instituto de matemticaá e esttístiaca · 0 é comutativa e se v = 0, então, dé uma...

Superderivações e superhomomorsmos

de Jordan e identidades funcionais

Willian Ribeiro Valencia da Silva

Dissertação apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Mestre em Matemática

Programa: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Lucas Rodrigues

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio nanceiro do CNPq.

São Paulo, Agosto de 2015.

Superderivações e superhomomorsmos

de Jordan e identidades funcionais

Esta versão da dissertação contém as correções e alterações sugeridas

pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,

realizada em 12/08/2015. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Rodrigo Lucas Rodrigues - Centro de Ciências-UFC

• Prof. Dr. Henrique Guzzo Junior - IME-USP

• Prof. Dr. Plamen Koshlukov - IMECC-UNICAMP

Agradecimentos

Agradeço a Deus, pela oportunidade de concluir essa dissertação e obter o título de Mestre em

Matemática. A minha mãe Cleonice e a minha irmã Cintia, por todo amor e apoio, e a toda minha

família pelo incentivo. Ao meu orientador Rodrigo, pela paciência innita e pelos bondosos conse-

lhos. Aos meus amigos, que ao longo desses dois anos zeram parte da minha vida, compartilhando

ideias e me tornando uma pessoa melhor. Agradeço também à banca examinadora, e ao CNPq, pelo

apoio nanceiro.

i

Resumo

SILVA, W. R. V. Superderivações e superhomomorsmos de Jordan e identidades funci-

onais. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo,

São Paulo, 2015.

O objetivo dessa dissertação é apresentar a generalização de alguns resultados, válidos para anéis,

para o contexto de superálgebras. Em 1957, I. N. Herstein provou, em [16], que toda derivação de

Jordan em um anel primo de característica diferente de 2 é uma derivação. Em 1988, M. Bre²ar

demonstrou, em [7], que este fato também é válido no caso em que o anel é semiprimo. Nos Capítulos

2 e 3, apresentamos generalizações desses resultados, dadas por M. Fo²ner, em 2003, em [10] e

[11], e que armam que em uma superálgebra associativa prima, cuja parte par é não comutativa,

toda superderivação de Jordan é uma superderivação, e que se A = A0 ⊕ A1 é uma superálgebra

associativa semiprima e D = D0 + D1 é uma superderivação de Jordan, então, existem ideais

graduados U e V de A tais que Di(ux) = Di(u)x + (−1)i|u|uDi(x), i = 0, 1, para todos u ∈ U e

x ∈ A, e [v0, x0] = 0, para quaisquer v0 ∈ V0 e x0 ∈ A0. Além disso, U ∩ V = 0 e U ⊕ V é um ideal

essencial de A, isto é, a interseção de U ⊕ V com qualquer ideal graduado não nulo de A é não

nula. Se U = 0, então, A0 é comutativa e se V = 0, então, D é uma superderivação. Em 1956, I. N.

Herstein mostrou, em [15], que todo homomorsmo de Jordan sobrejetor, de um anel qualquer em

um anel primo de característica diferente de 2 e 3, é um homomorsmo ou um antihomomorsmo, e

em 1957, M. Smiley provou, em [31], o mesmo resultado sem usar a hipótese de que a característica

do anel é diferente de 3. No Capítulo 4, apresentamos a generalização desse resultado dada por

K. Beidar, M. Bre²ar e M. Chebotar, em 2003, em [3], e que arma que todo superhomomorsmo

de Jordan sobrejetor de uma superálgebra associativa qualquer em uma superálgebra associativa

prima, cuja parte par não é comutativa, é um superhomomorsmo ou um superantihomomorsmo.

No Capítulo 5, introduzimos o resultado de W. Baxter e W. Martindale, 3, de 1979, dado em

[25], que arma que se ϕ é um homomorsmo de Jordan sobrejetor de um anel T em um anel

semiprimo R, de característica diferente de 2, então, existe um ideal essencial E de T tal que a

restrição de ϕ a E é a soma direta de um homomorsmo com um antihomomorsmo. Finalmente,

no último capítulo, fazemos uma exposição da teoria de identidades funcionais dada por M. Bre²ar,

M. Chebotar e W. Martindale, 3, em [8], apresentamos a generalização da teoria para superálgebras

dada por Yu Wang [32], em 2011, e ainda um resultado de Yu Wang e Yao Wang [33], de 2014, que

arma que se α é um superhomomorsmo de Jordan de uma superálgebra A em uma superálgebra

unitária Q, tal que α(A) é um subconjunto 4-superlivre de Q, então, α é uma soma direta de um

superhomomorsmo com um superantihomomorsmo. Finalmente, apresentamos uma contribuição

original para a classicação das superderivações de Jordan de grau 0.

Palavras-chave: superderivações, superhomomorsmos, superálgebras, identidades funcionais.

iii

Abstract

SILVA, W. R. V. Jordan superderivations and superhomomorphisms and functional iden-

tities. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo,

São Paulo, 2015.

The goal of this dissertation is to present the generalization of some results, which hold in

rings, for the context of superalgebras. In 1957, I. N. Herstein proved, in [16], that every Jordan

derivation on a prime ring with characteristic not 2 is a derivation. In 1988, M. Bre²ar proved

in [7] that the result still holds when the ring is semiprime. In the Chapters 2 and 3, we present

generalizations for these results, given by M. Fo²ner, in 2003, in [10] and [11], which state that on a

prime associative superalgebra, whose even part is noncommutative, every Jordan superderivation

is a superderivation, and if A = A0⊕A1 is a semiprime associative superalgebra and D = D0 +D1

is a Jordan superderivation, then there exist graded ideals U and V of A such that Di(ux) =

Di(u)x + (−1)i|u|uDi(x), i = 0, 1, for all u ∈ U and x ∈ A, and [v0, x0] = 0, for all v0 ∈ V0 and

x0 ∈ A0. Moreover, U ∩V = 0 and U⊕V is an essential ideal of A, that is, the intersection of U⊕Vand any nonzero graded ideal of A is nonzero. If U = 0, then A0 is commutative and if V = 0, then

D is a superderivation. In 1956, I. N. Herstein proved in [15] that every Jordan homomorphism onto

a prime ring with characteristic not 2 or 3, is either a homomorphism or an antihomomorphism,

and in 1957, M. Smiley proved, in [31], the same result without assuming that the characteristic of

the ring is not 3. In the Chapter 4, we present a generalization of this result given by K. Beidar, M.

Bre²ar and M. Chebotar, in 2003, in [3], which states that every Jordan superhomomorphism from an

associative superalgebra onto a prime associative superalgebra, whose even part is noncommutative,

is either a superhomomorphism or a superantihomomorphism. In Chapter 5, we present a result

given by W. Baxter and W. Martindale, 3rd, in 1979, in [25], which states the if ϕ is a Jordan

homomorphism from a ring T onto a semiprime ring R, with characteristic not 2, then there exists

an essential ideal E of T such that the restriction of ϕ to E is a direct sum of a homomorphism and

an antihomomorphism. Finally, in the last chapter, we present the theory of functional identities

given by M. Bre²ar, M. Chebotar and W. Martindale, 3rd, in [8], we also present the generalization

of the theory for superalgebras given by Yu Wang [32], in 2011, and a result given by Yu Wang and

Yao Wang [33], in 2014, which states that if α is a Jordan superhomomorphism from a superalgebra

A into a unital superalgebra Q, such that α(A) is a 4-superfree subset of Q, then α is a direct sum

of a superhomomorphism and superantihomomorphism. Finally, we present an original contribution

to the classication of the Jordan superderivations of degree 0.

Keywords: superderivations, superhomomorphisms, superalgebras, functional identities.

v

Sumário

Introdução 2

1 Conceitos Preliminares 3

1.1 Anéis e ideais primos e semiprimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Superálgebras primas, semiprimas e ideais graduados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Álgebra de Grassmann, superidentidades e superálgebras de Jordan . . . . . . . . . . 18

1.4 Adjunção de identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Derivações e superderivações de Jordan em anéis e superálgebras primas 21

2.1 Derivações de Jordan em anéis primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Superderivações de Jordan em superálgebras primas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Superderivações de Jordan de grau 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


3 Derivações e superderivações de Jordan em anéis e superálgebras semiprimas 43

3.1 Derivações de Jordan em anéis semiprimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Superderivações de Jordan em superálgebras semiprimas . . . . . . . . . . . . . . . . 45



4 Homomorsmos e superhomomorsmos de Jordan em anéis e superálgebras pri-

mas 65

4.1 Homomorsmos de Jordan sobre anéis primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Superhomomorsmos de Jordan sobre superálgebras primas . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Homomorsmos de Jordan em anéis semiprimos 81

6 Identidades funcionais e superhomomorsmos de Jordan 91

6.1 A teoria de identidades funcionais em anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2 A teoria de identidades funcionais em superálgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.3 Superhomomorsmos de Jordan em superálgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Referências Bibliográcas 133

vii

viii SUMÁRIO

Introdução

Na física de partículas existe o chamado Modelo Padrão que incorpora tudo o que sabemos até

então do mundo material: as partículas de matéria (os férmions, como elétrons, prótons e nêutrons)

e as partículas que transmitem a força entre as partículas de matéria (os bósons, como o fóton,

no caso do eletromagnetismo e o glúon, na força fraca). Alguns teóricos apresentaram a Teoria de

Supersimetria nos anos 70 para ligar esses dois tipos básicos de partículas. A supersimetria inter-

relaciona portanto partículas completamente diferentes: num conjunto de partículas se os estados

quânticos de dois férmions idênticos (por exemplo dois elétrons) são invertidos, o estado quântico

total do conjunto se inverte, a inversão dos estados de dois bósons idênticos, por outro lado, não

altera o estado; essa característica faz com que férmions jamais ocupem o mesmo estado quântico

enquanto que os bósons unem-se prontamente em estados idênticos. Nenhuma simetria simples

existente na física possui essa capacidade, já que essas relacionam necessariamente bósons com

bósons e férmions com férmions. As simetrias simples são descritas matematicamente pelos grupos

e pelas álgebras de Lie, porém elas não são capazes de cancelar ou criar a inversão que ocorre quando

os férmions são invertidos, sendo impotentes em transformar férmions em bósons ou vice-versa.

As transformações supersimétricas atribuem a cada bóson conhecido um superparceiro fermiônico

e a cada férmion um superparceiro bosônico, o que é suciente para a conversão entre férmions e

bósons, a Teoria de Supersimetria utiliza dessa maneira a Teoria das Superálgebras, ou álgebras Z2-

graduadas. As superálgebras e as suas representações fornecem assim uma estrutura algébrica para

a formulação de supersimetria. Essa teoria também representa um papel importante relacionado à

supergeometria, onde são introduzidos conceitos como os de variedades graduadas, supervariedades

e superesquemas. Nas últimas décadas a teoria de superálgebras tem sido um dos campos mais

ativos e férteis em álgebra, muitos resultados sobre esse tema têm sido descobertos por autores

como V. G. Kac, C. Gómez-Ambrosi, C. T. C. Wall, I. P. Shestakov e outros (por exemplo em [12],

[13], [14], [22], [23], [28], [29], [30]). Uma superálgebra A é uma álgebra Z2-graduada, isto é, existem

submódulos A0 e A1 de A tais que A = A0 ⊕A1 e A0A0 ⊆ A0 (e portanto A0 é uma subálgebra

de A), A0A1 ⊆ A1, A1A0 ⊆ A1 e A1A1 ⊆ A0. Dizemos que A0 é a parte par e A1 é a parte ímpar

de A.No contexto das álgebras não necessariamente associativas, as álgebras de Jordan, assim como as

álgebras de Lie, foram as primeiras álgebras não associativas que atraíram a atenção dos matemáti-

cos. As álgebras de Jordan foram introduzidas por Pascual Jordan, físico alemão, em 1933, e tinham

por objetivo formalizar a noção de uma álgebra de observáveis. Em física, mais especicamente física

quântica, um observável é uma propriedade do estado (quântico) de sistema (este estado quântico

é dado por um vetor chamado vetor de estado) que pode ser determinada por alguma sequência de

operações físicas (por exemplo submeter o sistema a vários campos eletromagnéticos). Observáveis

que fazem sentido sicamente devem satisfazer leis de transformação que relacionam observações

1

2 SUMÁRIO 0

feitas por diferentes observadores em diferentes referenciais. Essas leis de transformação são auto-

morsmos. Na interpretação usual de mecânica quântica (o Modelo de Copenhagen, desenvolvido

em 1927 por Niels Bohr e Werner Heisenberg, enquanto trabalhavam juntos em Copenhague) os

observáveis físicos são representados por matrizes hermitianas. As operações básicas de matrizes são

a multiplicação por um escalar complexo, a adição, a multiplicação entre matrizes e a construção da

matriz transposta conjugada complexa (operador adjunto), mas essas operações não são observá-

veis, no sentido de que não necessariamente produzem novas matrizes hermitianas (por exemplo a

multiplicação por escalar só produz uma matriz hermitiana se o escalar for real). Assim as álgebras

de Jordan surgem da busca de um novo conjunto algébrico para a mecânica quântica. Pascual Jor-

dan desejava estudar as propriedades intrínsecas das matrizes hermitianas, a m de transcrevê-las

em propriedades algébricas formais e ver quais outros possíveis sistemas não-matriciais satisfaziam

esses axiomas. Depois de certa experimentação empírica, Jordan decidiu que, apesar de existirem

diversas formas de se combinar duas matrizes hermitianas para se obter outra, todas elas poderiam

ser expressas em termos da quasi-multiplicação x y = 12(xy + yx). O próximo passo da inves-

tigação empírica das propriedades algébricas das matrizes hermitianas, era decidir quais axiomas

ou leis as operações sobre matrizes desse tipo satisfaziam, e Jordan pensou que a lei chave que

governava a quasi-multiplicação, além da óbvia comutatividade, era x2 (y x) = (x2 y)x, a qualchamamos de identidade de Jordan. Assim dene-se álgebra de Jordan como sendo uma álgebra

que é comutativa e satisfaz a identidade de Jordan (com a própria operação da álgebra). A teoria

das álgebras de Jordan tem sido uma área de pesquisa de destaque, com aplicações em diversas

áreas, entre elas as álgebras de Lie, geometria diferencial, geometria projetiva, genética, equações

diferenciais, probabilidade e estatística.

A teoria de identidades funcionais é relativamente nova, ela surgiu da tese de doutorado de

Matej Bre²ar, em 1990, a qual foi acompanhada nos anos seguintes por uma série de artigos nos

quais ele estudou algumas identidades funcionais básicas. A gura central no estabelecimento dos

fundamentos da teoria geral foi Konstantin I. Beidar (1951-2004). A principal motivação para o

desenvolvimento desta teoria foi a procura de ferramentas capazes de responder as conjecturas

de Herstein a repeito dos homomorsmos de Lie e derivações de Lie em anéis associativos, das

quais foram obtidas soluções completas, utilizando-se de praticamente toda a teoria avançada de

identidades funcionais. Contudo, essa teoria encontra conexões em diferentes áreas, por exemplo

em álgebras de Lie, de Jordan e em outras álgebras não associativas, em álgebra linear, na teoria

de operadores, em análise funcional e em física-matemática. Uma identidade funcional pode ser

informalmente descrita como uma identidade envolvendo elementos quaisquer de um anel e funções

que são, a priori, desconhecidas, isto é, os elementos são multiplicados por valores de funções. O

objetivo da teoria geral de identidades funcionais é determinar a forma dessas funções, ou, quando

isto não é possível, determinar a estrutura do anel admitindo a identidade funcional em questão.

Uma parte considerável dos teoremas de I. N. Herstein provados para anéis (álgebras) foi recente-

mente estendida para superálgebras. Nessa dissertação apresentamos algumas generalizações dessas

e de outros autores, que se referem aos conceitos de homomorsmos e derivações de Jordan, e seus

conceitos generalizadores de superhomomorsmos e superderivações de Jordan. Além disso, fazemos

no último capítulo uma exposição da recente Teoria de Identidades Funcionais, conectando ainda

essa teoria aos problemas tratados anteriormente na dissertação, e apresentamos uma contribuição

original para a classicação das superderivações de Jordan de grau 0.

Capítulo 1

Conceitos Preliminares

Neste capítulo apresentamos e discutimos propriedades dos conceitos a serem utilizados ao longo

da dissertação. Também enunciamos e provamos alguns resultados necessários nas demonstrações

dos capítulos seguintes. Dividimos esses conceitos em quatro seções.

1.1 Anéis e ideais primos e semiprimos

Ao longo da dissertação consideraremos que todos os anéis são associativos, caso contrário

diremos explicitamente.

Denição 1.1.1. Um anel A é dito primo se para quaisquer ideais não nulos I, J de A temos que

o seu produto IJ é não nulo.

Exemplo 1.1.1. O anel dos inteiros Z é primo, pois se nZ e mZ são ideais não nulos de Z, então,(nZ)(mZ) = (nm)Z 6= 0.

Exemplo 1.1.2. Se n ∈ Z não é primo podemos escrevê-lo como n = pq, com p e q não nulos e

diferentes de ±1. Assim, considerando o anel das classes de congruência Zn, vemos que os ideais

gerados por p e q são não nulos mas seu produto 〈p〉〈q〉 = 〈n〉 é nulo. Portanto, Zn não é um anel

primo.

Denição 1.1.2. Um ideal P de um anel A é dito primo se dados ideais I, J de A tais que IJ ⊆ Pentão I ⊆ P ou J ⊆ P .

A denição acima de ideal primo equivale a se I, J são ideais de A tais que P ⊆ I, P ⊆ J e

IJ ⊆ P , então, P = I ou P = J. De fato, assuma a primeira denição e considere ideais I, J de

A satisfazendo P ⊆ I, P ⊆ J e IJ ⊆ P , então, I ⊆ P ou J ⊆ P , o que implica I = P ou J = P .

Suponha agora a segunda denição, e sejam I, J ideais de A tais que IJ ⊆ P , então, I +P e J +P

são ideais de A tais que P ⊆ I + P , P ⊆ J + P e (I + P )(J + P ) ⊆ P e, portanto, P = I + P ou

P = J + P , o que por sua vez implica I ⊆ P ou J ⊆ P .Além disso, claramente se P é um ideal primo e temos um número nito I1, I2, . . . , In de ideais

de A tais que I1I2 · · · In ⊆ P , então, existe j ∈ 1, 2, . . . , n tal que Ij ⊆ P .

Proposição 1.1.1. Um ideal P de um anel A é primo se, e somente se, o anel quociente A/P é

um anel primo.

3

4 CONCEITOS PRELIMINARES 1

Demonstração. Assuma que P é um ideal primo de A e sejam U e V ideais de A/P tais que

UV = 0. Considere a projeção natural π : A → A/P . Note π−1(UV ) = π−1(0) = P , o que implica

π−1(U)π−1(V ) ⊆ π−1(UV ) = P . Como P é primo, temos π−1(U) ⊆ P ou π−1(V ) ⊆ P , pois

π−1(U) e π−1(V ) são ideais de A, uma vez que são imagens inversas de ideais por homomorsmo.

Portanto, U = π(π−1(U)) ⊆ π(P ) = 0 ou V = π(π−1(V )) ⊆ π(P ) = 0, pois π é sobrejetora.

Reciprocamente, suponha que A/P é um anel primo. Se I e J são ideais de A tais que IJ ⊆ P ,então π(I)π(J) = π(IJ) ⊆ π(P ) = 0. Assim, como π(I) e π(J) são ideais de A/P , pois π é

sobrejetora, podemos concluir que vale π(I) = 0 ou π(J) = 0, isto é, I ⊆ π−1(0) = P ou J ⊆π−1(0) = P .

Teorema 1.1.1. Se P é um ideal de um anel A, então, as seguintes condições são equivalentes:

(i) P é um ideal primo;

(ii) se a, b ∈ A são tais que aAb ⊆ P , então, a ∈ P ou b ∈ P ;

(iii) se (a) e (b) são ideais principais de A tais que (a)(b) ⊆ P , então, a ∈ P ou b ∈ P ;

(iv) se U e V são ideais à direita de A tais que UV ⊆ P , então, U ⊆ P ou V ⊆ P ;

(v) se U e V são ideais à esquerda de A tais que UV ⊆ P , então, U ⊆ P ou V ⊆ P .

Demonstração. (i)⇒(ii) Se a, b ∈ A são tais que aAb ⊆ P , segue que as inclusões AaAbA ⊆ P e

(AaA)(AbA) ⊆ P são válidas. Desse modo, como AaA e AbA são ideais de A temos AaA ⊆ Pou AbA ⊆ P . Agora, se I = (a) e J = (b) concluímos I3 ⊆ AaA ⊆ P ou J3 ⊆ AbA ⊆ P , o

que implica I ⊆ P ou J ⊆ P , e portanto, a ∈ P ou b ∈ P .

(ii)⇒(iii) Suponha que (a) e (b) sejam ideais principais tais que (a)(b) ⊆ P , então, aAb ⊆ (a)(b) ⊆P . Logo, a ∈ P ou b ∈ P .

(iii)⇒(iv) Suponha que U e V sejam ideais à direita satisfazendo UV ⊆ P . Se U * P , então existe

u ∈ U tal que u /∈ P . Para cada v ∈ V , temos (u)(v) ⊆ UV +AUV ⊆ P o que, pela hipótese,

implica v ∈ P , pois u /∈ P . Consequentemente, V ⊆ P . Portanto, U ⊆ P ou V ⊆ P .

(iii)⇒(v) Sejam U e V ideais à esquerda de A tais que UV ⊆ P . Se U * P , então, existe um

elemento u ∈ U tal que u /∈ P . Desse modo dado v ∈ V , temos (u)(v) ⊆ UV + UV A ⊆ P , o

que implica v ∈ P , pela hipótese, isto é, V ⊆ P . Portanto, U ⊆ P ou V ⊆ P .Finalmente, assumindo (iv) ou (v), temos que se I e J são ideais de A tais que IJ ⊆ P , então,

em particular, I e J são ideais à direita e à esquerda e portanto, I ⊆ P ou J ⊆ P . Logo, P é um

ideal primo.

Proposição 1.1.2. Um anel A é primo se, e somente se, satisfaz a seguinte propriedade:

se a, b ∈ A são tais que aAb = 0, então, a = 0 ou b = 0. (1.1)

Demonstração. Um anel A é primo se, e somente se, A/0 ∼= A é anel primo, se, e somente se, 0 é

ideal primo. Pelo item (ii) do Teorema 1.1.1, sabemos que isso equivale à propriedade (1.1).

Proposição 1.1.3. Seja A um anel primo de característica diferente de 2. Se a, b ∈ A são tais que

arb+ bra = 0, para todo r ∈ A, então, a = 0 ou b = 0.

1 ANÉIS E IDEAIS PRIMOS E SEMIPRIMOS 5

Demonstração. Suponha arb+bra = 0, para todo r ∈ A. Em particular, para r = sat, onde s e t são

quaisquer elementos de A, temos asatb+ bsata = 0. Além disso, asb+ bsa = 0 implica bsa = −asb.Analogamente, também vale atb = −bta. Fazendo essas substituições, obtemos −asbta−asbta = 0,

isto é, 2asbta = 0. Logo, asbta = 0, pois A tem característica diferente de 2, ou seja, aA(bta) = 0.

Desse modo, pela Proposição 1.1.2, segue a = 0 ou bta = 0. Entretanto, no segundo caso, como t é

um elemento qualquer, temos bAa = 0, o que implica b = 0 ou a = 0.

Dado um anel A, denimos [x, y] = xy − yx o comutador de quaisquer dois elementos x, y ∈ A.A seguir, apresentamos duas identidades que serão utilizadas na demonstração do próximo lema.

1. Identidade de Semi-Jacobi: [x, yz] = y[x, z] + [x, y]z;

[x, yz] = xyz − yzx= yxz − yzx+ xyz − yxz= y[x, z] + [x, y]z.

2. Identidade de Jacobi: [x, [y, z]] = [y, [x, z]] + [z, [y, x]].

[y, [x, z]] + [z, [y, x]] = yxz − yzx− xzy + zxy + zyx− zxy − yxz + xyz

= xyz − xzy − yzx+ zyx

= [x, [y, z]].

Lema 1.1.1. Se A é um anel primo tal que

[a, b]2 = 0 (1.2)

para todos a, b ∈ A, então, A é comutativo, e portanto, não possui divisores de zero não nulos.

Demonstração. Linearizando (1.2) em b obtemos [a, b][a, c] + [a, c][a, b] = 0, isto é, [a, b][a, c] =

−[a, c][a, b], para quaisquer a, b, c ∈ A. Usando esta igualdade e (1.2), temos

[a, b][a, d[c, b]][a, b] = −[a, d[c, b]][a, b][a, b] = −[a, d[c, b]][a, b]2 = 0.

Agora, aplicando a identidade de Semi-Jacobi, obtemos

0 = [a, b][a, d[c, b]][a, b]

= [a, b](d[a, [c, b]] + [a, d][c, b])[a, b]

= [a, b]d[a, [c, b]][a, b] + [a, b][a, d][c, b][a, b],

.

Além disso, [a, b][a, d][c, b][a, b] = −[a, d][a, b][c, b][a, b] = [a, d][c, b][a, b]2 = 0, o que implica

[a, b]d[a, [c, b]][a, b] = 0, para todo d ∈ A,

ou seja, [a, b]A([a, [c, b]][a, b]) = 0. Como A é um anel primo, podemos concluir [a, b] = 0 ou

[a, [c, b]][a, b] = 0. Assumindo que ocorre a segunda igualdade, trocando a por b temos [b, [c, a]][b, a] =


0 e portanto, [b, [a, c]][a, b] = 0. Desse modo, pela identidade de Jacobi, segue

[c, [a, b]][a, b] + [a, [b, c]][a, b] = 0.

Entretanto, [a, [b, c]][a, b] = −[a, [c, b]][a, b] = 0, e então, [c, [a, b]][a, b] = 0, ou seja, 0 = c[a, b]2 −[a, b]c[a, b] = −[a, b]c[a, b], para todo c ∈ A, isto é, [a, b]A[a, b] = 0, e novamente concluímos [a, b] =

0. Portanto [a, b] = 0, para todos a, b ∈ A, ou seja, A é comutativo. Agora, se a ∈ A é tal que existe

0 6= b ∈ A tal que ab = 0, então, como A é comutativo, temos axb = abx = 0, para todo x ∈ A, istoé, aAb = 0, o que implica a = 0, pois b 6= 0.

Denição 1.1.3. Um subconjunto M de A é um m-sistema se satisfaz a seguinte propriedade:

se a, b ∈M , então, existe x ∈ A tal que axb ∈M .

Lema 1.1.2. Um ideal P de um anel A é primo se, e somente se, C(P ), o complementar de P em

A, é um m-sistema.

Demonstração. Assuma que P é um ideal primo, então, pelo Teorema 1.1.1, temos que se a, b ∈ Asão elementos tais que aAb ⊆ P , então, a ∈ P ou b ∈ P , e a recíproca também é válida. Sejam

a, b ∈ C(P ), isto é, a, b /∈ P e portanto, aAb * P . Assim, existe x ∈ A tal que axb /∈ P , ou seja,

axb ∈ C(P ). Reciprocamente, assuma que C(P ) é um m-sistema e sejam a, b ∈ A tais que aAb ⊆ P .Se a /∈ P e b /∈ P , então, existe x ∈ A tal que axb /∈ P , o que é uma contradição. Portanto, a ∈ Pou b ∈ P e podemos concluir que P é primo.

Denição 1.1.4. O radical primo, B(I), de um ideal I de um anel A é o conjunto

B(I) = a ∈ A | se M é um m-sistema de A tal que a ∈M , então, M ∩ I 6= ∅.

Segue, dessa denição, que I e B(I) estão contidos nos mesmos ideais primos. Claramente, se

P é um ideal primo de A que contém B(I), então, I ⊆ P , pois I ⊆ B(I). Agora, sejam P um

ideal primo de A que contém I e a ∈ B(I). Se a /∈ P , então, a ∈ C(P ), o qual é um m-sistema, e

portanto C(P ) ∩ I 6= ∅, pela denição de B(I), o que é uma contradição, pois I ⊆ P . Logo, a ∈ Pe B(I) ⊆ P . Além disso, para um elemento qualquer a ∈ A, o conjunto D = ai | i = 1, 2, 3, . . . éfechado pela multiplicação e assim, é um m-sistema (note que se ai, aj ∈ D, então, a ∈ A é tal que

aiaaj = ai+j+1 ∈ D). Desse modo, se a ∈ B(I), então, existe um inteiro positivo n tal que an ∈ I.Com essas observações podemos provar mais alguns resultados.

Teorema 1.1.2. Se I é um ideal de um anel A, então, o radical primo de I, B(I), coincide com a

interseção de todos os ideais primos de A que contêm I.

Demonstração. Seja Pα | α ∈ Λ o conjunto de todos os ideais primos de A que contêm I. Pelas

observações anteriores, temos B(I) ⊆⋂α

Pα. Agora, suponha que a ∈ A seja tal que a /∈ B(I),

então, existe um m-sistema M de A satisfazendo a ∈M e M ∩ I = ∅. Consideremos o conjunto

Ω = K ideal de A tal que I ⊆ K e M ∩K = ∅.

Observe Ω 6= ∅, pois I ∈ Ω; e ordenando parcialmente Ω com a inclusão de conjuntos verica-se

facilmente que toda cadeia de Ω admite cota superior. Portanto, pelo Lema de Zorn, Ω possui um


elemento maximal P . Claramente a /∈ P , pois a ∈ M e M ∩ P = ∅. Vamos provar que P é primo

usando a contrapositiva do item (iii) do Teorema 1.1.1. Suponha que x, y ∈ A são elementos tais

que x /∈ P e y /∈ P . Como P é maximal em Ω, e P está contido propriamente nos ideais P + (x) e

P+(y), temosM∩(P+(x)) 6= ∅ 6= M∩(P+(y)). Assim, sem1 ∈M∩(P+(x)) em2 ∈M∩(P+(y)),

então, existe b ∈ A tal que m1bm2 ∈ M , e m1bm2 ∈ (P + (x))(P + (y)), pois M é um m-sistema.

Se supossemos (x)(y) ⊆ P , teríamos (P + (x))(P + (y)) ⊆ P , e então, m1bm2 ∈ P , o que seria uma

contradição com o fato de que vale M ∩ P = ∅. Portanto, (x)(y) * P e P é um ideal primo.

Desse modo, provamos que P é um ideal primo de A que contém I e a /∈ P , o que implica

a /∈⋂α

Pα. Logo,⋂α

Pα ⊆ B(I).

Denição 1.1.5. Um anel A é semiprimo se não possui ideais nilpotentes não nulos.

Exemplo 1.1.3. Todo anel primo é semiprimo.

Um anel semiprimo A possui a seguinte propriedade: existe uma família de ideais primos de A,

Qα | α ∈ Λ tal que⋂α

Qα = 0. A m de provar esta propriedade precisamos de alguns resultados

preliminares.

Denição 1.1.6. Um ideal Q de um anel A é semiprimo se satisfaz a seguinte propriedade:

se I é um ideal de A tal que I2 ⊆ Q, então, I ⊆ Q.

Desse modo, claramente todo ideal primo também é semiprimo. Além disso, qualquer interseção

de ideais semiprimos é um ideal semiprimo. De fato, se Qβ | β ∈ Ψ é uma família de ideais

semiprimos de A e I um ideal de A tal que I2 ⊆⋂β

Qβ , então, para todo β ∈ Ψ, temos I2 ⊆ Qβ

e portanto, I ⊆ Qβ , isto é, I ⊆⋂β

Qβ . Observe também que a denição de ideal semiprimo dada

acima é equivalente a se I é um ideal de A tal que In ⊆ Q, para algum n ∈ N, então, I ⊆ Q.

Proposição 1.1.4. Um ideal Q de um anel A é semiprimo se, e somente se, o anel quociente A/Qnão contém ideais nilpotentes não nulos, isto é, A/Q é um anel semiprimo.

Demonstração. Assuma que Q é um ideal semiprimo de A e seja U um ideal nilpotente de A/Q.Assim, existe n ∈ N tal que Un = 0. Considere a projeção natural π : A → A/Q. Desse modo,

π−1(Un) = π−1(0) = Q e segue π−1(U)n ⊆ π−1(Un) = Q, pois se x ∈ π−1(U)n, então, x =∑i

xi1 . . . xin, onde x

ij ∈ π−1(U), o que implica π(x) =

∑i

π(xi1) . . . π(xin) ∈ Un. Como Q é semi-

primo, temos π−1(U) ∈ Q e portanto, podemos concluir U = π(π−1(U)) ⊆ π(Q) = 0, pois π é

sobrejetora. Reciprocamente, suponha que A/Q é um anel semiprimo e que I é um ideal de A tal

que I2 ⊆ Q. Neste caso, π(I)2 ⊆ π(I2) ⊆ π(Q) = 0, e como π é sobrejetora, segue que π(I) é um

ideal de A/Q. Portanto, por hipótese, concluímos π(I) = 0 e I ⊆ π−1(0) = Q.

Teorema 1.1.3. Se Q é um ideal de um anel A, então, as seguintes condições são equivalentes:

(i) Q é um ideal semiprimo;

(ii) se a ∈ A é tal que aAa ⊆ Q, então, a ∈ Q;


(iii) se (a) é um ideal principal de A tal que (a)2 ⊆ Q, então, a ∈ Q;

(iv) se U é um ideal à direita de A tal que U2 ⊆ Q, então, U ⊆ Q;

(v) se U é um ideal à esquerda de A tal que U2 ⊆ Q, então, U ⊆ Q.

Demonstração. (i)⇒(ii) Se a ∈ A é tal que aAa ⊆ Q, então, AaAaA ⊆ Q e (AaA)(AaA) ⊆ Q.Assim, como AaA é um ideal de A, temos AaA ⊆ Q. Agora, se I = (a), concluímos que valem

I3 ⊆ AaA ⊆ Q, o que implica I ⊆ Q. Portanto, a ∈ Q.

(ii)⇒(iii) Suponha que (a) seja um ideal principal tal que (a)2 ⊆ Q. Desse modo, aAa ⊆ (a)2 ⊆ Qe portanto, a ∈ Q.

(iii)⇒(iv) Se U é um ideal à direita satisfazendo U2 ⊆ Q e u ∈ U , temos (u)2 ⊆ U2 +AU2 ⊆ Q o

que, por hipótese, implica u ∈ Q, de onde segue U ⊆ Q.

(iii)⇒(v) Se U é um ideal à esquerda de A tal que U2 ⊆ Q e u ∈ U , então, (u)2 ⊆ U2 +U2A ⊆ Q,o que implica u ∈ Q, por hipótese. Portanto, U ⊆ Q.

Finalmente, assumindo (iv) ou (v), temos que se I é um ideal de A tal que I2 ⊆ Q, então, emparticular, I é um ideal à direita e à esquerda. Portanto, I ⊆ Q, e podemos concluir que Q é ideal

semiprimo.

Proposição 1.1.5. Um anel A é semiprimo se, e somente se, satisfaz a seguinte propriedade:

se a ∈ A é um elemento tal que aAa = 0, então, a = 0. (1.3)

Demonstração. Um anel A é semiprimo se, e somente se, A/0 ∼= A é um anel semiprimo, se, e

somente se, 0 é um ideal semiprimo, o que equivale à propriedade de (1.3), pelo Teorema 1.1.3.

Denição 1.1.7. Um subconjunto N de um anel A é um n-sistema se satisfaz a seguinte propri-

edade:

se a ∈ N , então, existe x ∈ A tal que axa ∈ N .

Claramente todo m-sistema de A também é um n-sistema.

Lema 1.1.3. Um ideal Q é um ideal semiprimo de um anel A se, e somente se, C(Q), o comple-

mentar de Q em A, é um n-sistema.

Demonstração. Suponha que Q é um ideal semiprimo. Pelo Teorema 2.2.1, temos que se a ∈ A é

um elemento tal que aAa ⊆ Q, então, a ∈ Q. Assim, se a ∈ C(Q), isto é, a /∈ Q, temos aAa * Q.Desse modo, existe x ∈ A tal que axa /∈ Q, ou seja, axa ∈ C(Q). Reciprocamente, assuma que

C(Q) é um n-sistema e seja a ∈ A tal que aAa ⊆ Q. Se a /∈ Q, então, existe x ∈ A tal que axa /∈ Q,o que é uma contradição. Logo, a ∈ Q e Q é um ideal semiprimo.

Lema 1.1.4. Se N é um n-sistema de um anel A e a ∈ N , então, existe um m-sistema M de A tal

que a ∈M e M ⊆ N .

Demonstração. Vamos construir um m-sistema M = a1, a2, a3, . . .. Inicialmente, seja a1 = a.

Como a1 ∈ N , então, a1Aa1∩N 6= ∅. Assim, seja a2 um elemento qualquer de a1Aa1∩N . De modo

geral, se ai foi denido, como ai ∈ N , podemos escolher ai+1 como um elemento de aiAai ∩N 6= ∅.


Portanto, a ∈M e M ⊆ N . Desse modo, somente falta mostrar que M é um m-sistema. Para isso,

sejam ai, aj ∈M . Assumindo, sem perda de generalidade, i ≤ j, temos aj+1 ∈ ajAaj ⊆ aiAaj , istoé, aj+1 ∈ aiAaj ∩M 6= ∅.

Vamos usar agora os resultados provados para o radical primo de um ideal de um anel A.

Teorema 1.1.4. Um ideal Q de um anel A é semiprimo se, e somente se, B(Q) = Q.

Demonstração. Se B(Q) = Q, então, Q é uma interseção de ideais primos e consequentemente, é

uma interseção de ideais semiprimos, o que implica que Q é semiprimo. Reciprocamente, assuma

que Q é semiprimo. Claramente, Q ⊆ B(Q). Suponha que esta inclusão seja estrita e tome a ∈ B(Q)

tal que a /∈ Q. Assim, C(Q) é um n-sistema e a ∈ C(Q), logo existeM um m-sistema tal que a ∈Me M ⊆ C(Q). Como a ∈ B(Q), temos também M ∩Q 6= ∅, o que é uma contradição com a inclusão

M ⊆ C(Q). Portanto, Q = B(Q).

Corolário 1.1.1. Um ideal Q de um anel A é semiprimo se, e somente se, Q é uma interseção de

ideais primos de A.

Agora, facilmente concluímos o resultado que queríamos. Se A é um anel semiprimo, então,

A/0 ∼= A é semiprimo, e portanto, 0 é um ideal semiprimo de A. Desse modo, 0 é uma interseção

de ideais primos de A (0 = B(0)).

Denição 1.1.8. O centro de um anel A é o conjunto

Z(A) = x ∈ A | xa = ax, para todo a ∈ A .

Os seguintes lemas desempenham um papel importante no quarto capítulo.

Lema 1.1.5. Se A é um anel semiprimo e a ∈ A é um elemento nilpotente pertencente a Z(A),

então, a = 0. Em outras palavras, o centro de A não contém elementos nilpotentes não nulos.

Demonstração. Seja n o índice de nilpotência de a, isto é, an = 0 e an−1 6= 0. Se n > 1, então, para

qualquer x ∈ A, temos an−1xan−1 = anxan−2 = 0, pois a ∈ Z(A), o que implica an−1 = 0, pois A

é semiprimo; o que é uma contradição. Portanto, n = 1 e a = 0.

Lema 1.1.6. Sejam A um anel semiprimo de característica diferente de 2 e a, b ∈ A. Se

axb+ bxa = 0, para todo x ∈ A, (1.4)

então, axb = bxa = 0, para todo x ∈ A.

Demonstração. Sejam x e y elementos quaisquer de A. Pela equação (1.4), temos axb = −bxa e

ayb = −bya. Usando essas relações repetidas vezes, obtemos

(axb)y(axb) = −[b(xay)a]xb = ax(ayb)xb = −(axb)y(axb).

Assim, 2(axb)y(axb) = 0, o que resulta em (axb)y(axb) = 0, pois a característica de A é

diferente de 2. Logo, como y é qualquer e A é semiprimo, podemos concluir que valem axb = 0, e

bxa = −axb = 0, para todo x ∈ A, como queríamos.


Lema 1.1.7. Se A é um anel semiprimo de característica diferente de 2 e a ∈ A um elemento tal

que [a, [a, x]] = 0, para todo x ∈ A, então, a ∈ Z(A).

Demonstração. Seja d : A→ A uma função tal que d(x) = xa− ax, para todo x ∈ A. Assim,

d(x+ y) = (x+ y)a− a(x+ y) = (xa− ax) + (ya− ay) = d(x) + d(y) e

d(xy) = (xy)a− a(xy) = (xa)y − (ax)y + x(ya)− x(ay) = d(x)y + xd(y),

para todos x, y ∈ A, o que quer dizer que d é uma derivação, como poderá ser visto no próximo

capítulo. Além disso,

d2(x) = d(d(x)) = d(xa− ax) = (xa− ax)a− a(xa− ax) = [a, [a, x]] = 0,

para todo x ∈ A, o que implica

0 = d2(xy) = d(d(xy)) = d(d(x)y + xd(y))

= d(d(x)y) + d(xd(y))

= d2(x)y + d(x)d(y) + d(x)d(y) + xd2(y)

= 2d(x)d(y).

Portanto, d(x)d(y) = 0, para todos x, y ∈ A, pois a característica de A é diferente de 2.

Agora, escolhendo y = rx, onde r ∈ A, temos d(y) = d(r)x + rd(x), e assim, 0 = d(x)d(rx) =

d(x)[d(r)x + rd(x)] = d(x)rd(x), pois d(x)d(r) = 0. Desse modo, d(x)Ad(x) = 0, e como A é

semiprimo, podemos concluir d(x) = 0, para todo x ∈ A, ou seja, xa − ax = 0, para todo x ∈ A.Logo, a ∈ Z(A).

1.2 Superálgebras primas, semiprimas e ideais graduados

Ao longo de toda a dissertação, entendemos álgebra como álgebra sobre um anel comutativo Φ

com identidade e tal que 12 ∈ Φ, caso contrário diremos explicitamente.

Denição 1.2.1. Uma superálgebra A é uma álgebra Z2-graduada, isto é, existem submódulos A0

e A1 de A tais que A = A0⊕A1 e A0A0 ⊆ A0 (e portanto, A0 é uma subálgebra de A), A0A1 ⊆ A1,

A1A0 ⊆ A1 e A1A1 ⊆ A0.

Dizemos que A0 é a parte par e A1 é a parte ímpar de A. Quando A1 = 0, a superálgebra A é

chamada de trivial. Se a ∈ Ai, i = 0 ou i = 1, então, a é dito um elemento homogêneo de grau i e

denotamos |a| = i. Uma superálgebra associativa é uma álgebra associativa Z2-graduada.

Um submódulo (ideal) B de A é dito um submódulo (ideal) graduado se B = B0 ⊕ B1, onde

Bi = B ∩ Ai, i = 0, 1.

Dada uma superálgebra A = A0 ⊕ A1, temos que a aplicação σ : A → A tal que σ(a0 + a1) =

a0 − a1 é um automorsmo de A satisfazendo σ2 = id. Reciprocamente, dada uma álgebra A e um

automorsmo σ de A tal que σ2 = id, podemos munir A de uma Z2-graduação da seguinte maneira:

denimos A0= a ∈ A | σ(a) = a e A1= a ∈ A | σ(a) = −a, então, A0 e A1 são submódulos de

A satisfazendo as condições da Denição 1.2.1. Com efeito, para qualquer elemento a de A, podemos

1 SUPERÁLGEBRAS PRIMAS, SEMIPRIMAS E IDEAIS GRADUADOS 11

escrever a = a+σ(a)2 + a−σ(a)

2 . Desse modo, é possível caracterizar a Z2-graduação pelo automorsmo

σ.

Exemplo 1.2.1. Sejam A uma álgebra e c ∈ A um elemento invertível tal que c2 ∈ Z(A). Dena

σ : A → A por σ(a) = cac−1, para todo a ∈ A. Assim, σ é um automorsmo de A tal que

σ2(a) = σ(cac−1) = c2ac−2 = ac2c−2 = id(a), para todo a ∈ A, o que nos permite concluir que

A = A0 ⊕A1 é superálgebra, onde A0 = a ∈ A | ca = ac e A1 = a ∈ A | ca = −ac.

Exemplo 1.2.2. Seja A = A × A, onde A é uma álgebra. Considerando σ : A → A tal que

σ(a, b) = (b, a), para todo (a, b) ∈ A, temos que σ é um automorsmo de A, tal que σ2 = id.

Portanto, A = A0 ⊕A1 é uma superálgebra, onde A0 = (a, a) | a ∈ A e A1 = (a,−a) | a ∈ A.Neste caso, dizemos que a superálgebra é dada pelo automorsmo de troca.

Lema 1.2.1. Um submódulo B de uma superálgebra A é graduado se, e somente se, σ(B) = B.

Demonstração. (⇒) Seja B seja um submódulo graduado de A, isto é, B = B0 ⊕ B1, onde Bi =

B ∩ Ai, i = 0, 1. Dado b ∈ B, temos σ(b) = σ(b0 + b1) = b0 − b1 ∈ B, pois b0 ∈ B0 e b1 ∈ B1

e B é um submódulo. Além disso, b = id(b) = σ2(b) = σ(σ(b)) ∈ σ(B), isto é, B ⊆ σ(B).

Finalmente, se b ∈ σ(B), então, b = σ(b), com b ∈ B, e portanto, pelos mesmos argumentos,

b ∈ B. Portanto, σ(B) = B.

(⇐) Suponha σ(B) = B. Dado b ∈ B ⊆ A, podemos escrever b = b0 + b1, onde bi ∈ Ai, i = 0, 1.

Assim, σ(b) = b0 − b1 ∈ B. Como B é submódulo, temos b + σ(b) = 2b0 ∈ B, o que implica

b0 ∈ B e b − σ(b) = 2b1 ∈ B. Portanto, b1 ∈ B. Desse modo, bi ∈ B ∩ Ai, i = 0, 1, isto é,

B = B0 ⊕ B1.

Exemplo 1.2.3. O centro de uma superálgebra associativa A, Z(A), é um submódulo graduado

de A. De fato, dado σ(a) ∈ σ(Z(A)), para cada b ∈ A, sendo σ um automorsmo, existe um

b ∈ A tal que σ(b) = b. Assim, σ(a)b = σ(a)σ(b) = σ(ab) = σ(ba) = σ(b)σ(a) = bσ(a), isto é,

σ(Z(A)) ⊆ Z(A). Por outro lado, se a ∈ Z(A), então, existe um a ∈ A tal que σ(a) = a, mas

σ(ab) = σ(a)σ(b) = aσ(b) = σ(b)a = σ(b)σ(a) = σ(ba),

implica ab = ba, para todo b ∈ A, pois σ é injetora. Desse modo, a ∈ Z(A) e consequentemente,

a ∈ σ(Z(A)) e Z(A) ⊆ σ(Z(A)).

Denição 1.2.2. Uma superálgebra A é uma superálgebra prima se o produto de quaisquer

dois ideais graduados não nulos de A é um ideal não nulo.

É importante observar que uma superálgebra prima não é necessariamente uma álgebra prima.

Exemplo 1.2.4. Se na superálgebra A dada no Exemplo 1.2.2, A é uma álgebra prima, então, A é

uma superálgebra prima, mas não é uma álgebra prima. De fato, (0×A)(A× 0) = 0, 0×A e A× 0

são não nulos, mas não são graduados, pois σ(0×A) = A× 0 e σ(A× 0) = 0×A.

Lema 1.2.2. Uma superálgebra associativa A é uma superálgebra prima se, e somente se, satisfaz

a seguinte propriedade:

se a, b ∈ A são elementos homogêneos de A tais que aAb = 0, então, a = 0 ou b = 0.


Demonstração. Sejam A uma superálgebra associativa prima e a, b ∈ A0 ∪ A1 tais que aAb = 0.

Vamos supor, sem perda de generalidade, a = a0 ∈ A0 e b = b1 ∈ A1, pois os outros casos seguem

de maneira análoga. Observe que vale (Aa0A)(Ab1A) ⊆ A(a0Ab1)A = 0, isto é, Aa0A e Ab1Asão ideais de A tais que seu produto é nulo. Além disso, estes ideais são graduados. Com efeito, se

xa0y ∈ Aa0A, então,

σ(xa0y) = σ(x0a0y0 + x1a0y1 + x0a0y1 + x1a0y0)

= x0a0y0 + x1a0y1 − x0a0y1 − x1a0y0

= σ(x)a0y0 + σ(x)a0(−y1)

= σ(x)a0σ(y) ∈ Aa0A,

onde σ é o automorsmo denido pela Z2-graduação de A; o que prova σ(Aa0A) ⊆ Aa0A. Assim,

aplicando σ nesta última inclusão, segueAa0A ⊆ σ(Aa0A), pois σ2 = id. Do mesmo modo, podemos

provar que Ab1A é graduado. Como A é uma superálgebra prima, concluímos que vale Aa0A = 0

ou Ab1A = 0. Agora, sejam I = ideal 〈a0〉 e J = ideal 〈b1〉 os ideais de A gerados por a0 e b1,

respectivamente. Desse modo, I3 ⊆ Aa0A e J3 ⊆ Ab1A, e portanto, I3 = 0 ou J3 = 0, o que

novamente pela hipótese de A ser prima implica I = 0 ou J = 0. Logo, a0 = 0 ou b1 = 0.

Reciprocamente, suponha que A satisfaz a propriedade inicial. Sejam I e J ideais graduados de

A tais que IJ = 0 e suponha I 6= 0. Desse modo, existe 0 6= x = x0 + x1 ∈ I. Podemos admitir,

sem perda de generalidade, x0 6= 0. Como I é graduado, temos σ(I) = I e portanto,

0 6= x0 =1

2(x+ σ(x)) ∈ I.

Assim, para todo y ∈ J , temos x0y = 0, o que implica x0Ay = 0, pois J é ideal. Em particular,

para y0 ∈ J0 = J ∩ A0, segue x0Ay0 = 0 e pela propriedade inicial, concluímos y0 = 0. Analoga-

mente, para y1 ∈ J1 = J ∩A1, temos x0Ay1 = 0, o que implica y1 = 0. Logo, J = J0⊕ J1 = 0, pois

J é graduado. Portanto, A é uma superálgebra prima.

Denição 1.2.3. Uma superálgebra A é uma superálgebra semiprima se não possui ideais

graduados nilpotentes não nulos.

Em analogia ao Lema 1.2.2, temos o seguinte

Lema 1.2.3. Uma superálgebra associativa A é uma superálgebra semiprima se, e somente se,

satisfaz a seguinte propriedade:

se a ∈ A é um elemento homogêneo tal que aAa = 0, então, a = 0.

Demonstração. Sejam A uma superálgebra associativa semiprima e a ∈ A0 ∪ A1 tal que aAa =

0. Vamos supor, sem perda de generalidade, a = a0 ∈ A0. Note que vale (Aa0A)(Aa0A) ⊆A(a0Aa0)A = 0, isto é, Aa0A é um ideal nilpotente de A. De fato, este ideal é graduado e como

A é uma superálgebra semiprima, segue Aa0A = 0. Denindo agora I = ideal 〈a0〉, o ideal de Agerado por a0, temos I3 ⊆ Aa0A = 0, o que implica I = 0, ou seja, a0 = 0.

Reciprocamente, assuma que A satisfaz a propriedade inicial. É suciente mostrar que A não

possui ideais graduados não nulos cujo quadrado é nulo. Desse modo, considere I um ideal graduado

de A tal que I2 = 0. Para x0 ∈ I0 = I ∩ A0, temos x0Ax0 ⊆ I2 = 0 e portanto, x0 = 0.


Analogamente, se x1 ∈ I1 = I ∩ A1, então, x1Ax1 ⊆ I2 = 0, o que implica x1 = 0. Como I é

graduado, segue I = I0 ⊕ I1 = 0. Logo, A é uma superálgebra semiprima.

Portanto, toda superálgebra prima é uma superálgebra semiprima. O próximo lema conecta

as estruturas de superálgebra prima e de álgebra prima.

Lema 1.2.4. Seja A = A0 ⊕ A1 uma superálgebra associativa. Se A é superálgebra semiprima,

então, A e A0 são álgebras semiprimas. Se A é superálgebra prima, então, A é álgebra prima ou

A0 é álgebra prima.

Demonstração. Suponha que A é superálgebra semiprima. Seja σ o automorsmo de A denido

pela Z2-graduação da superálgebra, isto é, σ(a0 +a1) = a0−a1, para todo a0 +a1 ∈ A, e seja I umideal de A tal que I2 = 0. Armamos que I∩σ(I) é um ideal graduado de A tal que (I∩σ(I))2 = 0.

De fato,

• I ∩ σ(I) é ideal, pois como σ é um automorsmo temos que σ(I) é ideal;

• se a ∈ I ∩ σ(I), então, a ∈ I e a = σ(b), para algum b ∈ I, o que implica σ(a) = σ2(b) = b ∈σ(I), ou seja, a ∈ σ(I ∩ σ(I)); além disso, se a ∈ σ(I ∩ σ(I)), então, a = σ(b), para algum

b ∈ I ∩ σ(I), o que implica a ∈ σ(I) e a = σ(b) = σ(σ(c)) = c ∈ I, isto é, a ∈ I;

• como I ∩ σ(I) ⊆ I e I2 = 0, temos (I ∩ σ(I))2 = 0.

Além disso, como A é uma superálgebra semiprima e I ∩ σ(I) é um ideal graduado nilpotente,

temos I ∩ σ(I) = 0. Consequentemente,

Iσ(I) ⊆ I ∩ σ(I) = 0 implica Iσ(I) = 0,

σ(I)I ⊆ I ∩ σ(I) = 0 implica σ(I)I = 0.

Sejam a, b ∈ I+σ(I), a = a1+a2 e b = b1+b2, onde a1, b1 ∈ I e a2, b2 ∈ σ(I). Desse modo, temos

a1b2 = 0 e a2b1 = 0. Assim, ab = a1b1 + a1b2 + a2b1 + a2b2 = a1b1 + a2b2 = 0, pois a1b1 ∈ I2 = 0

e a2b2 ∈ σ(I)2 = σ(I2) = 0. Consequentemente, (I + σ(I))2 = 0; e como σ2 = id, este último é um

ideal graduado de A, e segue I+σ(I) = 0. Portanto, podemos concluir I = 0, pois I ⊆ I+σ(I) = 0.

Logo, A é uma álgebra semiprima.

Prosseguindo, seja I um ideal de A0 tal que I2 = 0. Se x1, y1 ∈ A1 e a, b, c ∈ I ⊆ A0, temos

ax1by1c = a(x1by1)c ∈ IA0I, o que implica IA1IA1I ⊆ IA0I ⊆ I2 = 0, isto é, IA1IA1I = 0.

Agora, considere J o ideal de A gerado por I, o qual podemos descrever como

J = AI + IA+AIA+ ΦI + ZI,

e então, das igualdades I2 = 0 e IA1IA1I = 0, concluímos J3 = 0, e consequentemente, J = 0, o

que implica I = 0. Portanto, A0 é uma álgebra semiprima.

Suponha agora que A é superálgebra prima e que A não é álgebra prima, então, podemos tomar

um ideal maximal P com respeito à propriedade P ∩ σ(P ) = 0. De fato, basta denir o conjunto

Ω = I ideal de A | I ∩ σ(I) = 0 ordenado parcialmente pela inclusão de conjuntos e aplicar o

Lema de Zorn. Note que P é um ideal não nulo. Com efeito, como A não é uma álgebra prima,


existem ideais I e J não nulos de A tais que IJ = 0, o que implica que os ideais graduados I ∩σ(I)

e J ∩ σ(J) satisfazem (I ∩ σ(I))(J ∩ σ(J)) = 0, e, assim, I ∩ σ(I) = 0 ou J ∩ σ(J) = 0, isto é,

0 6= I ∈ Ω ou 0 6= J ∈ Ω. Além disso, o ideal P é primo. De fato, se I e J são ideais de A tais

que P ⊆ I, P ⊆ J e IJ ⊆ P , então, I ∩ σ(I) e J ∩ σ(J) são ideais graduados de A tais que

(I ∩σ(I))(J ∩σ(J)) ⊆ P ∩σ(P ) = 0, o que implica I ∩σ(I) = 0 ou J ∩σ(J) = 0, ou seja, I ∈ Ω ou

J ∈ Ω, pois A é superálgebra prima. Assim, pela maximalidade de P concluímos P = I ou P = J .

Portanto, P é um ideal primo. Se R = P + σ(P ), então, σ(R) = R e

R/P = P + σ(P )/P ∼= σ(P )/P ∩ σ(P ) ∼= σ(P ),

R/σ(P ) = P + σ(P )/σ(P ) ∼= P/P ∩ σ(P ) ∼= P,

isto é, R ∼= R/P ⊕ R/σ(P ). Assim, como R/σ(P ) ∼= R/P , podemos concluir R ∼= R/P ⊕ R/P .Munindo R da Z2-graduação denida pelo automorsmo de troca, como no Exemplo 1.2.2, vemos

que R0∼= R/P é primo, pois R/P ∼= R/σ(P ) ∼= P é primo. Desse modo, seja I um ideal de A0 tal

que I ∩R0 = 0, então, para todo x ∈ P , temos I(x+ σ(x)) = 0, pois R 3 x+ σ(x) = 2x0 ∈ A0, ou

seja, x + σ(x) ∈ R0. Portanto, IP = Iσ(P ) ⊆ P ∩ σ(P ) = 0, o que implica IR = 0. Assim, como

I ⊆ A0 e R são ideais graduados, A é superálgebra prima, e R 6= 0, pois 0 6= P ⊆ R, podemos

concluir I = 0. Provamos que se I é um ideal não nulo de A0, então, como I ∩ R0 6= 0, segue que

A0 é uma álgebra prima, pois R0 é uma álgebra prima. De fato, se I, J são ideais de A0 tais que

IJ = 0, então, IJ ∩ R0 = 0, o que implica (I ∩ R0)(J ∩ R0) ⊆ IJ = 0, de onde segue I ∩ R0 = 0

ou J ∩R0 = 0, pois I ∩R0 e J ∩R0 são ideais de R0; e consequentemente, I = 0 ou J = 0.

Os seguintes lemas serão usados nas demonstrações dos próximos capítulos.

Lema 1.2.5. Seja A = A0 ⊕ A1 uma superálgebra associativa prima. As seguintes condições são

válidas:

(1) Se a1 ∈ A1 é tal que a1A1a1 = 0, então, a1 = 0;

(2) Se a0 ∈ A0 e a1 ∈ A1 são tais que a0A0a1 = a1A0a0 = 0 ou a0A1a1 = a1A1a0 = 0, então,

a0 = 0 ou a1 = 0.

Demonstração. (1) Dados b = b0 + b1 e c = c0 + c1 elementos quaisquer de A, temos

a1ba1ca1 = a1(b0a1c0)a1 + a1b0(a1c1a1) + (a1b1a1)ca1 = 0,

pois a1A1a1 = 0. Desse modo, a1Aa1Aa1 = 0, o que implica a1 = 0, pelo fato que A é uma

superálgebra prima.

(2) Se a0A0a1 = a1A0a0 = 0, então, (a0A1a1)A0(a0A1a1) = 0. Em decorrência do Lema 1.2.4,

como A0 é uma álgebra semiprima, temos a0A1a1 = 0, de onde segue a0Aa1 = 0, o que

implica a0 = 0 ou a1 = 0, pois A é uma superálgebra prima. Por outro lado, supondo

a0A1a1 = a1A1a0 = 0, vale (a0A0a1A1a0)A0(a0A0a1A1a0) = 0, o que implica a0A0a1A1a0 =

0 e consequentemente, (a0A0a1)A1(a0A0a1) = 0. Desse modo, como a0A0a1 ⊆ A1, por (1),

segue a0A0a1 = 0, que juntamente com a hipótese a0A1a1 = 0 nos permite concluir a0 = 0

ou a1 = 0.


Lema 1.2.6. Seja A uma superálgebra associativa prima cuja parte par A0 é comutativa. As

seguintes armações são válidas:

(1) Se [A0,A1] = 0, então, A é comutativa;

(2) Se a0 ∈ A0 e 0 6= a1 ∈ A1 são tais que [a0, a1] = 0, então, a0 ∈ Z(A). Em particular, se

[A0, a1] = 0, então, A é comutativa.

(3) Se 0 6= a1 ∈ A1 é tal que [a1,A1] = 0, então, A é comutativa.

Demonstração. (1) Note que como A0 é comutativa e [A0,A1] = 0, basta provar que A1 é

comutativa. Dados x1, y1 ∈ A1, como y1x1 ∈ A0, por hipótese temos 0 = [x1, y1x1] =

x1y1x1 − y1x1x1 = (x1y1 − y1x1)x1 = [x1, y1]x1. Assim, para a0 ∈ A0, usando [x1, y1] ∈ A0,

obtemos que as igualdades [x1, y1]a0x1 = a0[x1, y1]x1 = 0 são válidas, isto é, [x1, y1]A0x1 = 0.

Além disso, para a1 ∈ A1, temos [x1, y1]a1x1 = a1[x1, y1]x1 = 0, pois [x1, y1] ∈ A0 e

[A0,A1] = 0. Portanto, [x1, y1]A1x1 = 0, e consequentemente [x1, y1]Ax1 = 0, de onde con-

cluímos [x1, y1] = 0, pois A é uma superálgebra prima.

(2) Dado x1 ∈ A1, temos

a1[a0, x1] = a1a0x1 − a1x1a0

= (a0a1x1 − a1x1a0)− (a0a1x1 − a1a0x1)

= [a0, a1x1]− [a0, a1]x1 = 0,

pois a1x1 ∈ A0 e [a0, a1] = 0. Para cada b0 ∈ A0, valem as igualdades

a1b0[a0, x1] = a1(b0a0x1 − b0x1a0)

= a1(a0b0x1 − b0x1a0)

= a1[a0, b0x1] = 0,

isto é, a1A0[a0, x1] = 0, para todo x1 ∈ A1. Além disso, dado b1 ∈ A1, temos

a1b1[a0, x1] = a1b1a0x1 − a1b1x1a0

= a1b1a0x1 − a1a0b1x1 + a1a0b1x1 − a1b1x1a0

= a1[a0, b1x1]− a1[a0, b1]x1 = 0,

isto é, a1A1[a0, b1] = 0, para todo b1 ∈ A1. Portanto, a1A[a0, b1] = 0, o que implica [a0, b1] = 0,

pois A é prima e a1 6= 0. Assim, [a0,A1] = 0, e como A0 é comutativa, temos [a0,A] = 0, ou

seja, a0 ∈ Z(A). Em particular, se [A0, a1] = 0, então, A0 ⊆ Z(A), de onde segue [A0,A1] = 0.

Logo, por (1), concluímos que A é comutativa.

(3) Para cada x0 ∈ A0 e x1 ∈ A1, temos [a1, x0]x1 = a1x0x1 − x0a1x1 = a1x0x1 − x0x1a1 =

[a1, x0x1] = 0, pois x0x1 ∈ A1. Desse modo, [a1, x0]A1[a1, x0] = 0. Assim, como [a1, x0] ∈ A1,

por (1) do Lema 1.2.5, vale [a1, x0] = 0, para todo x0 ∈ A0, ou seja, [a1,A0] = 0. Logo, o

resultado segue de (2).

Lema 1.2.7. Seja A = A0 ⊕ A1 uma superálgebra semiprima associativa. Se a ∈ A1 é tal que

ax1, x1a ∈ Z(A0), para todo x1 ∈ A1, então, a2 ∈ Z(A).


Demonstração. Se a ∈ A1, então, a2 ∈ A0 e por hipótese, temos

0 = [a2, ax1] = a3x1 − ax1a2 = a[a2, x1] e

0 = [a2, x1a] = a2x1a− x1a3 = [a2, x1]a,

para todo x1 ∈ A1. Multiplicando a primeira igualdade à esquerda por a, a segunda à direita

por a, e subtraindo uma da outra, obtemos a2[a2, x1] − [a2, x1]a2 = 0, para todo x1 ∈ A1, isto

é, [a2, [a2,A1]] = 0. Tomando x1 = a, decorre a2 ∈ Z(A0), e portanto, [a2, [a2,A0]] = 0. Logo,

[a2, [a2,A]] = 0. Agora observe que, pela demonstração do Lema 1.2.4, o fato de A ser superálgebra

semiprima associativa, implica em A ser uma álgebra semiprima associativa. Aplicando, então, o

Lema 1.1.7, concluímos a2 ∈ Z(A).

O próximo lema é uma generalização do Lema 1.2.5.

Lema 1.2.8. Sejam A uma superálgebra associativa semiprima e U um ideal graduado de A. Sãoválidas as seguintes armações:

(i) Se u1 ∈ U1 é tal que u1U1u1 = 0, então, u1 = 0;

(ii) Se u0 ∈ U0 e u1 ∈ U1 são tais que u0Uiu1 = u1Uiu0 = 0, onde i = 0 ou i = 1, então,

u0Uu1 = u1Uu0 = 0;

(iii) Se u1 ∈ U1 é tal que u1U0 = 0 ou U0u1 = 0, então, u1 = 0.

Demonstração. (i) Inicialmente, observe que as inclusões

u1Uu1Uu1 ⊆ u1(U0u1U0)u1 + u1U0u1U1u1 + u1U1u1U0u1 + u1U1u1U1u1

⊆ u1U1u1 + (u1U1u1)Uu1 + u1U(u1U1u1) = 0,

implicam u1Uu1Uu1 = 0. Assim, considerando I = ideal〈u1〉, o ideal de A gerado por u1,

temos I5 = 0. Portanto, I = 0, pois A é semiprima; o que implica u1 = 0.

(ii) Armamos que U0 é uma álgebra semiprima. Com efeito, sabemos que A0 é uma álgebra semi-

prima, pelo Lema 1.2.4. Além disso, se I é um ideal de U0 tal que I2 = 0, então, considerando

J = ideal〈I〉, o ideal de A0 gerado por I, é possível garantir J3 = 0, o que implica J = 0 e

I = 0. Se u0U0u1 = u1U0u0 = 0, então, (u0U1u1)U0(u0U1u1) = u0U1(u1U0u0)U1u1 = 0. Desse

modo, u0U1u1 = 0, pois u0U1u1 ⊆ U0 e U0 é uma álgebra semiprima. Portanto, u0Uu1 = 0.

Analogamente, (u1U1u0)U0(u1U1u0) = 0 implica u1U1u0 = 0, e então, u1Uu0 = 0. Agora, su-

pondo u0U1u1 = u1U1u0 = 0, temos (u0U0u1)U1(u0U0u1) = u0U0(u1U1u0)U0u1 = 0. Assim,

como u0U0u1 ⊆ U1, por (i), concluímos u0U0u1 = 0. Portanto, u0Uu1 = 0. Do mesmo modo,

(u1U0u0)U1(u1U0u0) = 0 implica u1U0u0 = 0. Logo, u1Uu0 = 0.

(iii) Se u1U0 = 0, então, u1U0(x1u1) = (x1u1)U0u1 = 0, para todo x1 ∈ A1. Assim, como x1u1 ∈U ∩ A0 = U0 e u1 ∈ U1, temos u1U(x1u1) = 0, por (ii). Multiplicando esta última igualdade

à esquerda por x1, obtemos (x1u1)U(x1u1) = 0. Desse modo, x1u1 = 0, para todo x1 ∈ A1,

pois A é semiprima, isto é, A1u1 = 0. Portanto, u1A1u1 = 0. Logo, por (i), no caso particular

U = A, concluímos A1 3 u1 = 0. Finalmente, supondo U0u1 = 0, pelos mesmos raciocínios


temos u1U0(u1x1) = (u1x1)U0u1 = 0, para todo x1 ∈ A1, e consequentemente (u1x1)Uu1 = 0.

Multiplicando esta última igualdade à direita por x1, temos (u1x1)U(u1x1) = 0, o que implica

u1x1 = 0, para todo x1 ∈ A1, isto é, u1A1 = 0. Portanto, u1A1u1 = 0, e assim, u1 = 0.

Lema 1.2.9. Sejam A uma superálgebra associativa semiprima e U um ideal graduado de A. Sea1 ∈ A1 satisfaz [U0a1, U0] = 0, então, U0a1 ⊆ Z(A).

Demonstração. Para todos u0, v0 ∈ U0 e x0 ∈ A0, por hipótese temos

0 = [u0a1, x0v0] = u0a1x0v0 − x0v0u0a1

= u0a1x0v0 − x0u0a1v0 + x0u0a1v0 − x0v0u0a1

= [u0a1, x0]v0 + x0[u0a1, v0]

= [u0a1, x0]v0,

pois x0v0 ∈ U ∩ A0 = U0, isto é, [u0a1, x0]U0 = 0. Assim, como [u0a1, x0] ∈ U1, por (iii) do

Lema 1.2.8, temos [u0a1, x0] = 0, para todo x0 ∈ A0, ou seja, [u0a1,A0] = 0. Desse modo, 0 =

[u0a1, (u0a1)x1] = u0a1[u0a1, x1] e 0 = [u0a1, x1(u0a1)] = [u0a1, x1]u0a1, para quaisquer u0 ∈ U0

e x1 ∈ A1. Subtraindo estas duas últimas igualdades, obtemos u0a1[u0a1, x1] − [u0a1, x1]u0a1 =

[u0a1, [u0a1, x1]] = 0, para todo x1 ∈ A1. Portanto, como [u0a1, [u0a1, x0]] = [u0a1, 0] = 0, para

todo x0 ∈ A0, concluímos [u0a1, [u0a1,A]] = 0, para todo u0 ∈ U0. Finalmente, vale u0a1 ∈ Z(A),

para todo u0 ∈ U0, pelo Lema 1.1.7, pois A é uma álgebra semiprima.

A seguir, [A0,A0] é o subgrupo aditivo de A gerado pelos elementos da forma [x0, y0] = x0y0 −y0x0, onde x0, y0 ∈ A0, e denimos U como sendo o ideal de A gerado por [A0,A0]. Observe que U

é um ideal graduado de A, e vale o próximo resultado.

Lema 1.2.10. Se A = A0 ⊕A1 é superálgebra associativa semiprima, a1 ∈ A1 é um elemento tal

que U0a1 ⊆ Z(A) e a1[U0, U0] = 0, então, a1U = 0.

Demonstração. Pelas hipóteses, temos

0 = x(u0a1)[v0, w0] = u0a1x[v0, w0],

para todos u0, v0, w0 ∈ U0 e x ∈ A, ou seja, U0a1A[U0, U0] = 0. Em particular, U0a1A0[U0, U0] = 0 e

a1A0[U0, U0] ⊆ U1 implicam a1A0[U0, U0] = 0, por (iii) do Lema 1.2.8; e U0a1A1[U0, U0] = 0 implica

(a1A1[U0, U0])U0(a1A1[U0, U0]) = 0, e consequentemente, a1A1[U0, U0] = 0, pois a1A1[U0, U0] ⊆ U0

e, como vimos anteriormente, U0 é álgebra semiprima. Portanto, a1A[U0, U0] = 0. A partir deste

fato, obtemos0 = a1y[u0, x0v0]

= a1yu0x0v0 − a1yx0v0u0

= a1yu0x0v0 − a1yx0u0v0 + a1yx0u0v0 − a1yx0v0u0

= a1y[u0, x0]v0 + a1(yx0)[u0, v0]

= a1y[u0, x0]v0,

para quaisquer y ∈ A, x0 ∈ A0 e u0, v0 ∈ U0, isto é, (a1A[U0,A0])U0 = 0. Em particular,

(a1A0[U0,A0])U0 = 0 e a1A0[U0,A0] ⊆ U1 implicam a1A0[U0,A0] = 0; e de (a1A1[U0,A0])U0 = 0


e a1A1[U0,A0] ⊆ U0 segue a1A1[U0,A0] = 0, pelo Lema 1.2.8 (iii) e pela semiprimalidade de U0.

Portanto, a1A[U0,A0] = 0. Usando os mesmos raciocínios, temos

0 = a1y[z0, x0v0]

= a1yz0x0v0 − a1yx0v0z0

= a1yz0x0v0 − a1yx0z0v0 + a1yx0z0v0 − a1yx0v0z0

= a1y[z0, x0]v0 − a1(yx0)[v0, z0]

= a1y[z0, x0]v0,

para todos y ∈ A, x0, z0 ∈ A0 e v0 ∈ U0, isto é, (a1A[A0,A0])U0 = 0. Assim, (a1A0[A0,A0])U0 = 0 e

a1A0[A0,A0] ⊆ U1 implicam a1A0[A0,A0] = 0 e (a1A1[A0,A0])U0 = 0 e a1A1[A0,A0] ⊆ U0 impli-

cam a1A1[A0,A0] = 0, pelo Lema 1.2.8 (iii) e por U0 ser semiprima. Desse modo, a1A[A0,A0] = 0,

o que implica a1U = 0, pela denição de U .

Lema 1.2.11. Sejam A = A0 ⊕A1 uma superálgebra associativa semiprima e a0, b0 ∈ A0 tais que

a0[A0, b0] = 0. Então, [a0, b0] = 0.

Demonstração. Para quaisquer x0, y0 ∈ A0, temos

0 = a0[x0y0, b0]

= a0x0y0b0 − a0b0x0y0

= a0x0y0b0 − a0x0b0y0 + a0x0b0y0 − a0b0x0y0

= a0x0[y0, b0] + a0[x0, b0]y0

= a0x0[y0, b0].

Desse modo, para cada x0 ∈ A0, temos [a0, b0]x0[a0, b0] = a0(b0x0)[a0, b0] − b0a0x0[a0, b0] = 0,

o que nos permite concluir [a0, b0] = 0, pois A0 é uma álgebra semiprima.

1.3 Álgebra de Grassmann, superidentidades e superálgebras de

Jordan

Denimos a álgebra de Grassmann Γ como a álgebra associativa gerada pelo conjunto

1, e1, e2, . . . , en, . . . | eiej = −ejei

sobre um anel Φ de característica diferente de 2. Uma base para esta álgebra é dada por

1, ei1ei2 · · · eik | i1 < i2 < . . . < ik , k ≥ 1.

Podemos dotar a álgebra de Grassmann com uma estrutura de superálgebra denindo uma

Z2-graduação da seguinte maneira: Γ = Γ0 ⊕ Γ1, onde Γ0 é o subespaço gerado por produtos de

comprimento par, e Γ1 é o subespaço gerado por produtos de comprimento ímpar.

Observe que pela denição do produto de Γ, temos que os elementos de Γ0 comutam entre si e

comutam com elementos de Γ1, enquanto que os elementos de Γ1 anticomutam entre si, isto é, se

xi ∈ Γi, yj ∈ Γj , então, xiyj = (−1)ijyjxi, onde i, j ∈ 0, 1.

1 ÁLGEBRA DE GRASSMANN, SUPERIDENTIDADES E SUPERÁLGEBRAS DE JORDAN 19

Seja A = A0 ⊕ A1 uma superálgebra e considere a Φ-álgebra Γ ⊗ A. Denimos a envolvente

de Grassmann de A como sendo a subálgebra Γ(A) = Γ0 ⊗ A0 + Γ1 ⊗ A1 de Γ ⊗ A. Agora, seM é uma variedade de álgebras sobre Φ (por exemplo, a variedade das álgebras associativas, ou

comutativas, ou das álgebras de Jordan), dizemos que a superálgebra A pertence aM (ou A é uma

M-superálgebra) se Γ(A) ∈M.

Exemplo 1.3.1. Vamos determinar quando uma superálgebra A é uma superálgebra associativa.

Sejam ai ∈ Γi, bj ∈ Γj , ck ∈ Γk, xi ∈ Ai, yj ∈ Aj e wk ∈ Ak, i, j, k ∈ 0, 1. Para que a envolvente

de Grassmann de A seja uma álgebra associativa devemos ter

[(ai ⊗ xi)(bj ⊗ yj)](ck ⊗ wk)− (ai ⊗ xi)[(bj ⊗ yj)(ck ⊗ wk)] = 0,

isto é,

((aibj)ck)⊗ ((xiyj)wk)− (ai(bjck))⊗ (xi(yjwk)) = 0,

Portanto, (aibjck) ⊗ ((xiyj)wk − xi(yjwk)) = 0. Para que isso aconteça, basta que a igualdade

(xiyj)wk = xi(yjwk) seja válida, o que quer dizer que para que A seja uma superálgebra associativa,

basta que ela seja associativa como álgebra.

Exemplo 1.3.2. De modo análogo, podemos determinar quando uma superálgebra A é uma su-

perálgebra comutativa. Sejam ai ∈ Γi, bj ∈ Γj , xi ∈ Ai e yj ∈ Aj , i, j ∈ 0, 1. Para que a

envolvente de Grassmann de A seja uma álgebra comutativa devemos ter

(ai ⊗ xi)(bj ⊗ yj)− (bj ⊗ yj)(ai ⊗ xi) = 0

(aibj)⊗ (xiyj)− (aibj)⊗ ((−1)ijyjxi) = 0

(aibj)⊗ (xiyj − (−1)ijyjxi) = 0.

Para tanto, basta que ocorra xiyj = (−1)ijyjxi. Quando isso acontece, dizemos que a álgebra é

supercomutativa.

Dizemos que as igualdades dos exemplos anteriores, que envolvem apenas elementos homogêneos,

são superidentidades.

Dene-se álgebra de Jordan como sendo uma álgebra comutativa que satisfaz x2(yx) = (x2y)x

(identidade de Jordan). Dada uma álgebra associativa A, é fácil vericar que introduzindo o produto

de Jordan em A, ela se torna uma álgebra de Jordan com esse produto.

Desse modo, uma superálgebra A é uma superálgebra de Jordan se a envolvente de Grass-

mann de A, Γ(A), é uma álgebra de Jordan. Para tanto, basta que sejam satisfeitas as seguintes

superidentidades:

(1) Para quaisquer xi ∈ Ai, yj ∈ Aj ,

xiyj − (−1)ijyjxi = 0;


(2) Para todos xi ∈ Ai, yj ∈ Aj , zk ∈ Ak, wl ∈ Al,

0 = (xiyj)(zkwl) + (−1)i(j+k+l)+(j+k)l(wlyj)(zkxi) + (−1)ij(yjxi)(zkwl)

+(−1)i(j+k+l)+kl(yjwl)(zkxi) + (−1)j(k+l)+kl(xiwl)(zkyj)

+(−1)j(k+l)+k(l+i)(wlxi)(zkyj)− (−1)j(k+l)+kl((xiwl)zk)yj

−(−1)j(k+l)+k(l+i)((wlxi)zk)yj − ((xiyj)zk)wl − (−1)i(j+k+l)+(k+j)l((wlyj)zk)xi

−(−1)ij((yjxi)zk)wl − (−1)i(j+k+l)+kl((yjwl)zk)xi

Observe que para obter a última superidentidade, precisamos fazer a linearização completa da

identidade de Jordan, uma vez que na álgebra de Grassmann o quadrado de qualquer elemento

gerador é nulo.

1.4 Adjunção de identidades

Seja Φ um anel com elemento identidade 1. Dada uma álgebra arbitrária A sobre Φ, podemos

construir uma nova álgebra A# sobre Φ com identidade, pelo processo de adjunção de identidades.

O processo consiste em considerar Φ como um módulo sobre si mesmo, e assim, 1 é um gerador de

Φ, isto é, Φ = Φ · 1. Desse modo, podemos considerar A# = A⊕Φ · 1, onde a multiplicação de A#

é dada por

(a, α)(b, β) = (ab+ αb+ βa, αβ),

para todos (a, α), (b, β) ∈ A#. Dizemos que A# é a álgebra obtida pela adjunção formal de um

elemento identidade à álgebra A. De fato, temos que para todo (a, α) ∈ A#, valem (0, 1)(a, α) =

(0a+ α0 + 1a, 1α) = (a, α) e (a, α)(0, 1) = (a0 + 1a+ α0, α1) = (a, α).

Exemplo 1.4.1. Seja A o ideal dos elementos de termo constante 0 na álgebra não comutativa livre

gerada por x e y sobre um corpo F . Dena R = A⊕A⊕ F , a álgebra obtida pela adjunção formal

de um elemento identidade à álgebra A⊕A. Armamos que R é um anel semiprimo. De fato, seja

(a, b, λ) ∈ R um elemento tal que (a, b, λ)R(a, b, λ) = 0, então, em particular, para (0, 0, 1) ∈ R,temos

0 = (a, b, λ)(0, 0, 1)(a, b, λ)

= (a, b, λ)(a, b, λ)

= (a2 + 2λa, b2 + 2λb, λ2).

Assim, concluímos diretamente que vale λ = 0, pois F é corpo, e isso implica a2 = b2 = 0.

Portanto, a = b = 0, pois a, b ∈ A são somas de produtos arbitrários de x e y com coecientes em F .

Desse modo, (a, b, λ) = (0, 0, 0). Além disso, o único elemento idempotente não nulo de R é (0, 0, 1).

Com efeito, se 0 6= (a, b, λ) ∈ R é tal que (a, b, λ)2 = (a, b, λ), então, (a2+2λa, b2+2λb, λ2) = (a, b, λ),

de onde vemos λ = 0 ou λ = 1. Entretanto, se λ = 0, então, a2 = a e b2 = b, o que implica a = b = 0,

pois as palavras a2 e b2 possuem o dobro do tamanho das palavras a e b, respectivamente. Assim,

(a, b, λ) = 0, o que é uma contradição. Portanto, λ = 1 e temos a2 = −a e b2 = −b, o que nos

permite concluir a = b = 0. Logo, (a, b, λ) = (0, 0, 1).

Capítulo 2

Derivações e superderivações de Jordan

em anéis e superálgebras primas

2.1 Derivações de Jordan em anéis primos

O objetivo desta seção é demonstrar o famoso resultado de I. N. Herstein [16] que arma que

toda derivação de Jordan em um anel primo de característica diferente de 2 é uma derivação.

Recorde que estamos considerando apenas anéis associativos. Iniciamos com algumas denições.

Denição 2.1.1. Uma derivação em um anel A é uma aplicação aditiva D : A→ A tal que

D(ab) = D(a)b+ aD(b),

para todos a, b ∈ A.

Exemplo 2.1.1. Pela demonstração do Lema 1.1.7, se A é um anel e a é um elemento arbitrário

de A, sabemos que a aplicação D : A → A, denida por D(x) = xa− ax, para todo x ∈ A, é uma

derivação.

Dado um anel associativo A, podemos construir um novo anel, chamado de anel de Jordan de

A, redenindo o produto por a b = ab + ba, para todos a, b ∈ A, onde ab é o produto de a por b

no anel A.

Denição 2.1.2. Uma derivação de Jordan em um anel A é uma derivação no anel de Jordan de

A.

Assim, se D : A→ A é uma derivação de Jordan, então, D é aditiva e satisfaz

D(a b) = D(a) b+ a D(b),

para quaisquer a, b ∈ A, isto é,

D(ab+ ba) = D(a)b+ bD(a) + aD(b) +D(b)a. (2.1)

Se A é um anel de característica diferente de 2, podemos redenir uma derivação de Jordan

21

22 DERIVAÇÕES E SUPERDERIVAÇÕES DE JORDAN EM ANÉIS E SUPERÁLGEBRAS PRIMAS 2

como sendo uma aplicação aditiva que satisfaz

D(a2) = D(a)a+ aD(a), (2.2)

para todo a ∈ A. De fato, linearizando (2.2) obtemos (2.1); e reciprocamente, escolhendo b = a em

(2.1), concluímos (2.2), pois A tem característica diferente de 2. Note também que toda derivação

é uma derivação de Jordan, mas a recíproca nem sempre é verdadeira.

Exemplo 2.1.2. Seja A um anel com característica diferente de 2, e tal que uma das seguintes

condições é satisfeita:

(1) A contém um elemento x tal que axa = 0, para todo a ∈ A, mas cxd 6= 0, para alguns elementos

c, d ∈ A;

(2) a2 = 0, para todo a ∈ A, mas existem elementos e, f ∈ A tais que ef 6= 0.

No primeiro caso, a aplicação D : A → A, denida por D(a) = ax, para todo a ∈ A, é uma

derivação de Jordan. De fato, claramente é aditiva e

D(a b)−D(a) b− a D(b) = (a b)x− (ax) b− a (bx)

= abx+ bax− axb− bax− abx− bxa

= −(bxa+ axb) = −(a+ b)x(a+ b) = 0.

Porém, D não é uma derivação. Com efeito,

D(cd)−D(c)d− cD(d) = (cd)x− (cx)d− c(dx) = −cxd 6= 0.

No segundo caso, toda aplicação aditiva de A nele mesmo é uma derivação de Jordan, já que

o produto de Jordan é nulo, pois (a + b)2 = 0 implica a b = ab + ba = 0. Entretanto, a função

identidade, por exemplo, não é uma derivação, pois ef 6= 0. Um exemplo de anel do segundo tipo

é a álgebra de Banach obtida de R3 com a norma euclidiana, denindo o produto de a e b em R3

como sendo o seu produto vetorial, a× b, projetado sobre um dos eixos coordenados.

Proposição 2.1.1. Sejam A um anel com característica diferente de 2 eD uma derivação de Jordan

de A. Então, as seguintes armações são válidas:

(1) D(aba) = D(a)ba+ aD(b)a+ abD(a), para todos a, b ∈ A;

(2) D(abc + cba) = D(a)bc + aD(b)c + abD(c) + D(c)ba + cD(b)a + cbD(a), para quaisquer

a, b, c ∈ A.

Demonstração. (1) Considere o elemento B = D(a(ab+ ba) + (ab+ ba)a). Por um lado, temos

B = D(a)(ab+ ba) + (ab+ ba)D(a) + aD(ab+ ba) +D(ab+ ba)a

= D(a)(ab+ ba) + (ab+ ba)D(a) + a(D(a)b+ bD(a) + aD(b)

+D(b)a) + (D(a)b+ bD(a) + aD(b) +D(b)a)a

= D(a)ab+ 2D(a)ba+ 2abD(a) + baD(a) + aD(a)b+ a2D(b)

+2aD(b)a+ bD(a)a+D(b)a2,

2 DERIVAÇÕES DE JORDAN EM ANÉIS PRIMOS 23

Por outro lado, sabemos

B = D((a2b+ ba2) + 2aba)

= D(a2b+ ba2) + 2D(aba)

= D(a2)b+ bD(a2) +D(b)a2 + a2D(b) + 2D(aba)

= D(a)ab+ aD(a)b+ bD(a)a+ baD(a) +D(b)a2 + a2D(b) + 2D(aba).

Comparando as duas expressões obtidas, como a característica de A é diferente de 2, concluí-

mos o desejado.

(2) Basta linearizar a igualdade do enunciado do item (1).

Dada uma derivação de Jordan D, denotaremos ab = D(ab) −D(a)b − aD(b), para quaisquer

a, b ∈ A. Observe que ocorre ab = 0, para todos a, b ∈ A, se, e somente se, D é uma derivação em

A. Portanto, nosso objetivo será provar esta última igualdade. Adotando essa notação, temos as

seguintes propriedades.

• Para quaisquer a, b ∈ A, temos

ab + ba = D(ab)−D(a)b− aD(b) +D(ba)−D(b)a− bD(a)

= D(ab+ ba)−D(a)b− bD(a)− aD(b)−D(b)a = 0,

pois D é uma derivação de Jordan. Portanto, ab = −ba.

• Para quaisquer a, b, c ∈ A, sabemos

ab+c = D(a(b+ c))−D(a)(b+ c)− aD(b+ c)

= D(ab)−D(a)b− aD(b) +D(ac)−D(a)c− aD(c)

= ab + ac.

Teorema 2.1.1. (Cusack, [9]) Sejam A um anel de característica diferente de 2 e D : A→ A uma

derivação de Jordan. Para quaisquer a, b, r ∈ A, temos

abr(ab− ba) + (ab− ba)rab = 0. (2.3)

Demonstração. Seja B = abrba+ barab. Por (1) da Proposição 2.1.1, temos

D(B) = D(a(brb)a) +D(b(ara)b)

= D(a)brba+ aD(brb)a+ abrbD(a) +D(b)arab+ bD(ara)b+ baraD(b)

= D(a)brba+ aD(b)rba+ abD(r)ba+ abrD(b)a+ abrbD(a)

+D(b)arab+ bD(a)rab+ baD(r)ab+ barD(a)b+ baraD(b),


e por (2) da Proposição 2.1.1, segue

D(B) = D((ab)r(ba) + (ba)r(ab))

= D(ab)rba+ abD(r)ba+ abrD(ba) +D(ba)rab+ baD(r)ab+ barD(ab).

Comparando estas duas expressões, obtemos

abrba+ barab = −abrba − barab

abr(ba− ab) = (ab− ba)rab

abr(ab− ba) = −(ab− ba)rab.

Desse modo, concluímos que a igualdade abr(ab− ba) + (ab− ba)rab = 0 é válida.

Os resultados obtidos nos permitem mostrar o seguinte teorema.

Teorema 2.1.2. (Herstein, [16]) Se A é um anel primo de característica diferente de 2, e D : A→ A

é uma derivação de Jordan, então, D é uma derivação em A.

Demonstração. Fixemos a e b elementos de A. Se ab 6= ba, então, ab− ba 6= 0, e consequentemente,

por (2.3) e pela Proposição 1.1.3, temos ab = 0. Agora, suponhamos ab = ba. Se ambos a e b

pertencem a Z(A), então, pela denição de derivação de Jordan, seguem as igualdades

D(ab+ ba) = D(a)b+ bD(a) + aD(b) +D(b)a

2D(ab) = 2(D(a)b+ aD(b))

D(ab) = D(a)b+ aD(b),

pois a característica de A é diferente de 2. Portanto, ab = 0. Por m, suponhamos, sem perda de

generalidade, que a não pertence a Z(A), isto é, existe c ∈ A tal que ac 6= ca. Portanto a(b+ c) 6=(b+ c)a, o que implica ac = 0 e ab+c = 0. Logo,

ab = ab + 0 = ab + ac = ab+c = 0.

O caso em que b não pertence a Z(A) é análogo.

2.2 Superderivações de Jordan em superálgebras primas

Nesta seção apresentamos a generalização do resultado da seção anterior desse capítulo de anéis

para superálgebras. Iniciamos generalizando as denições de derivação e derivação de Jordan para

superálgebras. O sentido das denições a seguir é justicado pela relação entre superálgebras e a

álgebra de Grassmann. Estes resultados estão contidos em [10].

Denição 2.2.1. Sejam A uma superálgebra e D : A → A uma aplicação Φ-linear. Dizemos que

D é uma superderivação de grau i, onde i = 0, 1, se D(Aj) ⊆ Aj+i(mod 2), onde j = 0, 1, e

D(xy) = D(x)y + (−1)i|x|xD(y), para quaisquer x, y ∈ A0 ∪ A1.

2 SUPERDERIVAÇÕES DE JORDAN EM SUPERÁLGEBRAS PRIMAS 25

Uma superderivação é a soma de uma superderivação de grau 0 com uma superderivação de

grau 1.

Dada uma superálgebra A, introduzindo um novo produto denido por

x s y =1

2

(xy + (−1)|x||y|yx

), para todos x, y ∈ A0 ∪ A1,

A torna-se uma superálgebra de Jordan, o que motiva a seguinte

Denição 2.2.2. Se D : A → A é uma aplicação Φ-linear, então, D é dita uma superderivação

de Jordan de grau i, onde i = 0, 1, se D(Aj) ⊆ Aj+i(mod 2), onde j = 0, 1, e

D(x s y) = D(x) s y + (−1)i|x|x s D(y) , para todos x, y ∈ A0 ∪ A1.

Uma superderivação de Jordan é a soma de uma superderivação de Jordan de grau 0 com

uma superderivação de grau 1.

Note que se a superálgebra for trivial ou se nos restringirmos à parte par da superálgebra, os

conceitos de superderivação e de superderivação de Jordan coincidem com os de derivação e de

derivação de Jordan, respectivamente.

Lema 2.2.1. Seja A uma superálgebra. Se D : A → A é uma superderivação, então, D é uma

superderivação de Jordan.

Demonstração. Seja D = D0 + D1, com Di uma superderivação de grau i, i = 0, 1. Vamos provar

que Di é uma superderivação de Jordan de grau i. Já sabemos que a inclusão D(Aj) ⊆ Ai+j(mod2),

onde j = 0, 1, é válida. Assim, dados x, y ∈ A0 ∪ A1, temos

Di(x s y) = Di(12

(xy + (−1)|x||y|yx

))

= 12

(Di(xy) + (−1)|x||y|Di(yx)

)= 1

2

(Di(x)y + (−1)i|x|xDi(y) + (−1|x||y|Di(y)x+ (−1)|x||y|+i|y|yDi(x))

)= 1

2

(Di(x)y + (−1)(|x|+i)|y|yDi(x) + (−1)i|x|xDi(y) + (−1)|x||y|Di(y)x

).

Agora, observe que as igualdades |Di(x)| = |x| + i e i|x| + |x||Di(y)| = |x|(i + i + |y|) = |x||y|implicam

Di(x s y) = 12

(Di(x)y + (−1)|Di(x)||y|yDi(x)

)+ (−1)i|x| 12

(xDi(y) + (−1)|x||Di(y)|Di(y)x

)= Di(x) s y + (−1)i|x|x s Di(y).

A recíproca deste lema não é verdadeira, como poderá ser visto nos Exemplos 2.2.1, 2.2.2

e 2.2.3. Todavia, sob determinadas condições, a recíproca é verdadeira. De fato, o resultado que

estende o caso de anéis (álgebras) é o seguinte: toda superderivação de Jordan em uma superálgebra

associativa prima, cuja parte par é não comutativa, é uma superderivação. Para provar tal resultado

serão necessários alguns lemas.

Denotaremos aqui o comutador de dois elementos x, y ∈ A por [x, y] = xy− yx, e o superco-mutador por [x, y]s = xy − (−1)|x||y|yx.


Lema 2.2.2. Seja A = A0 ⊕A1 uma superálgebra. Se D é uma superderivação de Jordan em A,então,

D([x21, y]) = [[D(x1), x1]s , y]s +

[x2

1, D(y)], (2.4)

para todos x1 ∈ A1, y ∈ A.

Demonstração. Sejam x1 ∈ A1 e y = y0 + y1 ∈ A. Observe que as seguintes igualdades são válidas

4x1 s (x1 s y) = 4x1 s (x1 s y0 + x1 s y1)

= 2x1 s (x1y0 + y0x1 + x1y1 − y1x1)

= 2(x1 s (x1y0) + x1 s (y0x1) + x1 s (x1y1)− x1 s (y1x1))

= x21y0 − x1y0x1 + x1y0x1 − y0x

21 + x2

1y1 + x1y1x1 − x1y1x1 − y1x21

= x21y0 − y0x

21 + x2

1y1 − y1x21

= x21y − yx2

1 = [x21, y].

Além disso, D = D0 + D1 tal que Di é uma superderivação de Jordan de grau i de A, ondei = 0, 1. Desse modo, vamos provar que D0 satisfaz a equação (2.4). Assim, temos

D0([x21, y]) = D0(4x1 s (x1 s y))

= 4D0(x1 s (x1 s y0)) + 4D0(x1 s (x1 s y1))

= 4D0(x1) s (x1 s y0) + 4x1 s D0(x1 s y0) + 4D0(x1) s (x1 s y1)

+4x1 s D0(x1 s y1),

e calculando cada somando separadamente, obtemos

• 4D0(x1) s (x1 s y0) = 2D0(x1) s (x1y0 + y0x1)

= D0(x1)x1y0 − x1y0D0(x1) +D0(x1)y0x1 − y0x1D0(x1);

• 4x1 s D0(x1 s y0) = 4x1 s (D0(x1) s y0 + x1 s D0(y0))

= 2x1 s (D0(x1)y0 + y0D0(x1) + x1D0(y0) +D0(y0)x1)

= x1D0(x1)y0 −D0(x1)y0x1 + x1y0D0(x1)− y0D0(x1)x1

+x21D0(y0)−D0(y0)x2

1;

• 4D0(x1) s (x1 s y1) = 2D0(x1) s (x1y1 − y1x1)

= D0(x1)x1y1 + x1y1D0(x1)−D0(x1)y1x1 − y1x1D0(x1);

• 4x1 s D0(x1 s y1) = 4x1 s (D0(x1) s y1 + x1 s D0(y1))

= 2x1 s (D0(x1)y1 − y1D0(x1) + x1D0(y1)−D0(y1)x1)

= x1D0(x1)y1 +D0(x1)y1x1 − x1y1D0(x1)− y1D0(x1)x1

+x21D0(y1)−D0(y1)x2

1.


Consequentemente, a substituição de cada somando na igualdade original resulta em

D0([x21, y]) = (D0(x1)x1 + x1D0(x1))y0 − y0(D0(x1)x1 + x1D0(x1)) + (D0(x1)x1 + x1D0(x1))y1

−y1(D0(x1)x1 + x1D0(x1)) + x21D0(y0 + y1)−D0(y0 + y1)x2

1

= [[D0(x1), x1]s , y0]s + [[D0(x1), x1]s , y1]s +[x2

1, D0(y)]

= [[D0(x1), x1]s , y]s +[x2

1, D0(y)].

Analogamente, pode-se provar que D1 satisfaz a equação (2.4), e portanto, D também a satisfaz.

Lema 2.2.3. Seja D uma superderivação de Jordan de grau i, onde i = 0, 1, em uma superálgebra

A = A0 ⊕A1. Dena uma aplicação δ : A×A → A por

δ(x, y) = D(xy)−D(x)y − (−1)i|x|xD(y), para todos x, y ∈ A0 ∪ A1.

Então, δ é biaditiva e

(i) δ(x0, y1) = −δ(y1, x0), para todos x0 ∈ A0 e y1 ∈ A1;

(ii) δ(x1, y1) = δ(y1, x1), para quaisquer x1, y1 ∈ A1.

Além disso, supondo que vale D(x0y0) = D(x0)y0 + x0D(y0), para todos x0, y0 ∈ A0, temos:

(iii) [δ(A1,A1),A0] = 0;

(iv) x0δ(x1, y1) = δ(x0x1, y1) + δ(x0, x1)y1, para quaisquer x0 ∈ A0, x1, y1 ∈ A1;

(v) δ(x1, y1)x0 = δ(x1x0, y1)− (−1)iy1δ(x0, x1), para todos x0 ∈ A0, x1, y1 ∈ A1;

(vi) δ (x0,A1)A1 [A0, x0] = 0, para qualquer x0 ∈ A0;

(vii) [A0, x0]A1δ (x0,A1) = 0, para todo x0 ∈ A0.

Demonstração. Dados x, z ∈ Aj e y, w ∈ Ak, onde j, k = 0, 1, temos

• δ(x+ z, y) = D(xy + zy)−D(x)y −D(z)y − (−1)i|x+z|(x+ z)D(y)

= D(xy)−D(x)y − (−1)i|x|xD(y) +D(zy)−D(z)y − (−1)i|z|zD(y)

= δ(x, y) + δ(z, y),

pois x+ z ∈ Aj implica |x+ z| = j = |x| = |z|.

• δ(x, y + w) = D(xy + xw)−D(x)y −D(x)w − (−1)i|x|x(D(y) +D(w))

= D(xy)−D(x)y − (−1)i|x|xD(y) +D(xw)−D(x)w − (−1)i|x|xD(w)

= δ(x, y) + δ(x,w),

o que implica que δ é biaditiva.

Agora, sejam xi, yi, zi elementos arbitrários de Ai, onde i = 0, 1.

(i) Pelo fato de D ser uma superderivação de Jordan de grau i, seguem as igualdades


0 = D(x0 s y1)−D(x0) s y1 − (−1)i|x0|x0 s D(y1)

= D(x0y1) +D(y1x0)−D(x0)y1 − (−1)i|y1|y1D(x0)− (−1)i|x0|x0D(y1)

−(−1)i|x0|D(y1)x0

= D(x0y1)−D(x0)y1 − (−1)i|x0|x0D(y1) +D(y1x0)−D(y1)x0 − (−1)i|y1|y1D(x0)

= δ(x0, y1) + δ(y1, x0).

(ii) De modo análogo ao item (i), temos

0 = D(x1 s y1)−D(x1) s y1 − (−1)i|x1|x1 s D(y1)

= D(x1y1)−D(y1x1)−D(x1)y1 − (−1)(i+1)|y1|y1D(x1)− (−1)i|x1|x1D(y1)

−(−1)i|x1|(−1)(i+1)|x1|D(y1)x1

= D(x1y1)−D(x1)y1 − (−1)i|x1|x1D(y1)−D(y1x1) +D(y1)x1 + (−1)i|y1|y1D(x1)

= δ(x1, y1)− δ(y1, x1).

(iii) Pela hipótese que D|A0 é uma derivação e como x21 ∈ A0, são válidas

D([x21, x0]) = D(x2

1x0)−D(x0x21)

= D(x21)x0 + x2

1D(x0)−D(x0)x21 − x0D(x2

1)

=[D(x2

1), x0

]+[x2

1, D(x0)].

Além disso, pelo Lema 2.2.2, também sabemos D([x21, x0]) = [[D(x1), x1]s , x0]s+

[x2

1, D(x0)],

o que implica0 =

[D(x2

1), x0

]− [[D(x1), x1]s , x0]s

=[D(x2

1)−D(x1)x1 + (−1)(i+1)|x1|x1D(x1), x0

]=

[D(x2

1)−D(x1)x1 − (−1)i|x1|x1D(x1), x0

]= [δ(x1, x1), x0] .

.

Linearizando esta última igualdade, obtemos [δ(x1, y1), x0] + [δ(y1, x1), x0] = 0. Assim, por

(ii), concluímos δ(x1, y1) = δ(y1, x1). Logo, [δ(x1, y1), x0] = 0, pois A é uma álgebra sobre

um anel Φ com característica diferente de 2.

(iv) Considere o elemento D(x0x1y1). Por um lado, temos

D(x0(x1y1)) = D(x0)x1y1 + x0D(x1y1) (pois x1y1 ∈ A0)

= D(x0)x1y1 + x0

(δ(x1, y1) +D(x1)y1 + (−1)i|x1|x1D(y1)

)= D(x0)x1y1 + x0δ(x1, y1) + x0D(x1)y1 + (−1)ix0x1D(y1).


Por outro lado, ocorrem

D((x0x1)y1) = δ(x0x1, y1) +D(x0x1)y1 + (−1)i|x0x1|x0x1D(y1)

= δ(x0x1, y1) +(δ(x0, x1) +D(x0)x1 + (−1)i|x0|x0D(x1)

)y1+

+(−1)ix0x1D(y1)

= δ(x0x1, y1) + δ(x0, x1)y1 +D(x0)x1y1 + x0D(x1)y1 + (−1)ix0x1D(y1).

Igualando as duas expressões encontradas, resulta em

x0δ(x1, y1) = δ(x0x1, y1) + δ(x0, x1)y1.

(v) De modo análogo ao item (iv), basta considerar o elemento D(y1x1x0). Com efeito, por um

lado, sabemos

D((y1x1)x0) = D(y1x1)x0 + y1x1D(x0) (pois y1x1 ∈ A0)

=(δ(y1, x1) +D(y1)x1 + (−1)i|y1|y1D(x1)

)x0 + y1x1D(x0)

= δ(y1, x1)x0 +D(y1)x1x0 + (−1)iy1D(x1)x0 + y1x1D(x0),

enquanto que, por outro lado, obtemos

D(y1(x1x0)) = δ(y1, x1x0) +D(y1)x1x0 + (−1)i|y1|y1D(x1x0)

= δ(y1, x1x0) +D(y1)x1x0 + (−1)iy1 (δ(x1, x0) +D(x1x0+

+ (−1)i|x1|x1D(x0))

= δ(y1, x1x0) +D(y1)x1x0 + (−1)iy1δ(x1, x0) + (−1)iy1D(x1x0)+

+y1x1D(x0).

Novamente, igualando as duas expressões encontradas, segue

δ(y1, x1)x0 = δ(y1, x1x0) + (−1)iy1δ(x1, x0).

Finalmente, por (i) e (ii), como x1x0 ∈ A1, concluímos

δ(x1, y1)x0 = δ(x1x0, y1)− (−1)iy1δ(x0, x1).

