instituto federal sul-rio-grandense universidade...
TRANSCRIPT
CÁLCULO IJair Vignolle da Silva
INSTITUTO FEDERAL SUL-RIO-GRANDENSEUNIVERSIDADE ABERTA DO BRASILPrograma de Fomento ao Uso dasTECNOLOGIAS DE COMUNICAÇÃO E INFORMAÇÃO NOS CURSOS DE GRADUAÇÃO - TICS
Ministério daEducação
Copyright© 2011 Universidade Aberta do BrasilInstituto Federal Sul-rio-grandense
Produzido pela Equipe de Produção de Material Didático da Universidade Aberta do Brasil do Instituto Federal Sul-rio-grandense
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS
Cálculo ISILVA, J. V.
2012/1
TECNOLOGIAS DE COMUNICAÇÃO E INFORMAÇÃO NOS CURSOS DE GRADUAÇÃO - TICS
PRESIDÊNCIA DA REPÚBLICA
Dilma RousseffPRESIDENTE DA REPÚBLICA FEDERATIVA DO BRASIL
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Fernando HaddadMINISTRO DO ESTADO DA EDUCAÇÃO
Luiz Cláudio Costa SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR - SESU
Eliezer Moreira PachecoSECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
Luís Fernando Massonetto SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA – SEED
Jorge Almeida GuimarãesPRESIDENTE DA COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DE PESSOAL DE
NÍVEL SUPERIOR - CAPES
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA SUL-RIO-GRANDENSE [IFSUL]
Antônio Carlos Barum BrodREITOR
Daniel Espírito Santo GarciaPRÓ-REITOR DE ADMINISTRAÇÃO E DE PLANEJAMENTO
Janete OttePRÓ-REITORA DE DESENVOLVIMENTO INSTITUCIONAL
Odeli ZanchetPRÓ-REITOR DE ENSINO
Lúcio Almeida HecktheuerPRÓ-REITOR DE PESQUISA, INOVAÇÃO E PÓS-GRADUAÇÃO
Renato Louzada MeirelesPRÓ-REITOR DE EXTENSÃO
IF SUL-RIO-GRANDENSECAMPUS PELOTAS
José Carlos Pereira NogueiraDIRETOR-GERAL DO CAMPUS PELOTAS
Clóris Maria Freire Dorow DIRETORA DE ENSINO
João Róger de Souza Sastre DIRETOR DE ADMINISTRAÇÃO E PLANEJAMENTO
Rafael Blank Leitzke DIRETOR DE PESQUISA E EXTENSÃO
Roger Luiz Albernaz de Araújo CHEFE DO DEPARTAMENTO DE ENSINO SUPERIOR
IF SUL-RIO-GRANDENSEDEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Luis Otoni Meireles RibeiroCHEFE DO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Beatriz Helena Zanotta NunesCOORDENADORA DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL – UAB/IFSUL
Marla Cristina da Silva SopeñaCOORDENADORA ADJUNTA DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL – UAB/IFSUL
Cinara Ourique do NascimentoCOORDENADORA DA ESCOLA TÉCNICA ABERTA DO BRASIL – E-TEC/IFSUL
Ricardo Lemos SainzCOORDENADOR ADJUNTO DA ESCOLA TÉCNICA ABERTA DO BRASIL – E-TEC/IFSUL
IF SUL-RIO-GRANDENSEUNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
Beatriz Helena Zanotta NunesCOORDENADORA DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL – UAB/IFSUL
Marla Cristina da Silva SopeñaCOORDENADORA ADJUNTA DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL – UAB/ IFSUL
Mauro Hallal dos AnjosGESTOR DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
PROGRAMA DE FOMENTO AO USO DAS TECNOLOGIAS DE COMUNICAÇÃO E INFORMAÇÃO NOS CURSOS DE GRADUAÇÃO –TICs
Raquel Paiva GodinhoGESTORA DO EDITAL DE TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO – TICS/IFSUL
Ana M. Lucena CardosoDESIGNER INSTRUCIONAL DO EDITAL TICS
Lúcia Helena Gadret RizzoloREVISORA DO EDITAL TICS
EQUIPE DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO – UAB/IFSUL
Lisiane Corrêa Gomes SilveiraGESTORA DA EQUIPE DE DESIGN
Denise Zarnottz KnabachFelipe RommelHelena Guimarães de FariaLucas Quaresma LopesTabata Afonso da CostaEQUIPE DE DESIGN
Catiúcia Klug SchneiderGESTORA DE PRODUÇÃO DE VÍDEO
Gladimir Pinto da Silva PRODUTOR DE ÁUDIO E VÍDEO
Marcus Freitas NevesEDITOR DE VÍDEO
João Eliézer Ribeiro SchaunGESTOR DO AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAGEM
Giovani Portelinha MaiaGESTOR DE MANUTENÇÃO E SISTEMA DA INFORMAÇÃO
Anderson Hubner da Costa FonsecaCarlo Camani SchneiderEfrain Becker BartzJeferson de Oliveira OliveiraMishell Ferreira WeberEQUIPE DE PROGRAMAÇÃO PARA WEB
7
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Estatística Básica
SUMÁRIO SCONTENTSGUIA DIDÁTICO ____________________________________________________________________________________________________9
UNIDADE A - NÚMEROS REAIS _________________________________________________________________________________ 13Conjuntos numéricos fundamentais ________________________________________________________________________________ 14Relação de ordem em IR ______________________________________________________________________________________________ 16Intervalos _______________________________________________________________________________________________________________ 16Inequações ______________________________________________________________________________________________________________ 17Módulo ou valor absoluto _____________________________________________________________________________________________ 19Propriedades ___________________________________________________________________________________________________________ 19Exercícios ________________________________________________________________________________________________________________ 20
UNIDADE B - LIMITES - CONTINUIDADE _____________________________________________________________________ 21Noção intuitiva de limite de uma função ___________________________________________________________________________ 22Definição formal de limite de uma função _________________________________________________________________________ 24Relação entre valor numérico e limite ______________________________________________________________________________ 24Propriedades operatórias dos limites ______________________________________________________________________________ 25Limites indeterminados_______________________________________________________________________________________________ 26Limites no infinito _____________________________________________________________________________________________________ 28Limites infinitos ________________________________________________________________________________________________________ 31Limites fundamentais _________________________________________________________________________________________________ 33Exercícios ________________________________________________________________________________________________________________ 38Continuidade de funções _____________________________________________________________________________________________ 39Exercícios ________________________________________________________________________________________________________________ 43
UNIDADE C - DERIVADAS _______________________________________________________________________________________ 45Definição de derivada de uma função ______________________________________________________________________________ 46Regras de derivação ___________________________________________________________________________________________________ 49Exercícios ________________________________________________________________________________________________________________ 61Derivadas sucessivas __________________________________________________________________________________________________ 63Derivadas das funções implícitas ___________________________________________________________________________________ 64Derivadas das funções na forma paramétrica _____________________________________________________________________ 64Aplicações de derivadas _______________________________________________________________________________________________ 65Exercícios ________________________________________________________________________________________________________________ 75
UNIDADE D - INTEGRAIS ________________________________________________________________________________________ 77Definição de diferencial de uma função ___________________________________________________________________________ 78Definição de primitiva ou antiderivada de uma função _________________________________________________________ 79Definição de integral de uma função ________________________________________________________________________________ 79Integração imediata ___________________________________________________________________________________________________ 81Integração por partes _________________________________________________________________________________________________ 83Integração de funções que contém trinômios do 2o grau ________________________________________________________ 85Integral definida _______________________________________________________________________________________________________ 87Área de figuras planas por integração ______________________________________________________________________________ 89Volume dos sólidos de revolução ____________________________________________________________________________________ 91Exercícios ________________________________________________________________________________________________________________ 93Respostas ________________________________________________________________________________________________________________ 96
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Guia Didático
9
Prezado(a) aluno(a),Bem-vindo(a) ao espaço de estudo da disciplina de Cálculo I.
Nosso estudo será dividido em quatro etapas: A, B, C e D.
Na etapa A, veremos uma introdução ao cálculo, com conjuntos numéricos fundamentais, intervalos, desigualdades e resolução de equações e inequações modulares.
Para a etapa B, estudaremos limites e continuidade de diversos tipos de funções. Seu conceito, propriedades e cálculo, propriamente dito.
Na terceira etapa, C, aprenderemos a derivar variados tipos de funções bem como estudar suas aplicações.
Na etapa, D, finalizamos com o estudo da integração de funções, e suasaplicações.
A avaliação se dará por meio de participação em trabalhos propostos como listas de exercícios, participação em fóruns e por instrumento de avaliação no encontro presencial.
Bom trabalho!
ObjetivosObjetivo GeralAo final desta disciplina o aluno será capaz de aplicar a questões relevantes os principais resultados ligados ao estudo da derivação e da integração de funções de uma variável real.
