ifsp (prof. ricardo pires) - process amen to digital de sinais

Processamento Digital de Sinais

texto de suporte para aulas

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia - SP

Ricardo Pires - área de Eletrônica

9 de Fevereiro de 2011

Conteúdo

1 Introdução 1

2 Sinais de Tempo Discreto 3

2.1 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Operações Básicas sobre Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Sequências Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Impulso de Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.2 Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.3 Sequência Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.4 Sequência Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.5 Sequência Exponencial Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Amostragem de Sinais de Tempo Contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Sistemas de Tempo Discreto 18

3.1 Sistemas com Memória x Sistemas sem Memória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Sistemas Lineares x Sistemas Não Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Sistemas Variantes no Tempo x Sistemas Invariantes no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Sistemas Causais x Sistemas Não Causais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Estabilidade de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.6.1 Estabilidade de Sistemas LIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6.2 Causalidade de Sistemas LIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.7 Equações de Diferenças Lineares a Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8 Representação no Domínio da Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.9 Representação de Sequências por Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.10 Transformada de Fourier Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Transformada Z 38

4.1 Transformada Z e Equações de Diferenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Cálculo de Resposta em Frequência Usando a Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1 Introdução

Este é um texto de suporte para aulas de Processamento Digital de Sinais. Como tal, ele não dispensa o estudoem livros especializados, dentre os quais se destaca [1].

Supõe-se que, durante as aulas, problemas serão resolvidos com auxílio do software Octave [2].

1

Ricardo Pires - Processamento Digital de Sinais 2

Um sinal é uma grandeza (por exemplo, tensão elétrica) variando no tempo e que carrega uma informação.Portanto, a tensão elétrica da tomada não é um sinal, enquanto uma onda transmitida por uma emissora derádio é um sinal. A informação carregada pode ser voz, música, o resultado de uma medição (de distância, develocidade...), imagem etc.

O processamento de sinais consiste na representação, na transformação e na manipulação dos sinais e dainformação que eles contêm. Exemplos: retirada de ruído de som, compactação de som ou de imagem. Umaclasse importante de aplicações do Processamento Digital de Sinais é a da interpretação de sinais, a qualconsiste na extração de informações do sinal sendo processado. Exemplos: num sinal de voz, identificação dapessoa que falou ou do que ela falou. Em sinais de origem geológica: identificação de minérios presentes no localde origem dos sinais.

Antes dos anos 1960, o processamento de sinais era feito, quase sempre, em tempo contínuo, por meio decircuitos eletrônicos analógicos. O avanço da tecnologia digital, principalmente no aumento da velocidade doscircuitos digitais e em sua miniaturização, fez com que o processamento de sinais tivesse gradualmente suasimplementações migrando da forma analógica para a digital.

Normalmente, sinais manipulados na forma digital têm origem analógica. O circuito digital que faz estamanipulação requer uma sequência de números codificados em binário obtida a partir do sinal analógico original.Esta sequência é obtida por amostragem periódica do sinal analógico. O resultado da amostragem é umasequência de valores que buscam registrar valores lidos do sinal analógico em determinados instantes, havendoum certo intervalo entre eles. Neste processo, a princípio, perde-se a informação sobre os valores que estavamno intervalo entre as amostras colhidas.

Como o processamento digital é realizado apenas sobre amostras colhidas em determinados instantes (nãocontinuamente), diz-se que este processamento é de tempo discreto, por oposição ao processamento analógico,o qual é de tempo contínuo. Mas, o processamento em tempo discreto não é necessariamente digital. Háprocessamento em tempo discreto usando-se outras tecnologias, como a de capacitores chaveados.

Dentre as razões para a gradual substituição de implementações analógicas por implementações digitais parao processamento de sinais, estão a maior flexibilidade das implementações digitais e sua maior precisão.

A maior flexibilidade da implementação digital reside no fato de que o processamento de um sinal, normal-mente, consiste na realização de cálculos usando-se os valores que ele sucessivamente assume. Uma implemen-tação analógica, usando resistores, indutores, capacitores e amplificadores, realiza “cálculos” sobre o sinal naforma de equações diferenciais. A forma da equação diferencial implementada depende dos parâmetros dos com-ponentes do circuito (resistências, indutâncias, capacitâncias, ganhos), do número de componentes de cada tipoe da forma pela qual eles são interconectados. Assim, só é realizável analogicamente um cálculo que possa serexpresso como uma equação diferencial e para o qual se conheça uma configuração de circuito correspondente.Por outro lado, a implementação digital consiste na realização de cálculos usando-se, como entrada, a sequênciade amostras coletadas. Cada amostra está codificada como número em binário. Os cálculos possíveis, nestecaso, são quaisquer cálculos realizáveis por unidades aritméticas digitais: adições, subtrações, multiplicações,divisões, operações não-lineares e quaisquer combinações destas, em quaisquer ordens. Equações diferenciaistambém podem ser aproximadas numericamente por cálculos na forma digital. Desta forma, uma implemen-tação digital pode substituir uma implementação analógica, desde que a velocidade exigida para os cálculosesteja dentro do limite de funcionamento da tecnologia digital disponível. Por outro lado, muitas sequências decálculos possíveis na forma digital não têm equivalentes na forma analógica.