(vi) Em vista do item (iii), sabemos que os elementos da forma δ(x1, y1) comutam com x0 ∈ A0,

e pelo item (iv), temos δ(x0, x1)y1 = x0δ(x1, y1)− δ(x0x1, y1). Desse modo,

[δ(x0, x1)y1, x0] = δ(x0, x1)y1x0 − x0δ(x0, x1)y1

= x0δ(x1, y1)x0 − δ(x0x1, y1)x0 − x20δ(x1, y1) + x0δ(x0x1, y1)

= x20δ(x1, y1)− x2

0δ(x1, y1)− (δ(x0x1, y1)x0 − x0δ(x0x1, y1))

= −[δ(x0x1, y1), x0] = 0,


pois x0x1 ∈ A1, ou seja, [δ(x0,A1)A1, x0] = 0, para todo x0 ∈ A0. Assim,

δ(x0, x1)z1[z0, x0] = δ(x0, x1)z1z0x0 − δ(x0, x1)z1x0z0

= δ(x0, x1)z1z0x0 − x0δ(x0, x1)z1z0 + x0δ(x0, x1)z1z0

−δ(x0, x1)z1x0z0

= [δ(x0, x1)z1z0, x0]− [δ(x0, x1)z1, x0]z0 = 0,

isto é, δ(x0,A1)A1 [A0, x0] = 0.

(vii) De modo análogo, por (v), sabemos y1δ(x0, x1) = (−1)iδ(x1x0, y1) − (−1)iδ(x1, y1)x0, e

usando também o resultado de (iii), temos

[y1δ(x0, x1), x0] = y1δ(x0, x1)x0 − x0y1δ(x0, x1)

= (−1)iδ(x1x0, y1)x0 − (−1)iδ(x1, y1)x20 − (−1)ix0δ(x1x0, y1)

+(−1)ix0δ(x1, y1)x0

= −(−1)i(δ(x1, y1)x0 − x0δ(x1, y1))x0 + (−1)i(δ(x1x0, y1)x0

−x0δ(x1x0, y1))

= −(−1)i[δ(x1, y1), x0]x0 + (−1)i[δ(x1x0, y1), x0] = 0,

isto é, [A1δ(x0,A1), x0] = 0. Consequentemente, segue que são válidas

[y0, x0]x1δ(x0, y1) = y0x0x1δ(x0, y1)− x0y0x1δ(x0, y1)

= (y0x0x1δ(x0, y1)− y0x1δ(x0, y1)x0) + (y0x1δ(x0, y1)x0

−x0y0x1δ(x0, y1)

= −y0[x1δ(x0, y1), x0] + [y0x1δ(x0, y1), x0] = 0.

Logo, [A0, x0]A1δ(x0,A1) = 0.

Lema 2.2.4. Sejam A uma álgebra, B uma subálgebra de A, M um A-bimódulo e D : A → Muma aplicação linear satisfazendo D(b a) = D(b) a + b D(a), para quaisquer b ∈ B e a ∈ A.Então,

[b, b′]A[b, b′]A(D(bb′)−D(b)b′ − bD(b′)) = 0, para todos b, b′ ∈ B e

(D(bb′)−D(b)b′ − bD(b′))A[b, b′]A[b, b′] = 0, para quaisquer b, b′ ∈ B.

Demonstração. Inicialmente, observe que podemos escrever

2b (b a)− b2 a = b (ba+ ab)− 12(b2a+ ab2)

= 12(b2a+ 2bab+ ab2)− 1

2(b2a+ ab2)

= bab,


para quaisquer a ∈ A, b ∈ B. Assim, usando essa igualdade, temos

D(bab) = D(2b (b a))−D(b2 a)

= 2D(b) (b a) + 2b (D(b) a+ b D(a))−D(b2) a− b2 D(a)

= D(b) (ba+ ab) + b (D(b)a+ aD(b) + bD(a) +D(a)b)− 12(D(b2)a+ aD(b2)

+b2D(a) +D(a)b2)

= 12(D(b)ba+D(b)ab+ baD(b) + abD(b) + bD(b)a+ baD(b) + b2D(a) + bD(a)b

+D(b)ab+ aD(b)b+ bD(a)b+D(a)b2 −D(b2)a− aD(b2)− b2D(a)−D(a)b2).

Agora, escolhendo a = b, segueD(bb) = D(b)b+bD(b), o que implicaD(b2) = D(b)b+bD(b).

Substituindo na igualdade acima, temos

D(bab) = 12(2D(b)ab+ 2bD(a)b+ 2baD(b) +D(b)ba+ abD(b) + bD(b)a+ b2D(a)

+aD(b)b+D(a)b2 −D(b)ba− bD(b)a− aD(b)b− abD(b)− b2D(a)−D(a)b2)

= D(b)ab+ bD(a)b+ baD(b).

Linearizando a igualdade obtida, segue

D(bab′ + b′ab) = D(b)ab′ +D(b′)ab+ bD(a)b′ + b′D(a)b+ baD(b′) + b′aD(b),

para todos a ∈ A, b, b′ ∈ B. Prosseguindo, considere o elemento W = D(bb′ab′b + b′babb′). Desse

modo, são válidas

W = D(b(b′ab′)b) +D(b′(bab)b′)

= D(b)b′ab′b+ bD(b′)ab′b+ bb′D(a)b′b+ bb′aD(b′)b+ bb′ab′D(b) +D(b′)babb′

+b′D(b)abb′ + b′bD(a)bb′ + b′baD(b)b′ + b′babD(b′)

= (D(b)b′ + bD(b′))ab′b+ (D(b′)b+ b′D(b))abb′ + bb′a(b′D(b) +D(b′)b)

+b′ba(D(b)b′ + bD(b′)) + bb′D(a)b′b+ b′bD(a)bb′,

e também,

W = D((bb′)a(b′b) + (b′b)a(bb′))

= D(bb′)ab′b+ bb′D(a)b′b+ bb′aD(b′b) +D(b′b)abb′ + b′bD(a)bb′ + b′baD(bb′).

Igualando as expressões encontradas, e usando a igualdade

D(bb′) +D(b′b) = D(b)b′ + bD(b′) +D(b′)b+ b′D(b),


chegamos a

0 = (D(bb′)−D(b)b′ − bD(b′))abb′ + (D(b′b)−D(b′)b− b′D(b))ab′b

+bb′a(D(bb′)−D(b)b′ − bD(b′)) + b′ba(D(b′b)−D(b′)b− b′D(b))

= (D(bb′)−D(b)b′ − bD(b′))a[b, b′] + [b, b′]a(D(bb′)−D(b)b′ − bD(b′)),

para todos a ∈ A, b, b′ ∈ B. Assim, denotando m = D(bb′) − D(b)b′ − bD(b′) e c = [b, b′], temos

mac+ cam = 0, isto é, mac = −cam, para todo a ∈ A. Além disso, cama′c+ caca′m = 0 implica

caca′m = −cama′c = maca′c = m(aca′)c = −caca′m.

Portanto, 2caca′m = 0 e consequentemente, caca′m = 0, para quaisquer a, a′ ∈ A, ou seja,

[b, b′]A[b, b′]A(D(bb′)−D(b)b′ − bD(b′)) = 0, para todos b, b′ ∈ B.

Finalmente, note que também são válidas

maca′c = −cama′c = caca′m = c(aca′)m = −maca′c.

isto é, 2maca′c = 0, o que implica maca′c = 0, para todos a, a′ ∈ A. Logo,

(D(bb′)−D(b)b′ − bD(b′))A[b, b′]A[b, b′] = 0, para quaisquer b, b′ ∈ B.

2.2.1 Superderivações de Jordan de grau 0

Nesta seção, vamos nos focar no estudo de superderivações de Jordan de grau 0.

Proposição 2.2.1. Sejam A uma álgebra e D : A → A uma aplicação linear. Suponha que exista

uma subálgebra A0 de A tal que as seguintes condições são válidas:

(1) D(x0 x) = D(x0) x+ x0 D(x), para todos x0 ∈ A0 e x ∈ A;

(2) D(A0) ⊆ A0;

(3) Se a0, b0, c0 ∈ A0 são tais que a0Ab0Ac0 = 0, então, a0 = 0 ou b0 = 0 ou c0 = 0.

Então, D|A0 é uma derivação.

Demonstração. Queremos provar que a igualdade δ(x0, y0) = D(x0y0)−D(x0)y0 − x0D(y0) = 0 é

válida, para quaisquer x0, y0 ∈ A0. Inicialmente, considerando B = A0 e M = A no Lema 2.2.4,

temos que vale

[x0, y0]A[x0, y0]Aδ(x0, y0) = 0,

para quaisquer x0, y0 ∈ A0. Assim, como [x0, y0] ∈ A0 e δ(x0, y0) ∈ A0, por (2), segue [x0, y0] = 0

ou δ(x0, y0) = 0, pelo item (3). Agora, xamos um elemento x0 ∈ A0 e denimos

A1 = y0 ∈ A0 | δ(x0, y0) = 0 e A2 = y0 ∈ A0 | [x0, y0] = 0.

Note que A1 e A2 são subgrupos aditivos de A0 tais que A0 = A1 ∪ A2. Desse modo, como um

grupo não pode ser a união de dois subgrupos próprios, concluímos A0 = A1 ou A0 = A2, isto é,


δ (x0,A0) = 0 ou [x0,A0] = 0, para cada x0 ∈ A0. Prosseguindo, considerando os subgrupos

A′1 = x0 ∈ A0 | δ(x0,A0) = 0 e A′2 = x0 ∈ A0 | [x0,A0] = 0,

temos A0 = A′1 ∪ A

′2. Portanto, A0 = A

′1 ou A0 = A

′2, isto é, δ (A0,A0) = 0 ou A0 é comutativo.

Entretanto, se A0 é comutativo, então, x0 y0 = x0y0, para quaisquer x0, y0 ∈ A0, e concluímos

que D restrita a A0 é, de fato, uma derivação.

O próximo teorema nos permitirá concluir que toda superderivação de Jordan de grau 0 em

uma superálgebra associativa prima, cuja parte par não é comutativa, é uma superderivação. Uma

superderivação de Jordan que não é superderivação é chamada de superderivação de Jordan própria.

Teorema 2.2.1. (Fo²ner, [10]) Seja A = A0 ⊕ A1 uma superálgebra prima. Suponha que exista

uma superderivação de Jordan própria D : A → A de grau 0. Então, A0 é uma álgebra comutativa

e D(A1) 6= 0.

Demonstração. Inicialmente, observe que se A0 é a parte par de A e D é uma superderivação de

Jordan própria, então, pela Proposição 2.2.1, D|A0 é uma derivação. Vejamos que A0 é comutativa.

Para cada x0 ∈ A0, como δ(x0,A1) ⊆ A1 e [A0, x0] ⊆ A0, por (vi) e (vii) do Lema 2.2.3, temos

δ(x0,A1)A1 [A0, x0] = [A0, x0]A1δ(x0,A1) = 0.

Desse modo, pelo Lema 1.2.5, segue δ(x0,A1) = 0 ou [A0, x0] = 0. Agora, denimos

A1 = x0 ∈ A0 | δ(x0,A1) = 0 e A2 = x0 ∈ A0 | [A0, x0] = 0.

Analogamente ao caso da Proposição 2.2.1, temos A0 = A1 ∪A2, o que implica que A0 = A1 ou

A0 = A2, isto é, δ(A0,A1) = 0 ou A0 é comutativa. Se δ(A0,A1) = 0, então, temos δ(A1,A0) = 0,

por (i) do Lema 2.2.3. Além disso, dados x1, y1 ∈ A1, então, x21 ∈ A0,

D([x21, y1]) = D(x2

1y1)−D(y1x21)

= δ(x21, y1) +D(x2

1)y1 + x21D(y1)− δ(y1, x

21)−D(y1)x2

1 − y1D(x21)

=[D(x2

1), y1

]+[x2

1, D(y1)],

e também,

D([x21, y1]) = [D(x1)x1 + x1D(x1), y1] +

[x2

1, D(y1)],

pelo Lema 2.2.2. Igualando as expressões encontradas, segue [δ(x1, x1), y1] = 0, para todos x1, y1 ∈A1. Linearizando esta última igualdade, obtemos

[δ(x1, z1), y1] + [δ(z1, x1), y1] = 0,

para quaisquer x1, y1, z1 ∈ A1. Assim, como δ(z1, x1) = δ(x1, z1), por (ii) do Lema 2.2.3, temos

2[δ(x1, z1), y1] = 0, o que implica

[δ(x1, z1), y1] = 0,

ou seja, [δ(A1,A1),A1] = 0. Além disso, por (iii) do Lema 2.2.3, também vale [δ(A1,A1),A0] = 0.


Portanto, [δ(A1,A1),A] = 0, ou seja, δ(A1,A1) ⊆ Z(A). Consequentemente, por (v) do Lema

2.2.3, para cada x1, y1 ∈ A1 e x0 ∈ A0, valem

δ(x1, y1)x0 = δ(x1x0, y1)− (−1)iy1δ(x0, x1) = δ(x1x0, y1) ∈ Z(A),

pois δ (A0,A1) = 0, o que implica δ (A1,A1)A0 ⊆ Z(A). Desse modo, para cada x1, y1 ∈ A1,

x0, y0 ∈ A0 e a = a0 + a1 ∈ A, temos

δ(x1, y1)a[x0, y0] = δ(x1, y1)a0[x0, y0] + δ(x1, y1)a1[x0, y0]

= δ(x1, y1)a0x0y0 − δ(x1, y1)a0y0x0 + δ(x1, y1)a1x0y0

−δ(x1, y1)a1y0x0

= (δ(x1, y1)a0x0y0 − x0δ(x1, y1)a0y0) + (a1δ(x1, y1)x0y0

−a1y0δ(x1, y1)x0)

= [δ(x1, y1)a0, x0]y0 + a1[δ(x1, y1)x0, y0] = 0,

ou seja, δ(x1, y1)A[x0, y0] = 0. Assim, como A é uma superálgebra prima e δ(x1, y1), [x0, y0] ∈ A0

são elementos homogêneos, segue δ (x1, y1) = 0 ou [x0, y0] = 0, isto é, δ (A1,A1) = 0 ou A0 é

comutativa. Entretanto, como também já provamos δ (A0,A0) = δ (A0,A1) = δ (A1,A0) = 0, não

podemos ter δ (A1,A1) = 0, pois D é uma superderivação de Jordan própria. Logo, concluímos que

A0 é uma álgebra comutativa.

Finalmente, somente falta mostrar D(A1) 6= 0. Para isso, vamos supor D(A1) = 0. Inicialmente,

observe que para x0 ∈ A0 e x1 ∈ A1 elementos quaisquer, temos x0 s x1 = 12(x0x1 + x1x0) ∈ A1.

Assim, 0 = D(x0 s x1) = D(x0) s x1 + x0 s D(x1) = D(x0) s x1, ou seja,

D(x0)x1 + x1D(x0) = 0. (2.5)

Em particular, D(x20)x1 + x1D(x2

0) = 0. Além disso, como D|A0 é uma derivação, também

temos D(x20) = 2x0D(x0), pois A0 é comutativa. Substituindo e usando a equação (2.5), seguem as

igualdades0 = x0D(x0)x1 + x1x0D(x0)

= −x0x1D(x0) + x1x0D(x0)

= [x1, x0]D(x0).

Em consequência disso, temos

[x1, x0]y0D(x0) = x1x0y0D(x0)− x0x1y0D(x0)

= x1y0x0D(x0)− x0x1y0D(x0)

= [x1y0, x0]D(x0) = 0,


para qualquer y0 ∈ A0, o que implica [x1, x0]A0D(x0) = 0 e

[x1, x0]y1D(x0) = x1x0y1D(x0)− x0x1y1D(x0)

= x1x0y1D(x0)− (x1y1)x0D(x0)

= −x1[y1, x0]D(x0) = 0,

para todo y1 ∈ A1, isto é, [x1, x0]A1D(x0) = 0. Portanto, [x1, x0]AD(x0) = 0. Assim, [x1, x0] = 0

ou D(x0) = 0, para quaisquer x0 ∈ A0, x1 ∈ A1, pois A é uma superálgebra prima. Se D(A0) = 0,

então, como estamos supondo D(A1) = 0, teríamos D = 0, contradizendo o fato de que D é uma

superderivaçã de Jordan própria. Entretanto, se [A1,A0] = 0, então, da igualdade (2.5), temos

D(x0)x1 = 0 = x1D(x0), para todos x0 ∈ A0 e x1 ∈ A1. Substituindo x1 por y0x1 e x1y0 vale

D(x0)y0x1 = 0 = x1y0D(x0), ou seja, D(x0)A0x1 = 0 = x1A0D(x0). Logo, por (ii) do Lema 1.2.5,

temos D(x0) = 0, para todo x0 ∈ A0, o que nos leva a mesma contradição anterior. Portanto,

D(A1) 6= 0.

A seguir, daremos alguns exemplos de superderivações de Jordan próprias de grau 0, que ilustram

o Teorema 2.2.1.

Exemplo 2.2.1. Seja A = A0 ⊕ A1 uma superálgebra prima, comutativa como álgebra e tal que

A1 6= 0. Escolha 0 6= a0 ∈ A0 e dena D : A → A por D(x0 + x1) = a0x1, para todos xi ∈ Ai, ondei = 0, 1. Além disso, seja y1 ∈ A1 um elemento tal que a0y

21 6= 0. Então, D é uma superderivação

de Jordan própria de grau 0. De fato, D é uma aplicação linear tal que D(Ai) ⊆ Ai, onde i = 0, 1,

e para todos x, y ∈ A, temos

D(x s y) = D(x0 s y0 + x0 s y1 + x1 s y0 + x1 s y1)

= 12D(x0y0 + y0x0 + x0y1 + y1x0 + x1y0 + y0x1 + x1y1 − y1x1)

= 12a0(x0y1 + y1x0 + x1y0 + y0x1)

= a0x0y1 + a0x1y0

= 12((a0x1)y0 + y0(a0x1) + (a0x1)y1 − y1(a0x1) + x0(a0y1) + (a0y1)x0 + x1(a0y1)

−(a0y1)x1)

= (a0x1) s y0 + (a0x1) s y1 + x0 s (a0y1) + x1 s (a0y1)

= (a0x1) s y + x s (a0y1)

= D(x) s y + x s D(y).

Contudo, D(y21) = 0 mas D(y1)y1 + y1D(y1) = 2a0y

21 6= 0, isto é, D não é superderivação.

Exemplo 2.2.2. Seja A = Q(α, β) a superálgebra dos quatérnios, isto é, A é uma álgebra sobre

Φ, de dimensão 4, com uma base dada por 1, u, v, uv, e multiplicação denida como segue: uv =

−vu, 0 6= u2 = α ∈ Φ e 0 6= v2 = β ∈ Φ. Uma Z2-graduação para A pode ser denida por

A0 = Φ1 + Φuv e A1 = Φu + Φv. Além disso, consideramos a aplicação D : A → A dada por

D(λ11 + λ2uv + λ3u + λ4v) = λ3u − λ4v, para todo λi ∈ Φ, i = 1, 2, 3, 4. Então, D é uma


superderivação de Jordan de grau 0 própria. De fato, se x = u ∈ A, então, D(x2) = D(α) = 0, mas

D(x)x+ xD(x) = u2 + u2 = 2α 6= 0.


Finalmente, encerramos o capítulo com o estudo das superderivações de Jordan de grau 1.

Proposição 2.2.2. Seja D : A0 →M uma derivação de Jordan, onde A0 é uma álgebra semiprima,

que não é comutativa, eM é um A0-bimódulo. Suponha que as igualdades a0A0m = mA0a0 = 0,

com a0 ∈ A0 e m ∈M, impliquem a0 = 0 ou m = 0. Então, D é uma derivação.

Demonstração. Primeiramente, observe que escolhendo A = B = A0 no Lema 2.2.4, temos

[x0, y0]A0[x0, y0]A0δ(x0, y0) = 0, para todos x0, y0 ∈ A0 e

δ(x0, y0)A0[x0, y0]A0[x0, y0] = 0, para quaisquer x0, y0 ∈ A0,

onde δ(x0, y0) = D(x0y0)−D(x0)y0−x0D(y0). Assim, dados x0, y0 ∈ A0, denotando a0 = [x0, y0] ∈A0 e m = δ(x0, y0) ∈M, segue

(a0A0a0)A0m = 0 = mA0 (a0A0a0) ,

o que implica, por hipótese, m = 0 ou a0A0a0 = 0. Desse modo, como A0 é semiprima, o segundo

caso equivale a a0 = 0. Provamos, então, que para quaisquer x0, y0 ∈ A0, vale δ(x0, y0) = 0 ou

[x0, y0] = 0. Fixando x0 ∈ A0, e denindo

A1 = y0 ∈ A0 | δ(x0, y0) = 0 e A2 = y0 ∈ A0 | [x0, y0] = 0.

temos que A1 e A2 são subgrupos aditivos de A0 tais que A0 = A1 ∪A2, o que implica A0 = A1 ou

A0 = A2, pois um grupo não pode ser união de dois subgrupos próprios. Portanto, δ(x0,A0) = 0

ou [x0,A0] = 0, para cada x0 ∈ A0. Analogamente, considerando os subgrupos de A0

A′1 = x0 ∈ A0 | δ(x0,A0) = 0 e A′2 = x0 ∈ A0 | [x0,A0] = 0,

temos A0 = A′1 ∪ A

′2, o que implica A0 = A

′1 ou A0 = A

′2. Entretanto, se A0 = A

′2, então,

[A0,A0] = 0, isto é, A0 é comutativo, contradizendo a hipótese. Portanto, A0 = A′1, ou seja,

δ (A0,A0) = 0, o que signica que D é uma derivação.

Teorema 2.2.2. (Fo²ner, [10]) Seja A = A0 ⊕ A1 uma superálgebra associativa prima. Suponha

que exista uma superderivação de Jordan pópria D : A → A de grau 1. Então, A é uma álgebra

comutativa e D(A0) 6= 0.

Demonstração. Inicialmente, suponhamos por absurdo que A0 não seja comutativa. Desse modo,

como A é superálgebra associativa prima, pelo Lema 1.2.4, A0 é uma álgebra associativa semiprima.

Além disso, D(A0) ⊆ A1 e A1 é um A0-bimódulo, pela denição de Z2-graduação. Por (ii) do Lema

1.2.5, se a0 ∈ A0 e a1 ∈ A1 são elementos tais que a0A0a1 = a1A0a0 = 0, então, a0 = 0 ou a1 = 0.

Assim, D|A0 satisfaz as hipóteses da Proposição 2.2.2, pois esta é uma derivação de Jordan, e


consequentemente, D|A0 é uma derivação. Seja δ(x, y) = D(xy) − D(x)y − (−1)1|x|xD(y), onde

x, y ∈ A0 ∪ A1. As seguintes igualdades decorrem do Lema 2.2.3

δ(x0x1, y1) + δ(x0, x1)y1 = x0δ(x1, y1) (por (iv))

= δ(x1, y1)x0 (por (iii))

= δ(x1x0, y1) + y1δ(x0, x1) (por (v)).

Assim, por (iii) do Lema 2.2.3, seguem

[δ(x0, x1)y1, y0] = −[δ(x0x1, y1), y0] + [δ(x1x0, y1), y0] + [y1δ(x0, x1), y0]

= [y1δ(x0, x1), y0].

Multiplicando a igualdade obtida por z1[z0, x0] à direita, onde z1 ∈ A1 e x0, z0 ∈ A0, temos

[δ(x0, x1)y1, y0]z1[z0, x0] = [y1δ(x0, x1), y0]z1[z0, x0]

= y1δ(x0, x1)(y0z1)[z0, x0]− y0y1δ(x0, x1)z1[z0, x0] = 0

por (vi) do Lema 2.2.3, para quaisquer zi ∈ Ai, i = 0, 1, isto é,

[δ(x0, x1)y1, y0]A1 [A0, x0] = 0.

Por outro lado, por (vii) do Lema 2.2.3, decorre

[z0, x0]z1[δ(x0, x1)y1, y0] = [z0, x0]z1δ(x0, x1)y1y0 − [z0, x0]z1y0δ(x0, x1)y1 = 0,

para quaisquer zi ∈ Ai, onde i = 0, 1, isto é,

[A0, x0]A1[δ(x0, x1)y1, y0] = 0.

Desse modo, como [δ(x0, x1)y1, y0] ∈ A1 e [A0, x0] ⊆ A0, aplicando (ii) do Lema 1.2.5, segue

[δ(x0, x1)y1, y0] = 0 ou [A0, x0] = 0, para todo x0 ∈ A0. Porém, estamos supondo que A0 não é

comutativa, o que implica que ocorre [δ(x0, x1)y1, y0] = 0. Desta igualdade e dos itens (iii) e (iv)

do Lema 2.2.3, temos0 = [δ(x0, x1)y1, y0]

= [x0δ(x1, y1), y0]− [δ(x0x1, y1), y0]

= [x0δ(x1, y1), y0]

= [δ(x1, y1)x0, y0],

ou seja, δ(x1, y1)x0 comuta com qualquer elemento de A0, o que implica

δ(x1, y1)x0y0 = y0(δ(x1, y1)x0)

= y0x0δ(x1, y1)

= δ(x1, y1)(y0x0),


pois δ(x1, y1) também comuta com qualquer elemento de A0. Portanto, δ(x1, y1)[x0, y0] = 0.

Analogamente,x0y0δ(x1, y1) = x0(δ(x1, y1)y0)

= δ(x1, y1)(y0x0)

= y0x0δ(x1, y1)

isto é, [x0, y0]δ(x1, y1) = 0. Substituindo y0 por y0z0, onde y0 e z0 pertencem a A0, obtemos

0 = δ(x1, y1)[x0, y0z0]

= δ(x1, y1)(x0y0)z0 − δ(x1, y1)y0z0x0

= δ(x1, y1)z0(x0y0)− δ(x1, y1)z0(y0x0)

= δ(x1, y1)z0[x0, y0] e

0 = [x0, y0z0]δ(x1, y1)

= (x0y0)z0δ(x1, y1)− y0z0x0δ(x1, y1)

= (x0y0)z0δ(x1, y1)− (y0x0)z0δ(x1, y1)

= [x0, y0]z0δ(x1, y1),

para qualquer z0 ∈ A0. Portanto, chegamos as seguintes igualdades

[x0, y0]A0δ(x1, y1) = 0 e δ(x1, y1)A0[x0, y0] = 0,

para todos x0, y0 ∈ A0 e x1, y1 ∈ A1. Assim, como δ(x1, y1) ∈ A1 e [x0, y0] ∈ A0, por (ii) do Lema

1.2.5, segue δ(x1, y1) = 0 ou [x0, y0] = 0, para quaisquer x0, y0 ∈ A0 e x1, y1 ∈ A1. Entretanto, em

vista de que sabemos [A0,A0] 6= 0, existem x0, y0 ∈ A0 tais que [x0, y0] 6= 0. Logo, δ(x1, y1) = 0,

para todos x1, y1 ∈ A1.

Agora, por (iv) e (v) do Lema 2.2.3, temos

δ(x0, x1)y1 = x0δ(x1, y1)− δ(x0x1, y1) = 0 e

y1δ(x0, x1) = δ(x1, y1)x0 − δ(x1x0, y1) = 0,

para quaisquer x0 ∈ A0 e x1, y1 ∈ A1. Aplicando (ii) do Lema 1.2.5, segue δ (A0,A1) = 0. Portanto,

δ (A1,A0) = 0, por (i) do Lema 2.2.3. Então, estão provadas

δ (A0,A0) = δ (A0,A1) = δ (A1,A0) = δ (A1,A1) = 0,

isto é, D é uma superderivação de grau 1, o que contradiz a hipótese. Logo, A0 é uma álgebra

comutativa.

Prosseguindo, suponha D(A0) = 0. Assim, D(x0y0) = 0 = D(x0)y0 + x0D(y0), para todos

x0, y0 ∈ A0, e podemos aplicar todos os itens do Lema 2.2.3. Por (iii), temos [δ (A1,A1) ,A0] = 0,

mas como δ (A1,A1) ⊆ A1 e A0 é comutativa, segue de (ii) do Lema 1.2.6, que vale δ (A1,A1) = 0

ou A é comutativa. Se A é comutativa, e se x0, y0 ∈ A0 e x1, y1 ∈ A1, então, x0 s y0 = x0y0,

x0 s y1 = x0y1, x1 s y0 = x1y0 e x1 s y1 = 0, o que implica


• D(x0y0) = D(x0 s y0) = D(x0) s y0 + x0 s D(y0) = D(x0)y0 + x0D(y0);

• D(x0y1) = D(x0 s y1) = D(x0) s y1 + x0 s D(y1) = 0 + x0D(y1) = D(x0)y1 + x0D(y1);

• D(x1y0) = D(x1 s y0) = D(x1) s y0 − x1 s D(y0) = D(x1)y0 − 0 = D(x1)y0 − x1D(y0);

• D(x1y1) = 0 = D(x1 s y1) = D(x1) s y1 − x1 s D(y1) = D(x1)y1 − x1D(y1),

ou seja, D é superderivação de grau 1, o que contradiz a hipótese. Portanto, δ (A1,A1) = 0. Além

disso, por (iv) do Lema 2.2.3, temos

δ(x0, x1)y1 = x0δ(x1, y1)− δ(x0x1, y1) = 0,

e por (v), vale

y1δ(x0, x1) = δ(x1, y1)x0 − δ(x1x0, y1) = 0,

para qualquer y1 ∈ A1. Assim, substituindo y1 por y0y1 e por y1y0, onde y0 ∈ A0 é um elemento

qualquer, obtemos δ(x0, x1)A0y1 = y1A0δ(x0, x1) = 0, pois δ(x0, x1) ∈ A0 e y1 ∈ A1. Aplicando

(ii) do Lema 1.2.5, concluímos δ(x0, x1) = 0, para todos x0 ∈ A0, x1 ∈ A1, uma vez que podemos

tomar y1 6= 0. Desse modo, está provado δ (A0,A1) = 0, o que implica δ (A1,A0) = 0, por (i) do

Lema 2.2.3. Porém, já demonstramos que vale δ (A0,A0) = 0, pois A0 é comutativa, e também

δ (A1,A1) = 0. Desse modo, D é uma superderivação de grau 1, o que é uma contradição. Logo,

D(A0) 6= 0.

Finalmente, somente falta provar que A é comutativa. Sejam x0 ∈ A0 tal que D(x0) 6= 0 e

x1 ∈ A1. Para qualquer y0 ∈ A0, temos

x21 (D(x0)y0x1) = D(x0)y0x1x

21 = D(x0)(y0x

21)x1 = D(x0)x2

1y0x1,

e para todo y1 ∈ A1, vale

x21(D(x0)y1)x1 = D(x0)y1x

21x1 = D(x0)(y1x1)x2

1 = D(x0)x21y1x1,

pois A0 é comutativa. Da primeira igualdade, concluímos[x2

1, D(x0)]y0x1 = 0, para todo y0 ∈ A0,

e da segunda resulta[x2

1, D(x0)]y1x1 = 0, para qualquer y1 ∈ A1. Portanto,

[x2

1, D(x0)]Ax1 = 0.

Agora, pelo fato de A ser uma superálgebra prima, se x1 6= 0, então,[x2

1, D(x0)]

= 0. Além disso,

se x1 = 0, então, obviamente[x2

1, D(x0)]

= 0. Desse modo, x21 ∈ Z(A), para todo x1 ∈ A1, por (ii)

do Lema 1.2.6, pois x21 ∈ A0 e 0 6= D(x0) ∈ A1.

Agora, pelo Lema 2.2.2, segue

0 = D(0) = D([x21, y]) = [[D(x1), x1]s , y]s +

[x2

1, D(y)]

= [[D(x1), x1] , y]s ,

para todo y ∈ A. Particularmente, a igualdade [[D(x1), x1] ,A0] = 0 é válida. Portanto, se 0 6=[D(x1), x1] ∈ A1, então, o item (ii) do Lema 1.2.6 implica que A é comutativa, como queremos

provar. Suponhamos, então, [D(x1), x1] = 0, para todo x1 ∈ A1. Armamos que vale D(x1) ∈ Z(A),

para todo x1 ∈ A1. Com efeito, se x1 = 0, então, D(x1) = 0 ∈ Z(A). Caso contrário, D(x1) ∈ Z(A),

por (ii) do Lema 1.2.6, pois D(x1) ∈ A0.


Pela denição de superderivação de Jordan de grau 1, obtemos

D(x21 y1) = D(x2

1 s y1)

= D(x21) s y1 + x2

1 s D(y1)

= 12

(D(x2

1)y1 − y1D(x21))

+ x21 D(y1)

= 12

[D(x2

1), y1

]+ x2

1 D(y1),

para quaisquer x1, y1 ∈ A1. Assim, D(x21 y1) ∈ Z(A) e x2

1 D(y1) ∈ Z(A), pois x21 ∈ Z(A) e

D (A1) ⊆ Z(A), o que implica[D(x2

1), y1

]= 2D(x2

1 y1)− 2x21 D(y1) ∈ Z(A).

Logo,[[D(x2

1), y1

], y1

]= 0 e

0 = −[[D(x2

1), y1

], y1

]= −

[D(x2

1), y1

]y1 + y1

[D(x2

1), y1

]= −D(x2

1)y21 + y1D(x2

1)y1 + y1

[D(x2

1), y1

]= −y2

1D(x21) + y1D(x2

1)y1 + y1

[D(x2

1), y1

]= 2y1

[D(x2

1), y1

],

pois y21 ∈ Z(A). Analogamente, também temos

[D(x2

1), y1

]y1 = 0. Assim, substituindo y1 por y1y0

e y0y1, onde y0 ∈ A0 é qualquer, obtemos

y1A0

[D(x2

1), y1

]=[D(x2

1), y1

]A0y1 = 0.

Escolhendo y1 6= 0 e aplicando (ii) do Lema 1.2.5, concluímos[D(x2

1), y1

]= 0. Portanto, esta

igualdade ocorre para todo y1 ∈ A1. Agora, por (iii) do Lema 1.2.6, temos D(x21) = 0, para todo

x1 ∈ A1, ou A é comutativa. Suponhamos, então, que a primeira premissa é válida. A linearização

da igualdade resulta em

D(x1y1 + y1x1) = 0, para quaisquer x1, y1 ∈ A1,

ou seja, D(x1y1) = −D(y1x1). Assim, como D(A1) ⊆ Z(A), pela denição de superderivação de

Jordan de grau 1, temos

D(x1 s y1) = D(x1) s y1 − x1 s D(y1)

D(x1y1)−D(y1x1) = D(x1)y1 + y1D(x1)− x1D(y1)−D(y1)x1

2D(x1y1) = 2 (D(x1)y1 − x1D(y1)) ,

de onde concluímos que δ(x1, y1) = 0, para todos x1, y1 ∈ A1, pois Φ tem característica diferente

de 2, isto é, δ (A1,A1) = 0.


Agora, temos

δ(x1x0, y1) + δ(x1, x0)y1 = D(x1x0y1)−D(x1x0)y1 + x1x0D(y1) +D(x1x0)y1

−D(x1)x0y1 + x1D(x0)y1

= D(x1x0y1) + x1x0D(y1)−D(x1)x0y1 + x1D(x0)y1

= δ(x1, x0y1)− x1D(x0y1)− x1δ(x0, y1) + x1D(x0y1)

= δ(x1, x0y1)− x1δ(x0, y1),

para quaisquer x0 ∈ A0, x1, y1 ∈ A1, o que resulta em

δ(x1, x0)y1 = x1δ(y1, x0), (2.6)

por (i) do Lema 2.2.3. Em particular, escolhendo y1 = x1, obtemos δ(x1, x0)x1 = x1δ(x1, x0), o

que implica [δ(x1, x0), x1] = 0. Além disso se 0 6= x1 ∈ A1, então, δ(x1, x0) ∈ A0 é um elemento do

centro de A, por (ii) do Lema 1.2.6; e trivialmente se x1 = 0, então, δ(x1, x0) = 0 ∈ Z(A). Desse

modo, pela equação (2.6), temos

δ(x1, x0)[y1, x1] = δ(x1, x0)y1x1 − δ(x1, x0)x1y1

= x1δ(y1, x0)x1 − x1δ(x1, x0)y1

= x21δ(y1, x0)− x2

1δ(x1, x0) = 0.

Desse modo, δ(x1, x0)a[y1, x1] = aδ(x1, x0)[y1, x1] = 0, para todo a ∈ A. Assim, como A é uma

superálgebra prima e x0 ∈ A0 e y1 ∈ A1 são elementos quaisquer, concluímos δ (x1,A0) = 0 ou

[A1, x1] = 0, o que implica δ (A1,A0) = 0 ou A é comutativa, por (iii) do Lema 1.2.6. Finalmente,

se δ (A1,A0) = 0, então, a igualdade δ (A0,A1) = 0 também é válida. Neste caso, já provamos

δ (A1,A1) = δ (A1,A0) = δ (A0,A1) = 0.

Porém, como por hipótese D não é uma superderivação, necessariamente devemos ter

δ (A0,A0) 6= 0.

Entretanto, temos o seguinte

δ(x0, y0x1) + x0δ(y0, x1) = D(x0y0x1)−D(x0)y0x1 − x0D(y0)x1 − x0y0D(x1)

= D(x0y0x1)−D(x0y0)x1 − x0y0D(x1) +D(x0y0)x1

−D(x0)y0x1 − x0D(y0)x1

= δ(x0y0, x1) + δ(x0, y0)x1.

,

o que implica δ(x0, y0)x1 = 0. Multiplicando esta igualdade à direita por δ(x0, y0), obtemos

δ(x0, y0)A1δ(x0, y0) = 0,

pois x1 ∈ A1 um elemento qualquer. Todavia, por (i) do Lema 1.2.5, temos δ(x0, y0) = 0, para


todos x0, y0 ∈ A0, contradizendo a hipótese. Portanto, em qualquer caso, A é comutativa.

Encerramos o capítulo apresentando um exemplo de superderivação de Jordan própria de grau

1, ilustrando o teorema anterior.

Exemplo 2.2.3. Considere Φ [X] a álgebra dos polinômios sobre um corpo Φ e seja A = Φ [X]⊕Φ [X] a superálgebra com graduação dada por A0 = Φ [X] ⊕ 0 e A1 = 0 ⊕ Φ [X], e multiplicação

denida como segue: (p1, q1) · (p2, q2) = (p1p2 + q1q2, p1q2 + q1p2). Denimos D : A → A por

D(p, q) = (0, p′), onde p′ é a derivada de p, para todo (p, q) ∈ A. Então, D é uma superderivação de

Jordan própria de grau 1 de A. Com efeito, escolhendo (0, x), (x, 0) ∈ A, temos D((0, x)(x, 0)) =

D(0, x2) = (0, 0), mas D(0, x)(x, 0)− (0, x)D(x, 0) = (0, 0)(x, 0)− (0, x)(0, 1) = (x, 0).

Corolário 2.2.1. Toda superderivação de Jordan em uma superálgebra associativa prima, cuja

parte par é não comutativa, é uma superderivação.

Demonstração. É uma consequência dos Teoremas 2.2.1 e 2.2.2.

Capítulo 3

Derivações e superderivações de Jordan

em anéis e superálgebras semiprimas

Neste capítulo, apresentamos alguns resultados de Matej Bre²ar [7] e de Maja Fo²ner [11], os

quais estendem o caso primo, que foi estudado no capítulo anterior, para o caso semiprimo.

3.1 Derivações de Jordan em anéis semiprimos

Inicialmente, recorde que um anel A é semiprimo se não possui ideais nilpotentes não nulos. Isso

equivale a satisfazer a propriedade: se a ∈ A é um elemento tal que aAa = 0, então, a = 0.

Nesta seção, o resultado principal que pretendemos provar arma que toda derivação de Jordan

de um anel semiprimo de característica diferente de 2 é uma derivação. A m de demonstrá-lo,

usaremos alguns fatos que já foram vericados no capítulo anterior. Iremos manter a notação ab =

D(ab)−D(a)b−aD(b), onde a, b ∈ A e D : A→ A é uma derivação de Jordan de um anel semiprimo

A. Assim, já sabemos que são válidas as seguintes propriedades:

1. Para quaisquer a, b ∈ A, temos

ab + ba = D(ab)−D(a)b− aD(b) +D(ba)−D(b)a− bD(a)

= D(ab+ ba)−D(a)b− bD(a)− aD(b)−D(b)a = 0,

pois D é derivação de Jordan. Portanto, ab = −ba.

2. Para todos a, b, c ∈ A, seguem

ab+c = D(a(b+ c))−D(a)(b+ c)− aD(b+ c)

= D(ab)−D(a)b− aD(b) +D(ac)−D(a)c− aD(c)

= ab + ac.

Além disso, dados a, b, x ∈ A, pelo Teorema 2.1.1, vale

abx[a, b] + [a, b]xab = 0. (3.1)

43

44 DERIVAÇÕES E SUPERDERIVAÇÕES DE JORDAN EM ANÉIS E SUPERÁLGEBRAS SEMIPRIMAS3

O próximo resultado, assim como a Proposição 2.2.2, estabelece condições para que uma deri-

vação de Jordan seja uma derivação.

Teorema 3.1.1. (Bre²ar, [7]) Se A é um anel semiprimo de característica diferente de 2 eD : A→ A

é uma derivação de Jordan de A, então, D é uma derivação.

Demonstração. Na nossa notação, queremos mostrar que a igualdade ab = 0 é válida, para quaisquer

a, b ∈ A. Pelos Teorema 2.1.1 e Lema 1.1.6 já sabemos que, para todos a, b, x ∈ A, temos

abx[a, b] = 0. (3.2)

Substituindo b por b+ c na igualdade acima, segue ab+cx[a, b+ c] = 0, o que implica abx[a, c] +

acx[a, b] = 0. Por essa relação e por (3.2), obtemos (abx[a, c])y(abx[a, c]) = −ab(x[a, c]yacx)[a, b] =

0, para quaisquer a, b, c, x, y ∈ A. Assim, como A é um anel semiprimo, concluímos

abx[a, c] = 0, (3.3)

para todos a, b, c, x ∈ A. Trocando a por a + d última igualdade, temos (a + d)bx[a + d, c] = 0, o

que implica abx[d, c]+dbx[a, c] = 0. Por esta igualdade e por (3.3), obtemos (abx[d, c])y(abx[d, c]) =

−ab(x[d, c]ydbx)[a, c] = 0. Desse modo, segue

abx[d, c] = 0, (3.4)

para todos a, b, c, d, x ∈ A, pois A é um anel semiprimo. Em particular, [ab, c]x[ab, c] = ab(cx)[ab, c]−cabx[ab, c] = 0, para quaisquer a, b, c, x ∈ A, o que nos leva a [ab, c] = 0, para todos a, b, c ∈ A, vistoque A é um anel semiprimo. Portanto, ab ∈ Z(A), para quaisquer a, b ∈ A. Agora, usando (3.4)

obtemos (ab[d, c])x(ab[d, c]) = ab([d, c]xab)[d, c] = 0, de onde segue

ab[d, c] = 0, (3.5)

para quaisquer a, b, c, d ∈ A. Usando novamente as propriedades da notação, temos

2(ab)2 = abab + ab(−ba)= ab(ab − ba)= ab(D(ab)−D(a)b− aD(b)−D(ba) +D(b)a+ bD(a))

= ab(D(ab− ba) + [b,D(a)] + [D(b), a]).

Além disso, de (3.5), decorre ab[b,D(a)] = ab[D(b), a] = 0, o que reduz a relação acima a

2(ab)2 = abD([a, b]). (3.6)

Novamente por (3.5), vale ab[a, b] = 0, o que nos permite concluir ab[a, b] + [a, b]ab = 0, pois

ab ∈ Z(A). Assim, como D é uma derivação de Jordan, temos as seguintes igualdades

0 = D(0) = D(ab[a, b] + [a, b]ab) = D(ab)[a, b] + abD([a, b]) +D([a, b])ab + [a, b]D(ab),

3 SUPERDERIVAÇÕES DE JORDAN EM SUPERÁLGEBRAS SEMIPRIMAS 45

que podem ser reescritas como

D(ab)[a, b] + 4(ab)2 + [a, b]D(ab) = 0. (3.7)

pela igualdade (3.6) e pois ab ∈ Z(A).

Finalmente, multiplicando (3.7) por ab, podemos concluir que vale 4(ab)3 = 0, para todos

a, b ∈ A, por (3.5), o que implica (ab)3 = 0, pois a característica de A é diferente de 2. Desse modo,

ab é um elemento nilpotente que pertence a Z(A). Portanto, pelo Lema 1.1.5, temos ab = 0, para

todos a, b ∈ A. Logo, D é uma derivação de A.

3.2 Superderivações de Jordan em superálgebras semiprimas

Conforme as denições dadas anteriormente, uma superálgebra A é semiprima se não possui

ideais graduados nilpotentes não nulos, equivalentemente a superálgebra A deve satisfazer se a é

um elemento homogêneo arbitrário de A tal que aAa = 0, então, a = 0.

O objetivo dessa seção é generalizar o resultado anterior para superálgebras. Para isso, usaremos

alguns fatos já enunciados e provados no capítulo anterior, como por exemplo, o Lema 1.2.4 que

mostra que se A = A0 ⊕A1 é uma superálgebra associativa semiprima, então, A e A0 são álgebras

associativas semiprimas.

Ao longo de toda essa seção, A = A0⊕A1 denotará uma superálgebra, isto é, A é uma álgebra

Z2-graduada sobre um anel Φ comutativo, com identidade e tal que 12 ∈ Φ, associativa semiprima

e D = D0 + D1 uma superderivação de Jordan de A, onde Di representa uma superderivação de

Jordan de grau i de A, para i = 0, 1. Além disso, temos as operações e s dadas por

a b =1

2(ab+ ba), para todos a, b ∈ A e

a s b =1

2(ab+ (−1)|a||b|ba), para quaisquer a, b ∈ A0 ∪ A1.

Denimos também aplicações bilineares δi : A×A → A, onde i = 0, 1, por

δi(x, y) = Di(xy)−Di(x)y − (−1)i|x|xDi(y), (3.8)

para todos x, y ∈ A0∪A1. Observe que apesar de termos provado anteriormente que δi é biaditiva, a

bilinearidade segue trivialmente, poisDi é Φ-linear. Além disso, claramenteDi é uma superderivação

de grau i de A se, e somente se, δi = 0, onde i = 0, 1.

Se x e y são elementos de A tais que xAy = 0, o que vamos denotar por x ⊥ y, então, seguem

xy = yx = yAx = 0. Com efeito, (yax)A(yax) = ya(xAy)ax = 0, para todo a ∈ A, o que

implica yAx = 0, pois A também é semiprima como álgebra; e (xy)A(xy) = x(yAx)y = 0 e

(yx)A(yx) = y(xAy)x = 0 implicam xy = yx = 0.

A m de provarmos a generalização desejada, necessitaremos de alguns lemas auxiliares.

Lema 3.2.1. Se x e y são elementos homogêneos de A tais que x ⊥ y, então, x s Di(y) = 0, onde

i = 0, 1.

Demonstração. Por hipótese, xAy = 0, o que implica yAx = xy = yx = 0. Desse modo, x s y =


xy + (−1)|x||y|yx = 0. Assim, temos Di(x s y) = 0, pois Di é Φ-linear, o que implica Di(x) s y +

(−1)i|x|x s Di(y) = 0, uma vez que Di é uma superderivação de Jordan de A de grau i.

Consequentemente, as igualdades são válidas

0 = (xa)(Di(x) s y + (−1)i|x|x s Di(y))

= x(aDi(x))y + (−1)|Di(x)||y|(xay)Di(x) + (−1)i|x|(xa)(x s Di(y))

= (−1)i|x|(xa)(x s Di(y)),

para todo a ∈ A, ou seja, xa(x s Di(y)) = 0, o que resulta em

(x s Di(y))a(x s Di(y)) = x(Di(y)a)(x s Di(y)) + (−1)|x||Di(y)|Di(y)(xa(x s Di(y))) = 0,

para todo a ∈ A, isto é, (x s Di(y))A(x s Di(y)) = 0, de onde concluímos x s Di(y) = 0, pois Aé semiprima.

Lema 3.2.2. São válidas as seguintes igualdades:

(i) δi(x0, y0) = −δi(y0, x0), δi(x0, y1) = −δi(y1, x0) e δi(x1, y1) = δi(y1, x1), para quaisquer x0, y0 ∈A0 e x1, y1 ∈ A1;

(ii) Di([x21, y]) = [[Di(x1), x1]s, y]s + [x2

1, Di(y)], para todos x1 ∈ A1 e y ∈ A.

Demonstração. As igualdades δi(x0, y1) = −δi(y1, x0) e δi(x1, y1) = δi(y1, x1) já foram demonstra-

das em (i) e (ii) do Lema 2.2.3 do Capítulo 2. Além disso, (ii) está provado no Lema 2.2.2 do

Capítulo 2. Finalmente, somente falta mostrar que a igualdade δi(x0, y0) = −δi(y0, x0) é válida.

Com efeito,

δi(x0, y0) + δi(y0, x0) = Di(x0y0)−Di(x0)y0 − (−1)i|x0|x0Di(y0)

+Di(y0x0)−Di(y0)x0 − (−1)i|y0|y0Di(x0)

= Di(x0y0 + y0x0)− (Di(x0)y0 + y0Di(x0))

−(x0Di(y0) +Di(y0)x0)

= 2(Di(x0 s y0)−Di(x0) s y0 − (−1)i|x0|x0 s Di(y0)) = 0,

pois Di é superderivação de Jordan de grau i de A. Portanto, δi(x0, y0) = −δi(y0, x0), para todos

x0, y0 ∈ A0.

Lema 3.2.3. Seja U um ideal graduado de A. Se δi(U0,A0) = 0, então, as seguintes armações

são verdadeiras:

(i) [δi(A1,A1), U0] = 0;

(ii) δi(u0, x1)y1 = u0δi(x1, y1)− δi(u0x1, y1), para todos u0 ∈ U0 e x1, y1 ∈ A1;

(iii) δi(x0, u1)y1 = x0δi(u1, y1)− δi(x0u1, y1), para quaisquer x0 ∈ A0, u1 ∈ U1 e y1 ∈ A1;

(iv) (−1)iy1δi(u0, x1) = δi(x1u0, y1)− δi(x1, y1)u0, para todos u0 ∈ U0 e x1, y1 ∈ A1;

(v) (−1)iy1δi(x0, u1) = δi(u1x0, y1)− δi(u1, y1)x0, para quaisquer x0 ∈ A0, u1 ∈ U1 e y1 ∈ A1;


(vi) δ0(U0,A1) ⊥ [A0, U0];

(vii) δ1(U0,A1)A1[A0, U0] = [A0, U0]A1δ1(U0,A1) = 0.

Demonstração. (i) Para cada x1 ∈ A1 e u0 ∈ U0, temos

Di([x21, u0]) = Di(x

21u0)−Di(u0x

21)

= δi(x21, u0) +Di(x

21)u0 + (−1)i|x

21|x2

1Di(u0)

−δi(u0, x21)−Di(u0)x2

1 − (−1)i|u0|u0Di(x21)

= −2δi(u0, x21) +Di(x

21)u0 + x2

1Di(u0)−Di(u0)x21 − u0Di(x

21)

= [Di(x21), u0] + [x2

1, Di(u0)],

pois x21 ∈ A0 δi(U0,A0) = 0. Por outro lado, por (ii) do Lema 3.2.2, também vale

Di([x21, u0]) = [[Di(x1), x1]s, u0]s + [x2

1, Di(u0)].

Desse modo, igualando as duas expressões obtidas, segue [[Di(x1), x1]s, u0]s = [Di(x21), u0], o

que equivale a [Di(x1)x1 − (−1)|Di(x1)||x1|x1Di(x1), u0] = [Di(x21), u0]. Portanto,

[Di(x21)−Di(x1)x1 − (−1)i|x1|x1Di(x1), u0] = 0,

isto é, [δi(x1, x1), u0] = 0. Linearizando esta última igualdade, obtemos [δi(x1, y1), u0] +

[δi(y1, x1), u0] = 0, o que implica 2[δi(x1, y1), u0] = 0, por (i) do Lema 3.2.2. Consequen-

temente, [δi(x1, y1), u0] = 0, para todos x1, y1 ∈ A1, u0 ∈ U0, ou seja, [δi(A1,A1), U0] = 0.

