Inferência BásicaInferência Estatística: decidindo na presença de incerteza

Universidade Federal de Minas Gerais

Instituto de Ciências Exatas

Departamento de Estatística

Aula 10:

Testes de Hipóteses para Duas Médias em

Amostras Emparelhadas e Independentes

Introdução à Bioestatística – Turma Nutrição

Comparação de Dois Grupos

Comparação de duas drogas, dietas, terapias, etc...

• Dois Novos Tratamentos

• Tratamento Novo com um Tratamento Padrão

• Tratamento com a Ausência de Tratamento

• Antes e Depois do Tratamento.

O melhor dentre dois tratamentos é aquele que:

• produz melhores resultados para a maioria da população,

ou seja, fornece os melhores resultados na média.

Tipos de Planejamento

Amostras Independentes:

Temos duas amostras separadas, uma de cada população:

• Tratamento 1 é aos n1 indivíduos da primeira amostra;

• Tratamento 2 é aos n2 indivíduos da segunda amostra.

Amostras Dependentes (ou Emparelhadas ou Pareadas):

A amostra é constituída de n pares de indivíduos:

• Tratamento 1 é aplicado a um elemento do par;

• Tratamento 2 é aplicado ao outro elemento do par.

Exemplo 1: amostras independentes

Um clínico suspeita que o fato de a mãe ter menos de 20 anos

de idade está associado com o nascimento de bebês com

baixo peso ao nascer (< 2500 gramas).

Ele selecionou aleatoriamente alguns registros de uma grande

maternidade e os dividiu em dois grupos:

Grupo 1: bebês de mães com menos de 20 anos e

Grupo 2: bebês de mães com mais de 20 anos.

Para cada bebê em cada grupo, observou a variável:

X: peso ao nascer (em gramas).

Exemplo 2: amostra emparelhadas

Para comparar dois tipos de colírio (A e B) quanto à variável

“tempo para dilatar a pupila para o exame oftalmológico”,20 pacientes receberam um colírio em cada olho

n = 20 pares cada paciente é um par: (Olho D ; Olho E).

Par Colirio A

Tempo

Colírio B

Tempo

Diferenças

d = x - y

1 x1 y1 d1 = x1 - y12 x2 y2 d2 = x2 - y2M M M M

20 xn yn dn = xn - yn

Exemplo 3: amostradas emparelhadas

Um pesquisador deseja verificar se o Captopril reduz a pressão sanguínea.

A PS X foi aferida antes e depois da aplicação da droga em 12 pacientes.

Tratamento 1: Ausência da droga (“Antes”)

Tratamento 2: Presença da droga (“Depois”)

n = 12 pares cada paciente um par: (Xantes, Xdepois).

Consumo de chocolate amargo e redução na pressão arterial

Taubert, D. et al. (2007) Effects of Low Habitual Cocoa Intake on Blood Pressure and Bioactive Nitric

Oxide: A Randomized Controlled Trial, JAMA, July 4, 2007—Vol 298, No. 1

44 adultos com

hipertensão

arterial leve

Antes

Depois

18 semanas

Antes

Depois

18 semanas

22 - Chocolate

amargo

22 - Chocolate

branco

Exemplo 5: Múltiplos Planejamentos

Amostras

Pareadas

Amostras

Pareadas

Amostras

independentes

Comparação de Duas Médias em Amostras Emparelhadas

Amostra com n pares de indivíduos:

• Tratamento 1 é aplicado a um elemento do par (medida x)

• Tratamento 2 é aplicado ao outro elemento do par (medida y)

Par Tratamento 1

x

Tratamento 2

Y

Diferenças

d = x - y

1 x1 y1 d1 = x1 - y12 x2 y2 d2 = x2 - y2M M M M

n xn yn dn = xn - yn

Médias populacionais (desconhecidas): μ1 e μ2 , μd = μ1 - μ2

Hipótese nula:

H0: μ1 = μ2

H0: μd = 0

sd = desvio-padrão das diferenças d = média das diferenças

Hipótese Alternativa Valor-p

H1: μ1 < μ2 H1: md < 0 P(T(gl) < Tobs )

H1: μ1 > μ2 H1: md > 0 P(T(gl) > Tobs )

H1: μ1 μ2 H1: md 0 2xP(T(gl) >|Tobs|)

Comparação de Duas Médias em Amostras Emparelhadas

Estatística de Teste:

gl = n-1

Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μ1 - μ2 = 0 H0: μd = 0

Rejeita-se a hipótese nula se valor-p < .

ns

dTd

obs

sd = desvio-padrão das diferenças

d = média das diferenças

n: número de pares na amostra

Pressão sistólica (mmHg) em 12 pacientes antes e depois do Captopril.

