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Universidade Federal do Paraná - UFPR Setor de Ciências Agrárias - SCA Curso de Pós-Graduação em Gestão Florestal – Ed. a Distância

Depto de Economia Rural e Extensão - DERE

Prof.ª Ghislaine Bonduelle, Drª UFPR

Mód. Qualidade Total para a Produção Florestal

INSPEÇÃO

SUMÁRIO INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM

DEFINIÇÃO DOS NIVEIS DE QUALIDADE E RISCOS

INTERPRETAÇÃO DA CCO

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

_______________________________________________________________________________________________UFPR – Curso de Pós-Graduação em Gestão Florestal - mód. Qualidade Total para a Produção Florestal

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INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM INTRODUÇÃO:

Devido a grande diversidade de peças a serem controladas, tanto na

Inspeção de Recebimento, como na Fabricação, torna-se impossível em alguns

casos o controle 100% de todas as características. Por este motivo adotou-se um

sistema de controle por amostragem.

Esse sistema se baseia em amostras formadas por um certo número de

peças extraídas do lote de acordo com regras bem determinadas.

A partir das informações obtidas no exame da amostra, inferem-se em bases

estatísticas das características da qualidade dos lotes orientando a decisão de

aceitar ou rejeitar os que atendem, ou não, as especificações.

A utilização desse sistema não oferece uma segurança ou certeza total

desses resultados devido ao erro amostral, que é o desvio na amostra em relação

ao valor real. Sabemos também que o controle 100% não oferece certeza

absoluta. Entretanto, ele sempre fornece maior informação sobre a qualidade do

lote que a inspeção por amostragem. A única grande vantagem da inspeção por

amostragem em relação à inspeção 100% tem razões puramente econômicas.

Devido ao erro amostral podemos incorrer em dois tipos de risco:

• Um lote de má qualidade pode ser aprovado;

• Um lote de boa qualidade pode ser rejeitado.

Nada impede que, de um lote de 2000 peças, das quais 60 são defeituosas

(3%), obtenhamos 4 peças defeituosa em uma amostra de 100 peças, das quais

admitiremos no máxima 3 peças defeituosas.

Esse erro, entretanto, não ocorre de forma descontrolada, desde que a

amostra seja retirada aleatoriamente (ao acaso) do lote. Determinadas leis


3

probabilísticas regem os limites de variação desse erro. Assim, para o erro acima,

o lote tem a probabilidade de 65% de ser aceito e 35% de ser rejeitado, calculadas

pelo modelo matemático binomial.

Em outras palavras, se 100 lotes ou remessas de qualidade igual a 3% forem

inspecionados por um plano de amostragem n= 100 e o número de aceitação a

=3. 65 desses lotes serão provavelmente aceitos e 35 rejeitados. Quanto maior for

a porcentagem de peças defeituosas no lote, menor será a probabilidade de

aceitação. Essa situação pode ser representada graficamente através da CCO –

Curva Característica Operacional do plano de inspeção por amostragem aleatória,

cujo exemplo está representado na figura 1 abaixo.

A CCO define, para cada plano de amostragem, a probabilidade de aceitação

(P) de um lotes que tenha uma qualidade (p) em fração defeituosa. Ao ser esse

lote submetido a inspeção através de uma amostra de tamanho n, retirada

aleatoriamente do lote, e um critério de aceitação (a) do lote ou da remessa.


4

Figura 1

DEFINIÇÃO DOS NIVEIS DE QUALIDADE E RISCOS

Se a amostra fosse uma representação exata do lote, isto é, se não

existissem o erro amostral, os problemas de decisão na aceitação ou rejeição do

lote não existiriam. Esse plano ideal teria o maior poder discriminante, isto

conseguiria separar todos os lotes bons dos ruins, isto é, a amostra seria uma

representação fiel do lote, conforme mostra a Figura 2. Como a distribuição

amostral se apresenta desviada em relação à distribuição do lote (erro amostral),

surge a necessidade de definir os níveis de qualidade e os respectivos riscos que

cada plano de amostragem possui ao se operar com ele. Quanto maior for a

declividade da CCO, maior é o poder discriminante do plano, ou seja, maior é a

habilidade do plano em separar os lotes bons dos lotes ruins.


