influÊncia da flexibilidade de vigas de apoio no projeto de lajes maciÇas de concreto armado

Jeferson Rafael Bueno

INFLUNCIA DA FLEXIBILIDADE DE VIGAS DE APOIO NO PROJETO DE LAJES MACIAS DE CONCRETO ARMADO

Dissertao submetida ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil PPGEC, da Universidade Federal de Santa Catarina, como parte dos requisitos para a obteno do Grau de Mestre em Engenharia Civil. Orientador:_Prof._Daniel Domingues Loriggio, Dr.

Florianpolis 2013

Ficha de identificao da obra elaborada pelo autor, atravs do Programa de Gerao Automtica da Biblioteca Universitria da UFSC.

atravs do Programa de Gerao Automtica da Biblioteca Universitria da UFSC.

Jeferson Rafael Bueno

INFLUNCIA DA FLEXIBILIDADE DE VIGAS DE APOIO NO PROJETO DE LAJES MACIAS DE CONCRETO ARMADO

Esta Dissertao foi julgada adequada para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia Civil, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil - PPGEC.

Florianpolis, 14 de outubro de 2013.

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Prof. Daniel Domingues Loriggio, Dr. Orientador Universidade Federal de Santa Catarina ECV/UFSC

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Prof. Roberto Caldas de Andrade Pinto, PhD. Coordenador do PPGEC

Banca Examinadora:

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Prof. Roberto Chust Carvalho, Dr. Universidade Federal de So Carlos UFScar

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Prof. Narbal Ataliba Marcellino, Dr. Universidade Federal de Santa Catarina ECV/UFSC

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Prof. Rafael Holdorf Lopez, Ph.D. Universidade Federal de Santa Catarina ECV/UFSC

minha esposa Rovana, ao meu pai e a minha me (in memoriam), ao meu sogro e minha sogra, aos meus irmos e demais familiares, amigos e colegas, a vocs dedico este trabalho. Obrigado!

AGRADECIMENTOS

Agradeo primeiramente a Deus, pois, sem Ele, eu no teria chegado at aqui.

Agradeo em especial minha esposa Rovana, amor de minha vida, companheira de todas as horas, que sempre me incentivou, apoiou, aconselhou e me ajudou em todos os sentidos. Essa conquista tambm sua!

Agradeo aos meus pais, Valtair e Jussara (in memoriam), aos meus irmos e irm, e aos pais de minha esposa, Edgar Kinas e Nlci Kinas, que so exemplos para mim. Obrigado por todo investimento e apoio. Vocs sempre me instigaram a dar o meu melhor e a ser melhor a cada dia.

Agradeo ao meu orientador, professor Dr. Daniel Domingues Loriggio, pela aprendizagem, pelas reflexes, pelo exemplo, pelo olhar crtico, e pelas discusses que me auxiliaram a crescer. Espero poder retribuir, algum dia, por toda ajuda e suporte.

Aos demais familiares e amigos agradeo por estarem torcendo por mim. Ao Pastor Jos Carlos Venske e Congregao Trindade pelas oraes e pedidos de agradecimento, muito obrigado.

Agradeo tambm aos colegas do GRUPEX, GEPEND e do GAP, com os quais muito aprendi e pude dividir experincias e opinies. O companheirismo e a amizade de vocs foram muito importantes durante todo o processo. Agradeo em especial Ana Carolina, Jhulis, Francisco, Paulo, Loureno, Elisabeth, Mariana e demais, que foram colegas em disciplinas e grandes amigos.

Agradeo tambm a Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil (PPGEC), bem como ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico (CNPq), por contriburem para meu aperfeioamento profissional. secretaria do PPGEC, em especial s secretrias do programa, agradeo por toda a ajuda e excelente trabalho que desempenham.

banca examinadora, agradeo por todas as contribuies para aperfeioamento da pesquisa.

Muito Obrigado!

RESUMO

BUENO, J. R. Influncia da flexibilidade de vigas de apoio no projeto de lajes macias de concreto armado. 196 f. Dissertao (Mestrado em Estruturas) - Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil - PPGEC, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianpolis, 2013.

Nesta pesquisa realizou-se um estudo numrico sobre a influncia da flexibilidade de vigas de apoio na resposta esttica e dinmica de tabuleiros formados por lajes macias e vigas de concreto armado, em regime elstico-linear. Na resposta esttica, realizada a avaliao da variao de momentos fletores, da rea de ao, do detalhamento das armaduras e das flechas das lajes e vigas, em funo da relao entre a flexibilidade da laje e da viga. A avaliao da resposta dinmica realizada em vibrao livre no amortecida, pela qual se obtm os modos de vibrao e os valores das frequncias naturais que so comparados com os limites da NBR 6118:2007. Para a anlise integrada de pisos de concreto armado constitudos por lajes macias apoiadas em vigas flexveis, utilizaram-se o mtodo numrico de Analogia de Grelha (AG) e o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF). O procedimento manual de clculo de lajes, atravs de tabelas, utilizado como um procedimento inicial para determinao de flechas e momentos fletores das lajes e tambm serve de base para a verificao dos modelos mais complexos. Os resultados desta pesquisa mostram que tanto a resposta esttica, quanto a resposta dinmica, do tabuleiro podem apresentar grande variao devido alterao da relao entre rigidez flexo das lajes e vigas de bordo.

Palavras-chave: Flexibilidade de vigas; Lajes macias; Anlise Esttica; Anlise dinmica.

ABSTRACT

BUENO, J. R. Influence of flexibility of support beams in project of solid slabs of armed concrete. 196 f. Dissertation (Masters in Structures) - Program of Postgraduate in Civil Engineering - PPGEC, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianpolis, 2013.

In this research was realized a numerical study about influence of the flexibility of support beams in static and dynamic response of floors made of solid slabs and beams of reinforced concrete, in linear elastic regime. In static response is evaluated the variation of bending moments, area of steel, reinforcement detailing, and arrows of slabs and beams, depending on the relationship between the flexibility of the slab and beam. The evaluation of dynamic response is performed in free undamped vibration, which obtains the vibration modes and the values of natural frequencies, which are compared with the limits of NBR 6118:2007. For the integrated analysis of concrete floors, made of solid slabs supported on flexible beams, was used the numerical method of Analogy of plane Grids (AG) and the Finite Element Method (FEM). The manual procedure for calculating of slabs, through tables, is used as an initial procedure for determining arrows and bending moments of the slabs, and also provides the basis for the verification of models more complex. The research results show that both the static response as the dynamic response of the pavement, may show large variation due to the change in the relationship between bending stiffness of slabs and beams aboard.

Keywords: Flexibility of beams; Solid slabs; Static Analysis; Dynamic Analysis.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Esforos internos em um elemento laminar ......................................30 Figura 2 Esforos internos em uma placa delgada ..........................................32

Figura 3 Equilbrio elemento de placa ............................................................33 Figura 4 (a) Laje macia; (b) grelha equivalente ............................................41 Figura 5 Grelha equivalente com 6 barras ......................................................47 Figura 6 Sistema dinmico de um grau de liberdade ......................................54 Figura 7 aes verticais de uma placa quadrada em uma viga perifrica ........56 Figura 8 Excentricidade entre o eixo da viga e plano mdio da laje ...............59 Figura 9 Seo T .............................................................................................61 Figura 10 ndice de Carga de Ruptura: vigas de apoio iguais entre si ............62 Figura 11 ndice de Carga de Ruptura: vigas de apoio iguais duas a duas ......64 Figura 12 ndice de Carga de Ruptura para lajes alongadas (=2) ..................65 Figura 13 ndice de Carga de Ruptura para lajes quadradas (=1)..................66 Figura 14 Tabuleiro de lajes desiguais e vigas flexveis .................................67 Figura 15 (a) Visualizao do apoio elstico; (b) Diagrama de corpo livre (DCL) da estrutura; (c) DCL do apoio (mola) ...................................................69 Figura 16 Tabuleiro I: Painel contnuo de lajes iguais ....................................81 Figura 17 Tabuleiro II: Painel contnuo, com lajes desiguais .........................82 Figura 18 Variao de esforos e deslocamentos, = 10 cm. .....................103 Figura 19 Modos de vibrao, = 12 cm. ...................................................112 Figura 20 Resultados com tabelas de Czerny (kNm/m) ................................130 Figura 21 Variao de esforos (kNm/m) e deslocamentos (mm), = 14 ..144 Figura 22 Modos de vibrao, = 14 cm ....................................................149 Figura 23 Correlao entre varivel X e Y ...................................................191 Figura 24 Correlao de Pearson para o Tabuleiro I .....................................192 Figura 25 Correlao de Pearson para o Tabuleiro II ...................................195

LISTA DE GRFICOS

Grfico 1 Validao Tabuleiro I, Laje = 10 cm ..............................................88 Grfico 2 Validao Tabuleiro I, Laje = 12 cm ..............................................89 Grfico 3 Validao Tabuleiro I, Laje = 15 cm ..............................................90 Grfico 4 Validao Tabuleiro I: Flechas elsticas (cm) ................................91 Grfico 5 Relao entre altura da viga V4 e ndice 4 ...........................94 Grfico 6 vs. (MEF) .............................................................................95 Grfico 7 vs. (MEF) .............................................................................95 Grfico 8 e vs. 4 (MEF) ............................................................95 Grfico 9 e vs. 4 (MEF & Czerny) ...........................................96 Grfico 10 e vs. 4 (Centro de L1 para ILv 0,187) ..................98 Grfico 11 Relao ........................................................................99 Grfico 12 Relao ............................................................100 Grfico 13 vs. 4 (MEF) .................................................................100 Grfico 14 Variao de para = 12 (MEF) ........................................101 Grfico 15 Flecha Imediata L1 e V4 .............................................................105 Grfico 16 Flecha Final L1 ...........................................................................105

Grfico 17 Esforo Cortante ...................................................................106 Grfico 18 Frequncia fundamental de vibrao ..........................................107

Grfico 19 FPM, variao Mdulo (a); com sinal + ou - (b) ........................108 Grfico 20 Frequncia de vibrao: 2 e 3 modo (MEF) .............................109 Grfico 21 Flecha Final L1 vs. 1 frequncia ................................................110

Grfico 22 Parcelas do momento de inrcia .................................................115

Grfico 23 (excentricidade) .................................................................116 Grfico 24 (excentricidade) .................................................................116 Grfico 25 (excentricidade) ...............................................................117 Grfico 26 relao com "" ................................................................117 Grfico 27 com e sem "" ....................................................................117 Grfico 28 com e sem "" ....................................................................117

