Instrumentação e Medidas

Exame Escrito de 01 de Fevereiro de 2017

ATENÇÃO: As partes I e II devem ser resolvidas em cadernos separados

Justifique todas as respostas

PARTE I-A Medição Impedâncias

Na figura da esquerda está representado um circuito cuja impedância Z

apresenta uma ressonância na frequência f0=3,0 kHz. A indutância L tem

o valor L=2 mH. Utilizou-se um instrumento de medida que permitiu

obter o módulo e o ângulo da impedância, representando-se o resultado,

em função da frequência, no gráfico apresentado em baixo à direita.

1) De acordo com o gráfico à direita, qual o valor de

todos os componentes do circuito apresentado?

Para muito baixas (ou muito altas) frequências a

indutância (ou o condensador) têm impedância nula,

pelo que a impedância medida será a resistência Rs.

Assim Rs=50 . Para a frequência de ressonância a

impedância total do circuito valerá Rp+Rs=250 ,

pelo que Rp=200 . Finalmente, na ressonância tem-

se

2) O valor da resistência Rs é conhecido e todos os nós

representados na impedância são acessíveis para ligações. Diga como determinava o valor da frequência de

ressonância e do fator de qualidade do circuito paralelo L//C//Rp dispondo unicamente de um gerador de

sinais com saída flutuante e de um osciloscópio.

A resistência Rs pode ser utilizada como resistência de amostragem de corrente. Assim no canal 1 do

osciloscópio pode ser visualizada a tensão no paralelo L//C//Rp, e no canal 2 pode ser visualizada a tensão

na resistência Rs. O nó entre o paralelo e Rs constituirá o ponto de massa comum e o canal 2 deve ser

invertido.

Ao variar a frequência do gerador, a tensão aplicada deve ser mantida constante. Para encontrar a

frequência de ressonância procura-se a frequência do gerador para a qual as duas tensões visualizadas estão

em fase. Para determinar o fator de qualidade do circuito devem obter-se as duas frequências, de cada um

dos lados de f0, para as quais a amplitude da tensão em Rs vale 70,7% do valor na ressonância. A diferença

entre as duas frequências determinadas constitui a largura de banda do circuito paralelo. O fator de

qualidade obtém-se dividindo a frequência central pela largura de banda.

3) Sabe-se que os valores dos componentes do circuito dado foram sujeitos a um controlo estatístico. Esses

valores apresentavam uma distribuição gaussiana com uma incerteza padrão (desvio padrão) de 1% do

valor esperado obtido em 1). Qual a incerteza padrão da frequência de ressonância f0?

A frequência de ressonância exprime-se em função de L e C por:

E as derivadas em ordem a L e a C serão: 0 0

3/2 3/2

1 1

4 4( ) ( )

f fC L

L CLC LC

A variância da frequência de ressonância será

2 22 2 2 20 0

0 04 2 4

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )

2 210 (2 ) 10

f fu f u L u C f

L C LC

A incerteza padrão da frequência de ressonância será assim também 0,707% do valor esperado:

0

0

2( )

2 100

fu f

PARTE I-B: AMPOPs

A figura representa uma montagem que utiliza um amplificador operacional. As resistências R1 e R2 valem

respetivamente R1=1 k e R2=80 k. O condensador C tem uma capacidade tal que o pólo ficará na frequência

f0=1 kHz. O AMPOP é alimentado com as tensões ±15 V e o seu fator de mérito vale FM=0,6 MHz.

1) Considere que a tensão vi de entrada é alternada

sinusoidal com uma amplitude Vimáx= 100 mV e fase nula. Qual

a amplitude e fase da tensão de saída para as frequências da

tensão de entrada f1=10 Hz, f2=1 kHz e f3=100 kHz? Faça as

aproximações que achar convenientes para cada caso.