5

Já vimos que um lote de boa qualidade pode ser às vezes rejeitado,

enquanto que um outro de má qualidade pode ser aceito. Portanto, ao operar com

um determinado plano de amostragem, aquele que recebe o lote (consumidor),

está assumindo um risco de aceitar um lote de má qualidade, enquanto que

aquele que fornece o lote (produtor) assume o risco de ver o seu lote de boa

qualidade ser rejeitado.

Nos planos de amostragem normalmente utilizados, esses riscos giram em

torno de 5% para o Produtor e 10% para o Consumidor.

O Risco do produtor (α) é a probabilidade de rejeição de um lote de boa qualidade, ao ser inspecionada por uma amostra de tamanho n e número de aceitação ª O Risco do Consumidor (β) é a probabilidade de aceitação de um lote de má qualidade ao ser inspecionado por uma amostra de tamanho n e número de aceitação a Um lote é considerado de boa qualidade quando a fração defeituosa (p) do lote for menor ou igual ao valor de NQA pré-estabelecido. NQA –Nìvel de Qualidade Aceitável é definido pela MIL STD 105D (NBR 5426) como sendo a máxima porcentagem defeituosa (ou máximo de defeitos por 100 unidades) que para fins de inspeção por amostragem pode ser considerada satisfatória como média de um processo. O valor de NQA é pré-fixado em contratos ou outros documentos. Um lote é considerado de má qualidade quando a fração defeituosa (p) for maior ou igual ao valor de QL(Qualidade Limite) , também chamada de FDT (Fração Defeituosa Tolerável). QL – Qualidade Limite é definida como sendo o limite mínimo de porcentagem de peças defeituosas (número mínimo de defeitos por 100 unidades) acima do qual o lote é considerado de má qualidade. a = Numero de Aceitação número máximo de defeitos aceitos em uma amostra de tamanho n. r= número de rejeição número de defeitos a partir do qual a amostra é rejeitada. Normalmente r= a+1 n= tamanho da amostra, ou seja, número de itens da amostra.


6

Figura 2 - Localização dos elementos na CCO SISTEMAS DE AMOSTRAGEM Existem vários sistemas de amostragem, mas os mais conhecidos são somente 3: Mil-Std (baseado em AQL) Dodge-Romig (baseado em LTPD e em AOQL *1) Philips SSS ( Standard Sampling System) (baseado em Pa = 0,5)

O sistema de amostragem da MIL STD baseia-se no valor do NQA, isto é, para um mesmo valor de NQA existem planos de amostragem que variam os seus tamanhos de amostra e os respectivos números de aceitação de acordo com o tamanho do lote. O sistema MI LSTD visa proteger o produtor.

O sistema Dodge-Romig baseia-se no valor de LTPD (Lot Tolerance Percent Defective). Existe um mesmo valor de LTPD, para uma serie de curvas características de operação (CCO), de acordo com o tamanho do lote. O sistema Dodge-Romig visa proteger o consumidor quando a base for LTPD. Existe também o sistema AOQL planejamento pelo Dodge-Romig.

*1 AOQL (Average Outgoing Quality Limit) = LQMR (Limite da Qualidade Média Resultante) é o valor Maximo da qualidade média resultante (QMR) de todo um processo de inspeção por amostragem, que é determinada ataves dos resultados de todos os lotes aceitos e rejeitados, após estes últimos terem sido inspecionados 100% e todas as defeituosas serem substituídas por peças boas.

