instabilidade dinÂmica de torres eÓlicas · 2020. 2. 21. · dinâmica quando submetido à ação...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
INSTABILIDADE DINÂMICA DE TORRES
EÓLICAS
MATHEUS MORENO FORTES
GOIÂNIA
JULHO/2019
M. M. FORTES
MATHEUS MORENO FORTES
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
Trabalho de Conclusão de Curso apresentada ao Curso de
Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás pra a
obtenção do título em bacharel em Engenharia Civil.
Orientador: Zenón José Guzmán Núñez del Prado
GOIÂNIA
JULHO/2019
M. M. FORTES
RESUMO
Na engenharia, o comportamento de torres eólicas é um assunto amplamente abordado,
devido ao aumento da importância de energias não renováveis. Nesse estudo, uma parte
importante é a estabilidade dinâmica da torre eólica, por isso este trabalho visa fazer uma
abordagem inicial da instabilidade dinâmica das torres eólicas. Para descrever a torre e as pás
considera-se a teoria linear de Euler-Bernoulli e o acoplamento do sistema é realizado através
das considerações das forças de interação, a partir das equações diferencias de equilíbrio.
Aplica-se o Método de Galerkin para obter um sistema de equações diferenciais ordinárias de
movimento. Inicialmente, são obtidas as frequências naturais do sistema, acoplado e
desacoplado, com e sem amortecimento visando observar os pontos de instabilidade dinâmica.
Uma análise paramétrica detalhada é realizada visando observar as regiões de instabilidade no
sistema devido ao acoplamento e rotação das pás. Finalmente, as equações de equilíbrio
dinâmico foram integradas usando o método de Runge-Kutta visando observar a resposta
dinâmica quando submetido à ação de vento harmônico. Pode comprovar que ocorre
instabilidade do sistema torre-pá quando ocorre o fenômeno de coalescência ou “veering”,
que são respectivamente a junção e aproximação das frequências naturais. Além disso,
observou-se ou efeitos do amortecimento na frequência natural e na resposta no tempo, e da
aplicação de uma força de vento harmônico na torre.
Palavras-chave: Torre eólica, instabilidade dinâmica, torre-pá, acoplamento, coalescência.
M. M. FORTES
LISTA DE FIGURAS
1.1 - Torres Eólicas: (a) Torre Vestas V164-8(Fonte: Portal Metálica); (b)Torre E126)...........4
2.1 - Modelagem da torre eólica.................................................................................................8
2.2 – Modelagem da força atuando na torre eólica...................................................................16
3.1 - Valores de frequência para pá desacoplados....................................................................18
3.2 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado, usando as equações 2.22 e
2.23............................................................................................................................................19
3.3 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado, usando as equações 2.20 e
2.21............................................................................................................................................19
3.4 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado, usando as equações 2.17 e
2.18............................................................................................................................................20
3.5 – Zoom da Figura 3.2 entre 68rpm e 76rpm no encontro da segunda e terceira frequência
natural........................................................................................................................................21
3.6 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado considerando três pás, usando
as equações 2.20 e 2.21 ............................................................................................................23
3.7 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado com seção da torre variável,
usando as equações 2.20 e 2.21 ................................................................................................24
3.8 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado com seção da torre variável,
usando as equações 2.20 e 2.21.................................................................................................24
3.9 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 50rpm de
velocidade de rotação da pá, usando as equações 2.22 e 2.23..................................................25
3.10 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 73,5rpm de
velocidade de rotação da pá, usando as equações 2.22 e 2.23..................................................25
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
Lista de Figuras M. M. FORTES
3.11 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 100rpm de
velocidade de rotação da pá, usando as equações 2.22 e 2.23..................................................26
3.12 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 50rpm de
velocidade de rotação da pá, usando as equações 2.20 e 2.21..................................................27
3.13 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 181,5pm de
velocidade de rotação da pá, usando as equações 2.20 e 2.21..................................................27
3.14 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 50rpm de
velocidade de rotação da pá, usando as equações 2.17 e 2.18..................................................28
3.15 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 143,5rpm de
velocidade de rotação da pá, usando as equações 2.17 e 2.18..................................................28
3.16 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 160rpm de
velocidade de rotação da pá, usando as equações 2.17 e 2.18..................................................29
3.17 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 245rpm de
velocidade de rotação da pá, usando as funções de forma usando as equações 2.17 e 2.18.....29
3.18 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado com amortecimento, usando
as equações 2.20 e 2.21.............................................................................................................30
3.19 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado com amortecimento,
considerando 181,5rpm de velocidade de rotação da pá, usando as funções de usando as
equações 2.20 e 2.21.................................................................................................................31
3.20 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P =0, usando
as equações 2.20 e 2.21.............................................................................................................32
3.21 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P =10000N e
Ωf=0,5ωT1, usando as equações 2.20 e 2.21............................................................................32
3.22 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P=10000N e
Ωf=ωT1, usando as equações 2.20 e 2.21............................................................................33
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES Lista de Figuras
3.23 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P=10000N e
Ωf=2ωT1, usando as equações 2.20 e 2.21................................................................................33
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
Lista de Figuras M. M. FORTES
M. M. FORTES
