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FACULDADE DE ECONOMIA E FINANÇAS IBMEC PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM
ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA
DDIISSSSEERRTTAAÇÇÃÃOO DDEE MMEESSTTRRAADDOO PPRROOFFIISSSSIIOONNAALLIIZZAANNTTEE EEMM AADDMMIINNIISSTTRRAAÇÇÃÃOO
“INDEXAÇÃO DE CARTEIRAS DE AÇÕES UTILIZANDO EXCHANGE TRADED FUNDS”.
MMAARRIIAA AALLCCIINNAA RROODDRRIIGGUUEESS BBAATTIISSTTAA SSAANNFFIINNSS
ORIENTADOR: PROF. DR. ANTÔNIO MARCOS DUARTE JÚNIOR.
Rio de Janeiro, 28 de maio de 2013.
“INDEXAÇÃO DE CARTEIRAS DE AÇÕES UTILIZANDO EXCHANGE TRADED
FUNDS”.
MARIA ALCINA RODRIGUES BATISTA SANFINS
Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissionalizante em Administração como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Administração. Área de Concentração: Finanças
ORIENTADOR: PROF. DOUTOR ANTÔNIO MARCOS DUARTE JÚNIOR.
Rio de Janeiro, 28 de maio de 2013.
S224 Sanfins, Maria Alcina Rodrigues Batista.
Indexação de carteiras de ações utilizando Exchange Traded Funds. / Maria Alcina Rodrigues Batista Sanfins. – Rio de Janeiro: [s.n.], 2013. 106 f.; il.
Dissertação de Mestrado Profissionalizante em Administração do IBMEC. Orientador: Prof. Dr. Antônio Marcos Duarte Júnior. 1. Ações (Finanças) - Brasil. 2. Indexação de carteiras. 3.
Fundos de índice. 4. Fundos de pensão. 5. Índice de referência. I. Título. CDD 332.63220981
v
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à minha mãe, minha grande amiga, incentivadora e exemplo de vida. Ao meu marido, pelo seu amor, apoio incondicional e companheirismo. Aos meus filhos, Gabriel, Lucas e Clara, minha razão de viver e minha fonte de inspiração.
vi
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, em primeiro lugar, por me guiar e permitir a conclusão de mais um desafio.
Ao meu orientador, Antônio Marcos Duarte Júnior, pelo apoio, incentivo e valiosos
conhecimentos transmitidos durante a execução deste trabalho. Aos professores Carlos de
Lamare Bastian Pinto e Carlos Francisco Simões Gomes pela aceitação de participação na
banca examinadora.
Agradeço à Fundação de Assistência e Previdência Social do BNDES (FAPES), pela aposta
em meu desenvolvimento profissional, materializada no suporte financeiro integral da minha
participação neste curso de mestrado e a quem pretendo retribuir com trabalho de qualidade.
Não posso deixar de agradecer aos colegas de trabalho da FAPES e a equipe da
BLACKROCK, que me deram apoio para esse estudo.
À minha família, meu marido e queridos filhos, por todo amor, carinho, apoio incondicional e
por entenderem a minha ausência em tantos momentos, meu muito obrigada!
Por fim, agradeço a todos aqueles que direta ou indiretamente contribuíram para que esse
trabalho fosse possível.
vii
RESUMO
Os fundos de pensão, denominados no Brasil, Entidades Fechadas de Previdência
Complementar (EFPCs), utilizam o estilo de gestão passiva em larga escala. Isto ocorre
principalmente pelo fato desta proporcionar retornos próximos aos do índice de referência
usualmente definido em suas políticas de investimento. A partir da criação dos Fundos de
Índices, estes passaram a ser uma alternativa considerada, por muitos investidores, vantajosa
em relação aos tradicionais Fundos Indexados para realização deste tipo de estratégia. Na
última década, os ETFs tiveram um papel de grande importância no mercado americano,
porém a representatividade destes instrumentos no mercado acionário brasileiro ainda é
pequena, o que limita sua utilização na estratégia de gestão passiva por grandes investidores
institucionais, e em particular fundos de pensão. Este trabalho tem como objetivo propor uma
metodologia de indexação de carteiras de ações utilizando ETFs e ativos do índice escolhido
como índice de referência, considerando-se as limitações impostas pela legislação vigente
para investimentos em fundos de pensão no Brasil. Os índices Ibovespa e IBrX-100 foram
utilizados como índice de referência, por serem considerados importantes indicadores de
desempenho do mercado acionário brasileiro e, além disso, por serem amplamente utilizados
pelos fundos de pensão.
Palavras Chave: Indexação de carteiras, Fundos de Índice, Fundos de Pensão, Índice de
Referência.
viii
ABSTRACT
Pension funds, called in Brazil, Closed Pension Fund Entities, use passive management style
in large-scale. This happens mainly because that strategy provides returns similar to those of
the benchmark usually defined in their investment policies. With the advent of the Exchange
Traded Funds (ETFs), they started to be considered, by many investors, a better alternative
than the traditional Indexed Funds to perform this strategy. In the last decade, the role ETFs
played in the global market became very important, but the representativeness in the Brazilian
stock market is still small, therefore, their use in passive management strategy is limited by
large institutional investors, and in particular pension funds. This study aims to propose a
methodology for indexing portfolios using ETFs and assets of the index chosen as benchmark,
taking into consideration the limitations imposed by the current law for investing in Brazilian
pension funds. The Ibovespa and IBrX-100 were used as benchmark, for their importance as
performance indicators of the Brazilian stock market and, moreover, because they are widely
used by pension funds.
Key Words: Indexing Portfolios, Exchange Traded Funds, Pension Funds, Benchmark.
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Evolução do patrimônio global dos ETFs................................................................ 10
Figura 2 - Evolução do patrimônio dos ETFs no mercado americano ..................................... 10
Figura 3 - Fluxo acumulado em 2012 em mercados de renda variável (US$ Bn) ................... 11
Figura 4 - Participação % por segmento de investimento no mercado americano de ETFs (dez
2011) ................................................................................................................................. 11
Figura 5 - Evolução da participação % dos ETFs em relação ao volume total negociado na
bolsa de Nova York .......................................................................................................... 12
Figura 6 - Evolução do patrimônio dos ETFs no mercado brasileiro ....................................... 13
Figura 7 - Evolução do volume médio diário negociado de ETFs na BM&FBOVESPA (R$
MM) .................................................................................................................................. 14
Figura 8 - Participação % por tipo de investidor no volume médio diário negociado no
mercado brasileiro de ETFs (dez 2012) ............................................................................ 15
Figura 9 – Evolução do Erro de Acompanhamento Realizado – Ibovespa .............................. 42
Figura 10 – Evolução do Erro de Acompanhamento Absoluto Realizado – Ibovespa ............ 43
Figura 11 – Evolução do Erro de Acompanhamento Realizado – Ibovespa incluindo BOVA11
.......................................................................................................................................... 46
Figura 12 – Evolução do Erro de Acompanhamento Absoluto Realizado – Ibovespa incluindo
BOVA11 ........................................................................................................................... 47
x
Figura 13 – Participação % do BOVA11 nas Carteiras Otimizadas ........................................ 48
Figura 14 – Erro de Aderência do Fundo de Índice BOVA11 ................................................. 48
Figura 15 – Volatilidade Anualizada – Ibovespa e BOVA11 .................................................. 49
Figura 16 – Evolução do Erro de Acompanhamento Realizado – IBrX-100 ........................... 50
Figura 17 – Evolução do Erro de Acompanhamento Absoluto Realizado – IBrX-100 ........... 51
Figura 18 – Evolução do Erro de Acompanhamento Realizado – IBrX-100 incluindo
BRAX11 ........................................................................................................................... 54
Figura 19 – Evolução do Erro de Acompanhamento Absoluto Realizado – IBrX-100 incluindo
BRAX11 ........................................................................................................................... 55
Figura 20 – Participação % do BRAX11 nas Carteiras Otimizadas ......................................... 55
Figura 21 – Erro de Aderência do Fundo de Índice BRAX11 ................................................. 56
Figura 22 – Volatilidade Anualizada – IBrX-100 e BRAX11 ................................................. 57
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - ETFs negociados na bolsa brasileira ....................................................................... 14
Tabela 2 – Comparação entre ETFs e Fundos Indexados ........................................................ 18
Tabela 3 - Regras da Resolução 3792 para investimentos em ETFs pelos fundos de pensão .. 24
Tabela 4 – Exemplo da limitação de investimentos em ETFs pelos fundos de pensão ........... 25
Tabela 5 – Mercado de fundos referenciados ao Ibovespa e ao IBrX-100 ............................... 28
Tabela 6 – Universo de ativos elegíveis para as carteiras indexadas ....................................... 35
Tabela 7 – Carteira otimizada em relação ao Ibovespa com 26 ativos ..................................... 44
Tabela 8 – Carteira otimizada em relação ao Ibovespa com 2 ativos, incluindo o BOVA11 .. 47
Tabela 9 – Carteira otimizada em relação ao IBrX-100 com 26 ativos ................................... 52
Tabela 10 – Carteira otimizada em relação ao IBrX-100 com 26 ativos, incluindo o BRAX11
.......................................................................................................................................... 58
Tabela 11 – Erros de aderência dos ETFs listados na BM&FBOVESPA ................................ 74
xii
LISTA DE ABREVIATURAS
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas
AMEX American Stock Exchange
ANBIMA Associação Brasileira das Entidades dos Mercados Financeiro e de
Capitais
ANPAD Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Administração
BM&FBOVESPA Bolsa de valores, mercadorias e futuros do Estado de São Paulo
BNDES Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social
BNDESPAR BNDES Participações S/A
CAPM Capital Assets Pricing Model
CVM Comissão de Valores Mobiliários
EFPCs Entidades Fechadas de Previdência Complementar
ETFs Exchange Traded Funds
FAPES Fundação de Assistência e Previdência Social do BNDES
Ibovespa Índice de preços que mede o retorno de uma carteira teórica que
reproduz o comportamento das ações de maior liquidez no mercado
acionário à vista da BM&FBOVESPA
xiii
IBrX-100 Índice de preços que mede o retorno de uma carteira teórica composta
por 100 ações selecionadas entre as mais negociadas e de maior
capitalização na BM&FBOVESPA
MSCI Morgan Stanley Capital International
PREVI Caixa de Previdência dos Funcionários do Banco do Brasil
PREVIC Superintendência Nacional de Previdência Complementar
SEC Securities and Exchange Commission
SPDR S&P Depository Receipt
xiv
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1
1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO ........................................................................................................................... 1
1.2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA .................................................................................................................. 2
1.3 OBJETIVO DA PESQUISA ....................................................................................................................... 3
1.4 RELEVÂNCIA DO TEMA ......................................................................................................................... 3
1.5 METODOLOGIA ........................................................................................................................................ 4
1.6 LIMITAÇÕES DO ESTUDO ..................................................................................................................... 5
1.7 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO .......................................................................................................... 6
2 EXCHANGE TRADED FUNDS ............................................................................ 8
2.1 HISTÓRICO DOS EXCHANGE TRADED FUNDS NO MUNDO ......................................................... 9
2.2 HISTÓRICO DOS EXCHANGE TRADED FUNDS NO BRASIL ........................................................ 12
3 EXCHANGE TRADED FUNDS versus FUNDOS INDEXADOS ....................... 16
3.1 DIFERENÇAS ESTRUTURAIS .............................................................................................................. 16
3.2 REFERENCIAL TEÓRICO ..................................................................................................................... 18
3.3 VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DE ETFs NA GESTÃO PASSIVA . ............................................... 22
3.4 LIMITAÇÃO DA UTILIZAÇÃO DE ETFs NA GESTÃO PASSIVA . ................................................ 24
4 ESTRATÉGIA DE INDEXAÇÃO ........................... ............................................. 27
4.1 MODELO DE OTIMIZAÇÃO ................................................................................................................. 30
4.2 MODELAGEM MATEMÁTICA............................... .............................................................................. 31
5 SIMULAÇÃO HISTÓRICA ............................... .................................................. 34
xv
5.1 DADOS ....................................................................................................................................................... 34 5.1.1 Ibovespa ............................................................................................................................................. 37 5.1.2 IBrX-100 ............................................................................................................................................ 37
5.2 PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO.............................................................................................................. 38
6 ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................ ............................................. 40
6.1 PRIMEIRA SIMULAÇÃO ....................................................................................................................... 42
6.2 SEGUNDA SIMULAÇÃO ........................................................................................................................ 45
6.3 TERCEIRA SIMULAÇÃO ....................................................................................................................... 50
6.4 QUARTA SIMULAÇÃO .......................................................................................................................... 53
7 CONCLUSÃO ......................................... ........................................................... 59
8 SUGESTÃO DE PESQUISA .............................. ................................................ 61
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................ ................................................. 62
APÊNDICE A – Exemplo de Script de Otimização de Carteira Indexada no R-project ........................................... ........................................................................... 66
APÊNDICE B - Erros de aderência dos ETFs listados n o Brasil ......................... 73
ANEXO A – Características dos ETFs listados no Bras il ..................................... 76
1
1 INTRODUÇÃO
1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO
No Brasil, os Exchange Traded Funds (ETFs), também denominados Fundos de Índice, são
fundos que buscam seguir o desempenho de determinado índice de referência, com
possibilidade de criação e resgate de cotas, mas com características de ativos negociáveis em
bolsa. Suas cotas podem ser negociadas em bolsa de valores ou mercado de balcão
organizado, em tempo real, através de operações de compra, venda, empréstimo (aluguel) e
opções (BRASIL [2002]).
A estratégia de gestão de ativos pode ser classificada em duas categorias: passiva e ativa. Os
ETFs listados na bolsa brasileira têm estratégia de gestão passiva, ou seja, os investimentos
têm como objetivo atingir rentabilidade muito próxima a do índice de referência. Em
particular, estes utilizam a indexação, uma metodologia de gestão passiva na qual se busca a
replicação do índice de referência. Já o mercado internacional é mais abrangente possuindo
ETFs com estratégia de gestão passiva e também os de gestão ativa cujo objetivo é buscar
uma rentabilidade superior ao de um determinado índice de referência.
As maiores instituições de investimento ao redor do mundo têm reconhecido que a alternativa
de separação de gestão ativa e passiva traz benefícios como maximizar rentabilidade,
2
minimizar custos e gerenciar de forma mais eficiente os riscos de suas carteiras (Anson
[2005]).
A gestão passiva no Brasil teve início em 1995. O trabalho de DUARTE [1997] descreve a
metodologia de indexação implementada na gestão do primeiro fundo administrado
passivamente voltado para clientes institucionais.
As principais vantagens da estratégia de gestão passiva são os baixos custos de negociação, as
reduzidas taxas de administração e a obtenção de retornos próximos a média de mercado
(RUDD [1986]).
Neste contexto muitos investidores têm utilizados ETFs na estratégia de gestão passiva, por
serem instrumentos de simples negociação, com baixo custo e amplamente acessíveis.
1.2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
Os ETFs são exemplo de uma história de rápido sucesso internacional desde que o primeiro
fundo autorizado surgiu no Canadá em 1990. Em 1993 teve início a negociação do primeiro
ETF listado nos Estados Unidos, o Standard & Poor’s Depositary Receipts (SPDRs) e poucos
anos depois este instrumento já estava presente de forma bastante significativa nos maiores
mercados de bolsa do mundo.
No Brasil, a existência deste tipo de instrumento financeiro é recente, o primeiro ETF
brasileiro, o PIBB (Papéis Índice Brasil Bovespa), foi lançado em 2004 pelo BNDES.
Atualmente existem 15 ETFs negociados na BM&FBOVESPA, todos referenciados a índices
de ações. Este mercado ainda é pequeno no Brasil, principalmente quando comparado ao
3
mercado global, mas a expectativa é que este instrumento ganhe força no mercado brasileiro
assim como ocorreu em diversos países ao redor do mundo.
Para grandes investidores institucionais, principalmente fundos de pensão, o atual patamar do
patrimônio líquido dos ETFs listados no Brasil é um fator limitante para utilização destes na
estratégia de gestão passiva do segmento de renda variável. Isto ocorre devido ao tamanho da
parcela gerida passivamente por tais investidores e a legislação vigente, que limita o montante
a ser investido a um percentual do patrimônio dos ETFs.