Habilidades• Identificar os conjuntos numéricos fundamentais;• Resolver equações e inequações;• Representar e operar com intervalos;• Aplicar a definição de valor absoluto para resolver equações e inequações modulares.• Definir limite de uma função;• Aplicar as propriedades operatórias do limites;• Calcular os diversos tipos de limites: indeterminados, infinitos, no infinito e fundamentais;• Calcular limites laterais;• Verificar a continuidade de uma função;• Definir derivada de uma função;• Calcular a derivada de uma função usando a definição de derivada;• Derivar as diversas funções, usando as regras de derivação;• Derivar usando derivadas sucessivas;• Derivar as funções na forma implícita;• Derivar as funções na forma paramétrica;• Determinar e Interpretar a diferencial de uma função;• Aplicar derivadas no cálculo de velocidade e aceleração;
APRESENTAÇÃOGUIA DIDÁTICO GD
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
10
• Resolverproblemasdetaxadevariação;• Calcularpontosdemáximoedemínimodefunções,usandoderivadas;• Determinarintervalosdecrescimentoedecrescimentodefunções,usandoderivadas;• Aplicarderivadasnadeterminaçãodeconcavidadeepontodeinflexão;• Esboçargráficosdefunções;• AplicarasregrasdeL’Hospital;• Definirintegralindefinida;• Resolverintegraisimediatas;• Calcularintegraispelométododasubstituiçãodevariáveis;• Aplicarométododaintegraçãoporpartes;• DefinirIntegralDefinida;• Aplicaroteoremafundamentaldocálculo;• Integrarfunçõestrigonométricas;• Integrarfunçõesquecontenhampolinômiosdo2°grau;• Integrarfunçõesracionaisporfraçõesparciais;• Calcularáreasplanasporintegração;• CalcularovolumedeumSólidoderevoluçãoporintegração.
AvaliaçãoAvaliação dos alunosO rendimento dos alunos será avaliado através das atividades propostas no curso e do instrumento de avaliação que ocorrerá em encontro presencial.
Avaliação da disciplinaFormativa: ao longo de seu desenvolvimento, o programa e os materiais da disciplina serão analisados pelos alunos e equipe de professores.
Somativa: os alunos avaliarão a validade da disciplina para sua formação através de instrumento específico.
ProgramaçãoPrimeira semanaAs atividades a serem desenvolvidas na 1ª semana são:
1. ConjuntosNuméricosFundamentais2. Intervalos3. Desigualdades4. ValorAbsoluto5. EquaçõeseInequaçõesModulares
Segunda semanaAs atividades a serem desenvolvidas na 2ª semana são:
6. NoçãoIntuitivadelimite7. Definiçãoformaldelimite8. Unicidadedolimite9. PropriedadesOperatóriasdosLimites
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Guia Didático
11
Terceira semanaAs atividades a serem desenvolvidas na 3ª semana são:
10. Limites Laterais11. Propriedades dos Limites Infinitos12. Limites Fundamentais
Quarta semanaAs atividades a serem desenvolvidas na 4ª semana são:
13. Continuidade14. Propriedades das Funções Contínuas15. Teorema do Valor Intermediário
Quinta semanaAs atividades a serem desenvolvidas na 5ª semana são:
16. A Reta Tangente17. A Derivada de uma Função em um Ponto18. Continuidade de Funções Deriváveis19. Derivadas Laterais20. Regras de Derivação21. Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia)22. Derivada do Produto23. Derivada do Quociente24. Derivada das Funções Elementares: função constante e função exponencial
Sexta semanaA atividade a ser desenvolvida na 6ª semana é:
25. Derivada das Funções Elementares: função constante, função exponencial, função exponencial composta, funções trigonométricas diretas e diversas, funções trigonométricas, hiperbólicas diretas
Sétima semanaAs atividades a serem desenvolvidas na 7ª semana são:
26. Derivadas Sucessivas27. Derivação Implícita28. Derivada de uma Função na Forma Paramétrica
Oitava semanaA atividade a ser desenvolvida na 8ª semana é:
29. Aplicações de Derivada: velocidade e aceleração, taxa de variação, reta tangente
Nona semanaAs atividades a serem desenvolvidas na 9ª semana são:
30. Aplicações de Derivada: pontos de máximo e de mínimo, funções crescentes e decrescentes, concavidade e ponto de inflexão, assíntotas horizontais e verticais, esboço de gráficos
31. Regras de L’Hospital
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
12
Décima semanaAs atividades a serem desenvolvidas na 10ª semana são:
32. Integral Indefinida: definição e propriedades33. Integrais Imediatas34. Método da Substituição ou Mudança de Variável para Integração
Décima primeira semanaAs atividades a serem desenvolvidas na 11ª semana são:
35. Método da Integração por Partes36. Integral Definida: definição e propriedades37. Teorema Fundamental do Cálculo38. Integração das Funções que contenham polinômios do 2º grau
Décima segunda semanaA atividade a ser desenvolvida na 12ª semana é:
39. CONTEÚDOS: Aplicações de Integração: áreas planas por integração
Décima terceira semanaA atividade a ser desenvolvida na 13ª semana é:
40. Aplicações de Integração: volume de um sólido de revolução
Currículo do Professor-AutorJair Vignolle da SilvaPossui graduação em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade Católica de Pelotas (1985) e mestrado em Engenharia Oceânica pela Universidade Federal do Rio Grande (2008). Atualmente é professor ensino básico, téc. e tecnológico do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Sul-Rio-Grandense.<http://lattes.cnpq.br/4568599445293650>
Referências
ANTON , HOWARD ; BIVENS , IRL ; DAVES , STEPHEN . CALCULO . 5 ed.PORTO ALEGRE : BOOKMAN; vol 1.;
STEWART , JAMES . CALCULO . 5 ed. SAO PAULO : THOMSON , 2003, vol 1.;
HOFFMANN , LAURENCE D. . CALCULO : UM CURSO MODERNO E SUAS APLICACOES . 2 ed. RIO DE JANEIRO : LTC, 1990, vol 1.;
GONCALVES , MIRIAN BUSS ; FLEMMING , DIVA MARILIA . CALCULO A : FUNCOES, LIMITE, DERIVACAO, INTEGRACÃO . 5 ed. FLORIANOPOLIS : UFSC , 1987 .;
SWOKOWSKI , EARL W. . CALCULO COM GEOMETRIA ANALITICA . 2 ed. SAO PAULO : MAKRON , 1994, vol 1.;
Unidade ACálculo IA Números Reais
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
16
Conjuntos numéricos fundamentaisEm nosso cotidiano, frequentemente, fazemos uso dos números que fazem parte de diversas áreas do conhecimento humano. Ao analisarmos um exame de sangue temos uma ideia, por exemplo, de como está nossa taxa de glicemia, que na normalidade, deve variar de 70 a 99. Ao pagarmos uma conta de energia elétrica ou água, uma determinada porcentagem desse valor corresponde a impostos. Em uma compra, podemos decidir se é melhor pagar à vista com desconto ou a prazo, se os juros forem baixos. Percebemos que existe uma quantificação e esta, por sua vez, é expressa por números.
Conjunto dos Números NaturaisEm Matemática, esses números são organizados e classificados em conjuntos numéricos. O primeiro conjunto numérico que a humanidade fez uso foi o Conjunto dos Números Naturais, expresso por IN e que é constituído apenas por números inteiros e positivos:
Observa-se que este conjunto possui infinitos elementos, o que é representado pelas reticências (...).
Conjunto dos Números Inteiros RelativosMais tarde, ao surgirem as quantidades negativas, foi preciso ampliar este conjunto, criando-se, então, o Conjunto dos Números Inteiros Relativos, indicado por Z, que contém apenas números inteiros positivos, negativos mais o zero:
Observa-se que todo o número natural é também um número inteiro relativo.
O conjunto Z apresenta os seguintes subconjuntos:
ou seja,
conjunto dos números inteiros não negativos.
conjunto dos números inteiros não positivos.
conjunto dos números inteiros positivos.
conjunto dos números inteiros negativos.
NÚMEROS REAISUNIDADE A
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade A
17
Conjunto dos Números RacionaisComo foi preciso trabalhar também com as quantidades fracionadas, ampliou-se o conjunto Z, construindo-se o Conjunto dos Números Racionais, simbolizado por Q, isto é, o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração. Este conjunto não pode ser representado por extensão, enumerando-se os seus elementos, pois dado um número racional, não se sabe qual será o próximo. Neste caso, podemos representar os infinitos números racionais por uma propriedade comum a todos eles, ou seja:
Leia-se: “o conjunto Q é o conjunto formado pelos elementos x tal que x seja igual a uma fração de numerador p e denominador q, onde p é um número inteiro e q um número inteiro diferente de zero”.
Verifica-se que todo o número inteiro relativo é também um número racional.
Conjunto dos Números IrracionaisPorém, há uma classe de números que não podem ser escritos na forma de fração, pois sua parte decimal é constituída de infinitas casas decimais, sem repetição periódica. Como exemplos:
Estes números formam o Conjunto dos Números Irracionais, indicado por I.
