (, ) o grupo multiplicativo dos racionais nao nulos eH G o conjunto de todas as potencias de expoente inteiro de 3:

H = {3t | t } = { , 127,

19,13, 1, 3, 9, 27, 81, }

Sejam x e y dois elementos genericos de H. Entao, x e y sao potencias de 3, ou seja,x = 3m e y = 3n com m, n . Da, x y1 = (3m) (3n)1 = 3m 3n = 3mn. Comom n , temos 3mn H, de onde conclumos que H e subgrupo de G.Exemplo 2.17. Seja G = (,+) o grupo aditivo dos inteiros e H = G o conjuntode todos os inteiros pares. Dados x, y , entao x = 2m e y = 2n com m, n .

20

Da, x + (y) xy1

= 2m 2n = 2 (m n)

. Conclumos assim que e um subgrupo

de G.

2.8 Homomorfismos de grupos

Definicao 2.3. Dados dois grupos (G, ) e (J,4) uma funcao f : G J e denomi-nada um homomorfismo de G em J quando

f (x y) = f (x)4 f (y)para quaisquer x, y G.Exemplo 2.18. Sejam G = (,+) e J = (, ). A funcao exponencial de base 2definida por f : G J, f (x) = 2x, e um homomorfismo de G em J porque paraquaisquer x, y G temos

f (x + y) f (xy)

= 2x+y = 2x 2y = f (x) f (y) f (x)4 f (y)

.

Exemplo 2.19. Sejam G = 2 = com a operacao de adicao (a, b) + (c, d) =(a + c, b + d) e J = (,+). Consideremos T : G J, T (x, y) = 5x 4y. Paraquaisquer X = (x1, y1) e Y = (x2, y2) pertencentes a G temos que

T (X + Y) = T ((x1, y1) + (x2, y2)) = T (x1 + x2, y1 + y2) = 5(x1 + x2) 4(y1 + y2) =(5x1 4y1) + (5x2 4y2) = T (x1, y1) + T (x2, y2) = T (X) + T (Y)

Portanto, conclumos que T e um homomorfismo de G em J.

Proposicao 2.2. Sejam (G, ) e (J,4) grupos, eG o elemento neutro de G, eJ o ele-mento neutro de J e f : G J um homomorfismo de G em J. Temos as seguintespropriedades:

a) f (eG) = eJ

b) x G, f (x1) = [ f (x)]1

c) Se H e subgrupo de G, entao f (H) e subgrupo de J

Demonstracao. a) f (eG)4 f (eG) = f (eG eG) = f (eG) = f (eG)4eJ. Usando a leido corte em f (eG)4 f (eG) = f (eG)4eJ, obtemos f (eG) = eJ.

b) Para todo x G temos que f (x)4 f (x1) = f (x x1) = f (eG) = eJ e tambemque f (x1)4 f (x) = f (x1 x) = f (eG) = eJ. Logo, o inverso de f (x) e f (x1),ou seja, [ f (x)]1 = f (x1).

21

c) Como eG H e f (eG) = eJ temos que f (H) nao e vazio porque contem pelomenos o elemento eJ. Sejam x, y f (H); entao, x = f (a) e y = f (b) coma, b H. Da, x4y1 = f (a)4[ f (b)]1 = f (a)4 f (b1) = f (a b1). Comoa, b H, temos a b1 H e assim f (a b1) f (H) de onde conclumos quex4y1 f (H). Fica mostrado dessa forma que f (H) e subgrupo de J.

Observacao. A partir do item (c) da proposicao anterior, usando H = G, conclumosque se f : G J e um homomorfismo de grupos, entao a imagem Im( f ) = f (G) eum subgrupo de J

Proposicao 2.3. Consideremos (G, ), (J,4) e (L,) grupos. Se f : G J eg : J L sao homomorfismos de grupos, entao a composta g f : G Ltambem e um homomorfismo de grupos.

Demonstracao. Sejam x, y G. Entao,(g f )(x y) = g( f (x y)) = g( f (x)4 f (y)) = g( f (x)) g( f (y))

= (g f )(x) (g f )(y)de onde conclumos que g f e um homomorfismo de G em L.

2.9 Nucleo de um homomorfismo

Definicao 2.4. Sejam (G, ) e (J,4) grupos, eJ o elemento neutro de J e f : G Jum homomorfismo. O nucleo de f, denotado por N( f ) ou ker( f ), e definido comosendo o conjunto de todos os elementos de G cuja imagem pela funcao f e igual aoelemento neutro de J.

N( f ) = {x G | f (x) = eJ}Exemplo 2.20. Sejam G = (,+), J = (, ) e f : G J tal que f (x) = 2x. Oelemento neutro de J e igual a 1, e da, para determinarmos o nucleo de f , precisamosresolver a equacao f (x) = 1, ou seja, 2x = 1 = 20. A unica solucao dessa equacao ex = 0. Portanto, N( f ) = {0}Exemplo 2.21. Sejam G = (2,+), J = (,+) e f : G J tal que f (x, y) = 5x4y.Como o elemento neutro de J e 0, se um elemento (x, y) pertencer ao nucleo de f ,devemos ter f (x, y) = 0, ou seja, 5x 4y = 0 o que implica y = 54 x. Logo, o nucleode f e:

N( f ) = {(x, y) 2 | y = 54

x} = {(x, 54

x) | x }.Observacao. Muitas vezes, por questao de simplicidade de notacao, vamos denotara operacao do grupo em estudo por um ponto . Assim, usaremos com bastantefrequencia um ponto no lugar de outros smbolos como , 4, , , ?, etc.

22

Proposicao 2.4. Seja f : G J um homomorfismo de grupos e eG o elementoneutro de G.

a) O nucleo de f , N( f ), e um subgrupo de G;

b) A funcao f e injetora se, e somente se, N( f ) = {eG}.Demonstracao. a) Pelo que vimos anteriormente, f (eG) = u onde eG e u sao os

elementos neutros de G e J, respectivamente. Logo, eG N( f ) o que implicaem N( f ) , .Sejam x, y N( f ). Da, temos que f (x) = u e f (y) = u e aplicando-se f a x y1,obtemos f (x y1) = f (x) f (y1) = f (x) f (y)1 = u u1 = u. Conclumosassim que x y1 N( f ) e, consequentemente, que N( f ) e um subgrupo de G.

b) () Suponhamos que f seja injetora. Seja x um elemento qualquer do domniode f tal que f (x) = u. Como f (eG) = u, temos f (x) = f (eG), e, como f einjetora, temos x = eG. Logo, N( f ) = {eG}.() Suponhamos agora N( f ) = {e} e que f (x) = f (y) onde x e y sao elementosgenericos do domnio de f . Entao, f (x) [ f (y)]1 = f (x) [ f (x)]1 = u o queimplica f (x) f (y1) = f (x y1) = u. Logo, x y1 N( f ) = {e}, ou seja,x y1 = e (x y1) y = e y x = y e da, temos que f e injetora.

Exemplo 2.22. Pelo que mostramos nos exemplos 2.20 e 2.21 anteriores, usando aproposicao 2.9, temos que f : , f (x) = 2x e injetora (porque N( f ) = {0}).Por outro lado, f : 2 , f (x, y) = 5x 4y nao e injetora porque o N( f ) contemoutros elementos alem do elemento neutro (0, 0) de 2.

2.10 Isomorfismos de grupos

Definicao 2.5. Sejam G e J grupos. Um isomorfismo f : G J e um homomor-fismo de grupos que e tambem uma funcao bijetora.

Definicao 2.6. Quando existir um isomorfismo de grupos f : G J, diremos queG e isomorfo a J e denotamos por G ' J.Definicao 2.7. Quando G coincidir com J, um isomorfismo f : G G tambem echamado de automorfismo de G.

