incorporar idéias matemáticas provenientes da África na … · nientes da África na educação...

Quipu, vol. 14, núm. 1enero-abril de 2012, pp. 93-108.

Incorporar idéias matemáticas provenientes da África na

educação matemática no Brasil?*

* Versão abreviada de uma conferência paralela apresentada na XIII Congresso Interameri-cano de Educação Matemática, 27 de Junho de 2011, Universidade Federal de Pernambu-co, Recife, Brasil.

** Professor visitante (CAPES). Universidades de São Paulo. Centro Moçambicano de Pes-quisa Etnomatemática.

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Summary

The paper informs and reflects about some activities that envisage the in-corporation of mathematical ideas coming from Africa into mathematics education in Brazil. In particular, it informs about the activities of the “Brazil-Africa: Intercrossing of Histories,” a collaborative effort of the Brazilian Ministry of Education and UNESCO, and about the course “Ex-ploration of mathematical aspects of African, Afro-Brazilian and Indige-nous cultures in mathematics education” at the University of São Paulo.

Ao refletirmos sobre a possível incorporação de idéias matemáticas prove-nientes da África na educação nas Américas, a primeira questão que se

levanta é “Será que já acontece?” Será que as meninas e os meninos no Brasil (e nas Américas em geral) já aprendem, na escola, algumas idéias matemáticas concebidas e desenvolvidas em África?

Por exemplo, aprendem a utilizar símbolos? Utilizam todos os dias sím-bolos, dentro e fora da escola? Alguns usam o telefone celular, com diversos símbolos? Utilizam todos os dias abreviaturas (+, -, x, :) para as operações arit-méticas? Donde vem esta idéia?

PAULUS GERDES**

http://www.revistaquipu.com

Quipu, enero-abril de 201294

Donde vem? A partir do século 12 elaborou-se, no Noroeste de África, um instrumento

científico novo, um simbolismo aritmético e algébrico, como se explica no texto seguinte preparado pelo autor para professores do ensino fundamental no âmbi-to do Projeto “Brasil-África: Histórias Cruzadas.”

Notações matemáticas provenientes de África

Será que no Brasil se utilizam diariamente idéias matemáticas que têm a sua origem em África?

Será que todos os alunos e todos os professores de matemática no Brasil utilizam algumas notações que vêm do continente africano?

A resposta parcial que se apresenta no texto a seguir pode surpreender...

Costuma-se falar em ‘números árabes’, referindo-se à notação 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e 0 para os números de um até nove, e para zero e à continuação da construção decimal posicional 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, etc.

A idéia e a notação dum sistema decimal posicional, de origem indiana, foram introduzidas e aproveitadas nas culturas islâmicas, em particular, para as transações comerciais. Noutras esferas da vida continuavam-se a utilizar vários outros sistemas de numeração, como, por exemplo, a numeração alfabética, em que se empregavam vinte e oito letras do alfabeto árabe para representar os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (unidades), 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 (de-zenas), 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 (centenas) e 1000.

Os chamados ‘números árabes’ utilizados progressivamente, a partir do sé-culo 9, no ‘Oriente’, desde da Ásia central até ao Egito, e mais tarde em algumas regiões ao sul da Saara onde a Islã se estabeleceu, são os seguintes dez símbolos:

Numerais do Oriente [reproduzido de Djebbar, Les sciences arabes..., p. 220]Figura 1

Contudo, no ‘Ocidente’ muçulmano, ou seja, primeiro no Maghreb (Noroes-te de África) e depois na Andaluzia (na Península ibérica), se transformaram e se utilizaram, desde o século 11, os símbolos de origem indiana até obterem a forma 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.


Incorporar idéias matemáticas provenientes da África na educação matemática... 95

É esta forma que mais tarde se transmitiu para outros países da Europa e do Mundo, inclusive o Brasil. Por outras palavras, a variante da notação decimal posicional que se utiliza e se ensina no Brasil vem do noroeste de África me-dieval.1

Cientistas do ‘Ocidente’ muçulmano desempenharam um papel importante no desenvolvimento da matemática, em particular, do século 11 ao século 15. Eles escreviam na língua árabe, mas isto não significa que os próprios cientistas eram árabes. Em geral, eram norte-africanos como, por exemplo, Ibn al-Banna (1256-1321), Uqbani (1320-1408) e Ibn Qunfuh (1339-1407), ou da Andaluzia como o geômetra Al-Mutaman, que foi rei da Zaragossa de 1081 a 1085. Às vezes, os matemáticos do ‘Ocidente’ muçulmano tinham uma origem diferente, como veremos.