(ii) Dados u0 ∈ U0, x1, y1 ∈ A1, vamos determinar Di(u0x1y1). Por um lado, temos

Di(u0(x1y1)) = δi(u0, x1y1) +Di(u0)x1y1 + (−1)i|u0|u0Di(x1y1)

= Di(u0)x1y1 + u0(δi(x1, y1) +Di(x1)y1 + (−1)i|x1|x1Di(y1)).

Por outro lado, também vale

Di((u0x1)y1) = δi(u0x1, y1) +Di(u0x1)y1 + (−1)i|u0x1|u0x1Di(y1)

= δi(u0x1, y1) + (δi(u0, x1) +Di(u0)x1 + (−1)i|u0|u0Di(x1))y1

+(−1)iu0x1Di(y1).

Igualando as duas expressões, obtemos u0δi(x1, y1) = δi(u0x1, y1) + δi(u0, x1)y1, ou seja,

δi(u0, x1)y1 = u0δi(x1, y1)− δi(u0x1, y1).

(iii) Para cada x0 ∈ A0, u1 ∈ U1 e y1 ∈ A1, calculemos Di(x0u1y1). Por um lado, vale

Di(x0(u1y1)) = δi(x0, u1y1) +Di(x0)u1y1 + (−1)i|x0|x0Di(u1y1)

= Di(x0)u1y1 + x0(δi(u1, y1) +Di(u1)y1 + (−1)i|u1|u1Di(y1)).


Por outro lado, também temos

Di((x0u1)y1) = δi(x0u1, y1) +Di(x0u1)y1 + (−1)i|x0u1|x0u1Di(y1)

= δi(x0u1, y1) + (δi(x0, u1) +Di(x0)u1 + (−1)i|x0|x0Di(u1))y1

+(−1)ix0u1Di(y1).

A comparação das duas expressões obtidas, resulta em

x0δi(u1, y1) = δi(x0u1, y1) + δi(x0, u1)y1,

ou seja, δi(x0, u1)y1 = x0δi(u1, y1)− δi(x0u1, y1).

(iv) Dados u0 ∈ U0, x1, y1 ∈ A1, vamos determinar Di(y1x1u0). Por um lado, as seguintes igual-

dades são válidas

Di(y1(x1u0)) = δi(y1, x1u0) +Di(y1)x1u0 + (−1)i|y1|y1Di(x1u0)

= δi(y1, x1u0) +Di(y1)x1u0 + (−1)iy1(δi(x1, u0) +Di(x1)u0

+(−1)i|x1|x1Di(u0)).

Por outro lado, também sabemos

Di((y1x1)u0) = δi(y1x1, u0) +Di(y1x1)u0 + (−1)i|y1x1|y1x1Di(u0)

= (δi(y1, x1) +Di(y1)x1 + (−1)i|y1|y1Di(x1))u0 + y1x1Di(u0).

Igualando estas duas expressões, obtemos δi(y1, x1u0) + (−1)iy1δi(x1, u0) = δi(y1, x1)u0, ou

seja,

(−1)iy1δi(x1, u0) = δi(x1u0, y1)− δi(x1, y1)u0.

(v) Para cada x0 ∈ A0, u1 ∈ U1 e y1 ∈ A1, calculemos Di(y1u1x0). Por um lado, note

Di(y1(u1x0)) = δi(y1, u1x0) +Di(y1)u1x0 + (−1)i|y1|y1Di(u1x0)

= δi(y1, u1x0) +Di(y1)u1x0 + (−1)iy1(δi(u1, x0) +Di(u1)x0

+(−1)i|u1|u1Di(x0)),

Por outro lado, também temos

Di((y1u1)x0) = δi(y1u1, x0) +Di(y1u1)x0 + (−1)i|y1u1|y1u1Di(x0)

= (δi(y1, u1) +Di(y1)u1 + (−1)i|y1|y1Di(u1))x0 + y1u1Di(x0).

A comparação das duas expressões obtidas, resulta em δi(y1, u1x0) + (−1)iy1δi(u1, x0) =

δi(y1, u1)x0, ou seja,

(−1)iy1δi(x0, u1) = δi(u1x0, y1)− δi(u1, y1)x0.


(vi) Observe que pelos itens (i) e (ii), temos

[δi(u0, x1)y1, u0] = [u0δi(x1, y1), u0]− [δi(u0x1, y1), u0] = 0,

para quaisquer u0 ∈ U0 e x1, y1 ∈ A1, isto é, [δi(u0,A1)A1, u0] = 0, para todo u0 ∈ U0. Desse

modo, as seguintes igualdades são válidas:

δi(u0, x1)z1[z0, u0] = δi(u0, x1)z1z0u0 − δi(u0, x1)z1u0z0

= δi(u0, x1)z1z0u0 − u0δi(u0, x1)z1z0 + u0δi(u0, x1)z1z0

−δi(u0, x1)z1u0z0

= [δi(u0, x1)(z1z0), u0]− [δi(u0, x1)z1, u0]z0 = 0,

para todos u0 ∈ U0, z0 ∈ A0 e x1, z1 ∈ A1, isto é,

δi(u0,A1)A1[A0, u0] = 0, (3.9)

para qualquer u0 ∈ U0. Além disso, por (i) e (iv), também temos

[y1δi(u0, x1), u0] = (−1)i[δi(x1u0, y1), u0]− (−1)i[δi(x1, y1)u0, u0]

= (−1)i[δi(x1u0, y1), u0]− (−1)i[δi(x1, y1), u0]u0 = 0,

para todos x1, y1 ∈ A1. Substituindo y1 por z0z1, onde zi ∈ Ai, i = 0, 1, obtemos

0 = [(z0z1)δi(u0, x1), u0]

= z0z1δi(u0, x1)u0 − u0z0z1δi(u0, x1)

= z0u0z1δi(u0, x1)− u0z0z1δi(u0, x1) + z0z1δi(u0, x1)u0 − z0u0z1δi(u0, x1)

= [z0, u0]z1δi(u0, x1) + z0[z1δi(u0, x1), u0]

= [z0, u0]z1δi(u0, x1),

isto é, [A0, u0]A1δi(u0,A1) = 0. Agora, a linearização de (3.9) resulta em

δi(u0, x1)y1[z0, v0] + δi(v0, x1)y1[z0, u0] = 0,

ou seja, δi(u0, x1)y1[z0, v0] = −δi(v0, x1)y1[z0, u0], para quaisquer u0, v0 ∈ U0, z0 ∈ A0 e

x1, y1 ∈ A1. Por esta última igualdade, temos

(δi(u0, x1)y1[z0, v0])a1(δi(u0, x1)y1[z0, v0])

= −δi(u0, x1)y1([z0, v0]a1δi(v0, x1))y1[z0, u0] = 0 e(3.10)

([z0, v0]y1δi(u0, x1))a1([z0, v0]y1δi(u0, x1))

= −([z0, v0]y1δi(v0, x1))a1[z0, u0]y1δi(u0, x1) = 0,(3.11)

para todo a1 ∈ A1. Se i = 0, então, δ0(u0, x1) ∈ A1 e [z0, u0] ∈ A0. Assim, por (ii) do Lema

1.2.8, para o caso particular U = A, como δ0(u0, x1)A1[z0, u0] = [z0, u0]A1δ0(u0, x1) = 0,

concluímos δ0(u0, x1)A[z0, u0] = [z0, u0]Aδ0(u0, x1) = 0, para todo u0 ∈ U0, de onde obtemos

δ0(u0, x1)a[z0, v0] + δ0(v0, x1)a[z0, u0] = 0, ou seja, δ0(u0, x1)a[z0, v0] = −δ0(v0, x1)a[z0, u0],


para todo a ∈ A. Consequentemente, segue que são válidas as igualdades

(δ0(u0, x1)y[z0, v0])a(δ0(u0, x1)y[z0, v0])

= −δ0(u0, x1)y([z0, v0]aδ0(v0, x1))y[z0, u0] = 0,

para todo a ∈ A. Portanto, δ0(u0, x1)y[z0, v0] = 0, para todo y ∈ A, pois A é semiprima.

Logo, δ0(U0,A1)A[A0, U0] = 0, como queríamos provar.

(vii) Se i = 1, então, [z0, v0] ∈ A0 e δ1(u0, x1) ∈ A0, para todos u0, v0 ∈ U0, z0 ∈ A0 e x1 ∈ A1.

Desse modo, [z0, v0]y1δ1(u0, x1), δ1(u0, x1)y1[z0, v0] ∈ A1, para todo y1 ∈ A1. Agora, pelas

igualdades (3.10) e (3.11), ocorrem

([z0, v0]y1δ1(u0, x1))A1([z0, v0]y1δ1(u0, x1)) = 0 e

(δ1(u0, x1)y1[z0, v0])A1(δ1(u0, x1)y1[z0, v0]) = 0.

Portanto, (i) do Lema 1.2.8 implica [z0, v0]y1δ1(u0, x1) = δ1(u0, x1)y1[z0, v0] = 0, para todo

y1 ∈ A1, isto é,

[z0, v0]A1δ1(u0, x1) = δ1(u0, x1)A1[z0, v0] = 0.


Nesta seção, vamos estudar as superderivações de Jordan de grau 0. A seguinte notação é

adotada: [A0,A0] representa o subgrupo aditivo de A gerado pelos elementos da forma [x0, y0] =

x0y0− y0x0, com x0, y0 ∈ A0, e denimos U como sendo o ideal de A gerado por [A0,A0]. Observe

que U é um ideal graduado de A.

Teorema 3.2.1. (Fo²ner, [11]) Para a aplicação bilinear δ0, denida em (3.8), e o ideal U de A,denido anteriormente, vale δ0(U,A) = 0.

Demonstração. Primeiramente, observe que como D0|A0 é uma derivação de Jordan e A0 é uma

álgebra semiprima, já vimos na Seção 3.1 que ocorre

δ0(A0,A0) = 0, (3.12)

isto é, D0|A0 é uma derivação em A0. Assim, aplicando (vi) do Lema 3.2.3 para o caso U = A,obtemos

δ0(A0,A1) ⊥ [A0,A0]. (3.13)

Em particular, para quaisquer x0, y0 ∈ A0, y0, y1 ∈ A1 e z ∈ A valem as seguintes igualdades

[y1δ0(x0, x1), y0]z[y1δ0(x0, x1), y0]

= y1(δ0(x0, x1)(y0z)[y1δ0(x0, x1), y0])− y0y1(δ0(x0, x1)z[y1δ0(x0, x1), y0]) = 0 e

[δ0(x0, x1)y1, y0]z[δ0(x0, x1)y1, y0]

= (δ0(x0, x1)(y1y0z)[δ0(x0, x1)y1, y0])− y0(δ0(x0, x1)(y1z)[δ0(x0, x1)y1, y0]) = 0,

pois y1δ0(x0, x1), δ0(x0, x1)y1 ∈ A0. Desse modo, comoA é uma superálgebra semiprima, concluímos

[y1δ0(x0, x1), y0] = [δ0(x0, x1)y1, y0] = 0,


para todo y0 ∈ A0, isto é,

A1δ0(A0,A1), δ0(A0,A1)A1 ∈ Z(A0), (3.14)

o que implica δ0(x0, x1)2 ∈ Z(A), para todos x0 ∈ A0 e x1 ∈ A1, pelo Lema 1.2.7.

Prosseguindo, dado u0 ∈ U0 ⊆ A0, observemos que vale δ0(u0, x1)y1 ⊥ v, para todos v ∈ U0∪U1

e x1, y1 ∈ A1, pois δ0(A0,A1) ⊥ [A0,A0] e U é o ideal gerado pelos elementos da forma [x0, y0],

onde x0, y0 ∈ A0. Agora, aplicando o Lema 3.2.1, temos δ0(u0, x1)y1 s D0(v) = 0, ou seja,

δ0(u0, x1)y1D0(v) +D0(v)δ0(u0, x1)y1 = 0. (3.15)

Assim, para y1 = δ0(u0, x1) ∈ A1, a igualdade se torna δ0(u0, x1)2D0(v) +D0(v)δ0(u0, x1)2 = 0,

o que implica 2δ0(u0, x1)2D0(v) = 0, pois δ0(u0, x1)2 ∈ Z(A). Portanto, δ0(u0, x1)2D0(v) = 0. Além

disso, pela denição da aplicação δ0, também temos

(δ0(u0, x1)y1)2 = δ0(u0, x1)y1(D0(u0x1)−D0(u0)x1 − u0D0(x1))y1, (3.16)

Desse modo, novamente escolhendo y1 = δ0(u0, x1), chegamos a

δ0(u0, x1)4 = (δ0(u0, x1)2D0(u0x1)− (δ0(u0, x1)2D0(u0))x1

−(δ0(u0, x1)2u0)D0(x1))δ0(u0, x1)2 = 0,

pois u0, u0x1 ∈ U0 ∪ U1. Consequentemente, também vale

δ0(u0, x1)2aδ0(u0, x1)2 = δ0(u0, x1)4a = 0,

para todo a ∈ A, o que implica δ0(u0, x1)2 = 0, pois A é semiprima.

Note que se v ∈ U1, multiplicando (3.15) por δ0(u0, x1)y1 à esquerda, obtemos

0 = (δ0(u0, x1)y1)2D0(v) + δ0(u0, x1)y1D0(v)δ0(u0, x1)y1

= (δ0(u0, x1)y1)2D0(v) +D0(v)δ0(u0, x1)2y21 (δ0(A0,A1)A1 ⊆ Z(A0))

= (δ0(u0, x1)y1)2D0(v).

Se v ∈ U0, então, por (3.14) e (3.15), segue

0 = δ0(u0, x1)y1D0(v) +D0(v)δ0(u0, x1)y1 = 2δ0(u0, x1)y1D0(v),

pois D0(v) ∈ A0, o que implica δ0(u0, x1)y1D0(v) = 0.

Agora, multiplicando (3.16) por δ0(u0, x1)y1, temos

(δ0(u0, x1)y1)3 = (δ0(u0, x1)y1)2D0(u0x1)− (δ0(u0, x1)y1)2D0(u0)x1

−(δ0(u0, x1)y1)2u0D0(x1))y1 = 0,

pois u0 ∈ U0 e u0x1 ∈ U1. Portanto δ0(u0, x1)y1 é um elemento nilpotente de Z(A0), o que im-

plica δ0(u0, x1)y1 = 0, pelo Lema 1.1.5, pois A0 é uma álgebra semiprima. Consequentemente,

δ0(u0, x1)y1δ0(u0, x1) = 0, para todo y1 ∈ A1. Desse modo, aplicando o Lema 1.2.8 para o caso

U = A, obtemos δ0(u0, x1) = 0, pois este último é um elemento de A1, para todos u0 ∈ U0 e

x1 ∈ A1. Assim, está provado δ0(U0,A1) = 0.


Além disso, dado u1 ∈ U1, temos δ0(u1, x0)y1 ⊥ v, para todos v ∈ U0 ∪ U1, x0 ∈ A0 e y1 ∈ A1,

pois δ0(u1, x0) = −δ0(x0, u1), δ0(A0,A1) ⊥ [A0,A0] e U é o ideal gerado pelos elementos da forma

[z0, w0], onde z0, w0 ∈ A0). Aplicando o Lema 3.2.1, obtemos δ0(u1, x0)y1 s D0(v) = 0, ou seja,

δ0(u1, x0)y1D0(v) +D0(v)δ0(u1, x0)y1 = 0. (3.17)

Em particular, tomando y1 = δ0(u1, x0) ∈ A1, segue δ0(u1, x0)2D0(v) +D0(v)δ0(u1, x0)2 = 0, o

que implica 2δ0(u1, x0)2D0(v) = 0, pois δ0(u1, x0)2 ∈ Z(A). Portanto, δ0(u1, x0)2D0(v) = 0.

Agora, pela denição da aplicação δ0, também temos

(δ0(u1, x0)y1)2 = δ0(u1, x0)y1(D0(u1x0)−D0(u1)x0 − u1D0(x0))y1. (3.18)

Analogamente, escolhendo y1 = δ0(u1, x0), chegamos a

δ0(u1, x0)4 = (δ0(u1, x0)2D0(u1x0)− (δ0(u1, x0)2D0(u1))x0

−(δ0(u1, x0)2u1)D0(x0))δ0(u1, x0)2 = 0,

pois u1 e u1x0 pertencem a U0 ∪ U1. Consequentemente,

δ0(u1, x0)2aδ0(u1, x0)2 = δ0(u1, x0)4a = 0,

para todo a ∈ A, o que implica δ0(u1, x0)2 = 0, pela semiprimalidade de A.Prosseguindo, dado v ∈ U1, multiplicando (3.17) à esquerda por δ0(u1, x0)y1, obtemos

0 = (δ0(u1, x0)y1)2D0(v) + δ0(u1, x0)y1D0(v)δ0(u1, x0)y1

= (δ0(u1, x0)y1)2D0(v) +D0(v)δ0(u1, x0)2y21 (δ0(A1,A0)A1 ⊆ Z(A0))

= (δ0(u1, x0)y1)2D0(v).

Repetindo o mesmo processo para (3.18), segue

(δ0(u1, x0)y1)3 = (δ0(u1, x0)y1)2D0(u1x0)− (δ0(u1, x0)y1)2D0(u1)x0

−(δ0(u1, x0)y1)2u1D0(x0))y1 = 0,

pois u1, u1x0 ∈ U1, isto é, δ0(u1, x0)y1 é um elemento nilpotente que pertence ao centro de A0.

Assim, como A0 é uma álgebra semiprima, concluímos δ0(u1, x0)y1 = 0, pelo Lema 1.1.5. Desse

modo, claramente δ0(u1, x0)y1δ0(u1, x0) = 0, para todo y1 ∈ A1. Agora, aplicando o Lema 1.2.8

para o caso U = A, obtemos δ0(u1, x0) = 0, pois este último é um elemento de A1, para todos

u1 ∈ U1, x0 ∈ A0, o que prova que a igualdade δ0(U1,A0) = 0 é válida.

Dados u1 ∈ U1 e x1 ∈ A1, como x21 ∈ A0, temos δ0(x2

1, u1) = 0, o que implica

D0([x21, u1]) = D0(x2

1u1)−D0(u1x21)

= δ0(x21, u1) +D0(x2

1)u1 + x21D0(u1)− δ0(u1, x

21)−D0(u1)x2

1 − u1D0(x21)

= [D0(x21), u1] + [x2

1, D0(u1)].


Por outro lado, (ii) do Lema 3.2.2 nos fornece

D0([x21, u1]) = [[D0(x1), x1]s, u1]s + [x2

1, D0(u1)]

= [D0(x1)x1 + x1D0(x1), u1] + [x21, D0(u1)].

Assim, comparando as igualdades encontradas, obtemos

[D0(x21), u1] = [D0(x1)x1 + x1D0(x1), u1],

ou seja, [δ0(x1, x1), u1] = 0, para todos u1 ∈ U1, x1 ∈ A1.

Além disso, como δ0(A0,A0) = 0, temos δ0(U0,A0) = 0, o que implica [δ0(A1,A1), U0] = 0, por

(i) do Lema 3.2.3. Desse modo, vale [δ0(x1, x1), U0] = 0, e consequentemente, [δ0(x1, x1), U ] = 0,

para todo x1 ∈ A1. Logo, linearizando esta igualdade, obtemos [δ0(x1, y1), u] + [δ0(y1, x1), u] = 0,

para todo u ∈ U , o que equivale a [δ0(x1, y1), U ] = 0, pelo Lema 3.2.2 e pois 12 ∈ Φ, isto é,

[δ0(A1,A1), U ] = 0. (3.19)

Prosseguindo, de (3.14) e de (i) e (ii) do Lema 3.2.3, no caso U = A, decorrem as seguintes

igualdades

[x0δ0(x1, y1), y0] = x0δ0(x1, y1)y0 − y0x0δ0(x1, y1)

= δ0(x0, x1)y1y0 + δ0(x0x1, y1)y0 − y0δ0(x0, x1)y1

−y0δ0(x0x1, y1)

= [δ0(x0, x1)y1, y0] + [δ0(x0x1, y1), y0] = 0,

para quaisquer x0, y0 ∈ A0, x1, y1 ∈ A1, o que implica

0 = [x0δ0(x1, y1), y0]

= x0δ0(x1, y1)y0 − y0x0δ0(x1, y1)

= x0δ0(x1, y1)y0 − x0y0δ0(x1, y1) + x0y0δ0(x1, y1)− y0x0δ0(x1, y1)

= x0[δ0(x1, y1), y0] + [x0, y0]δ0(x1, y1)

= [x0, y0]δ0(x1, y1),

para todos x0, y0 ∈ A0, x1, y1 ∈ A1, isto é,

[A0,A0]δ0(A1,A1) = 0. (3.20)

Agora, temos a0[x0, y0], a1[x0, y0] ∈ U , para cada a0, x0, y0 ∈ A0 e a1, x1, y1 ∈ A1, pois U =

ideal 〈[A0,A0]〉; e δ0(x1, y1)ai[x0, y0] = ai[x0, y0]δ0(x1, y1) = 0, para i = 0, 1, por (3.19) e (3.20), ou

seja, δ0(A1,A1)Ai[A0,A0] = 0. Portanto, temos

δ0(A1,A1) ⊥ [A0,A0]. (3.21)

Além disso, dado u1 ∈ U1, note que, por (3.21), vale δ0(u1, x1) ⊥ v, para todos x1 ∈ A1 e

v ∈ U0 ∪ U1. Assim, δ0(u1, x1)D0(δ0(u1, x1)v) = δ0(u1, x1)D0(0) = 0 são válidas. Desse modo,


usando os fatos

δ0(U0,A0) = δ0(U1,A0) = 0,

como δ0(u1, x1) ∈ A0, seguem as igualdades

0 = δ0(u1, x1)D0(δ0(u1, x1)v)

= δ0(u1, x1)D0(δ0(u1, x1))v + δ0(u1, x1)2D0(v)

= δ0(u1, x1)2D0(v).

Consequentemente, pela denição da aplicação δ0, obtemos

δ0(u1, x1)3 = δ0(u1, x1)2(D0(u1x1)−D0(u1)x1 − u1D0(x1) = 0,

pois u1, u1x1 ∈ U0 ∪ U1. Portanto, δ0(u1, x1) é um elemento nilpotente que pertence ao centro de

A0, por (i) do Lema 3.2.3, no caso U = A. Assim, como A0 é uma álgebra semiprima, novamente

pelo Lema 1.1.5, concluímos δ0(u1, x1) = 0, para todos u1 ∈ U1, x1 ∈ A1. Logo, estão provadas

δ0(U0,A0) = δ0(U0,A1) = δ0(U1,A0) = δ0(U1,A1) = 0,

o que nos permite concluir δ0(U,A) = 0.


Nos próximos páragrafos, mantendo as notações xadas no início da Seção 3.2, abordaremos o

caso em que as superderivações de Jordan são de grau 1.

Lema 3.2.4. Se D : A0 → A1 é uma aplicação linear satisfazendo D(x y) = D(x) y + x D(y),

para quaisquer x, y ∈ A0, então,

[x, y] ⊥ (D(zw)−D(z)w − zD(w)),

para todos x, y, z, w ∈ A0.

Demonstração. Primeiramente, observe que pelo Lema 2.2.4, podemos concluir

[x, y]A0[x, y]A0(D(xy)−D(x)y − xD(y)) = 0 e

(D(xy)−D(x)y − xD(y))A0[x, y]A0[x, y] = 0,

para quaisquer x, y ∈ A0. Denotando c = [x, y] = c(x, y) e m = D(xy)−D(x)y−xD(y) = m(x, y),

as igualdades anteriores se resumem a cA0cA0m = mA0cA0c = 0. Assim, dados x0 ∈ A0 e x1 ∈ A1,

temos (cx0m)x1(cx0m) = c(x0mx1)cx0m = 0, o que implica cx0m = 0, para todo x0 ∈ A0, por

(i) do Lema 1.2.8. Analogamente, das igualdades (mx0c)x1(mx0c) = mx0c(x1mx0)c = 0 resulta

mx0c = 0, para todo x0 ∈ A0. Portanto, c ∈ A0 e m ∈ A1 são elementos satisfazendo

cA0m = mA0c = 0,

o que implica cAm = mAc = 0, por (ii) do Lema 1.2.8, ou seja, m ⊥ c. Além disso, temos c(x +

z, y) = c(x, y)+c(z, y), c(x, y+w) = c(x, y)+c(x,w),m(x+z, y) = m(x, y)+m(z, y),m(x, y+w) =


m(x, y) +m(x,w) e c(x, y)am(x, y) = m(x, y)ac(x, y) = 0 , para quaisquer x, y, z, w ∈ A0 e a ∈ A.Assim, linearizando esta última igualdade em x, obtemos c(x, y)am(z, y) + c(z, y)am(x, y) = 0, isto

é, c(x, y)am(z, y) = −c(z, y)am(x, y), o que implica

(c(x, y)am(z, y))b(c(x, y)am(z, y)) = −c(z, y)(am(x, y)bc(x, y)a)m(z, y) = 0,

para todo b ∈ A. Desse modo, como A é semiprima, pelo Lema 1.2.4, segue c(x, y)am(z, y) = 0,

para todo a ∈ A, cuja linearização em y resulta em c(x, y)am(z, w) + c(x,w)am(z, y) = 0, isto é,

c(x, y)am(z, w) = −c(x,w)am(z, y), o que implica

(c(x, y)am(z, w))b(c(x, y)am(z, w)) = −c(x,w)(am(z, y)bc(x, y)a)m(z, w) = 0,

para qualquer b ∈ A, ou seja, c(x, y)am(z, w) = 0, para todos x, y, z, w ∈ A0 e a ∈ A.

Teorema 3.2.2. (Fo²ner, [11]) Para a aplicação bilinear δ1, denida em (3.8), e o ideal U de A,denido no início da seção 3.2.1, a igualdade δ1(U,A) = 0 é válida.

Demonstração. O primeiro passo é observar que, pelo Lema 3.2.4, temos [A0,A0] ⊥ δ1(A0,A0),

pois D1|A0 satisfaz as hipóteses deste lema e δ1(x0, y0) = D1(x0y0) − D1(x0)y0 − x0D1(y0), para

quaisquer x0, y0 ∈ A0. Em particular, ocorre

[y1δ1(x0, y0), z0]a[y1δ1(x0, y0), z0]

= [y1δ1(x0, y0), z0](ay1)δ1(x0, y0)z0 − [y1δ1(x0, y0), z0](az0y1)δ1(x0, y0) = 0,

para todo a ∈ A, o que implica [y1δ1(x0, y0), z0] = 0, quaisquer x0, y0, z0 ∈ A0 e y1 ∈ A1, pois A é

semiprima.

Analogamente, também obtemos que valem as igualdades

[δ1(x0, y0)y1, z0]a[δ1(x0, y0)y1, z0]

= [δ1(x0, y0)y1, z0]aδ1(x0, y0)y1z0 − [δ1(x0, y0)y1, z0](az0)δ1(x0, y0)y1 = 0,

para qualquer a ∈ A, o que implica [δ1(x0, y0)y1, z0] = 0, para todos x0, y0, z0 ∈ A0 e y1 ∈ A1.

Assim, estão provadas as inclusões

A1δ1(A0,A0), δ1(A0,A0)A1 ⊆ Z(A0). (3.22)

Desse modo, do Lema 1.2.7, decorre

δ1(x0, y0)2 ∈ Z(A), para todos x0, y0 ∈ A0. (3.23)

Agora, observe que, dados u0, v0 ∈ U0, pela denição de U e pelo Lema 3.2.4, podemos armar

δ1(u0, y0)y1 ⊥ v0, para quaisquer y0 ∈ A0 e y1 ∈ A1. Assim, temos δ1(u0, y0)y1 s D1(v0) = 0, pelo

Lema 3.2.1, isto é,

δ1(u0, y0)y1D1(v0) +D1(v0)δ1(u0, y0)y1 = 0, (3.24)

para quaisquer y0 ∈ A0 e y1 ∈ A1. Em particular, tomando y1 = δ1(u0, y0) ∈ A1, por (3.23),

obtemos

0 = δ1(u0, y0)2D1(v0) +D1(v0)δ1(u0, y0)2 = 2δ1(u0, y0)2D1(v0),


o que implica δ1(u0, y0)2D1(v0) = 0, para todo v0 ∈ U0.

Além disso, pela denição de δ1, também temos

(δ1(u0, y0)y1)2 = δ1(u0, y0)y1(D1(u0y0)−D1(u0)y0 − u0D1(y0))y1, (3.25)

para todo yi ∈ Ai, onde i = 0, 1. Assim, a escolha de y1 = δ1(u0, y0) ∈ A1 resulta em

(δ1(u0, y0))4 = δ1(u0, y0)2(D1(u0y0)−D1(u0)y0 − u0D1(y0))δ1(u0, y0) = 0,

pois u0, u0y0 ∈ U0. Consequentemente, por (3.23), segue

δ1(u0, y0)2aδ1(u0, y0)2 = δ1(u0, y0)4a = 0,

para todo a ∈ A, o que implica δ1(u0, y0)2 = 0, para todos u0 ∈ U0 e y0 ∈ A0, pela semiprimalidade

de A.Prosseguindo, multiplicando (3.24) à esquerda por δ1(u0, y0)y1, obtemos

0 = (δ1(u0, y0)y1)2D1(v0) + δ1(u0, y0)y1(D1(v0)δ1(u0, y0))y1

= (δ1(u0, y0)y1)2D1(v0) +D1(v0)δ1(u0, y0)2y21 (δ1(A0,A0)A1 ⊆ Z(A0))

= (δ1(u0, y0)y1)2D1(v0).

Portanto, a multiplicação de (3.25) à esquerda por δ1(u0, y0)y1 resulta em

(δ1(u0, y0)y1)3 = (δ1(u0, y0)y1)2(D1(u0y0)−D1(u0)y0 − u0D1(y0))y1 = 0.

Desse modo, δ1(u0, y0)y1 é um elemento nilpotente que pertence ao centro da álgebra semiprima

A0, o que implica δ1(u0, y0)y1 = 0. Assim, também temos δ1(u0, y0)y1δ1(u0, y0) = 0, para todo

y1 ∈ A1. Logo, como δ1(u0, y0) ∈ A1, por (i) do Lema 1.2.8 no caso U = A, obtemos δ1(u0, y0) = 0,

para todos u0 ∈ U0 e y0 ∈ A0, isto é,

δ1(U0,A0) = 0. (3.26)

Agora, por (vii) do Lema 3.2.3, seguem as igualdades

0 = δ1(u0, x1)y1[x0, y0v0]

= δ1(u0, x1)y1x0y0v0 − δ1(u0, x1)y1y0v0x0

= δ1(u0, x1)y1x0y0v0 − δ1(u0, x1)y1y0x0v0 + δ1(u0, x1)y1y0x0v0

−δ1(u0, x1)y1y0v0x0

= δ1(u0, x1)y1[x0, y0]v0 + δ1(u0, x1)y1y0[x0, v0]

= δ1(u0, x1)y1[x0, y0]v0,

para todos u0, v0 ∈ U0, x0, y0 ∈ A0 e x1, y1 ∈ A1, ou seja, δ1(u0, x1)y1[x0, y0]U0 = 0.


Analogamente, novamente por (vii) do Lema 3.2.3, temos

0 = [v0x0, y0]y1δ1(u0, x1)

= v0x0y0y1δ1(u0, x1)− y0v0x0y1δ1(u0, x1)

= v0x0y0y1δ1(u0, x1)− v0y0x0y1δ1(u0, x1) + v0y0x0y1δ1(u0, x1)

−y0v0x0y1δ1(u0, x1)

= v0[x0, y0]y1δ1(u0, x1) + [v0, y0]x0y1δ1(u0, x1)

= v0[x0, y0]y1δ1(u0, x1),

para quaisquer u0, v0 ∈ U0, x0, y0 ∈ A0 e x1, y1 ∈ A1, isto é, U0[x0, y0]y1δ1(u0, x1) = 0.

Assim, em decorrência da pertinência δ1(u0, x1)y1[x0, y0], [x0, y0]y1δ1(u0, x1) ∈ U1 e por (iii) do

Lema 1.2.8, segue

δ1(U0,A1)A1[A0,A0] = [A0,A0]A1δ1(U0,A1) = 0, (3.27)

Desse modo, usando (i), (ii) e (iv) do Lema 3.2.3, temos as igualdades

δ1(u0, x1)y1 − y1δ1(u0, x1) = u0δ1(x1, y1)− δ1(u0x1, y1) + δ1(x1u0, y1)− δ1(x1, y1)u0

= −[δ1(x1, y1), u0] + δ1(x1u0, y1)− δ1(u0x1, y1)

= δ1(x1u0, y1)− δ1(u0x1, y1),

para todos u0 ∈ U0 e x1, y1 ∈ A1. Portanto, para qualquer v0 ∈ U0, temos

[δ1(u0, x1)y1, v0]− [y1δ1(u0, x1), v0] = [δ1(x1u0, y1), v0]− [δ1(u0x1, y1), v0] = 0,

pois x1u0, u0x1 ∈ A1, ou seja, [δ1(u0, x1)y1, v0] = [y1δ1(u0, x1), v0], para todos u0, v0 ∈ U0 e

x1, y1 ∈ A1, que multiplicando à direita por z1[z0, y0], resulta em [δ1(u0, x1)y1, v0]z1[z0, y0] =

[y1δ1(u0, x1), v0]z1[z0, y0] = 0, para quaisquer z1 ∈ A1 e z0, y0 ∈ A0, por (3.27). Logo, os elementos

[δ1(u0, x1)y1, v0] ∈ A1 e [z0, y0] ∈ A0 são tais que

[δ1(u0, x1)y1, v0]A1[z0, y0] = [y1δ1(u0, x1), v0]A1[z0, y0] = 0,

o que, por (ii) do Lema 1.2.8, implica

[δ1(u0, x1)y1, v0]A[z0, y0] = [y1δ1(u0, x1), v0]A[z0, y0] = 0.

Em particular, também temos

[δ1(u0, x1)y1, v0]a[δ1(u0, x1)y1, v0] =

[δ1(u0, x1)y1, v0](aδ1(u0, x1)y1)v0 − [δ1(u0, x1)y1, v0]av0δ1(u0, x1)y1 = 0 e

[y1δ1(u0, x1), v0]a[y1δ1(u0, x1), v0] =

[y1δ1(u0, x1), v0](ay1δ1(u0, x1))v0 − [y1δ1(u0, x1), v0]av0y1δ1(u0, x1) = 0,

para todo a ∈ A, pois v0 ∈ U = ideal 〈[A0,A0]〉, de onde decorre

[δ1(u0, x1)y1, v0] = [y1δ1(u0, x1), v0] = 0,

para todos u0, v0 ∈ U0, x1, y1 ∈ A1, pela semiprimalidade de A. Consequentemente, por (ii) e (iv)


do Lema 3.2.3, obtemos as igualdades [u0δ1(x1, y1), v0] = [δ1(u0, x1)y1, v0] + [δ1(u0x1, y1), v0] = 0

e [δ1(x1, y1)u0, v0] = [δ1(x1u0, y1), v0] + [y1δ1(u0, x1), v0] = 0, para todos u0, v0 ∈ U0, x1, y1 ∈ A1,

isto é, são válidas

[U0δ1(A1,A1), U0] = [δ1(A1,A1)U0, U0] = 0. (3.28)

Desse modo, como δ1(A1,A1) ⊆ A1, concluímos U0δ1(A1,A1) ⊆ Z(A), pelo Lema 1.2.9.

Agora, por (3.27) e por (i) do Lema 3.2.3, temos

0 = [u0x1, v0]

= u0x1v0 − v0u0x1

= u0x1v0 − u0v0x1 + u0v0x1 − v0u0x1

= u0[x1, v0] + [u0, v0]x1

= [u0, v0]x1,

para todos u0, v0 ∈ U0 e x1 ∈ δ1(A1,A1), isto é, [U0, U0]δ1(A1,A1) = 0.

Similarmente, também valem

0 = [x1u0, v0]

= x1u0v0 − v0x1u0

= x1u0v0 − x1v0u0 + x1v0u0 − v0x1u0

= x1[u0, v0] + [x1, v0]u0

= x1[u0, v0],

para quaisquer u0, v0 ∈ U0 e x1 ∈ δ1(A1,A1), ou seja, δ1(A1,A1)[U0, U0] = 0.

Desse modo, pelo Lema 1.2.10, a igualdade δ1(A1,A1)U = 0 é satisfeita, e consequentemente

segue

δ1(A1,A1) ⊥ [A0,A0]. (3.29)

Em particular, [δ1(A1,A1)A1,A0]A[δ1(A1,A1)A1,A0] = 0, pois δ1(A1,A1)A1 ⊆ A0, o que

implica [δ1(A1,A1)A1,A0] = 0, pois A é semiprima, ou seja, δ1(A1,A1)A1 ⊆ Z(A0). Analo-

gamente, [A1δ1(A1,A1),A0]A[A1δ1(A1,A1),A0] = 0 nos leva a [A1δ1(A1,A1),A0] = 0, isto é,

A1δ1(A1,A1) ⊆ Z(A0). Assim, aplicando o Lema 1.2.7 concluímos

δ1(x1, y1)2 ∈ Z(A) , para todos x1, y1 ∈ A1. (3.30)

Se u1 ∈ U1, v ∈ U0 ∪ U1 e x1, y1 ∈ A1, então, por (3.29) e pela denição de U , temos

δ1(u1, x1)y1 ⊥ v, o que implica δ1(u1, x1)y1 s D1(v) = 0, pelo Lema 3.2.1, ou seja,

δ1(u1, x1)y1D1(v) +D1(v)δ1(u1, x1)y1 = 0. (3.31)

Além disso, por (3.30), a substituição y1 = δ1(u1, x1) ∈ A1, resulta em δ1(u1, x1)2D1(v) = 0, e

pela denição da aplicação δ1, obtemos

(δ1(u1, x1)y1)2 = δ1(u1, x1)y1(D1(u1x1)−D1(u1)x1 + u1D1(x1))y1, (3.32)


Assim, novamente tomando y1 = δ1(u1, x1), seguem

(δ1(u1, x1))4 = δ1(u1, x1)2(D1(u1x1)−D1(u1)x1 + u1D1(x1))δ1(u1, x1) = 0,

pois u1x1, u1 ∈ U0 ∪ U1. Portanto, por (3.30), obtemos δ1(u1, x1)2aδ1(u1, x1)2 = δ1(u1, x1)4a = 0,

para todo a ∈ A, o que implica δ1(u1, x1)2 = 0, para todos u1 ∈ U1, x1 ∈ A1, pois A é semiprima.

Se v ∈ U0, então, multiplicando a equação (3.31) à esquerda por δ1(u1, x1)y1, obtemos

0 = (δ1(u1, x1)y1)2D1(v) + δ1(u1, x1)y1(D1(v)δ1(u1, x1))y1

= (δ1(u1, x1)y1)2D1(v) +D1(v)δ1(u1, x1)2y21

= (δ1(u1, x1)y1)2D1(v),

pois δ1(A1,A1)A1 ⊆ Z(A0). Assim, também por esta última inclusão, se v ∈ U1, então, D1(v) ∈ A0,

e por (3.31), concluímos δ1(u1, x1)y1D1(v) = 0.

Agora, multiplicando a equação (3.32) à esquerda por δ1(u1, x1)y1, chegamos a

(δ1(u1, x1)y1)3 = (δ1(u1, x1)y1)2(D1(u1x1)−D1(u1))x1 + u1D1(x1))y1 = 0.

Desse modo, como δ1(u1, x1)y1 é um elemento nilpotente pertencente ao centro da álgebra

semiprima A0, temos δ1(u1, x1)y1 = 0, para todos u1 ∈ U1 e x1, y1 ∈ A1. Portanto, δ1(u1, x1) ∈ A1

é um elemento satisfazendo δ1(u1, x1)A1δ1(u1, x1) = 0, o que implica δ1(u1, x1) = 0, para todos

u1 ∈ U1 e x1 ∈ A1, por (i) do Lema 1.2.8 no caso U = A. Logo, provamos que a seguinte igualdade

é válida.

δ1(U1,A1) = 0. (3.33)

Além disso, por (iii) do Lema 3.2.3, temos δ1(x0, u1)x1 = x0δ1(u1, x1) − δ1(x0u1, x1) = 0,

para todos x0 ∈ A0, u1 ∈ U1 e x1 ∈ A1. Assim, para qualquer a = a0 + a1 ∈ A, obtemos

δ1(x0, u1)ax1 = δ1(x0, u1)(a0x1) + (δ1(x0, u1)a1)x1 = 0, isto é,

δ1(x0, u1) ⊥ x1, para todos x0 ∈ A0, u1 ∈ U1 e x1 ∈ A1, (3.34)

o que implica δ1(x0, u1) s D1(x1) = 0, pelo Lema 3.2.1, ou seja,

δ1(x0, u1)D1(x1) +D1(x1)δ1(x0, u1) = 0, (3.35)

para quaisquer x0 ∈ A0, x1 ∈ A1 e u1 ∈ U1.

Dado y0 ∈ A0, para todo a = a0 + a1 ∈ A, temos δ1(x0, u1)y0ax1 = δ1(x0, u1)(y0a0x1) +

(δ1(x0, u1)y0a1)x1 = 0, o que nos permite concluir δ1(x0, u1)y0 ⊥ x1, e novamente pelo Lema 3.2.1,

obtemos

δ1(x0, u1)y0D1(x1) +D1(x1)δ1(x0, u1)y0 = 0, (3.36)

para todo y0 ∈ A0.

Agora, multiplicando (3.35) à direita por y0, temos δ1(x0, u1)D1(x1)y0 + D1(x1)δ1(x0, u1)y0 =

0, e subtraindo esta igualdade de (3.36), são válidas δ1(x0, u1)y0D1(x1) − δ1(x0, u1)D1(x1)y0 =

δ1(x0, u1)[y0, D1(x1)] = 0, para todos x0, y0 ∈ A0, u1 ∈ U1 e x1 ∈ A1. Desse modo, como


δ1(x0, u1), D1(x1) ∈ A0, aplicando o Lema 1.2.11, concluímos [δ1(x0, u1), D1(x1)] = 0. Portanto,

[δ1(x0, u1)y0, D1(x1)] = δ1(x0, u1)y0D1(x1)−D1(x1)δ1(x0, u1)y0

= δ1(x0, u1)y0D1(x1)− δ1(x0, u1)D1(x1)y0 + δ1(x0, u1)D1(x1)y0

−D1(x1)δ1(x0, u1)y0

= δ1(x0, u1)[y0, D1(x1)] + [δ1(x0, u1), D1(x1)]y0 = 0,

o que resulta, por (3.36), em δ1(x0, u1)y0D1(x1) = 0, para todos x0, y0 ∈ A0, u1 ∈ U1 e x1 ∈ A1.

Assim, esta última igualdade e (3.34) implicam

δ1(x0, u1)y0δ1(x0, u1) = δ1(x0, u1)y0(D1(x0u1)−D1(x0)u1 − x0D1(u1)) = 0,

o que nos permite concluir δ1(x0, u1) = 0, para todos x0 ∈ A0 e u1 ∈ U1, isto é,

δ1(A0, U1) = 0. (3.37)

Prosseguindo, por (ii) e (iv) do Lema 3.2.3 e por (3.33), seguem

δ1(u0, x1)u1 = u0δ1(x1, u1)− δ1(u0x1, u1) = 0 e

u1δ1(u0, x1) = −δ1(x1u0, u1) + δ1(x1, u1)u0 = 0,

para todos u0 ∈ U0, u1 ∈ U1 e x1 ∈ A1. Portanto, temos δ1(U0,A1)A0U1 = U1A0δ1(U0,A1) = 0,

pois A0U1, U1A0 ⊆ U ∩ A1 = U1. Desse modo, por (ii) do Lema 1.2.8, no caso U = A, valemδ1(U0,A1)AU1 = U1Aδ1(U0,A1) = 0, pois δ1(U0,A1) ⊆ A0 e U1 ⊆ A1, isto é,

δ1(U0,A1) ⊥ U1. (3.38)

Assim, dados u0 ∈ U0 e u1 ∈ U1, temos δ1(u0, x1)y0 ⊥ u1, para todos y0 ∈ A0 e x1 ∈ A1, o que

implica

0 = D1((δ1(u0, x1)y0)u1) = D1(δ1(u0, x1)y0)u1 + δ1(u0, x1)y0D1(u1),

por (3.37). Logo, multiplicando esta igualdade à esquerda por δ1(u0, x1)z0, onde z0 ∈ A0, obtemos

0 = δ1(u0, x1)(z0D1(δ1(u0, x1)y0))u1 + δ1(u0, x1)z0δ1(u0, x1)y0D1(u1)

= δ1(u0, x1)z0δ1(u0, x1)y0D1(u1).

Portanto, (δ1(u0, x1)y0D1(u1))A0(δ1(u0, x1)y0D1(u1)) = 0, para todos u0 ∈ U0, u1 ∈ U1, y0 ∈A0 e x1 ∈ A1, pois y0D1(u1)A0 ⊆ A0, de onde resulta

δ1(U0,A1)A0D1(U1) = 0, (3.39)

pois δ1(U0,A1)A0D1(U1) ⊆ A0 e A0 é uma álgebra semiprima.

Agora, por (3.38), temos δ1(u0, x1)v0ay1 = δ1(u0, x1)(v0a0y1) + (δ1(u0, x1)v0a1)y1 = 0, para

todo a ∈ A, isto é, δ1(u0, x1)v0 ⊥ y1, para quaisquer u0, v0 ∈ U0 e x1, y1 ∈ A1. Assim, aplicando o

Lema 3.2.1, obtemos δ1(u0, x1)v0 s D1(y1) = 0, ou seja,

δ1(u0, x1)v0D1(y1) +D1(y1)δ1(u0, x1)v0 = 0. (3.40)


Analogamente, dado x0 ∈ A0, vale x0δ1(u0, x1)v0 ⊥ y1, e obtemos

x0δ1(u0, x1)v0D1(y1) +D1(y1)x0δ1(u0, x1)v0 = 0. (3.41)

Além disso, a multiplicação de (3.40) por x0 à esquerda, resulta em

x0δ1(u0, x1)v0D1(y1) + x0D1(y1)δ1(u0, x1)v0 = 0,

que comparando com (3.41), nos permite concluir [x0, D1(y1)]δ1(u0, x1)v0 = 0, para todos u0, v0 ∈U0, x0 ∈ A0 e x1, y1 ∈ A1. Logo, a seguinte igualdade é válida

([A0, D1(A1)]δ1(U0,A1))U0([A0, D1(A1)]δ1(U0,A1)) = 0,

o que implica [A0, D1(A1)]δ1(U0,A1) = 0, pois [A0, D1(A1)]δ1(U0,A1) ⊆ U0, pela denição de U , e

U0 é uma álgebra semiprima. Do mesmo modo, também temos δ1(u0, x1)v0x0 ⊥ y1, de onde obtemos

δ1(u0, x1)v0x0D1(y1) +D1(y1)δ1(u0, x1)v0x0 = 0. (3.42)

Prosseguindo, observe que a multiplicação de (3.40) à direita por x0, nos leva a

δ1(u0, x1)v0D1(y1)x0 +D1(y1)δ1(u0, x1)v0x0 = 0,

que comparando com (3.42) implica δ1(u0, x1)v0[x0, D1(y1)] = 0, para quaisquer u0, v0 ∈ U0, x0 ∈A0 e x1, y1 ∈ A1. Portanto,

δ1(U0,A1)([A0, D1(A1)]U0δ1(U0,A1))[A0, D1(A1)]) = 0 e

assim, δ1(U0,A1)[A0, D1(A1)] = 0.

Desse modo, pelo Lema 1.2.11, segue [δ1(U0,A1), D1(A1)] = 0, o que implica que valem as

seguintes igualdades

[δ1(u0, x1)x0, D1(y1)] = δ1(u0, x1)x0D1(y1)−D1(y1)δ1(u0, x1)x0

= δ1(u0, x1)x0D1(y1)− δ1(u0, x1)D1(y1)x0 + δ1(u0, x1)D1(y1)x0

−D1(y1)δ1(u0, x1)x0

= δ1(u0, x1)[x0, D1(y1)] + [δ1(u0, x1), D1(y1)]x0 = 0,

para todos u0 ∈ U0, x0 ∈ A0 e x1, y1 ∈ A1. Portanto, δ1(U0,A1)U0D1(A1) = 0, por (3.40); e, por

(3.38), chegamos a

δ1(u0, x1)v0δ1(u0, x1) = δ1(u0, x1)v0(D1(u0x1)−D1(u0)x1 − u0D1(x1))

= δ1(u0, x1)v0D1(u0x1)− (δ1(u0, x1)v0D1(u0))x1

−δ1(u0, x1)(v0u0)D1(x1) = 0,

para todo v0 ∈ U0.

Assim, temos (δ1(U0,A1)U0)U0(δ1(U0,A1)U0) = (U0δ1(U0,A1))U0(U0δ1(U0,A1)) = 0, de onde

segue δ1(U0,A1)U0 = U0δ1(U0,A1) = 0, pois estes conjuntos estão contidos em U0 e U0 é semiprima.

Consequentemente, δ1(U0,A1)U = Uδ1(U0,A1) = 0, por (3.38).


Agora, por (3.26), obtemos

0 = δ1(u0, x1)x0D1((δ1(u0, x1)y0)v0)

= δ1(u0, x1)(x0D1(δ1(u0, x1)y0)v0) + δ1(u0, x1)x0δ1(u0, x1)y0D1(v0)

= δ1(u0, x1)x0δ1(u0, x1)y0D1(v0),

para todos u0, v0 ∈ U0, x0, y0 ∈ A0 e x1 ∈ A1. Portanto,

(δ1(u0, x1)x0D1(v0))A1(δ1(u0, x1)x0D1(v0)) = 0,

pois x0D1(v0)A1 ⊆ A0, de onde resulta δ1(U0,A1)A0D1(U0) = 0, por (i) do Lema 1.2.8, pois

δ1(U0,A1)A0D1(U0) ⊆ A1. Finalmente, usando esta última igualdade, (3.39) e δ1(U0,A1)U = 0,

segue

δ1(u0, x1)x0δ1(u0, x1) = δ1(u0, x1)x0(D1(u0x1)−D1(u0)x1 − u0D1(x1)) = 0.

Logo,

δ1(U0,A1) = 0, (3.43)

pois A0 é semiprima, o que conclui a prova do teorema, pois em (3.26), (3.33), (3.37) e (3.43)

provamos as igualdades

δ1(U0,A0) = δ1(U0,A1) = δ1(U1,A0) = δ1(U1,A1) = 0.

Finalmente, estamos em condições de provar o seguinte teorema que estende o resultado da

seção anterior.

Teorema 3.2.3. (Fo²ner, [11]) Seja A = A0 ⊕ A1 uma superálgebra associativa semiprima e

D = D0 +D1 uma superderivação de Jordan. Então, existem ideais graduados U e V de A tais que

Di(ux) = Di(u)x + (−1)i|u|uDi(x), i = 0, 1, para todos u ∈ U e x ∈ A, e [v0, x0] = 0, para todos

v0 ∈ V0 e x0 ∈ A0. Além disso, U ∩V = 0 e U ⊕V é um ideal essencial de A, isto é, a interseção de

U ⊕ V com qualquer ideal graduado não nulo de A é não nula. Se U = 0, então, A0 é comutativa e

se V = 0, então, D é uma superderivação.

Demonstração. Observe que denindo U como sendo o ideal de A gerado por [A0,A0], então, U é

graduado e os Teoremas 3.2.1 e 3.2.2 implicam

D(ux) = D0(ux) +D1(ux)

= D0(u)x+ uD0(x) +D1(u)x+ (−1)|u|uD1(x),

para todos u ∈ U e x ∈ A. Agora, se V = Ann(U) = v ∈ A | vu = uv = 0, para todo u ∈ U,o anulador de U , então, V é também um ideal graduado. Com efeito, considere v ∈ V , queremos

provar que σ(v) ∈ V . Mas, σ(U) = U , logo para cada u ∈ U , u = σ(u), u ∈ U , e segue que

σ(v)u = σ(v)σ(u) = σ(vu) = σ(0) = 0,

do mesmo modo, uσ(v) = 0, isto é, σ(v) ∈ V . E se v0 ∈ V0, temos

[v0, x0]y0[v0, x0] = v0(x0y0[v0, x0])− x0v0(y0[v0, x0]) = 0,


para todos x0, y0 ∈ A0, pois x0y0[v0, x0], y0[v0, x0] ∈ U0. Logo, [v0, x0] = 0, para todos v0 ∈ V0 e

x0 ∈ A0, pois A0 é semiprima. Agora, vamos mostrar que se verica

δ1(A0,A1) ⊥ [A0,A0]. (3.44)

Para isso, inicialmente considere o elemento D1(u0x0y1), onde u0 ∈ U0, x0 ∈ A0 e y1 ∈ A1. Por

um lado, temos

D1(u0(x0y1)) = D1(u0)x0y1 + u0D1(x0y1),

e por outro lado, valem

D1((u0x0)y1) = D1(u0x0)y1 + u0x0D1(y1)

= D1(u0)x0y1 + u0D1(x0)y1 + u0x0D1(y1).