Quanto à precisão, uma implementação analógica sofre os efeitos de desvios nos parâmetros de seus com-ponentes (resistências, capacitâncias...) em relação aos valores desejados. Uma implementação digital tem aprecisão de seus cálculos dependente, sobretudo, do número de bits com que é representada cada amostra e cadaresultado intermediário de cálculo. Quanto maior for este número de bits, maior a precisão (maior resolução). Enão há limite teórico para este número de bits. Só há limite de custo da implementação, de seu tamanho físicoe da energia consumida em seu funcionamento. Portanto, quanto à precisão, a implementação digital tambémé vantajosa. Basta que se use um número suficiente de bits para se representar cada número usado nos cálculoscom a precisão desejada.

As principais formas de implementação de sistemas de processamento digital de sinais são:

• computador de uso genérico;

• circuito integrado (chip) programável genérico (microprocessador ou microcontrolador);


• chip programável especial para processamento digital de sinais [3];

• chip configurável do tipo FPGA;

• circuito integrado de aplicação específica.

2 Sinais de Tempo Discreto

Conforme visto na introdução, um sinal é uma função que carrega informação. Na maioria dos casos, é umagrandeza física cujo valor é função do tempo. Um sinal de tempo contínuo é definido para um intervalo contínuode valores de tempo. Usualmente, é chamado de sinal analógico. Um sinal de tempo discreto só é definido paradeterminados instantes, com intervalos entre eles. Assim, eles consistem em sequências de números.

A mesma idéia de continuidade se aplica aos valores assumidos pelo sinal. Um sinal pode assumir valorescontínuos, como ocorre nos sistemas analógicos, ou pode assumir apenas determinados valores, como ocorreem sistemas digitais. Neste caso, a limitação de valores se deve ao fato de que, representando-se números embinário com número limitado de bits, somente um número finito de valores é representável.

2.1 Sequências

Sinais de tempo discreto são sequências de números. Uma certa sequência x tem, convencionalmente, cada umde seus valores particulares denotado como x[n], em que o n entre colchetes indica a qual valor particular dentroda sequência se está fazendo referência. Por exemplo, x[15] refere-se ao elemento número 15 da sequência x.Como n é o número de um elemento na sequência, ou seja, n serve para indicar a posição do elemento em relaçãoaos demais (se é o quinto, o décimo etc.), n é sempre inteiro.

Normalmente, uma sequência é originada da amostragem periódica de um sinal analógico xa(t). Neste caso,

x[n] = xa(nTa) (1)

em que Ta, intervalo entre a coleta de duas amostras seguidas, é chamado período de amostragem. Seu inverso,fa, é a frequência de amostragem.

Embora x[n] se refira a um elemento particular de uma sequência, a notação x[n] também é usada para sereferir à sequência completa, quando não houver ambiguidade.

O gráfico de uma função de domínio contínuo y = f(x) deve usar uma linha contínua para expressarvisualmente a dependência entre x e y, conforme a figura 1.

Por outro lado, o gráfico de uma função de domínio discreto y = f [n] deve deixar claro que a função só édefinida para certos valores (aqueles que pertencem ao seu domínio) e indefinida entre estes valores, conformea figura 2.

No software Octave, uma sequência é definida como:

octave > x = [11 22 33 44]

em que, aqui, definiu-se uma sequência x que possui 4 amostras. Deve-se sempre lembrarque, no Octave, a primeira amostra de uma sequência está sempre na posição 1. Assim, nesteexemplo, x[1] = 11, x[2] = 22 etc.

2.2 Operações Básicas sobre Sequências

A soma de duas sequências a[n] e b[n], por definição, gera uma nova sequência s[n] tal que, para qualquer n = i,s[i] = a[i]+b[i]. A tabela 1 dá exemplos de valores de uma sequência a[n], uma sequência b[n] e a correspondentesequência s[n] = a[n] + b[n].


Figura 1: Gráfico de uma função de domínio contínuo

n a[n] b[n] s[n] = a[n] + b[n]0 2 1 31 -1 6 52 10 -3 73 -3 -9 -124 2,5 7 9,5

Tabela 1: Soma de sequências

De maneira similar, o produto de duas sequências a[n] e b[n], por definição, gera uma nova sequência s[n]tal que, para qualquer n = i, s[i] = a[i] · b[i]. A tabela 2 dá exemplos de valores de uma sequência a[n], umasequência b[n] e a correspondente sequência s[n] = a[n] · b[n].

O produto de uma sequência a[n] por uma constante α gera uma sequência s[n] tal que, para qualquer n = i,s[i] = αa[i]. A tabela 3 dá exemplos de valores de uma sequência a[n] e a correspondente sequência s[n] = αa[n],para α = 3.

Exercício 1Para as sequências a[n] e b[n] das tabelas anteriores, qual seria a sequência resultante de y[n] = 2a[n] + 3b[n]?

Uma sequência y[n] é chamada de versão atrasada de uma sequência x[n] se a relação entre os valores delasfor do tipo y[n] = x[n − n0], em que n0 é um inteiro, correspondente ao atraso de y[n] em relação a x[n]. Atabela 4 dá exemplos de valores de uma sequência x[n] e a correspondente sequência y[n] = x[n − n0], para


Figura 2: Gráfico de uma função de domínio discreto

n0 = 1. Nela, o símbolo ? indica que o valor de y[n] naquele instante não pode ser determinado a partir dosdemais valores da tabela.