Grfico 29 1 frequncia, com e sem "e" ...................................................... 118 Grfico 30 2 frequncia, com e sem "e" ...................................................... 119 Grfico 31 Momento de inrcia flexo ...................................................... 121 Grfico 32 Momento de inrcia flexo, h = 10 cm .................................... 122

Grfico 33 ndice de Custos: Ao e Concreto .............................................. 126 Grfico 34 ndice de Custo Total: Ao + Concreto ...................................... 127 Grfico 35 Validao Tabuleiro II: flecha e momento fletor positivo L2 ..... 131 Grfico 36 Validao Tabuleiro II: momento fletor negativo....................... 131

Grfico 37 para L2 ................................................................................. 132 Grfico 38 ndice 2 5 .......................................................................... 132 Grfico 39 vs. ................................................................................... 133 Grfico 40 vs. 2 5 ....................................................................... 133 Grfico 41 L1-L2, para = 12 cm ...................................................... 135 Grfico 42 L1-L2, para = 14 cm ...................................................... 135 Grfico 43 L1-L2, para = 15 cm ...................................................... 136 Grfico 44 para = 14 cm .................................................................. 138 Grfico 45 entre L1/L2 ........................................................................ 140 Grfico 46 para .......................................................................... 140 Grfico 47 Variao de momentos para L2, direo x ................................. 140

Grfico 48 L1 ......................................................................................... 141 Grfico 49 L1 ......................................................................................... 141 Grfico 50 Relao entre momentos fletores, L1 ......................................... 142 Grfico 51 Flecha Final L2 ........................................................................... 145 Grfico 52 1 frequncia ............................................................................... 145 Grfico 53 2 e 3 modos de vibrao ........................................................... 147 Grfico 54 Razo de variao ....................................................................... 147 Grfico 55 FPM, variao Mdulo (a); com sinal + ou - (b) ........................ 148 Grfico 56 Flecha final e Frequncia, uso: Escritrio .................................. 151 Grfico 57 Flecha Total (t - cf) e Frequncia, uso: Sala de Dana ............. 152 Grfico 58 Flecha: carga acidental de 2,00 kN/m, uso: Escritrio .............. 153

Grfico 59 Flecha: carga acidental de 5,00 kN/m (sem peso prprio) .........154 Grfico 60 Quantitativos de Ao e Concreto, Tabuleiro II ...........................157 Grfico 61 ndice de Custo Total para o Tabuleiro II ...................................157 Grfico 62 ndice de Flexibilidade L2V para "" .......................................159 Grfico 63 Parcelas do momento de inrcia .................................................160 Grfico 64 Flecha - Cf [e] .............................................................................161 Grfico 65 Freq. 1 modo [e] ........................................................................161 Grfico 66 Freq. 2 modo [e] ........................................................................161 Grfico 67 Freq. 3 modo [e] ........................................................................161 Grfico 68 Fator de Participao Modal, H viga ..........................................162

Grfico 69 Fator de Participao Modal, 2 ........................................162 Grfico 70 com J = 1,44 I ...............................................................185 Grfico 71 com J = 2,00 I ...............................................................185 Grfico 72 com J = 2,40 I ...............................................................186 Grfico 73 com J = 1,44 I ...............................................................186 Grfico 74 com J = 2,00 I ...............................................................187 Grfico 75 com J = 2,40 I ...............................................................187 Grfico 76 com J = 1,44 I .............................................................188 Grfico 77 com J = 2,00 I .............................................................188 Grfico 78 com J = 2,40 I .............................................................189 Grfico 79 com = 12 .......................................................................189 Grfico 80 Flecha Imediata laje L1 (): (a) = 10, (b) = 12 ..................190 Grfico 81 Flecha Imediata L1 e V4 (): (a) V4 = 10, (b) L1 = 15 .....190

LISTA DE TABELAS

Tabela 1- Rigidez toro das barras da grelha ................................................46 Tabela 2- Pesquisadores, Tipo de Anlise, Mtodo ...........................................58 Tabela 3 Resultados Laje L2: Tradicional MEF ..........................................68 Tabela 4 Comparativo entre Mtodo Simplificado e MEF no linear ............68

Tabela 5 Momentos mximos e mnimos, laje L2, em funo de ...............68 Tabela 6 Frequncia crtica, NRB 6118:2007 (Tabela 23.1) ..........................74 Tabela 7 Rigidez toro das barras da grelha ...............................................77 Tabela 8 Avaliao do Coeficiente de Correlao Linear de Pearson ............80

Tabela 9 Cargas para o Tabuleiro II (kN/m) ..................................................83 Tabela 10 Verificaes para o Tabuleiro I sobre AG ......................................86 Tabela 11 Validao Tabuleiro I: melhor aproximao entre MEF e AG ......87

Tabela 12 Valores para o centro de L1 com = 10 cm: MEF e Czerny. ......92 Tabela 13 Valores para o centro de L1 com = 12 cm: MEF e Czerny. ......92 Tabela 14 Valores para o centro de L1 com = 15 cm: MEF e Czerny. ......92 Tabela 15 Resumo Tabuleiro I: Influncia da flexibilidade de V4 (MEF) ...113 Tabela 16 Tabuleiro I: Custo Ao + Concreto ..............................................127 Tabela 17 Resumo da configurao mais econmica ...................................128

Tabela 18 Resumo Tabuleiro II: Limite Esttico e Dinmico .......................155 Tabela 19 Resumo da configurao econmica: Tabuleiro II .......................158 Tabela 20 Sees mnimas considerando a excentricidade. ..........................163 Tabela 21 Sntese dos Resultados com os Objetivos Especficos .................165

LISTA DE SIMBOLOS

Romanos " rea da seo transversal, rea da laje #$ Coeficiente (para considerar o efeito da fluncia) %$ Largura da mesa de compresso da seo T %& Largura da viga retangular '( Matriz de amortecimento cf Contra-flecha ) Deslocamento '*( Matriz das propriedades do material *+ Rigidez flexo da placa Excentricidade entre o plano mdio da laje e eixo longitudinal da

viga Mdulo de deformao longitudinal ,- Mdulo de deformao longitudinal secante Fora ./0 Frequncia fundamental de vibrao (primeira frequncia) .,+12 Frequncia crtica de vibrao ., Resistncia compresso do concreto .,3 Resistncia caracterstica compresso do concreto .,2 Resistncia do concreto trao direta 4 Mdulo de elasticidade transversal do material Espessura da laje (placa), ou altura da viga para seo T $ Espessura da mesa de compresso da seo T Altura da viga retangular Hertz (unidade de frequncia) Momento de inrcia da seo de concreto simples 5 ndice de flexibilidade da laje 6 ndice adimensional de momento fletor 7 ndice de flexibilidade da viga 57 ndice adimensional de flexibilidade entre laje e viga 8 Constante de toro 9 Rigidez flexo de barras :; Menor direo da laje

:< Maior direo da laje Metro (comprimento linear) / momento de ruptura ; Momento fletor positivo na laje, direo x < Momento fletor positivo na laje, direo y ;= Momento fletor negativo, direo x ? Mega Pascal '@( Matriz que contm as funes de interpolao A Carga Coeficiente de correlao linear de Pearson BC Carregamento total na laje D Raio de curvatura = Vetor de carga nodal consistente EF1G Esforo de dimensionamento HIJ Vetor de deslocamento Volume

Gregos # Constante de toro para vigas retangulares Coeficiente K Relao entre vos da laje L Deformao especfica M = ?N,0 Flecha elstica imediata de lajes e vigas MN = ?N, Flecha total de lajes e vigas, considerando o efeito da fluncia PQ Coeficiente de reduo toro R Coeficiente de Poisson do concreto S Tenso T, Preo do metro cbico de concreto (R$/m) T- Preo do quilograma fora de ao (R$/kgf) T,/V Relao entre custos de concreto e ao T2 ndice de custo total

As grandezas representadas pelos smbolos esto sempre expressas em unidades do Sistema Internacional (SI).

SUMRIO

1 INTRODUO .............................................................................. 25 1.1 JUSTIFICATIVA ............................................................................... 26 1.2 OBJETIVOS....................................................................................... 27

1.2.1 Objetivo Geral ...................................................................... 27 1.2.2 Objetivos Especficos ............................................................ 27

1.3 ORGANIZAO DOS CAPTULOS ............................................... 28 2 REVISO DE LITERATURA ..................................................... 29

2.1 MODELAGEM DE TABULEIROS .................................................. 29 2.2 TEORIA DE PLACAS E CASCAS ................................................... 29 2.3 TEORIA DE PLACAS DELGADAS ................................................ 31 2.4 MTODOS TRADICIONAIS DE CLCULO DE LAJES ............... 39 2.5 ANLISE POR ANALOGIA DE GRELHA (AG) ........................... 40 2.6 RIGIDEZ TORO DE VIGAS ................................................... 48 2.7 ANLISE PELO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF). 49 2.8 EQUAES DA SOLUO ESTTICA E DINMICA ............... 53 2.9 ESTUDOS SOBRE A FLEXIBILIDADE DAS VIGAS DE APOIO 56

3 METODOLOGIA .......................................................................... 73

3.1 MODELOS PARA ANLISE ACOPLADA DE TABULEIROS ..... 73 3.2 OBTENO DA RESPOSTA ESTTICA ...................................... 76 3.3 OBTENO DA RESPOSTA DINMICA ..................................... 76 3.4 ANLISE COM USO DE TABELAS ............................................... 76 3.5 ANLISE COM A ANALOGIA DE GRELHA (AG) ...................... 77 3.6 ANLISE COM MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) . 77 3.7 VALIDAO DO MODELO NUMRICO ..................................... 78 3.8 ANLISE DOS RESULTADOS ....................................................... 78 3.9 TABULEIROS PARA ESTUDO ....................................................... 80

3.9.1 Tabuleiro I ............................................................................. 80 3.9.2 Tabuleiro II ............................................................................ 82

4 ANLISES NUMRICAS .............................................................85 4.1 ANLISE E RESULTADOS: TABULEIRO I.................................. 85

4.1.1 Validao do Modelo Numrico: Tabuleiro I ...................... 85 4.1.2 Influncia da flexibilidade dos apoios ................................... 93 4.1.3 Flexibilidade e excentricidade entre laje e viga ................. 114 4.1.4 Excentricidade e Seo T ..................................................... 120 4.1.5 Definio do modelo e configurao mais adequada ......... 123

4.2 ANLISE E RESULTADOS: TABULEIRO II .............................. 129 4.2.1 Validao do Modelo Numrico: Tabuleiro II ................... 129 4.2.2 Influncia da flexibilidade dos apoios ................................. 132 4.2.3 Relao entre Resposta Esttica e Resposta Dinmica ..... 150 4.2.4 Configurao geomtrica mais econmica ......................... 155 4.2.5 Influncia da Excentricidade ............................................... 159