LISTA DE QUADROS
Quadro 2.1- Valores dos primeiros quatros modos de vibração para uma viga engastada
livre.........................................................................................................................................11
Quadro 3.1 – Valores das primeiras quatro frequências naturais da torre com a massa da
nacele........................................................................................................................................18
Quadro 3.2 – Valores das primeiras quatro frequências naturais da torre sem a massa da
nacele........................................................................................................................................18
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
Lista de Quadros M. M. FORTES
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
LISTA DE ABREVIATURAS
HAWT - structural dynamic analysis of horizontal axis wind turbines
SHM - Stucture health monitoring
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
Lista de Abreviaturas M. M. FORTES
M. M. FORTES
LISTA DE SÍMBOLOS
a - Constante da função de forma da pá
b - Constante da função de forma da torre
c(t) – função dependente do tempo para análise do deslocamento da torre ao longo do tempo
d(t) - função dependente do tempo para análise do deslocamento da pá ao longo do tempo
e - Número de Euler
pc - porcentagem da primeira frequência natural da torre para valor de frequência da força a
torre
q – vetor de coordenadas que vem do equacionamento de dinâmica de vibração livre de um
sistema
t - Tempo
u - Eixo horizontal da pá/ Deslocamento transversal da pá
v - Eixo horizontal da torre/ Deslocamento transversal da torre
x - Eixo vertical da pá
z - Eixo vertical da torre
AB - Área da seção transversal da pá
AT - Área da seção transversal da torre
B – Matriz para a resolução do sistema com amortecimento
E - Matriz para a resolução do sistam com amortecimento
EB - Módulo de Young da pá
ET - Módulo de Young da torre
Fc – Força centrífuga da rotação da pá
H – Altura da torre
IB - Momento de Inércia da seção transversal da pá
IB - Momento de Inércia da seção transversal da torre
K - Matriz de rigidez
L - Comprimento da pá
Lista de Símbolos M. M. FORTES
M - Matriz de massa
Mo - Massa da nacele
P - Força no topo da torre
Q - Força aplicada no sistema torre-pá na resolução do sistema com amortecimento
U - Deslocamento da pá
V - Deslocamento da torre
β - Valor constante para determinação da função de forma
η - vetor para a resolução do sistema com amortecimento
ξ - Amortecimento
π - Número de Pi
ρB - Peso específico da pá
ρT - Peso específico da torre
τ - vetor para a resolução do sistema com amortecimento
ω - Frequência Natural
ωB - Frequência Natural da pá
ωT - Frequência Natural da torre
ϕ - Função de forma da pá
Ψ - Função de forma da torre
Ω - Velocidade de rotação da pá
cos - Função Cosseno
cosh - Função Cosseno Hiperbólico
sen - Função Seno
senh - Função Seno Hiperbólico
M. M. FORTES
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 3
2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA .................................................................................... 8
2.1 EQUAÇÕES DE EQUILIBIRO E CONDIÇÕES DE CONTORNO ........................ 9
2.2 FORÇA CENTRIFUGA E FREQUÊNCIA NATURAL ......................................... 12
2.3 AMORTECIMENTO ............................................................................................... 14
2.4 FORÇA APLICADA NA TORRE ........................................................................... 15
3 RESULTADOS ................................................................................................................ 17
3.1 SISTEMA DESACOPLADO ................................................................................... 17
3.1.1 FREQUÊNCIAS NATURAIS ........................................................................... 17
3.2 SISTEMA ACOPLADO .......................................................................................... 19
3.2.1 SISTEMA ACOPLADO UMA PÁ .................................................................... 19
3.2.2 SISTEMA ACOPLADO TRÊS PÁS ................................................................. 22
3.2.3 SISTEMA ACOPLADO INÉRCIA VARIÁVEL .............................................. 23
3.2.4 SISTEMA ACOPLADO VARIANDO DENSIDADE DA TORRE ................. 23
3.3 RESPOSTA NO TEMPO EM VIBRAÇÃO LIVRE ............................................... 25
3.4 AMORTECIMENTO ............................................................................................... 30
3.5 RESPOSTA NO TEMPO FORÇADA ..................................................................... 31
4 CONCLUSÕES ................................................................................................................ 34
REFERÊNCIAS........................................................................................................................52
Sumário M. M. FORTES
M. M. FORTES
1 INTRODUÇÃO
A humanidade precisa de energia para o desenvolvimento e sustento da sociedade, e uma das
maneiras de obter essa energia é através do vento. Inicialmente através de moinhos de ventos
e atualmente com o desenvolvimento da sociedade criaram-se torres eólicas que convertem a
energia cinética do vento em energia elétrica.
As torres eólicas geram energia através dos movimentos das pás, de forma que produzem
mais energia em alturas maiores da torre, já que as velocidades do vento são superiores. Com
isso, cada vez mais, as torres eólicas estão mais altas e faz-se necessário mantê-las estáveis
para que funcionem corretamente. Na figura 1.1a é vista a torre Vestas V164-8 e na figura
1.1b observa-se a torre E126, estando elas entre as maiores torres eólicas do mundo. A V164-
8 tem um diâmetro do rotor de 164 metros e um gerador com capacidade de 8 MW de
eletricidade, utilizando o vento de uma área de 21.124 m², com uma torre de 140 metros de
altura e uma altura de ponta de 220 metros. A torre E126, com capacidade de 6MW, possui
uma torre com altura no hub de 135 metros, um diâmetro de rotor de 127 metros e um gerador
com diâmetro de 12 metros.
O estudo de torres eólicas também se torna importante visto o potencial brasileiro de energia
eólica, que foi calculado em 143GW por Amarante (2001), porém, como o autor utilizou
valores de torres eólicas baixos, em torno de 50 metros de altura, o potencial previsto é mais
baixo que o real pela atual tecnologia de torres eólicas que pode chegar a alturas bem maiores,
como visto na Torre Vestas e na E126. Estudos recentes da indústria e do governo mostram
que existe um potencial de energia de 300GW no Brasil, como indicado por Simas e Pacca
(2013). Em vista de todo esse potencial cada vez mais há estudos para o desenvolvimento de
torres eólicas em todos os aspectos, desde sua estabilidade dinâmica, estudo do
comportamento do vento na região de implementação da torre, geração de energia até o
design da turbina.
4 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
Figura 1.1 – Exemplo de torres eólicas: (a) Torre Vestas V164-8(Fonte: Portal
Metálica:http://wwwo.metalica.com.br/v-164-8-o-maior-gerador-eolico-do-mundo-ja-esta-em-funcionamento
Data de acesso: 05/11/2018); (b)Torre E126 (Fonte: Portal Energia: https://www.portal-energia.com/os-10-
maiores-aerogeradores-do-mundo Data de acesso: 05/11/2018).