Uma contribuição importantíssima do Maghreb medieval para o desenvol-vimento internacional da matemática foi a idéia de substituir palavras para des-crever várias operações aritméticas por símbolos. Observe o texto seguinte do século 12:

Parte dum manuscrito do Maghreb (século 12) [reproduzido de Djebbar, L’algèbre árabe..., p. 93]

Figura 2

Trata-se dum texto na língua árabe, escrito da direita para a esquerda (e não como em Português da esquerda para a direita). Mesmo assim, escrito em Ára-be, o leitor brasileiro reconhece-se imediatamente frações como

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14

e

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110

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1. Para mais informações, vide: Djebbar, Ahmed, Une histoire de la science árabe, Paris, Éditions du Seuil, 2001; Djebbar, Ahmed & Moyon, Marc, Les sciences arabes en Afrique: Mathématiques et Astronomie (IXe – XIXe siècles), Paris, Editions Grandvaux-Vecmas, 2011.



É o texto mais antigo, na medida em que se sabe hoje, em que aparece o fa-moso traço para representar uma fração, com o numerador em cima do traço e o denominador em baixo. Todas as crianças nas escolas brasileiras aprendem esta idéia e notação originárias do norte de África. O matemático que provavelmente tenha introduzido este símbolo e tenha sido o autor do texto referido, chama-se Abdallah Ibn al-Yasamin.

Ibn al-Yasamin significa filho da flor jasmim. A mãe dele era chamada flor de jasmim. A mãe era uma escrava negra, proveniente da África ao sul do Saara. O pai era um norte-africano da população Berbere. Tendo tido um filho com um homem ‘livre’, a mãe, em concordância com a lei da época, ganhou a liberdade. O ‘filho sem pai’, descrito na época como ‘tão negro como a mãe’, educado inicialmente pela ‘flor de jasmim’, estudou em Sevilha (Andaluzia) e tornou-se um matemático, jurista e poeta famoso.

Como professor teve a idéia de escrever poemas para facilitar a aprendiza-gem da matemática por parte dos seus alunos. Durante séculos os seus ‘poemas matemáticos’ foram decorados pelos estudantes.

Não se conhecem bem as razões, talvez pelo seu sucesso que teve ou pelas posições publicamente assumidas, Ibn al-Yasamin foi assassinado em 1204 em Marrakech nos Marrocos. Crianças no Brasil e em muitas partes do mundo atual aprendem algumas idéias e símbolos originados pelo ‘filho da flor jasmim’ ou do seu tempo e cultura.

Outro exemplo de uma notação simbólica concebida no Maghreb é uma para equações. Em vez de descrever uma equação quadrática em extenso por palavras, por exemplo, “3 x ao quadrado mais 5 x é igual a 7”, ela pode ser abre-viada como ilustra a Figura 3. Os símbolos que aparecem num texto do século 12, mais uma escrita da direita para a esquerda, parecidos com as letras J e Y, representam os sinais de igualdade (=) e de subtração (-).

À direita a representação de duas equações quadráticas conforme um manuscrito do noroeste africano do século 12;

à esquerda o equivalente atualmente utilizado nas escolas das AméricasFigura 3

Será somente no ensino fundamental que se utilizam idéias matemáticas concebidas em África? Será que os estudantes de várias faculdades das univer-sidades nas Américas aprendem, nos seus cursos, algumas idéias matemáticas concebidas em África?



Exemplo do ensino superior

Apresentemos um exemplo. Muitos estudantes universitários aprendem o chamado ‘Triângulo de Pascal’. O matemático francês Blaise Pascal viveu

no século 17 (1623-1662). Observe agora, na Figura 4, uma parte de um ma-nuscrito do século 13, descoberto e analisado no final do século 20 pelo mate-mático-historiador argelino Ahmed Djebbar.2 Nas colunas verticais lêem-se, da esquerda para a direita, as linhas horizontais do ‘Triângulo de Pascal’: 1; 1 2 1; 1 3 3 1; 1 4 6 4 1; etc., e isto quatro séculos antes de Pascal. Este triangulo arit-mético aparece num livro de lingüística matemática elaborado por Ibn Mun’im (m. 1228). O título do livro de Ibn Mun’im é A ciência do cálculo e contém as fórmulas básicas da análise combinatória, séculos antes de Cardano, Tartaglia, Mersenne, Frenicle na Europa... , mas as fórmulas ainda são transmitidas no ensino superior como se fossem as fórmulas de Cardano, Tartaglia, Mersenne, Frenicle...

