Inferência Estatística

Josemar Rodrigues

AULA12:

2

Estatística

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4

Definição: População é o conjunto de todos os elementos ou resultados sob investigação

Definição: Uma amostra é um subconjunto de observações selecionadas a partir de uma população.

Definição: As variáveis aleatórias nXX ,1 são uma amostra aleatória de tamanho n , se (a) os Xi’s forem variáveis aleatórios independentes e (b) cada Xi tiver a mesma distribuição de probabilidade.

Inferência Estatística é dividida em duas partes:

• Estimação dos parâmetros;

• Teste de hipóteses.

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Exemplo 1: Considera-se uma população com 5 elementos, que correspondem aos seguintes valores da variável aleatória X: {1,3,5,5,7}. Escolhemos todas as amostras possíveis de tamanho 2, com reposição desta população.

Distribuição de probabilidade da variável aleatória X. X 1 3 5 7

f(x)=P(X=x) 1/5 1/5 2/5 1/5

E(X)=1(1/5)+2(1/5)+5(2/5)+7(1/5)=21/5=4,2

Var(X)=2,08.

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12 \ XX 1 3 5 7 1 (1,1) (3,1) (5,1) (7,1) 3 (1,3) (3,3) (3,3) (7,3) 5 (1,5) (3,5) (5,5) (7,1) 7 (7,1) (3,7) (5,7) (7,7)

12 \ XX 1 3 5 7 )( 22xfX

1 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5 3 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5 5 2/25 2/25 4/25 2/25 2/5 7 1/25 1/25 1/25 1/25 1/5

)( 11xfX 1/5 1/5 2/5 1/5 1

).,(),()(),()(

;2,1),()()(

211121 11xxxfxfxxfii

ixfxfi

XX

XiX i

Observação:

7

Definição: Uma estatística é uma característica da amostra, ou seja, uma estatística T é uma função de nXX ,1

amostra. dar maior valo o ),,max(X

amostra, dar menor valo o ),,min(X

amostra, da Variância ,1

)(S

amostra, da média ,/1

1(n)

1(1)

2

12

1

n

n

n

ii

n

ii

XX

XXn

XX

XnX

As estatísticas mais comuns são:

Definição: Uma parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da população.

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Denominação População Amostra Média )(XE X Mediana Md Md Variância 2)( XarV 2S Nª de elementos N n Proporção p p̂ Função densidade f(x) Histograma

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Distribuições amostrais

A distribuição de probabilidades de uma estatística é chamada de distribuição amostral da estatística.

Exemplo 1: Considera-se uma população com 5 elementos, que correspondem aos seguintes valores da variável aleatória X: {1,3,5,5,7}. Escolhemos todas as amostras possíveis de tamanho 2, com reposição desta população.

Distribuição de probabilidade da variável aleatória X.

X 1 3 5 7 f(x)=P(X=x) 1/5 1/5 2/5 1/5

E(X)=4,2

Var(X)=2,08.

Determine a distribuição da média amostral.

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Amostra 2

21 XXX

Probabilidade

(1,1) (1,3) (3,1) (1,5) (5,1) (3,3) (3,5) (1,7) (5,3) (7,1) (5,5) (3,7) (7,3) (5,7) (7,5) (7,7)

1 2 3 4 5 6 7

1/25 2/25 5/25 6/25 6/25 4/25 1/25

Distribuição de probabilidade da variável aleatória X. x 1 2 3 4 5 6 7

)(xf 1/25 2/25 5/25 6/25 6/25 4/25 1/25

2/16,408,2)(;2,4)( XVarXE

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Resultado 4 (Teorema Central do Limite)

Sejam nXX ,1 uma amostra aleatória de tamanho n retirada de uma população com média e variância 2 finita. Então a média amostral X , tem distribuição normal com média e variância n/2 , para n suficientemente grande. Isto é,

grande. para ),1,0(~/

nNn

XZ

menteaproximada

2

1

2

,~)(

;,~)(

nnNXii

nNXi

menteaproximada

n

ii

menteaproximada

Observação:

12

13

Exemplo (Aproximação da distribuição Binomial pela Normal)

Sejam nXX ,1 uma amostra aleatória de tamanho n retirada de uma população Bernoulli com parâmetro p (0<p<1). Então,

n

i

ynyi nypp

y

nyfpnBinomialXY .,,1,0,)1()(),,(~

14

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

x

P(X

=x)

p=0,1

0 2 4 6 8

0.00

0.20

x

P(X

=x)

p=0,3

0 2 4 6 8

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,5

0 2 4 6 8

0.00

0.20

x

P(X

=x)

p=0,8

Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p

15

0 5 10 15 20

0.00

0.20

x

P(X

=x)

p=0,1

0 5 10 15 20

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,3

0 5 10 15 20

0.00

0.10

x

P(X

=x)

p=0,5

0 5 10 15 20

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,8

Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p

16

0 10 20 30

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,1

0 10 20 30

0.00

0.10

x

P(X

=x)

p=0,3

0 10 20 30

0.00

0.10

x

P(X

=x)

p=0,5

0 10 20 30

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,8

Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p

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Exemplo: Sabe-se que 25% das crianças expostas a um particular agente infeccioso adquirem uma certa doença. Considere um grupo de 100 crianças com igual exposição ao agente infeccioso. Determinar a probabilidade de no mínimo 15 e no máximo 30 crianças adoeçam.

Solução:Seja a v.a. Y: número de crianças que adoecem dentre as 100 crianças expostas. Então, Y~B(100;0,25).

cc

yyyf

xx

.,0

100,,1,0,75,025,0100

)(100

0,848 )30()16()15()3015( fffYP

18

18,75);25()1(,~1

NpnpnpNXYmenteaproximada

n

ii

0,864484 0,01044408 -0,874928

)31,2()15,1(1,15Z2,31-P

18,75

2530

18,75

25-Y

18,75

2515)3015(

PYP

Pelo Teorema Central do Limite temos: