III Bienal da SBM

Goiania - 06 a 10 de novembro de 2006

Uma Grosa de Problemas de Matematica

Ricardo Misturini 1

Rogerio Ricardo Steffenon 2

UNISINOS - Universidade do Vale do Rio dos Sinos

Avenida Unisinos, 950, Sao Leopoldo-RS

CEP 93.022-000 - Brasil

01Aluno do Curso de Licenciatura em Matematica da UNISINOS2 Doutor em Matematica - UFRGS. Professor da UNISINOS. e-mail: rogerios@unisinos.br

Apresentacao

Neste mini-curso apresentamos uma grosa(doze duzias) de belos problemas de matematica, cuja

resolucao utiliza argumentos elementares e relativamente simples. Acreditamos que a resolucao

de problemas de entretenimento, problemas logicos e desafios matematicos sao excelentes al-

ternativas de ensino e estımulo para os alunos estudarem Matematica. Neles aparecem varios

assuntos interessantes da matematica como, por exemplo: medias(aritmetica, geometrica e

harmonica), aritmetica (inducao matematica, sistemas de numeracao, mdc, mmc, equacoes dio-

fantinas), probabilidade, sequencia de Fibonacci, grafos e logica. Os problemas nao estao sepa-

rados por assunto, pois achamos que o aluno deve procurar resolver o problema sem se preocupar

se o mesmo envolve probabilidade ou progressao geometrica, por exemplo. Claro que, em alguns

casos, o enunciado deixa claro qual e o tema que aparece no problema. Alem disso, os proble-

mas nao estao colocados em ordem crescente de grau de dificuldade, podendo ser encontrados

problemas mais difıceis entre aqueles do inıcio, assim como mais faceis no final. Esses problemas

foram obtidos de diversas fontes: livros, internet, revistas de olimpıadas, etc. Muitos foram

adaptados, outros foram propostos por alunos e professores. Para quem tem interesse em proble-

mas de matematica, sugerimos o site da Olimpıada Brasileira de Matematica(www.obm.org.br),

onde encontramos links para as diversas olimpıadas de matematica realizadas pelo Brasil e pelo

mundo. Alem disso, sugerimos fortemente a consulta a revista Eureka, disponıvel nesse site.

Finalmente gostarıamos de indicar alguns otimos livros, que podem ser consultados:

1. A Matematica do Ensino Medio, Volume 2, de Elon Lages Lima et al.

2. Divertimentos Matematicos, de Martin Gardner.

3. E divertido resolver problemas, de Josimar Silva e Luıs Lopes.

4. Moscow Puzzles, de Boris A. Kordemsky.

5. O Enigma de Sherazade, de Raymond Smullyan.

6. O homem que calculava, de Julio Cesar de Mello e Souza.

7. Olimpıadas de Matematica do Estado do Rio de Janeiro, de Antonio Luiz Santos et al.

8. Problemas Selecionados de Matematica, de Antonio Luiz Santos.

Problema 1.

Em um programa de televisao, um candidato deve responder 15 perguntas. A primeira pergunta

vale 1 ponto, a segunda vale 2 pontos, a terceira vale 4 pontos, e, assim, sucessivamente, do-

brando sempre. O candidato responde a todas as perguntas e ganha os pontos correspondentes

as respostas que acertou, mesmo que erre algumas.

(a) Qual o numero de pontos que o candidato fara se acertar todas as perguntas?

(b) Quantas e quais as perguntas o candidato acertou se o numero de pontos obtidos for igual

a 20736?

Problema 2.

Diofanto foi uma crianca feliz durante 1/6 de sua vida. Apos mais 1/12 comecou a cultivar uma

barba. Passados mais 1/7(de sua vida) casou-se e somente no quinto ano apos o seu casamento

nasceu-lhe um filho, que morreu quatro anos antes que o pai e que viveu apenas a metade do

que viveu o pai. Quantos anos viveu Diofanto?

Problema 3.

Ricardo gosta de meditar numa pequena capela no alto de uma montanha. Num certo dia ele

subiu o monte a uma velocidade de 2km/h e desceu a montanha a uma velocidade de 6 km/h.

Qual foi a velocidade media imprimida durante o percurso(ida e volta)?

Problema 4.

Num torneio de tenis individual ha 1024 participantes. Sabendo que a disputa e do tipo

mata-mata* , quantos jogos sao realizados para se definir o vencedor?

*Os jogadores sao divididos em grupos de 2, ao acaso, e jogadores de um mesmo grupo jogam

entre si. Os perdedores sao eliminados e os vencedores sao divididos novamente em grupos de

2 e assim por diante ate restar um jogador, que e proclamado campeao.

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Problema 5.

Este problema e inspirado num programa de TV americano conhecido como Let’s make a deal

(Vamos fazer um negocio). Nesse show, da-se ao concorrente finalista a chance de escolher

uma entre tres portas. Atras de exatamente uma das portas, esta um premio interessante (um

carro, por exemplo); as outras duas portas ocultam premios de valor bem inferior (um bode

atras de cada porta, por exemplo). Pede-se ao concorrente que escolha uma porta. A esta

altura, o apresentador do show, Monty Hall, que sabe o que tem atras de cada porta, mostra

ao concorrente um dos premios de menor valor atras de uma das portas nao escolhidas. Alem

disso, oferece ao concorrente a oportunidade de optar pela outra porta fechada. A questao e a

seguinte: e vantajoso optar pela outra porta ou tanto faz?

Problema 6.

Comprei na feira um queijo que pesou 5 quilos numa balanca de dois pratos. Desconfiei da

pesagem e o vendedor propos, como compensacao, vender-me um queijo igual, desta vez pesado

no outro prato da balanca. O peso foi de 3,2 quilos. Ganhei ou perdi na transacao? Qual e o

verdadeiro peso do queijo?

Problema 7.

Dois ladroes roubaram um barril totalmente cheio com 8 litros de vinho. Para dividir o

produto do roubo, so tinham 2 garrafas com 3 e 5 litros de capacidade, respectivamente. Como

foi possıvel fazer a divisao em partes iguais de 4 litros, sabendo que nenhum dos 3 recipientes

tem qualquer graduacao?

Problema 8.

Precisamos cozinhar um ovo por 15 minutos. Dispomos de duas ampulhetas, uma que marca

7 minutos e outra 11 minutos. Existem duas maneiras diferentes de resolver o problema. Uma

leva mais tempo, mas tem menos movimentos que a outra. Voce sabe dizer quais sao elas?

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Problema 9.

Suponha que voce possua 81 moedas de um real, uma das quais e falsa e pesa mais do que

uma verdadeira. Voce tem uma balanca de dois pratos mas nao tem pesos. A unica forma de

pesagem consiste em por algumas moedas em cada prato e verificar se a balanca esta equilibrada.

Mostre que 4 pesagens sao suficientes para achar a moeda adulterada. Caso tenha dificuldade,

tente resolver o problema com 3 moedas, fazendo apenas uma pesagem.

Problema 10.

Suponha que voce possua 12 moedas de um real, uma das quais e falsa e tem peso diferente

de uma verdadeira(nao sabemos se a falsa pesa mais ou menos que uma verdadeira). Voce tem

uma balanca de dois pratos mas nao tem pesos. A unica forma de pesagem consiste em por

algumas moedas em cada prato e verificar se a balanca esta equilibrada.

(a) Mostre que 3 pesagens sao suficientes para achar a moeda adulterada.

(b) Consegues resolver o mesmo problema com 13 moedas? E com 14 moedas?

Problema 11.

(a) Sao dadas quatro moedas de duas massas distintas, 2 de cada tipo. Como obter duas moe-

das de massas distintas fazendo apenas uma pesagem em uma balanca com dois pratos,

sem pesos auxiliares?

(b) Sao dadas oito moedas de duas massas distintas, 4 de cada tipo. Como obter duas moedas

de massas distintas fazendo nao mais de duas pesagens em uma balanca com dois pratos,

sem pesos auxiliares?

(c) Sao dadas 128 moedas de duas massas distintas, 64 de cada tipo. Como obter duas moedas

de massas distintas fazendo nao mais de 7 pesagens um uma balanca com dois pratos, sem

pesos auxiliares?

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Problema 12.

Imagine que um predio de quatro andares deva ser pintado usando-se uma cor para cada

andar. Sabendo que as cores utilizadas podem ser verde e amarelo e que andares consecutivos

nao poderao ser pintados de amarelo, de quantas maneiras e possıvel fazer a pintura deste

predio? E se o predio tiver 12 andares?

Problema 13.

Existem dois tipos de anos bissextos: aqueles que sao multiplos de 4 mas nao sao de 100 e

aqueles que sao multiplos de 400. Por exemplo, serao anos bissextos 2008, 2056 e 2400; nao

serao anos bissextos 2039 e 2100.

(a) O matematico Harold Scott MacDonald Coxeter nasceu no ano de 1907 e faleceu em 2003.

Durante a vida desse grande geometra, quantos anos foram bissextos?

(b) Sabendo que 1o de janeiro de 2007 sera numa segunda-feira, qual o primeiro ano apos 2007

em que 1o de janeiro sera novamente numa segunda-feira?

(c) Escolhido um ano ao acaso, qual a probabilidade dele ser bissexto?

Problema 14.

Em 1991, Eduardo comecou a colecionar calendarios. Anos mais tarde ele verificou que o

calendario de 1999 seria igual ao de 1993.

(a) Quantos calendarios diferentes existem?

(b) Em que ano Eduardo tera todos os diferentes tipos de calendarios?

Problema 15.

Numa escola ha 6 salas de aula. Uma funcionaria possui as seis chaves que abrem essas salas,

mas ela nao sabe a que porta corresponde cada uma das chaves. No maximo quantas tentativas

serao necessarias para que ela saiba com certeza qual e a chave que abre cada uma das portas?

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Problema 16.