A 10 Hz a frequência de operação está duas décadas abaixo da

frequência do pólo. O circuito funciona como amplificador

inversor de ganho 80. A tensão de saída terá uma amplitude de

8 V e fase de 180º.

Para f=1 kHz estamos na frequência do pólo. O ganho está 3 dB abaixo de 80 e o mesmo se passa para a

tensão de saída que terá agora uma amplitude de

A fase será equivalente a 45º de atraso seguido de inversão, o que equivale a 135º de avanço.

Para f=100 kHz, duas décadas acima do pólo, o circuito funciona como integrador. A tensão de saída estará

40 dB abaixo dos 8 V, com uma amplitude de 80 mV e uma fase de -90+180=90º.

2) Para determinar o ganho da montagem, para a frequência f2=1 kHz, utilizaram-se voltímetros electrónicos

analógicos da classe de precisão CL=0,1. Os alcances dos voltímetros valem 200 mV; 2 V e 20 V.

Determine os erros máximos nas medidas das tensões de entrada e de saída, bem como a incerteza padrão

decorrente para o cálculo do ganho. Nota: Se não resolveu a alínea 1) faça VOef=8 V.

Sendo da classe 0,1 os voltímetros apresentarão um erro máximo de 0,1% do alcance. Na entrada o alcance

será de 200 mV com um erro máximo de 0,2 mV. Para a tensão de saída, o alcance será de 20 V com um

erro máximo de 20 mV. As incertezas padrão das tensões medidas na entrada e na saída valem

respetivamente u(Vi)=0,115 mV e u(VO)=011,55 mV. A variância do ganho será:

3 3 313,34 10 4,273 10 17,613 10 ( ) 0,133u G

3) Considere que a tensão de entrada vi(t) é quadrada de amplitude 10 V, frequência f =100 kHz e transição

ascendente em t = 0. Considere também que o sistema está a funcionar em regime permanente. Desenhe na

sua prova as formas de onda de entrada e de saída vi(t) e vo(t) no mesmo gráfico. Justifique o resultado.

Calculemos o valor de C: A frequência do pólo do integrador vale f1=1 kHz. Daqui resulta para o

condensador, o valor de capacidade C=1,989 nF. A derivada de vO(t) quando vi(t)=+10 V vale -5,026 MV/s.

Meio período correspondente à frequência de 100 kHz vale 5 s. Durante esse tempo vO(t) desce 25,13 V.

A tensão de saída será então uma onda triangular de amplitude igual a 12,56 V, passando por zero, a

descer, em t =2,5 μs.

+

C

R2

R1

vi vo

t/μs

Vi/VVO/V

-10

+10

-12,5

+12,5

PARTE II-C: Aquisição de dados

Procedeu-se à digitalização de uma forma de onda s(t) constituída por uma tensão em dente de serra ascendente, de

que se representam 5 ciclos na figura da esquerda. Usou-se uma frequência de amostragem fS=500 kHz e procedeu-

se à obtenção do espetro que se representa na figura em

baixo à direita.

1) Qual a frequência de s(t), o número de amostras e o tempo total de aquisição?

Por qualquer dos gráficos acima se pode verificar que o período das rampas é de 2 ms e que a

frequência vale f0=500 Hz. Pelo gráfico da direita vê-se que a resolução espetral vale f=100 Hz o que

corresponde a um tempo total de aquisição Ttot=0,01 s. O número de amostras obtém-se dividindo a

frequência de amostragem pela resolução espetral. Assim Na=5000.

2) Qual o espetro que se observaria se as rampas fossem descendentes? (Função dente de serra

multiplicada por -1). E qual o espetro relativo à soma das duas rampas? A soma das funções

corresponde à soma dos espetros?

O espetro de amplitude seria exatamente o mesmo. A soma das duas rampas resulta numa tensão nula.

A soma das funções corresponde à soma dos espetros, mas não se podem somar os espetros de

amplitude. Só se devem somar os espetros completos, que são complexos. No caso presente os espetros

de amplitude são iguais, mas os espetros de fase não são.