O interesse nestas operações básicas se justifica pelo fato de que a maioria dos algoritmos de processamentodigital de sinais consistem na realização de sequências destas operações sobre sequências de valores de entrada(medidos ou recebidos).

2.3 Sequências Básicas

Na teoria de processamento digital de sinais, são definidas certas sequências básicas fundamentais. Elas são: oimpulso de tempo discreto, a sequência degrau unitário, a sequência exponencial e a sequência senoidal.

2.3.1 Impulso de Tempo Discreto

O impulso de tempo discreto, denotado δ[n], é definido como:

δ[n] =

{

0 para n 6= 01 para n = 0

(2)

e é representado na figura 3.Uma maneira de se ver a função impulso é a de que δ[...] só resulta 1 quando seu argumento, ou seja, o

valor dado entre colchetes, for 0. Assim, por exemplo, δ[n− 7] só resulta 1 quando n = 7 e δ[n + 2] só resulta 1quando n = −2.

Exercício 2Desenhe o gráfico de δ[n − 10].


No Octave, pode-se verificar uma soma de sequências como:

octave > a = [2 −1 10 −3 2.5]octave > b = [1 6 −3 −9 7]octave > s = a + b

Note que o separador entre a parte inteira e a parte fracionária de um número deve ser digitadocomo um ponto, não como vírgula. Deve-se digitar enter ao final de cada linha. Deve-selembrar que, embora o cálculo tenha dado o resultado correto (verifique no computador), osoftware considerou os índices das sequências fornecidas começando em 1.

n a[n] b[n] s[n] = a[n] · b[n]0 2 1 21 -1 6 -62 10 -3 -303 -3 -9 274 2,5 7 17,5

Tabela 2: Produto de sequências

Exercício 3Desenhe o gráfico de 7δ[n − 8].

Exercício 4Desenhe o gráfico de 5δ[n + 1] − 3δ[n − 4].

Exercício 5Escreva a sequência a[n] da tabela 2 como soma de impulsos.

Exercício 6Idem para a sequência b[n] da tabela 2.

Resolvendo-se os exercícios anteriores, vê-se que qualquer sequência pode ser escrita como soma de impul-sos. Isto é útil na construção da teoria de Processamento Digital de Sinais. Generalizando-se, portanto, umasequência qualquer x[n] pode ser escrita como:

x[n] =∞∑

k=−∞

x[k]δ[n − k] (3)

2.3.2 Degrau Unitário

A sequência degrau unitário, denotada u[n], é definida como:


No Octave, cada sequência fornecida como nos exemplos anteriores é vista pelo software comouma matriz que possui uma linha e várias colunas. Se se tentar realizar um produto destassequências usando-se o operador de produto *, o software indicará um erro, porque, para serealizar um produto de duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao númerode linhas da segunda e cada uma de nossas sequências tem apenas uma linha e várias colunas.O produto de sequências como definido aqui é obtido usando-se o operador .* (ponto asterisco).Como exemplo, o produto das sequências a e b das tabelas anteriores é obtido usando-se a. ∗ b.

n a[n] s[n] = 3a[n]0 2 61 -1 -32 10 303 -3 -94 2,5 7,5

Tabela 3: Produto de uma sequência por uma constante (neste caso, 3)

u[n] =

{

0 para n < 01 para n ≥ 0

(4)

e é representada na figura 4.

Exercício 7Desenhe o gráfico de 3u[n].

Exercício 8Desenhe o gráfico de −2u[n − 3].

Exercício 9Desenhe o gráfico de 3u[n] − 2u[n − 3].

Exercício 10Desenhe o gráfico de u[−n].

Exercício 11Desenhe o gráfico de 5u[3 − n].


Pode-se verificar o produto de uma sequência por uma constante como:

octave > a = [2 −1 10 −3 2.5]octave > s = 3 ∗ a

n x[n] y[n] = x[n − 1]0 2 ?1 -1 22 10 -13 -3 104 2,5 -3

Tabela 4: Uma sequência y[n] atrasada de uma unidade de tempo em relação a uma sequência x[n].

Exercício 12Desenhe o gráfico de 7u[n + 2] − 5u[3 − n].

2.3.3 Sequência Exponencial

A sequência exponencial tem a forma:

x[n] = Aαn (5)

em que A e α são constantes reais.A figura 5 mostra o gráfico de uma sequência exponencial com A = 3, α = 0, 7 e n indo de 1 a 10.

Pode-se visualizar o gráfico da sequência exponencial da figura 5 usando-se os comandos:

octave : 1 > n = [1 : 10]octave : 2 > A = 3octave : 3 > alfa = 0.7octave : 4 > seqExpo = A ∗ alfa. ∧ noctave : 5 > stem(n, seqExpo)octave : 6 > title(′exponencial′)octave : 7 > axis([0 11 0 3])

O comando 1 gera uma sequência de 1 a 10, a qual serve como a série de instantes de amostragemconsiderados. Os comandos 2 e 3 definem os valores das constantes. O comando 4 calcula osvalores da sequência exponencial. Nele, o operador .∧ gera uma sequência elevando o mesmovalor alfa, sucessivamente, às potências de 1 a 10 contidas em n. O comando 5 gera o gráfico,no estilo de tempo discreto. O comando 6 define um título para o gráfico. Finalmente, ocomando 7 ajusta as escalas dos eixos.