Exemplo 2.23. Sejam G = (+, ) o grupo multiplicativo dos numeros reais positivose J = (,+) o grupo aditivo dos numeros reais. A funcao f : G J, f (x) = log(x)e um isomorfismo de grupos porque:

f e bijetora;23

f e um homomorfismo: f (x y) = log(x y) = log(x) + log(y) = f (x) + f (y).Portanto (+, ) ' (,+).Observacao. Quando dois grupos G e J sao isomorfos, entao eles tem as mesmaspropriedades. Por exemplo, se um deles for abeliano, entao o outro tambem seraabeliano; se um deles for finito e de ordem n, entao o outro tambem sera finito e deordem n, etc. As tabuas das operacoes de grupos isomorfos sao muito parecidas umacom a outra.

Proposicao 2.5. Se f : G J for um isomorfismo de grupos, entaof 1 : J G tambem e um isomorfismo.Demonstracao. A inversa de uma funcao bijetora f tambem e bijetora. Dessa forma,resta mostrar aqui apenas que a inversa de um homomorfismo tambem e um homo-morfismo. Sejam y, z J dois elementos quaisquer do domnio de f 1 e a, b Gtais que y = f (a), z = f (b). Da, temos que a = f 1(y), b = f 1(z). Comof (ab) = f (a) f (b) = yz, temos que ab = f 1(yz), ou seja, f 1(y) f 1(z) = f 1(yz).Isso mostra que f 1 e um homomorfismo de grupos e, consequentemente, e um iso-morfismo.

Observacao. Pelo que foi mostrado na proposicao anterior, temos que seG ' J, entao J ' G.Proposicao 2.6. Se f : G J e g : J L sao isomorfismos, entao g f : G Ltambem e um isomorfismo.

A demonstracao e imediata: basta usar a proposicao 2.3 e o fato de que a com-posicao de duas funcoes bijetoras resulta em uma funcao bijetora.

Observacao. A proposicao anterior significa que G ' J e J ' L implicam em G ' L.

2.11 Potencias e multiplos

Definicao 2.8. Consideremos um grupo multiplicativo G com elemento neutro e, xum elemento de G e m um inteiro qualquer. A m-esima potencia de x e definida por:

xm =

e se m = 0

xm1 x se m 1(x1)m se m < 0

Exemplo 2.24. No grupo (7, ), escolhendo-se x = 2, temos: x0 = 1; x1 = x11 x = x0 x = 1 2 = 2;

24

x2 = x1 x = x1 x = x x = 2 2 = 4; x3 = x31 x = x2 x = 4 2 = 8 = 1; x4 = x41 x = x3 x = 1 2 = 2; x1 = 21 = 4; x2 = (x1)2 = 42 = 2; x3 = (x1)3 = 43 = 42 4 = 2 4 = 1.

Exemplo 2.25. Sendo G o grupo multiplicativo GL2() e escolhendo o elemento

x =(

5 41 1

) G, temos os seguintes exemplos de potencias de x:

x0 =(

1 00 1

)

x1 = x11 x = x0 x =(

1 00 1

)(

5 41 1

)=

(5 41 1

)

x2 = x21 x = x1 x = x x =(

5 41 1

)(

5 41 1

)=

(21 164 3

)

x3 = x31 x = x2 x =(

21 164 3

)(

5 41 1

)=

(109 6817 13

)

x1 = matriz inversa de x =(

1 41 5

)

x2 = (x1)(2) = (x1)2 = x1 x1 =(

1 41 5

)(

1 41 5

)=

( 3 164 21

)Sao consequencias imediatas da definicao as seguintes propriedades de potencias

de elemento em um grupo G :

1) x G,m, n , xm xn = xm+n

2) x G,m, n , (xm)n = xmn

3) x G,m , xm = (xm)1 = (x1)m

A definicao de potencia de um elemento e usada em grupos multiplicativos. Se ogrupo for aditivo, entao no lugar de potencias, usamos o conceito de multiplo de umelemento cuja definicao esta dada a seguir.

25

Definicao 2.9. Consideremos um grupo aditivo G com elemento neutro e, x um ele-mento de G e m um inteiro qualquer. O m-esimo multiplo de x e definido por:

mx =

e se m = 0

(m 1)x + x se m 1(m)(x) se m < 0

Exemplo 2.26. No grupo aditivo 5, tomando-se x = 2 temos que:

0 2 = 0; 1 2 = (1 1) 2 + 2 = 0 + 2 = 2; 2 2 = (2 1) 2 + 2 = 1 2 + 2 = 2 + 2 = 4; 3 2 = (3 1) 2 + 2 = 2 2 + 2 = 4 + 2 = 1; 4 2 = (4 1) 2 + 2 = 3 2 + 2 = 1 + 2 = 3; 5 2 = (5 1) 2 + 2 = 4 2 + 2 = 3 + 2 = 0.

2.12 Grupos cclicos

Definicao 2.10. Um grupo multiplicativo G e denominado cclico quando existir umelemento x G tal que todo elemento de G seja igual a alguma potencia de x, ouseja, G = {xk | k }; neste caso, o elemento x e denominado um gerador de G.Notacao: G = [x] ou G = x.Exemplo 2.27. Seja G =

{. . . , 14 ,

12 , 1, 2, 4, 8, . . .

}o grupo multiplicativo das potencias

de 2. Neste caso, G e um grupo cclico cujo gerador e o 2, ou seja, G = [2]. Noteque neste caso temos que 12 tambem e gerador de G, ou seja, G = [

12].

Exemplo 2.28. O grupo multiplicativo dos numeros reais positivos G = (+, ) nao ecclico porque nao e possvel encontramos um numero real positivo cujas potenciasdeem origem a todo o G.

Observacao. Se G for um grupo aditivo, entao usamos o conceito de multiplo nolugar de potencia de um elemento do grupo. Neste caso, G e cclico quando existirx G tal que G = {kx | k } = [x]. Por exemplo, o grupo (,+) e cclico e = [1].

Proposicao 2.7. Todo grupo cclico e abeliano.

Demonstracao. Seja G um grupo multiplicativo cclico. Entao, existe a G tal quetodo elemento de G e igual a uma potencia de a. Sejam x, y G. Existem m, n tais que x = am e y = an e da: x y = am an = am+n = an+m = an am = y x. Logo,G e abeliano.

26

Definicao 2.11. Dado um elemento x de um grupo multiplicativo G, se existir ummenor numero inteiro positivo n tal que

xn = e = elemento neutro de G

entao n e denominado a ordem (ou o perodo) do elemento x. Se nao existir tal menorinteiro positivo tal que xn = e, entao dizemos que x tem ordem zero. A ordem de umelemento x e denotada por o(x).

Exemplo 2.29. No exemplo 2.24 vimos que 21 = 2, 22 = 4, 23 = 1 = elementoneutro de G = 7. Portanto, o(2) = 3. Note que, neste caso, as potencias de 2 serepetem de 3 em 3 (24 = 21, 25 = 22, 26 = 23, etc.)

Exemplo 2.30. No grupo multiplicativo das potencias de 2 no exemplo 2.27, observeque 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, . . . e as potencias nao se repetem. Nao existeum menor inteiro positivo n tal que 2n = 1; logo, neste caso, temos o(2) = 0.

Proposicao 2.8. Seja x um elemento de um grupo multiplicativo G cuja ordem en > 0. Entao [a] = {e, a, a2, , an1} e um grupo cclico de ordem n.Demonstracao. Suponhamos que no conjunto {e, a, a2, , an1} haja repeticao deelementos, ou seja, suponhamos ai = a j com 0 i < j < n. Entao, isso implica emai a j = a j a j = e, isto e, ai j = e (ai j)1 = a ji = e1 = e, o que e um absurdoporque 0 < j i < n e a ordem de a e igual a n. Logo, nao existem potencias de arepetidas nesse conjunto, o que significa que ele tem examente n elementos.

