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Incerteza, exatidão, precisão e desvio-padrão

Incerteza (“uncertainty” or “margin of error” )

A incerteza, segundo a Directiva Comunitária 2007/589/CE, é:

parâmetro associado ao resultado da determinação de uma quantidade, que caracteriza a

dispersão dos valores que poderiam razoavelmente ser atribuídos a essa determinada

quantidade, incluindo os efeitos de factores sistemáticos e aleatórios, expresso em

percentagem e que descreve um intervalo de confiança próximo do valor médio

compreendendo 95 % dos valores inferidos, tomando em consideração uma eventual

assimetria da distribuição dos valores.

A incerteza (e a necessidade de a avaliar) deriva do facto de, em todas as situações

experimentais, se desconhecer o valor real. Deste modo em vez de se obterem estimativas

pontuais que podem estar mais ao menos afastadas deste valor procede-se à da determinação

da nuvem de pontos onde com uma determinada probabilidade (determinada com métodos

estatísticos apropriados) se encontra o verdadeiro valor.

Rules for normally distributed data

Dark blue is less than one standard deviation from the mean. For the normal distribution, this accounts for 68.27 percent of the

set; while two standard deviations from the mean (medium and dark blue) account for 95.45 percent; three standard deviations

(light, medium, and dark blue) account for 99.73 percent; and four standard deviations account for 99.994 percent. The two points

of the curve that are one standard deviation from the mean are also the inflection points.

(Author: Mwtoews http://en.wikipedia.org/wiki/File:Standard_deviation_diagram.svg )

The central limit theorem says that the distribution of an average of many independent, identically

distributed random variables tends toward the famous bell-shaped normal distribution with a probability

density function of:

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where µ is the expected value of the random variables, σ equals their distribution's standard deviation. The

standard deviation therefore is simply a scaling variable that adjusts how broad the curve will be.

If a data distribution is approximately normal then the proportion of data values within z standard

deviations of the mean is defined by:

Proportion =

where erf is the error function. If a data distribution is approximately normal then about 68 percent of the

data values are within one standard deviation of the mean (mathematically, µ ± σ, where µ is the

arithmetic mean), about 95 percent are within two standard deviations (µ ± 2σ), and about 99.7 percent lie

within three standard deviations (µ ± 3σ). This is known as the 68-95-99.7 rule, or the empirical rule.

For various values of z, the percentage of values expected to lie in and outside the symmetric interval,

CI = (−zσ, zσ), are as follows:

z σ Percentage within CI Percentage outside CI Fraction outside CI

0.674490σ 50% 50% 1 / 2

0.994458σ 68% 32% 1 / 3.125

1σ 68.2689492% 31.7310508% 1 / 3.1514872

1.281552σ 80% 20% 1 / 5

1.644854σ 90% 10% 1 / 10

1.959964σ 95% 5% 1 / 20

2σ 95.4499736% 4.5500264% 1 / 21.977895

2.575829σ 99% 1% 1 / 100

3σ 99.7300204% 0.2699796% 1 / 370.398

3.290527σ 99.9% 0.1% 1 / 1,000

3.890592σ 99.99% 0.01% 1 / 10,000

4σ 99.993666% 0.006334% 1 / 15,787

4.417173σ 99.999% 0.001% 1 / 100,000

4.891638σ 99.9999% 0.0001% 1 / 1,000,000

5σ 99.9999426697% 0.0000573303% 1 / 1,744,278

5.326724σ 99.99999% 0.00001% 1 / 10,000,000

5.730729σ 99.999999% 0.000001% 1 / 100,000,000

6σ 99.9999998027% 0.0000001973% 1 / 506,797,346

6.109410σ 99.9999999% 0.0000001% 1 / 1,000,000,000

6.466951σ 99.99999999% 0.00000001% 1 / 10,000,000,000

6.806502σ 99.999999999% 0.000000001% 1 / 100,000,000,000

7σ 99.9999999997440% 0.0000000002560% 1 / 390,682,215,445

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Exatidão (“accuracy”)

Em estatística, economia, psicologia, engenharia e ciência, exatidão consiste no grau de

conformidade de um valor medido ou calculado em relação à sua definição ou com respeito a

uma referência padrão.

Pode ser demonstrada pela comparação dos resultados obtidos com o material de referência

padrão ou com outro método validado cujo erro regular não é significativo. Outra forma de

investigação é comparar a média dos resultados obtidos com a média obtida do programa

inter-laboratorial.

A exactidão refere-se à distância das estimativas ao verdadeiro valor que se desconhece.

Associado a este conceito está o viés (“bias” em inglês) que corresponde ao valor da distância.

Precisão (“precision”)

Em engenharia, ciência, indústria e estatística, precisão é o grau de variação de resultados de

uma medição. Não é o mesmo que exatidão que se refere à conformidade com o valor real. A

precisão tem como base o desvio-padrão de uma série de repetições da mesma análise.

De acordo com o VIM - Vocabulário Internacional de Metrologia, precisão é uma característica

do instrumento. Ex.: um paquímetro tem uma precisão entre 0,01 e 0,05 mm; o micrómetro

(instrumento) tem uma precisão entre 0,01 e 0,001 mm.

A precisão está associada à nuvem de pontos; uma determinação/medida é tanto mais precisa

quanto mais estreita seja a nuvem de possíveis valores da medida.

Exatidão é a correspondência à real medida do objeto. Portanto um instrumento pode ser

preciso mas não ser exato. Ex.: com 1 paquímetro de resolução (precisão) de 0,05 mm

encontra-se a medida de 33,0 ±0,05 mm; porém, ao fazer testes com outros paquímetros

constata-se que a medida real do objeto é de 30,0 ±0,05mm; ou seja, o paquímetro que mediu

errado é preciso mas não é exato.

A precisão de um instrumento é algo que não pode ser alterado; já a exatidão do instrumento

pode ser alterada (desgaste do bico do paquímetro, desgaste da ponta do fuso do micrómetro,

etc.).

Segundo a Directiva Comunitária 2007/589/CE:

- precisão é: grau de concordância entre o resultado de uma medição e o verdadeiro valor de

uma dada quantidade (ou um valor de referência determinado empiricamente utilizando

métodos e materiais de calibração normalizados aceites internacionalmente e rastreáveis),

tendo simultaneamente em conta os factores aleatórios e sistemáticos

- calibração: conjunto de operações que estabelecem, em condições especificadas, as relações

entre os valores indicados por um instrumento de medição ou um sistema de medição, ou os

valores representados por uma medida materializada ou um material de referência, e os

valores correspondentes de uma quantidade obtidos através de uma norma de referência.

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Exactidão baixa Exactidão alta

Precisão alta Precisão baixa

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Desvio-padrão (“standard deviation”) = raiz quadrado da variância (“variance”)

Normal distribution curve that illustrates standard deviations

(Author: Mwtoews http://en.wikipedia.org/wiki/File:Standard_deviation_diagram.svg )

s é o desvio-padrão da amostra

sample standard deviation

Normal Distribution Cumulative Density Function (CDF) with standard deviation = 1.0

( http://en.wikipedia.org/wiki/File:CumulativeSD.svg )

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A data set with a mean of 50 and a standard deviation (σ) of 20.

( http://en.wikipedia.org/wiki/File:Standard_deviation_illustration.gif )

Example of two samples with the same mean and different standard deviations. Red sample

has mean 100 and SD 10; blue sample has mean 100 and SD 50. Each sample has 1000 values

drawn at random from a gaussian distribution with the specified parameters.

(Author: JRBrown http://en.wikipedia.org/wiki/File:Comparison_standard_deviations.svg )