Um número não pode ser racional e irracional ao mesmo tempo, ou seja, ou se pode escrevê-lo na forma de fração ou não se pode.
Conjunto dos Números ReaisPode-se representar por diagramas de Venn os conjuntos IN, Z, Q e I, e verificarmos a relação de inclusão que existe entre eles:
Assim, temos que IN está contido em Z que está contido em Q , em símbolos: . Ao fazermos a união , constituímos o Conjunto dos Números Reais.
Portanto, qualquer número é um número real, exceto os que resultam de uma raiz de índice par com radicando negativo. Estes fazem parte de uma outra classe de números, que pertencem ao Conjunto dos Números Complexos que no momento, não faz parte do nosso estudo.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
18
É possível fazer uma correspondência biunívoca entre os elementos do conjunto dos números reais e os pontos de uma reta (chamada, então, de reta real). Isto significa que a cada ponto dessa reta corresponde um único número real e a cada número real corresponde um único ponto da reta.
Vejamos então:
Relação de ordem em IRO conjunto IR possui uma relação importantíssima: a relação de ordem entre seus elementos. Esta relação se dá ao ordenarmos seus elementos em ordem crescente. O sentido de crescimento é o da esquerda para a direita. Por exemplo, o elemento 5 é maior que o elemento 3 porque 5 está à direita de 3 na reta real. O elemento 3 é menor que 5 porque está localizado à esquerda de 5 na reta real (veja reta real). Usamos os símbolos <, ≤, > ≥ para indicar a relação de ordem:
5 > 3 (leia-se: 5 é maior que 3) 6 ≤ 10 (leia-se: 6 é maior ou igual a 10)
3 < 5 (leia-se: 3 é menor que 5) 10 ≥ 6 (leia-se: 10 é maior ou igual a 6)
IntervalosDefinição de IntervaloVamos pensar sobre os questionamentos: qual é o próximo número real depois do número real 2? E qual será o último número real antes de número real 3? Difícil de responder não é? Pois é, na verdade, essas perguntas não têm respostas. Vejamos quanto à primeira: pode-se pensar que é o numero real 2,01, mas basta aumentar o número de casas decimais (2,001) e tem-se um número mais próximo de 2. Isto pode ser feito infinitamente. O mesmo ocorre na segunda pergunta: pode-se pensar em 2,99, mas basta aumentar o número de casas (2,9999) e tem-se um valor mais próximo de 3. Também se pode adotar esse procedimento infinitamente. Portanto, existem infinitos números reais entre 2 e 3.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade A
19
Estes infinitos números reais formam um subconjunto de IR, chamado de intervalo.
Tipos de Intervalos e sua Representação
Dados dois números reais a e b, extremos do intervalo, com a < b, onde a é o extremo inferior e b o extremo superior, têm-se os seguintes tipos de intervalos e suas respectivas representações:
Colhetes Conjuntos Reta
] a , b [ { x∈IR / a < x < b }
[ a , b ] { x∈IR / a ≤ x ≤ b }
[ a , b [ { x∈IR / a ≤ x < b }
] a , b ] { x∈IR / a < x ≤ b }
] a , +∞ [ { x∈IR / x > a }
[ a , +∞ [ { x∈IR / x ≥ a }
] -∞ , b [ { x∈IR / x < b }
] -∞ , b ] { x∈IR / x ≤ b }
] -∞ , +∞ [ IR
InequaçõesAs inequações são sentenças matemáticas abertas que são expressas por desigualdades.
Nesta secção, vamos recordar a resolução de diversos tipos de inequações: do 1° grau, 2°grau, simultâneas, produto e quociente.
Exemplos resolvidos:
Sendo U=IR, resolva as seguintes inequações:
Ex1.
Resolução:
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
20
Ex2.
Como a inequação quer 0)( <xf , então marcamos o intervalo onde )(xf é negativa:
Ex3.
Resolução:
Para resolvermos esta inequação produto, vamos multiplicar os sinais e o resultado será o
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade A
21
intervalo que apresentar sinal positivo, pois .
Módulo ou valor absolutoDefine-se como valor absoluto de um número real x como:
Significa dizer que se x representa a coordenada de um ponto na reta real, então x é a distância, medida em quantidade de unidades, que esse ponto se encontra da origem.
Citamos como exemplos:
Propriedadesi)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
22
A seguir, apresentamos resoluções de equações e inequações envolvendo módulo. Essas inequações são resolvidas aplicando-se as propriedades do módulo.
Ex4:
Sendo U=IR, resolver a equação 21 =+x .
Resolução:
Ex5.
Resolva a inequação , sendo U=IR.
Resolução:
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade A
23
Exercícios1. Sendo U=IR, determine o conjunto solução das seguintes inequações:
a. b. c.
d. e. f.
g.
2. Resolva, em IR, as seguintes equações e inequações modulares:
a. b. c.
d. e. f.
g.
Unidade BCálculo IB Limites
Continuidade
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
26
Noção intuitiva de limite de uma funçãoTomemos a função . Vamos verificar o que acontece com o valor da variável dependente y dessa função quando o valor da variável independente x se aproxima do valor 1, por exemplo. Podemos fazer essa aproximação de duas maneiras distintas: por valores ligeiramente menores que 1 (tanto quanto se deseja) e por valores ligeiramente maiores que 1 (tanto quanto se queira), sem no entanto, fazermos o valor de x exatamente igual a 1.
Para tal, vamos construir uma tabela, fazendo os valores de x próximos de 1, pela direita (valores ligeiramente maiores que 1):
x f(x)=-x+22 f(1)=-2+2=0
1,5 f(1,5)=-1,5+2=0,5
1,21 f(1,21)=-0,21+2=0,79
1,01 f(1,01)=-1,01+2=0,99
1,00001 f(1,00001)=-1,00001+2=0,99999
Verifica-se que quando x se aproxima de 1, por valores ligeiramente maiores que 1 , y se aproxima de 1. Em notação matemática, tem-se:
. (Leia-se: x tende a 1 pela direita); . (Leia-se: y tende a 1 pela direita);
Diz-se, então que o limite lateral de f(x) quando x se aproxima de 1 pela direita é igual a 1 e denota-se:
De outra forma, podemos construir uma tabela, fazendo os valores de x próximos de 1, pela esquerda (valores ligeiramente menores que 1):
x f(x)=-x+20 f(0)=-0+2=2
0,5 f(0,5)=-0,5+2=1,5
0,71 f(0,71)=-0,71+2=1,29
0,95 f(0,95)=-0,95+2=1,05
0,99999 f(0,99999)=-0,99999+2=1,00001
Nota-se que quando x se aproxima de 1, por valores ligeiramente menores que 1 , y se aproxima de 1. Em notação matemática, tem-se:
(Leia-se: x tende a 1 pela esquerda); (Leia-se: y tende a 1 pela esquerda);
LIMITESUNIDADE B
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade B
27
Diz-se, então que o limite lateral de f(x) quando x se aproxima de 1 pela esquerda é igual a 1 e denota-se:
Convém destacar que essas aproximações são infinitesimais e que x nunca assume o valor exatamente igual a 1.
O gráfico abaixo, da função ilustra bem esta situação:
Como os limites laterais são iguais, conclui-se, então que o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 é igual a 1 e denota-se
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
28
Definição formal de limite de uma funçãoSeja f uma função definida em algum intervalo aberto contendo o ponto “a”, exceto possivelmente o próprio “a”. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de “a” é L e escrevemos:
As letras gregas representam valores infinitesimais. O significado dessa definição formal é que se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (o quanto se desejar), fazendo os valores de x se aproximarem de “a” (pela esquerda e pela direita), sem no entanto, tornarmos .
Graficamente, tem-se que
Relação entre valor numérico e limitePor definição, valor numérico e limite de uma função são conceitos diferentes. Por isso, a relação entre eles se dá de três maneiras como se vê nos seguintes exemplos:
Ex1. f(x) está definida em “a” e
Se , então
Ex2 f(x) está definida em “a” , mas
Se então e
Ex3 f(x) não está definida em “a”:
Se , então , mas observa-se que o que é uma indeterminação,
ou seja, . Mas, por outro lado, este limite existe, sendo .
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade B
29
Vejamos, agora dois teoremas sobre limites:
Teorema da Unicidade do Limite.Se o limite de uma função f existir, então é único.
Teorema da Existência do LimiteSe f é definida em todo intervalo aberto I contendo “a”, exceto possivelmente o próprio “a”, então existe
, se e somente se .
Isto significa dizer, informalmente, que o limite de uma função só existe se os seus limites existirem e forem iguais.
Propriedades Operatórias dos Limitesa) O limite de uma constante é a própria constante:
Ex:
b) O limite de uma função polinomial, de grau m, é igual ao valor numérico dessa função para quando a variável independente assume o valor da tendência.
c) O limite de uma soma de funções é a soma dos limites dessas funções:
Ex:
d) O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções.