2.3.4 Sequência Senoidal

A sequência senoidal tem a forma:

x[n] = A cos(ω0n + φ0) (6)


Figura 3: Gráfico da função impulso de tempo discreto

em que A, ω0 e φ0 são constantes. A é a amplitude da senoide, ω0 é sua frequência angular, medida em radianos,e φ0 é sua fase inicial.

A figura 6 mostra o gráfico de uma sequência senoidal com A = 10, ω0 = π4 , φ0 = 0 e n indo de 1 a 20.

No Octave, a função cosseno é digitada, simplesmente, como cos. A função seno é digitadacomo sin. A constante π é digitada como pi. Assim, na geração do gráfico senoidal da figura 6,usou-se a sequência de comandos:

octave > n = [1 : 20]octave > A = 10octave > omega0 = pi/4octave > phi0 = 0octave > x = A ∗ cos(omega0 ∗ n + phi0)

além de comandos de ajuste de escala, de título e do comando stem, como no caso exponencial.

Exercício 13Gere e visualize sequências senoidais com o Octave, variando suas amplitudes, suas frequências e suas fasesiniciais.


Figura 4: Gráfico da função degrau unitário

Exercício 14Gere uma senoide com ω0 = 0 e uma outra com ω0 = 2π, mantendo os demais parâmetros. Compare osresultados. Faça o mesmo com uma senoide com ω0 = π

4 e uma outra com ω0 = 9π4 . Interprete.

Pode-se ver que, em tempo discreto, a frequência ω0 = 0 equivale a ω0 = 2π. O mesmo ocorre com o parω0 = π

2 e ω0 = 5π2 . Em geral, qualquer frequência angular ω que esteja fora da faixa 0 < ω < π equivale a

uma frequência que esteja nesta faixa. Isto acontece porque, para n inteiro, cos{(π + ∆)n} = cos{πn + ∆n}equivale a cos{(π −∆)n} = cos{πn−∆n}, em que ∆ é uma frequência angular, em radianos. Assim, qualquerfrequência que esteja acima de π por ∆ rad equivale a uma frequência que esteja abaixo de π por ∆ rad. Omesmo fenômeno ocorre em torno de qualquer frequência que seja múltipla inteira de π.

A figura 7 mostra, esquematicamente, as equivalências de frequências em tempo discreto. Nela, é indicadauma certa frequência ωx, na faixa entre 0 e π. Uma frequência equivalente a esta é 2π − ωx, na faixa entre π e2π. A próxima equivalente é 2π + ωx, na faixa entre 2π e 3π. A próxima é 4π − ωx, na faixa entre 3π e 4π, eassim por diante.

Exercício 15Com o auxílio da figura 7 e do Octave, verifique as três próximas equivalências da frequência ω0 = π

4 . Para isto,calcule estas frequências equivalentes e gere valores de amostras de x[n] = cos(ωn), para n indo de 1 a 12 e ωassumindo cada uma daquelas frequências.

O fato de haver esta equivalência entre frequências é muito importante em processamento digital de sinais.Ele implica que uma sequência de amostras colhidas periodicamente de uma senoide de baixa frequência podeser igual a uma sequência de amostras colhidas de uma senoide de frequência mais alta. Neste caso, observando-se as amostras, não seria possível se descobrir de qual senoide elas teriam sido colhidas. Para se evitar este


Figura 5: Gráfico de sequência exponencial

problema, deve-se tomar o cuidado de só se amostrarem sinais analógicos cujas frequências estejam numa faixalimitada, equivalendo à faixa de tempo discreto de 0 a π. Desta forma, observando-se as amostras de umasenoide, deduz-se qual era a frequência desta senoide: só pode ser uma frequência da primeira faixa, já quenão havia senoides de outras faixas no processo. Assim, não há frequências equivalentes e, portanto, não háambiguidade. Para que isto seja possível, antes da amostragem, o sinal a ser amostrado é aplicado a um filtroanalógico passa-baixas, cuja saída só terá frequências da primeira faixa. Esta saída, então, pode ser amostrada,sem que haja ambiguidade na interpretação das amostras. Esta condição para que não haja ambiguidadena amostragem foi publicada em 1928 pelo engenheiro sueco Harry Theodor Nyqvist (mais conhecido comoNyquist) e pelo engenheiro estadunidense Claude Elwood Shannon. Ela será estudada na seção 2.4.

2.3.5 Sequência Exponencial Complexa

A sequência exponencial complexa tem a forma:

x[n] = Aej(ω0n+φ0) (7)

em que A, constante real, é a amplitude da sequência, j =√−1, ω0 é a frequência angular, em radianos, e φ0 é

a fase inicial, também em radianos.Para se estudar esta sequência, deve-se lembrar que:

ejx = cos x + jsen x (8)

A equação 8 é chamada fórmula de Euler. Foi publicada pelo matemático suíço Leonhard Paul Euler em1748. Nela, x é um número real. Como x é argumento de funções trigonométricas, ele pode ser visto comoum ângulo (em radianos). Para cada valor de x, vê-se que o membro direito da equação 8 fornece um númerocomplexo, cuja parte real vale cos x e cuja parte imaginária vale jsen x. Assim, dado um valor de x, ejx podeser representado como um ponto no plano complexo, conforme a figura 8. O ângulo entre o eixo real e a linhaque liga este ponto à origem é x radianos. O módulo de ejx é sempre 1, independentemente do valor de x(verifique). Assim, o módulo de Aejx é A.