Se m for um inteiro qualquer, dividindo-se m por n obtemos um quociente q e um resto r tal que 0 r < n. Logo, m = nq + r am = anq+r = (an)q ar =e ar = ar, ou seja, qualquer potencia de a coincide com alguma potencia ar com0 r < n.

Fica mostrado dessa forma que se o(a) = n entao existe um total de n potenciasdistintas de a, ou seja, que a ordem do grupo [a] tambem e igual a n.

Proposicao 2.9. Se G for um grupo cclico infinito, entao ele e isomorfo ao grupoaditivo dos inteiros .

Demonstracao. Seja a um gerador de G, ou seja, G = [a] = {as | s }. Considere-mos f : G a funcao definida por f (s) = as.

= { , 2, 1, 0, 1, 2, } f G = { , a2, a1, e, a, a2, }

Para quaisquer m, n temos f (m + n) = am+n = am an = f (m) f (n), logo, fe um homomorfismo de grupos;

Dado y G, temos y = as para algum s . Da, f (s) = as = y de ondeconclumos que f e sobrejetora;

27

Seja x tal que f (x) = e = elemento neutro de G. Temos que ax = e o queimplica x = 0 (porque se fosse x , 0 entao o(a) seria um numero finito naonulo e da G seria finito, o que contraria a hipotese). Fica mostrado assim queo nucleo de f e igual a N( f ) = {0} de onde conclumos que f e injetora (vejaproposicao 2.4).

Pelo que foi visto, temos que f e um isomorfismo de em G, ou seja, G ' . Proposicao 2.10. Seja G um grupo cclico finito de ordem n. Entao, G e isomorfoao grupo aditivo n.

Demonstracao. Seja a um gerador de G. Entao, G = {e, a2, a3, , an1}. Conside-remos agora a seguinte funcao f : n G definida por f (x) = ax.

n = {0, 1, 2, , n 1} f G = {e, a, a2, , an1}

A funcao f e claramente sobrejetora. Dados x, y n, temos que x = y x y (mod n) x y = nk, k axy = ank = (an)k = e ax = ay, logo, ftambem e injetora. Alem disso, f (x+ y) = f (x + y) = ax+y = ax ay = f (x) f (y) e da,fica mostrado que f e um homomorfismo de grupos. Como f e bijetora, e tambemum isomorfismo de G em n.

As duas proposicoes anteriores mostram que sempre que tivermos um grupocclico, se ele for finito, entao ele pode ser pensado como se fosse um grupo adi-tivo de classes de restos; se ele for infinito, entao ele pode ser pensado como se fosseo grupo aditivo dos numeros inteiros.

2.13 Classes laterais

Definicao 2.12. Sejam H um subgrupo de um grupo (G, ) e x G um elementoqualquer. A classe lateral a` esquerda, modulo H, definida por x, denotada por x H,e definida como sendo o seguinte subconjunto de G:

x H = {x h | h H}Para calcularmos uma classe lateral a` esquerda definida por x, basta multiplicar-

mos x por todos os elementos de H.

Definicao 2.13. A classe lateral a` direita, modulo H, definida por x, denotada porH, e definida como sendo o seguinte subconjunto de G:

H x = {h x | h H}

28

Observacao. Se o grupo G for abeliano (comutativo), entao e claro que os conceitosde classes laterais a` esquerda e a` direita coincidem, ou seja, x H = H x.Exemplo 2.31. Sejam G = (6,+) e um subgrupo H = {0, 3}. As classes laterais a`esquerda, modulo H, definidas pelos elementos 1, 2 e 3 sao:

1 + H = {1 + 0, 1 + 3} = {1, 4},2 + H = {2 + 0, 2 + 3} = {2, 5},3 + H = {3 + 0, 3 + 3} = {3, 0}.

Como G e abeliano, as classes laterais a` direita coincidem com as classes a` esquerda:H + 1 = 1 + H, H + 2 = 2 + H, H + 3 = 3 + H, etc.

Observacao. Em um grupo multiplicativo, e comum denotarmos as classes lateraispor xH ou Hx no lugar de x H ou H x.

Nas proposicoes a seguir, consideremos G um grupo multiplicativo e H um dosseus subgrupos.

Proposicao 2.11. A uniao de todas as classes laterais modulo H e igual a G.

Demonstracao. Basta observar que um elemento generico x G pertence a` classexH. Isso e verdade porque H contem o elemento neutro e, e da, x = x e xH. Proposicao 2.12. Para quaisquer x, y G, xH = yH se, e somente se, x1 y H.Demonstracao. () Suponhamos xH = yH. Como y yH, temos y xH. Logo,existe h H tal que y = x h x1 y = h H.

() Suponhamos x1 y H. Logo, existe h1 H tal que x1 y = h1 y = x h1 x = y h11 . Da, temos que a xH a = x h2 = (y h11 ) h2 =y(h11 h2

H) yH, logo, xH yH. De modo analogo, podemos mostrar que yH xH

de onde conclumos que xH = yH.

Proposicao 2.13. Se xH e yH sao duas classes laterais modulo H, entao elas saoiguais ou disjuntas, ou seja, xH = yH ou xH yH = .Demonstracao. Se nao existir a que seja comum a`s classes xH e yH, entao

xH yH = . Se existir a comum a`s classes xH e yH, entao a xH yH, e da existem

h1, h2 H tais que a = x h1 = y h2 que equivale a x1 y = h1 h12 H. Pelaproposicao 2.12, temos xH = yH.

Proposicao 2.14. Toda classe lateral xH tem a mesma quantidade de elementos queH, isto e, existe uma funcao bijetora de H em xH.

29

Demonstracao. Seja f : H xH definida por f (h) = x h. Temos que: Se f (h1) = f (h2), entao x h1 = x h2 x1 x h1 = x1 x h2 h1 = h2.

Logo, f e injetora.

Se y xH, entao existe h1 H tal que y = x h1 e da f (h1) = x h1 = y. Logo,f e sobrejetora.

Portanto, f definida do modo acima e uma funcao bijetora.

Observacao. De modo analogo, tambem existe uma funcao bijetora de H em Hx.

Definicao 2.14. Sendo G um grupo finito e H um subgrupo de G, o ndice de H emG e o numero de classes laterais distintas modulo H em G e e denotado por (G : H).

Exemplo 2.32. Sejam G = (9,+) e H = {0, 3, 6}. As classes laterais modulo H sao:0 + H = {0, 3, 6}, 1 + H = {1, 4, 7} e 2 + H = {2, 5, 8}. As outras classes laterais(3 + H, 4 + H, etc.) coincidem com alguma das anteriores. Logo, existem apenas 3classes laterais distintas e, por causa disso, (G : H) = 3.

Teorema 2.1 (Teorema de Lagrange). Se G for um grupo finito e H for um subgrupode G, entao a ordem de H e um divisor da ordem de G eo(G) = o(H)(G : H).

Demonstracao. Pelo que foi mostrado nas proposicoes 2.11, 2.13 e 2.14, temos

G = x1H x2H xnHonde classes laterais distintas nao tem elemento em comum e todas as classes tem amesma quantidade de elementos de H e, da,

(G : H) = n o(xkH) = o(H) para todo k {1, 2, , n} o(G) = o(x1H) + + o(xnH) = o(H) + + o(H)

n vezes

= o(H) n

Portanto, o(G) = o(H)(G : H) que e equivalente a (G : H) = o(G)o(H) .

Corolario 2.1. Se x G e H = [x], entao o(x)|o(G).Demonstracao. Basta observar que o(H) = o(x) e que pelo Teorema de Lagrangetemos o(H)|o(G). Corolario 2.2. Se x G, entao xo(G) = e.Demonstracao. Seja H = [x]. Entao o(H) = o(x) e, como o(G) = o(H)(G : H),temos o(G) = o(x)(G : H) xo(G) = xo(x)(G:H) = (xo(x))(G:H) = e(G:H) = e.

