Exerccios

CIV2106 Instabilidade das Estruturas 2014.2

Provas Anteriores Parte II Prof. Raul Rosas e SilvaCIV2106 Instabilidade das Estruturas 2006.2

Prova da Parte II Raul Rosas e Silva 7/12/2006

1. [0,5+0,5+1,0+1,0] Obtenha a carga crtica da coluna engastada e livre da Fig. 1a, submetida a uma carga axial de direo constante, considerando uma funo na forma para o deslocamento transversal. Determine primeiramente o valor apropriado da relao entre os coeficientes a e b, e utilize (a) o quociente de Rayleigh e (b) o quociente de Timoshenko. A seguir (c) empregue o quociente de Rayleigh para calcular a carga de flambagem do prtico da Fig. 1b.

2. [2,0]Uma coluna engastada e apoiada, conforme mostrado na Fig. 2, por alguma razo, deve ser enrijecida quanto flexo no plano xy com uso de foras dirigidas para os pontos A e B, sem acrescentar rigidez no plano xz (sugere-se usar o sistema de cargas mostrado). Qual o valor da distncia d para que a carga crtica fora do plano (rotao (z) fique igual carga crtica no plano (rotao (y) ?

Figura 2

3. [1,0+1,0] A extremidade da viga da Fig. 3 est sujeita a dois momentos M, que se equilibram mas so aplicados de diferentes formas. Obtenha os valores crticos de M, para diferentes formas de comportamento ps-crtico, conforme as Figs. 3a e 3b. (Tome s as rotaes indicadas.) Caso haja necessidade de considerar efeitos dinmicos, admita que h uma inrcia rotacional r, em ambas as direes, concentrada na extremidade da viga.

4. (2,0) Calcule a carga crtica do prtico A abaixo (pode considerar diretamente os coeficientes de rigidez elstica e geomtrica, desprezando deformaes axiais), considerando que as cargas mantm magnitude constante durante a flambagem mas so oriundas de atuadores (macacos) fixados a uma distncia d acima dos ns superiores do prtico A (vide no detalhe direita o comportamento das foras aps/durante a flambagem).

5. (1,0) Obtenha, justificando com uso de matrizes geomtricas, as cargas crticas de uma viga bi-apoiada de seo simtrica sujeita a uma fora de protenso centrada N e uma fora aplicada P na extremidade, quando (a) o cabo de protenso aderente linha mdia, aps a deformao e (b) quando o cabo externo viga, preso na extremidade inferior.

RESOLUO DA PROVA-2006

01. Funo de forma: ( deslocamento transversal condies de contorno

a) quociente de Rayleigh

e

Para o coeficiente de Rayleigh, preciso de e

Sabendo que

Ento temos que

Por trigonomia, sabe-se que:

Ento temos que

b) coeficiente de Timoshenko

Fazendo as integrais

Ento, temos que

c) empregue o quociente de Rayleigh para calcular a carga de flambagem do prtico da Fig. 1b

Fazendo as integrais, temos que

De posso desses valores, substituir na expresso anterior

2. ). Qual o valor da distncia d para que a carga crtica fora do plano (rotao (z) fique igual carga crtica no plano (rotao (y) ?Sabendo que :

Usando matrizes de

S h um deslocamento, considerer (matriz 1x1)

Rigidez da coluna engastada e livre:

Rigidez geomtrica:

Rigidez das cargas:

CIV2106 Instabilidade das Estruturas 2007.2

Prova da Parte II Prof. Raul Rosas e Silva 10/12/2007

1. [2,0] Obtenha a carga crtica nominal da estrutura abaixo (2 barras inclinadas, 1 horizontal. Mostre em que situao prevalece o modo de flambagem de trelia (do conjunto) sobre o de flambagem isolada dos elementos. [Pista: montar matrizes de rigidez elstica e geomtrica, para 2 g.l. de translao.]

2. (2,0) Calcule aproximadamente a carga crtica de uma viga-coluna em balano, ligada a uma base elstica tipo Winkler, submetida a duas cargas axiais de direo constante, na extremidade e no meio do vo. Use uma funo polinomial cbica para o deslocamento transversal, com 4 constantes a determinar. [Obs.: 2 constantes podem ser eliminadas considerando as condies essenciais no engaste.)

3. [2,0] (a) Mostre como obter uma estimativa da carga crtica (mnima) de um tubo alongado sob presso externa, flambando no plano transversal, usando o quociente de Rayleigh com um termo trigonomtrico sen(n(x/L) e as expresses (aproximadas) de energia e, onde v o deslocamento radial (positivo para dentro) correspondente ao modo de flambagem. Ateno: admita ainda que no interior do tubo h um material que funciona como uma base elstica Winkler na direo radial, de constante k.

4. [2,0+2,0] Uma viga est sob ao de duas foras iguais e opostas, de direo constante, aplicadas a um bloco rgido em sua extremidade (centro de cada face). (a) Calcule as cargas crticas para flambagem no plano e fora do plano. (b) Recalcule a carga crtica (esttica ou dinmica), considerando agora que uma das foras aplicadas acompanha a rotao da viga aps a flambagem. [1,5+0,5+1,0]

CIV2106 Instabilidade das Estruturas 2008.2

Prova da Parte II Prof. Raul Rosas e Silva 11/12/20081. [0,5+1,0+1,0] Obtenha a carga crtica nominal da estrutura abaixo (flambando como trelia, 2 g.l.) , considerando os seguintes comportamentos de carga logo aps a flambagem: (a) magnitude e direo constantes; (b) magnitude constante, dirigida para o ponto A; e (c) direo constante, magnitude proporcional ao deslocamento horizontal do n.

2. [0,5+2x0,5+2x0,5] Obtenha a carga crtica da coluna engastada e livre da Fig. 1a, submetida a uma carga axial, considerando uma funo na forma para o deslocamento transversal. Determine primeiramente o valor apropriado da relao entre os coeficientes, satisfazendo as condies essenciais de contorno. Utilize (a) o quociente de Rayleigh e (b) o quociente de Timoshenko, para os casos de carga de direo constante e dirigida para o apoio.

3. [0,5+0,5+0,5] Um engenheiro no campo precisa de estimativas para as cargas crticas, no plano e fora do plano, de um anel fino de raio R, com seo retangular de lados b e t (