Nicolas, Guilherme, Vanessa, Natalia e Sandra estao formando uma roda e se divertindo com

o seguinte jogo. Um deles escolhe um numero(maior que 50 e menor que 100) e o diz em voz

alta, a pessoa que estiver a sua esquerda o divide pelo seu maior divisor primo e diz o resultado

em voz alta e assim sucessivamente. Ganha a pessoa que disser em voz alta o numero 1, e o

jogo termina. Nicolas deve comecar o jogo. Se ele quiser vencer, qual numero podera escolher?

Problema 17.

Um prisioneiro ficara em liberdade se alcancar o topo de uma escada de 99 degraus. Porem

nao pode faze-lo ao seu modo, uma vez que ele e obrigado a subir somente 1 degrau a cada

dia dos meses ımpares e descer 1 degrau a cada dia dos meses pares.

(a) Comecando no dia 1o de janeiro de 2007, em que dia alcancara a liberdade?

(b) E se a escada tivesse 100 degraus, em que dia alcancaria a liberdade?

Problema 18.

Dois homens caminhavam no deserto. Um deles possuia 5 litros de agua e 5 cinco paes e o

outro trazia 3 litros de agua e 3 paes. No momento em que se preparavam para descansar,

avistaram um homem que estava bastante exausto e com sede. Resolveram repartir a agua e

os paes igualmente entre os tres. Dois dias depois chegaram a um oasis. Ao se despedir, em

sinal de agradecimento, o homem deu 8 moedas de ouro para os dois que tinham salvo a sua

vida. Se a divisao foi feita de forma justa, com quantas moedas cada um deles ficou?

Problema 19.

Frederico tinha uma colecao de bolinhas de gude. Na ultima contagem ele verificou que a

quantidade de bolinhas era um numero de quatro algarismos e multiplo de 99. Ele sempre ano-

tava a quantidade de bolinhas num papel. So que seu irmao Joaozinho apagou dois algarismos,

trocando por duas letras. Com isso ficou escrito 3Y X2. Voce e capaz de descobrir quantas sao

as bolinhas de Frederico?

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Problema 20.

Pedro e Joao se encontraram apos varios anos. Joao contou que era casado e que tinha tres

filhos cujo produto das idades era igual a 72 e que a soma das idades era igual ao numero do

apartamento em que morava com a famılia. Mas Pedro ainda nao tinha como saber qual era a

idade dos filhos de Joao. Entao Joao disse que o mais novo adora beber suco de laranja. Agora

Pedro ja sabia quantos anos tinha cada um dos filhos de Joao. Voce saberia a resposta?

Problema 21.

Carla possui algumas moedas, mas, por mais que ela tente, nao consegue combina-las para

formar exatamente dois reais. Como no Brasil as moedas sao de R$ 0,01, R$ 0,05, R$ 0,10,

R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00, qual e a maior quantia que ela pode possuir?

Problema 22.

Um fazendeiro que dispoe de R$ 60.000,00 pretende gastar essa importancia na compra de

cavalos e bois. Sabendo cada cavalo custa R$ 350,00 e cada boi R$ 450,00, obtenha uma

equacao diofantina que modele este problema.

(a) Quantas e quais sao as solucoes desse problema?

(b) Qual o numero de bois e cavalos que ele deve comprar se quiser comprar a maior quantidade

de animais?

Problema 23.

Patrıcia levou consigo R$ 1.200,00 para comprar um presente para o seu filho que havia ingres-

sado na universidade. Ao regressar para casa, o seu marido perguntou quanto havia custado o

presente. Ela respondeu da seguinte forma:

- “Nao te direi quanto custou, so posso te dizer que o preco do presente, quando lido ao

contrario, e igual a 9 vezes o valor do presente”.

Quanto custou o presente?

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Problema 24.

Voce esta assistindo um jogo de futebol e la pelas tantas surge a seguinte questao:

- “Qual e a probabilidade de que pelo menos dois dos 22 jogadores em campo facam aniversario

no mesmo dia(dia e mes)?” (*)

* E muito provavel que voce nunca tenha pensado nisso durante uma partida de futebol...

Problema 25.

Perguntado sobre quantos alunos ele tinha naquele ano, um professor escreveu no quadro:

- “440 alunos, dos quais 153 sao guris e 276 sao gurias”.

Inicialmente a resposta nos pareceu estranha, mas logo compreendemos que o professor nao

empregou o sistema decimal. Qual sistema ele usou?

Problema 26.

Adriano costuma cortar o cabelo de 25 em 25 dias e Beto de 30 em 30 dias. Numa certa

quarta-feira ambos cortaram o cabelo. Daı a quantos dias vai haver nova coincidencia? Em

que dia da semana sera isso?

Problema 27.

Um homem entra numa loja e decide comprar o DVD Os grandes golpes do seculo XX. O DVD

custa R$ 30,00 e ele paga com uma nota de R$ 50,00. Sem troco, a atendente vai ate a farmacia

ao lado e troca a nota de R$ 50,00 por duas notas de R$ 20,00 e uma nota de R$ 10,00. O

homem leva o DVD e uma nota de R$ 20,00. No dia seguinte, entra o dono da farmacia dizendo

que a nota de R$ 50,00 era falsa. A dona da loja entao troca a nota falsa por outra verdadeira.

Sem o dinheiro do troco, sem o DVD e sem a nota que deu ao dono da farmacia, qual foi afinal,

o prejuızo da dona da loja?

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Problema 28.

Tres canibais e tres missionarios estao viajando juntos e chegam a margem de um rio. Eles

desejam atravessar para a outra margem para, desta forma, continuar a viagem. O unico

meio de transporte disponıvel e um barco que comporta no maximo duas pessoas. Ha uma

outra dificuldade: em nenhum momento o numero de canibais pode ser superior ao numero de

missionarios pois desta forma os missionarios estariam em grande perigo de vida. Como deve

ser feita a travessia, sem que haja risco de vida para os missionarios?

Problema 29.

Anteontem Roberta tinha 25 anos. No ano que vem, ela vai fazer 28 anos. Explique como isso

e possıvel.

Problema 30.

Na Krugerrandia, uma passagem aerea para Kruskalandia custa menos de Kr$200 e la existem

moedas de Kr$1, Kr$3, Kr$9, Kr$27 e Kr$81. A compra de uma passagem aerea pode ser feita

apenas em maquinas de venda do aeroporto, e essas maquinas aceitam apenas moedas e nao

devolvem troco.

Bruno vai para a Kruskalandia de aviao para visitar seu amigo Bernardo.

(a) Qual e a menor quantidade de moedas que precisa carregar consigo para assegurar-se de

que tera o valor exato da passagem?

(b) Caso ele chegue ao aeroporto e descubra que o valor da passagem aumentou, quais os

valores acima de Kr$ 199 que ele conseguira pagar com as moedas do item (a)?

Problema 31.

Armindo comprou varias galinhas campeas em por ovos. Ao testar a eficiencia das galinhas, ele

observou que, a partir das 7 horas,de minuto em minuto o numero de ovos na cesta duplicava.

As 9 horas a cesta estava cheia. A que horas a cesta estava pela metade?

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Problema 32.

Francisco coleciona figurinhas de bandeiras de paıses e de jogadores de futebol. Ele guarda

essas figurinhas em envelopes, colocando apenas figurinhas do mesmo tipo em cada envelope.

Os envelopes dele continham 9, 15, 16, 17, 26 e 34 figurinhas. No sabado passado Francisco

deu um envelope de presente para seu irmao Henrique. Com isso, Henrique constatou que o

numero de figurinhas de jogadores de futebol agora e igual ao dobro do numero de figurinhas

de bandeiras de paıses.

(a) Quantas figurinhas havia no envelope que ele deu para o irmao?

(b) Qual o tipo de figurinha ha em cada um dos envelopes que ele ficou?

Problema 33.

Danilo encontros tres amigos e disse que havia trocado de carro. Entao ele propos uma brin-

cadeira:

- “Bem amigos, vamos fazer um exercıcio de logica. Eu digo que a cor do meu carro novo e

vermelha ou azul ou preta. Cada um de voces tenta adivinhar e, quando as informacoes fo-

rem suficientes, eu comentarei os palpites e veremos se conseguem descobrir qual e a cor do

carro”.

- “O meu palpite e que ele nao e azul”, falou o primeiro.

- “Eu digo que ele e vermelho ou preto”, disse o segundo.

- “Creio que ele seja vermelho”, opinou o terceiro.

Nesse momento Danilo interveio e disse:

- “Voces podem parar de dar palpites. Afirmo que pelo menos um de voces acertou e pelo

menos um errou”.

Qual e a cor do carro dele?

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Problema 34.

Rafael, Rodrigo e Josue se encontram depois de muito tempo. Josue diz que tem quatro filhos.

Rafael e Rodrigo resolvem fazer uma aposta: Rafael aposta que ele tem tres filhos de um mesmo

sexo e um filho do outro; Rodrigo afirma que ele tem duas meninas e dois meninos. Qual e a

probabilidade de acerto de cada um deles nessa aposta?

Problema 35.

Uma jarra tem 600ml de uma mistura de agua e suco de limao, na qual 20% e de suco de limao.

Quanto de agua devemos acrescentar para que a mistura passe a ter 5% de suco de limao?

Problema 36.

Numa biblioteca ha dez estantes com muitos livros em cada uma delas. Alem disso, dispomos

de uma balanca eletronica(como as que existem em farmacias). Resolva cada uma das situacoes

abaixo:

(a) Sabemos que, em nove delas, cada livro pesa 1 kg e que, em uma delas, cada livro pesa

1,01 kg. Como descobrir, com uma pesagem apenas, qual a estante dos livros de 1,01 kg e,

em consequencia, quais sao as estantes com os livros de 1kg?

(b) Sabemos que, em algumas estantes, cada livro pesa 1 kg e nas outras, cada livro pesa

1,01 kg, podendo inclusive haver apenas livros de um dos tipos. Como descobrir, com uma

pesagem apenas, quais as estantes dos livros de 1kg?