(a)
(b)
1.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O estudo dinâmico de torres eólicas tem sido amplamente abordado, a seguir, serão descritos
somente alguns trabalhos mais significativos no tema.
Garrad e Quarton (1986) incentivaram a utilização de softwares, utilizando o programa
REDUCE para resoluções matemáticas de problemas de engenharia, como problemas
algébricos que manualmente podem ser demorados. Utilizando o software para facilitar o
estudo do problema de torres eólicas, mostrando a montagem computacional do problema no
programa, conseguindo resultados de momentos fletores da força de vento.
Lee et al. (2002) estudaram sobre a estabilidade de dois modelos de pá pela análise horizontal
de eixo de turbina, que divide a turbina eólica em dois sistemas, sendo um rígido e outro
flexível. Os sistemas são acoplados pelas condições de contorno, onde juntos fazem um
sistemas de equações que são linearizadas em uma solução de curso estável. Utilizaram a
Teoria de Floquet para retirar-se expoentes completos do sistema e quatros elementos finitos
para a modelagem. A partir dos resultados obtêm-se a análise dinâmica do sistema
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 5
M. M. FORTES
HAWT(structural dynamic analysis of horizontal axis wind turbines), incluindo autovalores e
modos de vibração.
Mutagh et al. (2005) estudaram uma torre eólica com três pás conectadas ao topo da torre
circular, sendo esse sistema discretizado por múltiplos graus de liberdade. As condições do
problema de vibração livre eram uma massa no topo, que representa a nacele da torre eólica, e
as pás incluindo os efeitos centrífugos da pá, bem como a massa. As pás são excitadas por
forças de arrasto que são derivadas da discretização da transformação de Fourier. O sistema
torre e pá são acoplados pelas equações de movimento e deslocamento do topo da torre.
Também é estudado um sistema sem a interação torre e pá onde compararam resultados com o
primeiro sistema. Observaram que aumentando o efeito rotacional das pás aumentam as
frequências naturais. Aumentando a frequência rotacional, diminui-se as respostas no tempo
da torre e as pás possuem maior rigidez, quando isso acontece.
Chen et al. (2009) estudaram pelo método dos elementos finitos dois sistemas torres-pás. Um
sistema é o de torre e pá acoplado, e outro considera massas da pá e da nacele no topo da torre
eólica. Os resultados mostram que no primeiro caso obteve-se um deslocamento de 300%
maior do topo da torre em relação ao caso que só considera massa da nacele e da pá no topo
da torre.
Liu et al. (2010) fizeram uma análise de como é feita a monitoração da saúde das
estruturas(SHM-Stucture health monitoring) de torres eólicas na China atualmente e fazem
sugestões de novas medidas. Primeiramente abordaram a energia eólica na China,
posteriormente abordando técnicas que são utilizadas já para o monitoramento como análise
do óleo, análise visual, medição de tensão e efeitos elétricos. Depois, propuseram novas
medidas de verificação da estrutura da torre eólica como analise térmica infravermelha,
monitoramento acústico e teste ultrassônico não destrutivo. As novas técnicas foram
propostas, pois artigos sobre torre eólica são focados na produção e em técnicas já utilizadas
de SHM. Liu (2013) analisou um sistema cabine-pá-torre acoplado, por equações de energia
cinética. A frequência natural da torre é calculada e a vibração devido ao vento é analisada.
Kang et al. (2014) fizeram uma análise dinâmica de uma torre acoplada com pá
experimentalmente e analiticamente. Encontraram os autovalores do sistema dinâmico e
mostram que o as frequências entram em coalescência quando o modo de vibração da torre e
6 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
pá se aproxima. Com a análise experimental validaram os resultados numéricos e
experimentais, mostrando boa concordância entre eles.
1.2 JUSTIFICATIVA
Atualmente diversos países investem em varias formas de energia. Essa busca se dá devido às
fontes de energia não renováveis estarem se esgotando (como petróleo e carvão), logo há uma
necessidade de se investir em fontes renováveis. Uma das fontes de energia renovável é a
energia eólica. O Brasil possui elevado potencial de energia eólica, sendo uma fonte que irá
obter mais investimentos ao longo dos anos.
Para a implementação das energias renováveis é preciso possuir o conhecimento de várias
áreas dentre elas estão a atmosfera em análise, modelos aerodinâmicos das torres, conversão
de energia, tecnologia de distribuição e estruturas da torre eólica. Assim, o presente trabalho
se enquadra na análise da estrutura visando estudar a estabilidade dinâmica da torre eólica.
As torres eólicas podem apresentar em sua estrutura instabilidade dinâmica devido ao efeito
de coalescência do sistema torre e pá, fenômeno que se dá devido a torre e pá apresentarem
frequências que se aproximam.
1.3 OBJETIVOS
Através do estudo espera-se comprovar que a instabilidade ocorre quando as frequências
naturais do sistema se aproximam ou juntam, analisando o deslocamento de um ponto ao
longo do tempo, mostrando a instabilidade do deslocamento. Este trabalho tem por objetivos
os seguintes tópicos:
Estudar a instabilidade dinâmica da torre eólica;
Obter respostas no tempo do deslocamento;
Análises paramétricas do sistema torre-pá para a análise da instabilidade.