Triângulo aritmético de Ibn Mun’imFigura 4

Da mesma maneira podem-se dar outros exemplos a diversos níveis do en-sino.

2. Cf. Djebbar & Moyon, Ibídem.



Podemos concluir que já existem idéias matemáticas originárias do conti-nente africano que são incorporadas no ensino da matemática no Brasil e noutros países das Américas. No entanto, esta incorporação acontece inconscientemen-te, implicitamente ou ‘às escondidas’, porque a grande maioria dos professores não conhece a origem histórica das mesmas idéias.

Existirão outras possibilidades de incorporação explícita de idéias matemá-ticas concebidas em culturas africanas na educação matemática no Brasil e quais serão alguns objetivos a alcançar?

Contexto legal e o Projeto “Brasil-África: Histórias Cruzadas”

A Lei 10.639 de 2003 tornou obrigatório o ensino de História e Cultura Afro-Brasileira em todo o currículo escolar do Brasil. Esta lei preconiza que

o conteúdo programático deve incluir “o estudo da História da África e dos Africanos, a luta dos negros no Brasil, a cultura negra brasileira e o negro na formação da sociedade nacional, resgatando a contribuição do povo negro nas áreas social, econômica e política pertinente à História do Brasil”.

O Ministério de Educação do Brasil, em parceria com a UNESCO, está a im-plementar e a incentivar projetos – tal como o Projeto “Brasil-África: Histórias cruzadas” – que visam a elaboração de material didático, tanto para a formação de professores como para todos os níveis de ensino, sobre a contribuição afri-cana e afro-brasileira para o desenvolvimento do país. Pressupõe-se que para cumprir a lei seja indispensável que o professor disponha de subsídios e mate-riais para desenvolver atividades que promovam “a valorização e o reconhe-cimento da diversidade étnico-racial, a partir do enfrentamento de culturas e práticas discriminatórias e racistas presentes no cotidiano das escolas, as quais excluem e penalizam crianças, jovens e adultos negros e comprometem a garantia do direito à educação de qualidade para todos” – como se pode ler no documento Contribuições à Implantação da Lei 10.639.

Por ainda haver pouca experiência no Brasil com a incorporação explícita de idéias matemáticas oriundas de culturas africanas na educação matemática,3 o autor foi contatado, em Maio de 2010, pela coordenação do Projeto “Brasil-África: Histórias Cruzadas” a fim a aconselhá-la a este respeito. Este Projeto elabora a coleção Brasil e África: Histórias Cruzadas como contribuição para

3. Cf. Costa, W. N. G. & Silva, Vanísio Luíz da, “Matemática mítico-religiosa-corporal do negro brasileiro”, Scientific American (Edição brasileira), num. 11, 2005: 94-98; Cunha Júnior, Enrique, Matemática e cultura africana e afrobrasileira – Afroetnomatemática, África e afrodescendência, 2005; Santos, Eliane Costa, “As ‘ticas’ de ‘matema’ de um povo africano: um exercício para sala de aula brasileira”, Revista Latinoamericana de Etnomatemática, vol. 1, núm. 2, 2008: 27 – 50; Silva, Vanísio Luíz da, A cultura negra na escola pública: uma perspectiva etnomatemática, Tese de mestrado, Universidade de São Paulo, 2008, 204 p.



implantar a Lei 10.639/2003. Esta coleção propõe-se a responder ao desafio de enraizar a referida Lei nas escolas brasileiras de Educação Básica, desde a Educação Infantil até o Ensino Médio. Para tanto, a coleção pretende apresentar textos e orientações de atividades a serem desenvolvidas em sala de aula, no período letivo, em articulação com as demais exigências curriculares. Até ao momento já foram concluídas as primeiras versões dos livros para professores da Educação Infantil e do primeiro nível do Ensino Fundamental. Seguirão li-vros para professores dos outros níveis de ensino e livros e outros materiais didáticos para alunos de todos os níveis de ensino. Os livros estão a ser ela-borados por uma equipa de pedagogos, baseando-se em textos previamente preparados por especialistas de diversas áreas do saber (línguas, antropologia, história, geografia, ciências naturais, dança, musica, arte e matemática). Estes textos provisórios e de base são discutidos e analisados em reuniões conjuntas da coordenação, dos pedagogos e dos vários especialistas. O autor participa nestes encontros, tendo sensibilizado os demais membros de toda a equipa quanto a algumas contribuições matemáticas do continente africano. Preparou vários textos sobre idéias matemáticas de África, incluindo sugestões de ativi-dades para a sala de aula (Vide Apêndice A para a lista dos textos elaborados até finais de Dezembro de 2010).

