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II. MODELAGEM MATEMÁTICA (cont.)

Prof. Davi Antônio dos Santos ([email protected])

Departamento de Mecatrônica

www.mec.ita.br/~davists

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA

DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA

MP-272: CONTROLE E NAVEGAÇÃO DE MULTICÓPTEROS

Março/2017

São José dos Campos

mailto:[email protected]

http://www.mec.ita.br/~davists

Sumário

II. MODELAGEM MATEMÁTICA (cont.)

II.3. Movimento de Rotação

II.3.1. Sistemas de Coordenadas

II.3.2. Representação de Atitude

II.3.3. Cinemática de Atitude

II.3.4. Dinâmica de Atitude

MP-272: Controle e Navegação de Multicópteros 2


II.3.1. Sistemas de Coordenadas

Nesta seção, considere o SCC do corpo 𝑆B = 𝑥 B, 𝑦 B, 𝑧 B e o SCC de

referência 𝑆R = 𝑥 R, 𝑦 R, 𝑧 R . (Vide Seção II.2.1)

3 MP-272: Controle e Navegação de Multicópteros

vertical local

CM

𝑥 B

𝑦 B

𝑧 B

𝑥 R

𝑦 R

𝑧 R


II.3.2. Representação de Atitude

Como representar a atitude de 𝑆B em relação a 𝑆R?


𝑥 B

𝑦 B

𝑧 B

𝑥 R

𝑦 R

𝑧 R

CM


Matriz de Atitude:

Escrevendo os versores de 𝑆B em termos dos versores de 𝑆R, obtêm-se:

onde .

Dessas equações, conclui-se que:

Os cossenos diretores 𝐶ij descrevem completamente a atitude de 𝑆B em

relação a 𝑆R.


𝑥 R

𝑦 R

𝑦 B

𝑥 B

𝑧 R 𝑧 B

∠ 𝑥 B, 𝑥 R

∠ 𝑥 B, 𝑧 R

∠ 𝑥 B, 𝑦 R


Logo, a atitude pode ser representada pela chamada Matriz de Atitude:

que também é chamada de

•Matriz de Cossenos Diretores (sigla em inglês: DCM)

•Matriz de Rotação



Transformação de Representações:

Seja um vetor arbitrário v. Suas representações 𝐯B em SB e 𝐯R em SR se

relacionam por


𝑥 B

𝑦 B

𝑧 B

𝑥 R

𝑦 R

𝑧 R

CM v


Rotações Sucessivas:

Sejam as seguintes representações de rotação:

Pode-se mostrar que [Ref. 1, Apêndice B]:


• De 𝑆A para 𝑆C: 𝐃C/A

• De 𝑆A para 𝑆B: 𝐃B/A

• De 𝑆B para 𝑆C: 𝐃C/B

𝑆A

𝑆B

𝑆C 𝐃B/A 𝐃C/B

𝐃C/A


Ortonormalidade:

Uma matriz de atitude qualquer 𝐃B/R é dita ser ortonormal, pois suas

linhas e colunas são ortogonais e possuem norma Euclidiana unitária.

Essa propriedade implica em



Eixo/Ângulo de Euler:

Teorema de Euler:

O deslocamento angular geral de um corpo rígido com um ponto fixo

pode ser descrito por uma rotação 𝜑 em torno de um eixo a que passa

por esse ponto.


a

𝜑

ponto fixo 𝑥 R

𝑦 R

𝑦 B

𝑥 B

𝑧 R 𝑧 B


A atitude de 𝑆B em relação a 𝑆R pode ser representada pelo par:

em que 𝜑 é o chamado ângulo principal de Euler e 𝐚, que consiste numa

representação de a (em 𝑆B ou em 𝑆R), é o chamado eixo principal de

Euler.



Relação com a Matriz de Atitude:

Represente a atitude de SB em relação a SR por 𝜑, 𝐚 . A matriz de

atitude 𝐃B/R pode ser expressa como [Ref. 1, Capítulo 2]:

onde



Por outro lado, dada a matriz 𝐃B/R, os parâmetros 𝐚 e 𝜑 correspondentes

são dados por


• Se tr 𝐃B/R = 3: 𝐚 é indefinido.

• Se tr 𝐃B/R = −1:

…


• Se tr 𝐃B/R ≠ −1 e tr 𝐃B/R ≠ 3:



Observação:

1. Há ambiguidade na representação de atitude por Eixo/Ângulo de

Euler, pois, por exemplo,

𝜑, 𝐚 e −𝜑,−𝐚 representam a mesma atitude.



Parâmetros de Euler (quaternion):

Os parâmetros de Euler são, por definição, os componentes do vetor

onde




Represente a atitude de SB em relação a SR por 𝜂, 𝜺 . A matriz de

atitude 𝐃B/R pode ser expressa como

Por outro lado, dada a matriz 𝐃B/R,





Pode-se mostrar que:


• De 𝑆A para 𝑆C:

• De 𝑆A para 𝑆B:

• De 𝑆B para 𝑆C:

𝑆A

𝑆B

𝑆C 𝐪B/A 𝐪C/B

𝐪C/A


Observações:

1. O vetor 𝐪 apresenta norma unitária, i.e.

2. Há ambiguidade na representação de atitude por parâmetros de Euler,

pois

𝐪 e −𝐪 representam a mesma atitude.