30

Corolario 2.3. Todo grupo finito G de ordem prima e cclico e seus unicos subgrupossao {e} e G.Demonstracao. Suponhamos o(G) = p primo e H um subgrupo de G. Como o(H) eum divisor de o(G), temos o(H) = 1 ou o(H) = p. Se o(H) = 1, entao H = {e}; seo(H) = p, entao H = G. Logo, os unicos subgrupos de G sao os subgrupos triviais{e} e G.

Se G = {e} = [e] entao G e cclico e e gerado por e; se G contiver algum elementox , e, entao H = [x] H , {e} H = G, ou seja G = [x] e gerado por x. Emqualquer caso, G e cclico.

2.14 Subgrupos normais

Sendo G um grupo, um subgrupo N de G e denominado normal quando xN = Nxpara todo x G. Neste caso, N subgrupo normal de G e denotado por N CG.Exemplo 2.33. E claro que se G for abeliano, entao todo subgrupo de G e normalporque as classes laterais a` esquerda e a` direita coincidem. Por exemplo, se G =(,+) e H = (,+), entao H CG.

Exemplo 2.34. Sejam G = S 3 = {e, 1, 2, 3, 4, 5} (veja Exemplo 2.13) e H =[3] = {e, 3, 4}. Podemos verificar que eH = He, 1H = H1, 2H = H2,3H = H3, 4H = H4 e 5H = H5. Logo, H CG.

Proposicao 2.15. Se f : G J for um homomorfismo de grupos, entao N = nucleode f = N( f ) e um subgrupo normal de G.

Demonstracao. Ja vimos anteriormente que N e um subgrupo de G (veja proposicao2.4). Falta mostrar apenas que xN = Nx para todo x G.

Se a xN, entao a = x n com n N. Mas, x n e o mesmo que (x n x1) x. Da,f (x n x1) = f (x) f (n) f (x1). Como n N temos f (n) = e = elemento neutro deJ. Logo, f (x n x1) = f (x)e[ f (x)]1 = e de onde temos que x n x1 N. Portanto,a = (x n x1

N) x Nx e fica mostrado assim que xN Nx. De modo analogo,

podemos mostrar tambem que Nx xN e, portanto, xN = Nx N CG. Definicao 2.15. Sejam N um subgrupo normal de um grupo G e xN e yN duas classeslaterais modulo N quaisquer. Definimos uma operacao de multiplicacao sobre oconjunto de todas as classes laterais modulo N do seguinte modo:

(xN)(yN) = (xy)N

Observacao. Pode-se mostrar que para a definicao anterior fazer sentido, ou seja,para que a multiplicacao de classes laterais de como resultado uma outra classe late-ral, e preciso que N CG.

31

2.15 Grupos quocientes

Definicao 2.16. Consideremos NCG. O conjunto de todas as classes laterais moduloN com a operacao definida em 2.15 e denominado grupo quociente de G por N e edenotado por G/N:

G/N = {xN | x G}, (aN)(bN) = (ab)N.Note que (G/N, ) e realmente um grupo com essa operacao porque: a, b, c G, (aN)[(bN)(cN)] = (aN)[(bc)N] = a(bc)N = (ab)cN = [(ab)N](cN)

= [(aN)(bN)](cN); logo, a multiplicacao de classes e associativa.

Para todo a G, (eN)(aN) = (ea)N = aN e (aN)(eN) = (ae)N = aN; logo, eNe o elemento neutro de G/N.

Para todo a G, (aN)(a1N) = (aa1)N = eN e (a1N)(aN) = (a1a)N = eN;logo, o elemento inverso de (aN) e o elemento (a1N).

Se G for um grupo finito, entao pelo Teorema de Lagrange, temos que

o(G/N) = (G : N) =o(G)o(N)

.

Exemplo 2.35. Consideremos o grupo aditivo G = (6,+) e N = {0, 3} um subgrupode G. Como G e abeliano, temos N CG, logo, faz sentido a definicao de G/N nestecaso. Sendo o grupo aditivo, entao as classes laterais sao denotadas por x + N (emvez de xN).

Calculando-se as classes laterais de N em G, observamos que tem apenas 3 classesdistintas: 0 + N, 1 + N e 2 + N. As outras classes 3 + N, 4 + N, etc. coincidem comalguma dessas anteriores. Logo,

G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N}.Lembrando que a operacao de classes neste caso e definida por

(x + N) + (y + N) = (x + y) + N,

temos a seguinte tabua para a operacao de adicao em G/N:

+ 0 + N 1 + N 2 + N0 + N 0 + N 1 + N 2 + N1 + N 1 + N 2 + N 0 + N2 + N 2 + N 0 + N 1 + N

Note que 0 + N e o mesmo que N.

32

Teorema 2.2. (Teorema do Homomorfismo) Seja f : G J um homomorfismosobrejetor do grupo G no grupo J. Se N for o nucleo de f , entao G/N ' J.Demonstracao. Seja : G/N J definida por (xN) = f (x). Temos as seguintespropriedades a respeito da funcao :

a, b G, aN = bN a1b N f (a1b) = e = elemento neutro deJ f (a)1 f (b) = e f (a) = f (b) (aN) = (bN). Logo, esta bemdefinida e e uma funcao injetora.

a, b G, ((aN)(bN)) = ((ab)N) = f (ab) = f (a) f (b) = (aN)(bN). Logo, e um homomorfismo de grupos.

y J temos que existe a G tal que f (a) = y (porque f e sobrejetora). Da, oelemento aN G/N e tal que (aN) = f (a) = y. Logo, tambem e sobrejetora.

Desse modo, fica mostrado que a funcao e um isomorfismo de grupos, ou seja, queG/N ' J. Observacao. O Teorema do Homomorfismo tambem pode ser enunciado de formamais resumida: Se f : G J for um homomorfismo de grupos, entaoG/N( f ) ' Im( f ), onde Im( f ) significa a imagem de f .

2.16 Grupos diedrais

2.16.1 Rotacoes e reflexoes

Definimos alguns grupos usando as transformacoes geometricas de rotacao emtorno de um ponto e de reflexao com relacao a uma reta.

Na figura a seguir, por exemplo, o ponto P foi obtido a partir da rotacao de 45

(no sentido horario) em torno do ponto O.

Fazer uma reflexao e semelhante a observar uma imagem em um espelho plano.Na figura seguinte, os pontos A, B e C foram obtidos a partir de uma reflexao comrelacao a` reta s dos pontos A, B e C, respectivamente.

33

2.16.2 Simetrias de um quadrado

Consideremos um polgono regular com n lados com vertices numerados de 1 an, n 3. Denotemos por r0, r1, , rn1 as rotacoes que se podem fazer em torno doseu centro de modo a nao alterar a posicao inicial do polgono. Cada rotacao deveapenas trocar os numeros de alguns vertices e deve ser de um multiplo de 360n graus.Por exemplo, quando n = 4, temos um quadrado com 4 rotacoes r0 = e, r1, r2 e r3em torno do seu centro de angulos 0, 90, 180 e 270, respectivamente, conformeilustrado a seguir:

34

Consideremos tambem as reflexoes f1, f2, , fn com relacao a`s retas que passampelo centro do polgono de tal forma a nao alterar sua posicao inicial. Essas retas saomediatrizes de cada lado ou diagonais do polgono. Por exemplo, no caso de umquadrado de vertices numerados 1, 2, 3 e 4

f1 e a reflexao com relacao a` mediatriz do lado ligando 1 a 4 f2 e a reflexao com relacao a` mediatriz do lado ligando 1 a 2 f3 e a reflexao com relacao a` diagonal ligando os vertices 1 e 3 f4 e a reflexao com relacao a` diagonal ligando os vertices 2 a 4

conforme ilustrado a seguir:

Quando cada reflexao e efetuada, o quadrado nao muda sua posicao inicial. Haapenas uma troca dos numeros dos vertices.

