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Instituto Brasileiro do Concreto

43º Congresso Brasileiro do Concreto 1

ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO PELO MÉTODO DE SILVA Jr. COM CONCRETO DE

ALTO DESEMPENHO

(1) AGUIRRE, Torrico Francisco

(2) BARBOSA, Plácido

(1) Eng. Civil, Mestrando em Engenharia Civil pela Universidade Federal Fluminense, Professor da

Universidad Mayor de San Simón e Universidad Privada Boliviana. E-mail: [email protected]

(2) Eng. Civil, MSc., Professor da Graduação e Pós-graduação da Universidade Federal Fluminense. E-

mail: [email protected]

RESUMO

Este artigo apresenta ábacos de dimensionamento a flexão composta do Concreto de

Alto Desempenho (CAD), com as curvas tensão x deformação proposta pelo CEB-FIP MC90

[7]. Na formulação apresentada, outros diagramas que mais se aproximan dos resultados

experimentais podem ser adotados. O desenvolvimento é feito pelo método proposto por

Jayme Ferreira da Silva Jr [13], ou como mais conhecido, “método de Silva Jr.”. Todos os

ábacos foram obtidos utilizando um programa de computação algébrica e simbólica (CAS).

1. INTRODUÇÃO

O Concreto de Alto Desempenho é uma evolução tecnológica do concreto convencional,

estando em crescente utilização no Brasil em obras residenciais, comerciais, públicas,

recuperação estrutural, barragens, premoldados, industriais, etc [10]. É obtido pela mistura de

cimento, agregados limpos e selecionados, aditivos minerais, aditivos químicos, e baixo fator

água cimento, que conferem ao material uma elevada resistência (limitada por algumas normas

a fck = 80 MPa) e durabilidade. A adição de aditivos químicos (superplastificantes) possibilita

redução no fator a/c, elevando a resistência mecânica do concreto e diminuindo a quantidade e

o diâmetro dos poros, aumentando a compacidade e resistência ao ataque de agentes

externos. Os aditivos minerais (sílica ativa, pozolanas, cinzas volantes, etc) têm como

finalidade prencher parte dos poros e combinar-se quimicamente com o Ca(OH)2 (pouco

resistente), formando os silicatos de cálcio hidratados (mais resistente). O CAD é portanto, um



material que pode ter aplicações vantajosas nos tempos atuais, mas precisa de um controle

mais rigoroso na seleção dos materiais, na mistura, no transporte, na colocação, na

compactação e principalmente na cura.

O módulo de elasticidade do concreto não é proporcional ao incremento da resistência, e

no caso do CAD seu valor não pode ser extrapolado das normas de concretos convencionais,

pois poderia provocar flechas exageradas. O mesmo varia entre 30 e 40 GPa, podendo chegar

até no máximo 50 GPa.

Algumas normas internacionais de cálculo estrutural de concreto armado como o CEB-

FIP-MC90[7], CSA-CAN3-94[8] já incorporam este material no seu texto, outras normas como a

ACI 318-99 [4] permitem o seu emprego.

A Figura 1 mostra duas curvas típicas do diagrama tensão x deformação, para um

concreto convencional de fck = 20 MPa e a outra para um CAD de fck = 60 MPa.

0 0.001 0.002 0.003 0.004

10

20

30

40

Deformação específica

Ten

sões

de

cálc

ulo

(MPa

)

fck = 60 MPa

fck = 20 MPa

Figura 1 – Curvas tensão x deformação de um CAD e um concreto comun.

O diagrama de tensão x deformação parábola retângulo, muito empregado no

dimensionamento de peças de concreto convencional, deve ser substituído por um diagrama,

que se aproxime dos resultados experimentais. O CAD têm curvas tensão x deformação

diferentes, é um material frágil, e quanto maior a resistência maior a fragilidade, portanto cada

tipo de concreto possui sua própria curva. Há uma necessidade de quantificar estes

parâmetros para efetuar um dimensionamento seguro.

Pela Figura 2, pode-se verificar que nos concretos com resistências maiores, existe

maior linearidade no trecho inicial entre as tensões e as deformações. Os valores das

deformações limites ou máximas diminuem com o aumento da resistência do concreto, por

exemplo, para uma resistência de fck = 80 MPa, a deformação limite do concreto comprimido é



de 2.4 mm/m, bem menor que o valor normalmente utilizado de 3.5 mm/m. . As normas que

consideram o CAD, em geral, fornecem a equação da curva em função de sua resistência.

0 0.001 0.002 0.003 0.004

15

30

45

60


Ten

sões

(M

Pa)

fck = 40 MPa

fck = 60 MPa

fck = 80 MPa

Figura 2 – Curvas de 3 tipos diferentes de concreto – CEB-FIP

Para equilibrar os esforços solicitantes, há necessidade de calcular a resultante do

concreto comprimido, integrando o diagrama sob a curva. Seu cálculo manual é muito

trabalhoso, e é necessário automatizar este procedimento [11], mas também pode-se utilizar

tabelas [11] ou ábacos de dimensionamento, sendo preciso uma tabela ou um ábaco diferente

para cada tipo de concreto. No final deste trabalho, serão exibidos ábacos de

dimensionamento, para diferentes relações de d’/h e para concretos com fck de 60 MPa.

Inicialmente, em todas as equações, o sentido dos esforços mostrados na Figura 4

correspondem a sinais positivos. No caso do esforço normal, o sinal positivo indica tração.

2. DIAGRAMAS DE TENSÃO x DEFORMAÇÃO DO CAD

As diferentes curvas tensão x deformação, obtidas nos ensaios de laboratório, podem

ser substituídas por curvas ideais utilizadas em análise estrutural e que normalmente são

apresentadas nas normas.



0 0.0015 0.003

10

20

30

40 fck = 60MPa


Ten

sões

(M

Pa)

εc

σ(εc)

εclimεc1

σcd

Figura 3 – Curva tensão x deformação típica

As equações de dimensionamento correspondentes à curva tensão x deformação da

norma CEB-FIP são (para tensões inferiores a 100 MPa):

cdcRc σεσεσ ×= )()( (1)

)()2(1

)]([)()(

2

c

cccR A

A

εηεηεη

εσ×−+

−×= (2)

1

)(c

cc ε

εεη = (3)

cd

cdc EA

σε ×

= 1 (4)

c

ck

cd

f

Eγ

3

1

10

821500

+×

= (5)

c

ckcd

f

γσ ×= 85.0 (6)

No caso da deformação limite, foi adotada a expressão:

100

002.0004.0 ckclim

f×−=ε (7)

Nestas fórmulas, εc1 = 0.0022 é a deformação específica correspondente à tensão

máxima σcd (este valor é também adotado por outras normas) e γc = 1.5 (valor do coeficiente de

segurança do concreto adotado pelo CEB-FIP). Em todas as equações, as unidades das



tensões são MPa. Pesquisas recentes demonstram que o valor de εc1 é variável com a

resistência do concreto.

Ao considerar ações de longa duração, a resistência do concreto têm sua capacidade de

suporte reduzida através do fator 0.85 (equação 6). Segundo pesquisas recentes, para o CAD,

este fator tende a ser mais favoravel, chegando a 0.9.

3. CONFIGURAÇÕES DE TENSÕES E DE DEFORMAÇÕES LIMITES

h d

d’b

As1

As2

y

dy

εcd

εsd1

εsd2

(σsd2)

(σsd1)

kdεc

ax

Rst2

Rst1

Rcc

σ(εc)

Nd Md

Rst1

Rst2

Rcc

NdMd

εc

Figura 4 – Diagramas de tensões e de deformações

Os princípios básicos utilizados no dimensionamento de elementos de concreto

convencional também se aplicam ao Concreto de Alto Desempenho. As deformações limites

utilizadas no dimensionamento dependem da resistência característica do concreto.