4.3 SNTESE DOS RESULTADOS EM RELAO AOS OBJETIVOS ESPECFICOS .......................................................................................... 164

5 CONSIDERAES FINAIS E CONCLUSES ....................... 167 5.1 CONCLUSES E CONSIDERAES SOBRE FLEXIBILIDADE DE VIGAS DE APOIO ............................................................................. 167 5.2 CONCLUSES E CONSIDERAES SOBRE MODELAGEM DE TABULEIROS .......................................................................................... 170 5.3 RECOMENDAES PARA APLICAO EM PROJETO .......... 172 5.4 RECOMENDAES PARA TRABALHOS FUTUROS ............... 173

REFERNCIAS ................................................................................. 175 APNDICE A ..................................................................................... 185 APNDICE B ..................................................................................... 191 APNDICE C ..................................................................................... 195

Mestrando: Jeferson Rafael Bueno Orientador: Daniel Domingues Loriggio

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1 INTRODUO

Inmeros projetos de pisos (tabuleiros) de concreto armado so realizados diariamente em escritrios pelo mundo todo, totalizando milhares de metros quadrados de painis formados por lajes e vigas. Nos andares constitudos por lajes e vigas, a unio desses elementos pode ser denominada tabuleiro, pois os termos piso e pavimento podem ser confundidos com pavimentao (PINHEIRO, 2007a). Durante a modelagem dos edifcios com tabuleiros constitudos por lajes e vigas, as dimenses desses elementos estruturais, geralmente, so determinadas de modo a suportar os carregamentos, apresentando um bom desempenho em servio, sem possuir deformaes acima do limite normativo.

O clculo dos esforos solicitantes, nos tabuleiros de concreto armado, uma tarefa de grande importncia dentro do projeto estrutural de edifcios e, nessa perspectiva, ressalta-se a importncia da deformabilidade e excentricidade entre esses elementos estruturais. H estudos que evidenciam a necessidade de considerar a flexibilidade laje/viga na resposta esttica e dinmica, mas quais os fatores que a influenciam? Ser que a preciso dos resultados prejudicada pela no considerao desses efeitos? E como se pode consider-los em uma anlise acoplada do tabuleiro? Essas so algumas questes pertinentes quando se deseja estudar o efeito da flexibilidade das vigas de apoio na anlise e projeto de painis de lajes.

Os tradicionais mtodos manuais de dimensionamento de lajes, com o uso de tabelas, consideram as mesmas com vigas de apoio indeformveis, o que uma simplificao vlida para tempos em que os clculos eram realizados manualmente. Nos ltimos anos, os computadores passaram a ter um papel importante nos escritrios de engenharia, nos quais os extensos e complicados clculos manuais so substitudos pelo clculo computacional. Assim, esse avano agora permite realizar anlises mais complexas e completas das estruturas.

Como a flexibilidade (inverso da rigidez) influencia nos resultados da resposta esttica e dinmica (LEITE, 2012; MAZZILLI, 1988, 1995), existem vrias pesquisas que investigam o efeito da deformabilidade das vigas de apoio (Tabela 2), porm no fazem recomendaes claras e prticas em relao a este assunto. Contudo, os escritrios de projetos necessitam de recomendaes que descrevam os cuidados, limites e prticas para o clculo de tabuleiros formados por vigas e lajes de concreto armado.

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Dessa forma, este estudo comparou o mtodo tradicional de clculo de lajes macias com o clculo computacional atravs de mtodos numricos, como Analogia de Grelha (AG) e o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF). Esta pesquisa realiza a anlise e clculo do tabuleiro da estrutura de forma integrada, com algumas simplificaes, com enfoque especial na continuidade dos esforos das lajes, de modo a considerar a interao entre estes elementos.

1.1 JUSTIFICATIVA

Estudos verificam que o procedimento simplificado de clculo de lajes, com uso de tabelas, no adequado para lajes com vigas de apoio flexveis (ARAJO, 2008, 2009; MAZZILLI, 1988, 1995; REIS, 2007; STRAMANDINOLI, 2003). Em tabuleiros formados por lajes e vigas de concreto armado, a flexibilidade entre lajes e vigas de bordo e a excentricidade entre os eixos desses elementos estruturais influenciam sensivelmente a resposta esttica (MAZZILLI, 1988, 1995) e a resposta dinmica (LEITE, 2012; LEITE et al., 2010; PAULA, 2007).

Portanto, necessrio estudar o comportamento qualitativo das lajes com apoios flexveis e, assim, verificar o efeito da flexibilidade dos apoios na resposta esttica (deslocamentos, esforos cortantes e momentos fletores positivos e negativos - valores e forma) e dinmica (frequncias e modos de vibrao). Assim sendo, a pesquisa dar indicaes do efeito da flexibilidade dos apoios para a comparao com tabelas da teoria das placas em regime elstico-linear.

Outra justificativa para esta pesquisa verificar a influncia da flexibilidade laje/viga e excentricidade entre esses elementos, no dimensionamento e detalhamento das armaduras de lajes macias, pois este estudo poder ajudar no aprimoramento dos modelos atualmente usados em programas comerciais. J o estudo da resposta dinmica pode mostrar que a influncia da flexibilidade dos apoios altera os valores das frequncias naturais do sistema (laje + vigas), e, assim, o tabuleiro pode no atender aos limites da utilizao, preconizados na NBR 6118:2007.

Este estudo limita-se a tabuleiros de estruturas de edifcios residenciais ou comerciais, formados por lajes macias e vigas de concreto armado, nos quais as anlises consideram a linearidade fsica e geomtrica. As aes aplicadas nos modelos numricos no possuem variao significativa no tempo, cargas estticas, assim a anlise dinmica realizada em vibrao livre sem a considerao de amortecimento.


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1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivo Geral

Analisar a influncia da flexibilidade das vigas e lajes macias, no projeto de tabuleiros de concreto armado.

1.2.2 Objetivos Especficos

Averiguar o comportamento do conjunto laje/viga em tabuleiros de edifcios de concreto armado em comportamento elstico-linear;

Analisar o efeito da continuidade dos esforos de lajes contguas apoiadas sobre vigas deformveis;

Realizar o estudo comparativo entre resultados obtidos pelo Mtodo dos Elementos Finitos, Analogia de Grelha e processos tradicionais simplificados (tabelas de lajes), considerando a deformabilidade das vigas de apoio e a excentricidade entre laje e viga;

Determinar at que ponto da relao de flexibilidade laje/viga lcito calcular painis de lajes, com o uso de mtodos tradicionais simplificados (tabelas de lajes);

Verificar a alterao no detalhamento das armaduras de lajes, devido relao entre rigidez da laje com a rigidez das vigas de apoio;

Determinar a influncia da flexibilidade das vigas de apoio na resposta dinmica (frequncias e modos de vibrao) de painis de lajes;

Comparar os resultados da anlise dinmica, considerando a flexibilidade das vigas de apoio e excentricidade entre laje e viga, com os limites propostos pela norma de projeto NBR 6118:2007, sob o ponto de vista do conforto humano;

Recomendar critrios para aplicao em projetos de tabuleiros de concreto armado, formados por lajes e vigas flexveis.

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1.3 ORGANIZAO DOS CAPTULOS

Segue-se breve resumo dos demais captulos deste trabalho: Captulo 2 So descritos os aspectos tericos para anlises de

tabuleiros de concreto armado. Apresenta as bases da Teoria de Placas e o equacionamento do problema, luz da Teoria da Elasticidade. O mtodo aproximado de clculo de lajes por tabelas apresentado, com os seus aspectos tericos e limitaes. Em seguida, descreve-se a teoria em que se embasa o Mtodo de Analogia de Grelha e o Mtodo dos Elementos Finitos. O problema dinmico aplicado Engenharia de Estruturas tambm apresentado, com enfoque em estruturas no amortecidas em vibrao livre. Por fim, apresenta-se um resumo bibliogrfico sobre os estudos que envolvem o termo flexibilidade/deformabilidade de apoios de lajes.

Captulo 3 descrita a metodologia utilizada nesta pesquisa. Desde os mtodos de anlises, estruturas a serem estudadas, condies de anlises, verificaes, limitaes e restries, bem como os procedimentos a serem utilizados na anlise dos dados.

Captulo 4 As anlises numricas so realizadas, seguidas de anlises e discusso de resultados. A influncia da flexibilidade das vigas de apoio na resposta esttica e dinmica, de tabuleiros de concreto armado, investigada. Fazem-se estudos comparativos e inferncias sobre as inter-relaes dos resultados.

Captulo 5 Apresentam-se as consideraes finais, concluses e recomendaes para estudos de tabuleiros com vigas flexveis e estudos sobre a temtica.


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2 REVISO DE LITERATURA

2.1 MODELAGEM DE TABULEIROS

O clculo dos esforos solicitantes nos pisos de concreto armado, formados por vigas e lajes macias, uma tarefa de grande importncia dentro do projeto estrutural de edifcios. A rigor, somente atravs de uma anlise no linear podem-se obter resultados precisos para a resposta esttica e dinmica (ARAJO, 2008; MAZZILLI, 1995).

A anlise dos esforos e deslocamentos em lajes utilizando tabelas, mtodo tradicional manual, garante o equilbrio esttico do tabuleiro, porm, pelo fato de no considerar a continuidade entre lajes e o comportamento conjunto entre laje e viga, h uma perda de preciso associada ao mtodo. Os mtodos computacionais permitem considerar esse comportamento monoltico entre laje e viga, ento, mesmo em uma anlise elstico- linear podem-se obter resultados mais adequados de esforos e deslocamentos.

Os mtodos numricos mais utilizados por projetistas, para modelagem de tabuleiros, so o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF), Mtodo das Diferenas Finitas e o Mtodo de Analogia de Grelha (AG). Diversos cuidados devem ser tomados sobre a utilizao de qualquer mtodo numrico. Sobre as condies de convergncia e a preciso do MEF, estas no dependem apenas da formulao, mas tambm da escolha da malha e do tipo de elemento utilizado na discretizao do problema, sendo necessrio que a modelagem seja adequada (HENNRICHS, 2003). Sobre o uso do MEF, devem-se tomar cuidados em relao ao grau de discretizao, tipos de elementos, definio dos graus de liberdade ativos da anlise, regies de descontinuidade geomtrica e de introduo de esforos, sistemas de referncia para esforos internos e externos e interpretao dos resultados obtidos por via grfica e por meio de relatrios de tenses (CIF et al., 2000).