35

Seja Dn = {e, r1, r2, , rn1, f1, f2, , fn}. Dados x, y Dn, definimos x y (ousimplesmente xy) como sendo a aplicacao de x, seguido imediatamente da aplicacaode y ao polgono. Por exemplo, no caso do quadrado temos queD4 = {e, r1, r2, r3, f1, f2, f3, f4} e se x = r1 e y = r2, entao x y = rotacao de 90seguida imediatamente da rotacao de 180 = rotacao de 270, ou seja, r1 r2 = r3.

Outro exemplo: ainda com relacao ao quadrado de vertices 1, 2, 3 e 4, conside-rando x = f2 e y = f2, entao x y = reflexao com relacao a` reta mediatriz do lado devertices 1 e 2, seguida imediatamente de uma reflexao com relacao a` mesma reta =nao fazer nada com o quadrado, ou seja, f2 f2 = e.

Dessa forma podemos realizar operacoes com todos os elementos de D4 tomadosdois a dois. Os resultados obtidos estao resumidos na seguinte tabua:

36

e r1 r2 r3 f1 f2 f3 f4e e r1 r2 r3 f1 f2 f3 f4r1 r1 r2 r3 e f4 f3 f1 f2r2 r2 r3 e r1 f2 f1 f4 f3r3 r3 e r1 r2 f3 f4 f2 f1f1 f1 f3 f2 f4 e r2 r1 r3f2 f2 f4 f1 f3 r2 e r3 r1f3 f3 f2 f4 f1 r3 r1 e r2f4 f4 f1 f3 f2 r1 r3 r2 e

Note que a operacao assim definida nao e comutativa porque, por exemplo,f1 r1 , r1 f1. Essas operacoes sao efetuadas da seguinte maneira:

A partir do quadrado na sua posicao inicial , aplicamos a reflexao f1

(com relacao a` reta horizontal) e obtemos ; da, aplicamos a rotacao

r1 (de 90 no sentido horario) e obtemos como resultado . Note queesse resultado final equivale a aplicar a reflexao f3 diretamente no quadrado emsua posicao inicial. Portanto, f1 r1 = f3.

A partir do quadrado na sua posicao inicial , aplicamos a rotacao r1

e obtemos ; da, aplicamos a reflexao f1 e obtemos como resultado

. Note que esse resultado final equivale a aplicar a reflexao f4 direta-mente no quadrado em sua posicao inicial. Portanto, f1 r1 = f4.

O conjunto D4 assim definido, juntamente com a operacao , forma um gruponao abeliano de ordem 8. Em geral, (Dn,) e um grupo nao abeliano de ordem 2ndenominado grupo diedral de ordem 2n. O grupo Dn e conhecido tambem comogrupo de simetrias de um polgono regular de n lados.

37

Como r21 = r2, r31 = r3, r1 f1 = f4, r2 f1 = f2 e r3 f1 = f3, temos que o grupo

D4 tambem pode ser escrito na forma

D4 = {e, r1, r21, r31, f1, r1 f1, r21 f1, r31 f1}.Em geral, Dn tambem pode ser escrito em um formato parecido com esse.

Onde existir algum tipo de simetria, seja em polgonos regulares ou em solidostridimensionais como cubos, tetraedros etc., e possvel estudar grupos de simetrias.Ate mesmo em obras de arte, figuras, desenhos e fotografias existe tal possibilidade.E por isso que esses grupos tem varias aplicacoes a` Fsica e a` Qumica.

Observacao. Alguns autores preferem usar a notacao D2n, no lugar do Dn que em-pregamos aqui. Assim, para esses autores, o grupo D4 descrito anteriormente e de-notado por D8.

2.16.3 Simetrias de um triangulo equilatero

Consideremos um triangulo equilatero com vertices numerados com 1, 2 e 3. De-notemos por r0, r1, , r2 as rotacoes que se podem fazer em torno do seu centro demodo a nao alterar a posicao inicial do triangulo, ou seja, sao rotacoes em torno doseu centro de angulos 0, 120 e 240, respectivamente.

Consideremos tambem as reflexoes f1, f2 e f3 com relacao a`s retas que passampelo centro do trianguloe que sao mediatrizes de cada lado.

f1 e a reflexao com relacao a` mediatriz do lado ligando 2 a 338

f2 e a reflexao com relacao a` mediatriz do lado ligando 1 a 3 f3 e a reflexao com relacao a` diagonal ligando os vertices 1 e 2

conforme ilustrado a seguir:

Dados dois elementos quaisquer x, y D3, calculamos x y e organizamos osresultados obtidos na forma da seguinte tabua:

e r1 r2 f1 f2 f3e e r1 r2 f1 f2 f3r1 r1 r2 e f2 f3 f1r2 r2 e r1 f3 f1 f2f1 f1 f3 f2 e r2 r1f2 f2 f1 f3 r1 e r2f3 f3 f2 f1 r2 r1 e

2.16.4 Grupos diedrais e isomorfismos

E possvel mostrar que todo grupo diedral Dn e isomorfo a um grupo de matrizes2 2. Por exemplo, D4 e isomorfo ao grupo

M = {R0, R1, R2, R3, S 0, S 1, S 2, S 3}

onde R0 =[

1 00 1

], R1 =

[0 11 0

], R2 =

[ 1 00 1

], R3 =

[0 11 0

], S 0 =[

1 00 1

], S 1 =

[0 11 0

], S 2 =

[ 1 00 1

], S 3 =

[0 11 0

]. Em geral, cada rotacao

de Dn equivale a uma matriz Rk =[

cos(2kpi/n) sen(2kpi/n)sen(2kpi/n) cos(2kpi/n)

], e cada reflexao a

uma matriz S k =[

cos(2kpi/n) sen(2kpi/n)sen(2kpi/n) cos(2kpi/n)

].

39

Temos tambem que Dn e isomorfo a um subgrupo de permutacoes de S n. Porexemplo, D4 e isomorfo ao grupo G = {e, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} S 4, ondee =

(1 2 3 41 2 3 4

), 1 =

(1 2 3 41 2 3 4

), 2 =

(1 2 3 44 1 2 3

), 3 =

(1 2 3 43 4 1 2

),

4 =

(1 2 3 42 3 4 1

), 5 =

(1 2 3 44 3 2 1

), 6 =

(1 2 3 42 1 4 3

), 7 =

(1 2 3 41 4 3 2

).

O grupo D3 e isomorfo ao grupo G = {e, 1, 2, 3, 4, 5}, ondee =

(1 2 31 2 3

), 1 =

(1 2 31 2 3

), 2 =

(1 2 31 2 3

), 3 =

(1 2 33 1 2

), 4 =(

1 2 32 3 1

), 5 =

(1 2 33 2 1

). Note que G = S 3. Portanto, D3 ' S 3.

2.17 Exerccios propostos

1) Seja G um grupo multiplicativo e x, y, z G. Mostre que (x y z)1 = z1 y1 x1e determine g G tal que z y g x = y z.2) Mostre que uum grupo G e abeliano se, e somente se, f : G G definida porf (x) = x1 e um homomorfismo.

3) Considere o grupo G = com a operacao(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Mostre que f : G G, f (x, y) = (y x, 0) e um homomorfismo e calcule o seunucleo.

4) De exemplo de dois elementos x , y do grupo de permutacoes S 6 que sejamdiferentes do elemento neutro e calcule xy, yx, x1, y1 e suas ordens o(x) e o(y).