Idéias matemáticas em África

A história da matemática em África, em geral, e de idéias matemáticas nas culturas ao Sul da Saara, em particular, ainda não era bem conhecida nos

anos 1980. Para estimular tanto a pesquisa como a disseminação da história da matemática do continente africano, a União Matemática Africana (AMU), reu-nida no segundo congresso pan-africano de matemáticos, realizada em Jos na Nigéria em 1986, criou uma comissão para a história da matemática em África (AMUCHMA), coordenada, desde então, pelo autor e pelo professor argelino Ahmed Djebbar. Devido às pesquisas efetuadas nos últimos trinta anos, já se sabe hoje bastante mais sobre idéias matemáticas na história africana. A AMU-CHMA tem publicado um boletim informativo e contribuído para a organização de diversos seminários e conferências. Publicou-se igualmente uma bibliografia anotada sobre matemática na história e culturas africanas,4 um catálogo históri-co de africanos doutorados em matemática ou em educação matemática5 e edi-tou-se uma coletânea de dois volumes dos boletins informativos da comissão,

4. Gerdes, Paulus & Djebbar, Ahmed, Mathematics in African History and Cultures. An annotated Bibliography, Morrisville NC, União Matemática Africana & Lulu, 2007, 430 p.

5. Gerdes, Paulus, African Doctorates in Mathematics: A Catalogue, Morrisville NC, African Mathematical Union & Lulu, 2007, 383 p.



Volume 1: 1986-1999; Volume 2: 2000-2011.6 No contexto do Projeto e como professor visitante da Universidade de São Paulo (1º semestre de 2011), o autor tem ministrado várias palestras sobre diversas idéias matemáticas na história e culturas africanas, em várias universidades e outras instituições educacionais do Brasil (Vide Apêndice B para a relação das palestras realizadas).

Curso na Universidade de São Paulo

No primeiro semestre de 2011, o autor lecionou, a convite da professora Ma-ria do Carmo Domite, coordenadora do Grupo de Pesquisa em Etnomate-

mática da Faculdade de Educação da USP, a disciplina intitulada “Exploração de aspectos matemáticos de culturas africanas, afro-brasileiras e indígenas na edu-cação matemática”. Esta disciplina visa uma reflexão crítica sobre as possibili-dades de explorar idéias matemáticas de diversos contextos culturais africanas, afro-brasileiras e indígenas em vários níveis de educação, desde o infantil até ao universitário, incluindo a formação de professores de matemática para esses níveis. A partir da leitura de pesquisas e da experimentação realizada durante as aulas, os estudantes refletiram sobre a própria aprendizagem de aspectos mate-máticos desses contextos culturais e sobre as possibilidades de incorporação de atividades culturais africanas, afro-brasileiras e indígenas no ensino e aprendi-zagem da matemática. As atividades contempladas variaram desde as artes – a cestaria, a cerâmica, o desenho entre outras –, a pesca, os jogos, a comunicação, a representação gráfica até a numeração e à contagem. O curso visou contribuir para com o desenvolvimento de algumas ferramentas para poder analisar alguns aspectos matemáticos em vários contextos culturais e a refletir e a experimentar com a incorporação de alguns desses elementos no ensino e aprendizagem da matemática em escolas brasileiras. Os estudantes experimentaram com alguma atividade de origem africana, afro-brasileira ou indígena na sala de aula e rela-taram e apresentaram a experiência no final do curso.

Um dos objetivos do curso foi despertar o interesse e promover um diálogo sobre aspectos matemáticos nas atividades culturais africanas e indígenas, assim como refletir sobre o potencial para a educação matemática, desde a motivação de todos os alunos, em particular, os alunos afro-brasileiros e indígenas, passan-do pela promoção da valorização mútua dos alunos de diversas origens culturais distintas, até à diminuição – no contexto das leis 9394/1996 e 10.639/2003 – de sentimentos e preconceitos racistas em nível dos professores e alunos relativos às habilidades e contribuições científicas dos povos africanos e indígenas. Outro objetivo residiu em refletir sobre atividades práticas culturais africanas e indíge-

6. Gerdes, Paulus & Djebbar, Ahmed, History of Mathematics in África: AMUCHMA 25 Years, 2 volumes, Morrisville NC, União Matemática Africana & Lulu, 2011, 924 p.



nas e tanto compreender como aprender a metodologia de pesquisa de aspectos matemáticos nelas integrados, tendo em vista em particular, uma possível explo-ração desses aspectos na educação matemática.