(c) Sabemos que, em algumas estantes, cada livro pesa 1 kg, em outras cada livro pesa 1,01 kg

e nas outras cada livro pesa 1,02 kg, podendo inclusive haver apenas livros de um dos tipos.

Como descobrir, com uma pesagem, quais as estantes dos livros de 1kg, de 1,01 kg ?

Problema 37.

Caio gastou todo o dinheiro que tinha no bolso em quatro lojas. Em cada uma gastou um real

a mais do que a metade do que tinha ao entrar na loja. Quanto dinheiro Caio tinha ao entrar

na primeira loja?

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Problema 38.

Numa sala estao 200 pessoas, das quais 99% sao homens. Quantos homens devem deixar a sala

para que a percentagem de homens na sala passe a ser de 98%?

Problema 39.

Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro da 5 pulos, a lebre da 8 pulos. Porem,

2 pulos de cachorro equivalem a 5 pulos de lebre. Sendo a distancia entre os dois igual a 36

pulos de cachorro, qual deve ser o numero de pulos que o cachorro deve dar para alcancar a

lebre?

Problema 40.

Um rei estava bastante velho e ja nao enxergava mais muito bem. Certo dia comprou cinco

escravos. Dois deles, que diziam sempre a verdade, tinham olhos castanhos, e os outros tres,

de olhos azuis, sempre mentiam. Os cinco forma organizados em fila. O rei deveria, assim,

adivinhar em que ordem eles estavam dispostos, fazendo apenas duas perguntas, uma para

cada escravo diferente.

Ele se dirigiu ao segundo escravo da fila e perguntou:

- “Se eu perguntasse para o primeiro da fila qual e a cor dos olhos dele, o que ele responderia?”

O segundo escravo falou:

- “Ele diria: os meus olhos sao azuis”.

O terceiro escravo, localizado no centro da fila, foi questionado da seguinte forma:

- “De que cor sao os olhos desse jovem que acabo de interrogar?”

O terceiro escravo respondeu:

- “Ele tem olhos azuis”.

Agora o rei ja sabe qual e a cor dos olhos de cada um dos escravos. Qual e a resposta?

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Problema 41.

(a) Marcelo tem dois filhos. Sabendo que nao sao duas meninas, qual a probabilidade de serem

dois meninos?

(b) Jose Pedro tem dois filhos. O mais velho e um menino. Qual e a probabilidade de serem

ambos meninos?

Problema 42.

Um pai tem 40 anos e a soma das idades dos seus tres filhos e 22 anos. Dentro de quantos anos

a idade do pai sera a soma das idades dos filhos?

Problema 43.

Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade. Quando tu tiveres a

minha idade, a soma das nossas idades sera de 45 anos. Quais sao as nossas idades?

Problema 44.

Josaine e uma menina muito esperta. Um dia alguem lhe perguntou qual era a sua idade. Ela

respondeu:

- “Daqui a quatro anos terei o triplo da idade que tinha quatro anos atras”.

Qual e a idade de Josaine?

Problema 45.

Virgınia viajou de carro para a serra no final de semana. Ela percorreu um certo trecho da es-

trada a uma velocidade constante. Num certo momento ela passa por uma placa que indica a

quilometragem na via. Uma hora depois, passa por outra placa, contendo os mesmos dois alga-

algarismos, mas em ordem inversa. Quinze minutos depois, passa por uma terceira placa, con-

tendo os mesmos algarismos, na ordem que os viu na primeira placa, mas separados por um

zero. Com que velocidade Virgınia viajou nesse trecho?

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Problema 46.

As idades de duas pessoas ha 8 anos estavam na razao de 8 para 11; agora estao na razao de 4

para 5. Qual e a idade de cada uma delas atualmente?

Problema 47.

Numa cesta ha cinco macas. Como podemos dividir essas frutas entre cinco meninas, deixando

uma maca na cesta?

Problema 48.

Na famılia de Jairo ha uma grande coincidencia, pois ele, a esposa, os tres filhos e os pais dele

fazem aniversario em datas muito proximas. Essas datas sao 3 de agosto, 5 de agosto, 12 de

agosto, 16 de agosto, 20 de agosto, 31 de agosto e 6 de setembro. Jairo pretende fazer uma

festa para comemorar todos esses aniversarios no dia em que a soma das diferencas entre a data

escolhida e a data de cada aniversario, em valor absoluto, seja mınima. Em que dia deve ser

feita a comemoracao desses aniversarios?

Problema 49.

Um carro percorreu uma rodovia a tres velocidades diferentes, cada uma delas no mesmo tempo.

Sabendo que as velocidades foram de 40 km/h, 70 km/h e 100 km/h, qual foi a velocidade media

do carro nesse percurso?

Problema 50.

Na cidade de Itapipoca alguns animais sao realmente esquisitos. Dez por cento dos caes pensam

que sao gatos e dez por cento dos gatos pensam que sao caes. Todos os outros animais sao

perfeitamente normais. Certo dia todos os caes e gatos de Itapipoca foram testados por um

psicologo, verificando-se entao que 20% deles pensavam que eram gatos. Que porcentagem dos

animais eram realmente caes?

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Problema 51.

Um carro andou numa rodovia a tres velocidades diferentes, sendo que em cada uma das etapas

ele percorreu a mesma distancia. Sabendo que as velocidades foram de 40 km/h, 70 km/h e

100 km/h, qual foi a velocidade media do carro nesse percurso?

Problema 52.

Um carro sai de A para B e outro sai de B para A, simultaneamente, em linha reta, com

velocidades constantes e se cruzam em um ponto situado a 720m do ponto de partida mais

proximo. Completada a viagem, cada um deles para 10 minutos e regressa, com a mesma

velocidade da ida. Na volta cruzam-se em um ponto situado a 400m do outro ponto de partida.

Qual a distancia de A ate B?

Problema 53.

Em uma cela, ha uma passagem secreta que conduz a um porao de onde partem tres tuneis.

O primeiro tunel da acesso a liberdade em 1 hora; o segundo, em 3 horas; o terceiro leva ao

ponto de partida em 6 horas. Em media, quanto tempo os prisioneiros que descobrem os tuneis

levam para escapar da prisao?

Problema 54.

Suponha que, no problema anterior, os prisioneiros que entram pelo terceiro tunel, quando

voltam ao ponto de partida, nao se lembram de qual foi o tunel em que entraram e, portanto,

escolhem para a proxima tentativa um entre os tres tuneis.

Problema 55.

(a) Um dado perfeito tem as faces marcadas com 1,1,2,2,3,3. O dado vai ser lancado duas

vezes. Qual a probabilidade de que a soma dos resultados seja par?

(b) E se o dado for lancado n vezes e n comecar a crescer, o que acontece com esta probabilidade?

Sugestao: comecar a calcular a probabilidade nos casos n = 3, 4, 5 e fazer uma conjectura.

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Problema 56.

Berenice e Marcia caminhavam sobre uma estrada de ferro e entraram num tunel bastante

estreito, no qual havia apenas espaco para o trem. Quando completavam 2/5 do percurso do

tunel, ouviram o trem se aproximar por tras delas. Berenice comecou a correr de encontro ao

trem e conseguiu sair do tunel praticamente no instante em que o trem entrava nele. Marcia

correu no sentido oposto a Berenice, conseguindo sair do tunel praticamente no instante em

que o trem saıa dele. Sabendo que ambas correram a uma velocidade de 13 km/h, qual era a

velocidade do trem?

Problema 57.

Se 6 meninos comem 6 sanduıches em 6 minutos, em quantos minutos 100 meninos comerao

100 sanduıches?

Problema 58.

Maria Helena acaba de comprar um carro novo. O gerente da revenda orientou que ela fizesse

um revezamento nos pneus para que tenha aproveitamento maximo dos memos. Ele disse para

ela que um pneu novo dura 40 000 km, quando usado numa roda dianteira, e dura 60 000 km,

quando usado na traseira.

(a) Com 4 pneus novos e fazendo um rodızio adequado entre eles, quantos quilometros um

carro pode rodar? Explique como faze-lo.

(b) Quantos quilometros ela poderia rodar se colocasse o estepe(pneu reserva)novo no rodızio?

Como fazer nesse caso?

Problema 59.

Dois jogadores apostaram R$ 10,00 cada em um jogo de cara-e-coroa, combinando que o

primeiro a conseguir 6 vitorias ficaria com o dinheiro da aposta. O jogo, no entanto, precisava

ser interrompido quando um dos jogadores tem 5 vitorias e o outro tem 3. Qual e a divisao

justa da quantia apostada?

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Problema 60.

Numa rua ha cinco casas de 5 diferentes cores: amarela, azul, branca, verde, vermelha. Em

cada casa mora um homem de uma diferente nacionalidade: argentino, chileno, paraguaio,

brasileiro, uruguaio. Esses 5 homens bebem diferentes bebidas: agua, cafe, cerveja, cha, vinho.

Eles tem cinco profissoes diferentes: professor, medico, dentista, engenheiro, advogado. Alem

disso, possuem diferentes animais de estimacao: um cao, um cavalo, um gato, um passaro, um

peixe. Nenhum deles tem o mesmo animal, nem a mesma profissao e nem bebem a mesma

bebida. Tambem temos as seguintes informacoes:

1. O paraguaio mora na casa vermelha.

2. O uruguaio tem um cao como animal de estimacao.

3. O chileno bebe cha.

4. A casa verde fica ao lado esquerdo da casa branca.

5. O homem que mora na casa verde bebe cafe.

6. O engenheiro tem um passaro.

7. O dentista mora na casa amarela.

8. O homem que mora na casa do centro bebe vinho.

9. O brasileiro mora na primeira casa.

10. O professor mora ao lado do que tem um gato.

11. O homem que tem o cavalo mora ao lado do dentista.

12. O medico bebe cerveja.

13. O argentino e advogado.

14. O brasileiro mora ao lado da casa azul.

15. O professor e vizinho do que bebe agua.

Com essas informacoes, voce e capaz de dizer quem e quem?

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Problema 61.