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O sistema Philips SSS baseia-se no valor de P 0,5 (ponto de indiferença), no qual produtor e consumidor possuem o mesmo risco. Neste texto vamos nos ater ao Sistema de Amostragem pela Mil STD105D. TIPOS DE PLANOS POR AMOSTRAGEM Existem dois tipos de planos por amostragem: Por atributos Por variáveis Os planos de amostragem por atributos são usados na inspeção por atributos. Inspeção por atributos é aquela segunda a qual a unidade de produto é classificada simplesmente como defeituosa ou não ( ou o número de defeitos é contado), em relação a um dado requisito ou a um conjunto de requisitos (MIL STD 105D e NBR 5426) Os planos de amostragem por variáveis são usados na inspeção por variáveis. Inspeção por variáveis é aquela segundo a qual uma característica de qualidade em uma unidade do produto é medida numa escala contínua, tal como: quilograma, metros, metros por segundo, etc. e o resultado de cada medição é anotado (MIL STD 414). Cada sistema de amostragem pode possuir ainda: Planos de Amostragem Simples onde a decisão de aceitação/rejeição do lote é tomada após a realização da inspeção de uma única amostra. Vamos supor que toma-se uma amostra de 200 peças (letra código L) e o número de aceitação a= 5 e r= 6 para um NAQ =1,0%. Se a quantidade de defeitos na amostra for menor ou igual a 5, aceita-se o lote; se for igual ou maior que 6, rejeita-se o lote. Plano de amostragem dupla onde a decisão pode ser tomada em até duas amostras. Para exemplificar, vamos supor que o plano de letra código L , NQA = 1%, 1a. amostra = 125 peças, a1 (aceitação da 1a. amostra)= 2 peças, r1(rejeição da 1a. amostra)=5 peças; 2a.amostra = 125 peças; amostra total = 250peças, at (aceitação da amostra total)=6, rt (rejeição da amostra total)=7. Se a quantidade de defeituosas na 1a. amostra for menor ou igual a 2, aceita-se o lote; se for maior ou igual a 5, rejeita-se o lote. Caso a quantidade de defeituosas na 1a. amostra seja maior que 2 e menor que 5, tira-se a 2a. amostra. Se a quantidade de defeituosas da 1a amostra mais a da 2a. amostra for menor ou igual a 6, aceita-se o lote; se for maior ou igual a 7, rejeita-se o lote.


8

Plano de amostragem múltipla onde a decisão pode ser tomada em até sete amostras. O procedimento para sua utilização é semelhante ao do plano duplo. È mais econômico que o plano simples e o plano duplo correspondentes para lotes de boa ou má qualidade, entretanto,tem a sua aplicação limitada pela dificuldade em administra-lo. Um plano de amostragem é então definido em função de: NQA, n, a e r.

• Define-se o NQA • Define-se o tipo de amostragem : simples, dupla ou múltipla • Define-se o nível da inspeção : normal, severa ou atenuada. • Toma-se a letra código, no nível de inspeção II, em função do tamanho da

produção • Com a letra código e o NQA define-se o plano de amostragem PL (n, a, r)

Níveis de amostragem: são usadas para controlar o poder discriminante dos planos de acordo com a qualidade dos lotes. È uma forma de conseguir reduções nos custos da amostragem. Nível de inspeção normal; Normalmente a inspeção começa no nível normal.. Caso em 5 (cinco) amostragens consecutivas, duas forem rejeitadas, sinal que a qualidade do lote diminuiu, passa-se a inspeção severa. Nível de inspeção severa: Se em 5 amostragens consecutivas nenhuma for rejeitada, melhorou a qualdiade do lote, passa-se para a inspeção normal. Nível de inspeção atenuada: Se em dez inspeções normais nenhuma for rejeitada, melhorou a qualidade do lote, passa-se a inspeção atenuada. Uma única rejeição na atenuada volta-se para a normal.

INTERPRETAÇÃO DA CCO As curvas características podem se apresentar com declividades

(inclinações diferentes. Esta inclinação depende do tamanho da amostra (n) e do

critério de aceitação (a)

Quanto mais íngreme for a curva, maior também será a proteção do

consumidor e do produtor. Maior é o pode discriminante do plano de amostragem


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de lotes bons e ruins, isto é, maior é a habilidade do plano em distinguir lotes bons

dos lotes ruins.