2.2 TEORIA DE PLACAS E CASCAS

Placa um elemento de superfcie plana com carregamento normal (ortogonal) a essa superfcie, em que uma das dimenses (espessura) muito menor que as demais. Define-se como espessura h da placa a menor das trs dimenses, e a superfcie mdia como sendo aquela que passa pelos pontos mdios do segmento que determina a altura em cada ponto da placa (TIMOSHENKO e WOINOWSKY-KRIEGER, 1959). As placas podem ser classificadas como finas, em

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geral para < 0,1 : 0,1 :


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F[]. Em Schulz e DAvila (2010), mostrada uma metodologia para analisar cascas com foras cisalhantes transversais, que uma soluo promissora para projeto de cascas de concreto armado.

O dimensionamento de estruturas laminares de concreto armado demanda novas pesquisas, visto que a considerao dos oito esforos deixa o problema mais trabalhoso. Existem alguns mtodos que possuem aplicabilidade na prtica de projeto, como a formulao clssica de Baumann (1972) que divide o problema de dimensionamento de uma casca, sujeita a momentos fletores e volventes, no dimensionamento de duas placas situadas junto s faces z- e z+. Essa formulao possui a limitao de estimar o brao de alavanca e no permitir considerar armaduras de compresso (SCHULZ et al., 2006, 2009). H tambm o modelo mecnico, apresentado em Schulz (1988), que um modelo mais geral e pode ser no futuro utilizado na prtica de projeto, pois no apresenta as limitaes da formulao clssica de Baumann (1972), (SCHULZ et al., 2006, 2009).

Por no ser objetivo deste trabalho o dimensionamento de armaduras de cascas, recomendam-se as bibliografias citadas anteriormente para maior esclarecimento e entendimento das formulaes, tanto de dimensionamento quanto de verificao.

2.3 TEORIA DE PLACAS DELGADAS

Uma simplificao para o estudo de placas pode ser realizada com a Teoria de Kirchhoff ou com a Teoria de Kirchhoff-Love, esta ltima uma modificao da primeira realizada por Love (1888) (TIMOSHENKO e WOINOWSKY-KRIEGER, 1959). Para o estudo de placas delgadas, estas so consideradas finas e com pequenas deflexes.

A Teoria de Kirchhoff-Love apropriada para placas delgadas (finas), ou seja, 0,20 D ^, em que R o raio de curvatura e h a espessura. A maioria das estruturas de interesse prtico na engenharia satisfaz esse critrio (KIENDL et al., 2009, 2010). O grande atrativo dessa teoria que a formulao baseada puramente em deslocamentos, e nenhum grau de liberdade de rotao necessrio (KIENDL et al., 2010).

Nesta pesquisa usa-se a Teoria Kirchhoff para o estudo de placas delgadas, cujas hipteses fundamentais so (ARAJO, 2010; LOVE, 1888; TIMOSHENKO e WOINOWSKY-KRIEGER, 1959):

Material elstico-linear (obedece lei de Hooke);

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Material homogneo (mesmas propriedades fsicas e mecnicas em todos os pontos);

Material isotrpico (mesmas propriedades fsicas e mecnicas em todas as direes);

A placa indeformada plana; A espessura h pequena em relao s outras dimenses da

placa; Cargas dinmicas e estticas so aplicadas

perpendicularmente superfcie da placa; As tenses normais superfcie mdia so desprezveis _a 0c; Os deslocamentos verticais so muito pequenos em relao

espessura h, sendo possvel desprezar a no linearidade geomtrica (influncia dos deslocamentos no estudo das condies de equilbrio do elemento de placa);

As deformaes devidas ao cisalhamento so desprezadas.Um elemento de placa delgada est submetido ao de

esforos internos: momentos fletores (M00, M[[), momentos (M0[, M[0) e foras cortantes (F0], F[]). A Figura 2 exibe os esforos considerados em um elemento da placa delgada.

Figura 2 Esforos internos em uma placa delgada

Os pressupostos bsicos para a Teoria de Kirchhoff placas) so muito semelhantes aos da Teoria Viga de Euler-Uma das premissas mais importantes para ambas as teorias que pontos pertencentes antes da deformao a retas normais superfcie mdia encontram-se, aps a deformao, sobre retas perpendisuperfcie mdia deformada. Em outras palavras, a deformao transversal negligenciada (KWON e BANG, 1996).

mesmas propriedades fsicas e

mesmas propriedades fsicas e mecnicas

A espessura h pequena em relao s outras dimenses da

argas dinmicas e estticas so aplicadas

As tenses normais superfcie mdia so desprezveis

slocamentos verticais so muito pequenos em relao no linearidade geomtrica

no estudo das condies de equilbrio do

esprezadas. ao de seis

volventes os esforos

eoria de Kirchhoff (flexo de -Bernoulli.

s teorias que os pontos pertencentes antes da deformao a retas normais superfcie

se, aps a deformao, sobre retas perpendiculares Em outras palavras, a deformao


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Figura 3 Equilbrio elemento de placa Fonte: Kwon e Bang (1996).

Como desprezada a deformao transversal, devido ao cisalhamento, as deformaes podem ser escritas como mostra a equao (2.1).

HL; L< K;

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com HSJ = HS; S< j;


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Elasticidade, as quais governam o equilbrio de um elemento slido (VILLAA e GARCIA, 1998; YOUNG, 1989).

gS;g + gj;

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B; = n j;< )op [^qp [^ , 2.14

e

B< = n j


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gB;g + gB

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< = *+ ug[eg[ + R g[eg[ v, 2.24 ;< = *+_1 Rc g[egg . 2.25

O esforo cortante (cisalhante) na direo x e y, respectivamente, so (PINHEIRO, 1988):

B; = *+ gg ug[eg[ + R g[eg[ v, 2.26 B< = *+ gg ug[eg[ + R g[eg[ v. 2.27

A soluo analtica da equao de Sophie-Germain-Lagrange (2.21) e das equaes de momentos fletores e esforos cortantes no so fceis de serem realizadas, pois, devido s condies de contorno e vinculaes da placa, difcil encontrar uma funo e_, c que satisfaa as equaes de soluo da placa delgada (PINHEIRO, 1988). Para os casos mais simples de geometria e condies de apoio, podem se utilizar, para a integrao da equao de Sophie-Germain-Lagrange, sries de Fourier ou Navier, por exemplo.

Diversos mtodos foram desenvolvidos ou adaptados ao longo dos anos para a anlise de lajes, podendo-se citar os seguintes: Teoria das Grelhas, Teoria das Linhas de Ruptura, Teoria de Flexo de Placas (soluo exata), Analogia de Grelha, Mtodo das Diferenas Finitas e o Mtodo dos Elementos Finitos (ARAJO, 2010; CHAPRA e CANALE, 2008). Cada mtodo possui suas caractersticas, aplicaes e limitaes, logo cabe ao engenheiro decidir qual a preciso que se deseja obter na anlise. Mtodos mais refinados e precisos possuem teoria mais completa, e por isso mais complexa, o que exige maior tempo e cuidado para programao e anlise dos resultados.


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2.4 MTODOS TRADICIONAIS DE CLCULO DE LAJES

Os chamados mtodos tradicionais de clculos de lajes se referem a mtodos aproximados, utilizados para o clculo da resposta esttica elstico-linear de lajes isoladas, geralmente apresentados em forma de tabelas. Em todos os casos de lajes, as tabelas apresentam diferenas entre umas e outras, decorrentes do valor do coeficiente de Poisson (), e devido ao truncamento das sries de Fourier (ARAJO, 2010). As principais tabelas utilizadas para clculo de lajes so: Bares (1970) com coeficiente de Poisson R = 0,15; Kalmanok (1961) com coeficiente de Poisson = 0 (adaptadas por Arajo (2010) para R = 0,20); Czerny, entre outros (DORNELLES e PEREIRA, 2006). Em relao ao coeficiente de Poisson, a NRB 6118:2007, item 8.2.9, recomenda o valor de R = 0,20, para tenses de compresso menores que ., 2^ e tenses de trao menores que .,2.

Para a resoluo de lajes apoiadas em vigas, com uso de tabelas, no considerada a deformabilidade do contorno, ou seja, vigas de bordo so idealizadas como apoios rgidos, e tambm no se considera o efeito da excentricidade entre laje e viga. O inconveniente das tabelas que geralmente os valores de momentos fletores e flechas so dados no centro da laje que, em alguns casos, no corresponde ao ponto onde os esforos e deslocamentos so mximos. As tabelas tradicionais, geralmente, apresentam valores para a soluo de lajes de acordo com a relao entre os vos, e assim uma laje pode ser classificada como:

Laje unidirecional ou armada em uma direo :< :; > 2: a laje passa a ser calculada como viga, na menor direo _:;c, e na maior direo da laje adota-se uma armadura construtiva;

Laje bidirecional ou armada em duas direes :< :; 2: calculam-se as armaduras para as duas direes ortogonais da laje.

Papanikolaou e Doudoumis (2001) sugerem tabelas para anlise numrica elstica de placas individuais que consideram a possibilidade de levantamento dos bordos da laje em relao aos apoios (descolamento entre laje e viga). Este efeito acontece em elementos que no esto monoliticamente ligados, ou seja, a laje apenas repousa em cima da viga, ocorrendo geralmente com as lajes apoiadas em alvenaria e em pr-moldados. O levantamento dos bordos da laje (geralmente os cantos) ocorre quando as reaes de trao, originadas por momentos, no so combatidas pelas vigas de suporte (PAPANIKOLAOU e DOUDOUMIS, 2001).

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A NBR 6118:2007 recomenda que, para a verificao de estados limites de servio, devem-se considerar os momentos fletores determinados pelo regime elstico. O dimensionamento da armadura das lajes, de acordo com a norma, pode ser feito considerando o estado limite ltimo, permitindo que os momentos fletores possam ser determinados, considerando-se o regime rgido-plstico, atravs do Mtodo das Linhas de Ruptura, tambm conhecido como Teoria das Charneiras Plsticas. A norma tambm permite que este dimensionamento de armaduras possa ser realizado com os valores de esforos obtidos na anlise elstica.

2.5 ANLISE POR ANALOGIA DE GRELHA (AG)

O procedimento numrico de Analogia de Grelha consiste em substituir a placa (laje) por uma malha equivalente de vigas (Figura 4) (CARVALHO e PINHEIRO, 2009). Esse mtodo foi inicialmente idealizado por Marcus em 1932 (TIMOSHENKO e WOINOWSKY-KRIEGER, 1959). Por sua implementao computacional ser muito parecida com o mtodo matricial de prticos planos, Lightfoot e Sawko (1959) adaptaram um programa de clculo de prtico plano para o clculo de um tabuleiro, utilizando uma malha de grelha, e, posteriormente, o mtodo foi sistematizado por Hambly (1976) (CARVALHO, 1994; LU, LI e SHAO, 2012).