Uma solução para este problema seria a gestão passiva híbrida, que utiliza ETFs e ativos de
renda variável que compõem determinado índice de referência. Isto permitiria ao investidor
usufruir, ainda que de modo limitado, das vantagens que o investimento em Fundos de Índices
proporciona.
1.3 OBJETIVO DA PESQUISA
O objetivo deste trabalho é propor uma metodologia de indexação de carteiras de ações,
utilizando como ativos elegíveis os ETFs listados na BM&FBOVESPA e ativos pertencentes
aos índices de referência. Será utilizado um modelo de otimização que levará em conta as
restrições impostas pela legislação vigente para investimentos em fundos de pensão no Brasil.
1.4 RELEVÂNCIA DO TEMA
Durante a última década, a demanda por ETFs tem crescido acentuadamente no mercado
global onde o volume investido em 2000 era de US$ 74 bilhões em 92 ETFs listados,
passando em setembro de 2012 a US$ 1,6 trilhão de investimento em 3.297 ETFs listados.
Grande parte deste mercado está concentrada nos EUA que possui 75% do mercado global de
4
ETFs (BLACKROCK [2012]), mas os ETFs são uma realidade nos principais mercados do
mundo, como Hong Kong e Alemanha, e mercados emergentes, como México e Brasil.
Atualmente o Brasil possui 15 ETFs listados com índices de referência do segmento de renda
variável com um patrimônio líquido de R$ 3,8 bilhões (BLACKROCK [2013b]). A maior
parte destes investimentos se concentra na classe de investidores institucionais, que em
dezembro de 2012 representaram 45% do volume negociado de ETFs no Brasil
(BM&FBOVESPA [2013]).
Apesar do mercado recente e dos reduzidos valores investidos em ETFs no Brasil, quando
comparados ao mercado global, a expectativa de crescimento deste mercado é alta. O fato é
que cada vez mais investidores institucionais se voltam para este tipo de investimento como
opção para realização da estratégia de gestão passiva e com o aumento da demanda, os
patrocinadores têm oferecido mais ETFs.
Daí a relevância da abordagem deste tema, que na perspectiva do mercado brasileiro foi
pouco explorado até este momento, possuindo desta forma literatura reduzida.
1.5 METODOLOGIA
A metodologia de indexação que será utilizada neste trabalho é baseada no artigo de
DUARTE [1997] que utiliza um modelo de otimização cuja função objetivo é minimizar o
erro de aderência. Esta metodologia está relacionada à construção de carteiras eficientes de
MARKOWITZ [1959] e envolve um processo de escolha entre risco e retorno de carteiras
teóricas, porém levando em conta os desvios dos retornos em relação a um índice de
referência, o que caracteriza a gestão passiva. Além disso, foram incorporadas ao modelo
5
restrições em relação ao número de ativos, ao limite máximo de giro da carteira (turnover) e a
alocação máxima por ativo, de acordo com os limites impostos pela legislação vigente que
trata de investimentos em fundos de pensão no Brasil.
Os índices Ibovespa e IBrX-100 foram utilizados como índice de referência, por serem
considerados importantes indicadores de desempenho do mercado acionário brasileiro, e além
disso, por serem amplamente utilizados por fundos de pensão.
1.6 LIMITAÇÕES DO ESTUDO
Este trabalho se restringe ao mercado de renda variável brasileiro, em particular à gestão
passiva de carteiras limitada ao universo dos fundos de pensão, que possuem uma legislação
específica que regulamenta seus investimentos.
Além disso, foram utilizados como índices de referência o Ibovespa e o IBrX-100, índices
usualmente encontrados nas políticas de investimento dos fundos de pensão como índice de
referência para o segmento de ações. Estes índices possuem elevada concentração de
participação em um número reduzido de ativos e alta volatilidade, fatores que podem gerar
níveis de erro de aderência indesejados.
Outra limitação do estudo é o fato de que o mercado de ETFs é recente e ainda pouco
desenvolvido no Brasil, não permitindo assim obter um histórico longo de retornos para
grande parte destes ativos. Além disso, o reduzido patrimônio destes instrumentos gera
restrições significativas de alocação na carteira otimizada. Ao final de 2012 o maior ETF
listado no Brasil era o BOVA11, com R$ 1,8 bilhão em ativos investidos.
6
Uma última consideração é em relação ao modelo de otimização utilizado, que leva em conta
uma medida de risco de mercado do descolamento do retorno da carteira em relação a um
índice, desconsiderando os demais fatores de risco que possam vir a impactar este
descolamento, como, por exemplo, o risco de liquidez.
1.7 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO
O capítulo 2 descreve as principais características dos Exchange Traded Funds, discorre sobre
a criação destes instrumentos, a evolução do mercado no Brasil e no mundo, além de sua
importância nos dias atuais.
No capítulo 3 são relatadas as principais diferenças estruturais entre os ETFs e os fundos
indexados e os principais resultados acadêmicos obtidos ao longo de quase três décadas de
estudos, relacionados ao desempenho e aos níveis de erro de aderência destes instrumentos.
São listadas também as principais vantagens e limitações do uso dos ETFs na gestão passiva
dos fundos de pensão no Brasil.
O capítulo 4 apresenta um breve histórico sobre o início da utilização da estratégia de
indexação no Brasil e no mundo, além das vantagens e as limitações deste tipo de estratégia.
Em seguida são apresentadas medidas de erro de aderência e a formulação matemática do
modelo de otimização aplicado neste estudo.
No capítulo 5 são descritos a base de dados, o software e o algoritmo utilizado para otimizar
as carteiras indexadas e o capítulo 6 apresenta os resultados das diversas simulações históricas
realizadas, com o objetivo de avaliar a aplicação da metodologia de indexação ao mercado
acionário brasileiro.
7
Finalmente, o capítulo 7 expõe as conclusões do estudo através da reflexão sobre os
resultados obtidos e o capítulo 8 apresenta sugestões de pesquisas e trabalhos futuros.
8
2 EXCHANGE TRADED FUNDS
Existem marcos de grande importância no campo dos investimentos, como a criação do
CAPM (Capital Assets Pricing Model) e dos contratos futuros. Recentemente houve uma
nova revolução, a criação dos Exchange Traded Funds (ETFs).
ETFs são fundos de investimento, e como tal estão sujeitos as regulamentações específicas
deste tipo de investimento, mas com a característica particular de terem suas cotas negociadas
em bolsa de valores ou mercados organizados de balcão, em tempo real.
No Brasil são construídos como um fundo indexado, com carteira diversificada, com o
objetivo de seguir o desempenho de um índice de referência, e estão sujeitos as
regulamentações da Comissão de Valores Mobiliários (CVM), entre outras. Mas no mercado
global existem ETFs com estratégias de investimento das mais variadas, como obtenção de
retornos inversos a variação de um índice (short ETFs), alavancagem do investimento (ETFs
alavancados) e até mesmo aquisição de posições em opções.
As cotas de ETFs podem ser negociadas tanto no mercado primário quanto no mercado
secundário. O mercado secundário refere-se a operações de compra e venda de cotas
realizadas na bolsa de valores. O mercado primário de ETFs é onde ocorre a integralização de
9
novas cotas ou o resgate de cotas pré-existentes, diretamente com o administrador do Fundo
de Índice, por meio de agentes autorizados.
No mercado secundário, os ETFs permitem a mesma flexibilidade de negociação das ações
das empresas de capital aberto listadas em bolsa de valores. As cotas de ETFs são negociadas
na BM&FBOVESPA através dos mercados a vista, a termo e de opções.
2.1 HISTÓRICO DOS EXCHANGE TRADED FUNDS NO MUNDO
Os ETFs são exemplo de uma história de rápido sucesso internacional desde que o primeiro
fundo autorizado surgiu no Canadá, em 1990. Dois anos depois, a American Stock Exchange
(AMEX) solicitou à Securities and Exchange Commission (SEC) autorização para utilizar
Exchange Traded Funds. Essa petição foi aprovada pela SEC e abriu o caminho para a
listagem do primeiro ETF no mercado americano em 1993, o S&P Depository Receipts Trust
Series 1 (SPDR), com o ticker SPY, que buscava replicar os retornos do índice S&P 500. Este
teve rápida aceitação no mercado e se tornou o primeiro ETF bem sucedido comercialmente.
No final da década de 90 surgiram ETFs com base em índices amplamente utilizados como
índice de referência, entre os mais conhecidos estão o QQQQ e o DIA que buscam replicar os
retornos dos índices NASDAQ-100 e Dow Jones Industrial Average respectivamente.
A partir de então, a utilização deste instrumento cresceu exponencialmente no mercado
global. Por volta do ano 2000, a idéia se internacionalizou definitivamente e surgiram ETFs
em Hong Kong e na Alemanha e ao final deste mesmo ano surgiu o primeiro ETF de ativos de
renda fixa. Nesta época o valor sob gestão dos ETFs era de US$ 74 bilhões investidos em 92
ETFs (figura 1). Hoje, são uma realidade também em outros mercados importantes do mundo,
10
como Japão, Espanha, Cingapura e mercados emergentes, como México e Brasil, atingindo o
recorde de investimentos em setembro de 2012 com um patrimônio global de US$ 1,6 trilhão
em 3.297 ETFs listados (BLACKROCK [2012]).
Figura 1 - Evolução do patrimônio global dos ETFs
A maior parte deste crescimento se deu no mercado americano (figura 2), onde em 2000 o
volume investido era de US$ 66 bilhões em 81 EFTs listados, chegando a setembro de 2012,
com um total investido de aproximadamente US$ 1,2 trilhão em 1.188 ETFs (BLACKROCK
[2012]).
Figura 2 - Evolução do patrimônio dos ETFs no mercado americano
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0
250
500
750
1000
1250
1500
1750
ETF (US$ Bn) # ETFs
0
200
400
600
800
1000
1200
0
200
400
600
800
1000
1200
ETF (US$ Bn) # ETFs
Fonte: BLACKROCK [2012] Elaboração: Própria
Fonte: BLACKROCK [2012] Elaboração: Própria
11
Como pode ser observado na figura 3, além do crescimento da indústria de fundos como um
todo, outro motivo de expansão deste mercado é a migração dos investimentos em fundos de
ações para ETFs, movimento este que tem se tornado cada vez mais significativo.
Figura 3 - Fluxo acumulado em 2012 em mercados de renda variável (US$ Bn)
A figura 4 mostra que, ao final de 2011, 72% do volume investido em ETFs no mercado
americano se concentrava no segmento de renda variável (INVESTMENT COMPANY
INSTITUTE [2012]). Além disso, a participação deste instrumento é crescente no volume
diário negociado, no segmento de renda variável, na bolsa de Nova York (figura 5).
Figura 4 - Participação % por segmento de investimento no mercado americano de ETFs (dez 2011)
Países Desenvolvidos Países Emergentes
-230
-180
-130
-80
-30
20
70
120
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez
ETFs Fundos de Ações
0
10
20
30
40
50
60
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez
ETFs Fundos de Ações
Ações 72%
Commodities10%
Renda Fixa
18%
Outros < 0,01%
Fonte: INVESTMENT COMPANY INSTITUTE [2012] Elaboração: Própria
Fonte: BLACKROCK [2013a] Elaboração: Própria
12
Figura 5 - Evolução da participação % dos ETFs em relação ao volume total negociado na bolsa de Nova York
2.2 HISTÓRICO DOS EXCHANGE TRADED FUNDS NO BRASIL
No Brasil, a existência deste tipo de instrumento financeiro é recente, o primeiro ETF
brasileiro foi lançado em 2004 pelo BNDES em conjunto com a gestora de recursos do Banco
Itaú, o ETF PIBB (Papéis Índice Brasil Bovespa). Era formado pelas ações da carteira própria
da BNDESPAR e replicava o índice IBrX-50.
No lançamento, mais de 25 mil investidores de varejo compraram cotas do PIBB, que
ofereceu a mais baixa taxa de administração praticada, no mundo, pelo segmento: 0,059% ao
ano sobre o patrimônio líquido do fundo. Pioneiro no País, o PIBB foi inspirado nos
Exchange Traded Funds, negociados desde os anos 90 nos Estados Unidos. Para o BNDES, o
lançamento do PIBB foi, na época, a operação de maior sucesso junto aos pequenos
investidores desde as vendas das ações da Petrobras e da Companhia Vale do Rio Doce, que,
diferentemente do PIBB, permitiram a compra com recursos do FGTS.
91% 88% 86%77% 76% 75% 75% 75% 78%
9% 12% 14%23% 24% 25% 25% 25% 22%
2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 abr-2012
Ações EUA (%) ETFs (%)
Fonte: BLACKROCK [2013b] Elaboração: Própria
13
Durante quatro anos o PIBB foi o único ETF listado na Bovespa (figura 6). Em novembro de
2008 a BLACKROCK, maior gestora de ETFs no mundo com 46% de participação do
mercado global, conseguiu aprovação junto à CVM para listar 3 ETFs na bolsa brasileira:
BOVA, SMAL e MILA, indexados aos índices Bovespa, Small Cap e Mid-Large Cap
respectivamente.
Figura 6 - Evolução do patrimônio dos ETFs no mercado brasileiro
Ao final de 2012 a BM&FBOVESPA possuía 15 ETFs listados, todos referenciados a índices
de ações (amplos, setoriais e outros) com um patrimônio total de R$ 3,8 bilhões, conforme a
tabela 1.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
ETFs (R$ MM) # ETFs
Fonte: BLACKROCK [2013b] Elaboração: Própria
14
Tabela 1 - ETFs negociados na bolsa brasileira
Investidores nacionais e estrangeiros têm se utilizado desses instrumentos como forma de
seguir o desempenho de determinado índice do mercado acionário brasileiro. Como pode ser
observado na figura 7, a média diária negociada desses fundos cresceu 70,7% entre 2010 e
2011, atingindo um crescimento de 107,1% na comparação do quarto trimestre de 2011 com o
mesmo período do ano anterior.
Figura 7 - Evolução do volume médio diário negociado de ETFs na BM&FBOVESPA (R$ MM)
BOVA11 BLACKROCK BRASIL Gestora de Investimentos Ltda Índice Bovespa- Ibovespa 19/11/2008 1.785 0,54%
PIBB11 Itaú Unibanco S.A. Índice IBrX-50 26/07/2004 1.300 0,06%
ECOO11 BLACKROCK BRASIL Gestora de Investimentos Ltda Índice Carbono Eficiente (ICO2) 08/06/2012 328 0,38%
SMAL11 BLACKROCK BRASIL Gestora de Investimentos Ltda Índice Small Cap 19/11/2008 151 0,69%
GOVE11 Itaú Unibanco S.A. Índice de Governança Corporativa - IGCT 31/10/2011 78 0,50%
DIVO11 Itaú Unibanco S.A. Índice Dividendos - IDIV 31/01/2012 64 0,50%
BRAX11 BLACKROCK BRASIL Gestora de Investimentos Ltda Índice Brasil - IBrX-100 23/12/2009 52 0,54%
FIND11 Itaú Unibanco S.A. Índice Financeiro - IFNC 07/04/2011 28 0,60%
MATB11 Itaú Unibanco S.A. Índice de Materiais Básicos - IMAT 31/01/2012 16 0,50%
ISUS11 Itaú Unibanco S.A. Índice de Sustentabilidade Empresarial - ISE 31/10/2011 12 0,40%
CSMO11 BLACKROCK BRASIL Gestora de Investimentos Ltda Índice de Consumo - CSMO 23/12/2009 9 0,69%
MOBI11 BLACKROCK BRASIL Gestora de Investimentos Ltda Índice Imobiliário - MOBI 23/12/2009 6 0,69%
MILA11 BLACKROCK BRASIL Gestora de Investimentos Ltda Índice MidLarge Cap 19/11/2008 5 0,54%
UTIP11 BLACKROCK BRASIL Gestora de Investimentos Ltda Índice de Utilidade Pública (UTIL) 15/05/2012 3 0,69%
XBOV11 Caixa Econômica Federal Índice Bovespa- Ibovespa 12/11/2012 - 0,50%
Total 3.836
Nota: Dados referentes ao final de 2012.