Quanto maior for o tamanho da amostra (n) maior será a chance de

encontrar peças defeituosa, portanto aumenta a declividade da curva e cai a

probabilidade de aceitação do lote.

Quanto maior for o número de aceitação (a) menor será a declividade da

curva e aumenta a probabilidade de aceitação do lote.

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

1 Considerações preliminares

1.1 Atributos Uma característica de qualidade ao ser avaliada, através de uma

classificação, apesar da possibilidade de ser expressa em números, não implica,

necessariamente, numa mensuração.

Por exemplo:

- Dispondo de uma classificação de cores, através de comparação visual, é

possível identificar a cor empregada no acabamento de uma peça;

- Numa avaliação de diâmetro de eixos, pode-se utilizar um calibre simples

“passa”, ou seja, o item examinado será considerado satisfatório ou insatisfatório,

de acordo com o critério pré-estabelecido para utilizar o calibre, ou então, os eixos

podem ser classificados em menores ou maiores (que passam ou não no calibre);

- Avaliação de qualidade pela presença ou ausência de defeitos, como na

presença de rugosidade em superfícies metálicas.

Em todos os exemplos citados, a variação da qualidade é descrita


10

pela classificação e analisada por meio da técnica atributos. O resultado da

avaliação de um atributo poderá ser expresso por um número, em conseqüência

de uma contagem e, para tanto, atribui-se o valor “0”, quando verificado a

ausência do atributo em um item, e o valor “1”, quando verificado sua presença.

Exemplificando:

Numa inspeção de lâmpadas, considera-se “não acende” como atributo, o

que constitui um defeito. Portanto, uma lâmpada examinada poderá acender,

fornecendo o resultado “0” (ausência de atributo), ou não acender,

correspondendo ao resultado “1” (presença do atributo). Ou seja, numa amostra

de 100 lâmpadas, se 3 não acendem, a fração defeituosa na amostra corresponde

a 3%. Esta é uma das formas mais comuns de avaliação de qualidade.

1.2 Variáveis

Outro tipo de resultado numérico, comum na avaliação de uma

característica de qualidade, originada na mensuração e correspondendo a leituras

em uma escala. Por conseguinte, a variabilidade é descrita pelos diversos valores

possíveis dentro do intervalo da escala analisada pela técnica das variáveis. Cada

mensuração origina um único número descritivo da característica examinada.

Exemplos:

- Mensurações de comprimento de uma haste;

- Mensurações de diâmetros interno e externo de um tubo;

- Mensurações de propriedades como a resistência elétrica, ou tempo de

fusão, de um elo corta-circuito.

Esta técnica admite, em teoria, a subdivisão ilimitada da escala, supondo

que a variável seja contínua, ou seja, considerando a possibilidade de se tomar

qualquer valor no intervalo da escala. Contudo, na prática, a continuidade é

limitada pela precisão do processo de medição, o qual é vinculado à precisão dos

instrumentos de medição.


11

1.3 Vantagens e desvantagens entre atributos e variáveis

É comum a não possibilidade, ou condição anti-econômica, de se realizar a

mensuração de uma característica de qualidade. Portanto, recorre-se à avaliação

de atributos, verificando, neste caso, se o item satisfaz especificações

razoavelmente definidas, como no caso de peças defeituosas ou perfeitas, de

acordo com uma lista de defeitos.

A técnica de variáveis fornece informações mais completas sobre a

qualidade, além de apresentar vantagens indiscutíveis ao exigir amostras

menores. Contudo, a técnica de atributos é normalmente mais rápida, e sua

execução é mais simples, com menor exigência de pessoal preparado.

Por exemplo, através da técnica de variáveis, em mensurações muito

precisas de características essenciais, consegue-se mais informação sobre a

qualidade do que seria possível com atributos. Entretanto, no caso de aplicação

desta técnica em fábricas, exige-se um trabalho de cálculo aritmético longo.

