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Instituto de Fsica USP
Fsica V - Aula 7 Professora: Maz Bechara

Aula 07 Movimentos na atmofesfera e nos constituintes dos slidos.
1. A distribuio espacial dos gases da atmosfera: (a) desprezando a fora da gravidade; (b) considerando a fora da gravidade constante.
2. Medidas experimentais dos mdulos de velocidade a validao experimental direta da distribuio.
3. Um sistema de N constituintes em movimento MHS unidimensional.
i. A distribuio de energia (Ateno cuidado!) de um sistema MHS unidimensional;
ii. O valor mdia da energia e o cV. iii. O valor mdia da energia e o cV.supondo MHS-tridimensional -
modelo de slidos. 4. Distribuio de energias de MHS supondo energias
quantizadas: e=neo com n=0,1,2,3.. (proposta de Planck nunca antes observada na Fsica!);
i. O valor mdia da energia nos movimentos uni e tridimensionais ;
ii. Calor especfico molar a volume constante (varivel a baixas temperaturas).
Fsica V - Professora: Maz Bechara

Aplicao Na atmosfera terrestre h molculas de H2 (poucas), O2 , He, N2, entre outras.
a)Determine, a partir da distribuio de Boltzmann, a distribuio espacial normalizada desprezando o efeito da gravidade.
b) Idem considerando a gravidade da Terra constante, ou seja, para uma distncia h em relao superfcie da Terra. Discuta as condies para esta ser uma boa aproximao da realidade.
c)Determine o valor mais provvel e o valor mdio da altura h em relao superfcie levando em conta a gravidade. Faa o clculo numrico do valor mdio da dsitncia superfcie da Terra para algum gs da atmosfera. Comente a limitao dos resultados, se houver
d)Determine a o valor mdio da energia potencial gravitacional das molculas da atmosfera. Compare com o resultado da eqipartio de energia e comente.
e)Como a distribuio espacial das molculas nesta sala de aula?
f)As distribuies de mdulo de velocidade so as mesmas ou diferentes para os diversos gases da atmosfera quando se considera a gravidade? E a
distribuio de energia cintica? E a distribuio de energia? Justifique. Fsica V - Professora: Maz Bechara

Distribuio espacial normalizada: molculas na temperatura T e gravidade constante - FAA!
Resultado:
0h H
A ltima expresso
aproximadamente vlida para
mgH>>kT.
Determinao direta da constante k de Boltzmann. Como R pode ser daeterminada independentemente em outro
experimento, esta uma determinao direta de No
kT
mgh
kT
mgh
kT
mgHe
kT
mge
ekT
mg
Ndh
hdNhf
]1[
)()(
Figura do Enge, Wehr, Richards.

Estimativas de grandezas relevantes: H e gravidade constante
Valores numricos das aproximaes: (quando
mgH>>kT e HkT (H) e HkT
para H da ordem de centmetros. E certamente H

Grfico da distribuio espacial normalizada: molculas na
temperatura T e gravidade constante
kT
mgh
ekT
mg
Ndh
hdNhf
)(
)(
Estabeleca a relao matemtica entre a distribuio de altura e a presso !

No experimento de Perrin Resultado:
Levando em conta o empuxo
das bolinhas no liquido.
kT
hmg
liqliq
ekT
mg
Ndh
hdNhf
)1()1()(
)(

Outros resultados da dstribuio espacial de molculas no equilbrio
trmico e gravidade constante faa!
=kT/mg
depende da massa das
Molculas.
==kT
Depende s da temperatura
Vejam que no se aplica a equiparto da energia
para a mdia da energia potencial de interao
gravitacional j que o resultado no kT/2 . Entenda!