A utilizao do mtodo tornou-se recorrente em escritrios de projeto e em trabalhos acadmicos, por possuir a versatilidade de adequar-se bem a diversos formatos de geometria de lajes (poligonais de formas diversas), ser de fcil compreenso e utilizao, relativamente barato, e sua preciso tem sido provada em uma grande variedade de estudos (CARVALHO e PINHEIRO, 2009; CARVALHO, 1994; LU, LI e SHAO, 2012; STRAMANDINOLI e LORIGGIO, 2003). O mtodo capaz de representar todo o tabuleiro, lajes e vigas, dessa forma, o efeito de deformabilidade das vigas pode ser considerado na anlise.

Por ser um mtodo matricial, a laje associada a uma grelha equivalente que substitui uma seo da laje macia, de forma aproximada, por um elemento de barra com seo retangular. A estrutura formada por essas barras (malha de vigas) pode ser analisada com a utilizao de programas baseados no mtodo da rigidez, o qual utiliza a matriz de rigidez dos elementos da grelha, a equao (2.28) mostra essa matriz do elemento de grelha em relao ao sistema de eixo local.


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'E5( =

480 4 .0 6[ 12] 48 0 0 480 2 6[ 0 40 6[ 12] 0 6[ 12]

2.28

Em que: = < momento de inrcia flexo; 8 constante de toro; momento de elasticidade longitudinal; 4 mdulo de elasticidade transversal; comprimento da barra; matriz simtrica.

Figura 4 (a) Laje macia; (b) grelha equivalente Fonte: Hambly (1976).

No mtodo de analogia de grelha so considerados seis esforos atuantes no elemento de barra. O momento fletor da barra depende da curvatura no plano que compe os esforos, enquanto para o momento

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toror e distores angulares, em um determinado ponto, no existe nenhum princpio matemtico que garanta que, nas duas direes ortogonais, esse esforo tenha a mesma magnitude (REIS, 2007; STRAMANDINOLI, 2003). Contudo, se a malha da grelha for suficientemente refinada, a deformada da grelha ir se assemelhar a um plano liso, o que possibilita que as distores sejam praticamente iguais nas direes ortogonais (HENNRICHS, 2003; REIS, 2007).

A ligao entre laje e viga muito importante, pois, se a laje tiver ligao rgida com a viga de bordo, h transferncia de momento toror para a viga, que devido ao momento fletor negativo que atua na barra da grelha. Logo, para lajes ligadas rigidamente nas vigas de bordo, h transferncia de trs esforos para a viga: fora vertical (igual ao esforo cortante nas barras da grelha), momento fletor (devido ao momento toror nas barras da grelha) e momento toror (devido ao momento fletor negativo nas extremidades das barras da grelha). Para a situao de laje apoiada na viga de bordo, h transferncia apenas de fora vertical e momento fletor para a viga (ARAJO, 2010). Caso o momento toror atuante nas vigas de bordo seja apenas de compatibilidade, na maioria dos casos, este esforo pode ser desprezado.

A preciso do mtodo de Analogia de Grelha depende basicamente de trs parmetros: rigidez flexo, rigidez toro e espaamento da malha. Quanto rigidez toro das barras da grelha equivalente, diversos estudos numricos j realizaram anlises com diferentes valores para a rigidez toro, contudo, o tema ainda no est totalmente esclarecido. Usam-se as seguintes equaes para o clculo da rigidez da grelha equivalente, materiais isotrpicos homogneos:

- Rigidez flexo das barras da grelha equivalente: 9 = ,-_1 R[c . 2.29

- Rigidez toro _GJc das barras da grelha equivalente: 4 = Q[_0c o mdulo de elasticidade transversal do material e 8 a constante de toro.

48 = ,-2_1 + Rc 8. 2.30

Segundo Arajo (2010), a constante de toro dada por:


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8 = _2c. 2.31

Substituindo (2.31) em (2.30): 48 = ,-_1 + Rc . 2.32

Para seo retangular, = 0[ o momento de inrcia flexo das barras longitudinais e transversais, ou seja, das vigas equivalentes, e ,- = 0,85 5600.,3 o mdulo de elasticidade secante.

O coeficiente de reduo da rigidez toro deve ser menor ou igual a 1, ou seja, 1 (ARAJO, 2010). Pela teoria de placas _ = 1c, tm-se maiores momentos torores, e ao reduzir este valor _ < 1c aumentam-se os momentos fletores e a flecha da laje e a consequente diminuio dos momentos torores (ARAJO, 2010; PAULA, 2007). Para a condio _ = 1c, o valor da constante de toro vale exatamente o dobro do momento de inrcia flexo, equao (2.33).

Alguns trabalhos verificam que valores existentes, na relao entre duas e duas vezes e meia da razo do momento de inrcia flexo sobre a constante de toro, conduzem a uma boa aproximao, quando comparados com resultados de lajes calculadas pela Teoria da Elasticidade (HENNRICHS, 2003; REIS, 2007; STRAMANDINOLI e LORIGGIO, 2003). Para a condio = 1 e = 0,20 a rigidez toro das barras da grelha dada por (2.34).

8 = %&]6 = 2 , 2.33

48 = ,-1,2 . 2.34

Stramandinoli (2003) verifica que, para um dimensionamento elstico de lajes nervuradas, a soluo que parece ser mais adequada desprezar a rigidez toro das nervuras _ = 0c. Dessa forma, a no considerao da rigidez toro faz com que os momentos fletores aumentem, e torna os momentos torores praticamente nulos. Paula (2007) verifica que medida que se aumenta a relao :; :

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influncia da inrcia toro das faixas da grelha no muito significativa para anlises que consideram apoios deslocveis.

No software Eberick, a inrcia toro configurada internamente, como mostra a equao (2.35) (KOCH, 2010; SILVA, 2005). Em relao ao mdulo de elasticidade transversal G, a NRB 6118:2007 (item 8.2.9) possibilita utilizar a equao (2.36) para o clculo do mdulo de elasticidade transversal (seo no fissurada). O software Eberick utiliza esta recomendao da norma.

8 = 2,5 , 2.35 4 = 0,4,- . 2.36

O valor da rigidez toro das barras da grelha equivalente, no software Eberick, pode ser alterado atravs da configurao reduo na toro que um valor em percentual aqui chamado de PQ. Esse parmetro define uma reduo para o mdulo de elasticidade transversal (G). O valor mximo de reduo toro das lajes que o software permite PQ = 99%. Dessa forma, a rigidez toro das barras _48c dada por (2.37) que obtida pela equao (2.35) e (2.36).

48 = z100 PQ100 { ,-. 2.37

Relacionando a equao (2.30), que no possui simplificaes, com (2.37), utilizada pelo software Eberick, tem-se:

8 = 2,4 z100 PQ100 { . 2.38

Pela equao (2.38) verifica-se que, ao adotar PQ = 0, o valor da rigidez toro ser o mesmo que utilizar o valor de 8 = 2,4_c na equao (2.30). Para que a equao (2.37) tenha o mesmo valor da equao (2.34) (valor tido com referncia por muitas pesquisas, com 8 = 2c, o coeficiente de reduo na toro dever ser PQ = 16,667. Esse nmero corrige os valores simplificados adotados pelo software para G e J. O valor recomendado de PQ pelo Eberick PQ = 40 e equivale a utilizar 8 = 1,44_c na equao (2.30).


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Em resumo, sobre a constante de toro (J), pode-se verificar que no h um valor que represente adequadamente todos os esforos e deformaes. Constata-se que, para lajes armadas nas duas direes, a resposta esttica elstico-linear muito dependente da rigidez toro das barras da grelha (seja laje nervurada ou macia).

Assim, no h consenso quanto aos valores a serem adotados (ARAJO, 2005), porm, de acordo com as pesquisas mostradas na Tabela 1, o valor da constante de toro _8 = 2 c parece ser mais adequado para anlises elsticas. Essa relao _8 = 2 c tambm a mais empregada na maioria das modelagens com analogia de grelha (ARAJO, 2010; CARVALHO, 1994; COELHO, 2009a; PINHEIRO, 1988; REIS, 2007; STRAMANDINOLI e LORIGGIO, 2003).

A carga equivalente nas barras da grelha pode ser calculada com a seguinte equao.

A= = _ + kc" :110 . 2.39

Em que a carga permanente e k, a carga acidental (ambas da laje macia), A a rea da laje, o termo " :110 " representa a soma dos comprimentos das barras da grelha, sendo n o nmero de barras da grelha. O esforo de dimensionamento obtido diretamente, dividindo-se o valor encontrado na grelha pela largura da faixa considerada _%&c. Em que EF1G o esforo que ser utilizado no dimensionamento, e E1, o esforo obtido na extremidade (inicial i, ou final j) da barra da grelha (REIS, 2007).

EF1G = E1,%& . 2.40

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Tabela 1- Rigidez toro das barras da grelha

GJ Comportamento da Laje Pesquisador

48 0 * Estudo vlido para lajes nervuradas; * Em regime elstico a soluo mais adequada; * =2+ aumentam; * C+ nulos.

Stramandinoli (2003)

48 = 4

Lajes nervuradas podem ser calculadas como lajes macias equivalentes, com 48 igual rigidez flexo. Em que: I inrcia flexo, com %& = 1; a espessura equivalente.

Arajo (2003)

48 = 4 2

* Estudo vlido para lajes nervuradas; * ; valores razoveis; * =; =< valores razoveis; * < no resultou em bons valores, para os casos estudos; * Flechas: valores a favor da segurana.

Stramandinoli e Loriggio (2003)

* Resultados concordam muito bem com a teoria de placas; * Grandes momentos torores; * Exigncia das armaduras de canto.

Arajo (2010)

48 = 4 3 * Estudo vlido para lajes nervuradas; * Flechas: parece ser a mais adequada.

Stramandinoli e Loriggio (2003)

=2+ ; ; < - Momento fletor positivo; =; ; =< - Momento fletor negativo; C+ - Momento toror;


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Sobre o refinamento da malha, estudos verificam que malhas mais grosseiras no apresentam resultados muito aceitveis, e por outro lado, malhas mais discretizadas no apresentam melhora significativa nos resultados (HENNRICHS, 2003; STRAMANDINOLI, 2003). Segundo Hennrichs (2003), uma malha pode ser considerada adequada se tiver o espaamento da ordem de 1/10 do vo da laje. Entretanto, alguns autores recomendam que o espaamento entre os elementos da grelha equivalente no deve ser superior a do vo (CARVALHO e PINHEIRO, 2009; HAMBLY, 1976).

Para tabuleiros, deve-se ter o cuidado para que as barras de uma laje devam coincidir com as barras da laje vizinha (estarem ligadas pelo mesmo n), dessa forma, h uma adequada transferncia de esforos entre as lajes.