Os principais temas analisados são:

1. Arte e cestaria africanas e indígenas – entrelaçamentos na matemática e edu-cação: Desde o estudo de polígonos e poliedros até a modelagem matemática na química.7

2. Comunicação em tradições africanas e sistemas gráficos: Exploração na edu-cação matemática (algoritmos, sistemas de coordenadas, mmc, etc.) e potencial científico (teoria de design e matrizes).8

3. Da arte e decoração africanas e indígenas ao Teorema de Pitágoras: Reflexão sobre diversas variantes heurísticas para os alunos poderem descobrir o Teore-ma de Pitágoras e demonstrações do mesmo teorema e outros teoremas relacio-nados.9

4. Sistemas numéricos em culturas africanas e indígenas: Reflexão sobre o ensi-no e a aprendizagem da aritmética, língua materna e língua do ensino.10

5. Jogos intelectuais africanos e indígenas: Exploração na educação matemática e em atividades de lazer.11

No contexto do curso e do trabalho como professor visitante enquadra-se também a co-supervisão de algumas teses de pós-graduação, que visam à re-

7. Cf. Gerdes, Paulus, Otthava: Fazer Cestos e Geometria na Cultura Makhuwa do Nordeste de Moçambique, Nampula, Universidade Lúrio & Morrisville NC, Lulu, 2007, 292 p.; Gerdes, Paulus, Sipatsi: Basketry and Geometry in the Tonga Culture of Inhambane (Mozambique, Africa), Morrisville NC, Lulu, 2009, 422 p.; Gerdes, Paulus, Tinhlèlo, Entrecruzando Arte e Matemática: Peneiras Coloridas do Sul de Moçambique, Morrisville NC, Lulu, 2010, 132 p.; Gerdes, Paulus, Mulheres, Cultura e Geometria na África Austral, Morrisville NC, Lulu, 2011, 200 p.; Gerdes, Paulus, Mundial de Futebol e de Trançados, Morrisville NC, Lulu, 2011, 76 p.

8. Cf. Gerdes, Paulus, Geometria Sona de Angola: Matemática duma Tradição Africana, Morrisville NC, Lulu, 2008, 244 p.; Gerdes, Paulus, Da etnomatemática a arte-design e matrizes cíclicas, Belo Horizonte, Editora Autêntica, 2010, 182 p.; Gerdes, Paulus, Desenhos de Angola: Viver a matemática, São Paulo, Editora Diáspora, 2010.

9. Cf. Gerdes, Paulus, Pitágoras Africano: Um estudo em Cultura e Educação Matemática, Morrisville NC, Lulu, 2011, 118 p.

10. Cf. Gerdes, Paulus (coordenação), A numeração em Moçambique: Contribuição para uma reflexão sobre cultura, língua e educação matemática, Morrisville NC, Lulu, 2008, 186 p.

11. Cf. Gerdes, Paulus, Etnomatemática: Reflexões sobre Matemática e Diversidade Cultural, Ribeirão, Edições Húmus, 2007, 281 p.



flexão sobre as possibilidades de contribuir para a implantação das referidas leis ao nível da educação matemática, tanto escolar como na formação de professo-res. Visa igualmente a preparação de quadros para poder acompanhar, testar e melhorar os materiais elaborados no âmbito do Projeto “Brasil-África: Histórias Cruzadas”.

Coleção “Etnomatemática em África e nas Américas”

No intuito de apoiar a implantação do Projeto “Brasil-África: Histórias Cru-zadas” e de ter materiais suplementares disponíveis para as secretarias de

educação, para professores e alunos, a Editora Diáspora em São Paulo criou a coleção “Etnomatemática em África e nas Américas”. Até ao momento re-publicou o livro infantil Desenhos de Angola: Viver a Matemática12 e outros livros estão no prelo.13

Desafio novo

A incorporação de idéias matemáticas oriundas de culturas africanas na edu-cação matemática no Brasil, na perspectiva das leis de combate a racismo,

de promoção da diversidade cultural e da valorização das contribuições africa-nas para com a cultura brasileira, constitui um desafio novo para a cooperação e a colaboração Sul-Sul – América do Sul e África –, no domínio específico da educação matemática. Muitas questões se levantam e estas estimularão certa-mente a pesquisa conjunta.