Taxa de
Administração
Data da
listagem
Código
dos ETFs
Ativos sob
gestão R$(MM)Índice de ReferênciaGestor
18,6
28,5
48,7
2009 2010 2011
32,1
39,5
34,8
53,8
66,4
4T10 1T11 2T11 3T11 4T11
70,7% 107,1%
Fonte: BM&FBOVESPA [2012a] Elaboração: Própria
Fontes: BM&FBOVESPA [2013] e BLOOMBERG [2012] Elaboração: Própria
15
Ainda assim o mercado de ETFs no Brasil pode ser considerado pequeno, o volume médio
diário negociado de ETFs correspondeu a 1% do volume negociado no segmento Bovespa da
bolsa brasileira em 2011 (BM&FBOVESPA [2012a]).
Atualmente os investidores institucionais, e em particular fundos de pensão, correspondem
pela maior parcela do volume de ETFs negociados na bolsa brasileira (45%), conforme figura
8.
Figura 8 - Participação % por tipo de investidor no volume médio diário negociado no mercado brasileiro de ETFs (dez 2012)
Investidores
Institucionais 45,0%
Instituições
Financeiras 28,3%
Investidores
estrangeiros17,7%
Pessoas
Físicas 7,3%
Empresas
públicas e privadas
1,8%
Fonte: BM&FBOVESPA [2013] Elaboração: Própria
16
3 EXCHANGE TRADED FUNDS versus FUNDOS INDEXADOS
3.1 DIFERENÇAS ESTRUTURAIS
A maior diferença entre os ETFs e os fundos mútuos indexados está na forma de negociação
de suas cotas. Os fundos mútuos são negociados através de uma administradora com preço
diário calculado de acordo com o valor de fechamento dos ativos da carteira no dia anterior,
ponderados por suas respectivas participações. A aplicação e o resgate de cotas ocorrem
através de solicitação ao administrador e são liquidadas conforme regulamento.
Os ETFs podem ser negociados de duas formas: no mercado primário através da criação e
resgate de cotas, realizada por agentes autorizados, a partir de uma cesta de ativos do índice
de referência e no mercado secundário através da negociação intradiária de compra e venda de
cotas em bolsa por meio de corretoras.
No Brasil, os gestores dos ETFs divulgam diariamente o valor patrimonial do fundo, que é o
valor de mercado dos ativos do fundo ponderados por suas participações. Hoje em dia, para os
ETFs de maior representatividade no mercado brasileiro, esse valor não difere muito do valor
de mercado da cota do fundo negociada na bolsa, pois os gestores contratam os chamados
formadores de mercado, corretoras presentes diária e continuamente no mercado com ofertas
de compra e venda obedecendo a um spread máximo, o que oferece liquidez e transparência
ao investidor.
17
Outra diferença importante é que, no momento da aplicação ou resgate de cotas, os fundos
indexados têm os custos de corretagem e custódia contabilizados internamente e divididos
entre todos os cotistas, interferindo assim na rentabilidade do fundo. Já nos ETFs estes são
pagos diretamente pelo próprio investidor.
As taxas de administração de ETFs são, em geral, inferiores a dos fundos indexados,
principalmente quando comparadas a dos fundos passivos de ações. Um dos principais fatores
para este diferença é o fato de ser possível criar ou resgatar cotas através da permuta de ativos
que compõe o índice de referência.
Os ETFs possuem uma estrutura combinada entre fundo mútuo de investimento e ação listada
em bolsa sendo assim possível realizar, além da compra e da venda, o empréstimo (aluguel)
de suas cotas, permitindo que o investidor obtenha retornos excedentes sem incorrer em risco
ativo.
Em relação à tributação, tanto os ETFs quanto os fundos passivos de ações, sofrem uma
cobrança de 15% sobre os rendimentos, debitada no momento do resgate do investimento.
As principais diferenças e semelhanças existentes entre os ETFs e os fundos indexados
encontram-se resumidas na tabela 2.
18
Tabela 2 – Comparação entre ETFs e Fundos Indexados
3.2 REFERENCIAL TEÓRICO
Independente de uma análise mais profunda parece razoável esperar que fundos indexados,
inclusive os ETFs, possuam desempenho inferior ao índice de referência e determinado nível
de erro de aderência simplesmente pelos custos de transação.
POPE E YADAV [1994] afirmam que o erro de aderência é uma ferramenta extremamente
importante na estruturação e gestão dos fundos indexados, pois não há garantia de que o
desempenho de um fundo será idêntico ao do seu índice de referência. Isto ocorre porque o
índice é uma carteira teórica onde as transações podem ocorrer instantaneamente, em
quantidades ilimitadas e sem custo (PEROLD [1988]).
CHIANG [1998] identifica que os principais fatores geradores de erros de aderência são:
custos de transação, fluxos de caixa do fundo, diferença temporal de recebimento de
dividendos, volatilidade do índice de referência e mudanças de composição do índice.
ETFs Fundos Indexados
Ambiente de negoci ação de cotas
Mercado primário - criação e res gate de cotas
a parti r de uma ces ta de ativos do índice de
referência , através de agentes autorizados .
Mercado Secundário - compra e venda de cotas
em bolsa por meio de corretoras .
Apl icação e res gate através de sol ici tação ao
admini strador e l iquidadas conforme
regulamento.
Período de negociação de cotas
Intradiário - va lor de mercado negociado em
bolsa .
Diário - va lor de fechamento dos ativos da
cartei ra ponderados por suas participações,
no período que cons ta do regulamento do
fundo.
Cus to de negociação de apl icação
e res gate de cotas
Pago di retamente pelo inves tidor. Abs orvido pelo fundo e dividido entre os
cotistas , interferi ndo na rentabi l idade.
Aluguel de cotasÉ permitido, gerando retorno adiciona l . Não é permitido.
Taxa de adminis traçãoÉ cobrada, mas em gera l , em níveis inferiores
a dos fundos indexados de ações .
É cobrada, mas em gera l , em níveis
superiores a dos ETFs .
Tributação
Impos to de 15% s obre os rendimentos
debitado no momento do resgate do
investimento.
Imposto de 15% s obre os rendimentos
debitado no momento do resgate do
inves timento, para os fundos de ações .
Fonte: CVM [2002] Elaboração: Própria
19
KEIM [1999] ressaltou que a liquidez dos ativos do índice de referência também tem
implicações significantes no erro de aderência de fundos indexados.
GRUBER [1996] analisou uma amostra de fundos indexados ao S&P 500 no período de 1990
a 1994, e encontrou um excesso médio de retorno ajustado ao risco de -0,20% ao ano,
considerando-se os custos. FRINO E GALLAGHER [2001] deram continuidade a este estudo
analisando 42 fundos indexados ao S&P 500 no período de 1994 a 1999, e encontraram um
excesso médio de retorno ajustado ao risco de -0,29% ao ano, considerando-se custos. Ao
analisar os fundos individualmente, sem considerar os custos, os níveis de erro de aderência
variaram entre 0,039% e 0,110% ao mês. O estudo sugere que os principais fatores geradores
do erro de aderência foram: diferença temporal de recebimento de dividendos e
rebalanceamento do índice.
FRINO E GALLAGHER [2002] refizeram o estudo para uma amostra de fundos indexados
ao principal índice do mercado australiano no período de 1994 a 1999, e encontraram níveis
de erro de aderência variando entre 0,074% e 0,223% ao mês, bem superiores aos níveis
encontrados para o mercado americano. Neste caso os fatores que mais contribuíram para o
erro de aderência foram: fluxo de caixa, custos de negociação e volatilidade do índice de
referência.
ELTON et al. [2002] analisaram, no período de 1993 a 1998, as características e o
desempenho dos SPDRs, os primeiros ETFs criados no mercado americano, e concluíram que
o patrimônio líquido diário permanecia muito próximo ao preço de fechamento de mercado.
Mas em relação ao retorno verificaram um desempenho inferior ao do índice S&P de 0,28%
ao ano, principalmente devido à perda de renda causada pelo não reinvestimento imediato de
dividendos. Além disso, constataram que os SPDRs tiveram um desempenho inferior ao dos
fundos indexados (-0,18% a.a.) e concluíram que este diferencial representa o preço que os
20
investidores estariam dispostos a pagar pela flexibilidade de negociação que os ETFs
oferecem.
Contrariando estes resultados, SVETINA [2010] analisou um conjunto de ETFs que
competiam diretamente com fundos indexados e concluiu que estes proporcionavam um
desempenho um pouco superior ao dos fundos indexados e equivalente ao desempenho do
índice de referência. Isto justificaria a migração de fluxo líquido dos fundos mútuos
indexados para os ETFs.
SVETINA e WAHAL [2008] e ENGLE e SARKAR [2002] concluíram que os erros de
aderência dos ETFs com índices de referência de ativos do mercado americano são inferiores
e de menor persistência que os apresentados por ETFs com índices de referências
internacionais negociados no mercado americano. Os fatores que mais contribuíram para esta
diferença foram: maior custo relacionado à criação e resgate de cotas em mercados
internacionais, impostos retidos na fonte para pagamento de dividendos, que se diferenciam
segundo regras fiscais de cada país, e diferenças de fuso horário.
SHIN E SOYDEMIR [2010] estimaram o erro de aderência de 26 ETFs listados nos EUA,
sendo 6 indexados ao mercado de ações americano e 20 indexados ao mercado acionário de
diversos países, através de índices criados pela Morgan Stanley Capital International,
conhecidos como índices MSCI. Concluíram que os erros de aderência eram
significativamente diferentes de zero principalmente nos ETFs indexados ao mercado
asiático. Além disso, testaram o desempenho relativo dos ETFs, utilizando o modelo de
JENSEN [1968], e concluíram que os retornos ajustados ao risco são significativamente
inferiores aos retornos dos índices de referência, indicando que a estratégia de investimento
passivo é ineficiente.
21
Mais recentemente CHU [2011] avaliou o erro de aderência de 18 ETFs listados na Hong
Kong Stock Exchange e BLITZ E HUIJ [2012] analisaram 7 ETFs de países emergentes
negociados nos mercados americano e europeu. Ambos os trabalhos evidenciaram erros de
aderência significativamente maiores que os encontrados em estudos anteriores para os
mercados de economias desenvolvidas e sugerem que isto ocorreu principalmente pela maior
volatilidade e menor liquidez dos mercados emergentes.
BLITZ [2012] alerta para o fato de que o diferencial existente entre os preços de compra e
venda (bid-ask spread), preços obsoletos e as diferenças de fuso horário pode dar origem a
desvios temporários de retorno que podem superestimar o erro de aderência dos ETFs no
curto prazo. Portanto este tipo de investimentos seria mais vantajoso para investidores de
longo prazo.
No Brasil, ARAGÃO [2011] analisou a eficiência da precificação dos ETFs brasileiros de
fevereiro de 2010 a maio de 2011, e concluiu que o BOVA11 e o PIBB11 são os mais bem
precificados. Além disso, verificou que o erro de aderência dos ETFs brasileiros variou entre
0,5% e 1,13% ao dia.
MATTOS [2011] concluiu que taxas e custos dos fundos de gestão passiva acabam
deteriorando a rentabilidade para patamares abaixo do índice de referência. Analisando os
dois maiores ETFs do mercado brasileiro (BOVA11 e PIBB11) verificou que estes
apresentam desempenho alinhado com seus índices de referência, sem levar em conta o
benefício do empréstimo. Quando é adicionado o retorno referente ao empréstimo destes
ativos, o retorno fica consistentemente superior ao do índice de referência permitindo assim
que o investidor obtenha retornos excedentes sem incorrer em risco ativo. Adicionalmente
verificou que os ETFs possuem erros de aderência bem próximos a zero quando utilizadas as
cotas dos fundos, porém utilizando as cotas negociadas este aumenta significativamente,
22
principalmente para o PIBB11 que não possuía, até aquele momento, um formador de
mercado provendo oferta e demanda do ativo.
BORGES et al. [2012] chegaram a conclusão de que os ETFs brasileiros apresentaram
rentabilidade superior à dos fundos indexados devido as taxas de administração mais baixas e
aos custos de transação das cotas, que no caso dos ETFs ficam por conta do investidor e não
afetam a rentabilidade do instrumento. Em relação ao erro de aderência, os ETFs aparecem
como tendo nível inferior ao dos fundos indexados quando utilizados os preços diários
médios. Neste caso, estes preços seriam os que melhor representam as transações efetuadas
diariamente, pois os investidores da bolsa de valores realizam transações ao longo de todo o
dia, e não apenas no final dele.
3.3 VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DE ETFs NA GESTÃO PASSIVA
Os ETFs podem trazer mais rapidez e eficiência em uma gestão passiva, pois com apenas uma
negociação, permitem o investimento ou desinvestimento em todas as ações que integram a
carteira do índice de referência, sem a necessidade de negociação de ações de diversas
empresas como ocorre nos fundos indexados. Além disso, possuem as seguintes vantagens
em relação aos tradicionais fundos de gestão passiva de ações:
• Flexibilidade de negociação - como valores mobiliários listados em bolsa, os ETFs
podem ser comprados, vendidos, alugados e utilizados como garantia para realizar
operações em bolsa, da mesma forma que são negociadas as ações. Existem também
opções (call e put) para alguns ETFs;
• Transparência e informações em tempo real – quando o investidor faz um aporte ou
resgate em um fundo mútuo indexado, o valor da cota calculado é referente ao dia
23
seguinte da solicitação, chamado D+1. Nos ETFs o investidor tem informação em
tempo real, sendo assim capaz de avaliar o melhor momento de compra e venda para
obtenção de lucros. Os investidores podem obter informações on-line sobre o valor
das cotas, patrimônio do fundo, quantidade e volume financeiro negociados, e pode
comparar com o valor dos índices de referência. Além disso, o site da
BM&FBOVESPA divulga a composição dos fundos diariamente;
• Menor custo – o grande diferencial de custo de um fundo indexado e um ETF é a taxa
de administração. Os ETFs, em geral, cobram uma taxa bem inferior à cobrada pelos
fundos tradicionais de gestão passiva. Além disso, investidores que não necessitam se
desfazer de investimentos em ETFs no curto ou médio prazo, alugam uma parcela de
suas cotas e recebem uma receita adicional. Investidores institucionais brasileiros,
principalmente os fundos de pensão, têm seus custos de transação com ETFs em
grande parte compensados em virtude da atrativa taxa de empréstimo que é praticada,
nos dias atuais, para estes ativos.
• Liquidez associada ao índice de referência - como a legislação permite a criação e o
resgate de cotas dos ETFs por meio da transferência de valores mobiliários que
compõem o índice de referência, na proporção do mesmo, além da negociação no
mercado secundário, a liquidez associada a estes é, na prática, o máximo entre a
liquidez do próprio ETF e do conjunto de ações que compõem seu índice de
referência.
• Menor giro da carteira – a condução de uma estratégia de gestão passiva implica na
realização de operações periódicas devido a ajustes ocorridos no índice de referência,
seja por pagamento de dividendos, juros sobre capital próprio, rebalanceamento
periódico e outros. Os ETFs realizam estas operações internamente, sem que o
24
investidor tenha que realizar operações de compra ou venda, o que é um benefício para
aqueles que possuem restrição ao giro da carteira.
3.4 LIMITAÇÃO DA UTILIZAÇÃO DE ETFs NA GESTÃO PASSIVA
Para grandes investidores institucionais, principalmente fundos de pensão, o tamanho do
mercado brasileiro de Exchange Traded Funds é um fator limitante para utilização destes
instrumentos na estratégia de gestão passiva do segmento de renda variável. Isto ocorre em
função da significativa parcela dos investimentos de renda variável gerida passivamente por
tais investidores e da legislação vigente, que limita o investimento de qualquer fundo de
pensão a 25% do patrimônio de um mesmo ETF.
A Resolução BACEN Nº 3.792, de 24/09/2009, alterada pela Resolução BACEN nº 3.846, de
25/03/2010, dispõe sobre as diretrizes de aplicação dos recursos garantidores dos planos
administrados pelas entidades fechadas de previdência complementar (fundos de pensão
fechados). A tabela 3 apresenta um resumo dos itens desta legislação referentes aos
investimentos em ETFs.