Em Antunes e Magri (1985) apresentado o mtodo de equivalncia, desenvolvido por Hrennikoff (1941), que semelhante ao de AG estudado neste tpico. O mtodo exposto por esses autores possibilita simular um elemento placa por uma grelha equivalente de seis barras (Figura 5). O processo de equivalncia consiste na substituio da placa por uma grelha, cujas barras tm caractersticas elsticas equivalentes. No mtodo, as barras que compem as diagonais tm somente rigidez flexo, e as demais possuem rigidez flexo e toro. Mais detalhes sobre o processo de equivalncia pode visto na bibliografia citada acima.

Figura 5 Grelha equivalente com 6 barras Fonte: Antunes e Magri (1985).

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2.6 RIGIDEZ TORO DE VIGAS

Para o estudo e aplicao em critrios de projetos, a rigidez toro das vigas pode ser diferenciada como toro de equilbrio e toro de compatibilidade (NRB 6118:2007). A toro de equilbrio essencial ao equilbrio da estrutura, como uma laje em balano suportada diretamente por uma viga. A toro de compatibilidade oriunda apenas da compatibilidade entre as deformaes dos elementos, e, portanto, pode ser redistribuda pela estrutura sem prejuzo do equilbrio esttico.

Assim a NRB 6118:2007, item 17.5.1.2 (dimensionamento e verificao de elementos lineares), permite desprezar os esforos de toro atuantes em um elemento quando este esforo no for essencial ao equilbrio da estrutura, e o elemento tenha adequada capacidade de adaptao plstica, calculando os demais esforos sem considerar os efeitos provocados pela toro a ser desprezada. A norma, item 14.6.7.2 (grelhas e ns de prticos espaciais), permite reduzir a rigidez toro das vigas por fissurao, utilizando-se 15% da rigidez elstica integral da seo. O atendimento desse item, na anlise dos esforos, gera esforos de toro nas vigas, no entanto esses momentos possuem uma ordem de grandeza muito pequena, incompatvel com a armadura mnima indicada pela norma (ARAJO, 2008). Para o caso de vigas contguas, Reis (2007) verifica que esse valor, recomendado na NRB 6118:2007, pouco afeta a continuidade dos momentos negativos dos bordos das lajes.

Como nos edifcios usuais, geralmente so adotadas vigas de seo retangular ( %&), estas possuem uma rigidez toro muito pequena. De maneira geral, pode-se dizer que os resultados sofrem uma alterao desprezvel quando se consideram a rigidez toro das vigas e os momentos negativos das lajes que surgem nos apoios, devido rigidez toro das vigas em geral ser muito pequena (vigas com baixa rigidez toro), dessa forma, a reduo da rigidez toro da viga a torna menos sensvel rotao das lajes (ARAJO, 2008, 2010; REIS, 2007). Devido ao inconveniente da necessidade de verificao se a seo transversal da viga capaz de absorver os esforos oriundos da toro, alm de ter de arm-la para suportar tais esforos, alguns estudos no consideram a rigidez toro das vigas de bordo (ARAJO, 2009; PAULA, 2007; STRAMANDINOLI e LORIGGIO, 2003; STRAMANDINOLI, 2003).

Para a aplicao do mtodo de Analogia de Grelha, a rigidez toro da viga torna-se importante no estudo de lajes idnticas sobre


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apoios indeslocveis, onde as malhas da grelha equivalente no so coincidentes (COELHO, 2009b; REIS, 2007). A adoo de 15% da rigidez integral toro das vigas, permitida pela NRB 6118:2007, mostra-se adequada para a transmisso dos momentos nos casos de lajes contguas em que as malhas das grelhas esto desencontradas, desde que a malha seja pouco espaada (REIS, 2007).

O clculo da rigidez toro, 48, de vigas retangulares pode ser realizado com a equao (2.30), com a constante de toro 8 dada pela equao (2.41). No software Eberick, a rigidez toro das vigas alterada atravs de uma reduo percentual. O valor mnimo de reduo toro, permitido pelo software, 0% e o valor mximo de reduo de 95%.

8 = #%&] , 2.41 Com > %& (dimenses da viga), a constante de toro dada

por (YOUNG, 1989):

# = 13 0,21 z%& { 1

112 z

%& {. 2.42

2.7 ANLISE PELO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF)

At a dcada de 1950 a anlise estrutural era restrita utilizao de elementos ligados por apenas dois pontos no espao. Engenheiros estruturais utilizavam o mtodo lattice analogy, desenvolvido por Hrennikoff (1941) e McHenry (1943), para analisar placas e chapas. Porm, essa analogia no pode ser usada em regies com reas no retangulares (CLOUGH e WILSON, 1999). Para suprir essa e outras deficincias dos mtodos de clculo de estruturas, existentes at ento, Ray Clough e Jon Turner desenvolveram um mtodo que consiste na discretizao de uma estrutura em pequenas partes. Esse mtodo veio a ser conhecido como Mtodo dos Elementos Finitos - MEF (Finite Element Method ou FEA - Finite Element Analysis).

O MEF trata-se de um mtodo numrico em que as equaes de campo da fsica matemtica so aproximadas sobre regies simples

50


(tringulos, quadrilteros, tetraedros, etc.). E depois reunidas para que o equilbrio ou continuidade seja satisfeito atravs de pontos nodais que interligam os domnios (GUPTA e MEEK, 1996). De acordo com Gupta e Meek (1996), existem cinco grupos de artigos que podem ser considerados como desenvolvedores do MEF, que so os artigos de Courant (1943); Argyris (1954); Turner et al. (1956) primeira vez que a tcnica foi utilizada; Clough (1960) artigo que atribui tcnica o termo Finite Element Method; e o artigo de Zienkiewicz e Cheung (1965).

De acordo com alguns autores (COOK, MALKUS e PLESHA, 2001), a vantagem de deduzir o MEF por meio do Mtodo de Galerkin, de soluo de equaes diferenciais, que assim as funes-peso so iguais s funes de forma (funes-base) (KWON e BANG, 1996; ZIENKIEWICZ e TAYLOR, 2000). O mtodo de Galerkin um dos mtodos clssicos da fsica matemtica e inclui-se entre os chamados mtodos de Resduos Ponderados (nome atribudo a Crandall (1956)), destinados resoluo aproximada de equaes diferenciais com condies de contorno (e iniciais). Este mtodo foi desenvolvido por Galerkin (1915) e parte de equaes integrais de resduos ponderados, e por no exigir a existncia ou conhecimento de um princpio variacional mais geral que o mtodo de Rayleigh-Ritz (BECKER, CAREY e ODEN, 1981; SORIANO, 2009).

Neste trabalho no se pretende deduzir e explicar todos os conceitos e equaes para o desenvolvimento do MEF, mas sim, mostrar alguns tpicos tericos e as equaes para a obteno da matriz de rigidez e vetores de cargas para estruturas reticuladas. Com um enfoque fsico, a formulao da matriz de rigidez pode ser obtida baseada na interpolao dos deslocamentos, atravs do Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV) (BECKER, CAREY e ODEN, 1981; COOK, MALKUS e PLESHA, 2001; KWON e BANG, 1996; LOPEZ, 2012).

O Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV) diz que, no equilbrio, a variao de energia de deformao devido a um deslocamento virtual igual variao do trabalho realizado pelas foras externas devido a este deslocamento virtual (COOK, MALKUS e PLESHA, 2001). A equao do PTV pode ser obtida com a utilizao do Princpio da Energia Potencial Estacionria, dada por:

n HJ

HJdV = n HJHFJ

dV + n HJHJ

dS, 2.43


51

Com: HIJ = I eC o vetor das equaes dos deslocamentos nas direes x, y e z que so obtidas pela da multiplicao entre a matriz que contm as funes de interpolao '@( (shape functions), com o vetor de deslocamento nodal H)J, (2.44).

HIJ = '@(H)J. 2.44

A deformao especfica pode ser escrita como a 1 derivada da equao (2.44):

HLJ = 'g(HIJ. 2.45

Logo:

HLJ = 'g('@(H)J. 2.46

Escrevendo:

'( = 'g('@( 2.47

Substituindo (2.47) em (2.46), tem-se para a deformao especfica:

HLJ = '(H)J. 2.48

Aplica-se a primeira variao do clculo variacional em (2.43), e assim se obtm a equao do Princpio dos Trabalhos Virtuais, PTV, escrito matricialmente como:

n HMLJC7

HSJ) = n HMIJCHJ7

) + n HMIJCHJV

)E. 2.49 Os deslocamentos virtuais sero:

52


HMIJC = _'@(HM)J)C = HM)JC'@(C. 2.50 E as deformaes virtuais:

HMLJC = _'(HM)J)C = HM)JC'(C. 2.51

A relao entre tenses e deformaes, sem deformaes ou tenses iniciais, demonstrada pela equao (2.52). Em que, '*( a matriz constitutiva, simtrica, e pode representar propriedades elsticas isotrpicas ou anisotrpicas.

HSJ = '*(HLJ. 2.52 Substituindo as equaes (2.50) (2.52) em (2.49) (equao do

PTV), se obtm:

HM)JC un '(C7

'*('()H)J n '@(CHJ7

) n '@(CHJV

)Ev = 0. 2.53

A equao acima deve ser vlida para qualquer deslocamento virtual admissvel HM)J, logo se tem a equao de elementos finitos para o elemento.

un '(C7

'*('()v H)J = n '@(CHJ7

) + n '@(CHJV

)E. 2.54

O termo dentro do parntese esquerda do sinal de igualdade, da equao acima, representa a matriz de rigidez '9(. Os termos direita da igualdade representam o vetor de carga nodal consistente H=J.

'9( = n '(C7

'*('(). 2.55


53

H=J = n '@(CHJ7 ) + n '@(CHJ

V)E. 2.56

Dessa forma a equao (2.54) pode ser escrita em forma compacta como:

'9(H)J = H=J. 2.57

As cargas concentradas nos ns podem ser introduzidas no momento da superposio das matrizes, como um vetor H>J. Depois de definidas as condies de contorno, resolve-se o sistema de equaes de equilbrio da estrutura (2.57) e obtm-se a soluo esttica do problema em termos de deslocamentos nodais. A partir destes pode-se encontrar os esforos nos elementos bem como as reaes de apoio.

2.8 EQUAES DA SOLUO ESTTICA E DINMICA

Uma estrutura submetida a aes dinmicas reage modificando sua configurao em torno de uma posio de equilbrio estvel. Esta mudana configuracional pode atingir grandes amplitudes, mesmo para valores pequenos da ao excitante, podendo conduzir ao colapso da estrutura. A soluo das equaes diferenciais de equilbrio para estruturas reais, que so um meio contnuo submetido a aes dinmicas, em geral difcil de ser obtida. Portanto, na maioria dos casos, utilizada uma tcnica de discretizao das estruturas (CLOUGH e PENZIEN, 2003).