O Captopril reduz a PS?

H0: μAntes = μDepoisH1: μAntes > μDepois

Valor-p = P(t11 > 6.4) < 0.0005.

Rejeita H0 ao n.s de 1%.

Conclui-se que o

Captopril reduz a PS.

Exemplo: Capacidade Vital Forçada (litros) nas posições sentada e deitada.

A medição da CVF se

altera com a posição?

H0: μSenta = μDeitaH1: μSenta μDeita

Valor-p = 2P(t9 > 1,17) está entre 0.20 e 0.30.

Não se rejeita H0 ao n.s de 5%.

Conclui-se que não há diferença

na medição da CVF entre as

posições sentado e deitado.

Valor-p > 0.05.

Consumo de chocolate amargo e

redução na pressão arterial*

2.9 0-8.50

1.6 22obsT

Grupo “chocolate amargo”

Valor-p = 2.P(t21 > |-8.50|) < 2.(0.0005) ou seja, valor-p< 0.001.

A pressão sistólica média antes e 18 semanas depois do consumo

de chocolate amargo são diferentes.

μ: média da pressão sistólica

H0: μDepois – μAntes = 0

H1: μDepois – μAntes ≠ 0

= 0.05

Rejeita H0 ao nível de significância de 5% (valor-p < 0.05).

0.1 0 0.29

1.6 22obsT

Valor-p = 2.P(t21 > |0.29|) > 2.(0.30) ou seja, valor-p > 0.60.

Grupo “chocolate “branco”

μ: média da pressão sistólica

H0: μDepois – μAntes = 0

H1: μDepois – μAntes ≠ 0

= 0.05

A pressão sistólica média antes e 18 semanas depois do consumo

de chocolate branco são iguais.

Não se rejeita H0 ao nível de significância de 5% (valor-p > 0.05).

μ1 ≠ μ2

σ1=σ2=σ

Comparação de duas Médias

Amostras Independentes

Médias Populacionais (desconhecidas): μ1 e μ2 , μd = μ1 - μ2

Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μ1 - μ2 = 0 H0: μd = 0

Suposição: as amostras dos

grupos 1 e 2 vêm de populações

com distribuição Normal com

desvios-padrão iguais.

Amostras Grupo 1 Grupo 2

Tamanho n1 n2

Média

Desvio-Padrão s1 s2

s1 e s2 são combinados para estimar o desvio-padrão comum σ:

x y

snsns

nncomb2112222

12

11

2

()()

Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μ1 - μ2 = 0 H0: μd = 0

Hipótese alternativa: H1: μ1 ≠ μ2 H1: μ1 - μ2 ≠ 0 H1: μd ≠ 0

ou H1: μ1 < μ2 H1: μ1 - μ2 < 0 H1: μd < 0

ou H1: μ1 > μ2 H1: μ1 - μ2 > 0 H1: μd > 0

Hipótese Alternativa Valor-p

H1: μ1 < μ2 H1: md < 0 P(T(gl) < Tobs )

H1: μ1 > μ2 H1: md > 0 P(T(gl) > Tobs )

H1: μ1 μ2 H1: md 0 2xP(T(gl) >|Tobs|)

Comparação de Duas Médias em Amostras Independentes

Estatística de Teste:

,11

21

2

nns

yxT

comb

obs

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

snsnscomb

com

gl = n1 + n2 - 2

Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μ1 - μ2 = 0 H0: μd = 0

Rejeita-se a hipótese nula se valor-p < .

Tabela 2 do artigo

(Taubert et al, 2007)

H0: μB = μA

H1: μB ≠ μA

= 0.05

Não se rejeita H0 ao nível de significância de 5% (valor-p > 0.05).

As taxas médias de colesterol total no início do estudo são iguais

nos dois grupos (chocolante amargo e branco).

Valor-p = 2 x P(t42 > |Tobs|) = 2 x P(t42 > 0.23) [Vide próximo slide]

P(t42 > 0.23) P(t40 > 0.23) > 0.40

Valor-p > 2(0.40) = 0.80.

As médias de colesterol total

são iguais nos dois grupos?

μB: média de colesterol total na população do grupo chocolate branco

μA: média de colesterol total na população do grupo chocolate amargo

P(t42 > 0.23) P(t40 > 0.23) > 0.40