A resultante do concreto comprimido e o momento produzido pela mesma em relação à

fibra comprimida mais externa são:

∫ ××=x

ccc dybR0

)(εσ (8)

∫ ×××=x

cRcc dyybM0

)(εσ (9)

3.1 Transformação das grandezas para valores adimensionais

Para simplificar, as diferentes formulações serão apresentadas em forma paramétrica e

adimensional (todos os termos encontram-se nas Figuras 4 e 5) , reduzindo em relação à:

h = altura da seção b = largura da seção σcd = 0.85 * f cd



δ1

ρ1

ρ2

εsd1

εsd2

(α2)

(α1)

θ

δGCβx

ω1

ω2

βR

νd µd

1

δ

δGS1

δGS2

δGm

δS

εcd

m

Figura 5 – Diagramas mostrando os parâmetros reduzidos

Das Figuras 4 e 5 são relacionadas as grandezas “y” com “θ”, com o objetivo de

modificar as variáveis de integração das equações 8 e 9:

)( ccd

hy εε

θ−×= cd

hdy ε

θ×−= (10)

Substituindo as equações 10 nas equações 8 e 9, obtem-se as equações paramétricas

da resultante do concreto e do seu momento em relação à fibra comprimida mais externa:

∫ ××= cd

ccRR dε

εεσθ

β0

)(1

(11)

∫ ×−××= cd

cccdcRR dε

εεεεσθ

µ02

)()(1

(12)

Para obter os valores de βR e µR, é necessário conhecer a curvatura reduzida θ, a qual

será obtida para várias posições da linha neutra. Para isso, o diagrama das deformações é

dividido em pequenos intervalos, resolvendo as equações 11 e 12 para cada um destes.

4. CONFIGURAÇÕES DE RUPTURA

Modificando a posição da linha neutra e girando esta em relação a pontos fixos

chamados de pólos de rotação, obtem-se os diferentes domínios de dimensionamento.

A distância da fibra comprimida mais extrema à linha neutra, vai ser considerada através

do parâmetro reduzido βx, que é obtido por relação de triângulos (Figura 5) em função das

deformações εsd1 e εcd (foi adotado o módulo de elasticidad do aço de: Es = 200GPa).

)1(1

δεε

εβ −×

+=

cdsd

cdx (13)



D1

D2A

D2BD3

D4A

D4BD5

εyd = 0.002170.01

εclim = 0.0028

εc1 = 0.0022

εcd εsd1

tração compressão

Figura 6 – Domínios de deformação para o conceto com fck = 60 MPa

4.1 Ruptura de referência

Para calcular o valor de θ, é necessário conhecer o valor de βx de referência, localizado

no limite entre os domínios D2B e D3; é um valor de comparação (correspondente a uma

ruptura considerada para referência da mudança de polos de rotação). Assim, da equação 13

obtem-se:

)1(32

7δβ −×=xref (14)

Os valores da curvatura reduzida θ (Figura 5), são:

• Se βx ≤ βxref, os critérios de ruptura correspondem aos domínios D2A, D2B.

O pólo se encontra em εsd1 = 0.01.

δβ

θ−−

=x1

01.0 (15)

• Se βxref < βx ≤ 1, os critérios de ruptura correspondem aos domínios D3, D4A, D4B.

O pólo se encontra em εcd = 0.0028.

xβ

θ0028.0

= (16)

• Se βx >1, o critério de ruptura corresponde ao domínio D5.

O pólo está sobre a vertical da deformação εc1 = 0.0022.



1570

154

−×=

xβθ (17)

εclimεc1

1

βx > 1

εsd2

εsd1

εc0

θ

Figura 7 – Configuração de ruptura do domínio D5

5. ESFORÇOS RESISTENTES E SOLICITANTES

Inicialmente são determinadas as equações dos momentos resistentes em relação ao

centróide da seção de concreto e das armaduras. Posteriormente, determinam-se os

momentos atuantes após transferência do esfoço normal à posição das armaduras; e

finalmente, as equações de equlibrio. A Figura 5 apresenta estas grandezas, listadas a seguir.

Distância da posição da resultante do concreto à borda comprimida:

R

RGC β

µδ = (18)

Momento resistente produzido pela resultante do concreto comprimido em relação ao centróide

da seção transversal:

GmRGm δβµ ×= GCGm δδ −= 5.0 (19)

Momento resistente produzido pela resultante do concreto em relação à posição da armadura 1.