1.4 Número de aceitação e rejeição

Na construção de plano de amostragem simples, fixa-se, para que uma

partida seja aceitável na inspeção, o número máximo de defeituosos (a = número

de aceitação) permitido na amostra de tamanho “n”.

Ocorrendo na amostra um ou mais defeituoso além do “a”, a partida será

rejeitada, sendo o número de rejeição “r”, em que:

r = a + 1 e 0 ≤ a ≤ (n-1) e 1 ≤ r ≤ n

A probabilidade de que ocorram, no máximo, “a” defeituosos na amostra,

será calculada por uma das expressões da probabilidade acumulada F(x) do tipo

de distribuição aplicável binomial; hipergeométrica; e de Poisson.

1.5 Probabilidade de aceitação e rejeição

Determinado o número de aceitação “a”, para amostras de tamanho “n”,


12

extraídas de partidas com fração defeituosa “p”, a probabilidade de aceitação da

partida F(a) será igual à probabilidade de que ocorram, na amostra, no máximo,

“a” defeituosos F(a) = p (0 ≤ d ≤ a) e o seu cálculo se realizará conforme o tipo de

distribuição adotado em cada caso, com x = d.

A probabilidade de rejeição, por conseguinte, será a probabilidade de que

ocorram, na amostra, ao menos “r” defeituosos:

1 – F(a) = p (d > a) = p (r ≤ d ≤ n)

2 Inspeção da qualidade

A inspeção da qualidade é um processo de verificação de lotes ou amostras

a fim de determinar se a qualidade do produto atende às especificações.

É importante ressalvar que a inspeção da qualidade não previne defeitos, e

sim, constata-os. Todavia, há uma tendência da inspeção da qualidade cair em

desuso, em virtude da ocorrência do controle em cada etapa de um processo.

2.1 Distribuição de probabilidades As distribuições de probabilidades se relacionam com a inspeção de

atributos ou no controle destes.

2.1.1 Distribuição binomial

Esta distribuição descreve experimentos independentes, repetidos em

condições estáveis. Além disso, apenas dois resultados são possíveis em cada

repetição: peça defeituosa ou peça perfeita; sucesso ou fracasso.

A amostragem realizada é feita com reposição, ou seja, a probabilidade de

se obter uma peça defeituosa permanece constante.

Em uma repetição, a probabilidade de ocorrer peça defeituosa é “p”, e a de

ocorrer peça não-defeituosa é “q”. Como as repetições são idependentes, a

probabilidade de ocorrerem “x” peças defeituosas, em “n” repetições, é:


13

Média dos “x” = n × p

Desvio padrão = xnx qp

xn

xf −××⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=)( qpn ××

Portanto, a probabilidade de ocorrer, no máximo, “a” peças defeituosas, em

“n” repetições, é:

Coeficiente ( ) ∑=

=

−××⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ax

x

xnx qpxn

aF0 ( )!!

!xnx

nxn

−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ é o

número A soma dos f(x), de combinações simples de “n”

objetos, desde x = 0 até x = a tomadas x a x.

Sendo:

n = número de peças na amostra; x = defeitos na amostra; N = número de peças

de uma partida de produção.

Exemplo:

(por convenção) ou ou = 1

10 =Cn⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛05

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0

10⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0n

1203218910

310

4521910

210

101

101

10

1321123

33

32123

23

313

13

33

23

13

=××××

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

××

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=××××

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

××

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛CCC

A distribuição binomial é utilizada em amostras com f = n / N = < 0,10 de

partidas grandes.

