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INE5317 Linguagens Formais e

Compiladores

Ricardo Azambuja SilveiraINE-CTC-UFSC

E-Mail: [email protected]: www.inf.ufsc.br/~silveira

AULA 5: Autômatos Finitos

http://www.inf.ufsc.br/~silveira

06/09/06 Ricardo Silveira 2

As Linguagens e os formalismos representacionais

● Os tipos de formalismos utilizados:– Denotacional: as linguagens são representadas

por meio de uma função que caracteriza o conjunto de palavras admissíveis na linguagem

● EXPRESSÕES REGULARES– Axiomático: as linguagens são representadas

através de regras que constituem uma Gramática que permite derivar todo o conjunto de sentenças

● GRAMÁTICAS– Operacional: as linguagens são representadas

por máquinas abstratas ou autômatos, baseados em estados, em instruções primitivas e em como cada símbolo modifica cada estado

● AUTÔMATOS


Sistemas de Estados Finitos● Um Sistema de Estados Finitos é um modelo

matemático de sistemas com entradas e saídas discretas que pode assumir um número finito e pré-definido de estados

● Cada estado resume somente as informações do passado necessárias para determinar as ações para a próxima entrada


Tipos de autômatos

● Autômato finito● Autômato com pilha● Máquina de Turing com fita finita● Máquina de Turing


LINGUAGENS REGULARES E AUTÔMATOS FINITOS

● Constituem um conjunto de linguagens decidíveis bastante simples e com propriedades bem definidas e compreendidas.

● Podem ser reconhecidas por Autômatos Finitos e são facilmente descritas por expressões simples, chamadas Expressões Regulares.

● Podem ser abordadas através de fomalismos:– Operacional ou reconhecedor: Autômato Finito

(Determinístico e Não-determinístico e Vazio).– Axiomático ou gerador: Gramática Regular– Denotacional: Expressão Regular


Autômato Finito● Um Autômato Finito é um reconhecedor de

L.R.– Entende-se por reconhecedor de uma linguagem

L um dispositivo que tomando uma seqüência w como entrada, responde “sim” se w ∈ L e “não” caso contrário.

● Os Autômatos Finitos classificam-se em:– Autômatos Finitos Determinísticos (AFD)– Autômatos Finitos Não-Determinísticos (AFND)– Autômatos Finitos com Movimentos Vazios (AFε)


Autômato Finito Determinístico

● Um autômato finito determinístico é uma máquina abstata composta por:– Fita

● Dispositivo de entrada que contém a informação a ser processada

– Unidade de controle● Reflete o estado corrente da máquina. Possui

uma leitora que lê uma célula de cada vez e movimenta-se para a direita

– Programa ou Função de Transição● Comanda as leituras e define o estado da

máquina


Autômato Finito Determinístico● Um autômato finito

determinístico (AFD)é uma 5-upla:– M= (Q, Σ, δ, q

0,F)

– Q é um conjunto de estados possíveis do autômato, o qual é finito;

– Σ é um alfabeto de símbolos de entrada;

– δ (delta) é um programa ou função de transição: δ:Q × Σ → Q

– q0 é o estado inicial, tal que q

0 é

elemento de Q– F é o conjunto de estados

a a b c c b a a

Controle


Função de transição

δ(q; a) = p

para q, p ∈ K e a ∈ Σ,

significando que, estando no estado q e lendo o síımbolo a na fita de entrada, o autômato muda para o estado p e avança o cabeçote uma posição.


M= (Σ, Q, δ, q0,F)∑ alfabeto de símbolos de entrada; Q conjunto de estados possíveis do autômato, o qual é finito;δ programa ou função de transição: δ: Q x ∑ → Qq0 estado inicial, tal que q0 é elemento de Q (indicado por uma seta)

F conjunto de estados finais, tal que F está contido em Q;

a

estado anterior novo estado

p q

símbolo lido

Represertação de autômato como grafo


Exemplo● M = ({q0, q1, q2}, {a; b}, δ, q0, {q2}),

– δ(q0; a) = q1,– δ(q1; a) = q1, – δ(q1; b) = q2.– Logo, T(M) = {anb | n ≥ 1 }.