11 GSRGS δβµ ×= δδδ −−= GCGS 11 (20)

Momento resistente produzido pela resultante do concreto em relação à posição da armadura 2.

22 GSRGS δβµ ×= δδδ −= GCGS 2 (21)

Redução dos esforços externos em relação à posição das duas armaduras.



21S

ddext

δνµµ ×−= (22)

22S

ddext

δνµµ ×+= (23)

Equações gerais de equilíbrio entre os esforços externos e internos referenciados às posições

das armaduras.

21 ωβων −−= Rd (24)

121 GSRSext δβδωµ ×+×= (25)

212 GSRSext δβδωµ ×−×= (26)

6. BASES DO MÉTODO DE SILVA Jr.

Este método distribui os esforços atuantes, dentro de “regiões” de dimensionamento

criadas em função de valores dos esforços normais e momentos fletores resistentes. Todas as

ações e respostas provenientes da compressão terão sinal negativo.

São definidas 6 regiões, estabelecidas da seguinte forma:

• Região O, onde o concreto equilibra os esforços solicitantes e não há necessidade de

armadura, (só mínima de norma). É o “olho” do diagrama obtido com os valores de βR e

µGm.

• Região A, onde considera-se o concreto uniformemente comprimido, ou seja, o concreto e

as armaduras estão trabalhando com uma deformação εc1 = -0.0022. Normalmente, ocorre

em colunas sujeitas a flexo-compressão com pequena excentricidade.

• Região C, considera-se uma configuração de ruptura de seções normalmente armadas

(limite entre o domínio D3 e D4), ou seja, a fibra comprimida mais externa do concreto

trabalhando com sua deformação máxima εcd = -0.0028 (εclim para o concreto com fck =

60MPa – CEB-FIP), e o aço tracionado com uma deformação correspondente ao início do

escomento εsd1 = 0.00217 (para o aço do tipo CA-50, com Es = 200 GPa).

• Região E, onde a seção é considerada uniformemente tracionada, o concreto não trabalha,

e as armaduras estão solicitadas com suas deformações máximas εsd = 0.01. Normalmente,

é o caso de tirantes, flexo-tração com pequena excentricidade.

• Região B, que é de transição entre as zonas A e C, tem-se somente armadura As2

(armadura comprimida pelo momento fletor atuante), a outra é mímina de norma.



• Região D, que é de transição entre as zonas C e E, tem-se somente armadura As1

(armadura tracionada pelo momento fletor atuante), a outra é construtiva.

O traçado das retas que separam as “regiões”, é feita considerando as equações 22 até

26, e as condições de contorno de cada uma das “regiões” (indicadas nos parágrafos anteriores

e mostradas na Figura 8).

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1

0.17

0.33

0.5

0.67

0.83

1

Esforçõs normais reduzidos

Mom

ento

s fl

etor

es r

eduz

idos

C

B

D

AE

O

Figura 8 – Diagrama de Silva Jr, mostrando as 6“regiões”

7. OBTENÇÃO DOS ÁBACOS, UTILIZANDO O PROGRAMA MATHCAD

Para a obtenção dos ábacos de dimensionamento considerando o método de Silva Jr.,

foram empregadas as equações 22 até 26 e as seguintes expressões:

Taxa mecânica da armadura

cd

yds

hb

fA

σω

××

×= (27)

Taxa geométrica total da armadura

hb

As

×=ρ (28)

Fração da armadura As1

ρρ

η 1= (29)

Fração da armadura As2



ρρ

η 2)1( =− (30)

Para a produção dos ábacos foram desenvolvidas equações das coordenadas dos

pontos de interseção de “ω” com as retas limites das regiões, considerando as equações 22 até

30 e as condições de contorno de cada região. A cada valor da taxa mecânica de armadura

“ω”corresponde uma curva que é obtida ligando os pontos de interseção da mesma com as

retas que dividem as regiões de Silva Jr. Demonstra-se que as curvas nas regiões “A”, “C” e

“E” correspondem os trechos retos, e nas regiões “B” e “D” os trechos são curvos, cujas

equações foram determinadas considerando as condições de contorno destas regiões, junto

com as equações 22 até 30 e o valor arbitrado de “ω”.