Exemplo:

1. Numa partida de 200 peças produzidas por uma determinada máquina, faz-se

uma amostragem de 10 peças ao acaso. Supondo que a probabilidade de que _______________________________________________________________________________________________

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uma peça produzida seja defeituosa é de 0,2, qual a probabilidade de aceitação,

havendo até uma peça defeituosa nesta amostra?

f = 10/200 = 0,05 < 0,10 binomial

p = 0,2 então q = 0,8; n = 10; x = até 1

Aceitação 37,57% (até uma peça defeituosa)

Rejeição = 1 – F(a) = 1 – 0,3757 = 0,6243 = 62,43%

(acima de uma peça defeituosa)

2. Em uma partida de 1000 peças, a fração defeituosa é de 0,04. Calcular as

probabilidades de aceitação e de rejeição da partida, com amostras de 50 peças,

com até 3 peças defeituosas?

N = 1000; p = 0,04 então q = 1 – 0,04 = 0,96; n = 50; a = 3

f = n/N = 50/1000 = 0,05 < 0,10 binomial

Aceitação 86,09% (até 3 defeituosos)

Rejeição 1 – F(a) = 1 – 0,8609 = 0,1391 = 13,91%

( ) 3757,02680,01073,08,02,01

108,02,0

010 1101

0

0100 =+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

=

=

−−∑ax

x

xnx qpxn

xF

( )

8609,096,004,03

5096,004,0

250

96,004,0150

96,004,00

50

35032502

1501

0

500

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

−=

=

−∑ax

x

xnx qpxn

aF

2.1.2 Distribuição hipergeométrica

Conhecida como distribuição de tiragem exaustiva, pois descreve a

amostragem sem reposição, considerando uma população N, cuja fração inicial de

defeituosos seja p = D/N.


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A lei hipergeométrica se aproxima da binomial quando as extrações são

independentes, caso em que a probabilidade de sucesso se mantém constante, de

extração para extração. Entretanto, não havendo reposição, deixa de haver

independência, e a probabilidade de sucesso varia de extração para extração. O

cálculo dos termos desta distribuição é muito trabalhoso, e deverá ser empregado

quando houver partidas pequenas (f > 0,10, sendo f = n/N), com ensaios

destrutivos.

Extraída de uma amostra de tamanho “n”, a probabilidade de que ela

contenha “x” peças defeituosas será:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

nN

xnDN

xD

xf

Portanto, para o cálculo da probabilidade de até “a” defeituosos:

( ) ∑=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=ax

x

nN

xnDN

xD

xF0

Sendo: F(x) probabilidade de aceitação; D número de peças defeituosas em

um lote; x número máximo de defeitos aceitáveis em uma amostra; N

número total de peças em um lote; n número de peças em uma amostra; média

de x = n.p e desvio padrão = ( ) qpnf ⋅⋅⋅−1 ; f = n/N e q = 1-p.

Exemplo:

Considerando um lote de 50 peças, apresentando duas peças defeituosas.

Qual a probabilidade de aceitação e rejeição da partida, sendo inspecionada uma

amostra de 10 peças e o número de aceitação de até 1 defeituoso?

N = 50; D = 2; n = 10; a = 1

f = n/N = 10/50 = 0,2 f > 0,10 hipergeométrica

( ) ∑=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=ax

x

nN

xnDN

xD

xF0


16

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 9632,03265,06367,010

3265,0

1050

110250

12

16367,0

1050

010250

02

0

=+==+==

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==

aFaFaF

aFaF

Aceitação F(a) = 96,32%

Rejeição 1- 0,9632 = 3,7%

2.1.3 Distribuição de Poisson

Conhecida como “lei dos eventos raros”, descreve a ocorrência de pequeno

número de vêzes sem periodicidade, em grande número de repetições. Esse é o

caso de amostragem, com ou sem repetição, em que f = n/N seja menor do que

0,10, com partidas de baixa fração de defeituosos p < 0,10 ou 10%. Utilizada

como aproximação da binomial, quando a fração de amostragem for menor do que

0,10 e a fração de defeituosos for baixa p < 0,10, como normalmente ocorre.

A probabilidade de ocorrerem até “x” defeituosos na amostra de tamanho

“n” é:

( ) ( )∑=

=

⋅−⋅⋅=

ax

x

pnx

xepnxF

0 !