Tabela 3 - Regras da Resolução 3792 para investimentos em ETFs pelos fundos de pensão
Até 35% dos recursos do plano em ETF's (cotas de Fundos de Índice
referenciados em ações) - Segmento Renda Variável.
Até 10% dos recursos do plano em ETF's (cotas de Fundos de Índice
domiciliados no exterior) - Segmento Investimento no Exterior.
Limites de Alocação de Recursos por EmissorAté 10% dos recursos do plano por ETF, se este for Fundo de Índice
referenciado em cesta de ações de companhias abertas.
Limites de Concentração de Recursos por Emissor
Até 25% do patrimônio líquido de um mesmo ETF (Fundo de Índice
referenciado em cesta de ações de companhias abertas), considerada a
soma dos recursos administrados pela EFPC.
Investimento Final
Os investimentos em cotas de Fundos de Índice de ações devem ser
reportados como ativos finais, não devendo ser consolidados com as
demais posições das carteiras próprias e administradas.
Empréstimo de Ações dos ETFsPermitidas as operações realizadas no âmbito da Bolsa de Valores, com
registro na BM&FBOVESPA.
Regras para investimentos em ETFsPrevidência Complementar
(Resolução 3.792/09)
Limites de Alocação de Recursos com Relação ao
Patrimônio do Plano
Fonte: CVM [2009] e BLACKROCK [2013b] Elaboração: Própria
25
A título de exemplo considerou-se o patrimônio total da Fundação de Assistência e
Previdência Social do BNDES (FAPES), que segundo a PREVIC [2012b] era de R$ 9.228
milhões em setembro de 2012.
Levando-se em conta os limites de alocação impostos pela legislação, o patrimônio da FAPES
e o total de ativos sob gestão dos ETFs chegou-se aos seguintes resultados:
Tabela 4 – Exemplo da limitação de investimentos em ETFs pelos fundos de pensão
Portanto o limite de investimentos em ETFs para a FAPES em dezembro de 2012 era de R$
959 milhões (o menor dos valores encontrados como limite de alocação na tabela 4), o que
corresponde a aproximadamente 10% do total dos recursos da Fundação. Vale ressaltar que
este valor pressupõe que a fundação em questão não possui limites de alocação em ETFs
BOVA11 1.785 923 446
PIBB11 1.300 923 325
ECOO11 328 328 82
SMAL11 151 151 38
GOVE11 78 78 19
DIVO11 64 64 16
BRAX11 52 52 13
FIND11 28 28 7
MATB11 16 16 4
ISUS11 12 12 3
CSMO11 9 9 2
MOBI11 6 6 1
MILA11 5 5 1
UTIP11 3 3 1
XBOV11 - - -
Limites de
alocação 3.836 3.230 2.596 959
Nota: Dados referentes ao final de 2012.
CódigoAtivos sob
gestão R$(MM)
Limites de alocação da Resolução 3792
35% dos recursos
da FAPES no Total R$(MM)
10% dos recursos
da FAPES por ETF R$(MM)
25% do patrimônio líquido
de um mesmo ETF R$(MM)
ETFs
Fonte: CVM [2009] e BLOOMBERG [2012] Elaboração: Própria
26
inferiores aos permitidos pela legislação e que tem interesse em todas as estratégias de gestão
passiva relacionadas aos índices de referência dos ETFs listados, o que não parece razoável.
Na prática, o montante passível de alocação em ETFs para a realização da estratégia de gestão
passiva na FAPES é bem inferior ao limite encontrado anteriormente, dado que esta possui
como índice de referência o IBrX-100 (FAPES [2012]).
O mesmo montante financeiro encontrado anteriormente vale como limite de alocação para 34
fundos de pensão que possuíam patrimônio total entre R$ 2,7 bilhões e R$ 162 bilhões em
setembro de 2012. Estes representam aproximadamente 12% do total dos fundos de pensão e
cerca de 80% do volume financeiro do total de ativos sob gestão. O limite de R$ 959 milhões
de investimentos em ETFs corresponde a apenas 0,6% do patrimônio total da PREVI, Caixa
de Previdência dos Funcionários do Banco do Brasil, a maior Entidade Fechada de
Previdência Complementar da America Latina. É verdade que quanto menor o patrimônio do
fundo de pensão, maior a alocação percentual permitida em ETFs, até o limite de 35% de
recursos do plano (PREVIC [2012a] e [2012b]).
Neste contexto os fundos de pensão de médio e grande porte têm dificuldades em restringir
sua estratégia de gestão passiva à utilização de ETFs, tendo que se utilizar de outros
instrumentos como, por exemplo, fundos indexados.
27
4 ESTRATÉGIA DE INDEXAÇÃO
Em 1970 surgiu, no mercado acionário americano, o primeiro fundo de investimento
indexado. Este fundo foi um verdadeiro fracasso, principalmente pela falta de cultura em
relação à gestão passiva de investimentos.
Somente em 1973, no relançamento do fundo, este tipo de instrumento começou sua trajetória
de sucesso, no entanto, foi apenas nas duas últimas décadas que a estratégia de indexação
cresceu significativamente sendo atualmente utilizada em grande escala na gestão passiva de
recursos de investidores institucionais ao redor do mundo, principalmente em fundos de
pensão (DUARTE [2005]).
Em 1995 foi lançado o primeiro fundo administrado passivamente no Brasil e buscava
indexação ao Ibovespa. A metodologia utilizada na administração deste fundo encontra-se
descrita em DUARTE [1997].
Atualmente o mercado de fundos de ações tem um patrimônio líquido de R$ 210 bilhões de
reais, sendo R$ 100 bilhões referentes a investimentos de Entidades de Previdência
Complementar. Deste total, cerca de R$ 39 bilhões encontra-se aplicado em fundos de ações
referenciados ao Ibovespa e ao IBrX-100, seja através da gestão passiva ou ativa
28
(ANBIMA[2013]). Como pode ser observado na tabela 5 o mercado de fundos indexados
ainda é pequeno no Brasil, assim como o mercado de ETFs.
Tabela 5 – Mercado de fundos referenciados ao Ibovespa e ao IBrX-100
Fonte: ANBIMA[2013] Elaboração: Própria
A maneira mais simples de se indexar um portfólio de ações é replicar totalmente a
composição do índice de referência. Esta estratégia pode ter um custo alto e levar a um nível
de erro de aderência indesejado, visto que o índice é uma carteira teórica onde as transações
de compra, venda e reinvestimento de dividendos podem ocorrer instantaneamente, em
quantidades ilimitadas e sem custo.
DUARTE [1997] alerta para o fato de que quanto maior o número de ativos de um índice
maior a dificuldade de se realizar este tipo de estratégia de indexação.
Existem índices com um número muito grande de ativos como o S&P 500, com cerca de 500
ativos, o MSCI ACWI com aproximadamente 2500 ativos e o Wilshire 5000 com mais de
5000 ativos.
Em um índice de referência com muitos ativos, uma quantidade considerável destes possui
baixa liquidez, o que leva a um alto custo de rebalanceamento. Além disso, para replicação
total deste índice, é necessário recorrer à negociação no mercado fracionário, o que trará
Ibovespa Indexado 35 2.229
IBrX Indexado 22 1.316
Ibovespa Ativo 436 21.529
IBrX Ativo 163 13.634
Total 656 38.708
Classe Quantidade
de Fundos
Patrimônio Líquido
Total - R$ MM
29
impactos negativos, pois neste mercado os custos de transação são elevados quando
comparados aos custos de negociação do lote padrão.
Estes custos são uma fonte importante de erro de aderência. Uma forma de minimizar este
problema é limitar o número de ativos a serem utilizados para indexar o portfólio.
Segundo DUARTE [2005], existem muitas vantagens na utilização da estratégia de gestão
passiva através da indexação de carteiras com um número limitado de ativos, entre elas
destacam-se:
• Taxa de administração reduzida – como não há necessidade de realização de análise
fundamentalista como suporte para as decisões de investimento, o custo de
administração se torna inferior ao dos fundos de gestão ativa;
• Transparência – pode-se realizar uma comparação direta entre os resultados do fundo
e seu índice de referência, o que leva a maior transparência na gestão;
• Menor risco de liquidez – as alocações do fundo replicam parcialmente as alocações
dos ativos mais líquidos do índice de referência.
A grande desvantagem da estratégia de indexação, assim como de qualquer tipo de gestão
passiva, é a limitação quanto à obtenção de retornos excedentes a média de mercado.
30
4.1 MODELO DE OTIMIZAÇÃO
O objetivo deste trabalho é propor uma metodologia para indexação de carteiras de ações de
fundos de pensão no Brasil. Este trabalho é baseado no artigo de DUARTE [1997] que utiliza
uma modelo de otimização cuja função objetivo é minimizar o erro de aderência. Esta
metodologia está relacionada à construção de carteiras eficientes de MARKOWITZ [1959] e
envolve um processo de escolha entre risco e retorno de carteiras teóricas, porém levando em
conta os desvios dos retornos em relação a um índice de referência, o que caracteriza a gestão
passiva.
Diversos estudos indicam que a utilização de ETFs na estratégia de gestão passiva tem
inúmeras vantagens, principalmente para investidores de longo prazo como os fundos de
pensão. No Brasil, porém, existe uma limitação para utilização de ETFs: o tamanho do atual
mercado de ETFs no Brasil.
Uma solução para este problema é a implementação de uma carteira com indexação híbrida,
definida a partir deste momento como uma estratégia de indexação que contem, além dos
ativos do índice de referência, ETFs indexados a este índice. Esta estratégia permite, ainda
que de forma limitada, usufruir das vantagens que o investimento em Fundos de Índices
proporciona.
Foram incorporadas ao modelo três restrições: número máximo de ativos, limite máximo de
giro da carteira (turnover) e alocação máxima por ativo, sendo esta última condicionada aos
limites impostos pela legislação vigente que trata de investimentos em fundos de pensão no
Brasil.
31
4.2 MODELAGEM MATEMÁTICA
Considere um problema de indexação onde existam n ativos disponíveis para investimento.
Suponha que sejam gerados m cenários para os retornos destes n ativos, todos igualmente
prováveis. Seja o retorno do ativo j segundo o cenário i denotado por r��, com i = 1,2, … ,m e
j = 1,2, … , n.
No instante inicial do investimento as alocações em cada um destes ativos (em R$) será
denotada por a�, com j = 1,2, … , n, assim como o montante máximo que pode ser investido
em cada ativo (em R$) denotado por m�, com j = 1,2, … , n, e o custo de transação denotado
por t�, com j = 1,2, … , n.
A cada instante de reestruturação da carteira supõe-se que exista um percentual máximo de
giro da carteira permitido, denotado por δ.
Suponha que a carteira de referência (benchmark) seja um índice de mercado cujos retornos,
para cada um dos m cenários gerados, será denotado por b�, com i = 1,2, … ,m.
A alocação no ativo � ao final do instante de reestruturação será denotado por X�, com
j = 1,2, … , n.
Sejam R� e E�o retorno da carteira indexada e o erro de acompanhamento para o cenário i,
respectivamente, com i = 1,2, … ,m, e
E� = R� − b�∀i = 1,2, … ,m. (4.1)
32
Sejam C� e V� duas variáveis auxiliares utilizadas para modelar os montantes comprados ou
vendidos de cada ativo j quando do momento de reestruturação da carteira, ou seja, C� e V�
denotam respectivamente o montante comprado ou vendido do ativoj, com j = 1,2, … , n.
Valem as seguintes equações de equilíbrio para cada instante de reestruturação da carteira:
∑ C����� = ∑ V��
��� (4.2)
e
a� + C� = X� + V�∀j = 1,2, … , n. (4.3)
Mais ainda, existe a restrição de máximo giro da carteira, ou seja,
∑ C� + V�! ≤ δ × ∑ a�����
���� . (4.4)
A definição de retorno da carteira é dada por
R� = ∑ $r�� × X� − t� × C� + V�!%∀i = 1,2, … ,m.���� (4.5)
Por fim, as restrições de não-negatividade e de máximo investimento impõem que
0 ≤ X� ≤ m�∀j = 1,2, … , n (4.6)
e
C� ≥ 0V� ≥ 0∀j = 1,2, … , n. (4.7)
As demais variáveis são livres, ou seja,
−∞ < E�, R� < +∞∀* = 1,2, … ,+. (4.8)
33
Seja L(E1, E2,,…, Em) a função de perda relacionada ao erro de acompanhamento, a partir de
agora denominada erro de aderência com domínio em ℝ0. Esta é uma medida de perda
relativa que poderá assumir os seguintes valores em ℝ1:
• Erro de Acompanhamento Quadrático Médio (EAQM)
L(E�, E2, … , E3) = 4∑ ( 5*− 56 * +*=1 )2 + (4.9)
• Erro de Acompanhamento Absoluto Médio (EAAM)
7(5�, 52, … , 50) = �0 × ∑ |59|09�� (4.10)
Como o objetivo é obter uma carteira que minimize o erro de aderência, propõe-se o seguinte
modelo, com limite máximo de giro da carteira (turnover):
Minimizar L(E1, E2,…, Em)
Sujeito a 59 = :9 − ;9 ∀ * = 1,2, … , +
:9 = < $=9> × ?> − @> × A> + B>!% ∀ * = 1,2, … , +C
>��
D> + A> = ?> + B> ∀ � = 1,2, … , E
∑ A>C>�� = ∑ B>C>�� (4.11)
< A> + B>! ≤ F × < D>C
>��
C
>��
0 ≤ ?> ≤ +> ∀ � = 1,2, … , E
A> , B> ≥ 0 ∀ � = 1,2, … , E
−∞ < 59 , :9 < +∞ ∀ * = 1,2, … , +
34
5 SIMULAÇÃO HISTÓRICA
5.1 DADOS
O escopo deste trabalho é o mercado acionário brasileiro e como índices representativos deste
mercado foram utilizados o Ibovespa e o IBrX-100, índices amplamente empregados por
fundos de pensão como referência.
O universo de ativos elegíveis para as carteiras indexadas foi composto por todas as ações
presentes nas carteiras teóricas do Ibovespa e do IBrX-100 no terceiro quadrimestre de 2012,
além dos Fundos de Índice BOVA11 e BRAX11. A escolha destes ETFs está relacionada ao
fato de serem os únicos Fundos de Índice, com histórico razoável, que possuem como índice
de referência o Ibovespa e o IBrX-100. Vale ressaltar que no final de 2012 foi lançado pela
Caixa Econômica Federal um ETF que possui como índice de referência o Ibovespa, o
XBOV11, mas este ainda não possui patrimônio e histórico de negociação relevantes.
A tabela 6 mostra o universo de ativos elegíveis utilizados para determinação das carteiras
ótimas indexadas ao Ibovespa e IBrX-100.