Figura 6: Gráfico de sequência senoidal

Exercício 16Represente e+j π

3 no plano complexo, anotando suas coordenadas.

Exercício 17Represente e−j π


Exercício 18Represente e+jπ no plano complexo, anotando suas coordenadas.

Exercício 19Represente 5e+j π


Exercício 20Represente 7e+j 7π



4π 3π

2π 3π

2π π

0 π

ωx

...

Figura 7: Equivalências entre frequências em tempo discreto

ℜ

ℑ

cos x

sen x

x

ejx

Figura 8: Representação de ejx no plano complexo

Exercício 21Represente −4e+j 11π


Da fórmula 8, obtém-se:

cos x =1

2(e+jx + e−jx) (9)

Exercício 22Prove a validade da equação 9.

Da fórmula 8, obtém-se, também:

sen x =1

2j(e+jx − e−jx) (10)

Exercício 23Prove a validade da equação 10.


Como ejx, com um valor fixo para x, pode ser representado como um ponto no plano complexo, o valor ejωt,com t (tempo) aumentando continuamente, pode ser representado, no plano complexo como um ponto girandosobre uma circunferência centrada na origem, com raio unitário (conforme a figura 9), já que, com o aumentode t, o ângulo ωt aumenta, mas a distância do ponto ejωt à origem continua sendo 1. A frequência de giro desteponto é constante, de ω ( rad

s). Assim, uma grandeza física variando de forma senoidal, como, por exemplo,

uma tensão elétrica v(t) = cos(ωt), poderia ser considerada como a projeção horizontal do ponto giratório ejωt,com o valor desta projeção sendo o valor instantâneo desta tensão. Uma tensão senoidal com outra amplitude,v(t) = A cos(ωt), seria representada como a projeção horizontal do ponto giratório Aejωt, o qual gira sobre umacircunferência de raio A. Esta projeção horizontal é denotada ℜ{ejωt}. (O operador ℜ{} fornece a parte realde seu argumento.) A projeção vertical é denotada ℑ{ejωt}. (O operador ℑ{} fornece a parte imaginária deseu argumento.)

ℜ

ℑ

cos(ωt)

sen(ωt)

ωt

ejωt

Figura 9: Representação de ejωt no plano complexo, com t variando continuamente

Da equação 9, pode-se visualizar de outra forma uma grandeza senoidal no plano complexo, conforme afigura 10. Neste caso, o ponto correspondente a cos(ωt), marcado com um x na figura, é dado pela média dasposições de e+jωt e de e−jωt. (Verifique que a equação 9, de fato, contém a média daqueles dois pontos sobre acircunferência.) A média das posições dos pontos está sempre sobre o eixo real, já que as projeções verticais dosdois pontos se anulam. A soma das partes reais resulta 2 cos(ωt). Como a média, para os dois pontos, consistena metade desta soma, esta média vale cos(ωt). Assim, a equação 9 nos leva a visualizar uma grandeza do tipocos(ωt) como a média das posições de dois pontos girando em sentidos contrários em torno da origem do planocomplexo. Deve-se visualizar que, enquanto os dois pontos giram sobre a circunferência, sua média (x) oscilasobre o eixo real, entre as abscissas +1 e -1.

Exercício 24Interprete geometricamente a equação 10.

Exercício 25Represente geometricamente, no plano complexo, a posição de e+j π

4t e a de e−j π

4t, para t = 1s, t = 2s e t = 3s.

Em cada caso, indique a posição do ponto médio entre e+j π

4t e e−j π

4t.


ℜ

ℑ

cos(ωt)

sen(ωt)

ωt

ejωt

−sen(ωt)

−ωt

e−jωt

Figura 10: Representação de cos(ωt) no plano complexo, com t variando continuamente

Quando o sinal senoidal é de tempo discreto, com a forma cos(ωn), com n inteiro, n crescendo com o tempo,têm-se, como no caso contínuo, aqueles dois pontos girando sobre a circunferência, com cos(ωn), novamente,sendo a média entre as posições dos dois pontos. Porém, os pontos giratórios, agora, são: e+jωn e e−jωn, comn avançando “aos saltos”, ao invés de avançar continuamente como ocorria com o t contínuo. Cada salto destescorresponde a uma variação de ω no ângulo do segmento que liga um ponto giratório à origem do plano. Assim,com o aumento discreto (de um em um) de n, e+jωn salta de um ponto a outro sobre a circunferência de raiounitário, conforme a figura 11. Na figura, é indicada a posição ocupada pelo ponto giratório quando n = 1 e aspróximas posições que serão ocupadas por este ponto, quando n avançar até o valor 5. Com o passar do tempo,o ponto dá voltas sobre a circunferência, mas sempre dando saltos entre as posições sucessivas que ocupa. Oponto e−jωn também anda sobre a circunferência, aos saltos, mas em sentido contrário. A posição média entreos dois pontos, a qual corresponde a cos(ωn), faz um movimento de vai e vem sobre o eixo real, também aossaltos. A figura 6 é um gráfico que pode ser interpretado como representando as posições sucessivas ocupadaspelo ponto médio sobre o eixo real.

Exercício 26Represente, no plano complexo, as sucessivas posições ocupadas pelo ponto 3e+j π

4n, para 0 < n < 8.