5) Sejam G = S 5, e =(

1 2 3 4 51 2 3 4 5

), x =

(1 2 3 4 51 4 5 2 3

),

y =(

1 2 3 4 53 5 2 1 4

), H = {e, x}. Calcule as classes laterais a` esquerda e a` direita

modulo H definidas por y e verifique se H CG.

6) Considere as permutacoes 1 =(

1 2 3 4 53 5 1 2 4

)e 2 =

(1 2 3 4 51 4 2 5 3

)do

40

grupo S 5. Determine uma solucao x S 5 da equacao11 x1 = 2.

7) De exemplo de dois subgrupos H1 e H2 de um grupo G de tal forma que H1 H2nao seja um subgrupo de G.

8) Considere G = {1} com a operacao definida porx y = x + y xy, x, y G.

Mostre que (G, ) e um grupo e verifique se H = 2 = { ,4,2, 0, 2, 4, 6, } eum subgrupo de G.

9) Sejam G = 8 e H = {0, 4}. Construa a tabua do grupo-quociente (G/H,+),identifique seu elemento neutro e os inversos (aditivos) de 1 + H e 4 + H.

10) Seja G um grupo e g G. Mostre que f : G G definida por f (x) = gxg1 eum isomorfismo de G em G. (OBS.: um isomorfismo de G em G e denominado umautomorfismo de G.)

11) Considere os grupos (multiplicativos) GL3() das matrizes invertveis e S L3()das matrizes cujos determinantes sao iguais a 1. Mostre que

GL3()/S L3() ' (, ).(Sugestao: considere a funcao determinante de matrizes, calcule seu nucleo e use oTeorema do Homomorfismo.)

12) De exemplo de um grupo abeliano de ordem 4 que esteja contido no grupo naoabeliano D4.

13) Calcule as ordens e os inversos de cada elemento de D3 e de D4.

14) Sejam r e f uma rotacao e uma reflexao de D4, respectivamente. Mostre que( f r)2 = e e que f r = r1 f .

41

Captulo 3

Aneis

3.1 Introducao

Um anel e um conjunto que esta relacionado com duas operacoes, normalmentedenominadas de adicao e multiplicacao, onde cada uma das operacoes combina doiselementos do conjunto para formar um outro elemento do conjunto. Para um con-junto ser um anel, a adicao e a multiplicacao tem que satisfazer varias propriedades:comutatividade da adicao, associatividade da adicao, existencia de elemento neutroe elemento inverso na adicao, associatividade da multiplicacao e uma propriedadeenvolvendo as duas operacoes denominada distributividade. Um dos exemplos maisfamiliares de aneis e o conjunto dos numeros inteiros com as operacoes de adicao emultiplicacao de inteiros.

Os aneis ocorrem em varias areas da Matematica e suas aplicacoes e, por causadisso, sao considerados importantes estruturas algebricas.

O estudo de aneis iniciou-se no final do seculo XIX com os trabalhos de RichardDedekind sobre polinomios e inteiros algebricos. O termo anel (Zahlring) foi criadopor David Hilbert em 1897 e a primeira definicao axiomatica de aneis foi dada porAdolf Fraenkel em 1914.

Neste captulo, pretendemos explorar conteudos que permitam responder a`s se-guintes perguntas:

Como identificar se determinado conjunto com duas operacoes e um anel? O conjunto, sendo um anel, pode conter subconjuntos que tambem sao consi-

derados aneis?

Dados dois aneis, existe alguma relacao entre eles? Eles se comportam damesma forma, com as mesmas propriedades algebricas?

Para responder a esses questionamentos, desenvolvemos a seguir as nocoes de aneis,subaneis, homomorfismos, isomorfismos, entre outros.

42

3.2 Definicao e exemplos

Definicao 3.1. Consideremos um conjunto A , no qual estao definidas duasoperacoes: uma adicao (+) e uma multiplicacao (). Dizemos que (A,+, ) e umanel (ou simplesmente que A e um anel) quando forem verificadas as seguintes pro-priedades:

A e um grupo abeliano com relacao a` adicao, isto e: x, y, z A, x + (y + z) = (x + y) + z x, y A, x + y = y + x Existe 0 A tal que x + 0 = x, x A Para todo x A, existe (x) A tal que x + (x) = 0

A multiplicacao e associativa, isto e: x, y, z, (x y) z = x (y z) A multiplicacao e distributiva com relacao a` adicao, ou seja, x, y, z A, x (y+

z) = x y + x z e (x + y) z = x z + y z.Exemplo 3.1. O conjunto dos numeros inteiros e um anel com relacao a`s operacoesde adicao e multiplicacao de inteiros usuais. Tambem sao aneis os seguintes: (,+, ),(,+, ) e (,+, ). Esses sao considerados os exemplos classicos de aneis.Exemplo 3.2. Seja n um inteiro positivo qualquer. O conjunto dos multiplos de n,denotado por n, e o conjunto n = {nk | k }. Como a soma ou o produto dedois multiplos de n da como resultado um multiplo de n, temos que o conjunto n efechado com relacao a essas operacoes. E imediato observar que as seis propriedadesda definicao de anel se verificam para n. Logo, (n,+, ) e um anel para todo n > 0inteiro.

Exemplo 3.3. Dado n um inteiro positivo, o conjunto das classes de restos modulo n,n = {0, 1, , n 1}, e um anel com relacao a`s operacoes de adicao e multiplicacaodefinidas da seguinte forma: x + y = x + y e x y = x y, x, y n.Exemplo 3.4. Dado n > 1 um inteiro, o conjunto Mnn() das matrizes quadradasn n com elementos em e um anel com relacao a` adicao e a` multiplicacao dematrizes definidas de forma usual. Tambem sao aneis os seguintes conjuntos dematrizes: (Mnn(),+, ), (Mnn(),+, ), (Mnn(),+, ) e (Mnn(m),+, ).Exemplo 3.5. Dados dois aneis A e B, o produto cartesiano A B tambem e um anelse forem definidas nele as seguintes operacoes:

Adicao em A B: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) Multiplicacao em A B: (x1, y1) (x2, y2) = (x1 x2, y1 y2)

43

O anel assim construdo e denominado produto direto de A por B. Por exemplo,quando A = B = , entao o produto direto e o anel . O zero de e o O = (0, 0), o inverso aditivo de um elemento (a, b) e o elemento(a,b). Considerando agora os elementos particulares X = (1, 2) e Y = (4, 5) de , temos os seguintes exemplos de operacoes com esses elementos: X + Y =(1 + 4, 2 + 5) = (3, 7) e X Y = (1 4, 2 5) = (4, 10).Exemplo 3.6. Consideremos o conjunto de todas as funcoes de em , denotadopor :

A = = { f | f : }no qual a soma f +g e o produto f g de duas funcoes f , g A quaisquer sao definidosda seguinte forma:

f + g : , ( f + g)(x) = f (x) + g(x) f g : , ( f g)(x) = f (x) g(x)

A adicao e a multiplicacao de funcoes assim definidas satisfazem a`s seguintes pro-priedades:

1) [( f +g)+h](x) = ( f +g)(x)+h(x) = [ f (x)+g(x)]+h(x) = f (x)+ [g(x)+h(x)] =f (x) + (g + h)(x) = [ f + (g + h)](x), f , g, h A

2) ( f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x), f , g A3) Sendo O a funcao nula O : , O(x) = 0, temos: ( f + O)(x) = f (x) +

O(x) = f (x) + 0 = f (x), f A4) Dada f A, a funcao ( f ) A definida por ( f )(x) = f (x) e tal que [ f +

( f )](x) = f (x) + ( f )(x) = f (x) f (x) = 0 = O(x)5) [( f g) h](x) = ( f g)(x) h(x) = [ f (x) g(x)] h(x) = f (x) [g(x) h(x)] =

f (x) (g h)(x) = [ f (g h)](x), f , g, h A6) [ f (g+h)](x) = f (x) (g+h)(x) = f (x) [g(x)+h(x)] = f (x) g(x)+ f (x) h(x) =

( f g)(x) + ( f h)(x) = ( f g + f h)(x), f , g, h A. De modo analogo:( f + g) h = f h + g h.