35
Tabela 6 – Universo de ativos elegíveis para as carteiras indexadas
Fonte: BM&FBOVESPA [2012b] e [2012c] Elaboração: Própria
Código Empresa Código Empresa Código Empresa Código Empresa
BOVA11 Fundo de Índice EMBR3 EMBRAER BRAX11 Fundo de Índice CSAN3 COSAN
VALE5 VALE UGPA3 ULTRAPAR PETR4 PETROBRAS RADL3 RAIADROGASIL
PETR4 PETROBRAS ENBR3 ENERGIAS BR ITUB4 ITAUUNIBANCO QUAL3 QUALICORP
OGXP3 OGX PETROLEO GOAU4 GERDAU MET VALE5 VALE MULT3 MULTIPLAN
ITUB4 ITAUUNIBANCO PCAR4 P.ACUCAR-CBD BBDC4 BRADESCO DASA3 DASA
BBDC4 BRADESCO LLXL3 LLX LOG AMBV4 AMBEV ALLL3 ALL AMER LAT
PDGR3 PDG REALT ELET3 ELETROBRAS PETR3 PETROBRAS BRKM5 BRASKEM
BVMF3 BMFBOVESPA ELET6 ELETROBRAS VALE3 VALE MRVE3 MRV
BBAS3 BRASIL CESP6 CESP BVMF3 BMFBOVESPA POMO4 MARCOPOLO
VALE3 VALE DTEX3 DURATEX ITSA4 ITAUSA CESP6 CESP
PETR3 PETROBRAS SBSP3 SABESP UGPA3 ULTRAPAR AMIL3 AMIL
GGBR4 GERDAU CPLE6 COPEL BRFS3 BRF FOODS SUZB5 SUZANO PAPEL
ITSA4 ITAUSA CPFE3 CPFL ENERGIA BBAS3 BRASIL CPLE6 COPEL
USIM5 USIMINAS LIGT3 LIGHT S/A BBDC3 BRADESCO DTEX3 DURATEX
MRVE3 MRV BTOW3 B2W VAREJO CCRO3 CCR SA MPXE3 MPX ENERGIA
CIEL3 CIELO USIM3 USIMINAS CIEL3 CIELO ECOR3 ECORODOVIAS
AMBV4 AMBEV OIBR3 OI GGBR4 GERDAU BRSR6 BANRISUL
CSNA3 SID NACIONAL TRPL4 TRAN PAULIST SANB11 SANTANDER BR TRPL4 TRAN PAULIST
CCRO3 CCR SA VAGR3 V-AGRO VIVT4 TELEF BRASIL ENBR3 ENERGIAS BR
GFSA3 GAFISA AMBV3 AMBEV ODPV3 ODONTOPREV
CMIG4 CEMIG BRML3 BR MALLS PAR MRFG3 MARFRIG
HYPE3 HYPERMARCAS CRUZ3 SOUZA CRUZ CSMG3 COPASA
CYRE3 CYRELA REALT EMBR3 EMBRAER ARTR3 ARTERIS
BRFS3 BRF FOODS CMIG4 CEMIG ELET6 ELETROBRAS
OIBR4 OI NATU3 NATURA MMXM3 MMX MINER
TIMP3 TIM PART S/A LREN3 LOJAS RENNER USIM3 USIMINAS
BRML3 BR MALLS PAR JBSS3 JBS PSSA3 PORTO SEGURO
MMXM3 MMX MINER SBSP3 SABESP GETI4 AES TIETE
RSID3 ROSSI RESID PCAR4 P.ACUCAR-CBD MPLU3 MULTIPLUS
HGTX3 CIA HERING CSNA3 SID NACIONAL GFSA3 GAFISA
SANB11 SANTANDER BR BRPR3 BR PROPERT LIGT3 LIGHT S/A
NATU3 NATURA BRAP4 BRADESPAR EVEN3 EVEN
LREN3 LOJAS RENNER TBLE3 TRACTEBEL SULA11 SUL AMERICA
VIVT4 TELEF BRASIL CTIP3 CETIP MYPK3 IOCHP-MAXION
LAME4 LOJAS AMERIC GOAU4 GERDAU MET ELET3 ELETROBRAS
SUZB5 SUZANO PAPEL CPFE3 CPFL ENERGIA HRTP3 HRT PETROLEO
JBSS3 JBS LAME4 LOJAS AMERIC OIBR3 OI
CTIP3 CETIP OGXP3 OGX PETROLEO ELPL4 ELETROPAULO
CRUZ3 SOUZA CRUZ HGTX3 CIA HERING RAPT4 RANDON PART
BISA3 BROOKFIELD HYPE3 HYPERMARCAS EZTC3 EZTEC
CSAN3 COSAN USIM5 USIMINAS GOLL4 GOL
ALLL3 ALL AMER LAT TIMP3 TIM PART S/A QGEP3 QGEP PART
FIBR3 FIBRIA OIBR4 OI BTOW3 B2W VAREJO
KLBN4 KLABIN S/A KLBN4 KLABIN S/A RSID3 ROSSI RESID
BRAP4 BRADESPAR TOTS3 TOTVS TCSA3 TECNISA
DASA3 DASA FIBR3 FIBRIA BISA3 BROOKFIELD
RENT3 LOCALIZA AEDU3 ANHANGUERA OSXB3 OSX BRASIL
BRKM5 BRASKEM RENT3 LOCALIZA BBRK3 BR BROKERS
MRFG3 MARFRIG CYRE3 CYRELA REALT VAGR3 V-AGRO
ELPL4 ELETROPAULO KROT3 KROTON LLXL3 LLX LOG
GOLL4 GOL PDGR3 PDG REALT CCXC3 CCX CARVAO
Indexação do IBrXIndexação ao Ibovespa
36
Para a realização do estudo, foi construída uma base de dados com o horizonte de 2 anos (495
dias úteis) de janeiro de 2011 a dezembro de 2012. O horizonte foi limitado em função da
utilização dos Fundos de Índice, BRAX11 e BOVA11, que só atingiram volumes razoáveis de
negociação em 2011 (figura 7).
A base de dados contem o preço de fechamento diário de todas as ações pertencentes aos
índices de referência, valores diários de fechamento do Ibovespa e do IBrX-100 e valores
diários de fechamento das cotas do valor patrimonial líquido do BOVA11 e do BRAX11.
Além disso, contém o spread de compra e venda (bid-ask spread) médio diário de todos os
ativos, inclusive dos Fundos de Índice. Os dados foram obtidos do fornecedor de informações
de mercado Bloomberg (BLOOMBERG [2012]), com as séries ajustadas por proventos.
Foram utilizadas também as carteiras teóricas quadrimestrais dos índices Ibovespa e IBrX-
100, obtidas no site da BM&FBOVESPA [2012b] e [2012c], para o mesmo período citado
anteriormente.
Vale ressaltar que não há viés de sobrevivência na amostra, dado que nenhum dos ativos
utilizados no processo de otimização encerrou sua operação, no mercado brasileiro, no
período estudado. Além disso, quando da inexistência de negociação de um ativo específico
em algum dia particular, como, por exemplo, um dia em que não houve negociação do Fundo
de Índice, o conteúdo de todos os ativos foi suprimido da base de dados no dia.
37
5.1.1 Ibovespa
Segundo metodologia encontrada na BM&FBOVESPA [2012b], o Ibovespa (Índice Bovespa)
é o indicador mais utilizado pelo mercado para retratar o desempenho médio das cotações do
mercado de ações brasileiro, cuja metodologia permanece inalterada desde sua implementação
em 1968.
Este índice é o valor atual, em moeda corrente, de uma carteira teórica de ações que foi
construída em 02/01/1968 com um valor base de 100 pontos. O índice reflete não apenas as
variações dos preços das ações, mas também o impacto da distribuição dos proventos, sendo
considerado um indicador que avalia o retorno total de suas ações componentes.
As ações integrantes da carteira teórica do Índice Bovespa são revistas a cada quadrimestre e
respondem por mais de 80% do número de negócios e do volume financeiro verificados no
mercado à vista da BM&FBOVESPA. Além disso, as empresas emissoras das ações
integrantes da carteira teórica do Índice Bovespa são responsáveis, em média, por
aproximadamente 70% do somatório da capitalização de mercado de todas as empresas com
ações negociáveis na BM&FBOVESPA.
5.1.2 IBrX-100
Segundo metodologia encontrada na BM&FBOVESPA [2012c], o IBrX-100 (Índice Brasil) é
um índice de preços que mede o retorno de uma carteira teórica composta por 100 ações
selecionadas entre as mais negociadas na BOVESPA, em termos de número de negócios e
volume financeiro. Essas ações são ponderadas na carteira do índice pelo seu respectivo
número de ações disponíveis à negociação no mercado (free float).
38
Este índice é o valor atual, em moeda corrente, de uma carteira teórica de ações que foi
construída em 28/12/1995 com um valor base de 1000 pontos e começou a ser divulgado em
02/01/1997.
As 100 ações integrantes da carteira teórica do Índice Brasil são revistas a cada quadrimestre
e são escolhidas em uma relação de ações classificadas em ordem decrescente por liquidez, de
acordo com seu índice de negociabilidade apurado nos últimos doze meses. Além disso, as
ações devem ter sido negociadas em pelo menos 70% dos pregões ocorridos nos doze meses
anteriores à formação da carteira.
5.2 PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO
No processo de otimização das carteiras foi utilizado o R Project1 (R-PROJECT[2012]), uma
linguagem e um ambiente de desenvolvimento integrado para cálculos estatísticos e gráficos.
É um ambiente similar ao S, cuja implementação comercial é o S-PLUS, com a vantagem de
ser de domínio público. Foi criado originalmente por Ross Ihaka e por Robert Gentleman no
departamento de Estatística da universidade de Auckland, Nova Zelândia, e foi desenvolvido
por um esforço conjunto de diversos colaboradores ao redor do mundo.
Para o processo de otimização foi utilizado um algoritmo não-linear que implementa o
método de Lagrange aumentado, cuja função no R-project é denominada solnp. Esta função é
1 O código fonte do R está disponível como Software Livre sob os termos da GNU (General Public License) e da Free
Software Foundation. As versões são oferecidas para Windows, Macintosh, Unix, Linux e outros. No Brasil, as CRANs
(Comprehensive R Archive Network) estão hospedadas nos servidores de três instituições: Universidade Federal do Paraná
(UFPR), Fundação Oswaldo Cruz (Fiocruz) e Universidade de São Paulo (USP).
39
baseada no algoritmo desenvolvido por YINYU[1988] e resolve o seguinte problema de
programação não-linear geral:
Minimizar: f (x)
Sujeito a: g (x) = 0
hl <= h (x) <= hu
xl <= x <= xu
onde f (x), g (x) e h (x) são funções suaves.
40
6 ANÁLISE DOS RESULTADOS
A otimização e o respectivo rebalanceamento das carteiras foi realizado mensalmente, no
primeiro dia útil de cada mês, sendo a alocação no primeiro mês determinada através de
otimização sem restrições de giro da carteira e as demais com a restrição de giro máximo de
20% da carteira.
O período de otimização mensal e o limite de giro da carteira foram utilizados em função
deste estudo estar relacionado à gestão passiva em fundos de pensão, que na grande maioria
possuem a característica de baixa rotação de ativos em suas carteiras.
Logo, este estudo tem como hipóteses: (i) realização mensal do rebalanceamento da carteira e
(ii) o giro da carteira caracterizado pelas compras e vendas de ativos realizadas no mês
inferior a 20%, mesmo que em algum momento o erro de acompanhamento diário extrapole
os níveis desejados.
Como a base de dados é pequena, 495 dias úteis, foi utilizado um período móvel de 126 dias
como histórico para a otimização mensal dos portfólios. Este é um fator importante a se
ressaltar, pois o fato de se utilizar dados históricos implica na hipótese de que o
comportamento passado dos ativos se repetirá no futuro. Num trabalho futuro o modelo
41
poderia ser aperfeiçoado através da incorporação da percepção do investidor e a possibilidade
de ocorrência de eventos extremos.
Assumiu-se que os custos de transação por ativo foram iguais à média do spread de compra e
venda (bid-ask spread) do período de 126 dias imediatamente anterior ao rebalanceamento
acrescido de 0,1% de corretagem (corretagem média paga pelos investidores institucionais).
Além disso, também foi considerada a hipótese de que os proventos recebidos das ações
foram imediatamente reinvestidos, nos mesmos ativos, no dia seguinte à data anunciada para
o pagamento.
O patrimônio total disponível para as carteiras simuladas foi R$ 500 milhões. Este valor foi
determinado em função de estar próximo do limite máximo permitido aos fundos de pensão
para alocação em um único Fundo de Índice (tabela 4), além de ser o valor aproximado do
patrimônio da carteira de gestão passiva de um grande fundo de pensão brasileiro.
A seguir são apresentadas quatro simulações, duas referentes à indexação ao Ibovespa e
outras duas referentes à indexação ao IBrX-100. A diferença entre estas simulações está no
fato dos Fundos de Índice BOVA11 e BRAX11 pertencerem ou não ao conjunto de ativos
elegíveis para a simulação.
A quantidade de ativos das carteiras otimizadas variou entre 2 e 30, e para cada quantidade de
ativos foram realizadas um total de 18 otimizações, sempre no primeiro dia útil de cada mês,
no período de julho de 2011 a dezembro de 2012. Portanto, a cada simulação foram
otimizadas 522 carteiras.
42
6.1 PRIMEIRA SIMULAÇÃO
O Ibovespa foi utilizado como índice de referência e as ações pertencentes ao índice foram
consideradas como conjunto de ações elegíveis para a carteira otimizada. A seleção dos ativos
levou em conta o peso no índice, iniciando-se com os dois ativos de maior participação. A
alocação no primeiro mês foi determinada através de otimização sem restrições de giro da
carteira e as demais com a restrição de giro máximo 20% da carteira.
As carteiras foram otimizadas através da minimização de duas medidas de erro de aderência:
o Erro de Aderência Quadrático Médio (EAQM) (4.9) e o Erro de Aderência Absoluto Médio
(EAAM) (4.10) e o número de ativos variou de 2 a 30.
A figura 9 apresenta o primeiro quartil, a mediana e o terceiro quartil dos erros de
acompanhamento realizados.
Figura 9 – Evolução do Erro de Acompanhamento Realizado – Ibovespa
Fonte e Elaboração: Própria
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a (%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o Ibovespa
Evolução do Erro de AcompanhamentoIbovespa - EAQM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a (%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o Ibovespa
Evolução do Erro de AcompanhamentoIbovespa - EAAM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
43
Como pode ser observado, os resultados são muito semelhantes independente da medida de
erro de aderência utilizada na otimização. Com apenas dois ativos, 50% dos erros de
acompanhamento encontram-se entre -0,52% e 0,47% ao dia, conforme são incluídos novos
ativos na carteira, os erros vão diminuindo até alcançar patamares entre -0,09% e 0,12% ao
dia, para a carteira otimizada com trinta ativos. Estes níveis podem ser considerados altos
quando comparados a fundos indexados de mercados mais desenvolvidos, isto ocorre em
função da alta volatilidade do mercado acionário brasileiro.
Observando-se a figura 10, visualmente parece haver uma pequena redução no valor dos erros
de acompanhamento absolutos a partir da inclusão de mais de 26 ativos.
Figura 10 – Evolução do Erro de Acompanhamento Absoluto Realizado – Ibovespa
Fonte e Elaboração: Própria
A título de ilustração, a tabela 7 apresenta a carteira otimizada em relação ao Ibovespa em
02/01/2012 com 26 ativos. A medida de erro de aderência minimizada neste caso foi o EAQM
(Erro de aderência Quadrático Médio), obtido pela fórmula 4.9, com base em um histórico de
126 dias úteis (de 01/07/2011 a 29/12/2011).
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a A
bso
luto
(%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o Ibovespa
Evolução do Erro de Acompanhamento AbsolutoIbovespa - EAQM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a A
bso
luto
(%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o Ibovespa
Evolução do Erro de Acompanhamento AbsolutoIbovespa - EAAM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
44
Tabela 7 – Carteira otimizada em relação ao Ibovespa com 26 ativos
Fonte e Elaboração: Própria
Código Quantidade Cotação (R$) Estoque( R$) Participação
VALE5 714.963 35,70 25.525.605 5,2%
PETR4 2.345.191 20,99 49.223.220 10,1%
OGXP3 1.874.982 13,62 25.537.260 5,2%
ITUB4 926.946 32,81 30.408.476 6,2%
BBDC4 799.935 29,72 23.777.279 4,9%
PDGR3 2.372.486 5,73 13.594.343 2,8%
BVMF3 2.243.999 9,40 21.086.857 4,3%
BBAS3 690.973 22,13 15.289.160 3,1%
VALE3 1.150.477 37,30 42.910.482 8,8%
PETR3 1.762.781 22,49 39.643.191 8,1%
GGBR4 1.024.612 14,26 14.611.988 3,0%
ITSA4 624.175 9,86 6.155.614 1,3%
USIM5 1.588.585 10,09 16.022.466 3,3%
MRVE3 1.357.269 10,29 13.964.939 2,9%
CIEL3 492.582 38,60 19.011.216 3,9%
AMBV4 190.994 64,79 12.375.241 2,5%
CSNA3 1.292.244 14,01 18.097.880 3,7%
CCRO3 867.233 11,82 10.246.364 2,1%
GFSA3 3.302.865 4,12 13.607.805 2,8%
CMIG4 1.068.367 21,94 23.435.692 4,8%
HYPE3 1.353.897 8,50 11.508.124 2,4%
CYRE3 986.892 14,57 14.378.028 2,9%
BRFS3 300.684 36,11 10.857.714 2,2%
OIBR4 1.129.626 7,22 8.157.026 1,7%
TIMP3 732.906 9,06 6.642.329 1,4%
BRML3 75.159 18,00 1.352.868 0,3%
45
6.2 SEGUNDA SIMULAÇÃO
O Ibovespa foi utilizado como índice de referência, porém além das ações pertencentes ao
índice, o Fundo de Índice BOVA11 também foi considerado pertencente ao conjunto de
ativos elegíveis da carteira otimizada. A seleção dos ativos levou em conta o peso no índice,
iniciando-se com o ativo de maior participação e o BOVA11. A alocação no primeiro mês foi
determinada através de otimização sem restrições de giro da carteira e as demais com a
restrição de giro máximo 20% da carteira.