Para a obtenção destes ábacos foram empregados os recursos do programa Mathcad,

num concreto de fck = 60 MPa, aço CA-50 e valores de d’/h de 0.05, 0.1 e 0.15. O

dimensionamento através dos ábacos vai ser comparado com o dimensionamento automático

da ref. [11]. Os resultados estão listados na Tabela 1, para uma seção de concreto de 25 x 50

cm², um concreto de fck = 60 MPa, aço CA-50 e uma relação d’/h = 0.1.

Tabela 1 – Armaduras obtidas pelos ábacos

ÁBACO, com δδ= 0.1 Ref. [11]Nd

(kN)

Md

(kNm)

ννd µµd

ωω ηη As1(cm²) As2(cm²) As1(cm²) As2(cm²)

-5274.3 82.9 -1.241 0.039 0.25 0.3 7.33 17.1 7.01 16.55

-3969.5 214.6 -0.934 0.101 0.13 0 0 12.71 0 11.96

0 618.4 0 0.291 0.47 0.9 41.35 4.59 39.84 4.53

-1079.5 533.4 -0.254 0.251 0.37 0.65 23.51 12.66 22.54 12.06

799 369.8 0.188 0.174 0.32 1 31.28 0 29.95 0

1258 140.3 0.296 0.066 0.3 0.78 22.87 6.45 22.53 6.40

-2894.3 72.3 -0.681 0.034 0 0 0 0 0 0

Obs: A variação média entre o dimensionamento feito com o ábaco e pela ref. [11] é 3.5%.

8. CONCLUSÕES

Quando se trabalha com CAD é necessario considerar diagramas de tensão x

deformação com características mais realistas. As normas que contemplam este material,

incluem curvas realistas, e com estas pode ser feito um dimensionamento mais adequado aos



métodos experimentais. Os procedimentos tradicionais que foram desenvolvidos para os

concretos convencionais, tem que ser modificados para dimensionar os Concretos de Alto

Desempenho. Deve-se tirar proveito do potencial do CAD melhorando os procedimentos atuais

de dimensionamento.

O diagrama de tensões retangular simplificado muito empregado no dimensionamento

manual deixa de ser vantajoso, pois atualmente qualquer dimensionamento é feito

automaticamente. Para a obtenção dos ábacos de interação de força axial x momento, também

podem ser empregados os diagramas de tensão x deformação mais realistas, como foi feito

neste trabalho.

Considerando que o CAD apresenta características de ruptura mais frágil que o concreto

convencional, para prover dutilidade à seção, é aconselhável ter uma avaliação mais criteriosa

na colocação das armaduras, adotando os diagramas tensão x deformação mais realistas.

Quando são adotadas as equações sugeridas por Collins [1] e pelas normas que

consideram o CAD, os esforços resistentes de cálculo são os que mais se aproximam dos

obtidos nos ensaios de laboratório.

Em seções onde predomina a compressão, o CAD traz uma economia considerável,

diminuindo a quantidade de armadura, isto significa, poder utilizar dimensões menores nas

colunas, aumentando a área útil do local.

A utilização dos ábacos pelo método de Silva Jr., permite um dimensionamento

econômico, rápido e direto (sem tentativas).

9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] COLLINS, M. P.; MITCHELL, D. e MacGREGOR J. G., “Structural Design Consideration

for High-Strength Concrete”, Concrete International, V. 15, No. 5, May 1993.

[2] WEE, T. H.; CHIN, M. S. e MANSUR, M. A., “Stress-Strain Relationship of High-Strength

Concrete in Compression”, Journal or Materials in Civil Engineering, May 1996.

[3] SHEHATA, A. E. M. Ibrahim; SHEHATA, C. D. Lídia; MATTOS, S. Tales, “Stress-strain

curve for the design of High-Strength Concrete elements”, Materials and Structures, V. 33,

August-September 2000.

[4] ACI Committee 318, “Building Code Requirements for Reinforced Concrete (ACI 318-99)

and Comentary”, American Concrete Institute, Farmington Hills, 1999.