Assim, comparando as expressões obtidas, temos u0(D1(x0y1)−D1(x0)y1−x0D1(y1)) = 0, isto é,

u0δ1(x0, y1) = 0. Em particular, escolhendo u0 = [y0, z0]w0 ∈ U0 chegamos a [y0, z0]w0δ1(x0, y1) = 0,

para todos x0, y0, z0, w0 ∈ A0 e y1 ∈ A1, ou seja,

[A0,A0]A0δ1(A0,A1) = 0. (3.45)

Além disso, note que a igualdade A1[A0,A0]A1δ1(A0,A1) = 0 é válida, pois A1[A0,A0]A1 ⊆ U0,

o que implica

([A0,A0]A1δ1(A0,A1))A1([A0,A0]A1δ1(A0,A1)) = 0,

Portanto, por (i) do Lema 1.2.8, concluímos

[A0,A0]A1δ1(A0,A1) = 0, (3.46)

pois este último conjunto está contido em A1. Assim, por (3.45) e (3.46), temos que (3.44) está

provado.

Claramente se U = 0, então, [A0,A0] = 0, isto é, A0 é comutativa. Observe que

δ0(x, y), δ1(x, y) ∈ V,

para x, y ∈ A0 ∪ A1, por (3.12), (3.13), (3.21), (3.29), (3.44) e pelo Lema 3.2.4. Portanto, V = 0

implica que D é uma superderivação, ou seja, a soma de superderivações de graus 0 e 1.

Finalmente, por denição, temos UV = 0 e, portanto, U ∩ V = 0, pois (U ∩ V )2 ⊆ UV = 0 e Aé semiprima. Supondo (U + V ) ∩ I = 0, para algum ideal graduado I de A, temos UI = V I = 0,

o que implica I ⊆ Ann(U)∩Ann(V ) = Ann(U)∩Ann(Ann(U)) = 0. De fato, provamos acima que

o anulador de um ideal graduado é graduado. Além disso, a interseção de ideais graduados é um

ideal graduado. Portanto Ann(U) ∩Ann(Ann(U)) é ideal graduado. Considere agora um elemento

xi ∈ (Ann(U) ∩Ann(Ann(U))) ∩ Ai, i = 0 ou 1. Temos que o ideal graduado de A, J = ideal 〈xi〉,é tal que J2 = 0, e assim, J = 0 e xi = 0. Portanto Ann(U) ∩Ann(Ann(U)) = 0, como queríamos.

Desse modo, U ⊕ V é um ideal essencial de A e a demonstração está completa.

Observemos que esse teorema também mostra que a restrição de D a U é uma superderivação


e que V vista como superálgebra tem parte par comutativa. Encerramos esse capítulo com um

exemplo mostrando que, em geral, U e V não podem ser escolhidos de modo que sua soma seja

igual a A.

Exemplo 3.2.1. Sejam A = A0⊕A1 e B = B0⊕B1 superálgebras associativas primas satisfazendo

as seguintes condições: nenhuma delas contêm um elemento identidade, A0 é uma álgebra não

comutativa, B é uma álgebra comutativa e B1 6= 0. Por exemplo, pode-se tomar A como sendo a

superálgebra trivial de todos os operadores de posto nito de um espaço vetorial de dimensão innita

sobre um corpo Φ e B = XΦ[X], a álgebra de polinômios sobre Φ com termo constante nulo, com

a graduação B0 = Φ[X2] e B1 = XΦ[X2]. Seja A = A⊕B ⊕Φ a álgebra resultante do processo de

adjunção de identidade à álgebra A⊕B. Dena A0 = A0 ⊕B0 ⊕Φ1 e A1 = A1 ⊕B1. Desse modo,

A se torna uma superálgebra associativa semiprima cuja parte par é não comutativa. Considere

b = b0 + b1 ∈ B um elemento tal que b0 6= 0 e dena D : A → A por D(x0 +x1 + y0 + y1 +λ) = by1,

para quaisquer x0 ∈ A0, x1 ∈ A1, y0 ∈ B0, y1 ∈ B1 e λ ∈ Φ. Então, D é uma superderivação de

Jordan que não é uma superderivação. Além disso, como A é uma álgebra com unidade cujos únicos

idempotentes centrais são 0 e 1, A não contém ideais próprios U e V tais que A = U ⊕ V .

Capítulo 4

Homomorsmos e superhomomorsmos

de Jordan em anéis e superálgebras

primas

O estudo de aplicações aditivas entre anéis, que preservam quadrados, foi iniciado por Anco-

chea ([1],[2]), em conexão com problemas que surgiram da geometria projetiva. Kaplansky e Hua

([19],[24]), deram sequência aos estudos de Ancochea, obtendo resultados novos. Em seguida, Ja-

cobson e Rickart ([20]), passaram a estudar mais profundamente essas aplicações.

Nesse capítulo, apresentaremos alguns resultados de Herstein e Smiley ([15],[31]), de Beidar,

Bresar e Chebotar [3], a respeito de homomorsmos e superhomomorsmos de Jordan. Na primeira

seção, lidaremos com homomorsmos de Jordan sobrejetores de um anel em um anel primo e na

segunda provaremos uma generalização para superálgebras.

4.1 Homomorsmos de Jordan sobre anéis primos

Iniciamos recordando algumas notações. Dado um anel associativo (A,+, ·), denotamos o pro-

duto de Jordan de A por a b = ab + ba, onde a, b ∈ A e ab representa o produto de a por b;

e o anel (A,+, ) é chamado de anel de Jordan de A. O comutador de quaisquer dois elementos

a e b de A é denido como sendo [a, b] = ab − ba. Nesta seção, todos os anéis considerados serão

associativos.

Uma aplicação φ, de um anel A em um anel A′, é dita um homomorsmo de Jordan se for aditiva

e se φ(a b) = φ(a) φ(b), para quaisquer a, b ∈ A. Em outras palavras, φ é um homomorsmo de

Jordan se

(i) φ(a+ b) = φ(a) + φ(b);

(ii) φ(ab+ ba) = φ(a)φ(b) + φ(b)φ(a),

para todos a, b ∈ A. Observe que se a característica de A′ é diferente de 2, esta denição se torna

equivalente a φ ser aditiva e φ(a2) = φ(a)2, para todo a ∈ A. De fato, se assumimos a primeira

denição, então, escolhendo b = a, temos 2φ(a2) = 2φ(a)2. Portanto, vale a segunda denição.

Reciprocamente, se a segunda denição é assumida, então, linearizando a igualdade φ(a2) = φ(a)2,

65

66 HOMOMORFISMOS E SUPERHOMOMORFISMOS DE JORDAN EM ANÉIS E SUPERÁLGEBRASPRIMAS 4

obtemos φ(ab + ba) = φ(a)φ(b) + φ(b)φ(a) e a primeira denição é válida. Além disso, também

temos o seguinte

Lema 4.1.1. Se φ : A → A′ é um homomorsmo de Jordan, então, as seguintes igualdades são

válidas:

(i) φ(aba) = φ(a)φ(b)φ(a), para quaisquer a, b ∈ A;

(ii) φ(abc+ cba) = φ(a)φ(b)φ(c) + φ(c)φ(b)φ(a), para quaisquer a, b, c ∈ A.

Demonstração. Primeiramente, observe que como φ é um homomorsmo de Jordan, temos

φ((a b) a) = φ(a b) φ(a)

φ(aba+ ba2 + a2b+ aba) = φ(a)φ(b)φ(a) + φ(b)φ(a)2 + φ(a)2φ(b) + φ(a)φ(b)φ(a)

2φ(aba) + φ(b a2) = 2φ(a)φ(b)φ(a) + φ(b) φ(a2)

φ(aba) = φ(a)φ(b)φ(a),

para todos a, b ∈ A, o que prova (i). O item (ii) apenas é a linearização da igualdade de (i).

A partir de agora, usaremos as notações ab = φ(ab) − φ(a)φ(b) e ab = φ(ab) − φ(b)φ(a), onde

a, b ∈ A. Seja φ : A → A′ um homomorsmo de Jordan. Observe que vale ab = 0, para todos

a, b ∈ A, se, e somente se, φ é um homomorsmo; e ab = 0, para todos a, b ∈ A, se, e somente se, φ é

um antihomomorsmo, isto é, uma aplicação aditiva tal que φ(ab) = φ(b)φ(a), para todos a, b ∈ A.Fixadas estas notações, efetuaremos alguns cálculos.

Lema 4.1.2. Se φ : A → A′ é um homomorsmo de Jordan e a, b ∈ A são elementos arbitrários,

então, são válidas as seguintes propriedades:

(1) ba = −ab e ba = −ab;

(2) [φ(a), φ(b)] = ab − ab;

(3) φ([a, b]) = 2φ(ab)− φ(a b) = ab + ab;

(4) abab = abab = 0.

Demonstração. (1)

ba + ab = φ(ba)− φ(b)φ(a) + φ(ab)− φ(a)φ(b)

= φ(ba+ ab)− (φ(b)φ(a) + φ(a)φ(b)) = 0 e

ba + ab = φ(ba)− φ(a)φ(b) + φ(ab)− φ(b)φ(a)

= φ(ba+ ab)− (φ(b)φ(a) + φ(a)φ(b)) = 0.

(2)

[φ(a), φ(b)] = φ(a)φ(b)− φ(b)φ(a)

= φ(ab)− φ(b)φ(a)− φ(ab) + φ(a)φ(b)

= ab − ab.

4 HOMOMORFISMOS DE JORDAN SOBRE ANÉIS PRIMOS 67

(3)

φ([a, b]) = φ(ab)− φ(ba)

= φ(ab)− φ(b)φ(a)− φ(ba) + φ(b)φ(a)

= ab − ba = ab + ab.

(4) É uma consequência do Lema 4.1.1. De fato,

abab = (φ(ab)− φ(a)φ(b))(φ(ab)− φ(b)φ(a))

= φ(ab)2 + φ(a)φ(b)2φ(a)− (φ(ab)φ(b)φ(a) + φ(a)φ(b)φ(ab)) e

= φ((ab)2 + ab2a− (ab)ba+ ab(ab)) = φ(0) = 0

abab = (φ(ab)− φ(b)φ(a))(φ(ab)− φ(a)φ(b))

= φ(ab)2 + φ(b)φ(a)2φ(b)− (φ(ab)φ(a)φ(b) + φ(b)φ(a)φ(ab))

= φ((ab)2 + ba2b− (ab)ab− (ba)ab) = φ(0) = 0.

Além disso, pelo Lema 4.1.1, também temos

φ(r)ab + abφ(r) = φ(r)φ(ab)− φ(r)φ(a)φ(b) + φ(ab)φ(r)− φ(b)φ(a)φ(r)

= φ(r) φ(ab)− (φ(r)φ(a)φ(b) + φ(b)φ(a)φ(r))

= φ(r (ab))− φ(rab+ bar)

= φ(rab+ abr − rab− bar) = φ(abr − bar)

= φ([a, b]r),

para todos a, b, r ∈ A, isto é,

φ(r)ab + abφ(r) = φ([a, b]r), para quaisquer a, b, r ∈ A. (4.1)

Analogamente,

abφ(r) + φ(r)ab = φ(ab)φ(r)− φ(a)φ(b)φ(r) + φ(r)φ(ab)− φ(r)φ(b)φ(a)

= φ(ab) φ(r)− (φ(a)φ(b)φ(r) + φ(r)φ(b)φ(a))

= φ((ab) r)− φ(abr + rba)

= φ(abr + rab− abr − rba) = φ(rab− rba)

= φ(r[a, b]),

para quaisquer a, b, r ∈ A, ou seja,

abφ(r) + φ(r)ab = φ(r[a, b]), para todos a, b, r ∈ A. (4.2)

Assim, multiplicando (4.1) à esquerda por ab, por (4) do Lema 4.1.1, obtemos

abφ(r)ab = abφ([a, b]r), para quaisquer a, b, r ∈ A. (4.3)


Do mesmo modo, multiplicando (4.1) à direita por ab, segue

abφ(r)ab = φ([a, b]r)ab, para todos a, b, r ∈ A. (4.4)

Portanto, tomando r = [a, b]r em (4.2), por (4.3), (4.4), (i) do Lema 4.1.1 e (3) do Lema 4.1.2,

temosabφ([a, b]r) + φ([a, b]r)ab = φ([a, b]r[a, b])

abφ(r)ab + abφ(r)ab = φ([a, b])φ(r)φ([a, b])

abφ(r)ab + abφ(r)ab = (ab + ab)φ(r)(ab + ab),

isto é,

abφ(r)ab + abφ(r)ab = 0, para quaisquer a, b, r ∈ A. (4.5)

Agora, podemos provar a seguinte proposição.

Proposição 4.1.1. Seja φ : A→ A′ um homomorsmo de Jordan sobrejetor de um anel A em um

anel primo A′. Se a característica de A′ é diferente de 2, então, uma das três armações é válida.

(i) xy = 0, para todos x, y ∈ A;

(ii) xy = 0, para todos x, y ∈ A;

(iii) (xy)2 = (xy)2 = 0, para todos x, y ∈ A.

Demonstração. Vamos provar que se (iii) não é verdadeira, então, (i) ou (ii) é válida. Suponha que

existam c, d ∈ A tais que (cd)2 6= 0. Escolhendo a = c e b = d em (4.5), segue cdφ(r)cd+cdφ(r)cd = 0,

que multiplicando à esquerda por cd resulta em (cd)2φ(r)cd = 0, para todo r ∈ A, pois cdcd = 0, o

que implica (cd)2A′cd = 0, pela sobrejetividade de φ. Logo, como A′ é um anel primo e (cd)2 6= 0,

concluímos cd = 0.

Além disso, linearizando (4.5) e abab = 0 em b, obtemos

abφ(r)ax + axφ(r)ab + abφ(r)ax + axφ(r)ab = 0 e (4.6)

abax + axab = 0, (4.7)

para todos a, b, r, x ∈ A. Assim, novamente tomando a = c e b = d, seguem cxφ(r)cd + cdφ(r)cx = 0

e cdcx = 0, para quaisquer r, x ∈ A, pois cd = 0. Consequentemente, multiplicando a penúltima

igualdade à esquerda por cd, como cdcx = 0, temos (cd)2φ(r)cx = 0, para todo r ∈ A, o que implica

cx = 0 e xc = −cx = 0, para todo x ∈ A, pois φ é sobrejetor, A′ é anel primo e (cd)2 6= 0.

Analogamente, como (dc)2 = (cd)2 6= 0, pelos mesmos cálculos anteriores, podemos concluir dx =

xd = 0, para todo x ∈ A.Agora, a linearização de (4.6) resulta em

abφ(r)yx + ybφ(r)ax + axφ(r)yb + yxφ(r)ab + abφ(r)yx + ybφ(r)ax

+axφ(r)yb + yxφ(r)ab = 0,

para todos a, b, r, y, x ∈ A. Desse modo, escolhendo a = c e b = d, obtemos

cdφ(r)yx + yxφ(r)cd = 0, (4.8)

4 HOMOMORFISMOS DE JORDAN SOBRE ANÉIS PRIMOS 69

para quaisquer r, y, x ∈ A, pois cd = yd = cx = 0

Prosseguindo, linearizando (4.7), chegamos a

abyx + ybax + axyb + yxab = 0,

para todos a, b, r, x, y ∈ A. Assim, para a = c e b = d, temos cdyx = 0, para todos x, y ∈ A, poiscx = yd = cd = 0. Consequentemente, multiplicando (4.8) à esquerda por cd, segue (cd)2φ(r)yx = 0,

para todo r ∈ A, o que implica yx = 0, para todos x, y ∈ A, pois φ é sobrejetor, A′ é primo e

(cd)2 6= 0. Logo, (ii) é válida.

Suponhamos que existam c, d ∈ A tais que (cd)2 6= 0. Escolhendo a = c e b = d em (4.5), segue

cdφ(r)cd+cdφ(r)cd = 0. Assim, multiplicando esta igualdade à direita por cd, temos cdφ(r)(cd)2 = 0,

para todo r ∈ A, pois cdcd = 0, o que implica cdA′(cd)2 = 0, de onde é possível concluir cd = 0.

Além disso, (4.6) e (4.7) no caso particular a = c e b = d nos fornecem cdφ(r)cx + cxφ(r)cd = 0

e cxcd = 0, para todos r, x ∈ A, pois cd = 0. Desse modo, multiplicando a penúltima igualdade à

direita por cd, obtemos cxφ(r)(cd)2 = 0, para todo r ∈ A, pois cxcd = 0, o que implica cx = 0,

e também xc = −cx = 0, para todo x ∈ A, novamente pois φ é sobrejetor, A′ é um anel primo e

(cd)2 6= 0. De modo análogo, como (dc)

2 = (cd)2 6= 0, podemos concluir dx = xd = 0, para todo

x ∈ A.Finalmente, linearizando (4.6), escolhendo a = c, b = d e usando cd = cx = yd = 0, obtemos

yxφ(r)cd + cdφ(r)yx = 0, (4.9)

para todos r, y, x ∈ A; e linearizando (4.7), tomando a = c, b = d, como as igualdades cx = yd =

cd = 0 são válidas, temos yxcd = 0, para quaisquer x, y ∈ A. Consequentemente, multiplicando

(4.9) à direita por cd, segue yxφ(r)(cd)2 = 0, para todo r ∈ A. Logo, yx = 0, para todos x, y ∈ A, o

que prova (i).

Antes de apresentarmos o resultado principal dessa seção, observemos que se ocorrer a terceira

possibilidade da Proposição 4.1.1, isto é, (xy)2 = (xy)2 = 0, para todos x, y ∈ A, então, pelas

propriedades (2) e (4) do Lema 4.1.2, temos

[φ(x), φ(y)]2 = (xy − xy)2

= (xy)2 − xyxy − xyxy + (xy)2 = 0,

para todos x, y ∈ A, o que signica que A′ é um anel primo tal que [a, b]2 = 0, para quaisquer

a, b ∈ A′, pois φ é sobrejetor. Assim, pelo Lema 1.1.1, A′ é um anel comutativo e não possui

divisores de zero não nulos. Finalmente, podemos concluir o seguinte

Teorema 4.1.1. (Smiley, [31]) Seja φ : A→ A′ um homomorsmo de Jordan sobrejetor de um anel

A em um anel primo A′. Se a característica de A′ é diferente de 2, então, φ é um homomorsmo ou

φ é um antihomomorsmo.

Demonstração. Pela Proposição 4.1.1, sabemos que φ é um homomorsmo ou φ é um antihomo-

morsmo ou (xy)2 = (xy)2 = 0, para todos x, y ∈ A. Entretanto, se ocorrer este último caso, pelo

que foi observado anteriormente, temos que A′ é um anel comutativo que não possui divisores de

zero não nulos, e portanto, φ é homomorsmo e antihomomorsmo.


Além disso, observamos que a condição de que a característica de A′ seja diferente de 2 é usada

somente nas igualdades φ(a2) = φ(a)2 e φ(aba) = φ(a)φ(b)φ(a). Desse modo, assumindo que estas

duas igualdades são válidas, podemos omitir a condição citada.

4.2 Superhomomorsmos de Jordan sobre superálgebras primas

Nessa seção, usaremos alguns resultados do Capítulo 1, a saber o Lema 1.2.4, que arma que se

A = A0 ⊕A1 é uma superálgebra associativa prima, então, A e A0 são álgebras semiprimas e pelo

menos uma delas é prima; e (2) do Lema 1.2.5, que nos diz que se A = A0⊕A1 é uma superálgebra

associativa prima e a0 ∈ A0 e a1 ∈ A1 são elementos homogêneos tais que a0A1a1 = a1A1a0 = 0,

então, a0 = 0 ou a1 = 0. Além disso, recorde que uma superálgebra associativa A é prima se, e

somente se, para quaisquer elementos a, b ∈ A0 ∪ A1 tais que aAb = 0, tem-se a = 0 ou b = 0; e

para uma superálgebra arbitrária A, introduzindo um novo produto dado por

x s y =1

2

(xy + (−1)|x||y|yx

),

para cada par de elementos x, y ∈ A0 ∪ A1, A se torna uma superálgebra de Jordan. Note que se

|x| = 0 ou |y| = 0, então, x s y = x y, onde é o produto de Jordan da álgebra A dado por

x y = 12(xy + yx), e se |x| = |y| = 1, então, x s y = 1

2 [x, y].

Denição 4.2.1. Sejam A = A0 ⊕ A1 e B = B0 ⊕ B1 superálgebras. Uma aplicação ϕ : B → A,é dita um superhomomorsmo (respectivamente, um superantihomomorsmo) se ϕ é um

homomorsmo de Φ-módulos tal que ϕ(Bi) ⊆ Ai, i = 0, 1, isto é, ϕ preserva a Z2-graduação, e

ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) (respectivamente, ϕ(xy) = (−1)|x||y|ϕ(y)ϕ(x)), para quaisquer x, y ∈ B0 ∪ B1.

Denição 4.2.2. Sejam A = A0 ⊕ A1 e B = B0 ⊕ B1 superálgebras. Uma aplicação ϕ : B → Aé chamada de superhomomorsmo de Jordan se ϕ é um homomorsmo de Φ-módulos que

preserva a Z2-graduação e ϕ(x s y) = ϕ(x) s ϕ(y), para todos x, y ∈ B0 ∪ B1.

Armamos que se ϕ : B → A é um superhomomorsmo, então, ϕ é um superhomomorsmo de

Jordan. De fato, assumindo que ϕ é um superhomomorsmo, temos que ϕ é um homomorsmo de

Φ-módulos que preserva a Z2-graduação e tal que

ϕ(x s y) = ϕ(xy) + (−1)|x||y|ϕ(yx)

= ϕ(x)ϕ(y) + (−1)|ϕ(x)||ϕ(y)|ϕ(y)ϕ(x)

= ϕ(x) s ϕ(y),

para todos x, y ∈ B0 ∪ B1. Um resultado análogo também é válido para superantihomomorsmos,

poisϕ(x s y) = ϕ(xy) + (−1)|x||y|ϕ(yx)

= (−1)|x||y|ϕ(y)ϕ(x) + (−1)2|x||y|ϕ(x)ϕ(y)

= ϕ(x)ϕ(y) + (−1)|ϕ(x)||ϕ(y)|ϕ(y)ϕ(x)

= ϕ(x) s ϕ(y),

para quaisquer x, y ∈ B0 ∪ B1.

4 SUPERHOMOMORFISMOS DE JORDAN SOBRE SUPERÁLGEBRAS PRIMAS 71

A seguir, providenciamos alguns exemplos.

Exemplo 4.2.1. Em geral, um superantihomomorsmo entre superálgebras não é um antihomo-

morsmo de álgebras, contudo o seguinte é válido: se Φ contém um elemento i tal que i2 = −1 e

denimos l : A → A por l(x0 +x1) = x0 + ix1, xi ∈ Ai, então, um homomorsmo de Φ-módulos que

preserva a Z2-graduação ϕ : B → A é um superantihomomorsmo de superálgebras se, e somente

se, lϕ é um antihomomorsmo de álgebras. Com efeito, se ϕ é um superantihomomorsmo, então,

ϕ(xy) = (−1)|x||y|ϕ(y)ϕ(x),

para x, y ∈ B0 ∪ B1. Assim, dados u = u0 + u1 e v = v0 + v1 ∈ B, temos

(l ϕ)(uv) = l(ϕ(u0v0) + ϕ(u1v1) + ϕ(u0v1) + ϕ(u1v0))

= l((ϕ(v0)ϕ(u0)− ϕ(v1)ϕ(u1)) + (ϕ(v1)ϕ(u0) + ϕ(v0)ϕ(u1)))

= (ϕ(v0)ϕ(u0)− ϕ(v1)ϕ(u1)) + i(ϕ(v1)ϕ(u0) + ϕ(v0)ϕ(u1)) e

(l ϕ)(v) · (l ϕ)(u) = l(ϕ(v0) + ϕ(v1)) · l(ϕ(u0) + ϕ(u1))

= (ϕ(v0) + iϕ(v1))(ϕ(u0) + iϕ(u1))

= ϕ(v0)ϕ(u0)− ϕ(v1)ϕ(u1) + iϕ(v1)ϕ(u0) + iϕ(v0)ϕ(u1).

Portanto, segue (l ϕ)(uv) = (l ϕ)(v) · (l ϕ)(u). Reciprocamente, suponha que l ϕ é um

antihomomorsmo e que ϕ é um homomorsmo de Φ-módulos que preserva a Z2-graduação. Dados

x, y ∈ B0∪B1, queremos provar que a igualdade ϕ(xy) = (−1)|x||y|ϕ(y)ϕ(x) é válida. Vamos dividir

a prova em quatro casos:

(1) Se x, y ∈ B0, então, ϕ(x), ϕ(y), ϕ(xy) ∈ A0 e

ϕ(xy) = l(ϕ(xy))

= (l ϕ)(y)(l ϕ)(x) = ϕ(y)ϕ(x);

(2) Se x ∈ B0 e y ∈ B1, então, ϕ(x) ∈ A0, ϕ(y), ϕ(xy) ∈ A1 e

ϕ(xy) = −il(ϕ(xy))

= −i(l ϕ)(y)(l ϕ)(x)

= −i2ϕ(y)ϕ(x) = ϕ(y)ϕ(x);

(3) Se x ∈ B1 e y ∈ B0, então, ϕ(x), ϕ(xy) ∈ A1, ϕ(y) ∈ A0 e

ϕ(xy) = −il(ϕ(xy))

= −i(l ϕ)(y)(l ϕ)(x)

= −i2ϕ(y)ϕ(x) = ϕ(y)ϕ(x);

(4) Se x, y ∈ B1, então, ϕ(x), ϕ(y) ∈ A1, ϕ(xy) ∈ A0 e

ϕ(xy) = l(ϕ(xy))

= (l ϕ)(y)(l ϕ)(x)

= iϕ(y)iϕ(x) = −ϕ(y)ϕ(x).


Logo, ϕ é um superantihomomorsmo de superálgebras.

Exemplo 4.2.2. Seja ψ : Mr →Mr um antihomomorsmo, ondeMr é a álgebra das matrizes r×r.Dena ϕ : M(r)→M(r) por

ϕ

([A B

C D

])=

[ψ(D) −ψ(B)

ψ(C) ψ(A)

],

onde M(r) é a superálgebra das matrizes 2r × 2r com Z2-graduação dada por

M(r)0 =

[A 0

0 D

]; A,D ∈Mr

e M(r)1 =

[0 B

C 0

]; B,C ∈Mr

.

Desse modo, ϕ é homomorsmo de Φ-módulos e

ϕ

([A 0

0 D

])=

[ψ(D) 0

0 ψ(A)

]∈M(r)0 e

ϕ

([0 B

C 0

])=

[0 −ψ(B)

ψ(C) 0

]∈M(r)1,

implicam que ϕ é graduada. Além disso, por exemplo, para

[0 A

B 0

],

[0 C

D 0

]∈M(r)1, temos

ϕ

([0 A

B 0

][0 C

D 0

])= ϕ

([AD 0

0 BC

])=

[ψ(C)ψ(B) 0

0 ψ(D)ψ(A)

]

= −

[0 −ψ(C)

ψ(D) 0

][0 −ψ(A)

ψ(B) 0

]

= (−1)1·1ϕ

([0 C

D 0

])ϕ

([0 A

B 0

]).

Fazendo cálculos semelhantes, podemos concluir que ϕ é um superantihomomorsmo.

Exemplo 4.2.3. Seja A = A0 ⊕ A1 uma superálgebra que é comutativa como álgebra. Escolha

a0 ∈ A0 e dena ϕ : A → A por ϕ(x0 + x1) = x0 + a0x1, para todo x0 + x1 ∈ A. Então, ϕ é

um superhomomorsmo de Jordan que não necessariamente é um superhomomorsmo nem um

superantihomomorsmo. De fato, claramente ϕ é um homomorsmo de Φ-módulos que é graduado.

Agora, como A é álgebra comutativa, se x0 ∈ A0, então, x0 s y = y s x0 = x0y, para todo y ∈ A;e se x1, y1 ∈ A1, então, x1 s y1 = 0. Assim, seguem as igualdades

ϕ(xsy) = ϕ(x0y0+x0y1+x1y0) = x0y0+a0x0y1+a0x1y0 = (x0+a0x1)s(y0+a0y1) = ϕ(x)sϕ(y).

Por outro lado, para x1, y1 ∈ A1, temos ϕ(x1y1) = a0x1y1, enquanto ϕ(x1)ϕ(y1) = a20x1y1 e

−ϕ(y1)ϕ(x1) = −a20x1y1.

Exemplo 4.2.4. Sejam γ ∈ Φ um elemento invertível tal que γ 6= γ−1, e Q(α, β) a superálgebra


dos quatérnios denida no Exemplo 2.2.2. Se ϕ : Q(α, β)→ Q(α, β) é tal que

ϕ(λ0 + λ1uv + λ2u+ λ3v) = λ0 + λ1uv + λ2γu+ λ3γ−1v,

para todo λ0 + λ1uv + λ2u + λ3v ∈ Q(α, β), então, ϕ é um superhomomorsmo de Jordan que

não é um superhomomorsmo nem um superantihomomorsmo, pois ϕ(uu) = ϕ(α) = α, mas

ϕ(u)ϕ(u) = γ2α.

A partir de agora, para uma aplicação entre (super)álgebras ϕ : B → A, denotamos τ(x, y) =

ϕ(xy)− ϕ(x)ϕ(y), ω(x, y) = ϕ(xy)− ϕ(y)ϕ(x) e ρ(x, y) = ϕ(xy) + ϕ(y)ϕ(x), para todos x, y ∈ B.

Proposição 4.2.1. Seja ϕ um homomorsmo sobrejetor de Φ-módulos de uma álgebra B em uma

álgebra A. Suponha que existam subálgebras B0 de B e A0 de A tais que as seguintes condições

são satisfeitas:

(i) ϕ(x x0) = ϕ(x) ϕ(x0), para todos x ∈ B e x0 ∈ B0;

(ii) ϕ(B0) ⊆ A0;

(iii) a0Ab0Aa0 = 0, onde a0, b0 ∈ A0, implica a0 = 0 ou b0 = 0.

Então, ϕ|B0 , a restrição de ϕ a B0, é um homomorsmo ou um antihomomorsmo.

Demonstração. Dados x ∈ B e x0 ∈ B0, temos

2x0 (x0 x) = x0 (x0x+ xx0)

= x0xx0 + 12(x2

0x+ xx20)

= x0xx0 + x20 x.

Assim,

ϕ(x0xx0) = 2ϕ(x0 (x0 x))− ϕ(x20 x)

= 2ϕ(x0) (ϕ(x0) ϕ(x))− ϕ(x20) ϕ(x)

= 12(ϕ(x0)(ϕ(x0) ϕ(x)) + (ϕ(x0) ϕ(x))ϕ(x0))− 1

2(ϕ(x20)ϕ(x) + ϕ(x)ϕ(x2

0))

= 12(ϕ(x0)2ϕ(x) + ϕ(x0)ϕ(x)ϕ(x0) + ϕ(x0)ϕ(x)ϕ(x0) + ϕ(x)ϕ(x0)2

−ϕ(x20)ϕ(x) + ϕ(x)ϕ(x2

0))

= 12(ϕ(x0)2ϕ(x) + ϕ(x)ϕ(x0)2 − ϕ(x2

0)ϕ(x) + ϕ(x)ϕ(x20)) + ϕ(x0)ϕ(x)ϕ(x0)

= ϕ(x0)ϕ(x)ϕ(x0),

pois ϕ(x0 x0) = ϕ(x0)ϕ(x0) implica ϕ(x20) = ϕ(x0)2. Portanto, está provada a seguinte igualdade

ϕ(x0xx0) = ϕ(x0)ϕ(x)ϕ(x0), (4.10)

cuja linearização em x0 resulta em

ϕ(x0xy0 + y0xx0) = ϕ(x0)ϕ(x)ϕ(y0) + ϕ(y0)ϕ(x)ϕ(x0), (4.11)


para todos x0, y0 ∈ B0 e x ∈ B. Agora, considerando o elemento W = ϕ(x0y0xy0x0 + y0x0xx0y0),

então, por (4.10), temos

W = ϕ(x0(y0xy0)x0) + ϕ(y0(x0xx0)y0)

= ϕ(x0)ϕ(y0xy0)ϕ(x0) + ϕ(y0)ϕ(x0xx0)ϕ(y0)

= ϕ(x0)ϕ(y0)ϕ(x)ϕ(y0)ϕ(x0) + ϕ(y0)ϕ(x0)ϕ(x)ϕ(x0)ϕ(y0),

e por outro lado, por (4.11), obtemos

W = ϕ((x0y0)x(y0x0) + (y0x0)x(x0y0))

= ϕ(x0y0)ϕ(x)ϕ(y0x0) + ϕ(y0x0)ϕ(x)ϕ(x0y0).

Consequentemente, como ϕ(x0y0) + ϕ(y0x0) = ϕ(x0)ϕ(y0) + ϕ(y0)ϕ(x0), o segundo bloco de

igualdades se tornam

W = ϕ(x0y0)ϕ(x)ϕ(x0)ϕ(y0) + ϕ(x0y0)ϕ(x)ϕ(y0)ϕ(x0)− ϕ(x0y0)ϕ(x)ϕ(x0y0)

+ϕ(x0)ϕ(y0)ϕ(x)ϕ(x0y0) + ϕ(y0)ϕ(x0)ϕ(x)ϕ(x0y0)− ϕ(x0y0)ϕ(x)ϕ(x0y0),

e comparando com o primeiro bloco de expressões para W , chegamos a

τ(x0, y0)ϕ(x)ω(x0, y0) + ω(x0, y0)ϕ(x)τ(x0, y0) = 0, (4.12)

para todos x0, y0 ∈ B0 e x ∈ B. Nosso objetivo é mostrar que ocorre τ(B0,B0) = 0 ou ω(B0,B0) = 0.

Para isso, sejam x0, y0 ∈ B0, e denotemos τ0 = τ(x0, y0) e ω0 = ω(x0, y0). Em vista de ϕ ser

sobrejetor, a igualdade (4.12) pode ser escrita como τ0aω0 + ω0aτ0 = 0, para todo a ∈ A. Dessemodo, obtemos

τ0a(ω0bτ0) = −τ0(aτ0b)ω0 = (ω0aτ0)bτ0 = −τ0aω0bτ0,

para quaisquer a, b ∈ A, o que implica τ0Aω0Aτ0 = 0, pois 12 ∈ Φ. Agora, pela condição (ii) das

hipóteses, temos τ0, ω0 ∈ A0, e portanto pela condição (iii), concluímos τ0 = 0 ou ω0 = 0. Logo,

para cada par de elementos x0, y0 ∈ B0, temos τ(x0, y0) = 0 ou ω(x0, y0) = 0.

Prosseguindo, xemos x0 ∈ B0 e denamos os conjuntos B10 = y0 ∈ B0 | τ(x0, y0) = 0

e B20 = y0 ∈ B0 | ω(x0, y0) = 0. Note que B1

0 e B20 são subgrupos aditivos de B0 tais que

B0 = B10 ∪B2

0. Assim, como um grupo não pode ser escrito como união de dois subgrupos próprios,

concluímos B0 = B10 ou B0 = B2

0, isto é, τ(x0,B0) = 0 ou ω(x0,B0) = 0. Analogamente, denindo

os conjuntos B30 = x0 ∈ B0 | τ(x0,B0) = 0 e B4

0 = x0 ∈ B0 | ω(x0,B0) = 0, temos que B30 e B4

0

são subgrupos aditivos de B0 tais que B0 = B30 ∪ B4

0, e novamente concluímos B0 = B30 ou B0 = B4

0,

isto é, τ(B0,B0) = 0 ou ω(B0,B0) = 0.

A partir de agora, até o nal dessa seção, a aplicação ϕ denotará um superhomomorsmo de

Jordan sobrejetor de uma superálgebra associativa B = B0 ⊕ B1 em uma superálgebra associativa

prima A = A0 ⊕A1, e Z(A) e Z(A0) serão os centros das álgebras A e A0, respectivamente. Além

disso, assumiremos que A0 não é comutativa, ou seja, Z(A0) 6= A0. Desse modo,


τ(x, x0) + τ(x0, x) = ϕ(xx0)− ϕ(x)ϕ(x0) + ϕ(x0x)− ϕ(x0)ϕ(x)

= 2(ϕ(x s x0)− ϕ(x) s ϕ(x0)) = 0,

para todos x ∈ B, x0 ∈ B0, isto é, τ(x, x0) = −τ(x0, x). Analogamente, ω(x, x0) = −ω(x0, x).

Além disso,

τ(x1, y1)− τ(y1, x1) = ϕ(x1y1)− ϕ(x1)ϕ(y1)− ϕ(y1x1) + ϕ(y1)ϕ(x1)

= 2(ϕ(x1 s y1)− ϕ(x1) s ϕ(y1)) = 0,

para quaisquer x1, y1 ∈ B1, ou seja, τ(x1, y1) = τ(y1, x1). Analogamente, ρ(x1, y1) = ρ(y1, x1).

Prosseguindo, dados y = y0 + y1 ∈ B e x1 ∈ B1, temos

2[x1, x1 y0] + 2x1 [x1, y1] = x1(x1y0 + y0x1)− (x1y0 + y0x1)x1 + x1(x1y1 − y1x1)

+(x1y1 − y1x1)x1

= x21y0 − y0x

21 + x2

1y1 − y1x21

= [x21, y].

Portanto, pela denição de superhomomorsmo de Jordan, segue

ϕ([x21, y]) = 2ϕ([x1, x1 y0]) + 2ϕ(x1 [x1, y1])

= ϕ(x1 s (x1 s y0)) + ϕ(x1 s (x1 s y1))

= ϕ(x1) s (ϕ(x1) s ϕ(y0)) + ϕ(x1) s (ϕ(x1) s ϕ(y1))

= ϕ(x1)(ϕ(x1)ϕ(y0) + ϕ(y0)ϕ(x1))− (ϕ(x1)ϕ(y0) + ϕ(y0)ϕ(x1))ϕ(x1)

+ϕ(x1)(ϕ(x1)ϕ(y1)− ϕ(y1)ϕ(x1)) + (ϕ(x1)ϕ(y1)− ϕ(y1)ϕ(x1))ϕ(x1)

= ϕ(x1)2ϕ(y0)− ϕ(y0)ϕ(x1)2 + ϕ(x1)2ϕ(y1)− ϕ(y1)ϕ(x1)2

= [ϕ(x1)2, ϕ(y)],

Logo, podemos concluir

ϕ([x21, y]) = [ϕ(x1)2, ϕ(y)], (4.13)

para todos x1 ∈ B1, y ∈ B.

Lema 4.2.1. A aplicaç ão ϕ|B0 é um homomorsmo sobrejetor ou um antihomomorsmo sobrejetor

de B0 em A0.

Demonstração. Sabemos que ϕ é um homomorsmo de Φ-módulos que preserva a Z2-gaduação, pois

ϕ é superhomomorsmo de Jordan; e ϕ é sobrejetor. Além disso, pela denição de Z2-graduação,

as partes pares B0 de B e A0 de A são subálgebras de B e A, respectivamente, tais que ϕ(x x0) =

ϕ(xsx0) = ϕ(x)sϕ(x0) = ϕ(x)ϕ(x0); e se a0, b0 ∈ A0 são tais que a0Ab0Aa0 = 0, então, a0 = 0

ou b0 = 0, visto que A é uma superálgebra associativa prima.

Portanto, podemos aplicar a Proposição 4.2.1, o que implica que ϕ|B0 é um homomorsmo ou

um antihomomorsmo. Claramente, se a0 ∈ A0, então, como ϕ é sobrejetor, existe x = x0 +x1 ∈ B,onde xi ∈ Bi com i = 0, 1, tal que ϕ(x) = a0. Portanto, a0−ϕ(x0) = ϕ(x1) ∈ A0 ∩A1 = 0, de onde

segue a0 = ϕ(x0) ∈ ϕ(B0).

Lema 4.2.2. Se ϕ|B0 é um homomorsmo, então, ϕ é um superhomomorsmo.


Demonstração. Primeiramente, note que por hipótese seguem

ϕ([x21, x0]) = ϕ(x2

1)ϕ(x0)− ϕ(x0)ϕ(x21)

= [ϕ(x21), ϕ(x0)],

para todos x0 ∈ B0, x1 ∈ B1 que comparando com (4.13) implica [τ(x1, x1), ϕ(x0)] = 0. Assim,

como ϕ(B0) = A0, temos τ(x1, x1) ∈ Z(A0), para todo x1 ∈ B1. Desse modo, linearizando a última

igualdade, obtemos

[τ(x1, y1) + τ(y1, x1), ϕ(x0)] = 0,

o que implica

τ(x1, y1) ∈ Z(A0), (4.14)

para todos x1, y1 ∈ B1, pois τ(x1, y1) = τ(y1, x1).

Agora, consideremos o elemento ϕ(x0x1y1), onde x0 ∈ B0 e x1, y1 ∈ B1. Por um lado, temos

ϕ(x0(x1y1)) = ϕ(x0)ϕ(x1y1)

= ϕ(x0)ϕ(x1)ϕ(y1) + ϕ(x0)τ(x1, y1),

e por outro lado, obtemos

ϕ((x0x1)y1) = ϕ(x0x1)ϕ(y1) + τ(x0x1, y1)

= ϕ(x0)ϕ(x1)ϕ(y1) + τ(x0, x1)ϕ(y1) + τ(x0x1, y1).

A comparação das igualdades encontradas, resulta em

τ(x0, x1)ϕ(y1) = ϕ(x0)τ(x1, y1)− τ(x0x1, y1), (4.15)

para todos x0 ∈ B0, x1, y1 ∈ B1.

Analogamente, considerando o elemento ϕ(y1x1x0), as seguintes igualdades são válidas

ϕ((y1x1)x0) = ϕ(y1x1)ϕ(x0)

= ϕ(y1)ϕ(x1)ϕ(x0) + τ(y1, x1)ϕ(x0) e

ϕ(y1(x1x0)) = ϕ(y1)ϕ(x1x0) + τ(y1, x1x0)

= ϕ(y1)ϕ(x1)ϕ(x0) + ϕ(y1)τ(x1, x0) + τ(y1, x1x0).

Novamente, comparando os blocos de igualdades, segue

ϕ(y1)τ(x0, x1) = −τ(x1, y1)ϕ(x0) + τ(x1x0, y1), (4.16)

para todos x0 ∈ B0, x1, y1 ∈ B1, pois τ(x1, x0) = −τ(x0, x1), τ(y1, x1) = τ(x1, y1) e τ(y1, x1x0) =

τ(x1x0, y1).

Além disso, por (4.14) e (4.15), temos

[τ(x0, x1)ϕ(y1), ϕ(x0)] = [ϕ(x0)τ(x1, y1), ϕ(x0)]− [τ(x0x1, y1), ϕ(x0)]

= ϕ(x0)[τ(x1, y1), ϕ(x0)]− [τ(x0x1, y1), ϕ(x0)] = 0.


Portanto, [τ(x0,B1)A1, ϕ(x0)] = 0, para todo x0 ∈ B0, pois ϕ(B1) = A1. Consequentemente,

para quaisquer a0 ∈ A0 e a1 ∈ A1, como sabemos que vale a1a0 ∈ A1, as igualdades abaixo são

válidas:

τ(x0, x1)a1[a0, ϕ(x0)] = τ(x0, x1)a1a0ϕ(x0)− τ(x0, x1)a1ϕ(x0)a0

= τ(x0, x1)a1a0ϕ(x0)− ϕ(x0)τ(x0, x1)a1a0 + ϕ(x0)τ(x0, x1)a1a0

−τ(x0, x1)a1ϕ(x0)a0

= [τ(x0, x1)(a1a0), ϕ(x0)]− [τ(x0, x1)a1, ϕ(x0)]a0 = 0,

isto é,

τ(x0,B1)A1[A0, ϕ(x0)] = 0, (4.17)

para todo x0 ∈ B0.

Do mesmo modo, por (4.14) e (4.16), valem

[ϕ(y1)τ(x0, x1), ϕ(x0)] = −[τ(x1, y1)ϕ(x0), ϕ(x0)] + [τ(x1x0, y1), ϕ(x0)]

= −[τ(x1, y1), ϕ(x0)]ϕ(x0) + [τ(x1x0, y1), ϕ(x0)] = 0.

Logo, [A1τ(x0,B1), ϕ(x0)] = 0, para qualquer x0 ∈ B0, pois ϕ(B1) = A1.

Agora, dados a0 ∈ A0 e a1 ∈ A1, também temos

[a0, ϕ(x0)]a1τ(x0, x1) = a0ϕ(x0)a1τ(x0, x1)− ϕ(x0)a0a1τ(x0, x1)

= a0ϕ(x0)a1τ(x0, x1)− a0a1τ(x0, x1)ϕ(x0) + a0a1τ(x0, x1)ϕ(x0)

−ϕ(x0)a0a1τ(x0, x1)

= −a0[a1τ(x0, x1), ϕ(x0)] + [(a0a1)τ(x0, x1), ϕ(x0)] = 0,

ou seja,

[A0, ϕ(x0)]A1τ(x0,B1) = 0. (4.18)

para todo x0 ∈ B0. Assim, como τ(x0,B1) ⊆ A1 e [A0, ϕ(x0)] ⊆ A0, por (2) do Lema 1.2.5, (4.17)

e (4.18) concluímos τ(x0,B1) = 0 ou ϕ(x0) ∈ Z(A0), para cada x0 ∈ B0.

Pela mesma técnica usada na demonstração da Proposição 4.2.1, denimos os conjuntos B′0 =

x0 ∈ B0 | τ(x0,B1) = 0 e B′′0 = x0 ∈ B0 | ϕ(x0) ∈ Z(A0), os quais são subgrupos do grupo

aditivo B0 tais que B0 = B′0 ∪ B′′0 , o que implica B0 = B′0 ou B0 = B′′0 , isto é, τ(B0,B1) = 0 ou

ϕ(B0) ⊆ Z(A0). Porém, o segundo caso não ocorre, pois ϕ(B0) = A0 e estamos assumindo que A0

não é comutativa. Portanto, τ(B0,B1) = 0; e consequentemente, τ(B1,B0) = 0.

Dados x1, y1 ∈ B1, temos x21 ∈ B0,

ϕ([x21, y1]) = ϕ(x2

1y1)− ϕ(y1x21)

= ϕ(x21)ϕ(y1)− ϕ(y1)ϕ(x2

1)

= [ϕ(x21), ϕ(y1)],

e ϕ([x21, y1]) = [ϕ(x1)2, ϕ(y1)], por (4.13). Desse modo, vale [τ(x1, x1), ϕ(y1)] = 0, cuja linearização

resulta em

[τ(x1, z1), ϕ(y1)] + [τ(z1, x1), ϕ(y1)] = 0,


de onde concluímos [τ(x1, z1), ϕ(y1)] = 0, pois τ(x1, z1) = τ(z1, x1). Portanto, como sabemos que

ocorre ϕ(B1) = A1, temos [τ(x1, z1),A1] = 0, o que implica τ(x1, z1) ∈ Z(A), para todos x1, z1 ∈ B1,

por (4.14). Assim, a igualdade de (4.16) nos mostra τ(x1, y1)ϕ(x0) = τ(x1x0, y1) ∈ Z(A), para todos

x1, y1 ∈ B1, x0 ∈ B0. Logo, τ(B1,B1)A0 ⊆ Z(A), pois ϕ(B0) = A0. Consequentemente, valem as

seguintes igualdades

τ(x1, y1)[a0, b0] = (τ(x1, y1))a0b0 − (τ(x1, y1)b0)a0

= a0τ(x1, y1)b0 − a0τ(x1, y1)b0 = 0,

para todos x1, y1 ∈ B1 e a0, b0 ∈ A0.

Finalmente, como [A0,A0] 6= 0, existem a0, b0 ∈ A0 tais que [a0, b0] 6= 0. Assim, se a ∈ A e

x1, y1 ∈ B1, então,

τ(x1, y1)a[a0, b0] = aτ(x1, y1)[a0, b0] = 0,

isto é, τ(x1, y1)A[a0, b0] = 0, o que implica τ(x1, y1) = 0, pois A é uma superálgebra associativa

prima. Desse modo, τ(B1,B1) = 0, e por hipótese, como ϕ|B0 é homomorsmo, também temos

τ(B0,B0) = 0. Logo, τ(B,B) = 0, ou seja, ϕ é um superhomomorsmo.

Lema 4.2.3. Se ϕ|B0 é um antihomomorsmo, então, ϕ é um superantihomomorsmo.

Demonstração. Inicialmente, por hipótese, note

ϕ([x21, x0]) = ϕ(x0)ϕ(x2

1)− ϕ(x21)ϕ(x0)

= [−ϕ(x21), ϕ(x0)],

para todos x0 ∈ B0, x1 ∈ B1, que comparando com (4.13) implica [ρ(x1, x1), ϕ(x0)] = 0. Assim,

como ϕ(B0) = A0, temos ρ(x1, x1) ∈ Z(A0), para todo x1 ∈ B1. Desse modo, linearizando a última

igualdade, obtemos

[ρ(x1, y1) + ρ(y1, x1), ϕ(x0)] = 0,

o que implica

ρ(x1, y1) ∈ Z(A0), (4.19)

para todos x1, y1 ∈ B1, pois ρ(x1, y1) = ρ(y1, x1).

Agora, consideremos o elemento ϕ(x0x1y1), onde x0 ∈ B0 e x1, y1 ∈ B1. Por um lado, temos

ϕ(x0(x1y1)) = ϕ(x1y1)ϕ(x0)

= −ϕ(y1)ϕ(x1)ϕ(x0) + ρ(x1, y1)ϕ(x0),

e por outro lado, obtemos

ϕ((x0x1)y1) = −ϕ(y1)ϕ(x0x1) + ρ(x0x1, y1)

= −ϕ(y1)ϕ(x1)ϕ(x0)− ϕ(y1)ω(x0, x1) + ρ(x0x1, y1).

A comparação das igualdades encontradas, resulta em

ϕ(y1)ω(x0, x1) = −ρ(x1, y1)ϕ(x0) + ρ(x0x1, y1), (4.20)

para todos x0 ∈ B0, x1, y1 ∈ B1.


Analogamente, considerando o elemento ϕ(y1x1x0), as seguintes igualdades são válidas:

ϕ((y1x1)x0) = ϕ(x0)ϕ(y1x1)

= −ϕ(x0)ϕ(x1)ϕ(y1) + ϕ(x0)ρ(y1, x1) e

ϕ(y1(x1x0)) = −ϕ(x1x0)ϕ(y1) + ρ(y1, x1x0)

= −ϕ(x0)ϕ(x1)ϕ(y1)− ω(x1, x0)ϕ(y1) + ρ(y1, x1x0).

Novamente, comparando os blocos de igualdades, segue

ω(x0, x1)ϕ(y1) = ϕ(x0)ρ(x1, y1)− ρ(x1x0, y1), (4.21)

para todos x0 ∈ B0, x1, y1 ∈ B1, pois ω(x1, x0) = −ω(x0, x1), ρ(y1, x1) = ρ(x1, y1) e ρ(y1, x1x0) =

ρ(x1x0, y1).

Além disso, por (4.19) e (4.20), temos

[ϕ(y1)ω(x0, x1), ϕ(x0)] = −[ρ(x1, y1)ϕ(x0), ϕ(x0)] + [ρ(x0x1, y1), ϕ(x0)]

= −[ρ(x1, y1), ϕ(x0)]ϕ(x0)− [ρ(x0x1, y1), ϕ(x0)] = 0.