Ex.
e) O limite do produto de duas funções é o produto dos limites dessas funções:
Ex:
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
30
f) O limite de uma potência de uma função é a potência do limite dessa função.
Ex:
g) O limite da função logarítmica é logaritmo do limite dessa função.
, se
Ex
h) O limite de uma função elevada a uma outra função é igual ao limite da função base elevada ao limite da função expoente.
Ex.
Limites IndeterminadosNo cálculo de limites, é comum aparecerem expressões do tipo:
Diz-se que estas expressões são indeterminadas. Para esclarecer esta questão, vejamos os seguintes exemplos:
Ex1: , ou seja, a divisão de zero por zero, dependendo das funções, pode ser qualquer valor real ou até mesmo não existir.
Como não nos interessa o valor numérico da função para quando x assume o valor 0, mas sim o que acontece com a função quando x se aproxima de 0, podemos usar artifícios algébricos para calcular o limite em questão:
(neste caso, houve uma simplificação do numerador com o denominador da
função)
Ex2:
Simplificando-se o numerador e o denominador temos que
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade B
31
A seguir vejamos mais alguns casos de limites indeterminados que podem ser revolvidos por artifícios algébricos:
Ex3: Calcule :
(indeterminação!)
Neste caso, como além de ser o valor da tendência, é também a raiz do polinômio do numerador e do polinômio do denominador, é possível simplificá-los, dividindo-os por .
Outra forma de simplificação, que é mais rápida que a anterior é usar o dispositivo de Briot-Ruffini. Significa decompor esses polinômios em um produto de outros polinômios de grau menor.
Aplicando Briot-Ruffini para , tem-se que
Logo,
Usando Briot-Ruffini para , tem-se que
Logo,
Podemos, então, calcular o limite, da seguinte forma:
Ex4: Calcule
(indeterminação!)
Neste caso, podemos resolver este limite, multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado da expressão que traz a diferença de duas raízes quadradas.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
32
Ex5: Calcule o valor de .
(indeterminação!)
A solução para esse tipo de limite, que possui raízes de índices diferentes, porém com o mesmo radicando, é fazermos uma substituição de variável da seguinte maneira: substituímos o radicando por uma variável qualquer, elevado a um expoente que é o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos índices das raízes.
Então fazemos: , mas esta substituição pode alterar o valor da tendência da variável x do limite. Ou seja, quando .
Assim, reescrevemos o nosso limite, na variável y:
Observe que agora, o limite ainda continua indeterminado, mesmo com mudança de variável. A vantagem é que podemos resolvê-lo como o limite do exemplo 3, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini:
Limites no Infinito
Observe o gráfico da função
Note que quando x tende ao mais infitinto, os valores de y tendem a zero e quanto x tende ao menos infinito, os valores de y também tendem a zero.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade B
33
Em símbolos podemos representar assim:
e
Estes limites são exemplos de limites no infinito, cuja definição formal apresentamos a seguir:
Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo aberto . Escrevemos quando o número L satisfaz à seguinte condição:
. Significa dizer que a partir de um determinado valor A, positivo, a função se estabiliza em torno do valor L.
Definição 2: Seja f uma função definida em um intervalo aberto . Escrevemos quando o número L satisfaz à seguinte condição:
. Significa dizer que a partir de um determinado valor B, negativo, a função se estabiliza em torno do valor L.
Operações com Limites Infinitos: Supondo que sejam resultados de limites de funções, as seguintes situações podem ocorrer:
A seguir apresentamos dois teoremas que serão muito úteis na resolução de limites infinitos.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
34
Teorema 1: Se n é número inteiro positivo, então são válidos:
Teorema 2: Sejam os polinômios
, então
Ex. Calcule o seguinte limite, usando os dois teoremas: .
Solução:Usando o Teorema 1:
Colocam-se os termos de maior grau da variável em evidência, no numerador e no denominador.
Desta forma, os termos que estão dentro dos parênteses, com denominador na variável x, tendem a zero.
Usando o Teorema 2:
Basta usar os termos de maior grau da variável no numerador e no denominador, desprezando-se os demais.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade B
35
Limites InfinitosNo caso, são limites cujo resultado é o infinito.
Observe o gráfico da função .
Note que quando os valores de x se aproximam de 0, pela esquerda, os valores de y tendem ao mais infinito. E quando os valores de x se aproximam de 0, pela direita, os valores de y também tendem ao mais infinito. Em simbologia matemática, temos:
(limites laterais da função)
Como os limites laterais são iguais, então o limite da função existe:
Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo “a”, exceto, possivelmente, em . Diz-se que , se para qualquer A>0, existir um tal que f(x)>A sempre que
.
Definição 2: Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo “a”, exceto, possivelmente, em . Diz-se que , se para qualquer B<0, existir um tal que f(x)<B sempre que
.
Teorema: Se n é um número inteiro positivo qualquer, então:
Ex1: Calcule
Solução:
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
36
Este resultado nos leva a pensar que o resultado desse limite se reduz a três possibilidades: não existir, ser + ∞ ou ser -∞.
Nestes casos, uma saída é analisarmos os limites laterais:
e
Como os limites laterais são diferentes, então , ou seja, não existe este limite.
O gráfico abaixo, da função ilustra bem esta situação:
Ex2. Indeterminações da forma .
Calcule:
Ao fazermos a substituição da variável pelo valor da tendência, tem-se:
(indeterminação)
Solução: reduzir a uma só fração:
(indeterminação)
Multiplicando-se o limite pelo conjugado de (cos(2x)-1), tem-se:
Lembrando que , então :
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade B
37
Ex3. Calcule
Solução:
(indeterminação)
OBSERVAÇÃO:
Limites FundamentaisSão assim chamados porque apresentam casos especiais de indeterminações do tipo .
Podemos agrupá-los em quatro casos distintos:
Onde e representa o número de Euler: e =2,718 e k uma constante real.
A verificação desses limites fundamentais pode ser feita facilmente traçando os gráficos das respectivas funções e verificando em torno do valor da tendência, o que acontece com a função.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
38
Como ilustração, observe o gráfico da função :
Repare que (limites laterais iguais).
Então,
Ex1. Calcule o valor de
Solução: (indeterminação)
Para ser um limite fundamental do 1° caso, devem acontecer duas condições:
• O valor da tendência deve ser tal que faça com que o arco do seno tenda a zero.• A expressão algébrica do arco deve ser idêntica à expressão algébrica do denominador
Este exemplo 1 é um limite indeterminado, mas não é um limite fundamental, pois falha a segunda condição: .
Para resolvê-lo, vamos transformá-lo em um limite fundamental:
(divide-se o denominador por 5 e multiplica-se o numerador também por 5 para não alterar o valor do limite).
(propriedade operatória do limite)
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade B
39
Ex2. Calcule
Resolução:
(indeterminação)
Ex3.Calcule
Resolução:
(indeterminação)
Ex4: Calcule
Solução:
(indeterminação)
Para transformar esse limite em um limite fundamental, usamos artifícios algébricos:
(propriedades operatórias das potências e dos
limites).
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
40
Ex5 Calcule
Solução:
(indeterminação)
Neste caso, como precisamos trabalhar na base da função, fazemos uma substituição de variável para chegarmos ao limite fundamental:
Fazendo ; Quando
Ex6: Calcule
Solução:
(indeterminação)
Para resolvê-lo, fazemos a seguinte substituição de variável:
Quando
Então
Ex7: Calcule
Solução:
(indeterminação)
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade B
41
Observe que este limite é um limite fundamental, pois apresenta duas características:
• a variável (x) tende para um valor que torna nulo o expoente da base (2).• a expressão algébrica do expoente da base (6x) é idêntica ao denominador (6x)
Então
Ex8: Calcule
Solução:
(indeterminação)
É possível transformar esse limite em um limite fundamental por meio de manipulações algébricas:
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
42
Exercícios1. Calcule os seguintes limites, aplicando as propriedades operatórias dos limites:
a. b. c.
d. e. f.
g. h. i.
j. k. l.
m. n. o.
2. Continuação:
a. b. c.
d. e. f.
g. h. i.
j. k. l.
m. n. o.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade B
43
3. Continuação
a. b. c.
d. e. f.
g. h. i.
j. k. l.
m. n. o.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
44
Continuidade de funçõesEmpiricamente, identifica-se uma função contínua, quando ao plotarmos o seu gráfico, em um sistema cartesiano ortogonal, por exemplo, observa-se que todos os seus pontos são unidos por uma curva contínua. Isto é, a função não “salta” de um ponto para outro.
Como exemplo, de função contínua, observe o gráfico da função
Veja que a função é definida para todos os infinitos pontos do seu domínio.