Tabela de transição de estados

● Uma terceira forma de representar um AF:– Tabela indicando na vertical os estados, e na

horizontal os síımbolos do alfabeto. – No cruzamento estão as transições possíveis;– O estado inicial é indicado por uma seta, e os

estados finais por asteriscos.δ a b→q0 q1 -q1 q1 q2

*q2 - -


δ a b

q0 q1 q2q1 qf q2q2 q1 qfqf qf qf

q0

q2q1

qf

a b

b

a,b

aa

b

δ1 é representada na tabela

Exemplo de AFD– Considere a linguagem:L1={w | w possui aa ou bb

como subpalavra}● AF: M1=({a,b},{q0,q1,q2,qf}, δ

1, q0, {qf})


δ 0 1

→*q0 q0 q1*q1 q0 -

0

1


Exemplo de AFD– Considere a linguagemconstituída por sentenças

em {0; 1}* as quais não contém dois ou mais 1’s consecutivos

● AF: M1=({0,1},{q0,q1}, δ, q0, {q0,q1})● δ(q0; 0) = q0, δ(q0; 1) = q1, δ(q1; 0) = q0.

0

q1q0


M= (Σ, Q, δ, q0,F)∑ alfabeto de símbolos de entrada; Q conjunto de estados possíveis do autômato, o qual é finito;δ programa ou função de transição: δ: Q x ∑ → 2Q

q0 estado inicial, tal que q0 é elemento de Q F conjunto de estados finais, tal que F está contido em Q;

p

p1

a

estado anterior

Conjunto de novosestados

símbolo lido

p2 pn

aa

Autômato Finito Não-Determinístico


δ a b

q0 {q0,q1} {q0, q2}q1 {qf} -q2 - {qf}qf {qf} {qf}

q0

q2q1

qf

a b

b

a,b

a


Exemplo de AFND– Considere a linguagem:L1={w | w possui aa ou bb

como subpalavra}● AF: M1=({a,b},{q0,q1,q2,qf}, δ

2, q0, {qf})

a,b


Exemplo de AFND


Equivalência entre AFD e AFND● A partir de um AFND é possível construir um AFD


Determinismo X Não-determinismo

● Muitas vezes é mais fácil desenvolver um AFN do que um AFD– exemplo

● { w | o quinto símbolo da direita para a esquerda de w é a }

● solução determinista: não é trivial; número grande de estados

● solução não-determinista: bem simples, poucos estados

● Alternativa para construir um AFD– desenvolver inicialmente AFN


Exemplo● M6 = ({ a, b }, { q0, q1, q2, qf }, δ6, q0, { qf })


Exemplo

● Tabela de transição de estados do AFD


Exemplo● Grafo do AFD resultante do AFN


Exemplo● Dado o AFND M = ({q0, q1}, {0, 1}, δ, q0, {q1}) e

– δ(q0, 0) = {q0, q1} – δ(q0; 1) = {q1}– δ(q0; 1) = φ; – δ(q1; 1) = {q0, q1}

● Construir o AFD M0 equivalente.


Exemplo

● Tabela do AFND Tabela do AFD


M= (Σ, Q, δ, q0,F)∑ alfabeto de símbolos de entrada; Q conjunto de estados possíveis do autômato, o qual é finito;δ programa ou função de transição: δ: Q x (∑ U {ε}) → 2Q

q0 estado inicial, tal que q0 é elemento de Q F conjunto de estados finais, tal que F está contido em Q;

p

p1

a

estado anterior

Conjunto de novosestados

símbolo lido

p2 pn

aε

Autômato Finito com Movimentos Vazios AFε


Diagrama de um AFε


Exemplo


Exemplo

q0

q1

q2

q3

q5

q4

0,1, ..., 9

0,1, ..., 9 0,1, ..., 9

0,1, ..., 9

.

● Um AFε que aceita numeros decimais compostos por um sinal opcional (+ ou -) e digitos separados por um ponto decimal

ε,+,- .


Computação vazia


Exemplo


Computaçao nos AFε


Computaçao nos AFε● Função Programa Estendida (computação)

– M= (Σ, Q, δ, q0,F)


Exemplo


Equivalência entre AFN e AFε● construção de uma função programa sem movimentos

vazios● conjunto de estados destino de cada transição não-

vazia– ampliado com os demais estados possíveis de serem

atingidos exclusivamente por transições vazias


Equivalência entre AFN e AFε


Expressões Regulares X Linguagens Regulares

● Se r é uma expressão regular ela foi gerada por uma LR;

● Uma linguagem é regular, se e somente se, é possível construir um AF (AFD, AFND, AFε ) que reconheça a linguagem.

● Portanto, para determinar que uma expressão é regular deve-se construir um AF a partir dela.


Exemplo


Gramática Regular → Linguagem Regular


Construção de um AFε a partir de uma GR


Linguagem Regular → GramáticaRegular


Construção de uma GR a partir de um AFε

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