Existe uma limitação para o investimento dos fundos de pensão em ETFs, e esta foi utilizada
como restrição no modelo de otimização. A participação máxima do BOVA11 em qualquer
carteira otimizada ficou restrita a R$ 446 MM (Tabela 4), cerca de 89% do patrimônio total
disponível.
Para fins de comparação todos os gráficos desta seção encontram-se na mesma escala dos
gráficos da primeira simulação.
As carteiras foram otimizadas através da minimização de duas medidas de erro de aderência:
o Erro de Aderência Quadrático Médio (EAQM) (4.9) e o Erro de Aderência Absoluto Médio
(EAAM) (4.10) e o número de ativos variou de 2 a 30.
A figura 11 apresenta o primeiro quartil, a mediana e o terceiro quartil dos erros de
acompanhamento realizados.
46
Figura 11 – Evolução do Erro de Acompanhamento Realizado – Ibovespa incluindo BOVA11
Fonte e Elaboração: Própria
Mais uma vez os resultados foram muito semelhantes, independente da medida de erro de
aderência utilizada na otimização. Neste caso, porém, com apenas dois ativos, 50% dos erros
de acompanhamento encontram-se entre -0,14% e 0,14% ao dia, e conforme que são incluídos
novos ativos na carteira, os erros vão diminuindo até alcançar patamares entre -0,09% e
0,11% ao dia, para a carteira otimizada com trinta ativos.
Na primeira simulação, sem inclusão do Fundo de Índice BOVA11, foi necessário ter uma
carteira com 26 ativos para chegar aos mesmos níveis de erros de acompanhamento da
segunda simulação com apenas dois ativos, o BOVA11 e o ativo de maior peso no Ibovespa.
A tabela 8 apresenta a carteira otimizada em relação ao Ibovespa, em 02/01/2012 com 2
ativos (Fundo de Índice BOVA11 e ações preferenciais da VALE). A medida de erro de
aderência minimizada neste caso foi o EAQM (Erro de aderência Quadrático Médio), obtido
pela fórmula 4.9, com base em um histórico de 126 dias úteis (de 01/07/2011 a 29/12/2011).
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a (%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o Ibovespa
Evolução do Erro de Acompanhamento com BOVA11Ibovespa - EAQM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a (%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o Ibovespa
Evolução do Erro de Acompanhamento com BOVA11Ibovespa - EAAM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
47
Tabela 8 – Carteira otimizada em relação ao Ibovespa com 2 ativos, incluindo o BOVA11
Fonte e Elaboração: Própria
Observando-se a figura 12, visualmente parece haver uma pequena redução no valor dos erros
de acompanhamento absolutos com mais 2 ativos, o BOVA11 e o ativo de maior peso no
Ibovespa.
Figura 12 – Evolução do Erro de Acompanhamento Absoluto Realizado – Ibovespa incluindo BOVA11
Fonte e Elaboração: Própria
Analisando a figura 13, que apresenta a alocação percentual de BOVA11 nos portfólios
otimizados com 2, 10, 20 e 30 ativos, é possível verificar que quando a carteira otimizada
possui somente 2 ativos a alocação ótima permanece constante no limite máximo de alocação,
que é de 89%. Isto ocorre porque a diversificação e a composição do BOVA11 conferem a
este ativo um erro de aderência inferior ao de qualquer outro ativo pertencente ao índice.
Código Quantidade Cotação (R$) Estoque( R$) Participação
BOVA11 7.581.151 62,17 471.320.127 89,0%
VALE5 1.445.538 40,30 58.253.753 11,0%
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a A
bso
luto
(%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o Ibovespa
Evolução do Erro de Acompanhamento Absolutocom BOVA11
Ibovespa - EAQM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a A
bso
luto
(%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o Ibovespa
Evolução do Erro de Acompanhamento Absolutocom BOVA11
Ibovespa - EAAM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
48
Uma análise temporal nos permite verificar que conforme são incluídos novos ativos na
carteira, a alocação ótima percentual de BOVA11 diminui em determinados períodos de
tempo.
Figura 13 – Participação % do BOVA11 nas Carteiras Otimizadas
Fonte e Elaboração: Própria
A figura 14 nos leva a concluir que o percentual de alocação em BOVA11 é inversamente
correlacionado ao erro de aderência apresentado pelo Fundo de Índice.
Figura 14 – Erro de Aderência do Fundo de Índice BOVA11
Fonte e Elaboração: Própria
A alocação percentual é baixa até dezembro de 2011, período em que o erro de aderência se
encontra em patamares altos. Em seguida, a alocação começa a aumentar até atingir o limite
0%
20%
40%
60%
80%
100%
jul-11 set-11 dez-11 mar-12 jun-12 set-12 dez-12
Alo
caçã
o (
%)
2 ativos 10 ativos 20 ativos 30 ativos
Médiano ano -------
0,10%
0,15%
0,20%
0,25%
0,30%
0,35%
jul-11 set-11 dez-11 mar-12 jun-12 set-12 dez-12
EAQM BOVA11
89%
49
máximo em junho de 2012, quando o erro de aderência atinge níveis mínimos. A partir de
setembro de 2012 a alocação volta a cair enquanto o erro de aderência aumenta.
Vale ressaltar que apesar do aumento do erro de aderência do BOVA11 ao final de 2012 e
consequente queda na alocação percentual deste na carteira otimizada, os níveis de alocação
percentual médios em 2012 são bem superiores aos de 2011 (figura 13).
Este comportamento do erro de aderência pode ser explicado em parte pela volatilidade do
Ibovespa (figura 15), que permaneceu muito alta até o final de 2011, e em parte pelo aumento
significativo dos volumes médios diários negociados do BOVA11, que se tornaram
expressivos apenas ao final do ano de 2011 (figura 7), contribuindo para a queda no erro de
aderência após este período. Ao final de 2012 o BOVA11 respondia por 91% dos volumes
médios diários negociados dos ETFs na bolsa brasileira (BM&FBOVESPA [2013]).
Figura 15 – Volatilidade Anualizada – Ibovespa e BOVA11
Fonte e Elaboração: Própria
15%
20%
25%
30%
35%
jul-11 set-11 dez-11 mar-12 jun-12 set-12 dez-12
Volatilidade Ibovespa Volatilidade BOVA 11
50
6.3 TERCEIRA SIMULAÇÃO
O IBrX-100 foi utilizado como índice de referência e ações pertencentes ao índice foram
consideradas como conjunto de ações elegíveis para a carteira otimizada. A seleção dos ativos
levou em conta o peso no índice, iniciando-se com os dois ativos de maior participação. A
alocação no primeiro mês foi determinada através de otimização sem restrições de giro da
carteira e as demais com a restrição de giro máximo 20% da carteira.
Para fins de comparação todos os gráficos desta seção encontram-se na mesma escala dos
gráficos da quarta simulação.
As carteiras foram otimizadas através da minimização de duas medidas de erro de aderência:
o Erro de Aderência Quadrático Médio (EAQM) (4.9) e o Erro de Aderência Absoluto Médio
(EAAM) (4.10) e o número de ativos variou de 2 a 30.
A figura 16 apresenta o primeiro quartil, a mediana e o terceiro quartil dos erros de
acompanhamento realizados.
Figura 16 – Evolução do Erro de Acompanhamento Realizado – IBrX-100
Fonte e Elaboração: Própria
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a (%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o IBrX
Evolução do Erro de AcompanhamentoIBrX - EAQM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a (%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o IBrX
Evolução do Erro de AcompanhamentoIBrX - EAAM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
51
Neste caso os resultados também são muito semelhantes, independente da medida de erro de
aderência utilizada na otimização. Com apenas dois ativos, 50% dos erros de
acompanhamento encontram-se entre -0,45% e 0,41% ao dia, e conforme são incluídos novos
ativos na carteira os erros vão diminuindo até alcançar patamares entre -0,05% e 0,13% ao
dia, para a carteira otimizada com trinta ativos.
Apesar dos erros de acompanhamento permanecerem em níveis inferiores aos das carteiras
indexadas ao Ibovespa, os patamares ainda são considerados altos quando comparados a
fundos indexados de mercados mais desenvolvidos, isto ocorre em função da alta volatilidade
do mercado acionário brasileiro.
Observando-se a figura 17, visualmente parece haver uma pequena redução no valor dos erros
de acompanhamento absolutos a partir da inclusão de mais de 26 ativos.
Figura 17 – Evolução do Erro de Acompanhamento Absoluto Realizado – IBrX-100
Fonte e Elaboração: Própria
A título de ilustração, a tabela 9 apresenta a carteira otimizada em relação ao IBrX-100, em
02/01/2012 com 26 ativos. A medida de erro de aderência minimizada neste caso foi o EAQM
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a A
bso
luto
(%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o IBrX
Evolução do Erro de Acompanhamento AbsolutoIBrX - EAQM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a A
bso
luto
(%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o IBrX
Evolução do Erro de Acompanhamento AbsolutoIBrX - EAAM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
52
(Erro de aderência Quadrático Médio), obtido pela fórmula 4.9, com base em um histórico de
126 dias úteis (de 01/07/2011 a 29/12/2011).
Tabela 9 – Carteira otimizada em relação ao IBrX-100 com 26 ativos
Fonte e Elaboração: Própria
Código Quantidade Cotação (R$) Estoque( R$) Participação
PETR4 2.841.632 20,99 59.643.024 11,6%
ITUB4 1.373.644 32,81 45.062.391 8,7%
VALE5 1.413.769 35,70 50.474.384 9,8%
BBDC4 1.105.178 29,72 32.850.305 6,4%
AMBV4 341.213 64,79 22.108.565 4,3%
PETR3 1.731.991 22,49 38.950.755 7,5%
VALE3 1.020.237 37,30 38.052.801 7,4%
BVMF3 1.970.516 9,40 18.516.937 3,6%
ITSA4 2.206.662 9,86 21.762.096 4,2%
UGPA3 272.173 31,24 8.501.860 1,6%
BRFS3 334.133 36,11 12.065.527 2,3%
BBAS3 632.957 22,13 14.005.437 2,7%
BBDC3 161.836 24,44 3.955.284 0,8%
CCRO3 921.226 11,82 10.884.280 2,1%
CIEL3 212.721 38,60 8.209.981 1,6%
GGBR4 1.413.018 14,26 20.151.055 3,9%
SANB11 792.755 14,29 11.330.055 2,2%
VIVT4 251.309 47,26 11.877.350 2,3%
AMBV3 254.626 52,49 13.364.542 2,6%
BRML3 269.037 18,00 4.842.669 0,9%
CRUZ3 442.836 22,12 9.795.970 1,9%
EMBR3 1.161.967 11,58 13.449.774 2,6%
CMIG4 843.965 21,94 18.513.221 3,6%
NATU3 112.802 34,70 3.914.459 0,8%
LREN3 323.093 46,81 15.122.995 2,9%
JBSS3 1.407.546 6,08 8.557.878 1,7%
53
6.4 QUARTA SIMULAÇÃO
O IBrX-100 foi utilizado como índice de referência, porém além das ações pertencentes ao
índice, o Fundo de Índice BRAX11 também foi considerado pertencente ao conjunto de ativos
elegíveis da carteira otimizada. A seleção dos ativos levou em conta o peso no índice,
iniciando-se com o ativo de maior participação e o BRAX11. A alocação no primeiro mês foi
determinada através de otimização sem restrições de giro da carteira e as demais com a
restrição de giro máximo 20% da carteira.
Existe uma limitação para o investimento dos fundos de pensão em ETFs, e esta foi utilizada
como restrição no modelo de otimização. A participação máxima do BRAX11 em qualquer
carteira otimizada ficou restrita a R$ 13 MM (Tabela 4), cerca de 2,5% do patrimônio total
disponível.
As carteiras foram otimizadas através da minimização de duas medidas de erro de aderência:
o Erro de Aderência Quadrático Médio (EAQM) (4.9) e o Erro de Aderência Absoluto Médio
(EAAM) (4.10) e o número de ativos variou de 2 a 30.
A figura 18 apresenta o primeiro quartil, a mediana e o terceiro quartil dos erros de
acompanhamento realizados.
54
Figura 18 – Evolução do Erro de Acompanhamento Realizado – IBrX-100 incluindo BRAX11
Fonte e Elaboração: Própria
Novamente os resultados foram muito semelhantes, independente da medida de erro de
aderência utilizada na otimização. Neste caso, porém com apenas dois ativos, 50% dos erros
de acompanhamento encontram-se entre -0,74% e 0,67% ao dia, à medida que são incluídos
novos ativos na carteira, os erros vão diminuindo até alcançar patamares entre -0,05% e
0,12% ao dia, para a carteira otimizada com trinta ativos.
Na terceira simulação, sem inclusão do Fundo de Índice BRAX11, os erros de
acompanhamento permaneceram em níveis bem inferiores quando comparadas as carteiras
com 2 ativos. Isto ocorreu em função da restrição da alocação de 2,5% em BRAX11. Somente
com a inclusão de um terceiro ativo os patamares de erro se igualaram nas duas simulações.
Observando-se a figura 19, parece haver uma pequena redução no valor dos erros de
acompanhamento absolutos a partir da inclusão de mais de 26 ativos.
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a (%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o IBrX
Evolução do Erro de Acompanhamento com BRAX IBrX - EAQM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a (%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o IBrX
Evolução do Erro de Acompanhamento com BRAX IBrX - EAAM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
55
Figura 19 – Evolução do Erro de Acompanhamento Absoluto Realizado – IBrX-100 incluindo BRAX11
Fonte e Elaboração: Própria
Analisando a alocação percentual de BRAX11 (figura 20), é possível verificar que quando as
carteiras otimizadas possuem até 20 ativos a alocação ótima permanece muito próxima ao
limite máximo de alocação, que é de 2,5%.
Figura 20 – Participação % do BRAX11 nas Carteiras Otimizadas
Fonte e Elaboração: Própria
Já para as carteiras otimizadas com 30 ativos, a alocação percentual até o início de 2012 é
bem inferior a máxima. Isto ocorre porque, com a inclusão de mais ativos, é possível atingir
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a A
bso
luto
(%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o IBrX
Evolução do Erro de Acompanhamento Absoluto com BRAX11 IBrX - EAQM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Erro
de
Ad
erê
nci
a A
bso
luto
(%
)
No. de ativos utilizados para rastrear o IBrX
Evolução do Erro de Acompanhamento Absolutocom BRAX11IBrX - EAAM
1o. Quartil Mediana 3o. Quartil
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
2,5%
3,0%
jul-11 set-11 dez-11 mar-12 jun-12 set-12 dez-12
Alo
caçã
o (
%)
2 ativos 10 ativos 20 ativos 30 ativos
56
um nível de diversificação onde o erro de aderência do BRAX11, passa a não ser inferior ao
do restante da carteira otimizada, neste período. Uma análise temporal nos permite concluir
que o percentual de alocação em BRAX11, neste caso, é inversamente correlacionado ao erro
de aderência apresentado pelo Fundo de Índice (figura 21).