[5] CEB – “High Performance Concrete”, Bulletin d’Information No. 228, Lausanne, Switzerland,

1995.



[6] FIP Commission 3 on Practical Design, “FIP Recommendations – Practical Design of

Structural Concrete,” SETO, London, 1999.

[7] CEB-FIP, “Model Code For Concrete Structures,” 1990, Thomas Telford Ltd., London, 1993.

[8] STANDARDS COUNCIL OF CANADA, “Design or Concrete Structures for Buildings,” CAN3-

A23.3-M94, Canadian Standards Association, Toronto, Canada, 1994.

[9] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, “NBR-6118. Projeto e Execução de

Obras de Concreto Armado,” ABNT, Rio de Janeiro. 1986.

[10] ALMEIDA, R. Ivan; Gonçalves A. R. José; SHEHATA, C. D. Lídia, “Exemplos de obras em

Concreto de Alta Resistência realizadas no Brasil”, 37ª Reunião do Instituto Brasileiro do

Concreto, Goiânia (GO), V. 2, julho 1995.

[11] AGUIRRE, T. Francisco; BARBOSA, Plácido, “Dimensionamento econômico com as

propriedades mecânicas do Concreto de Alto Desempenho, pelo Eurocode, CEB-FIB, CSA-

CAN3, utilizando o método de Silva Jr.”, Engenharia Estudo e Pesquisa, Juiz de Fora, v. 3, n. 2,

dic. 2000, pp. 51-63.

[12] CUNHA, J. P. Albino; BARBOSA, Plácido, “Cálculo de seções submetidas à flexão

composta com armadura ótima”, Revista Estrutura, No 112, 1987.

[13] SILVA Jr., Jaime Ferreira da, “Dimensionamento de Concreto Armado”, ed. Arquitetura e

Engenharia, Belo Horizonte, 1971.

nstituto Brasileiro do Concreto


2 1.5 1 0.5 0 0.5 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

η = 0 η = 0.2 η = 0.4 η = 0.6 η = 0.8 η = 1.0

η =1.0

η = 0.8

η = 0.5

ω = 1.0

ω = 0.8

ω = 0.6

ω = 0.4

ω = 0.2

ω = 0

η = 0.5

η = 0.2

η = 0

ννd

µµd

b

h d

d’

Md

Nd

As1

As2

cdhbdN

d σν

××=

cdhb

ydfsA

σω

××

×=

MPackf 60=

5.1=cγ

sAsA ×= η1cdhb

dM

d σµ

××= 2

MPaykf 500=

15.1=sγsAsA ×−(= )12 η

cdfcd ×= 85.0σ

05.0’

=h

d



2 1.5 1 0.5 0 0.5 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

η = 0 η = 0.2 η = 0.4 η = 0.6 η = 0.8 η = 1.0

η =1.0

η = 0.8

η = 0.5

ω = 1.0

ω = 0.8

ω = 0.6

ω = 0.4

ω = 0.2

ω = 0

η = 0.5

η = 0.2

η = 0

ννd

µµd

b

h d

d’

Md

Nd

As1

As2

cdhbdN

d σν

××=

cdhb

ydfsA

σω

××

×=

MPackf 60=

5.1=cγ

sAsA ×= η1cdhb

dM

d σµ

××= 2

MPaykf 500=

15.1=sγsAsA ×−(= )12 η

cdfcd ×= 85.0σ

1.0’

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d



2 1.5 1 0.5 0 0.5 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

η = 0 η = 0.2 η = 0.4 η = 0.6η = 0.8 η = 1.0

η =1.0

η = 0.8

η = 0.5

ω = 1.0

ω = 0.8

ω = 0.6

ω = 0.4

ω = 0.2

ω = 0

η = 0.5

η = 0.2

η = 0

ννd

µµd

b

h d

d’

Md

Nd

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cdhbdN

d σν

××=

cdhb

ydfsA

σω

××

×=

MPackf 60=

5.1=cγ

sAsA ×= η1cdhb

dM

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××= 2

MPaykf 500=

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cdfcd ×= 85.0σ

15.0’

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