Uma maquina do tempo e controlada por um conjunto de chaves do tipo “liga-desliga” numer-

adas de 1 a 10(da esquerda para a direita) e dispostas lado a lado. A n-esima chave posicionada

em liga viaja 2n−1 anos para o futuro se n e ımpar e 2n−1 anos para o passado se n e par e

se uma chave esta na posicao desliga ela nao produz nenhum efeito. Sabendo que o efeito

provocado por varias chaves posicionadas em liga e igual a soma dos seus efeitos individuais,

se convencionarmos liga=1 e desliga=0, respondas as questoes abaixo:

(a) Qual devera ser a disposicao das chaves se quisermos viajar 144 anos para o passado?

(b) E se quisermos viajar 144 anos para o futuro?

Problema 62.

Um bar vende suco e refresco de laranja. Ambos sao fabricados diluindo-se em agua um

concentrado de laranja. As proporcoes sao de 1 parte de concentrado para 3 de agua, no caso

do suco; e de 1 parte para 6 de agua, no caso do refresco. Supondo que Claudio tenha alguns

litros de suco ja preparados e nao tenha mais o concentrado, quanto de suco e quanto de agua

ele deve usar para fazer 840 ml de refresco?

Problema 63.

Voce tem uma balanca de dois pratos, um peso de 100g e um peso de 400g. Fazendo tres

pesagens, separe 18 quilos de feijao em uma porcao de 4 quilos e outra de 14 quilos.

Problema 64.

Uma questao de multipla escolha tem 5 alternativas. Dos alunos de uma turma, 50% sabem

resolver a questao, enquanto os demais “chutam” a resposta. Um aluno da turma e escolhido

ao acaso.

(a) Qual e a probabilidade de que ele tenha acertado a questao?

(b) Dado que o aluno acertou a questao, qual e a probabilidade de que ele tenha “chutado”?

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Problema 65.

Qual e a quantidade total de letras de todas as respostas incorretas desta questao?

(A) Quarenta e oito.

(B) Quarenta e nove.

(C) Cinquenta.

(D) Cinquenta e um.

(E) Cinquenta e quatro.

Problema 66.

Um aviao de 100 lugares foi fretado para uma excursao. A companhia exigiu de cada passageiro

R$ 800,00 mais R$ 10,00 por cada lugar vago. Para que numero de passageiros a rentabilidade

da empresa e maxima?

Problema 67.

O tanque de um carro tem 22 litros de uma mistura de alcool e gasolina, sendo que o alcool

representa 25% da mistura. Vamos substituir certa quantidade de litros desta mistura por

igual quantidade de alcool, a fim de que a nova mistura apresente uma porcentagem de 50% de

alcool. Quantos litros devem ser substituıdos?

Problema 68.

Um exame de laboratorio tem eficiencia de 95% para detectar uma doenca quando ela de fato

existe. Alem disso, o teste aponta um resultado falso positivo para 1% das pessoas sadias

testadas. Se 0,5% da populacao tem a doenca, qual e a probabilidade de que uma pessoa,

escolhida ao acaso, tenha a doenca, sabendo que o seu exame foi positivo?

Problema 69.

Luiz Eduardo percebeu que para numerar as paginas de um livro, consecutivamente, a partir da

pagina 1, foram usados 2007 algarismos. Qual e o numero de paginas do livro de Luiz Eduardo?

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Problema 70.

Suponha que 16 selecoes, entre as quais Brasil e Argentina, vao participar de um torneio. Serao

formados quatro grupos de quatro selecoes, atraves de sorteio. Qual e a probabilidade de que

Brasil e Argentina fiquem no mesmo grupo?

Problema 71.

Quantas vezes, no mınimo, se deve lancar um dado para que a probabilidade de obter algum

6 seja superior a 90%?

Problema 72.

Rosane plantou tres jabuticabeiras, formando um triangulo equilatero. Num certo dia ela

estava no interior desse “pomar” e mediu a distancia ate cada uma das arvores, constatando as

medidas de 5, 7 e 8 metros. Voce e capaz de determinar o comprimento do lado desse triangulo?

Problema 73.

Imaginemos que temos a nossa frente dois recipientes, um com 2 litros de agua e o outro com

5 litros de vinho. Um copo de 200ml desta agua e transferido para o recipiente do vinho e

misturado bem. A seguir, transfere-se um copo de 200ml dessa mistura para o recipiente da

agua. Ha agora mais agua no vinho do que vinho na agua? Ou vice-versa?

Problema 74.

Numa escola ha um corredor com 2007 armarios numerados de 1 a 2007 , inicialmente todos

fechados. 2007 alunos numerados de 1 a 2007, passam pelo corredor. O aluno de numero k

reverte o estado de todos os armarios cujos numeros sao multiplos de k. Por exemplo, o aluno

de numero 4 mexe nos armarios de numeros 4, 8, 12,..., abrindo os que encontra fechados e

fechando os que encontra abertos. Ao final, depois da passagem do 2007o aluno, quais armarios

ficarao abertos?

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Problema 75.

Dois trens de carga, na mesma linha ferrea, seguem em rota de colisao. Um deles vai a 26km/h

e o outro a 34km/h. No instante em que eles se encontram a 150km um do outro, um passaro

que voa a 40km/h, parte de um ponto entre os dois, ate encontrar um deles e entao volta para o

outro e continua nesse vai-e-vem ate morrer esmagado no momento em que os trens se chocam.

Quantos quilometros voou o pobre passaro?

Problema 76.

Tres logicos Alberto, Bruno e Carlos sao capazes de deduzir instantaneamente todas as con-

sequencias de qualquer conjunto de premissas. Alem disso, cada um sabe que os outros dois sao

logicos infalıveis. Mostraram-se a eles sete selos: dois vermelhos, dois amarelos e tres verdes.

Em seguida, os tres tiveram seus olhos vendados e um selo foi colado na testa de cada um; os

quatro selos restantes foram guardados em uma gaveta.

Quando as vendas foram retiradas, perguntaram para Alberto:

- “Voce e capaz de dizer uma cor que definitivamente nao e a sua?”

- “Nao”, respondeu Alberto.

Perguntou-se entao o mesmo para Bruno e a resposta foi:

- “Nao”.

A partir dessas informacoes e possıvel deduzir a cor do selo de algum deles?

Problema 77.

Um pesquisador se ve perdido em uma ilha. Os nativos que o capturaram sao devotos a 2

Deuses: O Deus da Verdade e o Deus da Mentira. Eles dao ao pesquisador a chance de decidir

para qual Deus ele sera sacrificado. Essa escolha e feita atraves de uma frase que o pesquisador

diz. Se essa frase for uma mentira ele sera sacrificado para o Deus da Mentira, se essa frase for

uma verdade ele sera sacrificado para o Deus da Verdade. O pesquisador diz uma frase e nao

pode ser sacrificado para nenhum dos Deuses. Que frase ele disse?

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Problema 78.

Maria Cecilia comprou um livro por dezessete reais, vendeu-o por dezoito reais, recomprou-o

por dezenove e, afinal, vendeu-o por vinte reais. Qual foi seu lucro?

Problema 79.

Em uma ilha deserta havia tres homens e um macaco. Durante o dia os homens colheram cocos

e deixaram a partilha para o dia seguinte. Durante a noite, um dos homens acordou e resolveu

pegar a sua parte. Dividiu a pilha de cocos em tres partes iguais, observou que sobrava um

coco, deu este coco para o macaco, retirou e guardou sua parte. Mais tarde, o segundo homem

acordou e fez a mesma coisa que o primeiro, dando tambem um coco para o macaco. Uma

hora depois, o terceiro homem acordou e repetiu o que os outros dois haviam feito, dando um

coco para o macaco. Na manha seguinte os tres homens repartiram os cocos restantes em tres

partes iguais, observaram que sobrou um coco, deram-no para o macaco e cada um pegou a

sua parte. Qual e o menor numero de cocos que a pilha inicial poderia ter?

Problema 80.

Ao morrer uma pessoa chega numa sala com duas portas, uma que leva para o ceu e outra que

leva para o inferno. Nao e possıvel identificar qual porta leva a qual lugar, porem a frente de

cada uma delas tem um guardiao. A pessoa sabe que um dos guardioes so diz a verdade e o

outro so diz mentiras e que ela tem direito a fazer uma unica pergunta para apenas um deles.

Qual deve ser a pergunta para que a pessoas saiba com certeza qual porta levara para o ceu?

Problema 81.

Suponha-se que temos tres caixinhas. Uma contem 20 bolas pretas, outra contem 20 bolas

brancas e a terceira contem 10 pretas e 10 brancas. As caixas tinham suas etiquetas correspon-

dentes: PP, BB e PB. Entretanto alguem as trocou de modo a estarem todas na tampa errada.

Tirando apenas uma bola por vez de qualquer uma das caixas, qual e o menor numero de bolas

que devemos tirar para determinar o conteudo de cada uma das tres caixas?

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Problema 82.

Em uma prisao haviam 3 presos. O dono da prisao resolve conceder a liberdade a um deles, e

propoe o seguinte:

- “Tenho aqui 5 bones: 3 azuis e 2 amarelos. Inicialmente, quero que voces fiquem os 3 ali-

nhados, um na frente do outro, de forma que o ultimo de tras pode ver os da frente; o do

meio pode ver somente o da sua frente e o da frente nao pode ver nenhum dos outros dois.

Em seguida, vou colocar um bone, aleatoriamente, na cabeca de cada um de voces, sem que

voces vejam. Aquele que adivinhar a cor do bone que esta usando sera libertado!”

Apos os 3 serem colocados um na frente do outro, os dois de tras ate riram do coitado que

ficara na frente, pois ele nao conseguia ver o bone de ninguem, e consequentemente nao teria a

mınima chance!!! Em seguida, foi feita a pergunta para o ultimo da fila:

- “Qual a cor do seu bone?”

- “Embora esteja vendo os bones dos meus 2 companheiros, minha resposta infelizmente e: Nao

sei!”