Conclumos assim que (A,+, ) e um anel de funcoes de em com as operacoesde adicao e multiplicacao de funcoes. Por motivos semelhantes, temos que (,+, ), (,+, ) e (,+, ) tambem sao aneis de funcoes.Definicao 3.2. Em um anel A, a diferenca entre dois elementos x e y de A e denotadapor x y e e definida por x y = x + (y).Definicao 3.3. Se n for um inteiro positivo, a n-esima potencia de um elemento x deum anel A pode ser definida do seguinte modo: x1 = x e xn = xn1 x se n > 1.

44

Observacao. Definimos apenas potencia de expoente inteiro positivo porque, emgeral, em um anel qualquer A pode nao fazer sentido calcular x0, e nem x1. Porexemplo se A for o anel 2 dos inteiros multiplos de 2, entao nao se calculam nesseanel 20, e nem 21.

3.3 Propriedades

Seja (A,+, ) um anel com relacao a uma adicao + e uma multiplicacao . Com relacao a` adicao, (A,+) e um grupo abeliano. Logo: O zero 0 e unico; Para cada x A, existe um unico (x) A tal que x + (x) = 0; (x + y) = (x) + (y), x, y A; (x) = x, x A; x + a = x + b a = b, a, b, x A

x 0 = 0 x = 0, x ADemonstracao: x 0 = x (0 + 0) = x 0 + x 0 x 0 + (x 0)

=0

= (x 0 + x 0) + (x 0) 0 = x 0 + (x 0 + (x 0)

=0

) = x 0 + 0 = x 0. Logo, x 0 = 0.Analogamente, 0 x = 0. (x) y = x (y) = (x y), x, y A

Demonstracao: (x) y + x y = [(x) + x] y = 0 y = 0, da, (x) y e oinverso aditivo de x y, ou seja, (x) y = (x y). De modo analogo se mostraque x (y) = (x y). (x) (y) = x y, x, y A

Demonstracao: usando a propriedade anterior, temos que (x) (y) = x ((y)) = x y. x (y z) = x y x z, x, y, z A

Demonstracao: x(yz) = x(y+(z)) = xy+x(z) = xy+[(xz)] = xyxz.

3.4 Subaneis

Definicao 3.4. Seja (A,+, ) um anel e S , um subconjunto de A. Dizemos queS e um subanel de A quando (S ,+, ) tambem for um anel com as operacoes de Arestritas ao conjunto S .

45

Observacao. Se S for um subanel de A, entao S e fechado para as operacoes de A,ou seja, x + y S e x y S para quaisquer x, y S .Exemplo 3.7. O conjunto dos multiplos de 2, 2, e um subanel de com as operacoesde adicao e multiplicacao de inteiros usuais. Em geral, (n,+, ) e um subanel de(,+, ) para qualquer inteiro positivo n.Exemplo 3.8. O conjunto das matrizes quadradas nn de elementos inteiros Mnn()e um subanel do conjunto das matrizes quadradas n n de elementos racionaisMnn() com as operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes usuais. Temostambem que Mnn(),+, ) e um subanel de Mnn(),+, ) e que Mnn(),+, ) e su-banel de Mnn(),+, ).

A proposicao a seguir fornece um criterio bastante util para se determinar se umconjunto e subanel de um anel.

Proposicao 3.1. Sejam (A,+, ) e S , um subconjunto de A. Entao, S e um subanelde A se, e somente se, S for fechado com relacao a` subtracao e a` multiplicacao deA, ou seja, se, e somente se, x y S e x y S para quaisquer x, y S .Demonstracao. () Suponhamos S subanel de A. Como (S ,+) e um grupo, temosx y S para quaisquer x, y S , ou seja, S e fechado com relacao a` subtracao.Como S e subanel de A, ele e fechado com relacao a` multiplicacao. Isso demonstraa primeira parte da proposicao.

() Suponhamos agora que S seja fechado com relacao a` subtracao e a` multipli-cacao.

Sendo S fechado com relacao a` subtracao, (S ,+) e um subgrupo de (A,+) (vejaProposicao 2.1). Como (A,+) e abeliano, (S ,+) tambem e abeliano.

Como x (y z) = (x y) z e valida para quaisquer x, y, z A, temos que, emparticular, tambem e valida para quaisquer x, y, z S . Como x (y + z) = x y + x z e (x + y) z = x z + y z sao validas para quaisquer

x, y, z A, temos que, em particular, tambem sao validas para quaisquer x, y, z S .

Logo, S e subanel de A, o que demonstra a segunda parte da proposicao.

Observacao. Se tivessemos trocado a subtracao da proposicao anterior pela adicao,obteramos uma propriedade que, em geral, nao seria verdadeira. Por exemplo, con-siderando os numeros naturais com as operacoes de adicao e multiplicacao deinteiros, temos que ele e fechado com relacao a essas operacoes, mas nao e um su-banel de (,+, ).

46

Exemplo 3.9. Consideremos no anel A = (M22()),+, ) o conjuntoS =

{[x 0y 0

]| x, y

}. E claro que S , porque, por exemplo,

[1 02 0

] S .

Alem disso, dados dois elementos quaisquer de S , M =[

x 0y 0

]e N =

[z 0t 0

],

temos que MN =[

x z 0y t 0

] S e M N =

[x z 0y z 0

] S . Usando a Proposicao

3.1, conclumos que S e um subanel de A.

3.5 Aneis comutativos

Definicao 3.5. Um anel (A,+, ) e denominado comutativo se a sua multiplicacao forcomutativa, ou seja, se x y = y x, x, y A.Exemplo 3.10. O anel dos inteiros (,+, ) e um anel comutativo porque x y = y x,x, y . Tambem sao comutativos os seguintes aneis: , , , m e com asoperacoes usuais de adicao e multiplicacao definidas em cada um desses conjuntos.

Exemplo 3.11. Consideremos o anel A = (M22(),+, ) das matrizes quadradas2 2 com elementos inteiros. Sejam X =

[1 12 0

]e Y =

[1 04 1

]dois elementos

desse anel. Como X Y =[

5 12 0

]e Y X =

[1 16 4

], temos X Y , Y X. Assim,

chegamos a` conclusao de que A nao e um anel comutativo. Em geral, Mnn(),Mnn() Mnn() e Mnn() nao sao aneis comutativos se n 2.

3.6 Aneis com unidade

Definicao 3.6. Um anel com unidade e um anel A cuja multiplicacao possui elementoneutro, denotado por 1A ou simplesmente por 1, e denominado a unidade do anel.

Exemplo 3.12. O numero 1 e a unidade dos aneis (,+, ), (,+, ),(,+, ) e (,+, ).Logo, esses sao exemplos de aneis com unidade.

Exemplo 3.13. Dado m 2 inteiro, (m,+, ) e um anel com unidade. Neste caso, aunidade e a classe 1.

Exemplo 3.14. O anel A = (M22(),+, ) e um anel com unidade que e a matrizidentidade I =

[1 00 1

]. Em geral, Mnn(), Mnn() Mnn() e Mnn() tambem

sao aneis com unidade que e a matriz identidade de ordem n n.Exemplo 3.15. Se S e um subanel de A, entao sao possveis varios casos:

47

ambos podem ter unidades e essas unidades podem coincidir ou nao; um pode ter unidade e o outro nao ter; nenhum dos dois tem unidade.

Por exemplo, e subanel de , ambos tem como unidade o numero 1. Por outrolado, 2 e subanel de , mas 2 nao tem unidade.