Vetor de Gibbs:

O Vetor de Gibbs 𝐠 ∈ ℝ3 é, por definição,

Na literatura, o 𝐠 é ainda conhecido como:

• Parâmetros de Euler-Rodrigues

• Parâmetros de Rodrigues




Represente a atitude de SB em relação a SR por 𝐠. A matriz de atitude

𝐃B/R pode ser expressa como

Por outro lado, dada a matriz 𝐃B/R,







• De 𝑆A para 𝑆C:

• De 𝑆A para 𝑆B:

• De 𝑆B para 𝑆C:

𝑆A

𝑆B

𝑆C

𝐠B/A 𝐠C/B

𝐠C/A


Observações:

1. Não há ambiguidade na representação de atitude por Vetor de Gibbs.

2. O vetor 𝐠 se torna infinito para um ângulo de rotação múltiplo ímpar

de 180𝑜.



Ângulos de Euler:

Rotações Elementares:

Uma rotação elementar consiste numa rotação em torno de um eixo

coordenado. Denote por 𝐃𝑖 𝜚 a matriz de rotação elementar de um

ângulo 𝜚 em torno do eixo coordenado 𝑖 ∈ 1,2,3 .




Representação de Atitude Tridimensional:

A atitude tridimensional pode ser representada por uma sequência de três

rotações elementares, tal que cada rotação seja diferente da rotação

anterior. Há 12 possíveis sequências:

Adotaremos as sequências:

123 e 321


313, 212,121, 131, 323, 232

123, 321, 132, 312, 231, 213


Relação com a Matriz de Atitude (321):

Represente a atitude de SB em relação a SR pelos ângulos de Euler 𝜓, 𝜃 e

𝜙 tomados na sequência de eixos 321. A matriz de atitude 𝐃B/R pode ser

expressa como



Por outro lado, dada a matriz 𝐃B/R, obtêm-se



Relação com a Matriz de Atitude (123):

Represente a atitude de SB em relação a SR pelos ângulos de Euler 𝜙, 𝜃 e

𝜓 tomados na sequência de eixos 123. A matriz de atitude 𝐃B/R pode ser

expressa como



Por outro lado, dada a matriz 𝐃B/R, obtém-se



Observações:

1. Os ângulos de Euler consistem na melhor escolha de representação de

atitude no que concerne à visualização.

2. Os ângulos de Euler consistem na pior escolha de representação de

atitude no que concerne ao custo computacional.



II.3.3. Cinemática de Atitude

Denote o vetor velocidade angular de 𝑆B em relação a 𝑆R por 𝛺B/R.


𝑥 R

𝑦 R

𝑧 R

𝑥 B

𝑦 B

𝑧 B

CM

𝛺B/R


Como descrever o movimento rotacional de 𝑆B em relação a 𝑆R em

função de 𝛺B/R ?


𝑥 R

𝑦 R

𝑧 R

𝑥 B

𝑦 B

𝑧 B

CM

𝛺B/R


Cinemática em Matriz de Atitude:

Seja 𝛀BB/R

a representação de 𝛺B/R em 𝑆B. Pode-se mostrar que a cine-

mática de atitude de 𝑆B em relação a 𝑆R é modelada em matriz de atitude

por [2]:



Cinemática em Eixo/Ângulo de Euler:

Seja 𝛀BB/R


mática de atitude de 𝑆B em relação a 𝑆R é descrita em eixo/ângulo de

Euler por [Ref. 1, p.24-25]:



Cinemática em Quaternion:

Seja 𝛀BB/R


mática de atitude de 𝑆B em relação a 𝑆R é modelada em quaternion por

onde



Cinemática em Vetor de Gibbs:

Seja 𝛀BB/R


mática de atitude de 𝑆B em relação a 𝑆R é descrita em Vetor de Gibbs por



Cinemática em Ângulos de Euler 321:

Seja 𝛀BB/R


mática de atitude de 𝑆B em relação a 𝑆R é descrita em Ângulos de Euler

321 por

onde



Cinemática em Ângulos de Euler 123:

Seja 𝛀BB/R


mática de atitude de 𝑆B em relação a 𝑆R é descrita em Ângulos de Euler

123 por

onde



II.3.4. Dinâmica de Atitude

Como descrever a variação temporal de 𝛺B/R em função de 𝑇 ?


𝛺B/R T

CM

𝑥 B

𝑦 B

𝑧 B

𝑥 R

𝑦 R

𝑧 R


Considere que

• O veículo seja um corpo rígido.

• O momentum angular resultante da rotação dos rotores seja

desprezível.



A variação temporal da velocidade angular 𝛺B/R em função dos torques

externos de controle 𝑇c e de perturbação 𝑇p é descrita em 𝑆B pela

Equação de Dinâmica:

onde JB é a matriz de inércia do veículo.


Referências

1. HUGHES, P. C. Spacecraft Attitude Dynamics. Dover, 2004.

2. SCHUSTER, M. A Survey of Attitude Representations. The Journal

of Astronautical Sciences, 41(4), 1993, 439-517.


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Obrigado pela presença

e atenção!

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