Foi feita entao a pergunta para o do meio:

- “Qual a cor do seu bone? ”

- “Nao sei! ”

Foi feita entao a pergunta para o da frente, que nao estava vendo nada:

- “Qual a cor do seu bone? ”

- “Eu sei! E serei libertado! ”

Qual a cor do bone do felizardo que foi libertado?

Problema 83.

Numa certa povoacao africana vivem 800 mulheres. De todas elas, 3% usam apenas um brinco.

Dos outros 97%, metade usam sempre dois brincos e a outra metade nenhum. Qual o numero

total de brincos usados por todas as mulheres?

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Problema 84.

Durante uma etapa de um campeonato de surf choveu 5 vezes. A chuva caia pela manha ou

a tarde, nunca o dia todo. Houve 6 manhas e 3 tardes sem chuva. Quantos dias durou esta

etapa?

Problema 85.

Numa certa manha de primavera, Fernando e Cecilia comecam a correr, no mesmo horario,

cada um com velocidade constante. Fernando corre de A para B e Cecilia corre de B para

A. Eles se cruzam as 9 da manha e continuam correndo. Fernando alcanca B as 11 horas da

manha e Cecilia alcanca A as 13 horas e 30 minutos. Qual foi a hora em que eles comecaram

a correr?

Problema 86.

Clodoaldo cria peixes dourados. Certo dia ele decide vender todos os seus peixes. Fez isso em

cinco etapas:

1. Vende metade dos seus peixes mais meio peixe.

2. Vende um terco do que sobra mais um terco de um peixe.

3. Vende um quarto do que sobra mais um quarto de um peixe.

4. Vende um quinto do que sobra mais um quinto de um peixe.

5. Sobram 11 peixes dourados.

Claro que nenhum peixe e dividido nem de modo algum maltratado. Com quantos ele comecou?

Problema 87.

Na populacao de uma especie rara de 1000 aves da floresta amazonica, 98% tinham cauda de

cor verde. Apos uma misteriosa epidemia que matou parte das aves com cauda verde, esta

percentagem caiu para 95%. Quantas aves foram eliminadas com a epidemia?

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Problema 88.

Voce precisa comprar arame para cercar um terreno na forma de um triangulo pitagorico (os

lados sao numeros inteiros), com a condicao de que a medida do cateto menor seja 40 metros.

Qual devera ser a medida do cateto maior e o comprimento do arame, a fim de que a area seja:

(a) maxima?

(b) mınima?

Problema 89.

Voce precisa comprar arame para cercar um terreno na forma de um triangulo pitagorico (os

lados sao numeros inteiros), com a condicao de que a medida do cateto maior seja 40 metros.

Qual devera ser a medida do cateto maior e o comprimento do arame, a fim de que a area seja:

(a) maxima?

(b) mınima?

Problema 90.

Num certo aeroporto, Nelly caminhava calmamente a razao de um metro por segundo; ao

tomar uma esteira rolante de 210 metros, Nelly continuou andando no mesmo passo e notou

ter levado um minuto para chegar ao fim da esteira. Se Gugu ficar parado nesta esteira, quanto

tempo levara para ser transportado?

Problema 91.

Beatriz, Isabele e Nicole estao disputando um jogo fazendo lancamentos sucessivos com uma

moeda. Beatriz ganha se, em dois lancamentos consecutivos, o primeiro resultar cara e o

segundo coroa. Isabele ganha se forem obtidas duas coroas em dois lancamentos consecutivos,

e Nicole ganha se forem obtidas duas caras em dois lancamentos consecutivos. Elas fazem os

lancamentos ate que uma das jogadoras seja vencedora. Qual e probabilidade de vitoria de

cada uma delas?

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Problema 92.

Mustafa comprou um tapete. O vendedor mediu o tapete com uma regua que supostamente

media um metro. Como o resultado foi que o tapete tinha 30 metros de largura e 20 metros

de comprimento, o vendedor cobrou 120000 rupias. Quando Mustafa chegou a sua casa mediu

novamente o tapete e percebeu que o vendedor tinha cobrado 9408 rupias a mais. Quantos

centımetros mede a regua usada pelo vendedor?

Problema 93.

Em cada um dos 10 degraus de uma escada existe uma ra. Cada ra pode, de um pulo, colocar-

se em outro degrau, mas quando uma ra faz isso, ao mesmo tempo, uma outra ra pulara a

mesma quantidade de degraus em sentido contrario: uma sobe e outra desce. Conseguirao as

ras colocar-se todas juntas num mesmo degrau?

Problema 94.

Dois operarios trabalhando separadamente levam 6 e 8 horas para montar um certo numero

de maquinas de calcular. Trabalhando juntos, sao tao eficientes que o rendimento conjunto

aumenta em 5 maquinas por hora e por causa disso terminam todo servico em 2 horas. Qual e

o numero de maquinas montado por eles?

Problema 95.

Ederson, Fabrıcio e Geraldo fizeram uma corrida. Ederson venceu, com 24 metros a frente de

Fabrıcio e 34 metros a frente de Geraldo. Alem disso, Fabrıcio venceu Geraldo com 12 metros

a frente. Qual e a distancia da corrida?

Problema 96.

Volume do Tanque Cilındrico. Considere o cilindro “deitado” de raio r e comprimento L. Seja

h a altura do lıquido no interior do cilindro. Determine o volume do lıquido no cilindro em

funcao de r, L e h.

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Problema 97.

O preco em reais de 32 jabuticabas e igual ao numero de jabuticabas que podemos comprar

com dois reais. Quantas jabuticabas podemos comprar com 36 reais?

Problema 98.

De um reservatorio cheio de agua, retira-se a metade do seu conteudo. A seguir, retira-se um

terco do que restou e continua-se com esse processo: restira-se um quarto do que restou, na

quarta retirada retira-se um quinto do que restou, etc. Apos quantas retiradas ficamos com

exatamente um decimo da quantidade original de agua?

Problema 99.

Na sua festa de aniversario, o jovem Guilherme resolveu fazer a seguinte brincadeira com os

seus 5 amigos mais chegados: ele daria sua colecao de bolinhas de gude a quem adivinhasse de

que cores eram duas bolas que ele havia escondido numa caixa. Ele explicou que as duas bolas

tinham cores diferentes, dentre as 6 cores a seguir: verde, amarela, azul, branca, vermelha e

preta. Seus amigos deram os seguintes palpites, respectivamente: verde e branca; amarela e

branca; amarela e vermelha; azul e vermelha; branca e preta. Guilherme, chateado, comunicou

a seus amigos que um deles havia errado as duas cores e os outros tinham acertado uma mas

errado a outra. De repente, teve uma ideia luminosa: daria sua colecao a quem, a partir das suas

informacoes, descobrisse as cores das bolas. Carlos Gustavo, que nao era bom de adivinhacao,

mas gostava de quebra-cabecas, deu logo a resposta certa. Mostre como ele descobriu as cores

das bolas na caixa.

Problema 100.

Duas maquinas A e B produzem 3000 pecas em um dia. A maquina A produz 1000 pecas, das

quais 3% sao defeituosas. A maquina B produz as restantes 2000, das quais 1% sao defeituosas.

Da producao total de um dia, uma peca e escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que

ela e defeituosa. Qual e a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela maquina A?

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Problema 101.

Daniel reparte certa quantidade de dinheiro igualmente entre seus filhos e sobrinhos. Se nao

tivesse incluıdo seus tres sobrinhos na divisao, cada filho teria recebido R$ 50,00 a mais. Por

outro lado, se tivesse incluıdo sua neta no rateio, cada filho e sobrinho teria recebido R$ 10,00

a menos.

(a) Quantos filhos tem Daniel?

(b) Quanto dinheiro ele repartiu?

Problema 102.

A professora Claudia aplicou uma prova de recuperacao para cinco alunos. Depois de corrigi-las,

digitou as notas em uma planilha eletronica que calcula automaticamente a media aritmetica

das notas a medida que elas sao digitadas. Ela notou que apos digitar cada nota a media

calculada pela planilha era um numero inteiro. Se as notas dos alunos sao, em ordem crescente,

71, 76, 80, 82 e 91:

(a) Qual foi a ultima nota que Claudia digitou?

(b) Quais sao as possıveis ordens em que ela digitou essas notas?

Problema 103.

O tesouro de um farao e protegido por uma porta que se abre com uma senha numerica. Nas

paredes da tumba, arqueologos decifraram as seguintes mensagens:

1. A senha e o produto de tres numeros.

2. A soma dos tres numeros e 128.

3. O primeiro menos o segundo e igual ao terceiro.

4. O segundo numero e igual a um terco do terceiro.

Determine a senha que abre a porta do tesouro.

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Problema 104.

Num relogio digital, as horas sao exibidas por meio de quatro algarismos. Por exemplo, ao

mostrar 00:00 sabemos que e meia-noite e ao mostrar 23:59 sabemos que falta um minuto para

meia-noite.

(a) Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados sao todos ımpares?

(b) Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados sao todos pares?

Problema 105.

Uma garrafa com 1 litro de vinho esta suspensa sobre outra, de igual capacidade, cheia de

agua. Por um orifıcio no fundo de cada, o vinho escorre para a garrafa de agua e a mistura se

esvai na mesma velocidade. Quando a garrafa de vinho estiver vazia, qual e o volume de vinho

na garrafa debaixo?

Problema 106.

Tres amigos Arnaldo, Bernardo e Carlos, foram ao mercado com suas mulheres: Denise, Estela

e Fernanda. Nao sabemos quem e casado com quem. Isto pode ser descoberto a partir das

seguintes informacoes: cada uma das seis pessoas pagou para cada objeto comprado, tantos

reais quantos objetos comprou. Cada marido gastou 48 reais a mais do que sua esposa. Alem

disso, Arnaldo comprou 9 objetos a mais que Estela e Bernardo 7 objetos a mais que Denise.

Com base nesses dados diga quem e casado com quem?

Problema 107.