Sendo:

e = 2,7183;

pn ⋅ = número de defeitos (média e quadrado do desvio padrão)

Exemplos:

1. Em um intervalo de tempo, um certo tipo de prensa mostrou, em média, 1,5

problemas de conserto. Qual a probabilidade de aceitação de que no mesmo

intervalo uma destas prensas exija até 2 consertos?

n.p = 1,5


17

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅=

⋅⋅=

−−−=

=

⋅−

∑ !27183,25,1

!17183,25,1

!07183,25,1

!

5,125,115,10

0

ax

x

pnx

xepnxF

F(a) = 0,223130 + 0,334695 + 0,251021 = 0,808846

Aceitação 80,88% (para até 2 consertos)

Rejeição 1 – 0,808846 = 0,19115 = 19,12%

2. Qual a probabilidade de aceitação de uma amostra de tamanho 100, no caso da

ocorrência das seguintes frações defeituosas no lote: 0,01; 0,02; 0,03 e 0,04? As

amostras serão aceitas se apresentarem até 1 defeito.

n = 100; p = 0,01, 0,02, 0,03 e 0,04 n.p = 1, 2, 3 e 4

Para n.p = 1:

( ) 7358,036788,036788,0!1

7183,21!0

7183,2111110

=+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+

⋅==

−−

xF

F(x=1)=73,58%

Para n.p = 2:

( ) 4060,027067,013534,0!1

7183,22!0

7183,2212120

=+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+

⋅==

−−

xF

F(x=1)=40,60%

Para n.p = 3:

( ) 1992,014936,004979,0!1

7183,23!0

7183,2313130

=+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+

⋅==

−−

xF

F(x=1)=19,92%

Para n.p = 4:

( ) 09158,007326,001832,0!1

7183,24!0

7183,2414140

=+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+

⋅==

−−

xF

F(x=1)=9,158%


18

3. Uma partida de 1000 peças com fração defeituosa de 0,04. Calcular as

probabilidades de aceitação e de rejeição da partida, com amostras de 50 peças,

para até 3 defeituosos?

f = n/N = 50/1000 = 0,05 < 0,10; p = 0,04 < 0,10 e n.p = 2,0 < 10

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+

⋅+

⋅+

⋅==

−−−−

!37183,22

!27183,22

!17183,22

!07183,223

23222120

xF

F(x=3)= 0,13534 + 0,27067 + 0,27067 + 0,18045 = 0,85712

Aceitação F(x=3)= 85,71%

Rejeição 1 – 0,8571 = 0,1429 = 14,29%


19

Distribuição DE POISSON: PROBABILIDADES ACUMULADAS F(d)

d=a np 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0,02 0,980 1,000 0,04 0,961 0,999 1,000 0,06 0,942 0,998 1,000 0,08 0,923 0,997 1,000 0,10 0,905 0,995 1,000

0,15 0,861 0,990 0,999 1,000 0,20 0,819 0,982 0,999 1,000 0,25 0,779 0,974 0,998 1,000 0,30 0,741 0,963 0,996 1,000

0,35 0,705 0,951 0,994 1,000

0,40 0,670 0,938 0,992 0,999 1,000 0,45 0,638 0,925 0,989 0,999 1,000 0,50 0,607 0,910 0,986 0,998 1,000

0,55 0,577 0,894 0,982 0,998 1,000 0,60 0,549 0,878 0,977 0,997 1,000 0,65 0,522 0,861 0,972 0,996 0,999 1,000 0,70 0,497 0,844 0,966 0,994 0,999 1,000 0,75 0,472 0,827 0,959 0,993 0,999 1,000

0,80 0,449 0,809 0,953 0,991 0,999 1,000 0,85 0,427 0,791 0,945 0,989 0,998 1,000 0,90 0,407 0,772 0,937 0,987 0,998 1,000 0,95 0,387 0,754 0,929 0,984 0,997 1,000 1,00 0,368 0,736 0,920 0,981 0,996 0,999 1,000