Portanto, [A1ω(x0,B1), ϕ(x0)] = 0, para todo x0 ∈ B0. Consequentemente, para quaisquer

a0 ∈ A0 e a1 ∈ A1, como sabemos que vale a1a0 ∈ A1, as próximas igualdades são válidas:

[a0, ϕ(x0)]a1ω(x0, x1) = a0ϕ(x0)a1ω(x0, x1)− ϕ(x0)a0a1ω(x0, x1)

= a0ϕ(x0)a1ω(x0, x1)− a0a1ω(x0, x1)ϕ(x0) + a0a1ω(x0, x1)ϕ(x0)

−ϕ(x0)a0a1ω(x0, x1)

= −a0[a1ω(x0, x1), ϕ(x0)]− [(a0a1)ω(x0, x1), ϕ(x0)] = 0,

isto é,

[A0, ϕ(x0)]A1ω(x0,B1) = 0, (4.22)

para todo x0 ∈ B0. Do mesmo modo, por (4.19) e (4.21), seguem

[ω(x0, x1)ϕ(y1), ϕ(x0)] = [ϕ(x0)ρ(x1, y1), ϕ(x0)]− [ρ(x1x0, y1), ϕ(x0)]

= ϕ(x0)[ρ(x1, y1), ϕ(x0)]− [ρ(x1x0, y1), ϕ(x0)] = 0.

Logo, [ω(x0,B1)A1, ϕ(x0)] = 0, para qualquer x0 ∈ B0. Agora, dados a0 ∈ A0 e a1 ∈ A1,

também temos

ω(x0, x1)a1[a0, ϕ(x0)] = ω(x0, x1)a1a0ϕ(x0)− ω(x0, x1)a1ϕ(x0)a0

= ω(x0, x1)a1a0ϕ(x0)− ϕ(x0)ω(x0, x1)a1a0 + ϕ(x0)ω(x0, x1)a1a0

−ω(x0, x1)a1ϕ(x0)a0

= [ω(x0, x1)(a1a0), ϕ(x0)]− [ω(x0, x1)a1, ϕ(x0)]a0 = 0,

ou seja,

ω(x0,B1)A1[A0, ϕ(x0)] = 0, (4.23)

para todo x0 ∈ B0. Assim, como ω(x0,B1) ⊆ A1 e [A0, ϕ(x0)] ⊆ A0, por (2) do Lema 1.2.5, (4.22)


e (4.23) concluímos ω(x0,B1) = 0 ou ϕ(x0) ∈ Z(A0), para cada x0 ∈ B0. Desse modo, denindo

os conjuntos B∗0 = x0 ∈ B0 | ω(x0,B1) = 0 e B∗∗0 = x0 ∈ B0 | ϕ(x0) ∈ Z(A0), os quais sãosubgrupos do grupo aditivo B0 tais que B0 = B∗0 ∪ B∗∗0 , temos ω(B0,B1) = 0 ou ϕ(B0) ⊆ Z(A0).

Entretanto, o segundo caso não acontece, pois ϕ(B0) = A0 e estamos assumindo que A0 não é

comutativa. Portanto, ω(B0,B1) = 0, e consequentemente, também temos ω(B1,B0) = 0.

Dados x1, y1 ∈ B1, temos x21 ∈ B0,

ϕ([x21, y1]) = ϕ(x2

1y1)− ϕ(y1x21)

= ϕ(y1)ϕ(x21)− ϕ(x2

1)ϕ(y1)

= [−ϕ(x21), ϕ(y1)],

e ϕ([x21, y1]) = [ϕ(x1)2, ϕ(y1)], logo [ρ(x1, x1), ϕ(y1)] = 0, por (4.13), cuja linearização resulta em

[ρ(x1, z1), ϕ(y1)] + [ρ(z1, x1), ϕ(y1)] = 0,

de onde concluímos [ρ(x1, z1), ϕ(y1)] = 0, pois ρ(x1, z1) = ρ(z1, x1). Portanto, [ρ(x1, z1),A1] = 0, e

como sabemos que vale (4.19), temos ρ(x1, z1) ∈ Z(A), para todos x1, z1 ∈ B1. Assim, a igualdade

(4.20), nos mostra ρ(x1, y1)ϕ(x0) = ρ(x0x1, y1) ∈ Z(A), para todos x1, y1 ∈ B1, x0 ∈ B0. Logo,

ρ(B1,B1)A0 ⊆ Z(A). Consequentemente, valem as seguintes igualdades

ρ(x1, y1)[a0, b0] = (ρ(x1, y1))a0b0 − (ρ(x1, y1)b0)a0

= a0ρ(x1, y1)b0 − a0ρ(x1, y1)b0

= 0,

para todos x1, y1 ∈ B1 e a0, b0 ∈ A0.

Finalmente, como [A0,A0] 6= 0, existem a0, b0 ∈ A0 tais que [a0, b0] 6= 0. Assim, se a ∈ A e

x1, y1 ∈ B1, então,

ρ(x1, y1)a[a0, b0] = aρ(x1, y1)[a0, b0] = 0,

isto é, ρ(x1, y1)A[a0, b0] = 0, o que implica ρ(x1, y1) = 0, pois A é uma superálgebra associativa

prima. Desse modo, ρ(B1,B1) = 0, e por hipótese, como também temos que ϕ|B0 é antihomomor-

smo, segue ω(B0,B0) = 0. Logo, ϕ é um superantihomomorsmo.

Encerramos o capítulo enunciando e demonstrando o resultado principal dessa seção.

Teorema 4.2.1. (Beidar, Bre²ar e Chebotar, [3]) Se ϕ : B → A um superhomomorsmo de Jordan

sobrejetor da superálgebra associativa B = B0⊕B1 na superálgebra associativa prima A = A0⊕A1,

onde A0 não é comutativa, então, ϕ é um superhomomorsmo ou um superantihomomorsmo.

Demonstração. Pelo Lema 4.2.1, ϕ|B0 é um homomorsmo ou um antihomomorsmo. Se ϕ|B0 é

um homomorsmo, concluímos que ϕ é um superhomomorsmo, pelo Lema 4.2.2. Caso contrário,

isto é, se ϕ|B0 é um antihomomorsmo, então, pelo Lema 4.2.3 chegamos à conclusão que ϕ é um

superantihomomorsmo.

Capítulo 5

Homomorsmos de Jordan em anéis

semiprimos

Nesse capítulo vamos estudar resultados de W. E. Baxter e W. S. Martindale, 3o, [25], a respeito

de homomorsmos de Jordan em anés semiprimos.

Inicialmente, recordemos que um homomorsmo de Jordan de um anel T em um anel R é

uma aplicação aditiva ϕ tal que ϕ(xy + yx) = ϕ(x)ϕ(y) + ϕ(y)ϕ(x), para quaisquer x, y ∈ T . Domesmo modo ao que apresentamos no capítulo anterior, estaremos assumindo que ϕ : T → R é um

homomorsmo de Jordan sobrejetor e que R é um anel semiprimo com característica diferente de

2. Entretanto, o resultado que apresentaremos é um tanto dissemelhante do encontrado no capítulo

anterior e vamos precisar da seguinte noção.

Denição 5.0.3. Uma aplicação entre anéis ϕ : T → R é soma direta de aplicações σ1 : T → R

e σ2 : T → R se existem ideais V1, V2 de R tais que V1 ∩ V2 = 0, σ1(T ) ⊆ V1, σ2(T ) ⊆ V2 e

ϕ(a) = σ1(a) + σ2(a), para todo a ∈ T . Denotamos ϕ = σ1 ⊕ σ2.

O seguinte exemplo mostra uma primeira conjectura de como o resultado deveria ser no caso

semiprimo.

Exemplo 5.0.5. Seja S um anel primo com caraterística diferente de 2 e com involução ∗ não trivial,

isto é, ∗ é uma aplicação de S em S não nula que é aditiva e satisfaz (a∗)∗ = a e (ab)∗ = b∗a∗. Se

R = S⊕S e ϕ : R→ R é tal que ϕ(s, t) = (s, t∗), então, R é semiprimo, tem característica diferente

de 2, ϕ é aditiva e

ϕ((s, t)(m,n) + (m,n)(s, t)) = (sm+ms, (tn+ nt)∗)

= (sm+ms, n∗t∗ + t∗n∗)

= (s, t∗)(m,n∗) + (m,n∗)(s, t∗),

para todos (s, t), (m,n) ∈ R, isto é, ϕ é um homomorsmo de Jordan. Claramente, ϕ é a soma direta

do homomorsmo σ1 : R → R, dado por σ1(s, t) = (s, 0), com o antihomomorsmo σ2 : R → R,

denido por σ2(s, t) = (0, t∗). De fato, V1 = S⊕0 e V2 = 0⊕S são ideais de R tais que σ1(R) ⊆ V1,

σ2(R) ⊆ V2, V1 ∩ V2 = 0 e ϕ(s, t) = σ1(s, t) + σ2(s, t).

Desse modo, este exemplo sugere a seguinte conjectura: todo homomorsmo de Jordan sobre-

jetor de um anel arbitrário em um anel semiprimo de característica diferente de 2, é soma direta de

81

82 HOMOMORFISMOS DE JORDAN EM ANÉIS SEMIPRIMOS 5

um homomorsmo e um antihomomorsmo. Infelizmente, esta conjectura é falsa, como pode ser

visto no próximo contraexemplo, o qual foi sugerido por Kaplansky.

Exemplo 5.0.6. Seja A o ideal dos elementos de termo constante nulo, da álgebra não comutativa

livre gerada por x e y sobre um corpo F , e seja ∗ a involução em A determinada por x → x e

y → y. Se R = A ⊕ A ⊕ F é a álgebra obtida pela adjunção de uma identidade à álgebra A ⊕ Apelo processo usual e ϕ : R→ R é dada por ϕ(a, b, λ) = (a, b∗, λ), para todo (a, b, λ) ∈ R, então, Ré semiprimo e ϕ é um automorsmo de Jordan. De fato, ϕ é uma aplicação biunívoca, aditiva e

ϕ((a, b, λ)(c, d, µ) + (c, d, µ)(a, b, λ))

= ϕ(ac+ ca+ 2λc+ 2µa, bd+ db+ 2λd+ 2µb, 2λµ)

= (ac+ ca+ 2λc+ 2µa, d∗b∗ + b∗d∗ + 2λd∗ + 2µb∗, 2λµ)

= (a, b∗, λ)(c, d∗, µ) + (c, d∗, µ)(a, b∗, λ),

para todos (a, b, λ), (c, d, µ) ∈ R.Agora, suponha que existam um homomorsmo σ1 : R → R e um antihomomorsmo σ2 : R →

R tais que ϕ = σ1 + σ2. O único elemento idempotente de R não nulo é a identidade (0, 0, 1).

Observando que ϕ(0, 0, 1) = (0, 0, 1), σ1(0, 0, 1) e σ2(0, 0, 1) devem ser idempotentes, pois σ1 é

homomorsmo e σ2 é antihomomorsmo, podemos concluir, sem perda de generalidade, σ1(0, 0, 1) =

(0, 0, 1) e σ2(0, 0, 1) = 0, o que implica σ2(R) = 0. Portanto, ϕ = σ1 é um homomorsmo, o que

claramente é uma contradição. Com efeito, por exemplo, para os elementos (0, x, 0) e (0, y, 0), temos

ϕ((0, x, 0)(0, y, 0)) = (0, yx, 0), enquanto ϕ(0, x, 0)ϕ(0, y, 0) = (0, xy, 0), e yx 6= xy.

Denição 5.0.4. Um ideal E de um anel T é dito essencial se E ∩ I 6= 0, para todo ideal I não

nulo de T .

Esta denição será importante para o nosso estudo e é necessária para a seguinte conjectura:

se ϕ é um homomorsmo de Jordan sobrejetor de um anel T em um anel semiprimo R com

característica diferente de 2, então, existe um ideal essencial E de T tal que a restrição de ϕ a E é

a soma direta de um homomorsmo σ1 : E → R com um antihomomorsmo σ2 : E → R; a qual é

verdadeira e com o intuito de prová-la precisaremos de alguns resultados preliminares.

Lema 5.0.4. Se R é um anel semiprimo tal que [[R,R], R] = 0, então, R é comutativo.

Demonstração. Para quaisquer x, y, z ∈ R, temos [[x, y], z] = 0, isto é, [x, y]z = z[x, y]. Além disso,

também ocorrem as igualdades:

[x, y]2 = [x, y]xy − [x, y]yx = [x, yx]y − y[x, y]x

= y[x, yx]− y[x, y]x = y[x, y]x− y[x, y]x = 0,

as quais implicam [x, y]z[x, y] = [x, y]2z = 0, ou seja, [x, y]R[x, y] = 0. Portanto, como R é semi-

primo, ocorre [x, y] = 0, para quaisquer x, y ∈ R, ou seja, R é comutativo.

A seguir, vamos nos focar no caso em que T também é semiprimo e ϕ é um isomorsmo de

Jordan. A demonstração da conjectura será consequência desse caso particular. Repare que como

R tem característica diferente de 2 e ϕ : T → R é um isomorsmo de Jordan, necessariamente T

tem característica diferente de 2.

5 83

Em virtude de T ser semiprimo, já vimos na seção 4 do Capítulo 1, que existe um conjunto

de ideais primos, Qα | α ∈ Λ, de T tais que⋂α

Qα = 0. Agora, denimos anéis quocientes

Tα = T/Qα. Note que estes anéis são primos, pois os ideais Qα são primos. Podemos supor também,

sem perda de generalidade, que os Tα's têm característica diferente de 2. Com efeito, denimos os

subconjuntos do conjunto de índices Λ: Ω = β ∈ Λ | Tβ tem característica diferente de 2 e ∆ =

γ ∈ Λ | Tγ tem característica 2. Desse modo, dados t ∈ T e γ ∈ ∆, temos 2t+Qγ = 2(t+Qγ) = 0,

isto é, 2t ∈ Qγ . Assim, 2T ⊆⋂γ∈∆

Qγ . Portanto, se x ∈⋂β∈Ω

Qβ , então, 2x ∈⋂α∈Λ

Qα = 0, e

necessariamente x = 0, ou seja, Qβ | β ∈ Ω é um conjunto de ideais primos de T , tais que⋂β∈Ω

Qβ = 0 e Tβ tem característica diferente de 2.

Lema 5.0.5. Se I é o ideal de T gerado por [[T, T ], T ], então, existe um ideal J de T contido em

Z(T ), tal que I ∩ J = 0 e E = I ⊕ J é um ideal essencial de T .

Demonstração. Para o conjunto de ideais Ω = K ideal de T | I ∩K = 0 ordenado parcialmente

pela inclusão, temos que toda cadeia (Kn)n∈N, onde Kn ⊆ Kn+1, de elementos de Ω admite a cota

superior⋃n

Kn. Assim, pelo Lema de Zorn, podemos concluir que Ω possui elemento maximal J .

Armamos que E = I ⊕ J é essencial. De fato, dado um ideal não nulo K de T , se I ∩ K = 0,

então, (K + J) ∩ I = 0, logo J ⊆ (K + J) ∈ Ω, o que implica J = K + J , pois J é maximal em Ω.

Desse modo, K ⊆ J e 0 6= K = K ∩ J ⊆ K ∩E; se I ∩K 6= 0, então, também 0 6= I ∩K ⊆ E ∩K.

Como observado anteriormente, temos um conjunto de ideais primos de T , Qα | α ∈ Λ, tais que⋂α

Qα = 0. Portanto, valem IJ ⊆ I ∩ J = 0 ⊆ Qα, para todo α ∈ Λ, o que implica I ⊆ Qα ou

J ⊆ Qα, pois Qα é primo. Se I ⊆ Qα, então, em particular, [[Tα, Tα], Tα] = 0, pela denição de I.

Logo, pelo Lema 5.0.4, temos que Tα é comutativo. Assim, [J, T ] ⊆ Qα. Por outro lado, se J ⊆ Qα,então, [J, T ] ⊆ Qα, pois Qα é ideal. Em qualquer dos casos, chegamos a [J, T ] ⊆ Qα, o que nos

permite concluir [J, T ] ⊆⋂α

Qα = 0, isto é, J ⊆ Z(T ).

Prosseguindo, xamos o ideal essencial E dado pelo lema anterior. Armamos que, sem perda

de generalidade, podemos supor que para cada α, E não está contido em Qα, onde Qα pertence ao

conjunto de ideais supracitado. De fato, dena os subconjuntos do conjunto de índices Λ: Ω = β ∈Λ | E * Qβ e ∆ = γ ∈ Λ | E ⊆ Qγ. Se

⋂β∈Ω

Qβ 6= 0, então, 0 6=⋂β∈Ω

Qβ∩E ⊆⋂α∈Λ

Qα = 0, o que é

uma contradição. Portanto, vamos xar também um conjunto de ideais primos de T , Qα | α ∈ Λ,tais que

⋂α∈Λ

Qα = 0, Tα tem característica diferente de 2 e E * Qα, para cada α ∈ Λ.

Dado α ∈ Λ, considere τα a projeção de T sobre Tα. Assim, como ϕ : T → R é um isomorsmo

de Jordan, temos que ταϕ−1, a composta de τα e ϕ−1, é um homomorsmo de Jordan sobrejetor

de R em Tα. Com efeito, para a, b ∈ R arbitrários, temos

ταϕ−1(a b) = ταϕ

−1(ϕ(ϕ−1(a)) ϕ(ϕ−1(b)))

= ταϕ−1(ϕ(ϕ−1(a) ϕ−1(b)))

= τα(ϕ−1(a) ϕ−1(b))

= ταϕ−1(a) ταϕ−1(b),


o que implica que ταϕ−1 é um homomorsmo ou um antihomomorsmo, pelo Teorema 4.1.1, pois Tαé primo e tem característica diferente de 2. Em qualquer dos casos, obtemos que Pα = Ker(ταϕ

−1),

o núcleo de ταϕ−1, é um ideal de R. Além disso, Pα é um ideal primo, pois se K e L são ide-

ais de R tais que KL ⊆ Pα, então, ταϕ−1(KL) = 0 e isso implica ταϕ−1(K)ταϕ−1(L) = 0 ou

ταϕ−1(L)ταϕ

−1(K) = 0. Portanto, como Tα é primo, concluímos ταϕ−1(K) = 0 ou ταϕ−1(L) = 0,

isto é, K ⊆ Pα ou L ⊆ Pα. Claramente Pα = ϕ(Qα) e E * Qα implicam ϕ(E) * Pα. Denotamos

Rα = R/Pα e formamos o produto direto S =∏α

Rα. Sejam ηα : R → Rα a projeção natural e

η =∏α

ηα o isomorsmo de R em η(R) ⊆ S, isto é, η(r) = (ηα(r))α, para todo r ∈ R. Note que

vale η(r) = 0 se, e somente se, r ∈ Pα = ϕ(Qα), para todo α ∈ Λ. Assim, ϕ−1(r) ∈⋂α

Qα = 0,

o que implica r = 0, isto é, η é injetiva. Para cada α ∈ Λ, ϕα = ηαϕ, a composta de ηα com ϕ,

é um homomorsmo de Jordan sobrejetor de T em Rα, e Rα é um anel primo de característica

diferente de 2, de onde concluímos que ϕα é um homomorsmo ou um antihomomorsmo, pelo

Teorema 4.1.1, e restrito ao ideal J , ideal tal que E = I ⊕ J é essencial, ϕα é simultaneamente

um homomorsmo e um antihomomorsmo, pois J ⊆ Z(T ). Agora, particionamos o conjunto de

índices Λ da seguinte maneira:

Ω = β ∈ Λ | ϕβ é um homomorsmo não nulo em I,

∆ = γ ∈ Λ | ϕγ é um antihomomorsmo não nulo em I mas não é um

homomorsmo em I,

Σ = δ ∈ Λ | ϕδ é o homomorsmo nulo em I,

e denimos os seguintes homomorsmos: ε1 : S → S dado por ε1(rα) = sα, onde

sα =

rα se α ∈ Ω

0 se α /∈ Ω,

ε2 : S → S denido por ε2(rα) = tα, onde

tα =

rα se α ∈ ∆

0 se α /∈ ∆,

e ε3 : S → S tal que ε3(rα) = vα, onde

vα =

rα se α ∈ Σ

0 se α /∈ Σ.

É fácil ver que essas aplicações são ortogonais, isto é, εiεj = 0, para i 6= j, i, j = 1, 2, 3, e

são idempotentes, ou seja, ε2i = εi, para i = 1, 2, 3. Além disso, como temos uma união disjunta

Λ = Ω ∪ ∆ ∪ Σ, segue ε1 + ε2 + ε3 = idS , a aplicação identidade de S.

Adotando a notação τ1 = ε1 + ε3 e τ2 = ε2, o seguinte resultado é válido.

Lema 5.0.6. A aplicação τ1ηϕ é um homomorsmo de T em S, a aplicação τ2ηϕ é um antihomo-

5 85

morsmo de T em S e ηϕ = τ1ηϕ+ τ2ηϕ.

Demonstração. Inicialmente, observe que temos ηϕ(t) = ϕα(t)α, para todo t ∈ T . Desse modo,

τ1ηϕ(t) = ϕα(t)α, onde ϕα(t) = ϕα(t), se α ∈ Ω ∪ Σ; e ϕα(t) = 0, caso contrário. Porém, para

estes índices, ϕα é um homomorsmo de T em S, o que implica que τ1ηϕ é homomorsmo, pois a

multiplicação é termo a termo. Analogamente, τ2ηϕ(t) = ϕα(t)α, onde ϕα(t) = ϕα(t), se α ∈ ∆;

e ϕα(t) = 0, caso contrário. Entretanto, como para estes índices, ϕα é um antihomomorsmo de T

em S, segue que τ2ηϕ é um antihomomorsmo. Finalmente, podemos concluir

ηϕ = idS(ηϕ) = (ε1 + ε2 + ε3)ηϕ = τ1ηϕ+ τ2ηϕ.

Agora, denimos ϕi = εiηϕ, i = 1, 2, 3. Neste caso, pelo Lema 5.0.6, observemos que ϕ1 e ϕ3

são homomorsmos de T em S e ϕ2 é um antihomomorsmo de T em S.

Lema 5.0.7. A inclusão ϕi([T, T ]) ⊆ η(R) é válida, para quaisquer i = 1, 2, 3.

Demonstração. Seja ψ = ηϕ. Dados x, y ∈ T , temos

ψ(x)ψ(y) = (ε1 + ε2 + ε3)(ψ(x))(ε1 + ε2 + ε3)(ψ(y))

= (ϕ1(x) + ϕ2(x) + ϕ3(x))(ϕ1(y) + ϕ2(y) + ϕ3(y))

= ϕ1(x)ϕ1(y) + ϕ2(x)ϕ2(y) + ϕ3(x)ϕ3(y),

pois ϕi(x)ϕj(y) = 0, para i 6= j. De fato, sem perda de generalidade, por exemplo para i = 1 e

j = 2, enquanto ϕi(x) tem todas as entradas com índices pertencentes a ∆ ∪ Σ nulas, ϕ2(y) possui

as entradas com índices pertencentes a Ω ∪ Σ nulas. Por outro lado, também valem

ψ(xy) = ϕ1(xy) + ϕ2(xy) + ϕ3(xy)

= ϕ1(x)ϕ1(y) + ϕ2(x)ϕ2(y) + ϕ3(x)ϕ3(y).

Pelos dois últimos blocos de igualdades, obtemos

ψ(xy)− ψ(x)ψ(y) = ϕ2(xy − yx),

o que mostra que ϕ2([T, T ]) ⊆ η(R) é vericada, pois ψ(xy) − ψ(x)ψ(y) = η(ϕ(xy) − ϕ(x)ϕ(y)).

Analogamente, temos ψ(x)ψ(y) = ϕ1(x)ϕ1(y) + ϕ2(x)ϕ2(y) + ϕ3(x)ϕ3(y) e

ψ(yx) = ϕ1(y)ϕ1(x) + ϕ2(x)ϕ2(y) + ϕ3(y)ϕ3(x),

o que implica

ϕ1(xy − yx) + ϕ3(xy − yx) = ψ(x)ψ(y)− ψ(yx),

isto é, ϕ1([x, y]) + ϕ3([x, y]) ∈ η(R).

Agora, armamos que vale ϕ3([T, T ]) = 0. Com efeito, sabemos que para δ ∈ Σ, ϕδ é o homomor-

smo nulo em I, então, se x, y, z ∈ T , ϕδ([[x, y], z]) = 0 implica ϕδ([x, y])ϕδ(z) = ϕδ(z)ϕδ([x, y]).


Desse modo, ϕδ([x, y])ϕδ(z)ϕδ([x, y]) = ϕδ([x, y]2)ϕδ(z). Além disso, temos

[x, y]2 = [x, y]xy − [x, y]yx

= [x, y]xy − xy[x, y] + xy[x, y]− [x, y]yx

= [[x, y], xy] + x[yx, y]− [yx, y]x+ [yx, y]x− [xy, y]x

= [[x, y], xy]− [[yx, y], x] + [[y, x], y]x ∈ I.

Portanto, ϕδ([x, y]2) = 0; e como ϕδ é sobrejetora, chegamos a ϕδ([x, y])Rδϕδ([x, y]) = 0.

Logo, ϕδ([x, y]) = 0, pois Rδ é um anel primo; e podemos concluir ϕ1([T, T ]) ⊆ η(R) e também

ϕ3([T, T ]) = 0 ⊆ η(R).

Lema 5.0.8. Para i = 1, 2, 3, temos ϕi(I) ⊆ η(R).

Demonstração. Dados a ∈ [T, T ] e b ∈ T , decorrem do Lema 5.0.7 as igualdades:

ϕ1(a)ϕ1([a, b]) = ϕ1(a)(ϕ1(a)ϕ1(b)− ϕ1(b)ϕ1(a))

= ϕ1(a)ϕ1(ab)− ϕ1(ab)ϕ1(a)

= ϕ1([a, ab]) ∈ η(R),

isto é, ϕ1(a)ϕ1([a, b]) = ϕ1([a, ab]) ∈ η(R), cuja linearização em a é dada por

ϕ1(a)ϕ1([x, b]) + ϕ1(x)ϕ1([a, b]) ∈ η(R).

Substituindo a por [c, d], onde c, d ∈ T , obtemos

ϕ1([c, d])ϕ1([x, b]) + ϕ1(x)ϕ1([[c, d], b]) ∈ η(R),

o que implica ϕ1(x)ϕ1([[c, d], b]) ∈ η(R), pois ϕ1([c, d])ϕ1([x, b]) ∈ η(R), pelo Lema 5.0.7, isto é,

ϕ1x[[c, d], b] ∈ η(R). (5.1)

Do mesmo modo, temos ϕ1([a, b])ϕ1(a) = ϕ1([a, ba]) ∈ η(R), cuja linearização em a resulta em

ϕ1([a, b])ϕ1(x) + ϕ1([x, b])ϕ1(a) ∈ η(R),

Escolhendo a = [c, d], obtemos

ϕ1([[c, d], b])ϕ1(x) + ϕ1([x, b])ϕ1([c, d]) ∈ η(R).

Assim, como ϕ1([x, b])ϕ1([c, d]) ∈ η(R), podemos concluir

ϕ1[[c, d], b]x ∈ η(R). (5.2)

Agora, por (5.1) e (5.2), seguem as igualdades

ϕ1y[[c, d], b]x = ϕ1y[[c, d], b]x− xy[[c, d], b] + xy[[c, d], b]= ϕ1[y[[c, d], b], x]+ ϕ1xy[[c, d], b] ∈ η(R).

5 87

Portanto ϕ1(I) ⊆ η(R). Prosseguindo, vamos repetir o mesmo raciocínio para ϕ2. Dados a ∈[T, T ] e b ∈ T , temos

ϕ2(a)ϕ2([a, b]) = ϕ2([a, ba]) ∈ η(R),

cuja linearização em a, resulta em

ϕ2(a)ϕ2([x, b]) + ϕ2(x)ϕ2([a, b]) ∈ η(R).

Substituindo a por [c, d], c, d ∈ T , obtemos

ϕ2([c, d])ϕ2([x, b]) + ϕ2(x)ϕ2([[c, d], b]) ∈ η(R).

Assim, como ϕ2([c, d])ϕ2([x, b]) ∈ η(R), pelo Lema 5.0.7, segue

ϕ2(x)ϕ2([[c, d], b]) ∈ η(R),

o que implica

ϕ2[[c, d], b]x ∈ η(R). (5.3)

Analogamente, temos ϕ2([a, b])ϕ2(a) = ϕ2([a, ab]) ∈ η(R), que linearizando em a nos fornece

ϕ2([a, b])ϕ2(x) + ϕ2([x, b])ϕ2(a) ∈ η(R). Desse modo, tomando a = [c, d], obtemos

ϕ2([[c, d], b])ϕ2(x) + ϕ2([x, b])ϕ2([c, d]) ∈ η(R),

de onde concluímos

ϕ2x[[c, d], b] ∈ η(R), (5.4)

pois ϕ2([x, b])ϕ2([c, d]) ∈ η(R). Portanto, de (5.3) e (5.4), seguem

ϕ2x[[c, d], b]y = ϕ2x[[c, d], b]y − yx[[c, d], b] + yx[[c, d], b]= ϕ2[x[[c, d], b], y]+ ϕ2yx[[c, d], b] ∈ η(R).

Logo, ϕ2(I) ⊆ η(R). Finalmente, para ϕ3 basta observarmos, assim como anteriormente, que

vale ϕ3(I) = 0 ⊆ η(R).

Lema 5.0.9. As igualdades ϕ1(J) = ϕ2(J) = 0 e ϕ3(J) ⊆ η(R) são válidas.

Demonstração. Suponhamos que ocorre ϕ1(J) 6= 0. Note que, como ϕ1 = ε1ηϕ, onde ε1 é a pro-

jeção nas coordenadas cujos índices pertencem a Ω, deve existir β ∈ Ω tal que ϕβ(J) 6= 0. Desse

modo, pela denição de Ω, sabemos que vale ϕβ(I) 6= 0. Todavia,

ϕβ(I)ϕβ(J) = ϕβ(IJ) ⊆ ϕβ(I ∩ J) = 0,

o que é uma contradição, pois Rβ é um anel primo. Pelo mesmo argumento, supondo ϕ2(J) 6= 0,

como ϕ2 = ε2ηϕ, onde ε2 é a projeção nas coordenadas cujos índices pertencem a ∆, deve existir

γ ∈ ∆ tal que ϕγ(J) 6= 0. Assim, pela denição de ∆, sabemos que ocorre ϕγ(I) 6= 0. Entretanto,

ϕγ(I)ϕγ(J) = ϕγ(JI) ⊆ ϕβ(J ∩ I) = 0,


o que novamente é uma contradição por Rγ ser um anel primo. Em consequência desses fatos, temos

ϕ3(J) = ηϕ(J)− ϕ1(J)− ϕ2(J) = ηϕ(J) ⊆ η(R).

Já estamos em condição de enunciar e provar os resultados principais desse capítulo.

Teorema 5.0.2. (Baxter e Martindale, 3rd, [25]) Se ϕ é um isomorsmo de Jordan de um anel

semiprimo T em um anel semiprimo R com característica diferente de 2, então, existe um ideal

essencial E de T tal que a restrição de ϕ a E é uma soma direta σ1⊕σ2, onde σ1 é um homomorsmo

de E em R e σ2 é um antihomomorsmo de E em R.

Demonstração. Seja E o ideal essencial dado pelo Lema 5.0.5. Recordemos que tínhamos xado as

notações: τ1ηϕ = (ε1 + ε3)ηϕ = ϕ1 + ϕ3 e τ2ηϕ = ε2ηϕ = ϕ2. Assim, pelos Lemas 5.0.8 e 5.0.9,

temos τiηϕ(E) ⊆ η(R), onde i = 1, 2. Armamos que V1 = τ1ηϕ(E) e V2 = τ2ηϕ(E) são ideais de

η(R) tais que V1 ∩ V2 = 0. Com efeito, para τ1ηϕ(u) ∈ V1 e ηϕ(t) ∈ η(R), temos

τ1ηϕ(u)ηϕ(t) = τ1ηϕ(u)(τ1ηϕ(t) + τ2ηϕ(t)) = τ1ηϕ(ut) ∈ V1 e

ηϕ(t)τ1ηϕ(u) = (τ1ηϕ(t) + τ2ηϕ(t))τ1ηϕ(u) = τ1ηϕ(tu) ∈ V1.

Do mesmo modo, para τ2ηϕ(u) ∈ V2 e ηϕ(t) ∈ η(R), temos

τ2ηϕ(u)ηϕ(t) = τ2ηϕ(u)(τ1ηϕ(t) + τ2ηϕ(t)) = τ2ηϕ(tu) ∈ V2 e

ηϕ(t)τ2ηϕ(u) = (τ1ηϕ(t) + τ2ηϕ(t))τ2ηϕ(u) = τ2ηϕ(ut) ∈ V2.

Além disso, os elementos de V1 possuem as coordenadas com índices pertencentes a ∆ todas

nulas, e os elementos de V2 possuem as coordenadas cujos índices pertencem a Ω ∪ Σ todas nulas,

logo V1 ∩ V2 = 0. Desse modo, temos que ηϕ|E é a soma direta do homomorsmo τ1ηϕ|E com o

antihomomorsmo τ2ηϕ|E . Finalmente, aplicando o isomorsmo η−1 : η(R)→ R a τ1ηϕ|E e τ2ηϕ|E ,obtemos o resultado desejado para σ1 = η−1τ1ηϕ|E e σ2 = η−1τ2ηϕ|E .

Finalmente, a seguir, apresentamos a demonstração do caso mais geral.

Teorema 5.0.3. (Baxter e Martindale, 3rd, [25]) Se ϕ é um homomorsmo de Jordan sobrejetor

de um anel T em um anel semiprimo R que possui característica diferente de 2, então, existe um

ideal essencial E de T tal que a restrição de ϕ a E é uma soma direta σ1 ⊕ σ2, onde σ1 é um

homomorsmo de E em R e σ2 é um antihomomorsmo de E em R.

Demonstração. Inicialmente, observe que K = Ker(ϕ), o núcleo de ϕ, é um ideal de T . De fato,

existem ideais primos Pα | α ∈ Λ de R tais que⋂α

Pα = 0. Relembrando que ηα é a projeção

natural de R sobre Rα = R/Pα e ϕα = ηαϕ é um homomorsmo de Jordan sobrejetor do anel

T no anel primo Rα, temos que ϕα é um homomorsmo ou antihomomorsmo. Dados a ∈ K e

x ∈ T , ocorre ϕα(ax) = ϕα(a)ϕα(x) ou ϕα(ax) = ϕα(x)ϕα(a). Em qualquer uma das alternativas,

ϕα(a) = ηαϕ(a) = 0 implica ϕα(ax) = 0, isto é, ηαϕ(ax) = 0. Portanto, ϕ(ax) ∈ Pα, para todo

5 89

α ∈ Λ, ou seja, ϕ(ax) ∈⋂α

Pα = 0. Logo, ax ∈ K. Analogamente, xa ∈ K e podemos concluir que

K é um ideal.

Desse modo, podemos denir T = T/K e ϕ : T → R por ϕ(x) = ϕ(x), para todo x ∈ T . Defato, ϕ está bem denida e é um isomorsmo de Jordan de T em R. Agora, suponha que a ∈ T é

tal que aTa = 0. Assim, temos

0 = ϕ(ata) = ϕ(a)ϕ(t)ϕ(a),

para todo t ∈ T . Portanto, como ϕ é sobrejetora, segue ϕ(a)Rϕ(a) = 0, o que implica ϕ(a) = 0, pois

R é um anel semiprimo, ou seja, a = 0. Logo, T é semiprimo. Note que as condições do Teorema

5.0.2 são satisfeitas, de onde concluímos que existe um ideal essencial E de T tal que que ϕ|E é

uma soma direta σ1 ⊕ σ2, onde σ1 é um homomorsmo de E em R e σ2 é um antihomomorsmo

de E em R.

Agora, denimos F = ρ−1(E), onde ρ é a projeção natural de T sobre T . Armamos que F é

um ideal essencial de T . Claramente, K = ρ−1(0) ⊆ ρ−1(E) = F . Seja V um ideal não nulo de T .

Se V ⊆ K, então, 0 6= V = V ∩K ⊆ V ∩ F ; e se V * K, então, podemos escolher v ∈ V tal que

v /∈ K e v ∈ E. De fato, se V * K, então, K está contido propriamente em V + K, e logo existe

0 6= x ∈ V +K, o que signica x = v+k, com v ∈ V e k ∈ K e v é um tal elemento como queremos.

Consequentemente, v = u+k, onde u ∈ F e k ∈ K ⊆ F . Portanto, 0 6= v ∈ V ∩F . Finalmente, para

i = 1, 2, denindo σi : F → R por σi(u) = σi(u), para todo u ∈ F , temos que σ1 é um homomorsmo

tal que σ1(F ) = σ1(E) ⊆ V1 e σ2 é um antihomomorsmo tal que σ2(F ) = σ2(E) ⊆ V2, onde V1 e

V2 são ideais de R tais que V1 ∩ V2 = 0, e ϕ|F = σ1 ⊕ σ2.

Capítulo 6

Identidades funcionais e

superhomomorsmos de Jordan

Nesse capítulo introduzimos em linhas gerais os conceitos básicos da teoria de identidades fun-

cionais referentes a Matej Bre²ar, Mikhail Chebotar e Wallace Martindale 3 em [8], apresentamos a

generalização dessa teoria para o contexto de superálgebras dada por Yu Wang [32], uma aplicação

para a classicação dos superhomomorsmos de Jordan referente a Yao Wang e Yu Wang em [33]

e uma contribuição para a classicação das superderivações de Jordan de grau 0.

6.1 A teoria de identidades funcionais em anéis

Ao invés de iniciarmos com uma denição rigorosa de identidade funcional, vamos primeiramente

ilustrá-la com dois exemplos simples.

Exemplo 6.1.1. Sejam A um anel e E,F : A→ A aplicações tais que

E(x)y + F (y)x = 0 para todos x, y ∈ A. (6.1)

Observe que não assumimos quaisquer condições a mais sobre as funções E e F , além de serem

aplicações entre conjuntos que satisfazem (6.1). Uma possibilidade trivial é E = F = 0. Se, por

exemplo, A é comutativo, podemos tomar E como sendo a identidade e F = −E. De modo mais

geral, suponha que A contém um ideal central I, isto é, I ⊆ Z(A). Dado qualquer c ∈ I, podemos

denir E e F por E(x) = −F (x) = cx, e (6.1) é satisfeita. Agora, se A é um anel primo associativo

e não comutativo, note que (6.1) implica

(E(x)yz)w = −F (yz)xw = (E(xw)y)z = −(F (y)x)wz = E(x)ywz,

para todos x, y, z, w ∈ A. Portanto, temos E(A)A[A,A] = 0. Desse modo, E = 0 e consequente-

mente, F = 0.

Suponha que A é semiprimo e E 6= 0. Seja I = ideal 〈E(A)〉, isto é, o ideal gerado pela imagem

de E. Pelos mesmos cálculos anteriores, concluímos [I, A]A[I, A] = 0, o que implica [I, A] = 0, ou

seja, I é um ideal central. Finalmente, suponha A = Mn(C), n ≥ 1, onde C é um anel comutativo

com elemento identidade. Se n ≥ 2, então, veremos que ideal 〈[A,A]〉 contém a matriz identidade.

91

92 IDENTIDADES FUNCIONAIS E SUPERHOMOMORFISMOS DE JORDAN 6

Para isso, temos que se i 6= j, então,

ideal 〈[A,A]〉 3 [eij , eji] = (eijeji − ejieij) = eii − ejj e

ideal 〈[A,A]〉 3 [eii, eij ] = (eiieij − eijeii) = eij ,

onde as eij 's são matrizes elementares, isto é, cuja entrada (i, j) é igual a 1 e todas as restantes são

nulas. Assim, por exemplo, para n = 4, temos que a matriz

(e11 − e22) + (e33 − e44) =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 −1

pertence a I, e portanto o seu quadrado, que é igual à matriz identidade, também pertence. Pelo

mesmo raciocínio, podemos concluir este fato para qualquer n par. Se, por exemplo, n = 3, então,

a matriz

e11 − e22 =

1 0 0

0 −1 0

0 0 0

pertence ao ideal. Consequentemente, a matriz1 0 0

0 1 0

1 0 1

1 0 0

0 −1 0

0 0 0

1 0 1

0 −1 0

0 0 1

=

1 0 1

0 1 0

1 0 1

também pertence a I (trocamos a terceira coluna da matriz e11 − e22 pela terceira somada com a

primeira, e depois trocamos a terceira linha da nova matriz pela terceira somada com a primeira).

Além disso, como e13 e e31 estão em I, segue que1 0 1

0 1 0

1 0 1

−0 0 1

0 0 0

0 0 0

−0 0 0

0 0 0

1 0 0

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

pertence a I, como era desejado. Pelo mesmo raciocínio, podemos concluir o resultado para qualquer

n ímpar. Desse modo, temos E = 0 e, nesse caso, também F = 0.

Dizemos que as funções E e F que satisfazem a identidade funcional ou a I.F. (6.1) são suas

soluções, e E = F = 0 é a solução padrão desta identidade funcional. Podemos sintetizar as

observações anteriores da seguinte maneira: se A é um anel semiprimo (respectivamente, primo),

então, existe uma solução não padrão de (6.1) se, e somente se, A contém um ideal central não nulo;

além disso, se A = Mn(C), onde C é um anel comutativo com elemento identidade, então, existe

uma solução não padrão de (6.1) se, e somente se, n = 1.

A seguir, vamos considerar um exemplo um pouco mais geral do que o anterior.

6 A TEORIA DE IDENTIDADES FUNCIONAIS EM ANÉIS 93

Exemplo 6.1.2. Sejam A um anel e E,F : A→ A aplicações tais que

E(x)y + F (y)x ∈ Z(A), para todos x, y ∈ A. (6.2)

Observe que podemos reescrever (6.2), incluindo mais uma variável z ∈ A, do seguinte modo:

[E(x)y+F (y)x, z] = 0, para todos x, y, z ∈ A. Assim, como no exemplo anterior, denimos E = F =

0 como sendo a solução padrão de (6.2). Contudo, soluções não padrão de (6.2) existem não somente

em anéis comutativos, mas também no anel A = M2(C), onde C é anel comutativo com identidade.

De fato, dena E,F : A → A por E(x) = F (x) = x − tr(x)I2, para todo x ∈ A, onde tr(x) é o

traço da matriz x e I2 denota a matriz identidade de ordem 2. Desse modo, se x =

(x1 x2

x3 x4

)e

y =

(y1 y2

y3 y4

), temos E(x)y + F (y)x = αI2, onde α = −x1y4 − x4y1 + x2y3 + x3y2, o que implica

E(x)y + F (y)x ∈ Z(A). Por outro lado, se A = Mn(C), com n ≥ 3, então, (6.2) possui apenas a

solução padrão. De fato, xe π(x, y) = E(x)y+F (y)x, para x, y ∈ A. Assuma π(x, y) ∈ Z(A), para

todos x, y ∈ A. Portanto, para quaisquer x, y, t ∈ A, o elemento π(xt, y)−π(x, y)t = E(xt)y−E(x)yt

comuta com t, isto é, (E(xt)y − E(x)yt)t− t(E(xt)y − E(x)yt) = 0, o que implica

−E(x)yt2 + (tE(x) + E(xt))yt− tE(xt)y = 0.

Prosseguindo, consideremos novamente as matrizes elementares eij 's ∈ A. Seja 1 ≤ i ≤ n e xe

t = e12 + e23 e y = ei1. Substituindo esses valores na última relação e usando que vale

eijekl =

eil, se j = k

0, caso contrário,

obtemos E(x)eii = 0, ou seja, para cada i, a i-ésima coluna de E(x) é nula. Logo, E(x) = 0, o que

implica E = 0 e consequentemente, também F = 0.

Em suma, podemos armar: se A = Mn(C), onde C é um anel comutativo com elemento

identidade, então, existe uma solução não padrão de (6.2) se, e somente se, n ≤ 2.

Finalmente, vamos denir o conceito de identidade funcional.

Denição 6.1.1. Sejam A um anel, R um subconjunto não vazio de A e Fi : Rm → A funções,

onde Rm é o produto cartesiano de m cópias de R e 1 ≤ i ≤ n. Além disso, considere X =

x1, y1, x2, y2, . . . um conjunto enumerável e Z 〈X〉 a álgebra livre gerada por X sobre Z. Sejaf = f(x1, x2, . . . , xm, y1, y2, ..., yn) ∈ Z 〈X〉, com m ≥ 1 e n ≥ 0, um polinômio tal que pelo menos

um de seus monômios de maior grau tem coeciente 1. Dizemos que f é uma identidade funcional

em R com funções F1, . . . , Fn se

f(r1, . . . , rm, F1(r1, . . . , rm), . . . , Fn(r1, . . . , rm)) = 0,

para todos r1, . . . , rm ∈ R. Neste caso, dizemos que F1, . . . , Fn são soluções desta identidade funci-

onal.

A m de ilustrar esta denição, considere por exemplo a seguinte identidade funcional:

E(x, y)z + F (x, z)y +G(y, z)x ∈ Z(A), para todos x, y, z ∈ A.


Inicialmente, note que podemos reescrevê-la como

[E(x, y)z + F (x, z)y +G(y, z)x, u] = 0, para todos x, y, z, u ∈ A.

Agora, escolhemos o polinômio f como sendo

f(x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3) = [y1x1 + y2x2 + y3x3, x4],

m = 4, n = 3 e R = A. As funções Fi : A4 → A, 1 ≤ i ≤ 3, são denidas de modo que Fi não

dependa da i-ésima variável, como por exemplo F2(x1, x2, x3, x4) = F (x1, x3).

Na sequência, vamos introduzir um tipo mais fundamental de identidades funcionais, o qual

utilizaremos no decorrer do capítulo, e que corresponde ao polinômio∑i

y1ixi +∑j

xjy2j . Para

descrevê-las melhor, necessitaremos xar algumas notações. Considerem ∈ N xo. Para os elementos

x1, x2, . . . , xm do anel A, escrevemos

xm = (x1, . . . , xm) ∈ Am.

Por conveniência, denimos A0 = 0. Além disso, para 1 < i < m, xamos

xim = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xm) ∈ Am−1.

Observe que naturalmente x1m = (x2, . . . , xm) e xmm = (x1, . . . , xm−1). Analogamente, para

1 ≤ i < j ≤ m, xamos

xijm = xjim = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xm) ∈ Am−2.

Novamente para i e j iguais a 1 ou m, essa notação tem um signicado análogo ao da anterior:

retiramos da m-upla as variáveis i-ésima e j-ésima. Em particular, temos x11 = x12

2 = 0.

Sejam I e J subconjuntos nitos de N e m ∈ N tais que I,J ⊆ 1, 2, . . . ,m. ConsidereEi, Fj : Am−1 → A, i ∈ I, j ∈ J , aplicações arbitrárias. Vale ressaltar que uma aplicação denida

em A0 = 0 será considerada como um elemento xo de A. Estamos interessados em identidades

funcionais envolvendo as seguintes expressões:∑i∈I

Ei(xim)xi =

∑i∈I

Ei(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xm)xi e

∑j∈J

xjFj(xjm) =

∑j∈J

xjFj(x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xm).

Mais precisamente, as identidades funcionais básicas que vamos considerar são∑i∈I

Ei(xim)xi +

∑j∈J

xjFj(xjm) = 0, para todo xm ∈ Am, (6.3)


∑i∈I

Ei(xim)xi +

∑j∈J

xjFj(xjm) ∈ Z(A), para todo xm ∈ Am. (6.4)

No caso I = ∅ ou J = ∅, a soma sobre estes conjuntos será entendida como sendo 0. Assim,

por exemplo, se J = ∅, (6.3) se reduz a∑i∈I

Ei(xim)xi = 0, para todo xm ∈ Am.

Um questionamento que segue naturalmente é que formas as funções Ei e Fj podem assumir,

de modo que essas identidades funcionais sejam sempre satisfeitas para anéis arbitrários. A m de

prover uma solução padrão, consideraremos primeiramente um caso particular de (6.3). Seja

E1(x2, x3)x1 + E2(x1, x3)x2 + x2F2(x1, x3) + x3F3(x1, x2) = 0,

para todo x3 ∈ A3. Notemos que neste caso I = 1, 2 e J = 2, 3 e m = 3. Com certeza, pode-

mos incluir o termo x2p12(x3), onde p12 : A → A é uma função arbitrária, como um somando de

E1(x2, x3), pois ele pode ser cancelado com um somando −p12(x3)x1 em F2(x1, x3). Similarmente, o

termo x3p13(x2) pode ser incluído em E1(x2, x3), uma vez que pode ser cancelado com −p13(x2)x1

em F3(x1, x2). Além disso, o termo x3p23(x1) também pode aparecer em E2(x1, x3), e ser cance-

lado com −p23(x1)x2 em F3(x1, x2). Observemos também que em E2(x1, x3) pode ser incluso um

somando central, isto é, que pertence ao centro de A, da forma λ2(x1, x3), onde λ2 : A2 → Z(A) é

uma aplicação, pois este pode ser cancelado com −λ2(x1, x3) em F2(x1, x3). Contudo, neste exem-

plo, não deve aparecer nenhum somando central λ1(x2, x3) em E1(x2, x3), pois λ1(x2, x3)x1 não

pode ser cancelado. Em suma, construímos aplicações

E1(x2, x3) = x2p12(x3) + x3p13(x2),

E2(x1, x3) = x3p23(x1) + λ2(x1, x3),

F2(x1, x3) = −p12(x3)x1 − λ2(x1, x3),

F3(x1, x2) = −p13(x2)x1 − p23(x1)x2,

onde p12, p13, p23 : A → A e λ2 : A2 → Z(A) são aplicações arbitrárias, que formam sempre uma

solução da I.F. anterior. Notemos que o somando central λi aparece apenas quando i ∈ I∩J = 2.Chamamos esta solução de solução padrão para a identidade funcional anterior.

Voltando à identidade funcional em (6.3), podemos generalizar o processo anterior obtendo a

solução padrãoEi(x

im) =

∑j∈Jj 6=i

xjpij(xijm) + λi(x

im), i ∈ I,

Fj(xjm) = −

∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)xi − λj(xjm), j ∈ J ,

λk = 0 se k /∈ I ∩ J .

(6.5)

Agora, vamos introduzir uma noção essencial na teoria de identidades funcionais. Primeiramente,


considere um anel A e suponha que exista d ∈ N tal que

(a) sempre que max|I|, |J | ≤ d, (6.3) admite somente a solução padrão (6.5).

Por exemplo, no caso d = 2, se (a) é válida, então, A não pode ser comutativo, pois xy− yx = 0

proveria uma solução não padrão para a identidade funcional E1(x2)x1 +E2(x1)x2 = 0, para todos

x1, x2 ∈ A. Observe também que se A é um anel com elemento identidade, então, claramente (a) é

verdadeira para d = 1. De fato, neste caso as possíveis identidades funcionais seriam E1(x1m)x1 = 0

(I = 1 e J = ∅), x1F1(x1m) = 0 (I = ∅ e J = 1) e E1(x1

m)x1 + x1F1(x1m) = 0 (I = J = 1).

Na primeira I.F., escolhendo x1 = 1, obtemos E1 = 0, a qual é precisamente a solução padrão

(6.5), pois J = ∅. Igualmente, na segunda I.F., escolhendo x1 = 1, temos a solução padrão Fj = 0.

Finalmente, na terceira I.F., também com x1 = 1, obtemos F1 = −E1 ∈ Z(A).

Além disso, suponha que também exista d ∈ N satisfazendo a condição

(b) sempre que max|I|, |J | ≤ d− 1, (6.4) admite somente a solução padrão (6.5).

Para d ∈ N, dizemos que um anel A é d-livre, ou mais precisamente que A é um subconjunto

d-livre de si mesmo, se ambas condições (a) e (b) são válidas.