CONTINUIDADEUNIDADE B
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade B
45
Como contraexemplo, observe o gráfico de
Veja que a função não é definida para 1=x .Além disso, quando os valores de x se aproximam de 1, pela esquerda, os valores de y tendem para e quando os valores de x se aproximam de 1, pela direita, os valores de y tendem para .Ou seja, em torno do valor 1=x , a função “salta” de para e, portanto, não é contínua em 1=x .
Convém salientar que a continuidade de uma função é analisada ponto a ponto, ou em um intervalo específico. Uma função pode não ser contínua em um ponto e ser contínua em outro. É o que acontece
com o exemplo anterior: a função apresenta descontinuidade somente em 1=x .
Definição 1: Uma função f é contínua em um ponto “a” se forem satisfeitas as seguintes condições:
1. f é definida em algum intervalo aberto contendo o ponto “a”. Isto significa dizer que “a” pertence ao domínio de f e, portanto existe f(a).
2. Existe , ou seja, os limites laterais existem são iguais e finitos.
3. , ou seja, o limite da função f quando x tende para “a” dever ser igual ao valor numérico da
função no ponto ax = .
Quando uma função não é contínua em “a”, dizemos que estão função é descontínua em “a” ou que apresenta uma descontinuidade em “a”.
Se a primeira condição falhar, isto é , “a” não for um ponto que pertence ao domínio da função, então não há sentido em dizer se a função é contínua ou descontínua nesse ponto.
Teorema da ContinuidadeSe uma função f é definida em um intervalo aberto “a”, então f é contínua em “a”, se para cada ,
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
46
existe um , tal que sempre que .
Ex1. Usando as condições de continuidade, verifique se a função é contínua no ponto 2=x .
Solução:
Verificando as condições de continuidade:
1. (o ponto 2=x pertence ao domínio de f)
2.
3.
Como as três condições foram satisfeitas, conclui-se que a função é contínua em 2=x .
Observe o gráfico dessa função:
Essa função é contínua para qualquer ponto do seu domínio.
Ex2. O mesmo para a função no ponto 5=x
Solução:
1. 3)5( =f
2. Esta função é definida por mais de uma sentença, então vamos calcular os limites laterais:
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade B
47
3.
Como a terceira condição falhou esta função não é contínua em 5=x .
Veja, abaixo, o gráfico dessa função:
Repare que o gráfico desta função é uma reta que dá um salto em 5=x
Ex3. O mesmo para a função em 1=x .
Solução:
1.
2.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
48
Como a segunda condição falhou esta função não é contínua em 1=x .
Observe o gráfico dessa função:
Note que em torno do ponto 1=x a função dá um “salto”.
Exercícios1. Verifique se as seguintes funções são contínuas nos pontos indicados. Justifique suas respostas.
a. no ponto
b. no ponto
c. no ponto
d. no ponto
e. no ponto
f. no ponto
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade B
49
2. Seja , esboce o gráfico de f(x), calcule os limites indicados e verifique se
f(x) é contínua em
a. b. c.
d. e. f.
g. h.
Unidade CCálculo IC Derivadas
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
52
Nesta unidade estudamos um operador, aplicado às funções, chamado derivada. Este operador tem larga aplicação nos mais diversos campos das ciências exatas, naturais e até mesmo nas sociais.
Como exemplos podem ser citados alguns estudos, entre outros:
• A taxa de crescimento ou decrescimento de uma epidemia viral em relação ao tempo;• A taxa do custo de produção de determinado produto em relação ao tempo;• A taxa de variação do volume de um gás em relação à pressão;• A taxa de variação da intensidade de corrente elétrica em relação à potência de um circuito;• A taxa de variação do decrescimento da pupila do olho humano em relação à luminosidade de uma fonte de luz.
É fácil deduzir, então, que o operador derivada está intimamente relacionado às taxas de variações.
Definição de Derivada de uma FunçãoObserve o gráfico de uma função )(xfy = :
Marcamos um ponto ),( aa yxA sobre o gráfico de )(xfy = Adicionando-se incrementos Δx e Δy ao ponto ),( aa yxA , conseguimos o ponto . Veja que pelos pontos ),( aa yxA e
foi traçada uma reta secante à curva do gráfico, indicada por (s) com inclinação . O ponto C(xa+Δx,ya) forma, com os pontos um triângulo retângulo.
O lado que é um dos catetos desse triângulo é denominado Δx. Já o outro cateto, o lado é denominado de Δy, pois representam variações em x e em y, respectivamente.
DERIVADASUNIDADE C
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
53
Quando o ponto percorre a curva, tendendo para o ponto, ),( aa yxA ,isto é, se aproximando cada vez mais, tanto quanto se queira, sem, no entanto chegar a ),( aa yxA , provoca as seguintes consequências:
• As diferenças Δx e Δy e tendem a zero: .
• A reta secante, indicada por (s) que passa pelos pontos ,tende a uma reta tangente, indicada por (t), com inclinação no ponto
• A inclinação da reta secante tende à inclinação da reta tangente:
No triângulo ABC, retângulo em C, marcamos o ângulo . Calculando-se a tangente trigonométrica
desse ângulo, temos .Esta relação entre os acréscimos é chamada de Função Razão Incremental.
Levando-se ao limite da Função Razão Incremental, quando o acréscimo dado à variável independente tende a zero, obtém-se a derivada da função )(xfy = .
Em linguagem matemática, vem:
Usam-se os símbolos para se indicar a derivada de uma função, na variável dependente y, em relação à variável independente x. Ou de forma mais simples: a derivada de y em relação à x.
Como, de forma geral, e ,ou seja, as diferenças entre valores finais e iniciais, a
definição de derivada também pode ser escrita assim:
E a derivada de uma função )(xfy = em um ponto específico ),( 11 yxP é definida por:
Exemplos:
Ex1. Calcule pela definição a derivada da função 36 += xy .
Solução:
Primeiro, damos acréscimos às variáveis x e y:
Isolando , vem que
Substituindo y:
Dividindo ambos os termos por, tem-se que
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
54
Levando-se ao limite, quando
Pode-se, também, resolver este exercício usando diretamente a definição:
Solução:
Substituindo no limite, temos:
Ex2. Calcule a derivada da função 13)( 2 += xxf no ponto de abscissa .
Solução:
Usando a expressão. , vem que
Mais adiante, estudaremos qual é o significado geométrico de se calcular uma derivada em um ponto específico.
Ex3. Usando a definição de derivada, derive a função
Solução:
Substituindo no limite, vem que:
Ex4. O mesmo para a função
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
55
Solução:
Substituindo no limite, vem que:
Regras de DerivaçãoDerivar uma função pela definição de derivada, como visto anteriormente, é em última análise, calcular um limite específico. Quando se trata de funções mais simples, este processo é eficiente e eficaz, mas para funções mais complexas, o método torna-se improdutivo e frequentemente muito trabalhoso.
Para contornar este problema, foram criadas regras de derivação, que com o passar do tempo, foram agrupadas em um formulário denominado Formulário de Derivadas. Com esta ferramenta, o processo de derivação torna-se mais rápido, pois se consegue derivar uma função, sem usar o processo da definição.
A seguir apresentamos o Formulário de Derivadas. Na primeira coluna encontram-se vários tipos de funções, em suas formas genéricas e, na segunda, as suas respectivas derivadas.
Convém esclarecer que este Formulário de Derivadas está especificando as funções reais, com variável independente x e variável dependente y. Isto é, deriva-se a variável y em relação a variável x, o que não impede o seu uso para quaisquer outras duas variáveis diferentes de y ou x. Mais adiante, faremos exemplos dessa situação.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
56
FORMULÁRIO DE DERIVADASk, c, a, n → constantes reaisu, v w → funções de xFUNÇÃO DERIVADA
01) kxf =)( 0)(' =xf
02) kxxf =)( kxf =)('
03)
04) )()()( xvxuxf ×= )()()()()( ''' xvxuxvxuxf ×+×=
05) )()()(
xvxuxf =
06)
07)
08))()( xuaxf = )(ln)( ')(' xuaaxf xu ××=
09))()( xuexf = )()( ')(' xuexf xu ×=
10))(log)( xuxf a=
11))(ln)( xuxf =
)()()(
''
xuxuxf =
12) )()( xusenxf = )()(cos)( '' xuxuxf ×=
13) )(cos)( xuxf =
14) )(tan)( xuxf = )()(sec)( '2' xuxuxf ×=
15) )(cot)( xuxf =
16) )(sec)( xuxf = )()(tan)(sec)( '' xuxuxuxf ××=
17) )(csc)( xuxf =
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
57
18) )()( xuarcsenxf =
19) )(arccos)( xuxf =
20) )(arctan)( xuxf =
21) )(cot)( xuarcxf =
22) )(sec)( xuarcxf =
23) )(csc)( xuarcxf =
24)
25) )()( xusenhxf = )()(cosh)( '' xuxuxf ×=
26) )(cosh)( xuxf = )()()( '' xuxusenhxf ×=
27) )(tanh)( xuxf = )()(sec)( '2' xuxuhxf ×=
28) )(coth)( xuxf =
29) )(sec)( xuhxf =
30) )(csc)( xuhxf =
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
58
A seguir apresentamos exemplos resolvidos para cada uma das fórmulas que constam no Formulário de Derivadas.