Medida direta da distribuio de mdulos de velocidades (temperatura T). Esquema de equipamento para medir distribuio de mdulos de
Molculas. R.C. Miller e P. Kusch, Phys. Rev. 99, 1314 (1955)
L
Lwv
v
L
wt
R seletor de velocidades w escolhido para selecionar v
L e so definidos na construo
Chegam ao detector as molculas que levam t para percorrer a distncia L
Forno na temperatura T

Medida direta da distribuio de mdulos de velocidades (temperatura T).
Esquema de equipamento para medir distribuio de mdulos de Molculas. R.C. Miller e P. Kusch, Phys. Rev. 99, 1314 (1955)
Viva Maxwell! Sem o aval experimental, a cincia jogaria os modelos e teorias no lixo!
L

Modelo mecnico de matria slida
cristalina
Constituintes dos Slidos (no amorfos ou cristalinos) Constituintes (tomos)
iguais ou diferentes
interagindo com vizinhos como se fossem osciladores
harmnicos tridimensionais.
Energias de cada constituinte do slido em torno de sua
posio de equilbrio (0,0,0):
2222222
2
1
2
1
2
1)(
2
1
2
1zkykxkvvvmUmv zyxzyxvibr e

Distribuio de energia - MHS unidimensional
deduo em aula
Energia de um constituinte:
Usando a distribuio de Boltzmann:
Resultado depois de clculos - CUIDADO!!!
222
2
1
2
1
2
1xkmvUmv xxvibr e
kT
xk
kT
mv
x
xx
xx
eAeNdxdv
vxdNvxf 22
22
),(),(
kTekTNd
dNf
e
e
ee
1)(
)(

MHS unidimensional - , U e cV
Energia mdia dos constituintes:
Energia Interna de N constituintes:
Calor Especfico Molar a volume constante:
kT e
NkTNU e
RkTNT
NTT
Uc oo
mol
VcteV
e
1

Slido: MHS tridimensional
Energia mdia dos constituintes:
Energia Interna de N constituintes:
Calor Especfico Molar a volume constante:
Observe: energia interna proporcional
velocidade e calor especfico molar constante!
kT3 e
kTNNU 3 e
RkTNT
NTT
Uc oo
mol
VcteV 33
1
e

Figura do Serway, Moses e Moyer.
cv experimental na matria slida atinge o valor constante em temperatura que depende do slido

Sistemas de muitos osciladores harmnicos unidimensionais com energias quantizadas
O ponto de partida proposta de Planck (1900) (a ser
tratado nas prximas aulas e adotado por Einstein para os
slidos).
Por que? Por que a natureza fsica , surpreendendo o
estabelecido na fsica clssica, seria assim! Vamos ver no
que resulta!
01
2
1
2
2
1
2
1ee nxCmvx
...3,2,1,01 n

Diagrama de energias de sistemas de muitos osciladores harmnicos unidimensionais energias contnuas
(osciladores clssicos) e discretas (proposta de Planck)
O ponto de partida proposta de Planck (1900): eo=h

Sistema de muitos osciladores harmnicos unidimensionais com
energias quantizadas O resultado da distribuio para energias discretas
na teoria de Boltzmann: Obs. Este tratamento foi feita por Einstein com base em proposta de
Planck no qual eo=h.
01
2
1
2
2
1
2
1ee nxCmvx ...3,2,1,01 n
01
1
1
n
kT
n o
e
Ae
101
1
n
kT
n o
Ae
e
kT
nn
n
o
AeN
dNf
eee
1
1
1
)()(
01
1
1
1
1
)()(
n
kT
n
kT
n
n
no
o
e
e
N
dNf
e
e
ee

O calor especfico molar a volume constante dos slidos: sistema de muitos osciladores tridimensionais quantizados
Valor mdio da energia:
O calor especrtico molar a volume constante
1
3
kt
o
o
ee
ee
Saiba demonstrar que quando T tende a zero (ou kT

O calor especfico molar a volume constante dos slidos segundo Planck
O calor especrtico molar a volume constante com
oscilaes quantizadas:
Saiba demonstrar: 1. quando T 0, ou melhor: kT>eo cv 3R, o resultado de Boltzmann sem quantizao da energia.
22
2
]1[
3
kT
kToo
ovo
o
ekT
eN
TNc
e
e
ee

cv experimental na matria slida atinge o valor constante em temperatura que depende do slido (eo
na teoria)

cv em diamante TE a temperatura de Einstein

Modelo mecnico de matria slida cristalina
QUESTO:
Este modelo , no seu
conhecimento, igual para
slidos no condutores

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