Exemplo 3.16. Sejam A = (M22()),+, ) e S ={[

x 00 0

]| x

}. Entao, S e um

subanel de A, a unidade de A e a matriz IA =[

1 00 1

], enquanto que a unidade de S e

a matriz IS =[

1 00 0

]. Portanto, neste caso temos que A e S sao aneis com unidade,

S e subanel de A, mas IS , IA.

3.7 Aneis de integridade e corpos

Definicao 3.7. Um anel comutativo com unidade A e denominado anel de integri-dade quando

x, y A, x y = 0 x = 0 ou y = 0.Definicao 3.8. Dizemos que x , 0 e y , 0 em um anel A sao divisores proprios dezero quando x y = 0.Observacao. De acordo com as definicoes anteriores, um anel de integridade e umanel comutativo com unidade que nao tem divisores proprios do zero.

Exemplo 3.17. No anel dos inteiros , se x, y sao tais que x y = 0, entaotemos que x = 0 ou y = 0. Logo, e um anel de integridade. Tambem sao aneis deintegridade: , e .

Exemplo 3.18. Em 8, os elementos 2 e 4 sao diferentes de 0, mas 2 4 = 8 = 0.Logo, 2 e 4 sao divisores proprios do zero em8 e, consequentemente, 8 nao e anelde integridade. Em geral, m e anel de integridade se, e somente se, m for primo.

Exemplo 3.19. Em A = M22() consideremos os elementos X =[

0 20 0

]e Y =[

0 30 0

]. X e Y nao sao matrizes nulas, no entanto X Y =

[0 00 0

]. Logo, X e Y sao

divisores proprios do zero e A nao e anel de integridade.

Exemplo 3.20. Em = { f | f : } consideremos g : definida por

g(x) ={

0 se x < 0x se x 048

e h : definida por

h(x) ={ x se x < 0

0 se x 0E claro que g e h sao funcoes nao nulas e, no entanto, seu produto g h e a funcaonula porque se x < 0, entao (g h)(x) = g(x) h(x) = 0 (x) = 0 e, se x 0, entao(g h)(x) = g(x) h(x) = x 0 = 0. Logo, g e h sao divisores proprios do zero no anel.

Definicao 3.9. Um anel comutativo com unidade K e denominado um corpo se todoelemento nao nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, x K, x , 0 x1 K tal que x x1 = 1.Exemplo 3.21. Os aneis , e sao exemplos de corpos. No entanto, nao e umcorpo, porque nem todo elemento de possui inverso multiplicativo (por exemplo,2 e nao existe y tal que 2 y = 1)Exemplo 3.22. Sejam p um inteiro primo positivo e A = p. Como A e um anelcomutativo com unidade 1, para A ser um corpo, basta que todo elemento nao nulode A tenha um inverso multiplicativo. Seja x p tal que x , 0. Entao, podemosconsiderar que 1 x p1. Como p e primo, mdc(x, p) = 1 e, da, existem inteirosa, b tais que a x + b p = 1 a x + b p = 1 a x + b p

=0

= 1 a x = 1.

Logo, (x)1 = a de onde podemos concluir que p e um corpo.

Proposicao 3.2. Todo corpo e um anel de integridade.

Demonstracao. Seja K um corpo e x, y K tais que x y = 0. Suponhamos que umdeles, digamos y, seja diferente de 0. Como K e um corpo, existe y1 K tal quey y1 = 1. Da, x y = 0 (x y) y1 = 0 y1 x (y y1

=1

) = 0 x = 0.Logo, K nao tem divisores proprios de zero, o que implica que ele e um anel deintegridade.

Observacao. A recproca da proposicao anterior nao e valida, ou seja, nem todo anelde integridade e um corpo. O exemplo mais conhecido dessa situacao e o anel dosinteiros .

Exemplo 3.23. O anel das funcoes nao e um corpo porque nao e anel de integri-dade (veja Exemplo 3.20).

Proposicao 3.3. Todo anel de integridade finito e um corpo.

Demonstracao. Seja A = {a1, a2, , an} um anel de integridade com n elementos eseja k A tal que k , 0. Consideremos f : A A definida por f (x) = k x. Se

49

a, b A sao tais que f (a) = f (b), entao k a = k b k ak b = 0 k (ab) = 0.Como k , 0 e A e anel de integridade, temos a b = 0, ou seja, a = b. Logo, f de Aem A e injetora. Como A e finito, temos que f tambem e sobrejetora. Se a1 = 1 fora unidade de A, entao existe x A tal que f (x) = 1, ou seja, k x = 1, o que significaque k1 = x. Logo, todo elemento nao nulo k A possui um inverso multiplicativoe, consequentemente, A e um corpo.

3.8 Homomorfismo de aneis

Definicao 3.10. Uma funcao f : A B de um anel A em um anel B e denominadahomomorfismo de aneis quando forem verificadas as seguintes propriedades:

x, y A, f (x + y) = f (x) + f (y); x, y A, f (x y) = f (x) f (y)

Exemplo 3.24. Sejam A = , B = (produto direto) e a funcao f : A Bdefinida por f (x) = (0, x). Se x, y , entao f (x + y) = (0, x + y) = (0, x) + (0, y) =f (x) + f (y), e tambem f (x y) = (0, x y) = (0, x) (0, y) = f (x) f (y). Logo, f e umhomomorfismo do anel A no anel B.

Definicao 3.11. O nucleo de um homomorfismo f : A B, denotado por N( f )ou por ker( f ), e definido como sendo o conjunto de todos os elementos de A cujaimagem pela f e igual ao zero do anel B:

N( f ) = {x A | f (x) = 0B}Exemplo 3.25. Ainda com relacao ao exemplo 3.24, vamos determinar o seu nucleo.Suponhamos a N( f ). Entao pela definicao de nucleo, f(a) = (0, 0) = zero do anelB. Como f (a) = (0, a), temos que (0, a) = (0, 0) de onde resulta que a = 0. Assim, onucleo de f e o conjunto N( f ) = {0}.

Seja f : A B um homomorfismo de aneis. As seguintes propriedades podemser verificadas:

f (0A) = 0B onde 0A representa o zero do anel A e 0B e o zero de B; f (x) = f (x), x A; f (x y) = f (x) f (y), x, y A; f e uma funcao injetora se, e somente se, N( f ) = {0A}; Se S e um subanel de A, entao f (S ) e um subanel de B.

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Lembrando que A e B sendo aneis, temos que (A,+) e (B,+) sao grupos e as pro-priedades citadas acima sao identicas a`s que foram mostradas nas proposicoes 2.2 e2.4.

Proposicao 3.4. Seja f : A B um homomorfismo de aneis que seja uma funcaosobrejetora. Entao:

Se A possuir unidade 1A, entao o mesmo acontece com B e a unidade de B e1B = f (1A);

Se A tem unidade e x e invertvel (com relacao a` multiplicacao), entao f (x)tambem e invertvel e f (x1) = [ f (x)]1.

Demonstracao. Seja y um elemento qualquer de B. Como f e sobrejetora, y = f (a)para algum a A e da y f (1A) = f (a) f (1A) = f (a 1A) = f (a) = y. Demodo analogo se mostra que f (1A) y = y. Assim, f (1A) e a unidade de B, ou seja,f (1A) = 1B.

Seja x1 o inverso de x A. Temos que x x1 = 1A f (x) f (x1) = f (1A) = 1B.Analogamente, temos tambem que f (x1) f (x) = 1B. Logo, f (x1) e o inverso def (x), isto e, f (x1) = [ f (x)]1.

3.9 Isomorfismo

Definicao 3.12. Um isomorfismo de um anel A em um anel B e uma funcaof : A B que e um homomorfismo e bijetora.Observacoes. Se ex