Ex5.
Ex6.
Ex7.
Ex8.
Ex9.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
59
Ex10.
Ex11.
Ex12.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
60
Ex13.
Observação: este exemplo poderia ser resolvido, também, com a fórmula 05:
Ex14.
Ex15.
Observação: esta fórmula é uma particularização da anterior, em que a = e
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
61
Ex16.
Ex17.
Observação: esta fórmula é uma particularização da anterior, fazendo-se a = e.
Ex18.
Observe que u(x)é o arco da função seno.
Ex19.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
62
Ex20.
Ex21.
Ex22.
Ex23.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
63
Ex24.
Ex25.
Ex26.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
64
Ex27.
Ex28.
Ex29.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
65
Ex30.
Antes de continuarmos com os exemplos, convém recordar as funções hiperbólicas:
Ex31.
Ex32.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
66
Ex33.
Ex34.
Ex35.
\\
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
67
Ex36.
Exercícios1. Derive as seguintes funções, usando a definição de derivada:
a. b. c.
d. e. f.
2. Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções abaixo, nos pontos indicados:
a. b
c. d.
3. Usando o formulário de derivadas, derive as funções a seguir, simplificando ao máximo os resultados:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
68
28. 29. 30.
31. 32. 33.
34. 35. 36.
37. 38. 39.
40. 41. 42.
43. 44. 45.
46. 47. 48.
49. 50.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
69
UNIDADE CDerivadas SucessivasAté agora, aprendemos a derivar, uma única vez, diversas funções. É possível, porém, derivarmos mais de uma vez uma determinada função. Este processo tem algumas aplicações importantes que estudaremos mais adiante.
A derivada de ordem n ou (n-ésima) derivada de )(xfy = , que se representa por é conseguida quando se deriva a derivada de ordem de )(xfy = .
Ou seja, se )(xfy = é uma função derivável e se )('' xfy = for também uma função derivável, então a sua derivada é denominada “derivada segunda de )(xfy = ”, que se representa por )('''' xfy = (leia-se:
derivada segunda ou f duas linhas) ou por (leia-se: derivada segunda de f em relação a x)
Portanto, de forma geral:
Exemplos:
Ex1 Determine a quinta derivada de 43)( xxf =
Solução:
1ªderivada:
2ª derivada:
3ª derivada:
4ª derivada:
5ª derivada
Observe que a partir da quarta derivada, a ordem é representada por algarismos romanos.
Ex2. Calcule a sexta derivada da função xey 2=
Solução:
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
70
Derivadas das Funções ImplícitasUma função é chamada de implícita quando se apresenta na forma 0),( =yxF , ou seja, quando há uma relação implícita entre as variáveis dependente e independente. Nem sempre é possível explicitar uma dessas variáveis. Caso isto seja possível, pode-se derivar essa função usando-se diretamente o formulário de derivadas. Caso contrário, ocorrendo a impossibilidade de expressarmos a função de forma explícita, ou seja, )(xfy = , é necessário que se derive implicitamente a função. Vejamos o seguinte exemplo:
Ex3. Calcule a derivada da função , em relação à variável x.
Solução
Como se quer a derivada de y em relação a x, ou seja, , vem que:
Observe que a função derivada fica expressa em função das variáveis x e y.
Derivadas das Funções na Forma ParamétricaÉ comum expressar as funções com uma variável em função de outra. Em muitos casos, torna-se muito conveniente que as ambas as variáveis sejam expressas em função de uma terceira variável chamada parâmetro. Geralmente, usa-se a letra “t” para indicarmos esse parâmetro.
Se )(tfx = e )(tfy = variam dentro de um intervalo de valores de t , então o conjunto de pontos tal que ))(),((),( tgtfyx = define uma curva parametrizada. Essas equações são chamadas de equações paramétricas dessa curva.
Exemplificando, a equação de uma circunferência de centro )0,0(C e raio 2=r é expressa em sua forma cartesiana por 422 =+ yx . Esta mesma equação pode ser escrita na forma paramétrica da seguinte maneira:
, com . Isto significa que quanto t varia com os infinitos valores do intervalo,
faz com que descreva todos os pontos x e y da circunferência.
Para calcularmos a derivada de uma função, na forma paramétrica, usamos a seguinte fórmula:
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
71
Ex4. Dada a função , determine
Solução:
Esta derivada também pode ser escrita na forma cartesiana. Para isto, fazemos alguns artifícios de cálculos:
Tomando a equação na forma
Dividindo-se, membro a membro, a equação (1) por (2), vem que
Substituindo-se na derivada, temos que
Aplicações de DerivadasReta TangenteDo gráfico 1, deduziu-se que , além disso, que é a definição de derivada
de uma função. Sabe-se da geometria analítica, que o coeficiente angular “m” de uma reta é a tangente trigonométrica da inclinação desta reta. Entende-se como inclinação o menor ângulo positivo que a reta
faz com o eixo . Portanto, conclui-se que , isto é, o coeficiente angular da reta
tangente a uma curva em um ponto específico é a derivada desta função na abscissa deste ponto. Esta é a interpretação geométrica de derivada.
Ex5. Determine as equações das retas tangente e normal à curva 32 2 += xy no ponto )5,1(A
Resolução:
Primeiro, vamos determinar a primeira derivada da função dada:
Para encontrarmos o coeficiente angular da reta tangente a essa curva, substituímos a abscissa do ponto A na função derivada:
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
72
A seguir, escrevemos a equação da reta tangente, usando a fórmula da geometria analítica para a equação de uma reta que passa por um ponto conhecido e tem coeficiente angular m.
Uma reta normal a uma curva, em um ponto, é uma reta perpendicular à reta tangente, nesse mesmo ponto. Como retas perpendiculares têm coeficientes angulares inversos e simétricos, fica fácil a determinação da equação da reta normal:
O gráfico abaixo, ilustra esta situação:
Taxa de Variação
Velocidade e Aceleração Sabe-se da Física, que a velocidade escalar média é a razão entre o a variação do espaço percorrido pela
variação do tempo:
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
73
Veja que é uma função razão incremental. Levando-se ao limite quando o acréscimo dado a variável independente tende a zero, temos a função derivada do espaço percorrido em relação ao tempo. Esta derivada é denominada de velocidade instantânea, em um instante de tempo determinado:
Da mesma forma, define-se aceleração escalar média como a razão entre a variação da velocidade pela variação do tempo:
Esta aceleração também é uma razão incremental. Calculando-se o limite desta razão,quando o acréscimo dado a variável independente tende a zero, obtém-se a função derivada da velocidade em relação ao tempo decorrido. Tem-se, então, a velocidade instantânea em um determinado tempo específico.
Em termos práticos, dada uma função do espaço percorrido em função do tempo, a primeira derivada dessa função, em relação ao tempo é a equação da velocidade e, a segunda derivada, em relação ao tempo, é a equação da aceleração.
Ex6. A posição de um corpo, em um instante t é dada por . Considerando t expresso em segundos e S em metros, determine:
a) A equação da velocidade;b) A equação da aceleração;c) A velocidade quando st 3=d) A aceleração no instante st 1=
Solução:
a)
b)
c)
d)
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
74
Máximos e Míninos e Estudo do Crescimento de uma FunçãoPara iniciarmos este estudo, vamos primeiro relacionar o sinal derivada de uma função com os intervalos onde a mesma é crescente, decrescente ou constante.
Observe os gráficos abaixo:
Resumindo, temos:
• Uma função é crescente em um determinado intervalo, se e somente se sua derivada, neste intervalo, é positiva.• Uma função é decrescente em um determinado intervalo, se e somente se, sua derivada, neste intervalo, é
negativa.• Uma função é constante em um determinado intervalo, se e somente se, sua derivada é igual a zero.
Observe o gráfico abaixo da função
Veja que nos pontos P, Q, R e S a derivada se anula, pois as tangentes a esses pontos são paralelas ao eixo dos xx. Em linguagem matemática podemos escrever .
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
75
Em torno do ponto P a função passa de crescente para decrescente, ou seja, a sua derivada muda o seu sinal de positiva para negativa. Neste caso, este ponto P, em que 0)(' =Pf é denominado de Ponto de Máximo Local.
Já no entorno do ponto Q, a função muda de decrescente para crescente, então o sinal de sua derivada passa de negativo para positivo. Assim, este ponto Q, onde 0)(' =Qf é chamado de Ponto de Mínimo Local.
Da mesma forma, o ponto R é outro ponto de máximo local dessa função, enquanto que o ponto S é outro ponto de mínimo local.