1,1 0,333 0,699 0,920 0,974 0,995 0,999 1,000 1,2 0,301 0,663 0,879 0,966 0,992 0,998 1,000 1,3 0,213 0,627 0,875 0,957 0,989 0,998 1,000 1,4 0,247 0,592 0,833 0,946 0,986 0,997 0,999 1,000 1,5 0,223 0,558 0,809 0,934 0,981 0,996 0,999 1,000

1,6 0,202 0,525 0,783 0,921 0,976 0,994 0,999 1,000 1,7 0,183 0,493 0,757 0,907 0,970 0,992 0,998 1,000 1,8 0,165 0,463 0,731 0,891 0,964 0,990 0,997 0,999 1,000 1,9 0,150 0,434 0,704 0,875 0,958 0,987 0,997 0,999 1,000 2,0 0,135 0,406 0,677 0,857 0,947 0,983 0,995 0,999 1,000

2,2 0,111 0,355 0,623 0,819 0,928 0,975 0,993 0,998 1,000 2,4 0,091 0,308 0,570 0,779 0,904 0,964 0,988 0,997 0,999 1,000 2,6 0,074 0,267 0,518 0,736 0,877 0,951 0,983 0,995 0,999 1,000 2,8 0,061 0,231 0,469 0,692 0,848 0,935 0,976 0,992 0,998 0,999 1,000 3,0 0,050 0,199 0,423 0,647 0,815 0,916 0,966 0,988 0,996 0,999 1,000

3,2 0,041 0,171 0,380 0,603 0,781 0,895 0,955 0,983 0,994 0,998 1,000 3,4 0,033 0,147 0,340 0,558 0,744 0,871 0,942 0,977 0,992 0,997 0,999 1,000 3,6 0,027 0,126 0,303 0,515 0,706 0,844 0,927 0,969 0,988 0,996 0,999 1,000 3,8 0,022 0,107 0,269 0,473 0,668 0,816 0,909 0,960 0,984 0,994 9,998 0,999 1,000 4,0 0,018 0,092 0,238 0,433 0,629 0,875 0,889 0,949 0,979 0,992 0,997 0,999 1,000

4,2 0,015 0,078 0,210 0,395 0,590 0,753 0,867 0,936 0,972 0,989 0,996 0,999 1,000 4,4 0,012 0,066 0,185 0,359 0,551 0,720 0,844 0,921 0,964 0,985 0,994 0,998 0,999 1,000 4,6 0,010 0,056 0,163 0,326 0,513 0,686 0,818 0,905 0,955 0,980 0,992 0,997 0,999 1,000 4,8 0,008 0,048 0,143 0,294 0,476 0,651 0,791 0,887 0,944 0,975 0,990 0,996 0,999 1,000 5,0 0,007 0,040 0,125 0,265 0,440 0,616 0,762 0,867 0,932 0,968 0,986 0,995 0,998 0,999 1,000

5,2 0,006 0,034 0,109 0,238 0,406 0,581 0,732 0,845 0,918 0,960 0,982 0,993 0,997 0,999 1,000 5,4 0,005 0,029 0,095 0,213 0,373 0,546 0,702 0,822 0,903 0,951 0,977 0,990 0,996 0,999 1,000 5,6 0,004 0,024 0,082 0,191 0,342 0,512 0,670 0,797 0,886 0,941 0,972 0,988 0,995 0,998 0,999 1,000 5,8 0,003 0,021 0,072 0,170 0,313 0,478 0,638 0,771 0,867 0,929 0,965 0,984 0,993 0,997 0,999 1,000 6,0 0,002 0,017 0,062 0,151 0,285 0,446 0,606 0,744 0,847 0,916 0,957 0,980 0,991 0,996 0,999 0,999 1,000


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inspeo por amostragem- parte 1 - madeira.ufpr.br · nqa –nìvel de qualidade aceitável é...

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