Bibliografia

Costa, W. N. G. & Silva, Vanísio Luíz da, “Matemática mítico-religiosa-corpo-ral do negro brasileiro”, Scientific American (Edição brasileira), num. 11, 2005: 94-98.

Cunha Júnior, Enrique, Matemática e cultura africana e afrobrasileira – Afro-etnomatemática, África e afrodescendência, 2005. Disponível na página: www.tvebrasil.com.br/ salto/boletins2005/

Djebbar, Ahmed, “Ibn al-Yasamin”, Selin, H. (ed.), Encyclopedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Dordrecht, Kluwer, 1997, pp. 414-415.

12. Gerdes, Paulus, Desenhos de Angola... op. cit.13. Cf. Gerdes, Paulus, Geometria Sona de Angola... op. cit.; Gerdes, Paulus, Mundial de

Futebol... op.cit.



______ , L’algèbre arabe: Genèse d’un art, Paris, Vuibert, 2005.______ , Une histoire de la science árabe, Paris, Éditions du Seuil, 2001.Djebbar, Ahmed & Moyon, Marc, Les sciences arabes en Afrique: Mathéma-

tiques et Astronomie (IXe – XIXe siècles), Paris, Editions Grandvaux-Vec-mas, 2011, 191 p.

Gerdes, Paulus (coordenação), A numeração em Moçambique: Contribuição para uma reflexão sobre cultura, língua e educação matemática, Morrisville NC, Lulu, 2008, 186 p. (Edição original 1993).

______ , African Doctorates in Mathematics: A Catalogue (Prefácio: Mohamed Hassan), Morrisville NC, African Mathematical Union & Lulu, 2007, 383 p.

______ , Da etnomatemática a arte-design e matrizes cíclicas (Prefácio: Mar-celo Borba; Posfácio: Ubiratan D’Ambrosio), Belo Horizonte, Editora Au-têntica, 2010, 182 p.

______ , Desenhos de Angola: Viver a matemática, São Paulo, Editora Diáspo-ra, 2010 (Original: São Paulo, Editora Scipione, 1990).

______ , Etnomatemática: Reflexões sobre Matemática e Diversidade Cultural (Prefácio: Jaime Carvalho e Silva), Ribeirão, Edições Húmus, 2007, 281 p.

______ , Geometria Sona de Angola: Matemática duma Tradição Africana (Prefácio: Artur Powell), Morrisville NC, Lulu, 2008, 244 p. (Edição origi-nal 1993).

______ , Mulheres, Cultura e Geometria na África Austral, Morrisville NC, Lulu, 2011, 200 p. (Edição original 1996)

______ , Mundial de Futebol e de Trançados (Prefácio: Maria do Carmo Domi-te, Rodrigo Abreu & Eliane dos Santos), Morrisville NC, Lulu, 2011, 76 p.

______ , Otthava: Fazer Cestos e Geometria na Cultura Makhuwa do Nordeste de Moçambique (Prefácio: Abdulcarimo Ismael; Posfácio: Mateus Katu-pha), Nampula, Universidade Lúrio & Morrisville NC, Lulu, 2007, 292 p.

______ , Pitágoras Africano: Um estudo em Cultura e Educação Matemática, Morrisville NC, Lulu, 2011, 118 p. (Edição original 1992)

______ , Sipatsi: Basketry and Geometry in the Tonga Culture of Inhamba-ne (Mozambique, Africa) (Prefácio: Alcido Nguenha; Posfácios: Hippolyte Foffack, Joan Conolly), Morrisville NC, Lulu, 2009, 422 p. (Suplemento colorido 56 p.)

______ , Tinhlèlo, Entrecruzando Arte e Matemática: Peneiras Coloridas do Sul de Moçambique (Prefácio: Aires Aly, Primeiro Ministro de Moçambi-que), Morrisville NC, Lulu, 2010, 132 p.

Gerdes, Paulus & Djebbar, Ahmed, History of Mathematics in África: AMU-CHMA 25 Years, 2 volumes (Prefácios: Saliou Touré, Craig Fraser & Elena Eusejo, Eberhard Knobloch; Posfácios: Aderemi Kuku, Jean-Pierre Ezin), Morrisville NC, União Matemática Africana & Lulu, 2011, 924 p.