Exercício 27Represente, no plano complexo, as sucessivas posições ocupadas pelo ponto e+j π

3n, para 0 < n < 12.

Exercício 28Represente, no plano complexo, as sucessivas posições ocupadas pelo ponto e−j π

3n, para 0 < n < 12.


ℜ

ℑ

cos(ωn)

sen(ωn)

ωn

ejωn

b

b

b

b

b

Figura 11: Representação de e+jωn no plano complexo, com n variando de forma discreta

Exercício 29Represente, no plano complexo, as sucessivas posições ocupadas pelo ponto médio de e+j π

4n e de e−j π

4n, para

0 < n < 8. Com base neste gráfico, desenhe o gráfico de cos(π4 n) × n

2.4 Amostragem de Sinais de Tempo Contínuo

Normalmente, sinais a serem processados em tempo discreto são originários da amostragem periódica de sinaisde tempo contínuo. É possível a reconstrução exata de um sinal de tempo contínuo a partir de suas amostras,se forem respeitadas certas condições.

Como já se disse neste texto, em tempo discreto, há maior flexibilidade para o processamento de sinaisdo que em tempo contínuo. Assim, são comuns técnicas de processamento de sinais originalmente de tempocontínuo realizadas em tempo discreto, com uma conversão final dos resultados obtidos em tempo discreto devolta ao tempo contínuo. Estas técnicas usam como uma de suas primeiras etapas a amostragem dos sinais detempo contínuo envolvidos.

A amostragem periódica é a técnica mais usada para se obter uma representação de um sinal de tempocontínuo a ser processado em tempo discreto. Ela consiste em se obterem amostras de um certo sinal xc(t) aintervalos regulares, formando-se a sequência de amostras x[n] segundo a relação:

x[n] = xc(nTa) (11)

em que n é o número da amostra, sempre inteiro, podendo assumir valores desde −∞ a +∞ e Ta é o chamadoperíodo de amostragem, o qual é o intervalo de tempo entre a obtenção de duas amostras seguidas de xc(t).O inverso de Ta é a chamada frequência de amostragem, fa = 1

Ta

. Esta indica quantas amostras de xc(t)são obtidas por segundo.

Na figura 12, vê-se um diagrama de blocos de um amostrador, o qual recebe o sinal de tempo contínuo xc(t) efornece a sequência de amostras x[n]. As chaves ch1 e ch2 são implementadas como transistores operando comochaves. Quando ch1 se fecha, o valor de tensão correspondente a xc(t) no instante do fechamento é registradocomo tensão de carga do capacitor C. Em seguida, ch1 é aberta, congelando-se a leitura feita por C. ch2 é,então, fechada, fazendo-se com que o conversor analógico-digital leia a amostra de tensão registrada em C e


faça sua conversão para digital, gerando uma amostra digitalizada de saída x[n]. Terminada a obtenção destaamostra digitalizada, este ciclo se repete. O papel de ch1 é o de obter uma amostra instantânea de xc(t) e decolocá-la em C. ch1 é aberta em seguida, para que, durante a conversão A/D, a tensão em C não varie. As duaschaves nunca ficam fechadas simultaneamente, para que todas as conversões A/D ocorram com valores fixos detensão à entrada do conversor. O ritmo de fechamento e de abertura das chaves é a frequência de amostragem,fa. O conversor A/D deve ser rápido o suficiente para fazer uma conversão em tempo menor do que o períodode amostragem Ta. Assim, uma limitação de velocidade de operação de um amostrador corresponde à rapidezcom que seu conversor A/D consegue operar. Esta pode ser a limitação do sistema completo de processamentodigital de sinais, ou seja, o amostrador pode ser o “gargalo” do sistema.

xc(t) x[n]ch1 ch2

Cconversor

A/D

Figura 12: Diagrama de blocos de um amostrador

Na seção 2.3.4, viu-se que, em tempo discreto, senoides cujas frequências estão fora da faixa de 0 a πsão sempre equivalentes a senoides cujas frequências estão dentro desta faixa. Assim, pode acontecer de umasenoide de tempo contínuo com uma frequência angular de ω1 ser amostrada e suas amostras serem interpretadaserroneamente como sendo de uma outra senoide, cuja frequência é ω2, ω2 6= ω1. Para se evitar esta ambiguidade,antes de se fazer a amostragem, deve-se garantir que xc(t) não contenha frequências equivalentes entre si. Naprática, isto consiste em se fazer com que o espectro de xc(t) só possa conter frequências de 0 até um certo valorlimite fmax, o qual corresponde à frequência angular π de tempo discreto. Desta forma, qualquer frequência detempo contínuo corresponderá a uma única frequência de tempo discreto e vice-versa. Se esta restrição não fosserespeitada, haveria alguma frequência de tempo contínuo equivalente a uma frequência de tempo discreto maiordo que π, a qual seria equivalente a uma frequência mais baixa e, assim, haveria ambiguidade de interpretação.xc(t), então, deve ter espectro limitado a baixas frequências. Se um sinal de tempo contínuo a ser amostrado nãosatisfizer a esta condição, ele deverá, antes da amostragem, sofrer filtragem analógica passa-baixas. O resultadodesta filtragem, então, poderá ser entregue ao amostrador. O filtro analógico passa-baixas que desempenhaesta função é chamado, usualmente, de filtro anti-aliasing, sendo o termo inglês aliasing traduzido, às vezes,como rebatimento, devido ao fato de que altas frequências podem ser “rebatidas” para uma faixa mais baixa doespectro se este cuidado não for tomado.