A alocação percentual é baixa até dezembro de 2011, período em que o erro de aderência se
encontra em patamares altos. Em seguida, a alocação começa a aumentar até atingir o limite
máximo de 2,5% em março de 2012, quando o erro de aderência encontra-se em patamares
mais baixos. A partir de então, a alocação fica próxima dos níveis máximos enquanto o erro
de aderência permanece baixo quando comparado aos níveis de 2011.
Figura 21 – Erro de Aderência do Fundo de Índice BRAX11
Fonte e Elaboração: Própria
Neste caso, o comportamento do erro de aderência é explicado na maior parte pela
volatilidade do IBrX-100, que permaneceu bem alta no final de 2011 (figura 22). Em relação
aos volumes médios diários negociados, o BRAX11 ainda não atingiu patamares de
negociação consideráveis, que possam ter contribuído de forma significativa para diminuir o
erro de aderência.
0,30%
0,40%
0,50%
0,60%
0,70%
0,80%
0,90%
1,00%
jul-11 set-11 dez-11 mar-12 jun-12 set-12 dez-12
EAQM BRAX11
57
Figura 22 – Volatilidade Anualizada – IBrX-100 e BRAX11
Fonte e Elaboração: Própria
A título de ilustração, a tabela 10 apresenta a carteira otimizada em relação ao IBrX-100, em
02/01/2012 com 26 ativos, incluindo o BRAX11. A medida de erro de aderência minimizada
neste caso foi o EAQM (Erro de aderência Quadrático Médio), obtido pela fórmula 4.9, com
base em um histórico de 126 dias úteis (de 01/07/2011 a 29/12/2011).
13%
18%
23%
28%
jul-11 set-11 dez-11 mar-12 jun-12 set-12 dez-12
Volatilidade IBrX Volatilidade BRAX11
58
Tabela 10 – Carteira otimizada em relação ao IBrX-100 com 26 ativos, incluindo o BRAX11
Fonte e Elaboração: Própria
Código Quantidade Cotação (R$) Estoque( R$) Participação
BRAX11 81.783 39,22 3.207.546 0,6%
PETR4 2.346.678 20,99 49.254.426 9,6%
ITUB4 1.471.454 32,81 48.271.062 9,4%
VALE5 1.236.535 35,70 44.146.769 8,6%
BBDC4 1.307.286 29,72 38.857.781 7,6%
AMBV4 226.661 64,79 14.686.244 2,9%
PETR3 2.190.226 22,49 49.255.997 9,6%
VALE3 1.191.363 37,30 44.435.440 8,7%
BVMF3 2.065.396 9,40 19.408.526 3,8%
ITSA4 1.609.039 9,86 15.868.346 3,1%
UGPA3 183.493 31,24 5.731.757 1,1%
BRFS3 350.890 36,11 12.670.633 2,5%
BBAS3 664.824 22,13 14.710.557 2,9%
BBDC3 4.280 24,44 104.605 0,0%
CCRO3 954.388 11,82 11.276.091 2,2%
CIEL3 193.362 38,60 7.462.800 1,5%
GGBR4 1.579.697 14,26 22.528.058 4,4%
SANB11 825.246 14,29 11.794.422 2,3%
VIVT4 248.562 47,26 11.747.546 2,3%
AMBV3 312.110 52,49 16.381.693 3,2%
BRML3 321.018 18,00 5.778.324 1,1%
CRUZ3 551.383 22,12 12.197.138 2,4%
EMBR3 1.048.337 11,58 12.134.496 2,4%
CMIG4 1.037.531 21,94 22.759.290 4,4%
NATU3 98.991 34,70 3.435.190 0,7%
LREN3 322.885 46,81 15.113.280 2,9%
59
7 CONCLUSÃO
Neste trabalho foi apresentado um modelo de otimização de carteiras restrito ao mercado de
renda variável brasileiro e a estratégia de gestão passiva em fundos de pensão, utilizando-se
Fundos de Índice, conhecidos como ETFs.
Neste contexto, o Ibovespa e o IBrX-100 foram utilizados como índices de referência, por
serem considerados importantes indicadores de desempenho do mercado acionário brasileiro
e, além disso, por serem amplamente utilizados pelos fundos de pensão.
Foram discutidas as principais dificuldades da estratégia de indexação e foi apresentada a
formulação matemática de um modelo de otimização de carteiras, indexadas ao Ibovespa e ao
IBrX-100, com o objetivo de minimizar o erro de aderência. Para tanto foram utilizadas duas
medidas do erro de aderência, o Erro de Aderência Quadrático Médio e o Erro de Aderência
Absoluto Médio.
Para validar o modelo foram realizadas diversas simulações históricas e a primeira conclusão
do estudo é que os resultados da otimização foram muito semelhantes independentemente da
medida de erro de aderência utilizada.
60
Um segundo resultado obtido é que em função da alta volatilidade dos índices utilizados
como referência, os níveis de erros de acompanhamento observados foram consideravelmente
superiores aos encontrados em carteiras indexadas ao mercado acionário americano.
Para as carteira indexadas ao Ibovespa e ao IBrX-100, utilizando-se como ativos elegíveis
somente as ações pertencentes aos índices, parece haver uma pequena redução no valor dos
erros de acompanhamento realizados, a partir da inclusão de mais de 26 ativos, o que indica
que este é o número ótimo de ativos para a carteira otimizada.
Quando os Fundos de Índice são incluídos no conjunto de ativos elegíveis, os erros de
acompanhamento diminuem significativamente somente no caso do BOVA11, indicando que
a carteira otimizada tem um número ótimo de 2 ativos. Nestas carteiras, a alocação em
BOVA11 atinge o valor máximo permitido pela legislação vigente para investimentos em
fundos de pensão no Brasil, em todo o período estudado.
O mesmo não ocorre quando da inclusão do Fundo de Índice BRAX11, principalmente
devido ao reduzido patrimônio líquido deste fundo, que limita de forma significativa o
investimento por parte dos fundos de pensão.
Os resultados nos levam a concluir que os Fundos de Índice são instrumentos eficazes para
indexação de carteiras, porém o tamanho do patrimônio líquido é um fator limitante para
utilização destes, principalmente para grandes investidores institucionais. Daí a necessidade
de se ter uma carteira de gestão passiva híbrida, definida neste trabalho como uma estratégia
de indexação que contem, além dos ativos do índice de referência, ETFs indexados a este
índice. Isto permite ao investidor usufruir, ainda que de modo limitado, das vantagens que o
investimento em Fundos de Índice proporciona.
61
8 SUGESTÃO DE PESQUISA
Uma primeira sugestão é no sentido de retomar o estudo com a incorporação, no modelo de
otimização, da percepção do investidor em relação ao retorno e a volatilidade esperados dos
ativos, além da possibilidade de ocorrência de eventos extremos.
Como complemento a este trabalho, seria interessante a realização de testes estatísticos com o
objetivo de determinar o número ótimo de ativos para as carteiras otimizadas.
Por fim, a utilização de outros Fundos de Índice pode ser objeto de uma nova pesquisa assim
que o patrimônio líquido e o volume de negociação destes se tornar mais expressivo e for
disponibilizada uma série maior de dados.
62
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANSON, M. Institutional Portfolio Management: The mission and the mandate, Journal of Portfolio Management, v. 31, n. 4, p. 33-43, 2005. ANBIMA. Relatório de Fundos Consolidado Mensal. São Paulo, 2013. Disponível em: < http: //portal.anbima.com.br/informacoes-tecnicas/relatorios/fundos/consol-mensal/Pages/default .aspx>. Data de acesso: 05.04.2013. ARAGÃO, D. D. A eficiência da precificação e os erros de aderência dos Exchange Traded Funds do mercado brasileiro. São Paulo, 2011, 65f. Dissertação (Mestrado profissional em Finanças e Economia Empresarial) – Fundação Getúlio Vargas. BLACKROCK. ETP Landscape Global Handbook 2012. BlackRock Investment Institute, Reino Unido, 2012. Disponível em: <http://www.blackrockinternational.com/content/groups/ internationalsite/documents/literature/etfl_globalhandbook_2012.pdf>. Data de acesso: 09.01.2013. BLACKROCK. ETP Landscape Industry Highlights dez. 2012. BlackRock Advisors, Reino Unido, 2013a. Disponível em: <http://www.blackrockinternational.com/content/groups/ internationalsite/documents/literature/etfl_industryhilight_dec12.pdf>. Data de acesso: 09.01.2013. BLACKROCK. Investindo em Fundos de Índices (ETFs). O Melhor dos dois mundos. In: VI BRAZIL EQUITY IDEAS CONFERENCE. São Paulo, jan. 2013b. BLITZ, D.; HUIJ, J. Evaluating the Performance of Global Emerging Markets Equity Exchange-Traded Funds, Emerging Markets Review, v. 13, n. 2, p. 149-158, jun. 2012. BLOOMBERG. Base de dados. São Paulo, SP: Bloomberg, dez. 2012. BM&FBOVESPA. Relatório Anual 2011. São Paulo, 2012a. Disponível em: <http://www.bmfbovespa.com.br/pt-br/a-bmfbovespa/download/BMFBOVESPA-relatorio-Anual-2011.pdf>. Data de acesso: 09.12.2012. BM&FBOVESPA. Carteira Teórica do Ibovespa. São Paulo, 2012b. Disponível em: < http://www.bmfbovespa.com.br/indices/ResumoCarteiraTeorica.aspx?Indice=Ibovespa&idioma=pt-br>. Data de acesso: 09.12.2012.
63
BM&FBOVESPA. Carteira Teórica do IBrX. São Paulo, 2012c. Disponível em: < http://www.bmfbovespa.com.br/indices/ResumoCarteiraTeorica.aspx?Indice=IBrX&idioma=pt-br>. Data de acesso: 09.12.2012. BM&FBOVESPA. Boletim ETF dez 2012. São Paulo, 2013. Disponível em: <http://www.bmfbovespa.com.br/Etf/download/ETFs-Boletim-Mensal-1212.pdf>. Data de acesso: 09.12.2012. BORGES, E.; EID, W.; YOSHINAGA, E. Exchange Traded Funds versus Fundos Indexados no Brasil, Revista de Finanças Aplicadas, v. 1, p. 1-15, dez. 2012. BRASIL. Comissão de Valores Mobiliários: Instrução 359, 22.01.2002. Disponível em: <http://www.cvm.gov.br/asp/cvmwww/atos/exiato.asp?File=%5Cinst%5Cinst359.htm>. Data de acesso: 09.12.2012. BRASIL. Banco Central do Brasil: Resolução 3.792, de 24.09.2009. Disponível em: <http://www.bcb.gov.br/pre/normativos/res/2009/pdf/res_3792_v2_P.pdf>. Data de acesso: 09.12.2012. BRASIL. Banco Central do Brasil: Resolução 3.846, de 25.03.2010. Disponível em: <http://www.bcb.gov.br/pre/normativos/res/2010/pdf/res_3846_v1_O.pdf>. Data de acesso: 09.12.2012. CHIANG, W. Optimizing Performance. In A. Neubert, ed., Indexing for Maximizing Investment Results. Chicago: GPCo. Publishers, 1998. CHU, P.K.K. Study on the tracking errors and their determinants: evidence from Hong Kong Exchange Traded Funds (ETFs), Applied Financial Economics. v. 21, p. 309-315, 2011. DUARTE JR, A. M. Indexing portfolios in Brazil: Tracking the Ibovespa and the FGV100, Emerging Markets Quarterly , Nova York, v. 1, n. 1, p. 20-26, 1997. DUARTE JR, A. M. Gestão de Riscos para fundos de Investimentos. São Paulo: Prentice Hall, 2005. 175 p. ENGSTRÖM, S.; GRÖTTHEIM, R.; NORMAN, P.; RAGNARTZ, C. Alpha-Beta-Separation: From Theory to Practice. SSRN, mai. 2008. Disponível em: http://ssrn.com/abstract-1137673. Data de acesso: 09.12.2012. ELTON, J. E.; MARTIN, J. G.; COMER, G.; Li, K. Spider: Where are the Bugs?, Journal of Business. v. 75, n. 3, p. 453-472, 2002. ENGLE, R. E.; SARKAR, D. Pricing Exchange Traded Funds. New York University Working Paper, n.S-DRP-02-11, mai. 2002. FAPES. Política de Investimento 2013, Rio de Janeiro, 2012. Disponível em: <https://www.fapes.com.br/portal/main.jsp?lumChannelId=40E4E4CD0E9E34AF010E9E4F5DED067F>. Data de acesso: 09.01.2013.
64
FRINO, A.; GALLAGHER D.R. Tracking S&P 500 Index Funds, Journal of Portfolio Management, v. 28, n. 1, p. 44-55, 2001. FRINO, A.; GALLAGHER D.R. Is Index Performance Achievable?: An Analysis of Australian Equity Index Funds, Abacus, v. 38, n. 2, p. 200-214, 2002. GRUBER, M. Another Puzzle: The Growth in Actively Managed Mutual Funds, Journal of Finance, v. 55, n. 3, p. 783-810, 1996. INVESTMENTE COMPANY INSTITUTE. 2012 Investment Company Fact Book: A Review of Trends and Activity in the U.S. Investment Company Institute, 51.Washington: ICI, 2012. Disponível em: < http://www.ici.org/pdf/2012_factbook.pdf> . Data de acesso: 09.01.2013. JENSEN, M. The Performance of Mutual Funds in the period 1945-1964, Journal of Financial, v.23, n. 2, p. 389-416, mai. 1968. KEIM, D. An Analysis of Mutual Fund Design: The Case of Investing in Small-Cap Stocks, Journal of Financial Economics, v. 51, n. 2, p. 173-194, fev. 1999. MARKOWITZ, H. M. Portfolio selection, The Journal of Finance, v.7, n.1, p. 77-91, mar. 1952. MARKOWITZ, H. M. Portfolio selection: efficient diversification of investment. Nova York: Wiley, 1959. MATTOS, I. Z. Competição inter familiar - Exchange Traded Funds e fundos de investimentos passivos. São Paulo, 2011, 65f. Dissertação (Mestrado profissional em Finanças e Economia Empresarial) – Fundação Getúlio Vargas. PEROLD, A. The implementation Shortfall: Paper Versus Reality, Journal of Portfolio Management, v. 14, n. 3, p. 4-9, 1988. PEROLD, A.; SIRRI, E. R. The Cost of International Equity Trading. Harvard Business School Working Paper, n. 97–012, out. 1996. POPE, P.; YADAV, P. Discovering Errors in Tracking Error, Journal of Portfolio Management, v. 20, n. 2, p. 27-32, 1994. PREVIC. Série de Estudos: Divulgação das Despesas Administrativas do Exercício de 2011 das Entidades Fechadas de Previdência Complementar, n. 3. Brasília, 2012a. Disponível em: <http://www.mpas.gov.br/arquivos/office/1_121106-104412-276.pdf>. Data de acesso: 09.12.2012. PREVIC. Estatística Trimestral – setembro 2012. Brasília, 2012b. Disponível em: <http://previdencia.gov.br/arquivos/office/1_121218-095108-545.pdf>. Data de acesso: 09.12.2012. R-PROJECT. The R Manuals, 2012. Disponível em: <http://cran.r-project.org/manuals.html>. Data de acesso: 09.12.2012.
65
RUDD, A. Portfolio Management, Journal of Accounting, Auditing and Finance, v. 1, n. 3, p. 242-252, 1986. SHIN, S.; SOYDEMIR, G. Exchange-traded Funds, persistence in tracking errors and information dissemination, Journal of Multinational Financial Management, v. 20, n. 4–5, p. 214-234, dez. 2010. SVETINA, M. Exchange Traded Funds: performance and competition, Journal of Applied Finance, v. 20, n. 2, p. 130-145, 2010. SVETINA, M.; WAHAL, S. Exchange Traded Funds: Performance and Competition. Social Science Research Network Working Paper, n. 1303643, nov. 2008. WHITELAW, R.; BRUNO, S.; DAVIDOW, A. Alpha/Beta Separation Getting What You Pay For. IndexIQ, Nova York. Disponível em: <http://www.indexiq.com/docs /whitepapers/Alpha-Beta.pdf>. Data de acesso: 09.12.2012. YINYU, YE. Interior Algorithms for Linear, Quadratic and Linea rly Constrained Convex Programming. California, 1988, 65f. Dissertação (Ph.D. in Engineering-Economic Systems and Operations Research) – Stanford University.