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 7
M. M. FORTES
1.4 METODOLOGIA
Este trabalho objetiva de maneira geral estudar a instabilidade e a resposta dinâmica do
sistema acoplado torre eólica-pás. Para isso, a torre e as pás serão modeladas como um
sistema acoplado considerando a teoria linear de Euler-Bernoulli. A partir das equações
diferenciais de equilíbrio dinâmico do sistema, é aplicado o Método de Galerkin para obter o
sistema de equações diferenciais ordinárias de movimento que são resolvidas usando o
Método de Runge-Kutta. Inicialmente, calculam-se as frequências naturais do sistema
acoplado e desacoplado para valores incrementais de velocidade de rotação das pás
considerando a rotação das pás das torres eólicas acopladas. Nesta análise é possível observar
o fenômeno de “veering” e da coalescência. A seguir, uma análise paramétrica variando a
velocidade de rotação da pá e densidade da torre foi desenvolvida visando observar a resposta
dinâmica do sistema.
1.5 ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO
O presente trabalho tem a seguinte estruturação:
Capítulo 1: Nesse capítulo é feita a introdução sobre o assunto de torre eólica, bem
como uma revisão bibliográfica do tema. É apresentado a justificativa e o objetivo do
trabalho.
Capítulo 2: Nesse capitulo é apresentada a formulação matemática desenvolvida no
código computacional para o desenvolvimento da análise paramétrica.
Capítulo 3: Nesse capítulo são apresentadas as frequências naturais obtidas para um
sistema desacoplado e sistema acoplado de uma torre eólica, considerando diferentes
casos para o sistema desacoplado. Além disso, mostram-se as respostas no tempo do
deslocamento de um ponto da torre para mostrar a instabilidades, analisa-se também o
amortecimento no sistema e o efeito de uma força aplicada na torre.
Capítulo 4: Nesse capítulo é apresentada a conclusão do trabalho.
M. M. FORTES
2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
Considera uma torre eólica de seção circular de altura H, módulo de Young ET, momento de
inércia IT, seção transversal AT e densidade ρT, enquanto a pá possui comprimento L, modulo
de Young EB, momento de inércia IB e seção transversal AB e densidade ρB. A torre possui eixo
vertical z e campo de deslocamento transversal v, enquanto a pá possui eixo vertical x e
campo de deslocamento transversal u como visto na Figura 2.1. A velocidade de rotação da pá
é Ω, a força centrifuga na pá é Fc, enquanto a massa da nacele é dada por Mo.
Figura 2.1 – Modelagem da torre eólica.( Fonte: Portal Energia: https://www.portal-energia.com/os-10-maiores-
aerogeradores-do-mundo Data de acesso: 05/11/2018).
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 9
M. M. FORTES
2.1 EQUAÇÕES DE EQUILIBIRO E CONDIÇÕES DE CONTORNO
A torre e as pás são descritas usando a teoria linear de vigas de Eulher-Bernoulli seguindo a
formulação apresentada por Kang (2014) e posteriormente adaptada. As equações de
equilíbrio linear dinâmico da torre e pá para o sistema desacoplado são apresentadas,
respectivamente, pela equação 2.1 e equação 2.2. Na equação 2.1, δ corresponde ao delta de
Dirac.
0)(
,,,2
2
2
2
4
4
Hz
t
tHvM
t
tzvA
v
tzvIE oTTTT
(2.1)
0
,,,2
2
4
4
x
txuxFc
xt
txuA
x
txuIE BBBB
(2.2)
As equações de equilíbrio linear dinâmica da torre e pá para o sistema acoplado são
apresentadas, respectivamente, pela equação 2.3 e equação 2.4.
0)(2
),(2
2
),(2)(
2
,2
4
,4
0
Hzdxt
txu
BA
BHzt
tzvL
BA
BMo
z
tzv
TA
Tz
tzv
TI
TE
L
(2.3)
0
,,,,2
2
2
2
4
4
x
txuxFc
xt
tzvA
t
txuA
x
txuIE
Hz
BBBBBB
(2.4)
As condições de contorno da torre, no sistema acoplado, são dadas pelas equações 2.5 até a
2.8, em que a 2.5 é condição de contorno de deslocamento, 2.6 a condição de contorno de
angulação, a 2.7 a condição de contorno de momento e a 2.8 a condição de contorno de força
cortante.
0),(0
ztzv
(2.5)
10 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
0),(
0
zz
tzv
(2.6)
0),(
2
2
Hz
TTz
tzvIE
(2.7)
L
BB
Hz
BB
Hz
TT dxt
txuA
t
tzvLAMo
z
tzvIE
z0
2
2
2
2
2
2 ),(),()(
),(
(2.8)
As condições de contorno da pá, no sistema acoplado, são dadas pelas equações 2.9 até a 2.12,
na qual a equação 2.9 é a condição de contorno de deslocamento, 2,10 a condição de contorno
de angulação, a 2.11 a condição de contorno de momento e a 2.12 a condição de contorno de
força cortante.
0),(0
xtxu
(2.9)
0),(
0
xx
txu
(2.10)
0),(
2
2
Lx
BBx
txuIE
(2.11)
0),(
3
3
Lx
BBx
txuIE
(2.12)
Os deslocamentos da torre e da são dados respectivamente pelas equações 2.13 e 2.14.
tiezVtzv ,
(2.13)
tiexUtxu , (2.14)
O deslocamento V(z) é dado pela equação 2.15, enquanto U(x) é dado pela equação 2.16.
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 11
M. M. FORTES
zbzV j
n
j
j
1 (2.15)
xaxU j
n
j
j
1 (2.16)
Em que Ψ(z) é a função de forma da torre dada pela equação 2.17 e bj é uma constante, e ϕ(x)
é a função de forma dada pela equação 2.18 e aj é uma constante. As formulações das funções
de forma das equações 2.17 e 2.18 são retiradas do Rao (2007).
zzHH
HHzzz jj
jj
jj
jjj
senhsen
senhsen
coscoscoshcos)(
(2.17)
xxLL
LLxxx jj
jj
jj
jjj
senhsen
senhsen
coscoscoshcos)(
(2.18)
Os valores de βjH e βjL são iguais, pois se tratam de valores específicos para a vibração de
vigas engastadas livres, podendo ser descritos aproximadamente pela equação 2.19. Para os
primeiros quatros modos de vibração são dados no quadro 2.1, (Rao, 2007).