Uma função pode apresentar vários pontos de máximo e de mínimo. Ter um ponto de máximo, não significa necessariamente que este seja o maior valor dessa função, ao passo que ter um ponto de mínimo, também não significa necessariamente o menor valor que a função assume. Há também funções que não apresentam nem pontos de máximo nem de mínimo.
Para se determinar intervalos de crescimento e decrescimento e pontos de máximo e de mínimo de uma função, é preciso verificar os pontos onde a derivada dessa função se anula ou pontos para os quais esta derivada não está definida. Feito isto, analisa-se o sinal da derivada em torno desses pontos.
Ex7. Da função determine se houver:
a) intervalos de crescimento e decrescimento;b) pontos de máximo e de mínino;
Solução:
Estas raízes, por anularem a primeira derivada, são candidatas a serem as abscissas de pontos de máximo ou de mínimo. Para isso, vamos analisar o sinal da função derivada, , em torno dessas raízes:
Uma das formas de se fazer essa análise, é a de calcular valores numéricos da função derivada, para pelo menos um valore menor que a menor raiz, para um valor entre as raízes e um valor maior que a maior raiz.
Neste caso, tem-se:
(significa que a função derivada assume valores positivos à esquerda de -2)
(significa que a função derivada assume valores negativos entre -2 e +2)
(significa que a função derivada assume valores positivos à direita de +2)
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
76
Lembrando que uma função é crescente no intervalo em que sua derivada é positiva e decrescente no intervalo em que sua derivada é negativa, conclui-se então:
Função Crescente: C:
Função Decrescente: D:
Com esta análise, conclui-se que em há um ponto de máximo, pois a derivada se anula e muda o seu sinal de positivo para negativo. Em há um ponto de mínimo, porque a derivada se anula e troca o seu sinal de negativo para positivo.
Para determinarmos as ordenadas desses pontos, fazemos o cálculo dos valores numéricos da função, nas abscissas indicadas:
Para verificação desses resultados, observe o gráfico da função abaixo:
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
77
Ex8. Para a função 2
3x
xy += determine, se houver:
a) intervalos de crescimento e decrescimento;b) pontos de máximo e de mínimo;
Solução:
Esta função, bem como a sua derivada, não estão definidas no ponto 0=x . Este ponto, portanto, será considerado na análise do sinal da derivada:
Neste caso, mesmo a derivada tendo mudado o seu sinal de positiva para negativa, em torno do ponto0=x , não é um ponto de máximo, pois não é possível calcular )0(f .
Esta função é:
Crescente: C: !", 0] [! 63 ,+"#$
%&
Decrescente: D: 0, 63!"
#$
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
78
Determinação do ponto de mínimo:
Confirmamos estas informações observando o gráfico de 2
3x
xy += :
Pontos de Inflexão e Estudo do Sentido da Concavidade de uma FunçãoObserve no gráfico da função os pontos T, V e U. Verifica-se que estes pontos separam arcos de concavidades contrárias. O ponto T separa um arco de concavidade para baixo de um arco com concavidade para cima. Já o ponto V separa um arco de concavidade para cima de outro de concavidade para baixo. E o ponto U faz a separação de um arco côncavo para baixo de um côncavo para cima. Estes pontos são denominados de Pontos de Inflexão (PI).
Definição de ConcavidadeSe uma função f for diferenciável em um intervalo aberto I, então o gráfico de f é:
a) côncavo para cima em I, se f’ é crescente em I;b) côncavo para baixo em I, se f’ é decrescente em I.
Teste da ConcavidadeSe a derivada segunda f’’ existe em um intervalo aberto I, então o gráfico de f é:
a) côncavo para cima em I, se f’’(x)>0 em I;b) côncavo para baixo em I, se f’’(x)<0, em I.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
79
Resumindo, uma função apresentará um ponto de inflexão, se este ponto anular a segunda derivada e se em torno desse ponto, a segunda derivada mudar o seu sinal de positivo para negativo ou vice-versa. Se num determinado intervalo, o sinal da segunda derivada for positivo, o gráfico dessa função é côncavo para cima, nesse intervalo, se, ao contrário, o sinal da segunda derivada for negativo, então o gráfico apresenta uma concavidade para baixo, nesse intervalo.
Ex9. Da função determine, se houver:
a) intervalos com o sentido da concavidade;b) pontos de inflexão.
Resolução:
Analisando o sinal de f ’’:
Em torno do ponto 0=x , f ’’ altera o seu sinal, portanto, esta função apresenta as seguintes concavidades:
C.P.C. (concavidade para cima):
C.P.B. (concavidade para baixo):
Determinação do ponto de inflexão :
Lembrete: No estudo do sinal da função derivada, seja da primeira ou da segunda, deve-se levar em consideração:
a) os pontos que anulam f’ e f’’.b) os pontos onde f’ e f’’ não estejam definidos.
Teorema de CauchySejam )()( xgexf duas funções contínuas em , deriváveis em e , então existe tal que:
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
80
Regra de L’HospitalSejam duas funções )()( xgexf que satisfazem ao teorema de Cauchy e 0)()( == agaf .
Se existe então existe e,
Observação: A regra de L’Hospital é usada para a resolução de limites indeterminados dos tipos
Ex8. Determine o valor de
Solução:
Ex9. Calcule
Solução:
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade C
81
Ex10. Calcular
Solução:
Neste caso, vamos transformar esse limite em um do tipo 00 .
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
82
Exercícios1. Calcule as seguintes derivadas sucessivas, nos pontos indicados:
a. b.
c. d.
2. Derive implicitamente as seguintes funções:
a. b. c.
d. e.
3. Encontre a derivada das seguintes funções, representadas na forma paramétrica:
a. b.
c. d.
4. Determine as equações das retas tangente e normal às seguintes curvas, nos pontos indicados:
a. b.
c. d.
e.
5. Escreva a equação da reta tangente à curva que é perpendicular à reta de equação
6. Um móvel percorre uma curva obedecendo à equação horária , onde é dado em metros e em segundos. Determine:
a. Sua velocidade no instante b. A aceleração desse móvel, quando
Unidade DCálculo ID Integrais
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
86
Estudaremos nesta unidade um operador denominado Integral. Este operador é aplicado às funções e se constitui de um processo inverso ao da derivação.
Para se chegar ao conceito de integral, é preciso definir-se primeiro o conceito de Diferencial.
Definição de Diferencial de uma FunçãoNo gráfico abaixo, marcam-se os seguintes elementos:
f → função
→ função derivada de
→ acréscimos dados as variáveis x e y, respectivamente
→ reta tangente a função no ponto A (xa,ya)
As variações de x e y sobre a reta tangente são as diferenciais dx e dy, respectivamente de um ponto P sobre a curva .
Sabe-se que , ou seja ,Δx = dx eΔy ≅dy, ou de outra forma
f(x0+Δx) ≅ f(x0) + f ‘(x0).Δx.
Então dy e dx estão relacionadas por dy = f ‘(x)dx, onde dy = f ‘(x0)dxé chamado de diferencial de uma função f no ponto x0.
Portanto, dy = f ‘(x)dxé a diferencial da função
Ex1. Calcular a diferencial da função f dada por .
INTEGRAISUNIDADE D
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade D
87
Solução:
Ex2. Determine a diferencial da função
Solução:
Definição de Primitiva ou Antiderivada de uma FunçãoUma função g(x) é dita primitiva de uma f(x) em um intervalo I, se para todo x em I.
Ex3. Verificar se é uma primitiva de
Solução:
é uma primitiva de f(x).
TeoremaSeja F uma antiderivada de f em um intervalo I. Se G é uma outra antiderivada de f em I, então
para alguma constante C e todo x em I.
Definição de Integral de uma Função, onde e c é uma constante arbitrária denota a família de todas as antiderivadas
de f(x) em um intervalo I. Convém observar que essas famílias de antiderivadas diferem entre si apenas por essa constante arbitrária.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
88
Observações:
→símbolo ou sinal de integral (soma)
→integral indefinida
f(x)dx → elemento de integração ou integrando.
f(x) → função integrada.
dx → diferencial da integração.
x → variável de integração.
C → constante de integração.
Para esclarecer melhor essa situação vamos calcular a diferencial das seguintes funções:
Observa-se que todas estas funções que diferem entre si apenas por uma constante, apresentam a mesma derivada e a mesma diferencial. Dizemos, então, que é uma função primitiva de e
que é uma integral indefinida de . Em simbologia matemática, expressamos:
PropriedadesSejam f(x) e g(x) duas funções diferenciáveis e que tenham uma antiderivada em algum intervalo I . Então:
1)
(i)
(ii)
2)
(i)
(ii)
Observamos que os operadores, derivação e integração não são operadores inversos, mas sim podemos
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade D
89
dizer que existe um processo inverso entre esses operadores.