Em um torneio de xadrez cada jogador disputou uma partida com cada um dos demais partici-

pantes. A cada partida, havendo o empate, cada jogador ganhou 1/2 ponto; caso contrario,

o vencedor ganhou 1 ponto e o perdedor 0 pontos. Participaram homens e mulheres e cada

participante conquistou o mesmo numero de pontos contra homens que contra mulheres. Mostre

que o numero total de participantes e um quadrado perfeito.

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Problema 108.

Apos passar por diversas etapas em um programa de auditorio, Larissa foi convidada para

sortear o seu premio (um carro zero quilometro). O sorteio e realizado com uma roleta circular,

dividida em 6 setores de mesma area: tres estao marcados como Carro, dois como Perde e um

como Gire novamente. Para descobrir qual premio ganhara, Larissa deve girar a roleta. Se a

roleta parar em Carro, Larissa ganha o carro; se ela parar em Perde, Larissa volta para casa

sem nada; se a roleta parar em Gire novamente, ela deve girar a roleta outra vez (nao ha limite

no numero de repeticoes permitidas). Qual e a probabilidade de Larissa ganhar o carro?

Problema 109.

O Clube VM tem dois tipos de membros: os que dizem sempre a verdade quando lhes e feita

uma pergunta e os que respondem sempre com uma mentira. Na minha primeira visita ao clube,

encontrei todos os seus membros sentados a almocar a volta de uma grande mesa redonda. Nao

havia maneira de distinguir os verdadeiros dos mentirosos a partir do seu aspecto exterior, pelo

que fui perguntando a cada um deles se eram uma coisa ou outra. De nada me serviu, pois,

como era de esperar, todos disseram que diziam sempre a verdade. Fiz uma nova tentativa, mas,

desta vez, perguntando a cada um se o seu vizinho da esquerda era verdadeiro ou mentiroso.

Para surpresa minha, todos responderam que a pessoa a sua esquerda era mentirosa.

Mais tarde, ao regressar a casa e datilografar os meus apontamentos sobre o almoco, descobri

que me tinha esquecido de tomar nota do numero de pessoas sentadas a mesa. Telefonei entao

ao presidente do clube, que me informou serem 37. Depois de desligar o telefone percebi que

nao podia confiar neste numero pois nao sabia se o presidente era dos que diziam a verdade ou

dos que mentiam. Decidi, pois, telefonar ao secretario do clube.

- “Nao. O nosso presidente, infelizmente, e um mentiroso empedernido. Eramos 40 a mesa”,

disse-me o secretario.

Em qual destes dois homens deveria eu acreditar?

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Problema 110.

Um pequeno caminhao pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no

caminhao 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar?

Problema 111.

Quantas vezes num dia (24 horas) os ponteiros de um relogio formam angulo reto?

Problema 112.

Uma ampulheta e formada por dois cones identicos. Inicialmente, o cone superior esta cheio

de areia e o cone inferior esta vazio. A areia flui do cone superior para o inferior com vazao

constante. O cone superior se esvazia em exatamente uma hora e meia. Quanto tempo demora

ate que a altura da areia no cone inferior seja metade da altura da areia no cone superior?

Problema 113.

Claudio e Luciano correm em sentidos opostos em uma pista circular, comecando em pontos

diametralmente opostos. O primeiro cruzamento entre eles ocorre depois de Claudio ter percor-

rido 300 metros. O segundo cruzamento ocorre apos Luciano ter percorrido 500 metros entre o

primeiro e o segundo ponto de encontro. As velocidades deles sao constantes e distintas. Qual

e o tamanho da pista, em metros?

Problema 114.

Alberto, Beatriz e Carlos correm numa pista circular. Todos saem ao mesmo tempo e do

mesmo lugar, cada um desenvolvendo velocidade constante. Alberto e Beatriz correm no mesmo

sentido. Correndo no sentido oposto, Carlos encontra Alberto, pela primeira vez, 1 minuto e

meio apos o inıcio da corrida e encontra Beatriz exatamente 15 segundos depois. Quanto tempo

e necessario para que Alberto ultrapasse Beatriz pela primeira vez?

30

Problema 115.

As 6 horas da manha o relogio da igreja levou 30 segundos para dar as 6 badaladas. Ao

meio-dia, quanto tempo levara para dar as 12 badaladas?

Problema 116.

Em um aquario ha peixes amarelos e vermelhos: 90% sao amarelos e 10% sao vermelhos.

Uma misteriosa doenca matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a

doenca foi controlada verificou-se que no aquario, 75% dos peixes vivos eram amarelos. Que

porcentagem dos peixes amarelos morreu?

Problema 117.

Quantos sao os triangulos que possuem medidas dos seus lados expressas por numeros inteiros

e tais que a medida do maior lado seja igual a 11?

Problema 118.

No trimino marciano, as pecas tem 3 numeros cada (diferente do domino da Terra, onde cada

peca tem apenas 2 numeros). Os numeros no trimino marciano tambem variam de 0 a 6, e para

cada escolha de 3 numeros (nao necessariamente distintos) existe uma e somente uma peca que

contem esses 3 numeros.

(a) Quantas pecas possui esse jogo?

(b) Qual e a soma dos numeros de todas as pecas do trimino marciano?

Problema 119.

Pedro distribuiu 127 moedas de 1 real em sete caixas e colocou em cada uma delas uma etiqueta

dizendo o numero de moedas da caixa. Essa distribuicao foi feita de forma que qualquer quantia

de R$1,00 a R$127,00 pudesse ser paga entregando-se apenas caixas fechadas. De que maneira

Pedro fez essa distribuicao?

31

Problema 120.

Jaqueline usou uma tampa circular para tracar um cırculo. Como ela pode determinar o centro

desse cırculo, tendo apenas um esquadro reto e um lapis?

Problema 121.

Quantos dados devem ser lancados ao mesmo tempo para maximizar a probabilidade de se

obter exatamente um 2?

Problema 122.

Letıcia vendeu todos seus CDs de videogames para tres amigos, que lhe pagaram, respectiva-

mente, R$ 240,00, R$ 180,00 e R$ 320,00. Todos os CDs tinham o mesmo preco. Quantos CDs

tinha Letıcia no mınimo?

Problema 123.

Uma empresa de telefonia celular oferece planos mensais de 60 minutos a um custo mensal

de R$ 52,00, ou seja, voce pode falar durante 60 minutos no seu telefone celular e paga por

isso exatamente R$ 52,00. Para o excedente, e cobrada uma tarifa de R$ 1,20 cada minuto. A

mesma tarifa por minuto excedente e cobrada no plano de 100 minutos, oferecido a um custo

mensal de R$ 87,00. Um usuario optou pelo plano de 60 minutos e no primeiro mes falou

durante 140 minutos. Se ele tivesse optado pelo plano de 100 minutos, quantos reais ele teria

economizado?

Problema 124.

Sabrina mente as quartas, quintas e sextas-feiras, dizendo a verdade no resto da semana.

Jurandir mente aos domingos, segundas e tercas-feiras, dizendo a verdade nos outros dias.

Certo dia ambos declaram:

- “ Amanha e dia de mentir”.

Qual o dia em que foi feita essa declaracao?

32

Problema 125.

Um bancario costuma chegar diariamente a sua estacao, precisamente as cinco horas. Sua

esposa costuma ir ao encontro do trem para levar o marido de automovel para casa. Um dia

o viajante chega uma hora antes, e, como o tempo esta bom, resolve ir andando pelo caminho

que costuma seguir, sem telefonar para a esposa. Encontra-a no caminho, sobe no carro e os

dois voltam para casa, chegando dez minutos mais cedo do que de costume. Suponha-se que a

mulher viaje a velocidade constante, e que saia de casa no tempo exato para encontrar o trem

das cinco, quanto tempo andou o marido antes de ser encontrado pela esposa?

Problema 126.

Suponha que se tem um tabuleiro de xadrez do qual dois cantos diagonalmente opostos sao

retirados, restando portanto, no tabuleiro, sessenta e dois quadrados. Agora suponha que se

tem trinta e um dominos, cada qual cobrindo exatamente dois quadrados do tabuleiro.

A pergunta do problema e: Pode-se encontrar algum modo de arranjar estes trinta e um

dominos no tabuleiro de modo a cobrir todos os sessenta e dois quadrados? Se isto pode ser

feito, explicar como. Se nao puder, prove porque.

Problema 127.

Joana estava passeando pela floresta e queria visitar a sua avo, quando chegou numa encruzi-

lhada e tinha tres caminhos possıveis. Na entrada de cada um deles havia uma placa. Os

dizeres eram os seguintes:

No caminho I: “O caminho correto e este”.

No caminho II: “Este nao e o caminho”.

No caminho III: “O caminho certo nao e o I”.

Sabendo que somente uma das tres placas diz a verdade, responda:

(a) Qual e a placa que diz a verdade?

(b) Qual e o caminho certo?

33

Problema 128.

A televisao de Ricardo consegue sintonizar os canais de 3 ate 73. Se a TV de Ricardo estiver

sintonizada no canal 21 e ele apertar o botao que avanca o canal 2007 vezes, em que canal

estara sintonizada ao parar?

Problema 129.

Se uma garrafa e um copo equilibram um jarro; uma garrafa equilibra um copo e uma taca;

Dois jarros equilibram tres tacas, quantos copos equilibram uma garrafa ?

Problema 130.

Dois atletas brincam com seus numeros de inscricao em uma competicao:

- “O meu numero e formado por quatro algarismos diferentes; o segundo e o quadrado do

primeiro e o quarto e o quadrado do terceiro”.

O outro retruca:

- “O meu tambem. Porem minha inscricao na competicao foi depois da sua”.

Qual o numero de inscricao de cada um ?

Problema 131.