Para se saber qual é a maior frequência permitida no espectro de xc(t) sem que haja ambiguidade deinterpretação das amostras (ou seja, sem que haja rebatimento), deve-se lembrar que a maior frequência nãoambígua em tempo discreto é ωmax = π rad. Uma senoide com esta frequência tem a forma x[n] = A cos(πn).Para n = 0, o ângulo πn = π0 = 0. x[0], então, vale A. Para n = 1, o ângulo πn = π1 = π. x[1], então,vale −A. Para n = 2, o ângulo πn = π2 = 2π, que é um ângulo equivalente a 0 rad. x[2], então, vale A.Para n = 3, o ângulo πn = 3π é equivalente a π. x[3], então, vale −A. Assim, conforme n aumenta de 1em 1, o ângulo se alterna entre 0 e π, ciclicamente. Pode-se ver isto como se, ao se girar continuamente nociclo trigonométrico, só fossem amostrados os pontos cujos ângulos fossem 0 e π. Só são amostrados, então,dois pontos por ciclo. Portanto, partindo-se da frequência angular zero, a maior frequência angular de tempodiscreto sem ambiguidade, que é a frequência ω = π rad, é aquela que corresponde a dois pontos por volta nociclo trigonométrico. Sabe-se que, em tempo discreto, qualquer frequência angular maior do que ω = π radequivale a alguma frequência angular menor do que ω = π rad. Assim, a maior frequência angular não ambíguaa partir de ω = 0 rad é aquela para a qual são coletadas duas amostras por volta no ciclo trigonométrico. Emtempo contínuo, a frequência que corresponde a esta ω = π rad de tempo discreto é aquela para a qual, também,são coletadas duas amostras por ciclo, ou seja, duas amostras por período. Sendo o período de amostragemTa, duas amostras seguidas são coletadas num tempo igual a 2Ta. Isto corresponde a uma frequência fmax detempo contínuo de


fmax =1

2Ta

=fa

2(12)

em que fa é a frequência de amostragem. Esta fmax, então, é a máxima frequência, a partir da frequência iguala zero, da qual se podem extrair amostras sem ambiguidade de frequência com período de amostragem de Ta. Asituação crítica da amostragem, então, é aquela em que se coletam duas amostras por período do sinal de tempocontínuo. Se forem coletadas menos do que duas amostras por período, haverá ambiguidade na interpretaçãodo sinal amostrado. Neste caso, as componentes de frequências mais altas do sinal serão confundidas comcomponentes de frequências mais baixas, na forma dada na figura 7. O critério de amostragem de Nyquist,então, estabelece que a mínima frequência fa a ser usada na amostragem deve ser tal que se coletem, ao menos,duas amostras de cada período da componente de maior frequência do sinal de tempo contínuo a ser amostrado.Isto equivale a se dizer que a fa deve ser de, pelo menos, o dobro da maior frequência presente no espectro dosinal de tempo contínuo a ser amostrado, ou seja,

fa = 2fmax (13)

Sendo respeitado o critério de amostragem de Nyquist, então, fica estabelecida uma relação entre valores defrequência de tempo contínuo e seus valores correspondentes em tempo discreto. A maior frequência de tempodiscreto é ω = π rad. A maior frequência permitida de tempo contínuo, fmax, então, equivale a ω = π rad.Assim, pode-se montar a regra de três:

f (Hz) ↔ ω (rad)

fmax ↔ π (14)

Exercício 30Se um sistema de processamento digital de sinais trabalhar com amostragem a 10kHz, qual será a máximafrequência permitida para o espectro do sinal a ser amostrado? Qual será a frequência de tempo contínuocorrespondente a ω = π

4 rad de tempo discreto?

Exercício 31Se um sistema de processamento digital de sinais trabalhar com amostragem a 500kHz, qual será a máximafrequência permitida para o espectro do sinal a ser amostrado? Qual será a frequência de tempo contínuocorrespondente a ω = π

2 rad de tempo discreto?

Exercício 32No projeto de um filtro digital, deseja-se que a f = 60Hz seja correspondente a ω = π

2 rad. Qual deverá ser afrequência de amostragem? Qual deverá ser o limite de frequência do sinal a ser amostrado?

3 Sistemas de Tempo Discreto

Um sistema de tempo discreto obtém uma sequência de saída y[n] a partir de uma sequência de entrada x[n].Ele calcula cada amostra de saída a partir de uma ou mais amostras de entrada e, possivelmente, a partir deamostras de saída anteriores.


Usando-se o Octave, podem-se gerar arquivos de som no formato wave, por meio do co-mando wavwrite, o qual assume, se não lhe for especificado, que a taxa de amostragem éde 8000amostras

s. Eis um exemplo:

octave > fAmostr = 8000octave > duracaoSegundos = 5octave > numAmostras = fAmostr ∗ duracaoSegundosoctave > n = [1 : numAmostras]octave > nt = n′

octave > sinal = cos(pi/8 ∗ nt)octave > wavwrite(sinal, ”som.wav”)

A linha nt = n′ obtém a matriz nt como sendo a transposta da matriz n (o apóstrofo é ooperador que obtém a transposta). Como n é uma matriz linha, nt é uma matriz coluna. Aexecução desta linha é necessária, porque o arquivo wave deve conter uma coluna de amostraspor canal de som. Neste exemplo, há apenas um canal, o qual contém o som correspondentea uma sequência senoidal de amostras, contidas na matriz coluna chamada sinal. Uma matrizcontendo N colunas conteria, então, N canais de som. Finalmente, aqui, o comando wavwritecoloca a matriz sinal no arquivo som.wav, o qual pode ser “ouvido” usando-se algum programausual para a execução de arquivos de som.