Entende-se por sistemas discretos aqueles nos quais as massas que os compem so discretizadas em pontos nodais associados a graus de liberdade. Na maioria dos casos, a anlise dinmica envolve uma quantidade suficiente de graus de liberdade para fornecer uma boa representao matemtica do sistema modelado. Portanto, a formulao se reduz a encontrar a resposta no tempo destes pontos nodais, para seus graus de liberdade. As expresses matemticas que determinam os deslocamentos causados por aes dinmicas so chamadas de equaes de movimento da estrutura, e a soluo destas equaes fornece os deslocamentos em funo do tempo (CLOUGH e PENZIEN, 2003; LIMA e SANTOS, 2008).

54


A formulao das equaes de movimento pode ser conduzida atravs da aplicao dos mtodos: Segunda Lei de Newton, Equilbrio dinmico pelo Princpio d Alembert, Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV) e Princpio de Hamilton. A aplicao do Princpio de Hamilton, geralmente, a mais apropriada, j que no envolve os problemas inerentes ao estabelecimento de equaes vetoriais, pois se utilizam grandezas escalares: energia cintica, energia potencial e energia de dissipao (KIM, DARGUSH e JU, 2013).

Para o desenvolvimento das equaes, considera-se a estrutura de um grau de liberdade (1 GDL) mostrada na Figura 6. As foras atuantes neste sistema so:

. = I Fora de amortecimento; .- = I Fora de rigidez; . = I Fora de inrcia; ._2) Fora externa atuante.

Figura 6 Sistema dinmico de um grau de liberdade

E I = I_2) a coordenada generalizada do deslocamento que define o estado cinemtico do modelo, j I e I so as derivadas de I_2) em relao ao tempo, ou seja:

I = I_2) = zgI_2)gN {, 2.58 I = I _2) = ggN z

gI_2)gN {.

Realizando o equilbrio de foras, tem-se:

. + . + .- = ._2). 2.59


55

Substituindo o valor das foras em (2.59), obtm-se a equao diferencial que rege o problema:

I + I + I = ._2). 2.60

Generalizando para N-graus de liberdade (CHOPRA, 1995; CLOUGH e PENZIEN, 2003):

'( HI J + '( HIJ + '9( HIJ = ._2), 2.61

Em que: '( Matriz de massa global, na qual cada coeficiente m representa a fora de inrcia por unidade de acelerao na direo i, devido acelerao unitria na direo j; '( Matriz de amortecimento global, na qual cada coeficiente c representa a fora de amortecimento, por unidade de velocidade na direo i, devido velocidade unitria na direo j; '9( Matriz de rigidez da estrutura, na qual cada coeficiente 1 representa a fora na direo i, devido ao deslocamento unitrio na direo j; HIJ = I_2) Vetor dos deslocamentos; HIJ = I_2) Vetor das velocidades; HI J = I _2) Vetor das aceleraes; ._2) Vetor das foras nodais equivalentes.

Para o caso em que se desconsideram o amortecimento _'( HIJ = 0), foras inerciais nulas '( HI J = 0 e aes que no possuem variao significativa no tempo ._2) constante, a equao (2.61) assume a mesma forma que a equao (2.57), a qual a soluo do problema esttico.

Nesta pesquisa, o que importa so as frequncias naturais no amortecidas e os modos de vibrao. Logo a resposta dinmica pode ser obtida em vibrao livre ._2) = 0 e com o amortecimento nulo _'(H IJ = 0) da estrutura. Assim, a equao que rege o comportamento dinmico de corpos elsticos, com deslocamentos infinitesimais, passa a

56


ser (CLOUGH e PENZIEN, 2003; HAMEDANI, KHEDMATI e AZKAT, 2012):

'( HI J + '9( HIJ = H0J.

O desenvolvimento de (2.62) leva a um polinmio de ordem N. As N razes de [, chamadas de autovalores ou valores caractersticos, fornecem as N frequncias circulares que podem ser ordenadas na forma crescente, sendo 0 a menor delas, conhecida como frequncia circular fundamental e as demais como harmnicos superiores (CLOUGH e PENZIEN, 2003). Os deslocamentos do sistema podem ser obtidos pela combinao linear dos modos de vibrao ou autovetores. Esta propriedade utilizada no procedimento que chamado de mtodo da superposio modal ou anlise modal, restrito a estruturas com comportamento linear (HATCH, 2001; LIMA e SANTOS, 2008).

2.9 ESTUDOS SOBRE A FLEXIBILIDADE DAS VIGAS DE APOIO

Atualmente a NRB 6118:2007, item 14.7.6.1, permitprocedimento simplificado de adotar as reaes de lajes como sendo uniformemente distribudas. Estudos (ARAJO, 2008, 2009, 2010; MAZZILLI, 1988, 1995; REIS, 2007) verificam que os valores das reaes das lajes, nas vigas de suporte, dependem da relao entre esses elementos, e que o valor das reaes ao longo da vigauniforme (Figura 7).

Figura 7 aes verticais de uma placa quadrada em uma viga perifricaFonte: Timoshenko (1959).

(CLOUGH e PENZIEN, 2003; HAMEDANI, KHEDMATI e

2.62

leva a um polinmio de ordem N. , chamadas de autovalores ou valores

que podem ser a menor delas, conhecida

como frequncia circular fundamental e as demais como harmnicos Os deslocamentos do sistema

podem ser obtidos pela combinao linear dos modos de vibrao ou autovetores. Esta propriedade utilizada no procedimento que chamado de mtodo da superposio modal ou anlise modal, restrito a

001; LIMA e

ESTUDOS SOBRE A FLEXIBILIDADE DAS VIGAS DE

permite o adotar as reaes de lajes como sendo

(ARAJO, 2008, 2009, 2010; os valores das

dependem da relao de rigidez longo da viga no

aes verticais de uma placa quadrada em uma viga perifrica


57

A flexibilidade o inverso da rigidez, e a reduo das sees dos elementos estruturais, por exemplo, faz com que a estrutura diminua sua rigidez e, consequentemente, aumente sua flexibilidade (PANDEY e BISWAS, 1995). Muitos trabalhos tm estudado a influncia da flexibilidade das vigas de apoio de lajes, como mostra a Tabela 2, sendo que a maioria das pesquisas trata apenas da anlise esttica de lajes isoladas, sem investigar as consequncias na continuidade dos esforos em painis de lajes e no dimensionamento de armaduras. Conforme Tangwongchai, Anwar e Chucheepsakul (2011), difcil prever de maneira realista o comportamento do sistema laje/viga, incluindo o efeito da flexibilidade dos apoios e excentricidade entre laje e viga, usando clculos manuais.

Mazzilli (1988) verificou que, para lajes macias de concreto armado (regime elstico-linear, isoladas, retangulares e apoiadas em seus quatro lados), os esforos na laje e nas vigas de apoio podem variar muito em funo da flexibilidade das vigas. Para lajes retangulares e simplesmente apoiadas, Hahn apud Mazzilli (1995) fornece uma regra prtica para o clculo dos momentos mximos (por unidade de largura) nessas lajes. As pesquisas mostradas na Tabela 2 verificaram que, para lajes isoladas, o aumento da rigidez flexo das vigas bordo ocasiona a diminuio dos deslocamentos na laje e nas prprias vigas (ARAJO, 2010; MAZZILLI, 1988, 1995; PAULA, 2007; REIS, 2007; STRAMANDINOLI, 2003).

Em Mazzilli (1995), estudou-se o regime esttico elstico-linear, com o uso do MEF (software SAP90), e tambm o regime de ruptura (experimental e numrico). Os resultados evidenciaram que a flexibilidade das vigas de apoio, altera significativamente os valores da resposta esttica, tanto no regime elstico como no regime plstico, para lajes isoladas e apoiadas.

Muitos estudos utilizam elementos finitos para fazer uma anlise acoplada do sistema laje/vigas. Por exemplo, Arajo (2008) discretizou as lajes em elementos finitos isoparamtricos quadrticos de oito ns (com base na teoria de placas de Mindlin), as vigas foram discretizadas com elementos finitos de trs ns, formulados com base na Teoria de Vigas de Timoshenko. Leite (2012) simulou por elementos finitos as vigas de bordo, nervuras e a laje de concreto armado, nos quais a utilizao de elementos de cascas tem a capacidade de incorporar a excentricidade existente entre as lajes e as nervuras, sem nenhum tipo de artifcio ou simplificao.

58


Tabela 2- Pesquisadores, Tipo de Anlise, Mtodo

Pesquisador Anlise Mtodo Aplicao

Mazzilli (1988) Esttica Elstico-linear MEF Lajes macias

isoladas retangulares

Mazzilli (1995) Esttica

regime de ruptura

MEF Lajes macias

isoladas retangulares

Hennrichs (2003) Esttica Elstico-linear MEF AG

Tabuleiro com Lajes planas iguais

Stramandinoli (2003) Esttica Elstico-linear MEF AG

Lajes nervuradas isoladas

Paula (2007) Esttica e Dinmica

Elstico-linear AG Lajes nervuradas isoladas

Reis (2007) Esttica Elstico-linear MEF AG


Arajo (2008) Esttica Elstico-linear MEF e

Mtodos Simplificados

Painel com lajes iguais e lajes

desiguais

Arajo (2009) Esttica linear e no linear

MEF e Mtodo

Simplificado

Painel com lajes desiguais

Coelho (2009) Esttica Elstico-linear MEF AG

Painel com duas lajes retangulares

Arajo (2010) Esttica Elstico-linear MEF Lajes macias

retangulares e laje contnua

Leite et al.(2010) Esttica e Dinmica

Elstico-linear MEF Lajes nervuradas isoladas

Leite (2012) Esttica e Dinmica

Elstico-linear MEF



Um parmetro relevante para a anlise do comportamento conjunto do tabuleiro, laje com as vigas de bordo, a excentricidadeexistente entre o eixo longitudinal das vigas e o plano mdio da laje, Figura 8 (HAMEDANI, KHEDMATI e AZKAT, 2012; LEITE, 2012; LEITE et al., 2010; PAULA, 2007). Assim, a influncia das vigas de bordo na resposta esttica e dinmica est relacionada excentricidade existente entre os centroides da laje e vigas de bordo e relao entre a rigidez da laje e da viga (ARAJO, 2008, 2009, 2010; LEITE, 2012; LEITE et al., 2010). Uma maneira de tentar simular o efeito da excentricidade usar o teorema dos eixos paralelos (Steiner), para calcular o momento de inrcia das vigasequao (2.63) (ARAJO, 2008, 2009).