A decisao do campenato municipal de futebol de Acucarlandia sera decidida na cobranca de

penaltis entre os times Zucker e Zucchero. Tres jogadores de cada time serao destacados para

esta difıcil tarefa. Antes da decisao os jogadores de ambas as equipes treinaram exaustivamente

a cobranca de penaltis. Os tres jogadores do Zucker tiveram um aproveitamento de 80%, 85%

e 90%, respectivamente; e os jogadores do Zucchero tiveram um aproveitamento de 75%, 85%

e 95%, respectivamente. Baseado nessas informacoes, qual time tem maior probabilidade de

converter as tres penalidades? E se o terceiro batedor do Zucchero tivesse um aproveitamento

de 96% ao inves de 95%, quem teria maior probabilidade de acertar os tres penaltis?

34

Problema 132.

Pedro e Paulo disputam um jogo de cara ou coroa em que Pedro deve pagar R$ 1,00 a Paulo

se der cara. Se sair coroa, a moeda devera ser novamente jogada e desta vez, se der cara,

Pedro deve pagar R$ 2,00. Se der coroa, joga-se pela terceira vez, pagando R$ 4,00 se der cara.

Em resumo, o pagamento dobra com cada jogada e continua ate que saia cara, quando Pedro

finalmente paga, e o jogo acaba. Qual a quantia justa que Paulo devera pagar a Pedro, antes

de comecar o jogo, para ter o privilegio de jogar esta partida?

Problema 133.

Um homem tem dois relogios analogicos. Um deles nao anda e o outro atrasa uma hora por

dia. Qual deles mostrara mais frequentemente a hora certa ?

Problema 134.

Existem cinco botes numa margem de um rio; seus nomes sao um, tres, seis, oito e doze, porque

essas sao as quantidades de horas que cada um deles demora para cruzar o rio. Pode-se atar

um bote a outro, porem nao mais de um, e entao o tempo que demoram em cruzar e igual ao

do mais lento dos botes. Um so barqueiro deve levar todos os botes ate a outra margem do rio.

Mostre como e possıvel o barqueiro atravessar os cinco botes em 29 minutos.

Problema 135.

Carina possui uma maquina copiadora com a qual e possıvel fazer reducoes e aumentos do

tamanho de impressao. Nessa maquina e possıvel fazer copias iguais a 80%, 100% e 150% de

um original.

(a) E possıvel fazermos uma copia cujo tamanho seja 144% do original? Caso afirmativo,

explique como isso pode ser feito.

(b) E possıvel fazermos uma copia cujo tamanho seja 156% do original? Caso afirmativo,

explique como isso pode ser feito.

35

Problema 136.

De 1o de janeiro ate 31 de outubro de 2006, uma pequena livraria de Goiania, que abre todos

os dias, vendeu no mınimo um livro por dia e um total de 463 livros. Mostre que existiu um

perıodo de dias consecutivos em que foram vendidos exatamente 144 livros.

Problema 137.

Imagine que voce tenha que ligar tres casas a tres usinas, que fornecem gas, agua e eletricidade.

E preciso ter tres fios eletricos(da usina para cada uma das tres casas), tres canos de agua(do

reservatorio para cada casa) e tres linhas de gas(da usina para cada uma das casas). As casas e

as usinas podem ser colocadasem qualquer lugar que queiramos, mas nao pode haver cruzamento

de fio com fio, fio com cano, etc. E possıvel fazer tais ligacoes?

Problema 138.

Um grupo amigos saiu para comer pizza. No restaurante em que foram, as pizzas sao cortadas

em doze pedacos iguais. Maria observou que cada rapaz comeu 6 ou 7 pedacos e cada moca, 2

ou 3 pedacos. Eles pediram quatro pizzas que foram totalmente consumidas e depois pediram

mais uma, da qual sobraram alguns pedacos. Quantos rapazes e mocas foram a pizzaria?

Problema 139.

Um crime e cometido por uma pessoa e ha quatro suspeitos: Andre, Eduardo, Rafael e Joao.

Interrogados, eles fazem as seguintes declaracoes:

- “Eduardo e o culpado”, disse Andre.

- “Joao e o culpado”, falou Eduardo.

- “Eu nao sou culpado”, comentou Rafael.

- “Eduardo mente quando diz que eu sou culpado”, retrucou Joao.

Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, quem e o culpado?

36

Problema 140.

Dois jovens inexperientes foram acampar e deixaram descuidadamente os mantimentos no chao

durante a noite. Na manha seguinte, descobriram que um cao havia devorado um terco das

refeicoes que haviam levado. Durante o dia consumiram 4 refeicoes e decidiram deixar a comida

restante pendurada numa arvore durante a noite. Quando acordaram, pela manha, verificaram

que um gato havia roubado um terco das refeicoes deixadas na noite anterior. Nesse dia mais

uma vez comeram 4 refeicoes. Dessa vez colocaram as refeicoes que haviam sobrado no alto

de uma arvore, agora mais proxima do local onde eles dormiam. Mesmo assim, pela manha

constataram que metade das refeicoes haviam sumido. Notaram que ainda sobravam 4 refeicoes.

Quantas refeicoes haviam levado de inıcio para o acampamento?

Problema 141.

Imaginemos um corda muito boa, que nao deforma de “jeito nenhum”. Uma de suas extremi-

dades e amarrada no pescoco do monumento ao Lacador na entrada de Porto Alegre. A outra

extremidade e amarrada no primeiro pilar da Ponte Hercılio Luz, na entrada da Ilha de Flo-

rianopolis. Sao 480 km de extensao e a cidade de Sombrio fica na metade do caminho (nao

fique pensando em morros e outros obstaculos. Seja crianca “faca de conta”!). Uma segunda

corda, com 1m a mais de comprimento, e amarrado nos mesmos lugares do primeiro. Como

tem um metro a mais, nao ficara esticada. Em sombrio afastamos verticalmente a segunda

corda da primeira ate que fique esticada. A pergunta e: esticando a segunda laco, de quantos

metros ficara afastada da primeira?

Problema 142.

Suponha que com uma corda semelhante ao do problema anterior voce queira circundar a esfera

terrestre, em uma de suas circunferencias maximas (por exemplo, passando pelo equador),

novamente desconsidere oscilacoes do relevo. Primeiramente temos uma corda perfeitamente

esticada rente a superfıcie. Se agora desejarmos usar uma outra corda de modo que ela fique a

uma distancia constante de 1m da superfıcie, quantos metros a mais devera medir esta segunda

corda? E se estivessemos “lacando” uma bola de basquete?

37

Problema 143.

Luiz Paulo e dono de uma imobiliaria. Num determinado mes ele comprou duas casas por

um total de R$ 280.000,00. Ele revendeu uma delas com um lucro de 15% e a outra com um

prejuızo de 10%. No total lucrou R$ 5.000,00. Quanto ele pagou por cada uma das casas?

Problema 144.

Uma ilha das amazonas e habitada por amazonas e homens. As amazonas mandam em tudo,

sao inteligentıssimas, ciumentıssimas e muito fofoqueiras. O que uma amazona mais gosta de

fazer e trair outra amazona com o marido desta. Consumada a traicao, ela conta o seu feito a

todas as amazonas da ilha menos a amazona traıda. As outras amazonas tambem nao contam

nada a vıtima da traicao. Mas se uma amazona descobre que esta sendo traıda ela mata o seu

marido na proxima meia noite.

A rainha das amazonas, que e viuva, ve esta situacao com desagrado. Ela ve que ha traicao na

ilha mas, como nunca ninguem descobre nada, nenhum marido morre. No inıcio da tarde do

dia 1o de janeiro de 2007, entao, contrariando a tradicao, ela chama todas as amazonas para a

praca central e faz uma proclamacao solene:

- “Ha traicao nesta ilha.”

Nenhuma amazona sonha em duvidar da palavra da rainha e todas as amazonas sabem disso.

Como ja foi dito, todas sao inteligentes e ciumentas: estes e os outros fatos mencionados neste

enunciado ate aqui sao conhecimento comum entre as amazonas. Supondo que haja 1000

amazonas na ilha e que 365 delas tenham sido traıdas, o que acontecera?

38

Respostas

1. (a) 32767. (b) 3 perguntas: 9a, 13a e 15a. 2. 84 3. 3 km/h. 4. 1023.

5. Se ele trocar de porta, ele ganha o carro com probabilidade 2/3. Caso contrario, a proba-

bilidade e de apenas 1/3.

6. O comprador foi prejudicado, pois o peso correto do queijo e 4 quilos.

7. Uma solucao seria: 8 0 0, 3 5 0, 3 2 3, 6 2 0, 6 0 2, 1 5 2, 1 4 3, 4 4 0. 12. 8; 377.

9. e 10. Veja revista Eureka, no 6, paginas 42, 43, 44 e 45. (www.obm.org.br)

13. (a) 24. (b) 2018. (c) 0,2425. 14. (a) 14. (b) 2016. 15. 15. 16. 72 e 80.

17. (a) 31/07/2030. (b) 31/03/2031. 18. 7 e 1. 19. 3762. 20. 2, 6 e 6.

21. R$ 2,19. 23. R$ 1.089,00. 24. 0,4756953... 25. base 9. 26. 150 dias, num sabado.

22. (a) 19 solucoes: b = −2 + 7t, c = 174− 9t, t ∈ {1, . . . , 19}. (b) b = 131 e c = 3, onde b

indica a quantidade de bois e c a de cavalos.

27. R$ 50,00. 29. Hoje e 1o de janeiro, ela aniversariou ontem. 31. 8h59.

28. CCCMMM |... CC→ CMMM |CCC← CCMMM |C CC→ MMM |CCC

C←MMMC|CCMM→

MC|CCMMMC← MMCC|MC

MM→ CC|MMMCC← CCC|MMM

CC→ C|MMMCCC←

CC|MMMCCC→ ...|MMMCCC. 30. (a) 2 moedas de cada tipo. (b) Kr$ 2,42.

32. (a) 15. (b) um envelope com 34 figurinhas de bandeiras de paıses; 4 envelopes com 9, 16,

17 e 26 figurinhas de jogadores de futebol.

33. Se o terceiro tiver acertado a cor, entao os dois primeiros tambem teriam acertado, o que

nao e possıvel, pois pelo menos um deles errou. Logo o terceiro errou e um dos dois

primeiros acertou. Portanto a cor do carro e preta.