2
12
nHL jj
(2.19)
Quadro 2.1 – Valores dos primeiros quatros modos de vibração para uma viga engastada livre
β1H= β1L 1,8751
β2H= β2L 4,6941
β3H β3L 7,8547
β4H= β4L 10,9956
Β5H= β5L 14,13718
Além das equações de forma apresentadas, também existem as descritas por Paidoussis (2014)
nas equações 2.20 e 2.21.
12 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
zzHH
HHzzz jj
jj
jj
jjj
sensenh
coscosh
sensenhcoscosh)(
(2.20)
xxLL
LLxxx jj
jj
jj
jjj
sensenh
coscosh
sensenhcoscosh)(
(2.21)
Por fim, as ultimas equações de forma para torre eólica abordadas nesse trabalho são as
mostradas por Kang(2014) nas equações 2.22 e 2.23.
H
zjzj
2
12cos1)(
(2.22)
L
xjxj
2
12cos1)(
(2.23)
2.2 FORÇA CENTRIFUGA E FREQUÊNCIA NATURAL
A força centrifuga na pá devido a rotação é descrita pela equação 2.24, dada por Kang et
al.(2014).
L
x
BB dssAxFc 2)(
(2.24)
No estudo da frequência natural, considera-se o sistema torre e pá em vibração livre, em que o
sistema é considerado desacoplado ou acoplado, resultando em equações de equilíbrio linear
dinâmico e nas condições de contorno do problema. Aplica-se o método de Galerkin nas
condições de contorno e nas equações equilíbrio linear dinâmico, logo se integra o produto da
multiplicação destas por Ψ(z) para as equações da torre e por ϕ(x) para as equações da pá. O
resultado do Método de Galerkin, para o sistema acoplado, é o sistema matricial mostrado na
equação 2.25.
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 13
M. M. FORTES
00
0
2221
12112
22
11
i
i
ijij
ijij
i
i
ij
ij
b
a
b
a
MM
MM
K
K
(2.25)
Na equação 2.25 K é uma matriz de rigidez e M uma matriz de massa. Cada termo da
equação pode ser obtido separando os termos dependentes das constantes a e b da aplicação
do método de Galerkin, sendo apresentados a seguir.
dxxxxLAdxxxIE j
I
i
L
BB
L
j
IV
iBBij
0
222
0
112
1K
(2.26)
H
j
III
iTT
H
j
IV
iTTijdzzzIEdzzzIE
00
22 K
(2.27)
dxxxA
L
jiBBij 0
11 M
(2.28)
dxxHA
L
jiBBij 0
12 M
(2.29)
dzdxxzA
H L
ijBBij
0 0
21 M
(2.30)
dzzzAdzHHLAM
H
jiTT
H
jiBBOij
00
22 M
(2.31)
O sistema matricial é um problema de autovalor e autovetor, em que as constantes ai e bi são
os autovetores e ω é o autovalor. Resolvendo esse problema algébrico encontra-se os valores
das frequências naturais. Para a obtenção da resposta no tempo aplica-se também o Método de
Galerkin nas equações 2.32 e 2.33, que são as definições de deslocamento de pá e torre
respectivamente para a solução de resposta no tempo, encontra-se um sistema de equações
14 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
diferenciais ordinárias que são resolvidas aplicando o método de Runge-Kutta de quarta
ordem. Com isso, pode-se encontrar os valores de cj(t) e dj(t), que são funções que dependem
do tempo, para desta forma encontrar a resposta no tempo para cada ponto da torre ou pá, de
acordo com o valor de z ou x substituídos nas funções de formas respectivas.
ztctzv j
n
j
j
1
,
(2.32)
xtdtxu j
n
j
j
1
,
(2.33)
2.3 AMORTECIMENTO
Considerando o amortecimento, as equações 2.3 e 2.4 tornam-se as equações 2.34 e 2.35. O
amortecimento adiciona na equação da torre e da pá respectivamente, cT e cB, sendo cT= ξT ωT
AT ρT e cB= ξB ωB AB ρB . O termo ξT é o amortecimento para a torre e ξB para a pá, enquanto
ωT é a frequência natural da torre e ωB é frequência natural da pá.
0
,)(
2
),(2
2
),(2)(
2
,2
4
,4
0
v
tzvcHzdx
t
txu
BA
BHzt
tzvL
BA
BMo
z
tzv
TA
Tz
tzv
TI
TE
T
L
(2.34)
0,,
,,,2
2
2
2
4
4
t
txuc
x
txuxFc
x
t
tzvA
t
txuA
x
txuIE
B
Hz
BBBBBB
(2.35)
Esse equacionamento de foram matricial é mostrados nas equações 2.36 e 2.37, que foram
retiradas de Paidoussis (2014).
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 15
M. M. FORTES
E B
(2.36)
q
q
Q
,
0,,
0
K0
0ME
CM
MB
(2.37)
As matrizes B e E advêm das matrizes M, K e da matriz de amortecimento que é retirada
posteriormente ao Método de Galerkin em 2.34 e 2.35. O Q na equação 2.37 corresponde
força na aplicada no sistema torre-pá, enquanto q é o vetor de coordenadas que surge do
equacionamento de dinâmica de vibração livre de um sistema que é representado em 2.38.
0 qq K M
(2.38)
A equação 2.34 também torna-se um problema de autovalor e autovetor, conforme Paidoussis
(2014), quando se assume que τ= A exp(λt), reduzindo a equação 2.36 na equação 2.39.
Resolvendo o autovalor de Y em 2.40 encontram-se as frequências naturais com
amortecimento.
0AY-I
(2.39)
EBY 1-
(2.40)
A matriz I na equação 2.36 é a matriz identidade.
2.4 FORÇA APLICADA NA TORRE
O trabalho considerou também uma força, Fv, aplicada na torre para avaliação na resposta no
tempo, para isso a força foi representada conforme a equação 2.41 e apresenta sua atuação na
Figura 2.2. Na equação 2.38, P representa a força no topo da torre, conforme mostra a Figura
2.2, Ωf representa a frequência da força atuante na torre, correspondendo uma porcentagem da
primeira frequência natural da torre e t representa tempo.
16 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
2
2 )cos(
H
tPzF
f
v
(2.41)
Figura 2.2 – Modelagem da força atuando na torre eólica.
M. M. FORTES
3 RESULTADOS
Considera-se uma torre com altura H=46m, densidade ρt=7850kg/m³, diâmetro interno de
1,49m e externo de 1,50m, e modulo de Young Et=210MPa, enquanto a pá com comprimento
L=22m, densidade ρB=2770kg/m³, espessura de 0,1m e largura de 0,5m e módulo de Young
Eb=69MPa. Para essas condições se fará todos os resultados a seguir, somente mudando
algumas características físicas em alguns casos específicos que serão relatados.
3.1 SISTEMA DESACOPLADO
Neste item são apresentados resultados considerando o sistema desacoplado, ou seja, a torre
separada da pá.
3.1.1 FREQUÊNCIAS NATURAIS
As quatro primeiras frequências naturais da torre e da pá no sistema desacoplado, em que os
valores de frequência natural da pá são demonstrados na Figura 3.1, dependendo do valor da
velocidade de rotação da pá. Os valores das primeiras quatro frequências da torre com e sem
massa da nacele independem dos valores da velocidade de rotação da pá, logo são mostradas
nos quadros 3.1 e 3.2 respectivamente. Pelos quadros 3.1 e 3.2 percebe-se que o valor da
massa da nacele não alterou a frequência natural da torre, modificando-se os valores a partir
da quarta frequência natural. Pode se concluir que devido a massa da nacele ser muito inferior
a massa da torre, ela não teve grande impacto nas frequências naturais. Pela análise da Figura
3.1 podemos comprovar o que a revisão bibliográfica já havia demonstrado que à medida que
aumentamos a rotação da pá, a frequência natural desta aumenta devido ao aumento de
rigidez.
18 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
Quadro 3.1 – Valores das primeiras quatro frequências naturais da torre com a massa da nacele
Frequência Natural Valor (rad/s)
Primeira (ωT1) 4,543
Segunda (ωT2) 28,468
Terceira (ωT3) 70,700
Quarta (ωT4) 151,688
Quadro 3.2 – Valores das primeiras quatro frequências naturais da torre sem a massa da nacele
Frequência Natural Valor (rad/s)
Primeira (ωT1) 4,543
Segunda (ωT2) 28,468
Terceira (ωT3) 70,700
Quarta (ωT4) 150,791
Figura 3.1 – Valores de frequência para a pá no sistema desacoplado
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 19
M. M. FORTES
3.2 SISTEMA ACOPLADO
Neste item são apresentados resultados considerando o sistema acoplado, ou seja, a torre
juntamente com a pá. Consideram-se ao longo do tópico um sistema com uma pá e outro três
pás.
3.2.1 SISTEMA ACOPLADO UMA PÁ
Encontram-se os valores das frequências naturais do sistema acoplado considerando as
equações 2.22 e 2.23 na Figura 3.2, considerando as equações 2.20 e 2.21 na Figura 3.3 e as
equações 2.17 e 2.18 na Figura 3.4.
Cada gráfico mostra diferentes curvas das diferentes frequências naturais variando de acordo
com a velocidade rotação da pá. Foram analisados nos gráficos até cinco modos, e devido ao
fato de existir um sistema acoplado o resultado fornece dois autovalores. Para deixar claro,
para cada valor de rotação de pá consegue dois resultados, dois autovalores, sendo que esses
resultados são pontos dos valores de frequência natural para os respectivos valores de
velocidade de rotação de pá, logo para cinco modos teremos dez valores de frequência natural
para uma velocidade de rotação da pá. Esses pontos não foram ligados, não formam funções
ou linhas, mas sim são mostrados no gráfico sem ligarem uns aos outro. Nas Figuras 3.2 até
3.4 parecem que são linhas, porém isso deve a visualização afastada do gráfico, se dermos um
zoom como apresentado na Figura 3.5 pode-se ver que são pontos. As frequências naturais
desse tópico foram apresentadas coloridas para melhor entendimento dos gráficos, em que
azul é da primeira frequência natural, verde da segunda frequência natural, amarelo da terceira
frequência natural, vermelho da quarta frequência natural e preto da quinta frequência natural.
Observa-se que as Figuras 3.2, 3.3 e 3.4 apresentam gráficos diferentes, apesar de possuir as
mesmas condições de torre e isso se deve a diferentes funções de forma. Nos pontos em que
as frequências naturais se aproximam ou se unem, correspondem respectivamente aos
fenômenos de “veering” e coalescência, em que ocorre a instabilidade do sistema, ou seja,
neles provocarão deslocamentos maiores ou com uma frequência de vibração maior. São
nestes pontos que devem ser analisadas as resposta no tempo para comprovar a instabilidade.
20 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
Figura 3.2 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado, usando as equações 2.22 e 2.23.
Figura 3.3 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado, usando as equações 2.20 e 2.21.
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 21
M. M. FORTES
Figura 3.4 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado, usando as equações 2.17 e 2.18.
Na Figura 3.5 tem-se um zoom da Figura 3.2 entre as velocidades de rotação de pá 68rpm até
76rpm e entre frequências naturais de 2,5Hz até 3,5 Hz. Observa-se que na Figura 3.2 parece
que as frequências naturais são linhas que se cruzam, porém com a Figura 3.5 percebe-se que
são pontos que se aproximam e depois se distanciam. Então todos os pontos nas Figuras 3.2
até 3.4 que parecem linhas que se cruzam na verdade são frequências naturais se
aproximando. Além disso, na Figura 3.4 as frequências naturais se juntam em dois momentos
na figura, que são resultados da união da terceira e da quarta frequência natural, e não só se
aproximam. São nesses pontos de aproximação e junção das frequências naturais que analisa a
instabilidade dinâmica.