3) Determine o valor eficaz da forma de onda representada por dois processos diferentes. No primeiro

utilize a definição de valor eficaz aplicada diretamente a s(t). No segundo considere a amplitude das

riscas espetrais an bem como a soma da série seguintes. Diga também

como determinava o valor eficaz a partir das amostras adquiridas.

O valor eficaz, por definição, é a raiz quadrada do valor médio do quadrado da tensão. Podemos

representar um período de rampa por

Time / ms0 2 4 6 8 10

Am

plit

ude

/ V

-5

0

5

Frequency / kHz0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Am

plit

ud

e /

V

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Para o segundo método podemos utilizar as riscas espetrais. O valor eficaz de cada componente

espectral vale

PARTE II-D: Transdutores

Considere um LVDT como o representado à esquerda. A sensibilidade do LVDT

vale S=25 mV/V/mm e está alimentado por uma tensão alternada à frequência

fi = 4 kHz e valor eficaz Vief = 5 V.

1) Copie para a sua prova o desenho do LVDT e complete-o com o circuito

de desmodulação como o utilizado nas aulas de laboratório. Este desmodulador

deve proporcionar uma tensão numericamente proporcional à posição x. Utilize

para tal um comparador, um amplificador de instrumentação com ganho

diferencial unitário, um AMPOP, um comutador controlado por tensão e

componentes passivos (resistências, condensadores). Identifique todos os

componentes, a sua funcionalidade e as formas de onda em cada parte do circuito.

Falta descrever a funcionalidade de cada componente deste circuito.

2) Utilizou-se o LVDT para detetar um movimento oscilatório x(t)=X cos( t), com F=1 Hz. Qual a

amplitude da tensão de saída do desmodulador para X=4 cm?

A tensão de saída do secundário do LVDT vale VOef =S Vief |x|. O valor eficaz na presente situação varia

ele próprio à frequência F=1 Hz, ou seja VOef =S Vief X|cos(2Ft)|. A expressão de valores instantâneos

desta mesma tensão será:

vi

x

vO=v1-v2

v2

v1

R R-

+

VO

INA

-

+

-

+

Comutador

Comparador

R

C

vi

x

vO=v1-v2

v2

v1

Nesta expressão, considerada como uma sinusoide de frequência fi e amplitude com variação sinusoidal de

frequência F , vO(t) está em fase com vi(t) quando x = Xcos(2Ft) é positivo e em oposição quando x é

negativo.

Na figura representada da tensão à saída do LVDT vê-se claramente a inversão de fase nas passagens por

zero. A frequência de entrada foi diminuída 200 vezes para que os pormenores fossem visíveis.

Quer o amplificador de instrumentação quer o ampop inversor têm ganhos unitários, pelo que a tensão à

saída do comutador controlado será uma tensão sinusoidal retificada, só com arcadas positivas se x>0, ou

arcadas negativas se x<0.

O filtro retira o valor médio da tensão à saída do comutador. Tendo em conta que o chamado fator de forma

das sinusoides =1,11, a tensão à saída do filtro valerá,

3) Qual a razão para escolher para o LVDT uma frequência de funcionamento tal que as tensões primária e

secundaria estão em fase ou em oposição?

Isto acontece porque o comutador é comandado pela tensão primária, e é necessário que a tensão

secundaria do LVDT passe por zero nos mesmos instantes.

Parte A: 5 val. Parte B: 5 val. Parte C: 5 val. Parte D: 5 val.

1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3)

2,5 1,5 1 2 2 1 2 1,5 1,5 2 2 1

tempo / u.a.0 0.5 1 1.5 2

am

plit

ude /

u.a

.

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Saida do Secundario do LVDT

tempo / u.a.0 0.5 1 1.5 2

am

plit

ude /

u.a

.

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Saida do comutador