34. Probabilidade de acerto de Rafael(tres de um sexo e um de outro): 1/2; Probabilidade

de Rodrigo acertar(dois de cada sexo): 3/8. 35. 1800 ml.

36. A quantidade de livros que devem ser retirados em cada estante e depois pesar:

(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 OU 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

(b) 1, 2, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29; (c) 1, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39.

39

37. Seja x a quantia que Caio tinha inicialmente. Ele saiu da 1a loja com x2− 1, saiu da

2a loja com x4− 3

2, saiu da 3a loja com x

8− 7

4, saiu da 4a loja com x

16− 15

8. Como ele gastou

todo dinheiro segue que x16− 15

8= 0, ou seja x = 30.

38. 100. 39. 100. 40. Castanho, Azul, C, A, A. 41. (a) 1/3. (b) 1/2.

42. 9. 43. 20 e 15. 44. 8 anos. 45. 72 km/h. 46. 24 e 30.

47. Da uma maca para quatro meninas e para a quinta da a cesta com a maca que sobrou.

48. 16 de agosto (mediana). 49. 70 km/h (media aritmetica).

50. 87,5% sao caes e 12, 5% sao gatos. 51. 60,86956... km/h (media harmonica).

52. 1760 m. 53. 4 horas. 54. 5 horas. 55. (a) 59. (b) 1

3

[1 +

(−1

3

)n].

56. 65 km/h. 57. 6. 58. (a) 48000km. (b) 60000 km.

59. Se o jogo continuasse a probabilidade de vitoria do jogador que tem tres vitorias seria

igual a 18. Portanto a divisao justa seria 1

820 = 2, 50 para o jogador com tres vitorias e

7820 = 17, 50 para o jogador com cinco vitorias.

60. Nacionalidade Cor da casa Bebida Profissao Animal

Argentino Verde Cafe Advogado Peixe

Chileno Azul Cha Professor Cavalo

Brasileiro Amarela Agua Dentista Gato

Paraguaio Vermelha Vinho Engenheiro Passaro

Uruguaio Branca Cerveja Medico Cao

61. (a) Chaves ligadas: 5, 6 e 8. (b) Chaves ligadas: 5, 6 e 9.

62. 480 ml de suco e 360 ml de agua.

63. Primeiro coloque 9 quilos de feijao em cada um dos pratos. Depois coloque 4,5 quilos em

cada um dos pratos, deixando 9 quilos de fora da pesagem. Na terceira pesagem coloque

4,5 quilos em um dos pratos e no outro coloque os dois pesos e mais feijao(4 quilos) ate

equilibrar.

40

64. (a) 3/5. (b) 1/6. 65. D. 66. 90. 67. 22/3. 68. 95/294 ≈ 0, 3231.

69. 705. 70. 1/5. 71. 13. 72.√

129.

73. As quantidades de agua no vinho e vinho na agua sao iguais. 75. 100.

74. 1, 4, 9,..., 1936, ou seja, as portas cujo numero e um quadrado perfeito. 78. dois reais.

76. A cor do selo de Carlos e verde. 77. “Serei sacrificado para o Deus da Mentira.”

79. Seja x a quantidade de cocos que eles colheram.

1o Homem: da um coco para o macaco, pega x−13

cocos para ele, sobrando 23(x− 1) cocos.

2o Homem: da um para o macaco, pega23(x−1)−1

3cocos para ele e sobram 4

9(x− 1)− 2

3cocos.

3o Homem: da um para o macaco, pega49(x−1)− 5

3

3cocos para ele e sobram 8

27(x− 1)− 10

9cocos.

De manha ha ainda 827

(x−1)− 109

cocos. Dando um coco para o macaco sobram 827

(x−1)− 109−1

cocos e esse numero deve ser multiplo de 3, ou seja, 827

(x− 1)− 109− 1 = 3y. Com isso temos

a seguinte equacao: 8x− 81y = 65. Resolvendo essa equacao diofantina segue que x = 81t− 2

e y = 8t− 1. O menor valor de t que torna y positivo e t = 1. Para t = 1 temos x = 79.

80. “O guardiao mentiroso esta na porta do ceu?”

81. UMA bola da caixa com a etiqueta PB.

82. Azul. 83. 800. 84. 7. 85. 6 horas da manha. 86. 59. 87. 600.

88. (a) cateto maior = 399 m; comprimento do arame = 840 m. (b) cateto maior = 42 m;

comprimento do arame = 140 m.

89. (a) cateto menor = 30 m; comprimento do arame = 120 m. (b) cateto menor = 9 m;

comprimento do arame = 90 m.

90. 84 s. 91. Beatriz = 3/8; Isabele = 3/8 e Nicole = 1/4. 92. 96.

93. No instante inicial a soma das posicoes das ras e 1 + 2 + . . . + 10 = 55. Pelas regras do

jogo, essa soma se mantem invariante. Se as ras conseguissem ficar num mesmo degrau

i, por exemplo, terıamos que a soma das posicoes seria 10i = 55, o que da uma contradicao.

Logo nao e possıvel as 10 ras ocuparem o mesmo degrau.

41

94. 24. 95. 144 m. 97. 144. 98. 9. 99. As cores sao branca e azul. 100. 3/5.

96. Volume do Cilindro =

L[r2arccos

(r−h

r

)− (r − h)

√2hr − h2

], se h ≤ r

L[πr2 − r2arccos

(h−r

r

)− (h− r)

√2hr − h2

], se h ≥ r

.

101. (a) 6. (b) R$ 900,00. 102. 76, 82, 91, 71 e 80 OU 82, 76, 91, 71 e 80.

103. 49152. 104. (a) 75. (b) 105. 105. 1− 1e.

106. Os casais sao: Arnaldo e Fernanda; Bernardo e Estela; Carlos e Denise.

108. 3/5. 109. No secretario. 110. 144. 111. 44.

112. 1 hora, 3 minutos e 20 segundos. 113. 1100. 114. 630 s. 115. 66 s.

116. 66,66...%. 117. 36. 118. (a) 84; (b) 756.

119. Quantidade de moedas em cada uma das caixas: 1, 2, 4, 8, 16, 32 e 64.

120. Lembre-se que se inscrevemos um triangulo retangulo num cırculo, entao a hipotenusa

sera um diametro.

121. 5 ou 6. 122. 37. 123. 13. 124. 3a feira. 125. 55 minutos.

126. Nao e possıvel cobrir os 62 quadrados com as 31 pecas. Os dois quadrados retirados

sao de mesma cor(preta ou branca). Vamos supor que sejam retirados dois quadrados

brancos. Alem disso, cada peca de domino cobre sempre um quadrado branco e um

preto. Como restaram 30 quadrados brancos e 32 pretos nao e possıvel cobrir os 62

quadrados.

127. (a) III. (b) II. 128. 40. 129. 5. 130. 2439 e 3924.

131. Probabilidade da equipe Zucker acertar as tres penalidades = 0,612; probabilidade da

equipe Zucchero acertar as tres penalidades = 0,605625. Se o terceiro batedor de

Zucchero tiver aproveitamento de 96%, entao as probabilidades serao iguais a 0,612.

132. Este problema envolve o famoso paradoxo de St. Petersburg. Calculando a esperanca

de ganho de Paulo e infinita. Se voce fosse Paulo, quanto pagaria para participar desse

jogo?

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133. O relogio parado estara certo duas vezes por dia e o relogio que atrasa uma hora por

dia estara certo de 12 em 12 dias.

134. 1, 3, 6, 8, 12 | ... 1,3→ 6, 8, 12 | 1, 3 3← 3, 6, 8, 12 | 1 8,12→ 3, 6 | 1, 8, 121← 1, 3, 6 | 8, 12

1,6→

3 | 1, 6, 8, 121← 1, 3 | 6, 8, 12

1,3→ ... | 1, 3, 6, 8, 12.

135. (a) E possıvel, basta fazer duas reducoes usando a opcao 80% e depois duas ampliacoes,

usando a opcao 150%. (b) Nao e possıvel.

136. Seja ai a quantidade de livros vendidos ate o dia i, para 1 ≤ i ≤ 304. Entao

1 ≤ a1 < a2 < . . . < a304 = 463. Considere a sequencia bi = ai + 144. Assim segue

que 145 ≤ b1 < b2 < . . . < b304 = 607. Logo ai, bj ∈ {1, . . . , 607}, para todo

i, j ∈ {1, . . . , 304}. Pelo Princıpio da Casa dos Pombos, existem i, j tais que ai = bj.

Portanto ai − aj = 144.

137. Nao e possıvel. 138. 8 rapazes e uma moca. 139. Rafael. 140. 33.

141. aproximadamente 489,89. 142. 2π metros em qualquer um dos casos.

143. R$ 132.000,00 e R$ 148.000,00.

144. Solucao de Eduardo Fischer(Encantado - RS) na Revista Eureka, no 20.

Se houvesse somente uma traicao, a traıda nao saberia de nada, e como havia pelo menos

uma traicao que ela nao soubesse, mataria o seu marido na primeira noite. Como na primeira

noite ninguem morreu, uma mulher que soubesse de uma unica traicao mataria seu marido na

segunda noite, pois, como nao houve morte na primeira noite, havia algo que ela nao sabia.

Assim, se houver exatamente duas traicoes, as traıdas matarao seus maridos na seguinte noite.

Supondo que na (n − 1)-esima noite ninguem morreu, uma mulher que soubesse de apenas

n − 1 traicoes mataria seu marido na n-esima noite, pois, como nao houve morte na (n − 1)-

esima noite, havia algo que ela nao sabia. Mostramos assim, por inducao em n, que, se houver

exatamente n traicoes (i.e., n maridos traidores) as traıdas matarao seus maridos na n-esima

noite. Lembrando que cada traıda sabe de 364 traicoes, cada uma mataria o seu marido depois

de uma ano, no 365◦ dia (isto e, no reveillon de 2008).

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