Integração ImediataÉ a integração feita, sem substituição de variável, diretamente com o auxílio de uma tabela de integrais, mostrada a seguir:
FORMULÁRIO DE INTEGRAISk, c, a, n → constantes reais
u, v w → funções de x
A seguir apresentamos alguns exemplos resolvidos:
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
90
Ex4. Calcule
Resolução:
Ex5 Calcule
Resolução:
Neste caso, vamos usar substituição de variáveis:
Na integral , fazemos:
Ex6 Calcule
Resolução:
Fazendo então , trocando as variáveis, vem:
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade D
91
Ex7. Calule
Fazendo então , trocando as variáveis, vem
Integração Por PartesMuitas vezes, não é possível integral uma função usando apenas a substituição de variável, pois não se consegue calcular a diferencial exata.
Vejamos: calcule
Ao fazermos, temos que .Deveria ser Neste caso, a diferencial que encontramos não é a exta. Nem se fizermos , com .A diferencial exata, deveria ser
Para esses casos, precisamos usar uma técnica de integração denominada Integração por Partes.
Sejam u =f(x)e v =g(x) duas funções diferenciáveis. Então a diferencial do produto y = u . v = f(x) . g(x)e´ dy = ( u . v’ + v . u’ ) dx
dy = u.v’dx + v.u’dx como podemos escrever:
dy = udv+vdu, como dy = d(uv) temos d(uv) = udv+vdu que é a diferencial do produto de duas funções.
Agora, integrando os demais membros, temos:
, pela propriedade de integral indefinida.
daí:
→ Fórmula da integração por partes.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
92
Vejamos alguns exemplos resolvidos:
Ex8. Calcular
Fazendo, então
Fazendo, então
Substituindo em , vem que
Ex9. Calcular
Fazendo, então
Fazendo, então
Substituindo em , vem que
Para calcular usamos a integração por partes novamente:
Fazendo, então
Fazendo, então
Substituindo em , vem que
Substituindo (2) em (1), temos:
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade D
93
Integração de Funções que Contém Trinômios do 2° GrauA resolução de integrais que apresentam trinômios do 2º grau requer que esse trinômios sejam fatorados em uma soma ou diferença de dois quadrados.
Inicialmente, revisamos a obtenção de um quadrado perfeito.
Transformamos o trinômio num quadrado perfeito:
Fazemos , temos um trinômio sem o coeficiente de x2: .
O termo B é sempre igual ao quadrado da metade de A.
De um modo geral:
, é um quadrado perfeito .
Vejamos os exemplos resolvidos a seguir:
Resolver:
Ex.10.
Resolução:
Primeiro, vamos transformar o trinômio em uma soma de quadrados:
Feito isso, a integral é escrita assim:
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
94
Ex11
Fatorando , temos que
Substituindo na integral, vem:
Ex12
Fatorando vem que:
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade D
95
Substituindo na integral, temos:
Integral DefinidaAté agora estudamos as integrais indefinidas, isto é, aquelas que possuem infinitas diferenciais, com todas diferindo-se entre si por apenas uma constante.
No caso de uma integral definida, o resultado não é uma infinidade de funções, mas sim, um número. Estas integrais possuem diversas aplicações, como o cálculo de áreas de figuras planas e de volume de sólidos de revolução, por exemplo.
Veja o gráfico abaixo, que representa a área de uma região R compreendida entre uma função e o eixo das abscissas:
Como determinar a área dessa região? Observe que R possui um lado curvo, então as fórmulas da geometria plana servem apenas para obter-se um resultado aproximado.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
96
Podemos formar n retângulos, no intervalo de a até b. Para obter-se a área aproximada, basta calcular a área de cada retângulo e fazer o somatório delas.
Dividimos o intervalo (a,b) em “n” partes:
Tornando
Podemos formar a seguinte soma, representativa da área de todos os retângulos.
Soma de Riemann
Se , a soma Sn se aproxima da área exata limitada pelas curvas, o eixo x e as ordenadas em x=a e x=b isto é:
ou seja:
que é chamada de INTEGRAL DEFINIDA ou INTEGRAL DE RIEMANN de f(x) entre os limites “a” e “b”.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade D
97
Teorema Fundamental do Cálculo Integral
Se f(x) é continua em [a,b] e , então: ou então,
sendo F(x) uma primitiva de f(x).
Ex13:
Calcule a integral definida:
=(32+3)–(22+2)=12–6=6u.a.
Área de Figuras Planas por IntegraçãoNem sempre uma integral definida corresponde a uma área plana, compreendida entre a função que define a curva e os eixos coordenados. Para tal, é necessário que, no intervalo considerado, a curva esteja totalmente acima ou abaixo com o eixo das abscissas.
Observe o gráfico abaixo. Dadas as funções f (x) e g(x) definidas no intervalo ]a,b[, sendo para todo o x em ]a,b[. Então a área compreendida entre as curvas é definida por onde representa a altura e dx a base do retângulo.
Exemplos Resolvidos:
Ex14.
Determine a área compreendida entre a curva e acima do eixo ox.
Solução: Determinando os zeros e o vértice da função .
Esboçando o gráfico de
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
98
Esta área será igual a seguinte integral:
Ex15. Calcular a área delimitada entre as curvas e
Solução:
Calculando os zeros de cada função e os pontos de intersecção entre elas:
Construindo o esboço do gráfico de e
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade D
99
Neste caso a área R compreendida entre as duas funções é calculada por:
Volume dos Sólidos de RevoluçãoOutra aplicação importante de integrais definidas é o cálculo de volume de sólidos de revolução, ou seja, aqueles que são formados pela rotação completa de 360° de uma figura plana em torno de um eixo, que é chamado de eixo de revolução.
No gráfico abaixo, considera-se um plano perpendicular ao eixo ox passando pela abscissa w, intercepta o sólido, obtendo-se uma secção transversal circular com raio f(w) e área
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
100
Se considerarmos uma espessura na seção transversal circular, obteremos .
Se dividirmos o sólido em “n” partes, obteremos V1,V2,V3,....,Vn, volumes.
Portanto, o volume total aproximado do sólido de revolução será: que pode
ser considerada como uma Soma de Riemann, fazendo n(x)= .
DefiniçãoSeja f, contínua em [a,b]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região R determinada pelos gráficos de f,x=a, x=b e do eixo dos OX é dado por
A definição acima pode ser generalizada para outras situações:
(1) A função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b].
Como , a fórmula acima é válida neste caso.
(2) A região de rotação R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b.
Supondo f(x)≥g(x), ∀x∈[a,b], o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação da região R em torno do eixo ox, é dado por
(3) A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
Se o eixo de revolução for a reta y=C, temos
Ex16. Determine o volume da região R delimitada, em IR2 por em torno do eixo oy.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade D
101
Solução:
Fazendo o esboço da região R:
Calculando o volume:
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
102
Exercícios1. Determinar a diferencial das seguintes funções:
a.
b.
c.
d.
e.
2. Calcule as seguintes integrais:a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
3. Resolva as seguintes integrais:a.
b.
c.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade D
103
d.
e.
f.
g.
h.
i.
4. Usando o processo de integração por parte, resolva:a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
5. Calcule as seguintes integrais, usando o método de completar trinômios quadrados perfeitos:
a.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
104
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
6. Encontre, por integração, a área compreendida entre:
a. y=2; x=y+1 e y=–3x–1b. y2=9x e y=3xc. y=4–x2 e o eixo OX.d. y=x3; y=–8 e o eixo OYe. y=x3; y=2x e y=x f. y2=2x e x–y=4g. y=6+4x–x2 e a corda y=2x–2 h. x=–y2–3; y=2; y=–1 e o eixo OY
7. Determine, por integração, o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo indicado:
a. y=1/x, x=1, x=3, y=0, em torno do eixo do X.
b. y= ,y=0, x=4, em torno do eixo Y.
c. y=x2, y=2, em torno do eixo Y.d. y=1/x, x=0, y=1, y=3, em torno do eixo Y.e. y=x2–4x, y=0, em torno do eixo X.f. y=x3, x=–2, y=0, em torno do eixo X.g. y2=x, 2y=x, em torno do eixo Y.h. y=2x, y=4x2, em torno do eixo Y.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade D
105
RESPOSTAS1.
a.
b. dy=2cos2x.dx
c.
d.
e. dy=(3senx . ln3 . cosx) dx
2.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
3.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
106
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
4.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
Sis
tem
a U
nive
rsid
ade
Abe
rta d
o B
rasi
l - U
AB
| I
F S
ul-r
io-g
rand
ense
Unidade D
107
k.
l.
5.
a. arctan(x+2)+C
b.
c.
d.
e. arcsen(2x-1)+C
f.
g.
h.
6.
a. 6u.a.
b.
c.
d. 12u.a.
e.
f. 18u.a.
g. 36u.a.
h. 12u.a.
Fom
ento
ao
Uso
das
Tec
nolo
gias
da
Info
rmaç
ão e
Com
unic
ação
Cálculo I
108
7.
a. u.v.
b. u.v.
c. 2πu.v.
d. u.v.
e. u.v.
f. u.v.
g. u.v.
h. u.v.