Exemplo 6.1.3. Se C é um anel simples, comutativo e com elemento identidade, e A = Mn(C),

n > 1, então, A é simples. Portanto, A é primo, e não é comutativo. Desse modo, pelos cálculos dos

Exemplos 6.1.1 e 6.1.2, concluímos que as I.F.'s

E(x)y + F (y)x = 0 e

E(x)y + F (y)x ∈ Z(A),

possuem apenas a solução padrão. Estes são dois dos cálculos necessários para se mostrar que o

anel A é 2-livre.

Vamos generalizar um pouco mais a noção de anéis d-livres. Seja Q um anel com identidade e

centro C. Fixamosm um inteiro positivo, S1, S2, . . . , Sm conjuntos não vazios arbitrários, e αi : Si →Q, i = 1, 2, . . . ,m, aplicações. Denimos

Ri = αi(Si), i = 1, . . . ,m.

Escreveremos S para S1 × S2 × . . . × Sm e R para R1 × R2 × . . . × Rm. Análoga à notação

anterior, para 1 ≤ i ≤ m, temos

Si =m∏k=1k 6=i

Sk,

e para 1 ≤ i < j ≤ m, xamos

Sij = Sji =

m∏k=1k 6=i,j

Sk.


Similarmente, denimos Ri e Rij . Para elementos xi ∈ Si, i = 1, . . . ,m, vamos denotar

xm = (x1, . . . , xm) ∈ S,

xim = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xm) ∈ Si,

xijm = xjim = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xm) ∈ Sij .

No caso S = S1 = . . . = Sm, escrevemos Sm ao invés de S. A seguir, introduziremos dois tipos

de funções fundamentais na teoria geral de identidades funcionais.

Dada uma sequência (i1, . . . , ip) de elementos distintos do conjunto 1, 2, . . . ,m, denimos

uma função monomial M : S → Q dada por M(x1, . . . , xm) = αi1(xi1) . . . αip(xip). Dizemos que o

domínio deM , dom(M), é o conjunto i1, i2, . . . , ip,M é dito ter grau p e denotamos grau(M) =

p. Em particular, para cada 1 ≤ i ≤ m, temos Xi : S → Q dada por Xi(x1, . . . , xm) = αi(xi).

Claramente a função M denida acima é o produto Xi1Xi2 . . . Xip das funções Xik , k = 1, . . . , p. A

funçãoM : xm 7→ 1, será considerada como uma função monomial com dom(M) = ∅ e grau(M) = 0.

Para cada função monomial M = Xi1Xi2 . . . Xip , denimos

SM = Sj1 × Sj2 × . . .× Sjm−p ,

onde i1, . . . , ip ∪ j1, . . . , jm−p é uma partição de 1, 2, . . . ,m, j1 < j2 < ... < jm.

Dada uma função B : Sj1 × Sj2 × . . . × Sjn → Q, 0 ≤ n < m, j1 < j2 < . . . < jn, substituímos

B pela função dada por

(x1, x2, . . . , xm) 7→ B(xj1 , xj2 , . . . , xjn),

a qual cometendo um pequeno abuso de notação continuaremos a denotar por B. No caso em que

n = 0, B deve ser entendida como um elemento de Q.

Vamos introduzir um dos tipos básicos de funções que iremos considerar. Inicialmente, xemos

n tal que 0 ≤ n < m. Em seguida, seja i1, . . . , ip ∪ k1, . . . , kr ∪ j1, . . . , jn uma partição de

1, 2, . . . ,m, com p+r = m−n e j1 < j2 < . . . < jn. Observe que enquanto n está xo, p e r podem

variar. Sejam M e N as funções monomiais Xi1Xi2 . . . Xip e Xk1Xk2 . . . Xkr , respectivamente. Note

que MN é novamente uma função monomial e SMN = Sj1 × Sj2 × . . .× Sjn . Para cada par M,N ,

considere uma aplicação BM,N : SMN → Q, cuja extensão a S

(x1, x2, . . . , xm) 7→ BM,N (xj1 , . . . , xjn),

continuaremos denotando por BM,N , como indicado anteriormente. Desse modo, o tipo básico de

funções que iremos considerar é ∑M,N

MBM,NN. (6.6)

Nesse somatório M e N são funções monomiais tais que dom(M) ∩ dom(N) = ∅ e grau(M) +

grau(N) = m−n. Chamaremos essas funções de funções de núcleo. Para cada somando em (6.6)

BM,N é chamada de função de meio, M e N são as funções monomiais à esquerda e à direita,

respectivamente. As funções de meio possuem sempre aridade n (xado). Diremos que BU,V é uma

função de meio mais à esquerda se BM,N = 0 sempre que grau(M) < grau(U), isto é, U tem

grau mínimo dentre os monômios à esquerda que de fato aparecem em (6.6). De modo análogo,


dene-se função de meio mais à direita.

As funções básicas envolvidas na denição de conjuntos d-livres são exemplos de funções de

núcleo. Por exemplo, considere o caso Sk = Rk, αk = idk, k = 1, 2, . . . ,m, e também a seguinte

identidade ∑i∈I

Ei(xim)xi +

∑j∈J

xjFj(xjm) = 0.

Os conjuntos I e J são subconjuntos de 1, 2, . . . ,m, n = m−1, com p = 0 e r = 1 no primeiro

somatório, e p = 1 e r = 0 no segundo. Claramente, as Ei's são funções de meio mais à esquerda

e as Fj 's são funções de meio mais à direita. Podemos ainda reescrever esta identidade usando a

notação de função, o que usualmente faremos a partir de agora, da seguinte maneira∑i∈I

E1,XiXi +∑j∈J

XjFXj ,1 = 0.

Exemplo 6.1.4. A m de ilustrar a notação acima, tome m = 2. No caso I,J = 1, 2, temos a

identidade funcional

E1(x2)x1 + E2(x1)x2 + x1F1(x2) + x2F2(x1) = 0,

que pode ser vista como uma função de núcleo igualada a 0. As aplicações E1, E2 são funções de meio

mais à esquerda, pois os monômios que multiplicam à esquerda tem grau 0; e as aplicações F1, F2

são funções de meio mais à direita. Todas elas tem aridade 1. Em notação de função, escrevemos

E1,X1X1 + E1,X2X2 +X1FX1,1 +X2FX2,1 = 0.

Nesse momento, outro tipo de funções que introduziremos são as chamadas quasi-polinomiais,

denidas como segue. Seja L = Xi1 . . . Xip um monômio arbitrário de grau p, 0 ≤ p ≤ m, e considere

uma aplicação

λL : Sj1 × Sj2 × . . .× Sjn → C,

onde C é o centro do anel Q, e i1, . . . , ip ∪ j1, . . . , jn é uma partição de 1, 2, . . . ,m e j1 <j2 < . . . < jn (se p = m, então, λL é um elemento de C). Cometendo o mesmo abuso de notação

anterior, continuaremos denotando por λL a função dada por xm 7→ λL(xj1 , . . . , xjn), que tem como

domínio S. Pela notação de função, dizemos que uma função do tipo

P =∑L

λLL, (6.7)

é chamada de quasi-polinomial. Os λL's são os coecientes de P e λ1, o coeciente associado

ao monômio L = 1, é o coeciente central. Se pelo menos um dos λL's é não nulo, dizemos que o

grau de P é m. No caso em que todos os λL's sejam nulos, denimos o grau de P como −∞. Uma

quasi-polinomial de grau 0 é simplesmente um elemento não nulo de C, o qual identicamos com

uma função constante. Por exemplo, uma quasi-polinomial de grau 1 seria uma função do tipo

P = λX1X1 + λ1,


ou seja,

P (x1) = λα1(x1) + µ(x1),

onde λX1 = λ, λ1 = µ, λ ∈ C e µ : S1 → C é o coeciente central. Além disso, λ e µ não são

simultaneamente nulos.

Uma quasi-polinomial de grau 2 pode ser descrita como

P = λX1X2X1X2 + λX2X1X2X1 + λX2X2 + λX1X1 + λ1,

isto é,

P (x1, x2) = λα1(x1)α2(x2) + λ′α2(x2)α1(x1) + µ(x1)α2(x2) + µ′(x2)α1(x1) + γ(x1, x2),

onde λX1X2 = λ, λX2X1 = λ′, λX2 = µ, λX1 = µ′, λ1 = γ, λi ∈ C, µi : Si → C, i = 1, 2, e

γ : S1 × S2 → C.

O tipo mais geral de I.F. que iremos considerar no que se segue é uma em que se iguala uma

função de núcleo a uma quasi-polinomial:∑M,N

MBM,NN =∑L

λLL.

Nesta I.F., entenderemos que a quasi-polinomial é conhecida, enquanto as funções de meio da

função de núcleo são desconhecidas. Mas, antes disso, vamos estabelecer a noção de par d-livre,

para d ∈ N.Vamos adotar as mesmas notações xadas anteriormente: S1, S2, . . . , Sm são conjuntos não vazios

quaisquer, αk : Sk → Q, 1 ≤ k ≤ m, são funções arbitrárias e Rk = αk(Sk) ⊆ Q. Além disso, xamos

α = (α1, . . . , αm),

e consideramos α como uma aplicação sobrejetora de S em R, dada por

α(x1, x2, . . . , xm) = (α1(x1), α2(x2), . . . , αm(xm)).

As denições de αi : Si → Ri e de αij : Sij → Rij , para i, j ∈ 1, 2, . . . ,m, seguem a mesma

lógica das denições dadas acima para Si e para Sij .

Sejam I,J ⊆ 1, 2, . . . ,m, Ei : Si → Q, i ∈ I, e Fj : Sj → Q, j ∈ J . Considere as identidadesfuncionais ∑

i∈IEi(x

im)αi(xi) +

∑j∈J

αj(xj)Fj(xjm) = 0, para todo xm ∈ S, (6.8)

∑i∈I

Ei(xim)αi(xi) +

∑j∈J

αj(xj)Fj(xjm) ∈ C, para todo xm ∈ S. (6.9)


Prosseguimos naturalmente denindo uma solução padrão de (6.8) e (6.9) por

Ei(xim) =

∑j∈Jj 6=i

αj(xj)pij(xijm) + λi(x

im), i ∈ I,

Fj(xjm) = −

∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)αi(xi)− λj(xjm), j ∈ J ,

λk = 0 se k /∈ I ∩ J ,

(6.10)

onde pij : Sij → Q, i ∈ I, j ∈ J , i 6= j, e λk : Sk → C, k ∈ I ∪ J .

Denição 6.1.2. Um par (S, α) é dito ser d-livre, onde d ∈ N, se para todo I,J ⊆ 1, 2, . . . ,m,as seguintes condições são satisfeitas:

(a) se max|I|, |J | ≤ d, então, (6.8) implica (6.10).

(b) se max|I|, |J | ≤ d− 1, então, (6.9) implica (6.10).

Um importante caso particular é quando Sk = Rk e αk = idSk, para todo k ∈ 1, 2, . . . ,m.

Neste caso, se as condições (a) e (b) da denição anterior são satisfeitas para quaisquer I,J ⊆1, 2, . . . ,m, dizemos que R é um subconjunto d-livre de Qm. Se Ri = R, para todo i = 1, . . . ,m,

dizemos que Rm é um subconjunto d-livre de Qm ou que R é um subconjunto d-livre de Q. Para

tais subconjuntos temos o seguinte lema.

Lema 6.1.1. Se R é um subconjunto d-livre de Q, d ≥ 1, onde Q é um anel com elemento identidade

e centro C, então, as seguintes armações são satisfeitas:

(i) Se q ∈ Q é tal que qR = 0 (ou Rq = 0), então, q = 0;

(ii) Se d ≥ 2 e q ∈ Q é tal que qR ⊆ C (ou Rq ⊆ C), então, q = 0;

(iii) Se q ∈ Q é tal que [q,R] = 0, então, q ∈ C;

(iv) Se d ≥ 2 e q ∈ Q é tal que [q,R] ⊆ C, então, q ∈ C;

(v) Se λ ∈ C∗, isto é, λ é invertível em C, então, λR é um subconjunto d-livre de Q.

Demonstração. Para provar (i), observe que qx = 0, para todo x ∈ R, é uma identidade funcional

em R (I = 1 e J = ∅). Assim, como R é d-livre (d ≥ 1), segue q = 0. A prova de (ii) é análoga a

de (i). Para (iii), temos a I.F. qx− xq = 0, para todo x ∈ R (I = J = 1). Desse modo, como R

é d-livre, temos q ∈ C. Analogamente, prova-se (iv). Finalmente, para vericar que vale (v), basta

observarmos que a aplicação x 7→ λx, x ∈ R, dá origem a uma correspondência biunívoca entre

identidades funcionais e soluções sobre R e sobre λR.

Antes de enunciarmos e provarmos o próximo teorema, que relaciona pares d-livres com subcon-

juntos d-livres, consideremos o seguinte exemplo.

Exemplo 6.1.5. Sejam R um subgrupo aditivo de Q, onde Q é um anel com identidade e centro

C, e F : R→ Q uma aplicação aditiva satisfazendo

[F (x), x] = 0, para todo x ∈ R. (6.11)


Um exemplo canônico de uma tal aplicação é

F (x) = λx+ µ(x), λ ∈ C, µ : R→ C, (6.12)

onde µ é também aditiva. Nosso objetivo é encontrar hipóteses sobre R, que nos permitam concluir

que F é da forma padrão apresentada em (6.12). Primeiramente, observemos que a identidade

funcional em (6.11) não se encontra em uma forma em que seja possível usar as condições de

d-liberdade. Porém, como F é aditiva, podemos linearizá-la, o que resulta

F (x2)x1 + F (x1)x2 − x1F (x2)− x2F (x1) = 0, para todos x1, x2 ∈ R.

Assumindo que R é um subconjunto 2-livre deQ, segue que existem p12, p21 ∈ Q e λ1, λ2 : R→ C

tais queE1(x2) = F (x2) = x2p12 + λ1(x2),

E2(x1) = F (x1) = x1p21 + λ2(x1),

F1(x2) = −F (x2) = −p21x2 − λ1(x2),

F2(x1) = −F (x1) = −p12x1 − λ2(x1),

para todos x1, x2 ∈ R. Escolhendo x1 = x2 = x e comparando, por exemplo, a primeira com a

última igualdade, obtemos [x, p12] = λ2(x) − λ1(x) ∈ C. Assim, por (iii) do Lema 6.1.1, temos

p12 ∈ C, e portanto, λ2 = λ1. Analogamente, por (i) do Lema 6.1.1, chegamos a p21 = p12. Agora,

denotamos λ = p12 = p21 ∈ C e µ = λ1 = λ2, e concluímos que, de fato, F tem a forma dada

em (6.12). Desse modo, se R é 2-livre, (6.11) implica (6.12). Prosseguindo, vamos generalizar a

identidade funcional em (6.11). Sejam S um grupo aditivo (não necessariamente contido em Q),

α : S → Q e F : S → Q aplicações aditivas satisfazendo

[F (x), α(x)] = 0, para todo x ∈ S. (6.13)

Denimos uma solução padrão de (6.13) por

F (x) = λα(x) + µ(x), λ ∈ C, µ : S → C. (6.14)

Observe que a igualdade em (6.14) equivale a dizer que F é uma quasi-polinomial de grau

1. A questão que naturalmente se coloca é se α(S) é um subconjunto 2-livre de Q, então, (6.13)

implica (6.14). Observe que se α for injetiva, então, a resposta é positiva, pois (6.13) se reduz a

[(Fα−1)(y), y] = 0, para todo y ∈ α(S), e voltamos ao caso anterior, com Fα−1 tomando o papel de

F . Contudo, se α não é injetiva, o problema não parece ser inteiramente óbvio, pois não recaímos

no caso anterior. De qualquer maneira, a resposta é positiva e segue facilmente do próximo teorema,

o qual descreve um caso muito mais geral.

Teorema 6.1.1. (Bre²ar, Chebotar e Martindale, 3rd, [8]) O par (S, α) é d-livre se, e somente se,

o conjunto R é d-livre, onde d ∈ N.

Demonstração. Primeiramente note que existem aplicações βk : Rk → Sk tais que αkβk = idRk,

para k = 1, 2, . . . ,m, pois αk é sobrejetora. Assim, β = (β1, β2, . . . , βm) é uma aplicação injetora

de R em S, tal que αβ = idR.


Primeiramente, suponha que (S, α) é d-livre. Vamos mostrar que R satisfaz a condição (a) da

Denição 6.1.2. Assim, iniciamos com a identidade funcional∑i∈I

Ei(yim)yi +

∑j∈J

yjFj(yjm) = 0, (6.15)

para todo ym ∈ R, onde I e J são subconjuntos de 1, 2, . . . ,m, tais que max|I|, |J | ≤ d,

Ei : Ri → Q, Fj : Rj → Q são aplicações. Dena Ei : S

i → Q como sendo a composição Eiαi

e Fj : Sj → Q como sendo a composição Fjαj . Portanto, temos Eiβi = Eiαiβi = Ei e Fj βj =

Fjαj βj = Fj . Desse modo, segue∑

i∈IEi(x

im)αi(xi) +

∑j∈J

αj(xj)Fj(xjm) = 0, para todo xm ∈ S.

Assim, como (S, α) é d-livre, existem pij : Sij → Q, i ∈ I, j ∈ J , i 6= j, e λk : Sk → C,

k ∈ I ∪ J , tais queEi(x

im) =

∑j∈Jj 6=i

αj(xj)pij(xijm) + λi(x

im), i ∈ I,

F(j x

jm) = −

∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)αi(xi)− λj(xjm), j ∈ J ,

λk = 0, se k /∈ I ∩ J .

Agora, dena pij = pij βij e λk = λkβ

k. Em vista de que vale αkβk = idRk, temos

Ei(yim) = Eiβ

i(yim) = Ei(βi(yim))

=∑j∈Jj 6=i

αj(βj(yj))pij(βij(yijm)) + λi(β

i(yim))

=∑j∈Jj 6=i

yjpij(yijm) + λi(y

im), e

Fj(yim) = Fj β

j(yjm) = Fj(βj(yjm))

= −∑i∈Ii 6=j

pij(βij(yijm))αi(βi(yi))− λj(βj(yjm))

= −∑i∈Ii 6=j

pij(yijm)yi − λj(yjm),

com pij : Rij → Q, i ∈ I, j ∈ J , i 6= j, e λk : Rk → C, k ∈ I ∪ J , λk = 0, se k /∈ I ∩ J . Assim,

a I.F. em (6.15) possui apenas a solução padrão. A condição (b) pode ser vericada de maneira

análoga.

Prosseguindo, assuma que R é d-livre. Assim, como anteriormente, vericaremos a condição (a)

da Denição 6.1.2 e (b) pode ser provada de maneira similar. Queremos mostrar que a seguinte IF

em S:

D(xm) =∑i∈I

Ei(xim)αi(xi) +

∑j∈J

αj(xj)Fj(xjm) = 0,


onde Ei : Si → Q e Fj : Sj → Q são aplicações, possui somente a solução padrão. A prova disso

será feita por indução em |I ∪ J |. Se |I ∪ J | = 1, então, como R é 1-livre, pois d ≥ 1 e se d′ ≤ d

claramente temos que R d-livre implica R d′-livre, o que nos permite concluir E1(S2×. . .×Sm) ⊆ C,com F1 = −E1. De fato, se I = 1 e J = ∅, vale E1(x1

m)x1 = 0 e temos a solução padrão E1(x1m) =

0 ∈ C. O caso I = ∅ e J = 1 é análogo. Se I = J = 1, temos E1(x1m)x1 + x1F1(x1

m) = 0,

e segue a solução padrão E1(x1m) = λ1(x1

m) ∈ C e F1 = −λ1 = −E1. Agora, vamos primeiro lidar

com o caso I ∪ J = 1, 2, . . . ,m. Fixe εk = βkαk e observe αkεk = αk. Armamos que Ei tem a

forma padrão quando restrita ao conjunto ε1(S1)× . . .× εi−1(Si−1)× εi+1(Si+1)× . . .× εm(Sm), e o

análogo é válido para Fj . Com efeito, denindo Ei = Eiβi, F j = Fj β

j , em vista de que para todo

yi ∈ Ri, temos yi = αi(xi), onde xi = βi(yi), segue que é valida a seguinte I.F.:∑i∈I

Ei(yim)yi +

∑j∈J

yjF j(yjm) =

∑i∈I

Eiβi(yim)yi +

∑j∈J

yjFj βj(yjm)

=∑i∈I

Ei(xim)αi(xi) +

∑j∈J

αj(xj)Fj(xjm) = 0,

para qualquer ym ∈ R. Assim, como R é d-livre, existem pij : Rij → Q, i ∈ I, j ∈ J , i 6= j, e

λk : Rk → C, k ∈ I ∪ J , tais que

Ei(yim) =

∑j∈Jj 6=i

yjpij(yijm) + λi(y

im), i ∈ I,

F j(yjm) = −

∑i∈Ii 6=j

pij(yijm)yi − λj(yjm), j ∈ J ,

λk = 0, se k /∈ I ∩ J .

Agora, dena pij = pijαij e λk = λkα

k. Para xi ∈ Si, sejam ui = εi(xi) e yi = αi(ui), o que

implica αi(ui) = αiεi(xi) = αi(xi). Consequentemente,

Ei(uim) = Eiε

i(xim) = Eiβi(αi(xim)) = Ei(α

i(xim))

=∑j∈Jj 6=i

αj(xj)pij(αij(xijm)) + λi(α

i(xim))

=∑j∈Jj 6=i

αj(uj)pij(αij(uijm)) + λi(α

i(uim))

=∑j∈Jj 6=i

αj(uj)pij(uijm) + λi(u

im),


para cada i ∈ I e

Fj(ujm) = Fj ε

j(xjm) = Fj βj(αj(xjm)) = F j(α

j(xjm))

= −∑i∈Ii 6=j

pij(αij(xijm))αj(xj)− λj(αj(xjm))

= −∑i∈Ii 6=j

pij(αij(uijm))αj(uj)− λj(αj(ujm))

= −∑i∈Ii 6=j

pij(uijm)αi(ui)− λj(ujm),

para cada j ∈ J . Além disso, λk = 0, se k /∈ I ∩ J , e nossas armações estão provadas. A prova

estaria completa se cada εk fosse idSk, isto é, se α fosse injetora, mas não estamos assumindo esta

hipótese.

Para cada s = 1, 2, . . . ,m, denimos Is = I\s e Js = J \s. Além disso, dado xm ∈ S, paracada s = 0, 1, 2, . . . ,m, denimos

xs = (x1, . . . , xs, εs+1(xs+1), . . . , εm(xm)).

Note que vale xss = (x1, . . . , xs−1, εs+1(xs+1), . . . , εm(xm)) = xss−1, o que implica

Es(xss) = Es(x

ss−1) e Fs(x

ss) = Fs(x

ss−1).

Esta observação junto com a igualdade αk(xk) = αk(εk(xk)), para todo k, nos permite concluir

0 = D(xs)−D(xs−1)

=∑i∈I

Ei(xis)αi(xi) +

∑j∈J

αj(xj)Fj(xjs)−

∑i∈I

Ei(xis−1)αi(xi)−

∑j∈J

αj(xj)Fj(xjs−1)

=∑i∈I

(Ei(xis)− Ei(xis−1))αi(xi) +

∑j∈J

αj(xj)(Fj(xjs)− Fj(x

js−1))

=∑i∈Is

Gsi(xim)αi(xi) +

∑j∈Js

αj(xj)Hsj(xjm),

onde Gsi(xim) = Ei(xis)− Ei(xis−1), Hsj(x

jm) = Fj(x

js)− Fj(xjs−1), xi = xi se i ≤ s e xi = εi(xi) se

i ≥ s.Além disso, pela hipótese de indução, cada Gsi e Hsj pode ser escrito na forma padrão. Para

xm ∈ S, temos

Ei(xim) =

m∑s=1

Gsi(xim) + Ei(u

im) e

Fj(xjm) =

m∑s=1

Hsj(xjm) + Fj(u

jm),


onde uk = εk(xk). Com efeito,

m∑s=1

Gsi(xim) =

m∑s=1

(Ei(xis)− Ei(xis−1))

= Ei(xi1)− Ei(xi0) + Ei(x

i2)− Ei(xi1) + Ei(x

i3)− Ei(xi2) + . . .

. . .+ Ei(xim−1)− Ei(xim−2) + Ei(x

im)− Ei(xim−1)

= −Ei(xi0) + Ei(xim)

= Ei(xim)− Ei(uim), e

m∑s=1

Hsj(xjm) =

m∑s=1

(Fj(xjs)− Fj(x

js−1))

= Fj(xj1)− Fj(xj0) + Fj(x

j2)− Fj(xj1) + Fj(x

j3)− Fj(xj2) + . . .

. . .+ Fj(xjm−1)− Fj(xjm−2) + Fj(x

jm)− Fj(xjm−1)

= −Fj(xj0) + Fj(xjm)

= Fj(xjm)− Fj(ujm).

Em vista dessas armações, a prova está completa para o caso particular I ∪ J = 1, 2, . . . ,m.Note que assumimos o resultado válido para |I ∪J | = m−1 e o provamos válido para |I ∪J | = m.

No caso geral, podemos assumir, sem perda de generalidade, I ∪ J = 1, 2, . . . , r, onde 1 ≤r ≤ m. Seja z ∈ Sr+1 × . . . × Sm, em S1 × . . . × Sr. Dena Ezi(xir) = Ei(x

ir, z), para i ∈ I, e

Fzj(xjr) = Fj(x

jr, z), para j ∈ J . Claramente,∑

i∈IEzi(x

ir)αi(xi) +

∑j∈J

αj(xj)Fzj(xjm) = 0

vale em S1 × . . .× Sr. Desse modo, como R1 × . . .×Rr é d-livre, pois R é d-livre, o caso particular

estudado anteriormente se aplica aqui. Com efeito, observe que a I.F. acima depende de r variáveis,

e as somas estão indexadas pelos conjuntos I e J tais que |I ∪J | = r. Portanto, existem aplicações

pzij : Sijr → Q, i ∈ I, j ∈ J , i 6= j, e λzk : Skr → Q, k ∈ I ∪ J , tais que

Ezi(xir) =

∑j∈Jj 6=i

αj(xj)pzij(xijr ) + λzi(x

ir), i ∈ I,

Fzj(xjr) = −

∑i∈Ii 6=j

pzij(xijr )αi(xi)− λzj(xjr), j ∈ J ,

λzk = 0, se k /∈ I ∩ J .

Finalmente, denindo pij(xijr , z) = pzij(x

ijr ) e λk(xkr , z) = λzk(x

kr ), para todo (xr, z) ∈ S, a

prova está completa.

Dado um subconjunto R d-livre de Q, podemos ainda construir novos conjuntos d-livres, a saber

Lema 6.1.2. Se R é um subconjunto d-livre do anel Q, com elemento identidade e centro C, e

δ : R → Q é uma aplicação arbitrária, então, R = (x, δ(x)) | x ∈ R é um subconjunto d-livre do


anel Q = Q×Q, onde a adição em Q é denida coordenada a coordenada, e a multiplicação é dada

por

(x, y)(z, w) = (xz, xw + yz),

para (x, y), (z, w) ∈ Q.

Demonstração. Vamos provar somente que R satisfaz a condição (a) da Denição 6.1.2, pois a

condição (b) pode ser provada de maneira análoga. Sejam I,J ⊆ 1, 2, . . . ,m subconjuntos taisque max|I|, |J | ≤ d e Ei, Fj : Rm−1 → Q funções satisfazendo∑

i∈IEi(y

im)yi +

∑j∈J

yjFj(yjm) = 0, para todo ym ∈ Rm. (6.16)

onde yi = (xi, δ(xi)) ∈ R e xi ∈ R. Agora, cada aplicação Ei determina funções Ei, Gi : Rm−1 → Q

tais que

Ei(yim) = (Ei(x

im), Gi(x

im)),

e cada aplicação Fj determina funções Fj , Hj : Rm−1 → Q tais que

Fj(yjm) = (Fj(x

jm), Hj(x

jm)).

Substituindo estas expressões em (6.16), resulta∑i∈I

Ei(xim)xi +

∑j∈J

xjFj(xjm) = 0 e (6.17)

∑i∈I

Ei(x

im)δ(xi) +Gi(x

im)xi

+∑j∈Jδ(xj)Fj(xjm) + xjHj(x

jm) = 0, (6.18)

para todo xm ∈ Rm. Assim, como R é d-livre, existem aplicações pij : Rm−2 → Q e λk : Rm−1 → C,

tais queEi(x

im) =

∑j∈Jj 6=i

xjpij(xijm) + λi(x

im),

Fj(xjm) = −

∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)xi − λj(xjm),

λk = 0 se k /∈ I ∩ J .

Desse modo, usando estas últimas igualdades em (6.18), obtemos∑i∈I

∑j∈Jj 6=i

xjpij(xijm)δ(xi) +

∑i∈I

λi(xim)δ(xi) +

∑i∈I

Gi(xim)xi

−∑j∈J

∑i∈Ii 6=j

δ(xj)pij(xijm)xi −

∑j∈J

λj(xjm)δ(xj) +

∑j∈J

xjHj(xjm) = 0.

Portanto, como λk = 0, se k /∈ I ∩ J , e λk(xkm) ∈ C, temos∑i∈I

λi(xim)δ(xi)−

∑j∈J

λj(xjm)δ(xj) = 0,


e podemos reescrever a igualdade acima como

∑i∈I

Gi(xim)−∑j∈Jj 6=i

δ(xj)pij(xijm)

xi +∑j∈J

xj

Hj(xjm) +

∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)δ(xi)

= 0.

Agora, pela d-liberdade de R, segue que existem aplicações qij : Rm−2 → Q e µk : Rm−1 → C

tais queGi(x

im)−

∑j∈Jj 6=i

δ(xj)pij(xijm) =

∑j∈Jj 6=i

xjqij(xijm) + µi(x

im),

Hj(xjm) +

∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)δ(xi) = −

∑i∈Ii 6=j

qij(xijm)xi − µj(xjm),

µk = 0 se k /∈ I ∩ J .

Prosseguindo, dena as aplicações pij : Rm−2 → Q e λk : Rm−1 → C (o centro de Q) por

pij(yijm) = (pij(x

ijm), qij(x

ijm)),

λk(ykm) = (λk(x

km), µk(x

km)).

Observemos que vale C = C × C. Claramente, λk = 0 se k /∈ I ∩ J . Além disso, temos

Ei(yim) =

∑j∈Jj 6=i

xjpij(xijm) + λi(x

im),

∑j∈Jj 6=i

[δ(xj)pij(xijm) + xjqij(x

ijm)] + µi(x

im)

=

∑j∈Jj 6=i

(xj , δ(xj))(pij(xijm), qij(x

ijm)) + (λi(x

im), µi(x

im))

=∑j∈Jj 6=i

yj pij(yijm) + λi(y

im) e

Fj(yjm) = −

∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)xi + λj(x

jm),∑i∈Ii 6=j

[pij(xijm)δ(xi) + qij(x

ijm)xi] + µj(x

jm)

= −

∑i∈Ii 6=j

(pij(xijm), qij(x

ijm))(xi, δ(xi))− (λj(x

jm), µj(x

jm))

= −∑i∈Ii 6=j

pij(yijm)yi − λj(yjm).

Logo, a I.F. de (6.16) possui apenas a solução padrão.

Nesse momento, voltaremos a tratar da identidade funcional que iguala uma função de núcleo

a uma quasi-polinomial ∑M,N

MBM,NN =∑L

λLL.


Nosso objetivo é mostrar que, sob algumas hipóteses, as funções de meio da função de núcleo,

também são quasi-polinomiais. Antes de enunciarmos e provarmos o próximo lema, observemos que

todo monômio L de grau maior ou igual a 1, pode ser escrito como L = XiM , para um certo i, com

grau(M) = grau(L) − 1. Consequentemente, toda quasi-polinomial P =∑L

λLL, de grau m ≥ 1,

pode ser representada por

P =

m∑i=1

XiPi + λ1, (6.19)

onde cada Pi é 0 ou uma quasi-polinomial de grau m− 1.

Recordemos que estamos na situação em que S1, . . . , Sm são conjuntos não vazios, αi : Si → Q

aplicações, e Ri = αi(Si), i = 1, 2, . . . ,m. Além disso, S é o produto cartesiano dos Si's, R é o

produto cartesiano dos Ri's, e Q é um anel com elemento identidade e centro C.

Lema 6.1.3. Seja P =∑L

λLL uma quasi-polinomial de grau ≤ m, e suponha que R é m-livre e

λ1 = 0, ou R é (m+ 1)-livre. Então, P = 0 se, e somente se, cada λL é nulo.

Demonstração. Faremos a demonstração por indução em m. Se m = 1, temos λX1X1 = −λ1. Se

λ1 = 0 e R é 1-livre, então, λX1X1 = 0 implica λX1 = 0; e se R é 2-livre, então, λX1X1 = −λ1 ∈ Cimplica λX1 = 0. Portanto, também vale λ1 = 0. Agora, para m > 1, escrevendo P como em (6.19),

vemosm∑i=1

XiPi = −λ1. Novamente, se λ1 = 0 e R é m-livre, então,m∑i=1

XiPi = 0 implica Pi = 0; e

se R é (m + 1)-livre, então,m∑i=1

XiPi = −λ1 ∈ C implica Pi = 0. Logo, λ1 = 0. Finalmente, como

grau(Pi) < m, aplicando a hipótese de indução, concluímos o resultado.

Lema 6.1.4. Sejam n, p, r inteiros não negativos tais que n < m e p + n + r = m. Para cada par

M,N , com grau(M) = p e grau(N) = r, seja BM,N : SMN → Q. Suponha∑M,N

MBM,NN = P, (6.20)

onde P é uma quasi-polinomial, com coeciente central λ1. Se R é m-livre e λ1 = 0, ou R é

(m+ 1)-livre, então, cada BM,N é uma quasi-polinomial.

Demonstração. A prova será por indução em m. Para m = 1, n = 0, e podemos assumir p = 1, o

que implica r = 0. Assim, BX1,1 = a ∈ Q e (6.20) se reduz a X1a = λX1X1 + λ1, ou seja,

X1(a− λX1) = λ1,

pois λX1 ∈ C e λ1 : S → C. Portanto, se λ1 = 0 e R é 1-livre, então, X1(a − λX1) = 0 implica

a − λX1 = 0. Do mesmo modo, se R é 2-livre, então, X1(a − λX1) = λ1 ∈ C também implica

a − λX1 = 0, e consequentemente, λ1 = 0. Desse modo, concluímos que BX1,1 = a = λX1 ∈ C é

uma quasi-polinomial. No caso indutivo temos m > 1, podendo assumir p > 0. Note que como cada

função monomial M pode ser escrita como M = XiK, para um i adequado, onde grau(K) = p− 1


e K não depende de Xi, podemos reescrever (6.20) como

m∑i=1

Xi

∑K,N

KBXiK,NN

=m∑i=1

XiPi + λ1,

onde Pi é uma quasi-polinomial e λ1 : S → C. Agora, se λ1 = 0 e R é m-livre, então,

m∑i=1

Xi

∑K,N

KBXiK,NN − Pi

= 0

implica∑K,N

KBXiK,NN = Pi, para cada i = 1, 2, . . . ,m. Analogamente, se R é (m+ 1)-livre, então,

m∑i=1

Xi

∑K,N

KBXiK,NN − Pi

= λ1 ∈ C implica∑K,N

KBXiK,NN = Pi, para cada i = 1, 2, . . . ,m.

Portanto, como esta identidade não envolve Xi, podemos aplicar a hipótese de indução, obtendo

que cada BM,N = BXiK,N é uma quasi-polinomial.

Lema 6.1.5. Seja 0 ≤ n ≤ m, e para cada monômioM , com grau(M) = m−n, seja BM : SM → Q.

Suponha ∑M

MBM =m∑i=1

FiXi + λ, (6.21)

onde Fi : SXi → Q e λ : S → C. Se R é m-livre e λ = 0, ou R é (m+ 1)-livre, então, cada BM é da

forma

BM =∑

i/∈dom(M)

piMXi + µM ,

onde piM : SMXi → Q e µM : SM → C.

Demonstração. A prova será por indução em grau(M) = m − n. Se grau(M) = 0, não há nada a

ser feito. Suponha grau(M) > 0 e reescreva (6.21) como

m∑j=1

Xj

(∑K

KBXjK

)−

m∑i=1

FiXi = λ,

onde grau(K) = grau(M)− 1. Se R é m-livre e λ = 0 ou R é (m+ 1)-livre, segue

∑K

KBXjK =

m∑i=1i 6=j

pijXi + µj ,

onde pij : SXiXj → Q e µj : SXj → C. Assim, aplicando a hipótese de indução, concluímos que cada

BM = BXjK tem a forma desejada.

Teorema 6.1.2. (Bre²ar, Chebotar e Martindale, 3rd, [8]) Seja 0 ≤ n < m, e para cada par M,N

de monômios, tais que grau(MN) = m− n, seja BM,N : SMN → Q. Suponha∑M,N

MBM,NN = P, (6.22)


onde P é uma quasi-polinomial com coeciente central λ1. Se R é m-livre e λ1 = 0, ou R é (m+ 1)-

livre, então, para cada M,N ,

BM,N =∑

i/∈dom(MN)

(pM,N,XiXi +XiqXi,M,N ) + µM,N , (6.23)

onde pM,N,Xi , qXi,M,N : SMNXi → Q e µM,N : SMN → C. Além disso, se BM,N é uma função de

meio mais à direita (respectivamente, função de meio mais à esquerda), então,

qXi,M,N = 0 para todo M e i

(respectivamente, pM,N,Xi = 0 para todo N e i).(6.24)

Demonstração. A demonstração será por indução em m. Para m = 1, temos n = 0. Desse modo,

(6.22) se reduz a

X1a+ bX1 = λX1X1 + λ1,

onde a, b ∈ Q, λX1 ∈ C e λ1 : S1 → C. Rearranjando os termos, chegamos a

X1a+ (b− λX1)X1 = λ1.

Em decorrência das hipóteses de d-liberdade, concluímos a, b− λX1 ∈ C. Portanto, a, b ∈ C.Seja m > 1, considere v o grau mínimo entre os graus dos monômios N , tais que BM,N 6= 0 e

suponha que v é um inteiro positivo. Desse modo, como cada N em (6.22) é tal que N = KL, onde

grau(L) = v, podemos reescrever (6.22) na forma

∑grau(L)=v

∑M,K

MBM,KLK

L = P.

Logo, pelo Lema (6.1.4), concluímos que para cada L, com grau(L) = v, temos que∑M,K

MDM,KK (DM,K = BM,KL) (6.25)

é uma quasi-polinomial. Assim, como (6.25) só depende das variáveis de SL (desse modo, m é

substituído por m− v), pela hipótese de indução, concluímos que cada BM,KL = DM,K é da forma

requerida em (6.23). Agora, suponha BM,L 6= 0, para algum M , ou seja, BM,L é função de meio

mais à direita. Assim, DM,1 6= 0 para essa escolha de M (DM,1 é também função de meio mais à

direita), e pela hipótese de indução aplicada a (6.25), vemos que DM,1, e portanto BM,L, tem a

forma requerida em (6.24). Portanto, (6.24) foi provada para N de grau mínimo v, e por simetria,

segue que (6.24) também está provada para M de grau mínimo u. Como resultado disso, podemos

assumir v = 0, e similarmente podemos assumir u = 0.

Em vista de que vale N = UXi, se grau(N) > 0, e M = XjV , se grau(M) > 0, reescrevemos

(6.22) como

m∑i=1

∑M,U

MBM,UXiU

Xi +

m∑j=1

Xj

[∑V

V BXjV,1

]=

m∑i=1

PiXi + λ1,


onde cada Pi é uma quasi-polinomial. Pelas condições de d-liberdade, vale que, para cada j,

∑V

V BXjV,1 =m∑i=1i 6=j

rijXi + µj ,

onde rij : SXiXj → Q e µj : SXj → C. Assim, pelo Lema 6.1.5, vemos

BM,1 = BXjV,1 =∑

i/∈dom(M)

pM,XiXi + γM , (6.26)

onde pM,Xi : SMXi → Q e γM : SM → C. Por simetria, pode-se provar

B1,N =∑

j /∈dom(N)

XjqXj ,N + γN .

Novamente voltamos a (6.22), desta vez reescrevendo-a como∑M,N

grau(N)>0

MBM,NN +∑W

WBW,1 (6.27)

sendo uma quasi-polinomial. Escrevendo N = UXi, W = MXj e usando (6.26), temos que (6.27)

se traduz como

m∑i=1

∑M,U

grau(U)>0

MBM,UXiU

Xi +

m∑i=1

∑grau(M)=m−n−1

M (BM,Xi

+∑

j /∈dom(MXi)

XjpM,Xj ,Xi

Xi

é uma quasi-polinomial, para algumas funções pM,Xj ,Xi . Pelo Lema 6.1.4, segue que, para cada i,

∑M,U

grau(U)>0

MBM,UXiU +∑

grau(M)=m−n−1

M

BM,Xi +∑

j /∈dom(MXi)

XjpM,Xj ,Xi

é uma quasi-polinomial. Portanto, como esta relação somente depende das variáveis de SXi (desse

modo, m é substituído por m − 1) concluímos da hipótese de indução, que BM,UXi é da forma

requerida em (6.23), se grau(U) > 0, e

BM,Xi +∑

j /∈dom(MXi)

XjpM,Xj ,Xi =∑

k/∈dom(MXi)

qXk,M,XiXk + µM,Xi .

Logo, BM,Xi é também da forma requerida em (6.23).

A m de esclarecer um pouco mais a tese do teorema anterior, vamos enunciá-lo nos casos n = 0

ou n = 1.


Lema 6.1.6. Nas hipóteses do Teorema 6.1.2, temos que as seguintes armações são válidas:

(i) Se n = 0, então, cada BM,N pertence a C;

(ii) Se n = 1, então, para cada M,N , existem aplicações µM,N : Si → C, onde Xi não é um fator

de MN , e elementos bM,N , cM,N ∈ Q, tais que

BM,N = bM,NXi +XicM,N + µM,N .

Vamos considerar agora o caso S1 = S2 = . . . = Sm = S, R1 = R2 = . . . = Rm = R e

α1 = α2 = . . . = αm = α. Uma das importantes hipóteses adicionais que faremos no próximo

resultado é que cada função de meio BM,N é, a menos de uma constante de C, igual a uma função

de meio mais à esquerda BU,V , para que seja possível usar a conclusão (6.24) do Teorema 6.1.2.

Enfatizamos que, com a notação BM,N = cBU,V , c ∈ C, queremos dizer

BM,N (x1, x2, . . . , xn) = cBU,V (xπ(1), xπ(2), . . . , xπ(n)),

para todos x1, x2, . . . , xn ∈ S, e para alguma permutação π ∈ Sn. Além disso, n é a aridade das

funções de meio.

Teorema 6.1.3. (Bre²ar, Chebotar e Martindale, 3rd, [8]) Seja 0 ≤ n < m, e para cada par de

monômios M,N , com grau(MN) = m− n, seja BM,N : Sn → Q. Suponha∑M,N

MBM,NN = P, (6.28)


livre, e para toda função de meio BM,N , existe uma função de meio mais à esquerda BU,V e um

elemento c ∈ C, tais que BM,N = cBU,V , então, todas as BM,N 's são quasi-polinomiais.

Demonstração. Procederemos por indução em n. O caso n = 0 é dado por (i) do Lema 6.1.6. Seja

n > 0. Pelo Teorema 6.1.2, toda função de meio mais à esquerda BU,V e, pela nossa hipótese,

também toda função de meio BM,N , é da forma

BM,N =∑

i/∈dom(MN)

XiqXi,M,N + µM,N , (6.29)

onde qXi,M,N = cqXj ,U,V , para algum j. Substituindo (6.29) em (6.28), produzimos uma nova I.F., na

qual as funções de meio da função de núcleo, são as qXi,M,N 's, e os termos µM,NMN (µM,N ∈ C) sãoincorporados pela quasi-polinomial original. Assim, como n foi agora substituído por n−1, a aridade

das qXi,M,N 's, e as hipóteses restantes do teorema ainda valem (note que o grau mínimo da funções

mais à esquerda u é u + 1), podemos aplicar a hipótese de indução e concluir que cada qXi,M,N é

uma quasi-polinomial. Portanto, (6.29) nos mostra que BM,N também é uma quasi-polinomial.

Como consequência deste último teorema, temos o caso em que, a menos de uma constante em

C, as BM,N 's são todas iguais a uma mesma função B.


Corolário 6.1.1. Sejam 0 ≤ n < m, B : Sn → Q e para cada par de monômios M,N , com

grau(MN) = m− n, considere cM,N ∈ C. Suponha∑M,N

cM,NMBN = P,


livre, e além disso, se pelo menos um cM,N , com B função de meio mais à esquerda, isto é, M tem

grau mínimo entre os graus dos monômios que multiplicam B à esquerda, é invertível em C, então,

B é uma quasi-polinomial.

Demonstração. Se cU,V é invertível, onde BU,V = B é uma função de meio mais à esquerda, então,

para cada M,N , temos

cM,NB = cM,Nc−1U,V cU,VB.

Logo, pelo Teorema 6.1.3, concluímos o resultado.

A partir de agora, nosso objetivo é aplicar a teoria de identidades funcionais em anéis. Para isso,

enunciaremos e provaremos dois resultados relacionados a problemas já estudados na dissertação,

com as hipóteses convenientes.

No próximo resultado, soma direta tem um sentido diferente do que utilizamos anteriormente

na dissertação. A aplicação α é a soma direta de um homomorsmo e um antihomomorsmo, se

existir um idempotente central ε ∈ Q tal que x 7→ α(x), x ∈ A, é um homomorsmo e x 7→(1− ε)α(x), x ∈ A, é um antihomomorsmo.

Teorema 6.1.4. (Bre²ar, Chebotar e Martindale, 3rd, [8]) Sejam A um anel qualquer e Q um

anel com identidade e centro C, tal que 12 ∈ Q. Se α : A → Q é um homomorsmo de Jordan tal

que α(A) é um subconjunto 4-livre de Q, então, α é a soma direta de um homomorsmo e um

antihomomorsmo.

Demonstração. É fácil ver que vale

[[s, t], u] = s (t u)− t (s u),

para todos s, t, u ∈ A. Assim, como α é um homomorsmo de Jordan, segue

α([[s, t], u]) = α(s) (α(t) α(u))− α(t) (α(s) α(u))

= [[α(s), α(t)], α(u)],

para todos s, t, u ∈ A. Além disso, temos

[[α(x), α(y)], α([z, w])] = α([[x, y], [z, w]]) = −α([[z, w], [x, y]])

= −[[α(z), α(w)], α([x, y])] = [α([x, y]), [α(z), α(w)]],

para quaisquer x, y, z, w ∈ A, o que podemos reescrever como

[[α(x), α(y)], B(z, w)] = [B(x, y), [α(z), α(w)]], (6.30)


para todos x, y, z, w ∈ A, onde B(x, y) = α([x, y]). Observe que (6.30) fornece uma I.F. que iguala

uma função de núcleo a uma quasi-polinomial (nula), com coeciente central igual a 0. Desse

modo, como α(A) é um subconjunto 4-livre, é fácil ver que as hipóteses do Teorema 6.1.3 são

satisfeitas. Consequentemente, concluímos que B é uma quasi-polinomial. Assim, existem λ, λ′ ∈ C,µ1, µ2 : A→ C e γ : A2 → C, tais que

B(x, y) = λα(x)α(y) + λ′α(y)α(x) + µ1(x)α(y) + µ2(y)α(x) + γ(x, y),

para todos x, y ∈ A. Agora, substituindo esta última igualdade em (6.30) e expandindo-a, obtemos

(λ+ λ′)α(x)α(y)α(z)α(w) + (λ+ λ′)α(z)α(w)α(y)α(x)− (λ+ λ′)α(y)α(x)α(z)α(w)

−(λ+ λ′)α(w)α(z)α(x)α(y) + µ1(z)[[α(x), α(y)], α(w)] + µ2(w)[[α(x), α(y)], α(z)]

−µ1(x)[α(y), [α(z), α(w)]]− µ2(y)[α(x), [α(z), α(w)]] = 0,

de onde segue λ + λ′ = 0 e µ1 = µ2 = 0, pelo Lema 6.1.3, pois α(A) é 4-livre. Desse modo,

B(x, y) = α([x, y]) = λ[α(x), α(y)] + γ(x, y), ou seja,

α(xy) = λα(x)α(y)− λα(y)α(x) + α(yx) + γ(x, y).

Além disso, α(x y) = α(x) α(y) implica

α(xy) = α(x)α(y) + α(y)α(x)− α(yx).

Comparando estas duas últimas igualdades, chegamos a

α(xy) = εα(xy) + ε′α(yx) +1

2γ(x, y),

para todos x, y ∈ A, onde ε = 12(1 + λ) e ε′ = 1

2(1− λ). Observe que vale ε+ ε′ = 1 e λ ∈ C implica

que ε e ε′ também pertencem a C. Vamos calcular agora, de duas maneiras diferentes, o elemento

α(xyz), x, y, z ∈ A. Por um lado, temos

α((xy)z) = εα(xy)α(z) + ε′α(z)α(xy) + γ(xy, z)

= ε2α(x)α(y)α(z) + εε′α(y)α(x)α(z) + εγ(x, y)α(z) + εε′α(z)α(x)α(y)

+ε′2α(z)α(y)α(x) + ε′γ(x, y)α(z) + γ(xy, z),

e por outro lado, segue

α(x(yz)) = εα(x)α(yz) + ε′α(yz)α(x) + γ(x, yz)

= ε2α(x)α(y)α(z) + εε′α(x)α(z)α(y) + εγ(y, z)α(x) + εε′α(y)α(z)α(x)

+ε′2α(z)α(y)α(x) + ε′γ(y, z)α(x) + γ(x, yz).

Comparando as duas expressões encontradas, obtemos

εε′[α(y), [α(x), α(z)]] + γ(x, y)α(z)− γ(y, z)α(x) ∈ C.

Esta última pertinência depende de 3 variáveis, e nos leva a uma I.F. que iguala uma quasi-

6 A TEORIA DE IDENTIDADES FUNCIONAIS EM SUPERÁLGEBRAS 115

polinomial a 0. Assim, como α(A) é um subconjunto 4-livre, pelo Lema 6.1.3, concluímos εε′ = 0 e

γ = 0. Consequentemente,

α(xy) = εα(x)α(y) + ε′α(y)α(x), (6.31)

para todos x, y ∈ A. Além disso, de ε+ ε′ = 1 e εε′ = 0, obtemos

ε = ε(ε+ ε′) = ε2,

ou seja, ε é um idempotente central. Finalmente, as igualdades

εα(xy) = ε(εα(x)α(y) + ε′α(y)α(x))

= (εα(x))(εα(y)) e

ε′α(xy) = ε′(εα(x)α(y) + ε′α(y)α(x))

= (ε′α(y))(ε′α(x)),

nos mostram que x 7→ εα(x) é um homomorsmo, e x 7→ (1− ε)α(x) é um antihomomorsmo.

Corolário 6.1.2. Seja Q um anel com identidade e centro C, tal que 12 ∈ Q. Se A é um subanel

4-livre de Q, então, toda derivação de Jordan δ : A→ Q é uma derivação.

Demonstração. Seja δ : A → Q uma derivação de Jordan. Dena Q = Q ×Q como no Lema 6.1.2

e α : A→ Q por α(x) = (x, δ(x)), para todo x ∈ A. A aplicação α claramente é aditiva e

α(x y) = (x y, δ(x) y + x δ(y))

= (x, δ(x))(y, δ(y)) + (y, δ(y))(x, δ(x))

= α(x) α(y),

para todos x, y ∈ A, isto é, α é um homomorsmo de Jordan. Assim, como A é 4-livre em Q, pelo

Lema 6.1.2, α(A) é 4-livre em Q. Desse modo, podemos aplicar o teorema anterior e concluir que α

é a soma direta de um homomorsmo e um antihomomorsmo. Suponha que ε′ é um idempotente

central em Q, tal que x 7→ ε′α(x) é um antihomomorsmo. Denotando ε′ = (a, b) ∈ Q, temos

(a, b)(c, d) = (c, d)(a, b), isto é, (ac, ad + bc) = (ca, cb + da), para todo (c, d) ∈ Q. Logo, a ∈ C.Agora, para (c, d) = (a, b), temos (a2, 2ab) = (a, b), o que implica que a é idempotente e 2ab = b.