YINYU, YE. Interior-Point Algorithms for Global Optimization, Annals of Operations Research, v. 25, p. 59-73, 1990.
66
APÊNDICE A – Exemplo de Script de Otimização de Carteira Indexada no R-project
Neste apêndice é apresentado, a título de ilustração, o script utilizado na segunda simulação,
onde o Ibovespa é o índice de referência e o BOVA11 foi incluído no conjunto de ativos
elegíveis com a restrição de alocação máxima de 89%. O Erro de Aderência minimizado neste
caso foi o EAQM (Erro de Aderência Quadrático Médio). As demais simulações foram
realizadas com scripts muito semelhantes ao apresentado, com pequenas alterações relativas
ao conjunto de ações elegíveis e a medida de erro a ser minimizada.
######################################## ########### Leitura dos dados ############# ########################################
rm(list=ls()) require(xlsReadWrite) require(fBasics) # Leitura da matriz de retornos dos ativos retornos=read.xls("C:\\Dadoshistoricos.xls",colNames=TRUE,sheet=1,checkNames=FALSE,type="double") # Leitura da matriz de preços dos ativos precos=read.xls("C:\\Dadoshistoricos.xls",colNames=TRUE,sheet=2,checkNames=FALSE,type="double") # Leitura da matriz de bid-ask spread dos ativos spread=read.xls("C:\\Dadoshistoricos.xls",colNames=TRUE,sheet=3,checkNames=FALSE,type="double") # Leitura da carteira teórica carteira=read.xls("C:\\Dadoshistoricos.xls",colNames=TRUE,sheet=4,checkNames=FALSE,type="data.frame")
67
############################################################# ########## Otimização de carteiras indexadas ao Ibovespa ############ #############################################################
require(alabama) require(Rsolnp) for(ativos in 2:30){ custo = 0.001 patrimonio=500000000 resultado_final=vector() carteira_final_geral=vector() carteira_final_geral1=vector() sequencia = c(19,42,63,83,103,124,145,164,186,206,228,248,269,292,311,333,352,370) ###################### # Funcao Carteira inicial # ###################### c_inicial= function(x=carteira,n=ativos,PL=patrimonio,p=precos,d=1){ DATA=rep(0,n) x=data.frame(x[1:n,],DATA) x[,4]=PL/n x[,5]=x[,4]/PL for(j in 1:n){ x[j,3]=p[d,which(colnames(p)==x[j,1])] x[j,2]=x[j,4]/x[j,3] x[j,6]=p[d,1] } x } c1_inicial= function(x=carteira_final,n=ativos,p=precos,d=126){ DATA=rep(0,n) x=data.frame(x[1:n,],DATA) for(j in 1:n){ x[j,3]=p[d,which(colnames(p)==x[j,1])] x[j,4]=x[j,2]*x[j,3] x[j,5]=x[j,4]/sum(x[,4]) x[j,6]=p[d,1] } x }
68
###################### # Funcao Retorno inicial # ###################### r_inicial = function(r = retornos,c=cart_inicial){ aux1 = numeric() for(i in 1:dim(c)[1]){ aux1 = c(aux1,which(colnames(r)==c[i,1])) } r[,aux1] } ################## # Cálculo do EAQM # ################## for(i in sequencia){ I = retornos[i:(i+125),104] # Retorno do Índice if(i==sequencia[1]) {cart_inicial=c_inicial(x=carteira,n=ativos,PL=patrimonio,p=precos,d=i+125)}else {cart_inicial=c1_inicial(x=carteira_final,n=ativos,p=precos,d=i+125)} a_i = cart_inicial[,4] # Estoque inicial em R$ a = sum(a_i) # Patrimônio R$ inicial da carteira alpha_i=a_i/a new_ret = r_inicial(r = retornos[i:(i+125),] ,c=cart_inicial) spread_i = spread[i+125,] ret_atual_i=new_ret%*%alpha_i E=ret_atual_i-I EDA1inicial=round(((sqrt(var(E)*125/126)+1)^252)-1,4) EDA1inicial rownames(EDA1inicial)=c("EDA1inicial") ############# # Otimização # ############# # Restrições: X_i >= 0 # PL inicial = PL final [Somatório (M_i)= 0] # Levando em conta os custos de transação # Função perda a ser minimizada EAQM eda1 = function(movimentacao) {M_i= movimentacao*a x_i = a_i + M_i R = (new_ret%*%x_i - sum((custo+spread_i)*(abs(M_i)))) E = R-(I*sum(x_i)) EDA1 = sum(abs(E))
69
EDA1} heq = function(movimentacao){ m = sum(movimentacao[1:ativos]) c(m) } hin = function(movimentacao){ g <- rep(0,ativos+2) for(i in 1:ativos){g[i] = movimentacao[i]} g[ativos+1]=sum(abs(movimentacao)) g[ativos+2]=movimentacao[1] g } if(i==sequencia[1]){per=5}else{per=0.2} fit2 = solnp(a_i/a, fun=eda1, eqfun = heq, eqB = c(0), ineqfun = hin, ineqLB = c(-(a_i/a),0,-(a_i[1]/a)), ineqUB = c(1-(a_i/a),per,0.89-(a_i[1]/a)) , LB = NULL, UB = NULL,control=list(outer.iter=400,rho=1,tol=1e-5,delta=1e-3)) Convergencia=fit2$convergence Tempo=round(fit2$elapsed,2) Iteracoes=fit2$outer.iter ######################## # Resultados da Otimização # ######################## TICKER=cart_inicial[,1] ESTOQUE= a_i + fit2$pars*a PARTICIPACAO=ESTOQUE/sum(ESTOQUE) COTACAO=cart_inicial[,3] QUANTIDADE=ESTOQUE/COTACAO DATA=cart_inicial[,6] # Carteira final carteira_final=data.frame(TICKER,QUANTIDADE,COTACAO,ESTOQUE, PARTICIPACAO,DATA) # Total carteira inicial PLinicial=round(sum(a_i)) # Total carteira final PLfinal=round(sum(ESTOQUE)) # Total do giro da carteira Giro=round(sum(abs(a_i-ESTOQUE)))
70
# Cálculo do EAQM alpha_i=ESTOQUE/sum(ESTOQUE) ret_atual_i=new_ret%*%alpha_i E=ret_atual_i-I EDA1final= round(((sqrt(var(E)*125/126)+1)^252)-1,4) rownames(EDA1final)=c("EDA1final") # Carteira Inicial x Carteira final colnames(EDA1inicial)=DATA[1] resultado_final=cbind(resultado_final,rbind(Convergencia,Tempo,Iteracoes,PLinicial,EDA1inicial,PLfinal,EDA1final,Giro)) carteira_final_geral=rbind(carteira_final_geral,carteira_final,rep(999999999,5)) carteira_final_geral1=rbind(carteira_final_geral1,carteira_final) } grava1 = paste("C:\\Carteira",ativos,".csv",sep="") grava2 = paste("C:\\Otimizacao",ativos,".csv",sep="") write.csv2(carteira_final_geral1, file = grava1,sep = " ",dec = ".") write.csv2(resultado_final, file = grava2,sep = " ",dec = ".") }
############################################################# ########## Simulação Histórica ############ #############################################################
############################## # Leitura das Carteiras Otimizadas # ############################## matriz_erros = vector() for(n in 2:30){ leitura1 = paste("C:\\Carteira",n,".csv",sep="") cart = read.csv2(file = leitura1,sep=";", dec = ",") cart=cart[,-1] ticker=as.vector(cart[1:n,1]) ################################################# # Leitura dos arquivos de preços e Inclusão de quantidades # ################################################# aux1=numeric();for(i in 1:n){aux1=c(aux1,which(colnames(precos)==ticker[i]))} arquivo_precos=data.frame(precos[,c(1,aux1)],matrix(0,dim(precos[,c(1,aux1)])[1],n)) k=n for(j in 1:dim(arquivo_precos)[1]){ if(arquivo_precos[j,1]>cart[k+1,6]){k=k+n}
71
arquivo_precos[j,(n+2):((2*n)+1)]=cart[(k-n+1):k,2] } arquivo_precos=arquivo_precos[-(1:144),] ########################################## # Cálculo do Erro de Acompanhamento Realizado # ########################################## alocacao = rowSums(arquivo_precos[,2:(n+1)]*arquivo_precos[,(n+2):((2*n)+1)]) retorno_carteira = (alocacao[2:(length(alocacao))]/alocacao[1:(length(alocacao)-1)])-1 EDA= cbind(retorno_carteira-retornos[-(1:145),104]) colnames(EDA)=paste(n,"- Ativos") matriz_erros = cbind(matriz_erros,EDA) } ############################################ # Cálculo dos Quartis do Erro de Acompanhamento # ############################################ quartil1 = numeric() for(i in 1:29){ quartil1 = rbind(quartil1,fivenum(matriz_erros[,i])) } quartil1=quartil1*100 plot(seq(2,30),quartil1[,3],ylim=c(min(quartil1[,2]),max(quartil1[,4])), xlab="No. de ativos utilizados para rastrear o IBOV ",ylab="Erro de Aderência realizado (%)",type="l",col="red") points(seq(2,30),quartil1[,2],type="l",col="blue") points(seq(2,30),quartil1[,4],type="l",col="blue") abline(h=0);abline(v=c(5,10,15,20,25,30),lty=3) title(main="Evolução do Erro de Aderência (IBOV)") ################################################### # Cálculo dos Quartis do Erro de Acompanhamento Absoluto # ################################################### matriz_erros_abs=abs(matriz_erros) quartil3 = numeric() for(i in 1:29){ quartil3 = rbind(quartil3,fivenum(matriz_erros_abs[,i])) } quartil3=quartil3*100
72
plot(seq(2,30),quartil3[,3],ylim=c(min(quartil3[,2]),max(quartil3[,4])), xlab="No. de ativos utilizados para rastrear o IBOV ",ylab="Erro de Aderência Absoluto (%)",type="l",col="red") points(seq(2,30),quartil3[,2],type="l",col="blue") points(seq(2,30),quartil3[,4],type="l",col="blue") abline(h=0);abline(v=c(5,10,15,20,25,30),lty=3) title(main="Evolução do Erro de Aderência Absoluto (IBOV)") write.csv2(quartil1, file = "C:\\Quartis Erro de Acompanhamento.csv",sep = " ",dec = ".") write.csv2(quartil3, file = "C:\\Quartis Erro de Acompanhamento Absoluto.csv",sep = " ",dec = ".")
73
APÊNDICE B - Erros de aderência dos ETFs listados no Brasil
O Erro de Aderência Quadrático Médio (EAQM), fórmula (4.9), é o cálculo considerado na
Instrução CVM Nº 359, de 22 de janeiro de 2002 que dispõe sobre a constituição, a
administração e o funcionamento dos Fundos de Índice (ETFs), com cotas negociáveis em
bolsa de valores ou mercado de balcão organizado (BRASIL [2002]).
No artigo 35 da Instrução CVM Nº 359 são estabelecidos limites para o erro de aderência e
para a diferença entre a rentabilidade do ETF e seu índice de referência, também denominado
erro de acompanhamento. Estes podem ser resumidos como:
I. Erro de aderência ≤ 2%, sendo este calculado como o desvio padrão populacional das
diferenças entre a variação percentual diária do fundo e a variação percentual do valor
de fechamento do índice de referência nos últimos 60 (sessenta) pregões;
II. Diferença entre a rentabilidade acumulada do fundo e do valor de fechamento do
índice de referência, em um período de 60 (sessenta) pregões ≤ 2%;
III. Diferença entre a rentabilidade acumulada do fundo e do valor de fechamento do
índice de referência em um período de 12 (doze) meses ≤ 4%.
Se estes limites forem ultrapassados, e não reenquadrados no prazo de 15 dias, o
administrador do fundo deve convocar uma assembléia geral para explicar as razões que
motivaram o elevado nível de erro de aderência ou a diferença de rentabilidade, devendo nesta
74
ocasião haver deliberação sobre a extinção ou não do fundo e substituição ou não do
administrador.
Para todos os ETFs listados na BM&FBOVESPA, foram calculados os erro de aderência
segundo a fórmula (4.9), além da diferença de rentabilidade acumulada, conforme descrito na
legislação vigente. Os dados encontram-se na tabela 11.
Tabela 11 – Erros de aderência dos ETFs listados na BM&FBOVESPA
O Erro de Aderência Quadrático Médio (EAQM) calculado com base em dados diários para o
período que compreende a data de listagem específica de cada ETF e 28/12/2012 variou de
0,39% a 1,56%. Estes valores corroboram a tese de que os erros de aderência dos ETFs
brasileiros são significativamente maiores que os encontrados em estudos anteriores para o
mercado acionário americano.
Código Índice de ReferênciaData de
listagemErro de Aderência
(Desvio Padrão)
Diferença de
Rentabilidade
Acumulada
Erro de Aderência (Desvio Padrão)
(60 pregões)
Diferença de
Rentabilidade
Acumulada (60 pregões)
Diferença de
Rentabilidade
Acumulada (12 meses)
PIBB11 Índice IBrX-50 26/07/2004 0,77% 1,66% 0,46% 0,41% 1,40%
SMAL11 Índice Small Cap 19/11/2008 0,98% -8,91% 0,99% -0,14% -0,52%
MILA11 Índice MidLarge Cap 19/11/2008 0,80% 1,44% 0,61% 0,94% -1,00%
BOVA11 Índice Bovespa- Ibovespa 19/11/2008 0,43% -3,64% 0,29% -0,26% -0,77%
MOBI11 Índice Imobiliário - MOBI 23/12/2009 0,90% -0,88% 0,66% -0,55% -0,54%
CSMO11 Índice de Consumo - CSMO 23/12/2009 0,75% -1,93% 0,46% -0,14% -0,77%
BRAX11 Índice Brasil - IBrX-100 23/12/2009 0,65% -0,95% 0,63% 0,51% -0,54%
MATB11 Índice de Materiais Básicos - IMAT 31/01/2011 1,01% -0,75% 0,95% 0,53% -
FIND11 Índice Financeiro - IFNC 07/04/2011 0,99% -0,82% 0,56% 0,41% -0,39%
ISUS11 Índice de Sustentabilidade Empresarial - ISE 31/10/2011 1,56% -0,66% 2,56% -0,70% -0,66%
GOVE11 Índice de Governança Corporativa - IGCT 31/10/2011 0,39% -1,18% 0,14% -0,05% 0,26%
DIVO11 Índice Dividendos - IDIV 31/01/2012 0,65% -0,44% 0,88% -0,88% -
UTIP11 Índice de Utilidade Pública (UTIL) 15/05/2012 0,91% -0,24% 1,13% -0,12% -
ECOO11 Índice Carbono Eficiente (ICO2) 08/06/2012 0,60% -0,17% 0,59% 0,92% -
XBOV11 Índice Bovespa- Ibovespa 12/11/2012 0,80% 2,26% - - -
Nota: Dados referentes ao final de 2012.
ETFs Desde a data listagem Legislação
Fonte: BLOOMBERG [2012] Elaboração: Própria
75
Já o EAQM considerando-se os dados diários dos últimos 60 pregões de 2012, conforme a
legislação vigente, permaneceu abaixo do limite de 2% para todos os ETFs com exceção do
ISUS11, que busca replicar o Índice de Sustentabilidade Empresarial - ISE.
Em relação à diferença de rentabilidade acumulada, ou seja, o erro de acompanhamento, todos
os ETFs ficaram abaixo do limite de 4% tanto nos últimos 60 pregões de 2012 quanto no
período de 12 meses anteriores a 28/12/2012.
76
ANEXO A – Características dos ETFs listados no Brasil
A seguir são apresentadas as fichas, coletadas no site da BM&FBOVESPA em 10/12/2012,
com uma breve descrição dos 15 Fundos de Índices atualmente listados na bolsa brasileira,
além de suas alocações setoriais e principais características de negociação.
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