22 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
Figura 3.4 – Zoom da Figura 3.2 entre 68rpm e 76rpm no encontro da segunda e terceira frequência natural.
3.2.2 SISTEMA ACOPLADO TRÊS PÁS
Ainda com as mesmas condições de torre, utilizando as equações 2.20 e 2.21, encontram-se as
frequências naturais do sistema acoplado considerando três pás, e três modos de vibração para
o sistema, com a mesma geometria e características físicas já apresentadas anteriormente. Na
Figura 3.6 apresentam-se pontos onde as frequências naturais se aproximam, mas que
novamente devido ao afastamento do gráfico parece um cruzamento de linhas.
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 23
M. M. FORTES
Figura 3.6 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado considerando três pás, usando as equações
2.20 e 2.21.
3.2.3 SISTEMA ACOPLADO INÉRCIA VARIÁVEL
Ainda com as mesmas condições de torre e pá, e com as equações 2.20 e 2.21, decide-se
variar a seção da torre para análise das frequências naturais do sistema acoplado, mostrando o
resultado na Figura 3.7. Para a variação da torre considerou-se teria um diâmetro interno no
topo de 1,49m e externo de 1,5m, enquanto para a base um diâmetro interno de 2,99m e
externo de 3m. Observa-se que houve um aumento dos valores das frequências naturais com
diâmetro máximo maior em relação ao modelo padrão, mostrado na Figura 3.2, até o
momento, já que com inércia variável têm se maior rigidez do sistema.
3.2.4 SISTEMA ACOPLADO VARIANDO DENSIDADE DA TORRE
Com as equações 2.20 e 2.21, decide-se encontrar as frequências naturais variando a
densidade da torre e mantendo constante a velocidade de rotação da pá com 50rpm,
mostrando esse resultado na Figura 3.8. Pode-se observar que da mesma forma que os
gráficos obtidos anteriormente as frequências naturais se aproximam perto de 7000kg/m³,
onde deve ocorrer a instabilidade. Vale ressaltar novamente que parecem linhas que se
cruzam mas são pontos que se aproximam da mesma forma como mostrada na Figura 3.5.
24 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
Figura 3.7 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado com seção da torre variável, usando as
equações 2.20 e 2.21.
Figura 3.8 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado com seção da torre variável, usando as
equações 2.20 e 2.21
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 25
M. M. FORTES
3.3 RESPOSTA NO TEMPO EM VIBRAÇÃO LIVRE
Todas as respostas no tempo foram feitas considerando a análise no ponto mais alto da pá,
logo, sendo x=L, e pelo fato de a pá estar acoplada a torre soma-se este deslocamento com o
da torre de forma que z=H. Primeiramente, obteve-se as respostas no tempo usando as
equações 2.22 e 2.23, utilizando os valores velocidade de rotação da pá iguais a 50rpm,
73,5rpm e 100rpm, correspondentes respectivamente as Figuras 3.9, 3.10 e 3.11.
Figura 3.9 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 50rpm de velocidade de
rotação da pá, usando as equações 2.22 e 2.23.
Figura 3.10 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 73,5rpm de velocidade de
rotação da pá, usando as equações 2.22 e 2.23.
26 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
Figura 3.11 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 100rpm de velocidade de
rotação da pá, usando as equações 2.22 e 2.23.
Foram escolhidos tais valores de velocidade de rotação da pá para exemplificar como se dá o
deslocamento antes, durante e depois das aproximações das frequências naturais mostradas na
Figura 3.2. Para o processamento da resposta no tempo nesses casos utilizou-se de dois modos
de vibração e devido a isso se escolheu o valor de 73,5rpm, que se dá quando se aproximam
os dois primeiros modos de vibração. Percebe-se que o deslocamento permanece de forma
periódica em frequências de 50rpm e 100rpm, mas com 73,5rpm ele cresce indefinidamente,
ficando instável quando ocorre o acoplamento. Logo o que torna instável não é aumentar a
velocidade de rotação da pá, mas sim quando aproximam as frequências naturais.
Posteriormente considerou-se três modos de vibração e as equações 2.20 e 2.21 para analisar
instabilidades quando ocorre a aproximação das frequências naturais na Figura 3.3. Para isto,
analisou-se a velocidade de rotação da pá em 50rpm e 181,5rpm. Na Figura 3.12, mostra o
resultado para a frequência 50rpm, enquanto que na Figura 3.13 mostra-se a resposta no
tempo para a frequência de 181,5rpm. Observa-se que quando ocorre a aproximação das
frequências naturais, apesar não haver um deslocamento que cresce muito semelhante ao
mostrado na Figura 3.9, ele ainda cresce comparado a quando não ocorre a aproximação.
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 27
M. M. FORTES
Figura 3.12 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 50rpm de velocidade de
rotação da pá, usando as equações 2.20 e 2.21.
Figura 3.13 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 181,5pm de velocidade de
rotação da pá, usando as equações 2.20 e 2.21.
Para última análise de averiguação da instabilidade fez-se as respostas no tempo utilizando as
equações 2.22 e 2.23 e considerando três modos de vibração. Para isto, analisou a velocidade
de rotação da pá em que em 50rpm, 143,5rpm, 160rpm e 245rpm, onde em 50rpm e 160rpm
não ocorre a aproximação das frequências naturais, e 143,5rpm e 245rpm ocorre, como
apresentado na Figura 3.4. As Figuras 3.14, 3.15, 3.16 e 3.17 mostram respectivamente as
frequências para 50rpm, 143,5rpm, 160rpm e 245rpm. Observa-se que o deslocamento é
28 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
maior quando ocorre a aproximação das frequências naturais, logo em 143,5 rpm e 245rpm.