Consequentemente, 2a2b = ab e, então, ab = 0. Portanto, b = 0 e temos ε′ = (ω, 0), onde ω

é um idempotente central de Q. Finalmente, pela igualdade ε′α(xy) = ε′α(y)α(x), inferimos em

particular, ωxy = ωyx, para todos x, y ∈ A. Logo, como A é 4-livre, e portanto é 2-livre, segue pelo

Lema 6.1.3, que vale ω = 0. Consequentemente, ε′ = 0, o que mostra que necessariamente α é um

homomorsmo e nos permite concluir que δ é uma derivação.

6.2 A teoria de identidades funcionais em superálgebras

Nesta seção, apresentamos uma breve generalização da teoria da seção anterior, para o contexto

das superálgebras, a qual é dada por Yu Wang em [32]. Uma vez que estamos interessados nas

propriedades de d-superliberdade e suas relações com as superquasi-polinomiais, estudamos apenas

a generalização de um quadro mais geral das identidades funcionais.


Seja Q = Q0 ⊕ Q1 uma superálgebra com identidade e centro C = C0 ⊕ C1. Recordamos que

o centro de uma superálgebra é uma subálgebra graduada. Além disso, seja σ o automorsmo

graduante associado à Z2-graduação de Q. Denotamos por C∗0 o grupo dos elementos invertíveis

de C0. Vamos denir um elemento ω ∈ Q, da seguinte forma: se σ = idQ ou σ é um automorsmo

externo, então, ω = 0. Caso contrário, ω denotará um elemento invertível em Q, tal que σ(a) =

ωaω−1, para todo a ∈ Q. Vejamos algumas propriedades de ω.

(1) ω ∈ Q0, pois ω = 0 ∈ Q0 ou

ω0 + ω1 = ω = ωωω−1 = σ(ω) = ω0 − ω1,

pela denição de σ, o que implica ω1 = 0;

(2) ω2 ∈ C0 = C ∩ Q0, pois como ω ∈ Q0, então, também ω2 ∈ Q0, e para cada a ∈ Q, temos

ω2a = ω(ωaω−1)ω = ωσ(a)ω−1ω2 = σ(σ(a))ω2 = aω2,

pois σ2 = idQ;

(3) ωa0 = σ(a0)ω = a0ω, para cada a0 ∈ Q0;

(4) ωa1 = σ(a1)ω = −a1ω, para todo a1 ∈ Q1.

O elemento ω será chamado de elemento graduante de Q.

Seja m um inteiro positivo. Para cada 1 ≤ i ≤ m, seja Ui um subconjunto de Q, tal que Ui ⊆ Q0

ou Ui ⊆ Q1. Fixamos, para cada i, εi = 1, se Ui ⊆ Q0, ou εi = −1, se Ui ⊆ Q1. Sejam S1, S2, . . . , Sm

conjuntos não vazios. Para I,J ⊆ 1, 2, . . . ,m, δi : Si → Ui, i ∈ I ∪J , são aplicações sobrejetivas.

Sejam S =

m∏k=1

Sk, U =m∏k=1

Uk e ∆ = δl | l ∈ I ∪ J .

Para cada 1 ≤ i ≤ m e G :∏k 6=i

Sk → Q, denimos

Gi(xm) = G(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xm),

para todo xm ∈ S. Analogamente, para cada 1 ≤ i < j ≤ m e H :∏k 6=i,j

Sk → Q, denimos

H ij(xm) = H(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xm),

para todo xm ∈ S, e Hji = H ij . Consideraremos identidades funcionais em S dos tipos∑i∈I

Eii(xm)δi(xi) +∑j∈J

δj(xj)Fjj (xm) = 0,

∑i∈I

Eii(xm)δi(xi) +∑j∈J

δj(xj)Fjj (xm) ∈ C + Cω,

para todo xm ∈ S. Com o intuito de simplicar a notação, abreviaremos as I.F.'s mencionadas como

6 A TEORIA DE IDENTIDADES FUNCIONAIS EM SUPERÁLGEBRAS 117

segue, ∑i∈I

Eiiδi +∑j∈J

δjFjj = 0, (6.32)

∑i∈I

Eiiδi +∑j∈J

δjFjj ∈ C + Cω. (6.33)

Pelo que foi feito na seção anterior, podemos denir soluções padrão para essas identidades e

é o que faremos a seguir.

Suponha ω = 0 ou cada Ui ⊆ Q0. Denindo

Eii =∑j∈Jj 6=i

δjpijij + λii,

F jj = −∑i∈Ii 6=j

pijijδi − λjj ,

(6.34)

onde pij :∏k 6=i,j

Sk → Q, i ∈ I, j ∈ J , i 6= j, λl :∏k 6=l

Sk → C + Cω, l ∈ I ∪ J , e λl = 0 se l /∈ I ∩ J ,

temos que as I.F.'s são satisfeitas.

Agora, suponha que acontece o caso contrário, isto é, ω 6= 0 e pelo menos um dos Ui's está

contido em Q1. DenindoEii =

∑j∈Jj 6=i

δjpijij + λii + µiiω,

F jj = −∑i∈Ii 6=j

pijijδi − λjj − εjµ

jjω,

(6.35)

onde pij :∏k 6=i,j

Sk → Q, i ∈ I, j ∈ J , i 6= j, λl, µl :∏k 6=l

Sk → C, l ∈ I ∪ J , e λl = 0 = µl se

l /∈ I ∩ J , temos novamente que as I.F.'s são satisfeitas.

Desse modo, denimos (6.34) e (6.35) como sendo as soluções padrão de (6.32) e (6.33).

Vamos agora generalizar o conceito de subconjuntos d-livres.

Denição 6.2.1. Seja d um inteiro positivo. Uma tripla (S,∆, U) é chamada d-superlivre se as

seguintes condições são satisfeitas.

(a) Para todo m inteiro positivo e I,J ⊆ 1, 2, . . . ,m, com max|I|, |J | ≤ d, temos que (6.32)

implica (6.34) e (6.35).

(b) Para todo m inteiro positivo e I,J ⊆ 1, 2, . . . ,m, com max|I|, |J | ≤ d − 1, temos que

(6.33) implica (6.34) e (6.35).

Se cada Si = Ui e δi = idUi , o subconjunto U é dito ser d-superlivre se a tripla (S,∆, U) o for. Se

R = R0⊕R1 é um Φ-submódulo graduado de Q, onde Q é uma álgebra sobre um anel comutativo

Φ e 12 ∈ Φ, tal que para todo 1 ≤ i ≤ m, Ui = R0 ou Ui = R1, então, R é dito d-superlivre se U é

d-superlivre.

Observemos que o conceito de subconjuntos d-superlivres coincide com o de subconjuntos d-

livres no caso em que temos uma superálgebra trivial. Além disso, se I = ∅ ou J = ∅, novamente

consideramos que as somas indexadas por estes conjuntos são nulas.


A seguir, apresentamos as generalizações dos conceitos de funções de núcleo e de funções quasi-

polinomiais. Sejam x1, x2, . . . , xm um conjunto nito e k ∈ N, com k ≤ m. Denotamos por

Mkm, o conjunto de todos os monômios multilineares em x1, x2, . . . , xm de grau k, e xamos

Mm =m⋃k=0

Mkm, onde M0

m = 1. Seja M = Xi1Xi2 . . . Xiu ∈ Mm (aqui denotamos dom(M) =

i1, i2, . . . , iu e grau(M) = u), onde u ≤ (m− k). Em seguida, adotamos a notaçãoMkm(M) para

o conjunto de todos os monômios multilineares em x1, x2, . . . , xm\xi1 , xi2 , . . . , xiu de grau k e

xamosMm(M) =m−u⋃k=0

Mkm.

Para cada 1 ≤ t ≤ m, seja St um conjunto não vazio e δt : St → Ut uma aplicação sobrejetora.

Denimos

M(sm) = δi1(si1)δi2(si2) . . . δiu(siu) e εM = εi1εi2 . . . εiu ,

onde sit ∈ Sit . Seja S =m∏t=1

Si e SM =m−u∏t=1

Sjt , onde

j1, j2, . . . , jm−u = 1, 2, . . . ,m\i1, i2, . . . , iu.

Dada F : SM → Q, denimos

FM (sm) = F (sj1 , sj2 , . . . , sjm−u),

para todo sm ∈ S. Seja M ∈ Mkm e λM : SM → C + Cω. Uma aplicação S → Q denida pela

regra sm 7→ λMM (sm)M(sm), para todo sm ∈ S, é chamada de superquasi-monomial e é denotada

por λMM . Uma soma,∑

M∈Mm

λMM , de diferentes superquasi-monomiais, é dita uma superquasi-

polinomial de grau menor ou igual a m, λ1 é o coeciente central. Em relação às superquasi-

polinomiais, analogamente à seção anterior, temos o seguinte resultado.

Lema 6.2.1. Sejam λL : SL → C + Cω, L ∈Mm, aplicações tais que∑L∈Mm

λLLL = 0.

Além disso, suponha que λ1 = 0 e U é m-superlivre, ou U é (m+ 1)-superlivre. Então, cada λLé nulo.

Demonstração. A demonstração é análoga a do Lema 6.1.3.

Nesse contexto, as funções de núcleo possuem um sentido similar ao da seção anterior: são

funções da forma∑

M,N∈Mm

MBMNM,NN , onde cada par M,N ∈ Mm de monômios dessa soma, é tal

que dom(M) ∩ dom(N) = ∅ e grau(MN) = m− n, e BM,N : SMN → Q são chamadas de funções

de meio. Analogamente, pode-se denir os conceitos de função de meio mais à esquerda e

função de meio mais à direita.

As generalizações dos resultados nais da seção anterior podem ser sintetizadas no seguinte

teorema, cuja demonstração pode ser encontrada em [32].

6 SUPERHOMOMORFISMOS DE JORDAN EM SUPERÁLGEBRAS 119

Teorema 6.2.1. (Yu Wang, [32]) Sejam m,n ∈ Z, com 0 ≤ n < m. Para cada i tal que 3 ≤i ≤ m, suponha que ou Si = S1 e δi = δ1, ou Si = S2 e δi = δ2. Para M,N ∈ Mm, com

dom(M) ∩ dom(N) = ∅ e grau(MN) = m − n, sejam aM,N ∈ C0 e BM,N : SMN −→ Q uma

aplicação, e para L ∈ Mm seja λL : SL −→ C + Cω uma aplicação. Suponha que essas aplicações

são tais que ∑M,N

aM,NMBMNM,NN +

∑L

λLLL = 0.

Dena u = mingrau(M) | aM,NBM,N 6= 0 para algum N e suponha que, para todo M,N tal

que aM,NBM,N 6= 0, existem P = P (M,N), Q = Q(M,N) ∈ Mm, com dom(P ) ∩ dom(Q) = ∅ egrau(PQ) = m−n, tais que grau(P ) = u, BM,N = BP,Q e aP,Q ∈ C∗0 . Além disso, assuma que ou Ué m-livre e λ1 = 0, ou U é (m+ 1)-livre. Então λL = 0, para todo L ∈Mm, com grau(L) < m− n,e se aM,NBM,N 6= 0, existem aplicações µM,K,N : SMKN −→ C + Cω, K ∈Mm(MN), tais que

BMNM,N =

∑K∈Mm(MN)

µMKNM,K,NK.

Além disso, se BM,N : SMN −→ Qi, i = 0, 1, então, µM,K,N : SMKN −→ Ct + Ctω, onde t =|1− εK − 2i|

2.

6.3 Superhomomorsmos de Jordan em superálgebras

Como uma aplicação da teoria de identidades funcionais em superálgebras, apresentamos nal-

mente um resultado tratando dos superhomomorsmos de Jordan.

Vamos recordar algumas notações e denições já xadas. Seja A = A0 ⊕A1 uma superálgebra.

Para a, b ∈ A, [a, b] (respectivamente, a b) denota o comutador (respectivamente, o produto de

Jordan) e [a, b]s (respectivamente, asb) denota o supercomutador (respectivamente, o superproduto

de Jordan). Sejam B = B0 ⊕ B1 uma superálgebra e I = I0 ⊕ I1 uma supersubálgebra de Jordan

graduada de A, isto é, I é um Φ-submódulo graduado de A, tal que para x, y ∈ I, temos xs y ∈ I.Uma aplicação graduada Φ-linear α : I → B é um superhomomorsmo de Jordan se

α(x s y) = α(x) s α(y),

para todos x, y ∈ I. Efetuando alguns cálculos, pode-se vericar a validade da seguinte identidade

[[s, t]s, u]s = s s (t s u)− (−1)|t||s|t s (s s u),

para todos s, t, u ∈ I0 ∪ I1, o que implica que, se α é um superhomomorsmo de Jordan, então,

α([[s, t]s, u]s) = α(s s (t s u)− (−1)|t||s|t s (s s u))

= α(s) s (α(t) s α(u))− (−1)|α(t)||α(s)|α(t) s (α(s) s α(u))

= [[α(s), α(t)]s, α(u)]s,

isto é,

α([[s, t]s, u]s) = [[α(s), α(t)]s, α(u)]s. (6.36)


Seja Q = Q0⊕Q1 uma superálgebra com identidade e centro C = C0⊕C1. Assim como denimos

na seção anterior, ω denotará o elemento graduante de Q. Se a = b+ cω, onde b, c ∈ C, xamos

a = b − cω. Observe que, pelas propriedades de ω, se x0 ∈ Q0 e x1 ∈ Q1, então, ax0 = x0a e

ax1 = x1a. Além disso, claramente a = a.

Já estamos em condições de provar o seguinte teorema. Observemos que a seguir, a expressão

soma direta tem o mesmo signicado da seção anterior, isto é, existe um idempotente central

ε ∈ Q, tal que x 7→ εx é um superhomomorsmo, e x 7→ (1− ε)x é um superantihomomorsmo.

Teorema 6.3.1. (Yao Wang e Yu Wang, [33]) Sejam A = A0⊕A1 uma superálgebra e Q = Q0⊕Q1

uma superálgebra com identidade e centro C = C0⊕C1. Se α : A → Q é um superhomomorsmo de

Jordan tal que α(A) é um subconjunto 4-superlivre de Q, então, α é soma direta de um superho-

momorsmo com um superantihomomorsmo.

Demonstração. Por hipótese, de (6.36), obtemos

[[α(x), α(y)]s, α([z, w]s)]s = α([[x, y]s, [z, w]s]s)

= ±α([[z, w]s, [x, y]s]s)

= ±[[α(z), α(w)]s, α([x, y]s)]s

= [α([x, y]s), [α(z), α(w)]s]s,

para todos x, y, z, w ∈ A0 ∪ A1, o que reescrevemos do seguinte modo

[[α(x), α(y)]s, B(z, w)]s = [B(x, y), [α(z), α(w)]s]s, (6.37)

para todos x, y, z, w ∈ A0 ∪ A1, onde B(x, y) = α([x, y]s). Assim, como α(A) é um subconjunto

4-superlivre de Q, segue do Teorema 6.2.1, que B é uma superquasi-polinomial, isto é,

B(x0, y0) = λ10α(x0)α(y0) + λ1

1α(y0)α(x0) + µ11(x0)α(y0)

+µ12(y0)α(x0) + γ1(x0, y0),

(6.38)

B(x0, y1) = λ20α(x0)α(y1) + λ2

1α(y1)α(x0) + µ21(x0)α(y1)

+µ22(y1)α(x0) + γ2(x0, y1),

(6.39)

B(x1, y1) = λ30α(x1)α(y1) + λ3

1α(y1)α(x1) + µ31(x1)α(y1)

+µ32(y1)α(x1) + γ3(x1, y1),

(6.40)

para todos x0, y0 ∈ A0, x1, y1 ∈ A1, onde λi0, λi1 ∈ C0 + C0ω, i = 1, 2, 3, µ1

1, µ21, µ

12 : A0 → C0 + C0ω,

µ31, µ

22, µ

32 : A1 → C1 + C1ω, γ1 : A2

0 → C0 + C0ω, γ2 : A0×A1 → C1 + C1ω, e γ3 : A21 → C0 + C0ω. Em

particular, de (6.37), obtemos

[[α(x0), α(y0)]s, B(z0, w0)]s = [B(x0, y0), [α(z0), α(w0)]s]s, (6.41)

para todos x0, y0, z0, w0 ∈ A0. Agora, substituindo (6.38) em (6.41), da última igualdade encontrada,

temos que

• o coeciente de α(x0)α(y0)α(w0)α(z0) é λ10 + λ1

1;

• o coeciente de α(x0)α(y0)α(w0) é µ11(z0);


• o coeciente de α(x0)α(y0)α(z0) é µ12(w0).

Desse modo, como α(A) é 4-superlivre e o coeciente central da superquasi-polinomial, dada

pela substituição anterior, é igual a 0, resulta λ10 + λ1

1 = 0 e que µ11 = µ1

2 = 0, pelo Lema 6.2.1.

Assim,α([x0, y0]s) = B(x0, y0)

= λ10[α(x0), α(y0)] + γ1(x0, y0), para todos x0, y0 ∈ A0.

Analogamente, por (6.37), temos


para todos x0, z0 ∈ A0, y1, w1 ∈ A1. Portanto, substituindo (6.39) em (6.42), da igualdade imedia-

tamente obtida, segue que

• o coeciente de α(x0)α(y1)α(w1)α(z0) é λ21 + λ2

0;

• o coeciente de α(x0)α(y1)α(z0)α(w1) é λ20 − λ2

0;

• o coeciente de α(x0)α(y1)α(w1) é µ21(z0);

• o coeciente de α(x0)α(y1)α(z0) é µ22(w1).

Assim, pelo Lema 6.2.1, temos λ21 +λ2

0 = 0, λ20−λ2

0 e µ21 = µ2

2 = 0, o que implica λ20 = −λ2

1 ∈ C0,

pois é igual ao seu conjugado, e µ21 = µ2

2 = 0. Logo,

α([x0, y1]s) = B(x0, y1)

= λ20[α(x0), α(y1)] + γ2(x0, y1), para todos x0 ∈ A0 e y1 ∈ A1.

Agora, por (6.37), temos


para todos x0, y0, z0 ∈ A0 e w1 ∈ A1. Substituindo (6.38) e (6.39) em (6.43), da identidade obtida

podemos concluir que o coeciente de α(x0)α(y0)α(z0)α(w1) é λ20 − λ1

0. Desse modo, pelo Lema

(6.2.1), temos λ20 = λ1

0. Além disso, como

B(x1, y0) = α([x1, y0]s) = −α([y0, x1]s)

= −B(y0, x1), para todos x1 ∈ A1 e y0 ∈ A0,

as seguintes igualdades são válidas:

α([x1, y0]s) = B(x1, y0) = −B(y0, x1)

= −λ20[α(y0), α(x1)]− γ2(y0, x1)

= λ10[α(x1), α(y0)]− γ2(y0, x1), para todos x1 ∈ A1 e y0 ∈ A0.

Finalmente, por (6.37), obtemos uma última igualdade:



para todos z0 ∈ A0 e x1, y1, z1 ∈ A1. Assim, substituindo ambos (6.39) e (6.40) em (6.44), da

igualdade obtida segue que

• o coeciente de α(x1)α(y1)α(w1)α(z0) é −λ10 + λ3

0;

• o coeciente de α(y1)α(x1)α(z0)α(w1) é λ10 − λ3

1;

• o coeciente de α(x1)α(z0)α(w1) é µ32(y1);

• o coeciente de α(y1)α(z0)α(w1) é µ31(x1).

Portanto, pelo Lema 6.2.1, obtemos λ10 = λ3

0 = λ31 e µ3

1 = µ32 = 0. Assim,

α([x1, y1]s) = B(x1, y1)

= λ10[α(x1), α(y1)]s + γ3(x1, y1), para todos x1, y1 ∈ A1.

Fixe λ = λ10. As identidades anteriores podem ser reescritas como

α([x, y]s) = λ[α(x), α(y)]s + γ(x, y), (6.45)

para todos x, y ∈ A0 ∪ A1, onde γ : A2 → C + Cω é uma aplicação (γ alterna entre γ1, γ2 e γ3).

Desse modo, como α é um superhomomorsmo de Jordan, vale α(x s y) = α(x) s α(y), para

x, y ∈ A0 ∪ A1. Reescrevendo esta igualdade, temos

α(xy) = α(x)α(y) + (−1)|α(x)||α(y)|α(y)α(x)− (−1)|x||y|α(yx).

Logo, por (6.45), segue

α(xy) = λα(x)α(y)− (−1)|α(x)||α(y)|λα(y)α(x) + γ(x, y) + (−1)|x||y|α(yx).

Somando membro a membro essas duas últimas igualdades e usando o fato que α preserva a

Z2-graduação, chegamos a

α(xy) = εα(x)α(y) + (−1)|x||y|ε′α(y)α(x) +1

2γ(x, y),

onde ε = 12(1 + λ) e ε′ = 1

2(1− λ), e portanto ε+ ε′ = 1.

Agora, para x0 ∈ A0 e x, z ∈ A0 ∪ A1, vamos calcular, de dois modos distintos, α(x0yz). Por

um lado, temos

α((x0y)z) = εα(x0y)α(z) + (−1)|y||z|ε′α(z)α(x0y) + 12γ(x0y, z)

= ε2α(x0)α(y)α(z) + εε′α(y)α(x0)α(z) + 12εγ(x0, y)α(z)

+(−1)|y||z|εε′α(z)α(x0)α(y) + (−1)|y||z|ε′2α(z)α(y)α(x0)

+(−1)|y||z| 12ε′α(z)γ(x0, y) + 1

2γ(x0y, z),


onde λ = λ10 = λ2

0 ∈ C0, e portanto, ε e ε′ pertencem a C0. Por outro lado, também temos

α(x0(yz)) = εα(x0)α(yz) + ε′α(yz)α(x0) + 12γ(x0, yz)

= ε2α(x0)α(y)α(z) + (−1)|y||z|εε′α(x0)α(z)α(y) + 12εγ(y, z)α(x0)

+εε′α(y)α(z)α(x0) + (−1)|y||z|ε′2α(z)α(y)α(x0) + 12ε′γ(y, z)α(x0)

+12γ(x0, yz).

Comparando estas duas expressões, obtemos

εε′[α(y), [α(x0), α(z)]]s + 12εγ(x0, y)α(z) + (−1)|y||z| 12ε

′α(z)γ(x0, y)− 12γ(y, z)α(x0)

= −12(γ(x0y, z)− γ(x0, yz)),

ou seja,εε′[α(y), [α(x0), α(z)]]s + 1

2εγ(x0, y)α(z)

+(−1)|y||z| 12ε′α(z)γ(x0, y)− 1

2γ(y, z)α(x0) ∈ C + Cω.(6.46)

Em particular, tomando z = z0 ∈ A0 em (6.46), segue

εε′[α(y), [α(x0), α(z0)]]s +1

2γ(x0, y)α(z0)− 1

2γ(y, z0)α(x0) ∈ C + Cω,

para todos x0, z0 ∈ A0 e y ∈ A0 ∪ A1, pois α(z0) ∈ Q0 e γ(x0, y) ∈ C + Cω. Observe que essa

última pertinência, resulta em uma I.F. que iguala uma superquasi-polinomial em 3 variáveis a 0.

Portanto, pelo Lema 6.2.1, seguem εε′ = 0 e γ(y, z0) = 0, para todos y ∈ A0 ∪ A1 e z0 ∈ A0.

Analogamente, tomando z = z1 ∈ A1 em (6.46), obtemos

εε′[α(y), [α(x0), α(z1)]]s +1

2(εγ(x0, y) + (−1)|y|ε′γ(x0, y))α(z1)− 1

2γ(y, z0)α(x0) ∈ C + Cω,

e novamente aplicando o Lema 6.2.1, concluímos γ(y, z1) = 0, para todos y ∈ A0 ∪ A1 e z1 ∈ A1.

Assim, γ(y, z) = 0, para quaisquer y, z ∈ A0 ∪ A1, isto é, γ é identicamente nula.

Além disso, ε e ε′ são idempotentes contidos no centro deQ. De fato, já observamos anteriormente

ε, ε′ ∈ C0. Assim, como εε′ = 0 e ε+ ε′ = 1, obtemos

ε = ε(ε+ ε′) = ε2 e

ε′ = ε′(ε+ ε′) = ε′2.

Agora, temos

α(xy) = εα(x)α(y) + (−1)|x||y|ε′α(y)α(x),

para todos x, y ∈ A0∪A1. Denindo α1 : A → Q por α1(x) = εα(x), para todo x ∈ A, e α2 : A → Qpor α2(x) = ε′α(x), para qualquer x ∈ A, segue que α1 e α2 são aplicações Φ-lineares que preservam

a Z2-graduação, satisfazendo

α1(xy) = εα(xy) = ε(εα(x)α(y) + (−1)|x||y|ε′α(y)α(x))

= (εα(x))(εα(y)) = α1(x)α1(y) e


α2(xy) = ε′α(xy) = ε′(εα(x)α(y) + (−1)|x||y|ε′α(y)α(x))

= (−1)|x||y|(ε′α(y))(ε′α(x)) = (−1)|x||y|α2(y)α2(x),

ou seja, α1 é um superhomomorsmo e α2 é um superantihomomorsmo. Desse modo, existe um

idempotente central ε, tal que α(x) = εα(x) + (1− ε)α(x), para todo x ∈ A, εα é um superhomo-

morsmo e ε′α é um superantihomomorsmo.

Dando sequência, analogamente ao que foi feito na primeira seção deste capítulo, desejamos

demonstrar uma generalização do Corolário 6.1.2. No entanto, nos restringiremos às superderivações

de Jordan de grau 0. Inicialmente, é necessário que façamos a seguinte generalização do Lema 6.1.2.

Vale ressaltar que os próximos resultados são inéditos.

Lema 6.3.1. Se A = A0 ⊕ A1 é um Φ-submódulo graduado d-superlivre da superálgebra Q =

Q0 ⊕Q1, com identidade e centro C = C0 ⊕ C1, e δ : A → Q é uma aplicação Φ-linear, que preserva

a Z2-graduação, então, A = (x, δ(x)) | x ∈ A é um Φ-submódulo graduado d-superlivre de Q,onde Q = Q×Q é a superálgebra com as operações

• (x, y) + (z, w) = (x+ z, y + w),

• k(x, y) = (kx, ky),

• (x, y)(z, w) = (xz, xw + yz),

para todos x, y, z, w ∈ Q, para todo k ∈ Φ (Q é uma álgebra sobre um anel comutativo Φ, tal que12 ∈ Φ), e com a Z2-graduação Q0 = Q0 ×Q0, Q1 = Q1 ×Q1.

Demonstração. Iniciamos por observar que, de fato, Q0 e Q1 denem uma Z2-graduação de Q,pois estes são Φ-submódulos de Q (já que Q0 e Q1 são Φ-submódulos de Q), tais que, para cada

(x, y) ∈ Q,(x, y) = (x0 + x1, y0 + y1) = (x0, y0) + (x1, y1) ∈ Q0 + Q1,

Q0 ∩ Q1 = (Q0 ×Q0) ∩ (Q1 ×Q1) = (Q0 ∩Q1)× (Q0 ∩Q1) = 0× 0 = 0 e

QiQj ⊆ Qi+j(mod 2). Também temos que A é um Φ-submódulo, pois δ é uma aplicação Φ-linear, e

se (x, δ(x)) ∈ A, como δ preserva a Z2-graduação, segue que valem

σ(x, δ(x)) = σ((x0, δ(x0)) + (x1, δ(x1)))

= (x0, δ(x0))− (x1, δ(x1))

= (σ(x), δ(σ(x))) ∈ A,

onde σ é o automorsmo denido pela Z2-graduação de Q e σ é o automorsmo denido pela

Z2-graduação de Q, pois σ(A) = A, uma vez que A é graduado. Logo, σ(A) ⊆ A, o que implica

σ2(A) ⊆ σ(A). Portanto, A ⊆ σ(A), pois σ2 = idQ. Logo, A é graduado.

Agora, vamos provar somente a condição (a) da Denição 6.2.1, pois a demonstração de (b) é aná-

loga. Sejam m um inteiro positivo e I,J ⊆ 1, 2, . . . ,m subconjuntos, tais que max|I|, |J | ≤ d.Para cada i ∈ 1, 2, . . . ,m, considere conjuntos Ui, tais que Ui = A0 = A∩Q0 = (x0, δ(x0)); x0 ∈


A0 ou Ui = A1 = A ∩ Q1 = (x1, δ(x1)); x1 ∈ A1. Sejam Ei : Ui → Q, Fj : U j → Q aplicações, e

consideremos a identidade funcional∑i∈I

Ei(uim)ui +

∑j∈J

ujFj(ujm) = 0. (6.47)

Desejamos provar que esta I.F. possui apenas a solução padrão. Para cada i, ui = (xi, δ(xi)),

onde xi ∈ A0 ou xi ∈ A1. Desse modo, ui é univocamente determinado por xi, o que nos permite

escrever

Ei(uim) = (Ei(x

im), Gi(x

im)),

Fj(ujm) = (Fj(x

jm), Hj(x

jm)),

onde Ei, Gi : V i → Q e Fj , Hj : V j → Q são aplicações, V =m∏i=1

Vi, Vi = A0 ou Vi = A1. Substi-

tuindo na I.F. (6.47), temos∑i∈I

(Ei(xim), Gi(x

im))(xi, δ(xi)) +

∑j∈J

(xj , δ(xj))(Fj(xjm), Hj(x

jm)) = 0,

isto é,∑i∈I

(Ei(xim)xi, Ei(x

im)δ(xi) +Gi(x

im)xi) +

∑j∈J

(xjFj(xjm), xjHj(x

jm) + δ(xj)Fj(x

jm)) = 0,

de onde retiramos duas identidades funcionais:∑i∈I

Ei(xim)xi +

∑j∈J

xjFj(xjm) = 0, (6.48)

∑i∈IEi(xim)δ(xi) +Gi(x

im)xi+

∑j∈Jδ(xj)Fj(xjm) + xjHj(x

jm) = 0. (6.49)

A seguir, dividiremos a demonstração em dois casos. Primeiramente, assumimos ω = 0 (o

elemento graduante de Q é nulo), ou Ui = A0, para todo i ∈ 1, 2, . . . ,m. Certamente a segunda

premissa implica Vi = A0, para todo i ∈ 1, 2, . . . ,m. Agora, ω = 0 implica σ = idQ ou σ é um

automorsmo externo. Para (x, y) ∈ Q, temos

σ(x, y) = σ((x0, y0) + (x1, y1))

= (x0, y0)− (x1, y1) = (x0 − x1, y0 − y1)

= (σ(x), σ(y)),

então, σ = idQ implica σ = idQ. Se σ é um automorsmo interno, então σ(a) = ωaω−1, para todo

a ∈ Q (ω é um elemento graduante de Q). Desse modo, denindo ρ = (ω, 0) ∈ Q, temos

ρ(ω−1, 0) = (ω, 0)(ω−1, 0) = (ωω−1, 0) = (1, 0),


isto é, ρ é invertível e ρ−1 = (ω−1, 0). Além disso, para todo (x, y) ∈ Q,

ρ(x, y)ρ−1 = (ω, 0)(x, y)(ω−1, 0)

= (ωx, ωy)(ω−1, 0)

= (ωxω−1, ωyω−1) = (σ(x), σ(y))

= σ(x, y).

Portanto, σ é um automorsmo interno. As observações anteriores provam que ω = 0 implica

σ = idQ ou σ é externo, o que implica σ = idQ ou σ é externo, e concluímos ω = 0. Assim, estamos

no caso em que vale ω = 0 ou Vi = A0, para todo i. Logo, como A é um submódulo graduado

d-superlivre de Q, concluímos que a identidade funcional de (6.48) possui apenas a solução padrão:

Ei(xim) =

∑j∈Jj 6=i

xjpij(xijm) + λi(x

im),

Fj(xjm) = −

∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)xi − λj(xjm),

onde pij : V ij → Q, λk : V k → C + Cω, e λk = 0 se k /∈ I ∩ J .Substituindo na identidade funcional de (6.49), segue∑

i∈I

∑j∈Jj 6=i

xjpij(xijm)δ(xi) +

∑i∈I

λi(xim)δ(xi) +

∑i∈I

Gi(xim)xi

−∑j∈J

∑i∈Ii 6=j


∑j∈J

δ(xj)λj(xjm) +

∑j∈J

xjHj(xjm) = 0.

Desse modo, como estamos no caso em que vale ω = 0 ou Vi = A0, para todo i, e δ preserva a

Z2-gradução, temos λi(xim)δ(xi) = δ(xi)λi(xim) (recordemos que o elemento graduante comuta com

os elementos de grau 0 e anticomuta com os elementos de grau 1), para cada i ∈ I ∩ J . Portanto,concluímos a validade de ∑

i∈Iλi(x

im)δ(xi)−

∑j∈J

δ(xj)λj(xjm) = 0.

Logo, rearranjando os somatórios, segue

∑i∈I


δ(xj)pij(xijm)

xi +∑j∈J

xj

Hj(xjm) +

∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)δ(xi)

= 0.

de onde obtemos uma nova identidade funcional. Assim, como A é d-superlivre e estamos no caso

ω = 0 ou Vi = A0, para todo i, essa identidade funcional possui apenas a solução padrão

Gi(xim)−

∑j∈Jj 6=i

δ(xj)pij(xijm) =

∑j∈Jj 6=i

xjqij(xijm) + µi(x

im),


Hj(xjm) +

∑i∈Ii 6=j


∑i∈Ii 6=j

qij(xijm)xi − µj(xjm),

onde qij : V ij → Q, µk : V k → C + Cω.Agora, dena pij : U ij → Q e λk : Uk → C + Cω por

pij(uijm) = (pij((x)ijm), qij(x

ijm)),

λk(ukm) = (λk(x

km), µk(x

km)),

para todos uijm ∈ U ij , ukm ∈ Uk. Observe que se k /∈ I∩J , λk = (0, 0). Além disso, λk(Uk) ⊆ C+ Cω.De fato, λk(Uk) ⊆ (C + Cω)× (C + Cω) ⊆ C + Cω, pois

(C + Cω)× (C + Cω) 3 (a+ bω, c+ dω) = (a, c) + (bω, dω)

= (a, c) + (b, d)(ω, 0)

= (a, c) + (b, d)ω ∈ (C × C) + (C × C)ω

.

Observamos também que um elemento graduante de Q é ω = (ω, 0). Para tanto, já sabemos que

se ω = 0, então, ω = 0 e logo ω = (0, 0) = (ω, 0). Se ω 6= 0, então, σ é um automorsmo interno,

isto é, existe ρ = (a, b) ∈ Q invertível, tal que

σ(x, y) = ρ(x, y)ρ−1, para todo (x, y) ∈ Q.

Fazendo alguns cálculos, sendo (1, 0) a identidade de Q, concluímos ρ−1 = (a−1,−a−1ba−1), de

onde segueσ(x, y) = (a, b)(x, y)(a−1,−a−1ba−1)

= (ax, ay + bx)(a−1,−a−1ba−1)

= (axa−1,−axa−1ba−1 + aya−1 + bxa−1),

para todo (x, y) ∈ Q. Entretanto, como σ(x, y) = (σ(x), σ(y)), podemos concluir σ(x) = axa−1,

para todo x ∈ Q. Logo, σ é automorsmo interno e 0 6= a é um elemento graduante de Q. Assim,

como ρ é um elemento graduante de Q, temos também que ρ comuta com os elementos de Q0

e anticomuta com os elementos de Q1, ou seja, (a, b)(x0, y0) = (x0, y0)(a, b) e (a, b)(x1, y1) =

−(x1, y1)(a, b). Estas igualdades implicam ax0 = x0a, bx0 = x0b, ax1 = −x1a e bx1 = −x1b,

para todos x0, y0 ∈ Q0, x1, y1 ∈ Q1. Desse modo, ax = σ(x)a e bx = σ(x)b, para todo x ∈ Q(σ(x) = x0 − x1), o que nos permite concluir

σ(x, y) = (axa−1,−axa−1ba−1 + aya−1 + bxa−1)

= (axa−1,−σ(x)ba−1 + aya−1 + σ(x)ba−1)

= (axa−1, aya−1)

= (a, 0)(x, y)(a−1, 0),

para todo (x, y) ∈ Q. Portanto, podemos tomar como um elemento graduante de Q, ω = (ω, 0),

onde ω é um elemento graduante de Q. Finalmente, pelo Lema 6.1.2, já sabemos que vale C×C = C,o que prova aquilo que queríamos.


Denidas as aplicações pij e λk, seguem as igualdades

Ei(uim) = (Ei(x

im), Gi(x

im))

=

∑j∈Jj 6=i

xjpij(xijm) + λi(x

im),

∑j∈Jj 6=i


ijm)] + µi(x

im)

=

∑j∈Jj 6=i

xjpij(xijm),

∑j∈Jj 6=i

δ(xj)pij(xijm) + xjqij(x

ijm)

+ (λi(xim), µi(x

im))

=∑j∈Jj 6=i

(xjpij(xijm), δ(xj)pij(x

ijm) + xjqij(x

ijm)) + λi(u

im)

=∑j∈Jj 6=i


ijm)) + λi(u

im)

=∑j∈Jj 6=i

uj pij(uijm) + λi(u

im).

Analogamente,

Fj(ujm) = (Fj(x

jm), Hj(x

jm))

=

−∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)xi − λj(xjm),−

∑i∈Ii 6=j


ijm)xi]− µj(xjm)

=

−∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)xi,−

∑i∈Ii 6=j


ijm)xi]

− (λj(xjm), µj(x

jm))

= −∑i∈Ii 6=j

(pij(xijm)xi, pij(x

ijm)δ(xi) + qij(x

ijm)xi)− λj(ujm)

= −∑i∈Ii 6=j

(pij(xijm), qij(x

ijm))(xi, δ(xi))− λj(ujm)

= −∑i∈Ii 6=j

pij(uijm)ui − λj(ujm).

Portanto, neste primeiro caso, a I.F. em (6.47) possui apenas a solução padrão. Prosseguimos,

então, para o segundo caso. Suponha ω 6= 0 e que exista i ∈ 1, 2, . . . ,m, tal que Ui = A1. Sabemos,

que vale ω 6= 0 (ω = (ω, 0)) e que existe i ∈ 1, 2, . . . ,m, tal que Vi = A1. Desse modo, retornamos

às identidades funcionais de (6.48) e de (6.49). Neste caso, como A é d-livre em Q, a I.F. em (6.48)

possui apenas a seguinte solução padrão

Ei(xim) =

∑j∈Jj 6=i

xjpij(xijm) + λi(x

im) + µi(x

im)ω,


Fj(xjm) = −

∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)xi − λj(xjm)− εjµj(xjm)ω,

onde pij : V ij → Q, λk, µk : V k → C, λk = µk = 0, se k /∈ I ∩ J , εj = 1, se Vj = A0, e εj = −1, se

Vj = A1.

Substituindo em (6.49), obtemos∑i∈I

∑j∈Jj 6=i

xjpij(xijm)δ(xi) +

∑i∈I

λi(xim)δ(xi) +

∑i∈I

µi(xim)ωδ(xi) +

∑i∈I

Gi(xim)xi

−∑j∈J

∑i∈Ii 6=j


∑j∈J

δ(xj)λj(xjm)−

∑j∈J

δ(xj)εjµj(xjm)ω +

∑j∈J

xjHj(xjm) = 0.

Agora, como λk(xkm) ∈ C e λk = 0, se k /∈ I ∩ J , temos∑i∈I

λi(xim)δ(xi)−

∑j∈J

δ(xj)λj(xjm) = 0.

Além disso, µk(xkm) ∈ C e µk = 0, se k /∈ I ∩ J . Se Vk = A0, então, como δ é uma aplicação

graduada, segue δ(xk) ∈ Q0 e εk = 1. Logo,

µk(xkm)ωδ(xk)− δ(xk)εkµk(xkm) = 0;

e se Vk = A1, então, δ(xk) ∈ Q1 e εk = −1. Assim, novamente temos a igualdade anterior. Estas

observações implicam ∑i∈I

µi(xim)ωδ(xi)−

∑j∈J

δ(xj)εjµj(xjm)ω = 0.

Reescrevendo os somatórios, obtemos a seguinte I.F.

∑i∈I


δ(xj)pij(xijm)

xi+

+∑j∈J

xj

Hj(xjm) +

∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)δ(xi)

= 0.

Assim, como A é d-superlivre em Q, concluímos que a última identidade funcional possui apenas

a solução padrão.

Gi(xim)−

∑j∈Jj 6=i

δ(xj)pij(xijm) =

∑j∈Jj 6=i

xjqij(xijm) + αi(x

im) + βi(x

im)ω,

Hj(xjm) +

∑i∈Ii 6=j


∑i∈Ii 6=j

qij(xijm)xi − αj(xjm)− εjβj(xjm)ω,

onde qij : V ij → Q, αk, βk : V k → C, αk = βk = 0, se k /∈ I ∩ J .


Prosseguindo, dena pij : U ij → Q, λk, µk : Uk → C por

pij(uijm) = (pij((x)ijm), qij(x

ijm)),

λk(ukm) = (λk(x

km), αk(x

km)),

µk(ukm) = (εkµk(x

km), εkβk(x

km)),

para todos uijm ∈ U ij , ukm ∈ Uk. Observe que, se k /∈ I ∩ J , então, λk = µk = (0, 0). Além disso,

λk(Uk), µk(U

k) ⊆ C = C × C. Finalmente, segue

Ei(uim) = (Ei(x

im), Gi(x

im))

=

∑j∈Jj 6=i

xjpij(xijm) + λi(x

im) + εiµi(x

im)ω,

∑j∈Jj 6=i


ijm)] + αi(x

im) + εiβi(x

im)ω

=

∑j∈Jj 6=i

xjpij(xijm),

∑j∈Jj 6=i

δ(xj)pij(xijm) + xjqij(x

ijm)

+ (λi(xim), αi(x

im))+

+(εiµi(xim), εiβi(x

im))(ω, 0)

=∑j∈Jj 6=i

(xjpij(xijm), δ(xj)pij(x

ijm) + xjqij(x

ijm)) + λi(u

im) + µi(u

im)ω

=∑j∈Jj 6=i


ijm)) + λi(u

im) + µi(u

im)ω

=∑j∈Jj 6=i

uj pij(uijm) + λi(u

im) + µi(u

im)ω.


Analogamente,

Fj(ujm) = (Fj(x

jm), Hj(x

jm))

=

−∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)xi − λj(xjm)− εjµj(xjm)ω,

−∑i∈Ii 6=j


ijm)xi]− αj(xjm)− εjβj(xjm)ω

=

−∑i∈Ii 6=j

pij(xijm)xi,−

∑i∈Ii 6=j


ijm)xi]

− (λj(xjm), αj(x

jm))

−(εjµj(xjm), εjβj(x

jm))(ω, 0)

= −∑i∈Ii 6=j

(pij(xijm)xi, pij(x

ijm)δ(xi) + qij(x

ijm)xi)− λj(ujm)− µj(ujm)ω

= −∑i∈Ii 6=j

(pij(xijm), qij(x

ijm))(xi, δ(xi))− λj(ujm)− µj(ujm)ω

= −∑i∈Ii 6=j

pij(uijm)ui − λj(ujm)− µj(ujm)ω.

Portanto, neste segundo caso, a I.F. de (6.47) também possui apenas a solução padrão.

Finalmente, estamos em condições de provar o seguinte

Corolário 6.3.1. Seja Q = Q0 ⊕ Q1 uma superálgebra com identidade e centro C = C0 ⊕ C1. Se

A = A0 ⊕A1 é uma subálgebra de Jordan graduada 4-superlivre de Q, então, toda superderivação

de Jordan de grau 0, δ : A → Q, é uma superderivação de grau 0.

Demonstração. Seja δ : A → Q uma superderivação de Jordan de grau 0. Considere Q = Q×Q a

superálgebra como no Lema 6.3.1. Dena α : A → Q, tal que α(x) = (x, δ(x)), para todo x ∈ A.Vamos provar que α é um superhomomorsmo de Jordan.

(i) α é Φ-linear:

α(kx+ y) = (kx+ y, δ(kx+ y))

= (kx, kδ(x)) + (y,+δ(y))

= kα(x) + α(y).

(ii) α preserva a Z2-graduação:

• x0 ∈ A0 implica que α(x0) = (x0, δ(x0)) ∈ Q0 ×Q0 = Q0;

• x1 ∈ A1 implica que α(x1) = (x1, δ(x1)) ∈ Q1 ×Q1 = Q1.


(iii) Para todos x, y ∈ A0 ∪ A1, temos

α(x s y) = (x s y, δ(x s y))

=(

12xy + 1

2(−1)|x||y|yx, δ(x) s y + x s δ(y))

=(

12xy + 1

2(−1)|x||y|yx, 12δ(x)y + 1

2(−1)|δ(x)||y|yδ(x) + 12xδ(y)+

+12(−1)|x||δ(y)|δ(y)x

)= 1

2

(xy + (−1)|x||y|yx, δ(x)y + (−1)|x||y|yδ(x) + xδ(y)+

+(−1)|x||y|δ(y)x)

= 12 (xy, δ(x)y + xδ(y)) + 1

2(−1)|x||y| (yx, yδ(x) + δ(x)y)

= 12 (x, δ(x)) (y, δ(y)) + 1

2(−1)|(x,δ(x))||(y,δ(y))|(y, δ(y))(x, δ(x))

= (x, δ(x)) s (y, δ(y))

= α(x) s α(y).

Aplicando o Lema 6.3.1, como δ é uma superderivação de Jordan de grau 0, temos que A =

(x, δ(x)) | x ∈ A = α(A) é um Φ-submódulo graduado 4-superlivre de Q, e como α é um superho-

momorsmo de Jordan, segue do Teorema 6.3.1, que α é a soma direta de um superhomomorsmo

com um superantihomomorsmo. Desse modo, existe ε ∈ C um idempotente, tal que x 7→ εα(x) é

um superhomomorsmo, x 7→ (1− ε)α(x) é um superantihomomorsmo, e

α(xy) = εα(x)α(y) + (−1)|x||y|(1− ε)α(y)α(x),

para todos x, y ∈ A0 ∪ A1.

Seja ε′ = (1 − ε), vamos provar que vale ε′ = (ω, 0), onde ω é um idempotente central de Q.Note que, como ε′ = (a, b) ∈ Q, temos que para todo (c, d) ∈ Q, segue (a, b)(c, d) = (c, d)(a, b),

isto é, (ac, ad + bc) = (ca, cb + da), de onde concluímos a ∈ C = Z(Q). Desse modo, bc = cb, e

portanto também temos b ∈ C. Além disso, como ε′ é idempotente, segue (a, b)(a, b) = (a, b), ou seja,

(a2, ab+ba) = (a, b). Logo, a2 = a, ou seja, a é um idempotente, e 2ab = b implica ab = 2a2b = 2ab,

isto é, ab = 0, e consequentemente b = 0. Portanto, ε′ tem a forma desejada.

Dados x, y ∈ A0 ∪ A1, temos ε′α(xy) = (−1)|x||y|ε′α(y)α(x), o que nos permite concluir ωxy =

(−1)|x||y|ωyx, e nos conduz à seguinte I.F.

ωxy − (−1)|x||y|ωyx = 0.

Como A é 4-superlivre, então, A é 2-superlivre, e pelo Lema 6.2.1, segue ω = 0. Portanto,

ε′ = (0, 0). Desse modo, temos ε = (1, 0) (o elemento identidade de Q) e α é um superhomomorsmo.

Portanto, para x, y ∈ A0 ∪ A1, são válidas

α(xy) = α(x)α(y)

(xy, δ(xy)) = (x, δ(x))(y, δ(y))

(xy, δ(xy)) = (xy, xδ(y) + δ(x)y).

Logo, δ(xy) = δ(x)y + (−1)0|x|xδ(y), ou seja, δ é uma superderivação de grau 0.

Referências Bibliográcas

[1] G. Ancochea. Le théorem de von staudt en géometrie projective quaternionienne. J. Reine

Angew. Math., 184:192198, 1942.

[2] G. Ancochea. On semi-automorphisms of division algebras. Ann. of Math., 48:147154, 1947.

[3] K. I. Beidar, M. Bre²ar, and M. A. Chebotar. Jordan superhomomorphisms. Comm. Algebra,

31(2):633644, 2003.

[4] K. I. Beidar and M. A. Chebotar. On functional identities and d-free subsets of rings. i. Comm.

Algebra, 28(8):39253951, 2000.

[5] K. I. Beidar and M. A. Chebotar. On functional identities and d-free subsets of rings. ii. Comm.

Algebra, 28(8):39533972, 2000.

[6] K. I. Beidar, A. V. Mikhalev, and M. A. Chebotar. Functional identities in rings and their

applications. Russian Math. Surveys, 59(3):403428, 2004.

[7] M. Bre²ar. Jordan derivations on semiprime rings. Proc. Amer. Math. Soc., 104(4):10031006,

1988.

[8] M. Bre²ar, W. S. Martindale, 3rd, and M. A. Chebotar. Functional Identities. Birkhauser

Verlag, rst edition, 2007.

[9] J. M. Cusack. Jordan derivations on rings. Proceedings of the American Mathematical Society,

53(2):321324, 1975.

[10] M. Fo²ner. Jordan superderivations. Comm. Algebra, 31(9):45334543, 2003.

[11] M. Fo²ner. Jordan superderivations ii. Int. J. Math. Sci., 41-44:23572369, 2004.

[12] C. Gómez-Ambrosi, J. Laliena, and I. P. Shestakov. On the lie structure of the skew elements

of a prime superalgebra with superinvolution. Comm. Algebra, 2:32773291, 2000.

[13] C. Gómez-Ambrosi and F. Montaner. On herstein's constructions relating jordan and associ-

ative superalgebras. Comm. Algebra, 28:37433762, 2000.

[14] C. Gómez-Ambrosi and I. P. Shestakov. On the lie structure of the skew elements of a simple

superalgebra with superinvolution. J. Algebra, 208:4371, 1998.

[15] I. N. Herstein. Jordan homomorphisms. Trans. Amer. Math. Soc., 81:331341, 1956.

[16] I. N. Herstein. Jordan derivations of prime rings. Proc. Amer. Math. Soc., 8:11041110, 1957.

133

134 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 6

[17] I. N. Herstein. Topics in ring theory. The University of Chicago Press, 1969.

[18] I. N. Herstein. Rings with Involution. The University of Chicago Press, 1976.

[19] L. K. Hua. On the automorphisms of a eld. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 35:386389, 1949.

[20] N. Jacobson and C. E. Rickart. Jordan homomorphisms of rings. Trans. Amer. Math. Soc.,

69:479502, 1950.

[21] J. Jolie. Supersimetria. Scientic American Brasil, 3:6067, 2002.

[22] V. G. Kac. Classication of simple z-graded lie superalgebras and simple jordan superalgebras.

Comm. Algebra, 13:13751400, 1977.

[23] V. G. Kac. Lie superalgebras. Advances in Mathematics, 26:896, 1977.

[24] I. Kaplansky. Semi-automorphisms of rings. Duke Math. J., 14:521527, 1947.

[25] W. S. Martindale, 3rd, and W. E. Baxter. Jordan homomorphisms of semiprime rings. J.

Algebra, 56:457471, 1979.

[26] N. H. McCoy. The theory of rings. Chelsea Publishing Company, 1973.

[27] K. McCrimmon. A taste of Jordan Algebras. Springer, rst edition, 2003.

[28] F. Montaner. On the lie structure of associative superalgebras. Comm. Algebra, 26:23372349,

1998.

[29] S. Montgomery. Constructing simple lie superalgebras from associative graded algebras. J.

Algebra, 195:558579, 1997.

[30] I. P. Shestakov. Prime alternative superalgebras of arbitrary characteristic. Algebra and logic,

36:389420, 1997.

[31] M. F. Smiley. Jordan homomorphisms onto prime rings. Trans. Amer. Math. Soc., 84:426429,

1957.

[32] Y. Wang. Functional identities in superalgebras. J. Algebra, 382:144176, 2013.

[33] Y. Wang and Y. Wang. Jordan superhomomorphisms of superalgebras. Comm. Algebra,

42(1):122129, 2014.

instituto de matemticaá e esttístiaca · 0 é comutativa e se v = 0, então, dé uma...

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