Figura 8 Excentricidade entre o eixo da viga e plano mdio da laje

1 = + %&[.

Para vigas retangulares tem-se:

= %&]

12 , = 2 .

59

do comportamento , laje com as vigas de bordo, a excentricidade _)

existente entre o eixo longitudinal das vigas e o plano mdio da laje, (HAMEDANI, KHEDMATI e AZKAT, 2012; LEITE, 2012;

. Assim, a influncia das vigas de relacionada excentricidade

e relao entre a (ARAJO, 2008, 2009, 2010; LEITE, 2012;

Uma maneira de tentar simular o efeito da o teorema dos eixos paralelos (teorema de

das vigas, como mostra a

Excentricidade entre o eixo da viga e plano mdio da laje

2.63

2.64

2.65

60


Ou ainda, com utilizao de elementos finitos da casca, em que o comportamento gerado pela excentricidade entre os elementos estruturais pode ser modelado a partir de pequenas simplificaes (LEITE, 2012; LEITE et al., 2010; PAULA, 2007). O software Eberick no considera a excentricidade entre laje e viga, j no SAP2000, uma alternativa simplificada, que pode ser utilizada, com o uso da opo cardinal point, para esta, recomenda-se consultar o manual do mesmo.

A considerao da excentricidade _) em modelagens com elementos finitos, segundo Tangwongchai, Anwar e Chucheepsakul (2011), pode ser realizada com o modelo Plate-Frame Model (PFM) e Shell-Frame Model (SFM). Na prtica, o mtodo SFM mais adequado, pois, mantm a simplicidade da superfcie da estrutura em anlise transversal, bem como na direo longitudinal. Nessa alternativa, SFM, as vigas so modeladas como elementos de barra e as lajes como elementos de casca, enquanto que a ligao entre eixos da laje e viga realizada por meio de elemento rgido (rigid link) (TANGWONGCHAI, ANWAR e CHUCHEEPSAKUL, 2011). Podem-se usar, tambm, modelos de Elementos Finitos com a opo de colocar a viga no plano da laje usando a inrcia de seo T com a considerao da largura colaborante da laje. Este modelo fornece bons resultados e no tem alguns problemas que os modelos SFM e PFM apresentam, os quais podem ser consultados em bibliografia especfica (TANGWONGCHAI, ANWAR e CHUCHEEPSAKUL, 2011).

Kennedy e Bali (1979) apresentam algumas expresses analticas para clculo da rigidez de lajes nervuradas ortotrpicas. Os autores propem o clculo do momento de inrcia flexo da seo T considerando a influncia do coeficiente de Poisson na mesa. Portanto:

C = %$$]

12_1 R[) +"$ z $2 {

[

_1 R[) + + "p z$ +2 {

[. 2.66


Figura 9 Seo T

Em que: "$ = %$$ a rea da seo da mesa; = p0[ o momento de inrcia da seo de viga abaixo da laje;"p = %& a rea da seo de viga abaixo da laje; a ordenada do centroide de seo T, medido a partir da face

superior da laje (PAULA, 2007), calculada por:

=%& |$ + 2} + %$$

[2_1 R[)

%& + %$$_1 R[).

As equaes (2.66) e (2.67) podem ser usadas para o clculo do momento de inrcia flexo de sees T, como usualmente se utiliza. Para isso, basta considerar o coeficiente de Poisson nulo.

A rigidez das vigas tambm pode afetar significativamente a parcela de carga transmitida diretamente para os pilares, ou seja, para vigas com grande flexibilidade, as lajes tendem a transmitir os esforos diretamente para os pilares (HENNRICHS, 2003; MAZZILLI, 1988; REIS, 2007). Este comportamento, tambm, verificado por (1995) para lajes isoladas e apoiadas em regime de ruptura.

Reis (2007) verifica que, para vigas com altura na relao aproximada de 10% do vo (para laje com espessura de 10 cm), a resposta esttica (esforos e deslocamentos) possui valores aproximados obtida pelas teorias clssicas que consideram as vigas indeformveis. medida que se reduz a altura dessas vigas, a laje tendecomportamento similar de uma laje plana, e os momentos negativos das lajes so influenciados pela rigidez do pilar (REIS, 2007)

61

o momento de inrcia da seo de viga abaixo da laje; a rea da seo de viga abaixo da laje;

a ordenada do centroide de seo T, medido a partir da face

2.67

) podem ser usadas para o clculo do cia flexo de sees T, como usualmente se utiliza.

asta considerar o coeficiente de Poisson nulo. A rigidez das vigas tambm pode afetar significativamente a

parcela de carga transmitida diretamente para os pilares, ou seja, para lajes tendem a transmitir os esforos

(HENNRICHS, 2003; MAZZILLI, 1988; verificado por Mazzilli

para lajes isoladas e apoiadas em regime de ruptura. verifica que, para vigas com altura na relao

aproximada de 10% do vo (para laje com espessura de 10 cm), a e deslocamentos) possui valores aproximados

obtida pelas teorias clssicas que consideram as vigas indeformveis. tende a assumir o

comportamento similar de uma laje plana, e os momentos negativos (REIS, 2007). Mazzilli

62


(1988, 1995) verifica que o aumento da espessura da laje (aumento da rigidez da laje) pode ser desfavorvel para o bom desempenho das vigas e pilares. Leite (2012) e Leite et al. (2010) verificam que existe uvariao no linear decrescente dos deslocamentos verticais no centro da laje, medida que aumenta a rigidez das vigas de bordo.

A Figura 10 mostra um dos grficos (Grfico 5.2.5-1, pgina 79sugerido por Mazzilli (1995) para determinar a carga crtica de lajes macias retangulares de concreto armado em regime plstico. O grfico tem validade somente para lajes istropas, isoladas e simplesmente apoiadas em quatro vigas iguais entre si (vigas de bordo). referncia aos resultados de Mazzilli (1988, 1995), devida ao fato que esse autor realizou investigaes sobre o comportamento flexvel entre laje e viga, porm, no considerou a excentricidade entre esses elementos.

As curvas do grfico relacionam o ndice de Carga de Ruptura com a razo entre a rigidez da laje e rigidez da viga, cada curva est relacionada a uma relao entre vos das vigas (). Pode-se notar que as curvas independem do valor da espessura da laje, pois a escolha do ndice adimensional57, equao (2.68), permite que as curvas 57 sejam independentes do valor da espessura (h) da laje (MAZZILLI, 1995). Deve ser lembrado que, este estudo no objetiva investigar o regime plstico, e sim o regime elstico-linear.

Figura 10 ndice de Carga de Ruptura: vigas de apoio iguais entre siFonte: Mazzilli (1995).

verifica que o aumento da espessura da laje (aumento da rigidez da laje) pode ser desfavorvel para o bom desempenho das vigas

verificam que existe uma decrescente dos deslocamentos verticais no centro da

pgina 79) para determinar a carga crtica de lajes

lstico. O grfico tem validade somente para lajes istropas, isoladas e simplesmente apoiadas em quatro vigas iguais entre si (vigas de bordo). Essa

, devida ao fato que or realizou investigaes sobre o comportamento flexvel entre

entre esses

As curvas do grfico relacionam o ndice de Carga de Ruptura iga, cada curva est

se notar que as curvas independem do valor da espessura da laje, pois a escolha do

permite que as curvas ??/(MAZZILLI,

este estudo no objetiva investigar o

ndice de Carga de Ruptura: vigas de apoio iguais entre si


63

Para entendimento, apresentam-se as equaes de base, que utilizam a mesma nomenclatura utilizada por Mazzilli (1995).

- Relao entre os vos: K = :< :;, ; em que :; o menor vo da viga e :

64


57 = *+9 :; :< =:; : 1,2 .,+12 . 3.75 Para as anlises desta pesquisa, os seguintes efeitos no foram

verificados/considerados: Levantamento dos bordos da laje em relao aos apoios

(descolamento entre laje e viga). Pois considerada como monoltica a ligao entre os elementos estruturais;

Cisalhamento nas lajes e fissurao dos elementos estruturais; Influncia da seo dos pilares nos esforos; Rigidez toro das vigas de apoio. Pois essa rigidez apenas

de compatibilidade, sendo assim, no essencial para o equilbrio do tabuleiro.

Alguns dos resultados das anlises so exibidos em funo do ndice 57, flexibilidade laje/viga. Este ndice o mesmo apresentado por Mazzilli (1995), equao (2.71), e optou-se por manter a mesma nomenclatura utiliza por esse autor. Reescrevendo a equao (2.71):

57 = 5 = *+9 :; :< = ]12 :; :< _1 [c. 3.76


75

- ndice de flexibilidade da laje: 5 = p 0[_0qc ; em que a espessura da laje.

- ndice de flexibilidade da viga: = 0[ , em que %& a largura da viga retangular e a altura da viga. Esse valor o mesmo do momento de inrcia flexo para seo retangular.

Com objetivo de apresentar os resultados de ;,

76


3.2 OBTENO DA RESPOSTA ESTTICA

A resposta esttica do tabuleiro, esforos e deslocamentos, foi obtida por meio de anlises com os mtodos de AG, MEF e tabelas de lajes.

3.3 OBTENO DA RESPOSTA DINMICA

A resposta dinmica do tabuleiro, frequncias e modos de vibrao foi obtida por meio de anlises com o MEF. O problema de autovalores e de autovetores no SAP2000 resolvido com o uso da matriz de massa diagonal (CSI, 2009).

Para a escolha de modo de vibrao correto, considerado o fator de participao modal (Modal Participation Factor). Esses fatores de participao indicam o quo forte cada modo excitado pelas respectivas cargas de acelerao (CSI, 2009). Pois, na anlise de edifcios modelados como prtico espacial, para a verificao do tabuleiro, nem sempre o modo de vibrao que possui uma menor frequncia de vibrao o que deve ser utilizado. Mas sim, aquele que mobiliza mais massa segundo a direo de interesse que, nos casos em estudo, a direo vertical ou eixo Z global.

3.4 ANLISE COM USO DE TABELAS

A anlise com utilizao de mtodos tradicionais de clculo de lajes foi realizada com o auxlio de tabelas, para clculo dos momentos fletores e flechas das lajes (no centro da placa). Foram utilizadas as tabelas de Czerny (1976) com = 0,20, e as tabelas apresentadas em Pinheiro (2007). Em uma segunda etapa, foi realizada a compatibilizao dos momentos fletores negativos, e para tal, toma-se como momento fletor negativo compatibilizado o maior dos seguintes valores:

0,800,80 + 2. 3.81

e rep

influÊncia da flexibilidade de vigas de apoio no projeto de lajes maciÇas de concreto armado

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