Quando se aumenta o valor da velocidade de rotação da pá de 143,5rpm para 160rpm, o
deslocamento diminuiu já que saiu da zona de instabilidade que possuía, logo, o que torna
instável não é aumentar a velocidade de rotação da pá e sim quando aproximar as frequências
naturais. Além disso, pode-se notar que ao aumentar a velocidade de rotação da pá, aumenta-
se a frequência em que se dá o deslocamento, sendo observado isto também comparando as
Figuras 3.12 e 3.13.
Figura 3.14 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 50rpm de velocidade de
rotação da pá, usando as equações 2.22 e 2.23.
Figura 3.15 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 143,5rpm de velocidade de
rotação da pá, usando as equações 2.22 e 2.23.
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 29
M. M. FORTES
Figura 3.16 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 160rpm de velocidade de
rotação da pá, usando as equações 2.22 e 2.23.
Figura 3.17 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 245rpm de velocidade de
rotação da pá, usando as equações 2.22 e 2.23.
Pode-se então concluir que se faz necessária a analise do sistema acoplado, já que no sistema
não acoplado não é possível analisar essa aproximação de frequências que causaria a
instabilidade dinâmica.
30 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
3.4 AMORTECIMENTO
Para o amortecimento utilizou-se três modos de vibração, amortecimento de 1% e as equações
2.20 e 2.21 para obter as frequências naturais. Na Figura 3.18 mostram-se os resultados da
frequência pela velocidade de rotação da pá. Pode-se observar que as frequências naturais
apesar de ainda se aproximarem, não se juntam e ficam mais distantes, desse modo o
amortecimento impede a instabilidade ou a diminui.
Figura 3.18 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado com amortecimento, usando as equações
2.20 e 2.21.
Fazendo a resposta no tempo para a velocidade de rotação da pá em 181,5rpm conforme feito
na Figura 3.13, só que agora com amortecimento de 1%, obtém-se a Figura 3.19, mostrando o
já esperado: a diminuição do deslocamento máximo, bem como a diminuição do
deslocamento ao longo do tempo até zerar.
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 31
M. M. FORTES
Figura 3.19 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado com amortecimento, considerando
181,5rpm de velocidade de rotação da pá, usando as equações 2.20 e 2.21.
3.5 RESPOSTA NO TEMPO FORÇADA
Para a resposta no tempo com força, considerou-se amortecimento de 1%, três modos de
vibração e as equações 2.20 e 2.21. Analisou-se a resposta no tempo para quatro casos: P =0
(Figura 3.20); P=10000N e Ωf=0,5ωT1 (Figura 3.21); P=1000N e Ωf=ωT1 (Figura 3.22);
P=1000N e Ωf=2ωT1 (Figura 3.23). Lembrando que ωT1 é a primeira frequência natural da
torre, mostrada no quadro 3.1. Comparando 3.19 e 3.20, observa-se que a aplicação da força
demonstra deslocamento maior, como já esperado, e, além disso, apesar de possuir
amortecimento, a torre continua com deslocamentos pequenos, já que a força é aplicada
periodicamente. Constatou-se também que a medida que se aumenta o valor de Ωf, ou seja, o
valor da frequência de aplicação da força na torre, o deslocamento diminui, podendo analisar
este ponto observando as Figuras de 3.21 até 3.23.
32 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas
M. M. FORTES
Figura 3.20 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P =0, usando as equações
2.20 e 2.21.
Figura 3.21 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P=10000N e Ωf=0,5ωT1,
usando as equações 2.20 e 2.21.
Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 33
M. M. FORTES
Figura 3.22 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P=1000N e Ωf=ωT1, usando
as equações 2.20 e 2.21.
Figura 3.23 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P=1000N e Ωf=2ωT1,
usando as equações 2.20 e 2.21.
M. M. FORTES
4 CONCLUSÕES
Neste trabalho foi estudada a instabilidade dinâmica e a resposta dinâmica do sistema torre
eólica-pás quando submetidas à ação da rotação das pás, a resposta dinâmica do sistema
quando submetido a cargas dinâmicas de vento harmônico.
A teoria linear de vigas de Euler-Bernoulli foi usada para encontrar as equações diferencias de
equilíbrio dinâmico do sistema. A partir das equações diferenciais de equilíbrio dinâmico do
sistema, foi aplicado o Método de Galerkin para obter o sistema de equações diferenciais
ordinárias de movimento que são resolvidas usando o Método de Runge-Kutta. Inicialmente,
foram calculadas as frequências naturais do sistema acoplado e desacoplado, para valores
incrementais de velocidade de rotação das pás considerando a rotação das pás torres eólicas
acopladas visando observar os fenômenos de “veering” e de coalescência. A seguir, uma
análise paramétrica é desenvolvida visando observar a resposta dinâmica do sistema quando
submetido a cargas de vento.
Foram obtidas as frequências naturais do sistema acoplado para valores incrementais da
velocidade de rotação das pás, dependendo da geometria do sistema, é possível observar que o
fenômeno de “veering” bem como a coalescência, onde o sistema se torna instável.
Por fim observou-se o efeito do amortecimento na frequência natural e na resposta no tempo,
onde foi possível verificar que este parâmetro tem grande influência no comportamento do
sistema. Pode-se observar também que, quando é aplicada uma força de vento harmônico, os
deslocamentos transversais da torre aumentam e diminuem dependendo da razão da
frequência do vento em função da frequência natural do sistema
Como estudos posteriores recomenda-se o estudo de uma análise não linear do problema, de
uma relação entre a força aplicada e a velocidade rotação da pá de forma complexa,
considerando a modelagem da força baseada na velocidade do vento de acordo com a altura.
M. M. FORTES
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