______ , Mathematics in African History and Cultures. An annotated Bibliog-raphy (Prefácio: Jan Persens), Morrisville NC, União Matemática Africana & Lulu, 2007, 430 p.



Santos, Eliane Costa, “As ‘ticas’ de ‘matema’ de um povo africano: um exercí-cio para sala de aula brasileira”, Revista Latinoamericana de Etnomatemá-tica, vol. 1, núm. 2, 2008: 27 – 50.

Silva, Vanísio Luíz da, A cultura negra na escola pública: uma perspectiva et-nomatemática, Tese de mestrado, Universidade de São Paulo, 2008, 204 p.

Apêndice ATextos elaborados no contexto do Projeto

‘Brasil-África: Histórias Cruzadas’

Na qualidade de consultor do Projeto ‘Brasil-África: Histórias Cruzadas’, o au-tor preparou, em 2010, os seguintes textos para os vários níveis de ensino con-siderados.

Ensino Infantil:

1. Pássaros a voar.

Ensino Fundamental:

2. Numeração verbal em Português e em algumas línguas africanas. 3. Explorar um jogo dos Fulbe nos Camarões. 4. Jogos de contagem e numeração dos Chaga na Tanzânia. 5. Quebra-cabeças da Libéria e Zâmbia. 6. Notações matemáticas provenientes de África. 7. Desenhar patinhos a voar. 8. O osso de Ishango: Atividade numérica há 22 mil anos. 9. Ângulos de 60o e 120o.10. Nó de amizade.

Ensino Fundamental ou Médio:

11. Um prodígio em cálculo mental oriundo da África ocidental. 12. Construção alternativa de hexágonos regulares. 13. Panos estampados com carimbos simétricos. 14. Nós pentagonais em trançados.

Ensino Médio:

15. Como se aproximava a área do círculo no Egito Antigo? 16. A equação quadrática e Ibn al-Banna. 17. Decoração de paredes.



18. Pitágoras no Egito. 19. Construção dum prisma octogonal.

Apêndice BPalestras ministradas durante várias viagens ao Brasil em 2010 e 2011

Na qualidade de consultor do Projeto ‘Brasil-África: Histórias Cruzadas’ (2010) e na qualidade de Professor Visitante (CAPES) na Universidade de São Paulo (1º Semestre de 2011), o autor ministrou e programou, até 30 de Abril, as se-guintes palestras relacionadas com idéias matemáticas da África e possibilida-des da sua incorporação na educação matemática.

2010

(1) “Idéias matemáticas na história e culturas africanas”, Departamento de So-ciologia & Faculdade de Educação, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 4 de Maio.

(2) “Trançados africanos na sala de aula de matemática”, Oficina de Programa de Educação Matemática, Universidade Estadual de São Paulo (UNESP), Rio Claro, 5 de Maio.

(3) “Matemática na História e Culturas Africanas”, Departamento de Matemáti-ca, Universidade Estadual de São Paulo (UNESP), Rio Claro, 5 de Maio.

(4) “Idéias matemáticas na história e culturas africanas”, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia (MG), 28 de Junho.

(5) “Sobre a valorização do contexto cultural de estudantes africanos no ensino da matemática”, Faculdade de Educação, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia (MG), 28 de Junho.

(6) “Matemática na História e Culturas Africanas”, palestra para professores de matemática, Secretaria de Educação da Cidade de São Paulo, 29 de Junho.

(7) “Pesquisa etnomatemática: Exemplo dos ‘sipatsi’ de Moçambique”, Grupo de Estudo da Etnomatemática, Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo (USP), São Paulo, 10 de Agosto.

(8) “Descobrindo Matrizes Cíclicas”, Departamento de Matemática, Universi-dade Estadual de São Paulo (UNESP), Rio Claro, 23 de Setembro.



(9) “Idéias matemáticas na história e culturas africanas”, Programas de Pós-Graduação em Educação Matemática e em História da Ciência, Pontifícia Uni-versidade Católica de São Paulo (PUC-SP), 27 de Setembro.

(10) “Idéias matemáticas na história e culturas africanas e possibilidades de ex-ploração educacional”, Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Faculdade de Educação, Universidade de Campinas (UNICAMP), Campinas, 28 de Setembro.

(11) “Da Etnomatemática a Arte-Design e Matrizes Cíclicas”, Faculdade de Educação, Universidade de Campinas (UNICAMP), Campinas, 29 de Setembro.

(12) “Idéias matemáticas na história e culturas africanas”, Grupo de Estudo da Etnomatemática, Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo (USP), São Paulo, 30 de Setembro.

2011

(1) “Positivo e negativo: Da etnomatemática a matrizes cíclicas”, Grupo de Es-tudos de Etnomatemática, Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 7 de abril.

(2) “Idéias matemáticas na história e culturas africanas”, Mestrado Profissional em Educação Matemática, Universidade Severino Sombra, Vassouras RJ, 9 de abril.

(3) “Idéias matemáticas na história e culturas africanas”, Curso de Graduação em Matemática e Pós-Graduação Lato-Sensu em Ensino da Matemática, Depar-tamento de Matemática, Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, Seropé-dica RJ, 11 de abril.

(4) “O ensino da geometria através de desenhos africanos”, Curso de Graduação em Matemática e Pós-Graduação Lato-Sensu em Ensino da Matemática, Depar-tamento de Matemática, Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, Seropé-dica RJ, 11 de abril.

(5) “A etnomatemática e a formação de professores de matemática”, Projeto Fundão, Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 11 de abril.

(6) “A etnomatemática e a formação de professores de matemática”, Curso de Graduação em Matemática e Pós-Graduação Lato-Sensu em Ensino da Mate-



mática, Departamento de Matemática, Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, Seropédica RJ, 12 de abril.

(7) “Exploração de puzzles africanos na educação matemática”, Curso de Gra-duação em Matemática e Pós-Graduação Lato-Sensu em Ensino da Matemática, Departamento de Matemática, Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, Seropédica RJ, 12 de abril.

(8) “Fontes para a pesquisa da história da ciência e da matemática em África”, Programa de Doutoramento em História da Ciência, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), São Paulo, 25 de abril.

(9) “Idéias matemáticas na história e culturas africanas: Relevância para a edu-cação matemática no Brasil?”, Universidade Federal de São Carlos, Campus de Sorocaba, Sorocaba SP, 6 de Maio.

(10) “Aspectos metodológicos da pesquisa etnomatemática”, Programa de Pós-Graduação em educação matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 23 de Maio.

(11) “Matemática da África: O fazer-saber em reflexão”, Programa de Licen-ciatura em Educação Matemática, Universidade de São Paulo, São Paulo, 25 de Maio.

(12) “Sobre algumas idéias matemáticas em culturas africanas da antiguidade ao presente”, palestra principal, 2º Colóquio Norte-Rio-grandense de Etnomatemá-tica, Programa de Pós-Graduação em Educação e Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal RN, 10 de Junho.

(13) “Incorporando idéias matemáticas provenientes da África na educação no Brasil?”, palestra organizada pela Comissão de Cultura e Extensão Universi-tária, Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 13 de Junho.

(14) “Ciência na História e Culturas Africanas: O Exemplo de Idéias Matemá-ticas”, Palestra alusiva ao encerramento do curso “Introdução aos Estudos de África”, Centro de Estudos Africanos, Universidade de São Paulo (USP), São Paulo, 15 de Junho.

(15) “Etnomatemática e educação matemática”, workshop, Programa de Pós--Graduação em Educação Matemática, Universidade Federal de Pará, Belém, 17 de Junho.



(16) “Sobre algumas idéias matemáticas em culturas africanas da antiguidade ao presente”, Universidade da Amazônia, Belém, 17 de Junho.

(17) “Matrizes com aspectos geométricos atrativos: Uma contribuição originada em estudos etnomatemáticos”, Terceiro Seminário Internacional de Educação Matemática (III SIEMAT), Universidade Bandeirante (UNIBAN), São Paulo, 22 de Junho.

(18) “Incorporando idéias matemáticas provenientes da África na educação ma-temática no Brasil? - O Projeto ‘Brasil-África: Histórias Cruzadas’”, Palestra paralela, CIAEM (Congresso Inter-Americano de Educação Matemática), Re-cife, 28 de Junho.

(19) “Gênero, Criatividade e Cultura: Exemplo do desenvolvimento de idéias matemáticas na fabricação de trançados em Moçambique”, Núcleo de Pesqui-sa em Psicologia da Educação Matemática (NUPPEM) da Pós-Graduação em Psicologia Cognitiva, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 1 de Julho.


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