Diz-se, então, que a sequência de saída é obtida como uma transformação da sequência de entrada, usando-sea notação:

y[n] = T{x[n]} (15)

Como um exemplo de sistema, tem-se o sistema atrasador, o qual implementa a equação:

y[n] = x[n − n0], −∞ < n < +∞ (16)

na qual n0 é o valor de atraso entre a sequência de entrada e a de saída. A tabela 4 mostra um exemplode resultado y[n] obtido por um sistema atrasador, com atraso unitário (n0 = 1), que teria recebido aquelasequência x[n] à sua entrada. Uma implementação física deste atrasador, como um sistema digital, dada nafigura 13, deve ter um registrador acionado por sinal de relógio (clock). Enquanto uma nova amostra x[n]já estiver na entrada do sistema, a amostra de entrada anterior, x[n − 1], ainda estará na saída, por ter sidomemorizada no ciclo de funcionamento anterior. Assim, cada sequência de entrada aparece na saída, mas comatraso. A cada pulso de clock, uma nova amostra de entrada é lida, substituindo a anteriormente memorizada.Assim, a saída é atualizada. Enquanto isto, uma amostra de entrada ainda mais nova deve chegar à entrada,vinda, possivelmente, de um amostrador. Este processo se repete, a cada pulso de clock. A cada instante, háuma amostra à entrada, ainda não memorizada, e uma amostra mais antiga à saída, já memorizada.

Um outro exemplo comum de sistema é o de média móvel. Ele tem este nome, por apresentar, à saída, umvalor correspondente à média das N amostras de entrada mais recentes, sendo N definido pelo projetista. Estamédia é móvel, porque, com o passar do tempo, o grupo de amostras de entrada que se submeterá ao cálculoda média muda, já que, com o passar do tempo, muda o grupo das amostras mais recentes. Para, por exemplo,N = 4, a equação implementada por este sistema é:

y[n] =1

4{x[n] + x[n − 1] + x[n − 2] + x[n − 3]} (17)

Vê-se que, para calcular cada amostra de saída, este sistema precisa ter à sua disposição as quatro amostras deentrada mais recentes (a atual e três anteriores). Por isto, ele precisa de três registradores: um para memorizarx[n−1], um para x[n−2] e um para x[n−3]. Estes três registradores devem ser interligados em série, formandoum registrador de deslocamento composto por três registradores com vários bits cada. (O número de bits decada registrador pode ser, por exemplo, 16. Isto depende da precisão com que trabalha o sistema.)


registrador

x[n − 1]

x[n] y[n] = x[n − 1]

clock

Figura 13: Implementação digital de um atrasador

Exercício 33Desenhe um diagrama de blocos para o sistema de média móvel anterior, usando três registradores, somadorescom dois operandos cada e um multiplicador.

Exercício 34Dada a tabela 5, com valores de uma certa sequência de entrada x[n], calcule a sequência de saída que seriaproduzida por este sistema de média móvel. Verifique, com o auxílio do Octave, que este sistema gera umasequência de saída que tem forma semelhante à da sequência de entrada, porém, sem variações abruptas.

Pelo resultado obtido no exercício 34, percebe-se que uma utilidade do sistema de média móvel é recebervalores medidos de um processo físico do qual não se esperam variações abruptas e diminuir o efeito destasvariações abruptas, antes de se entregarem estas amostras para um sistema que as analisará. Isto ocorre, porexemplo, em medição de temperatura em grandes câmaras, onde não se espera que a temperatura possa variarrapidamente, ou na medição do nível de combustível no tanque de um automóvel, onde não se esperam variaçõesabruptas de nível. Um transdutor faz a medição continuamente, entregando o resultado a um amostradorperiódico. Este entrega as amostras analógicas medidas a um conversor analógico-digital. Estas amostrasdigitalizadas podem estar “contaminadas” por efeitos indesejáveis, como ruído, no caso da câmara, ou balanço,no caso do tanque de combustível. O ruído ou o balanço introduzem, na sequência de amostras, desvios emrelação aos valores verdadeiros das grandezas que se desejaram medir. A saída do sistema de média móvelprocura seguir, preferencialmente, as lentas variações da grandeza medida em relação às rápidas variaçõescausadas pelo ruído ou pelo balanço. Se a sequência medida fosse aplicada diretamente a um mostrador (deponteiro ou digital), este oscilaria rapidamente, dificultando sua leitura. A aplicação da sequência de saídado sistema de média móvel ao mostrador proporciona maior estabilidade do valor apresentado, facilitando sualeitura, além de refletir melhor a realidade da grandeza de interesse.

Neste exemplo, o sistema de média móvel calculou a média das últimas quatro amostras de entrada. Naprática, um tal sistema pode usar dezenas ou centenas das últimas amostras de entrada no cálculo da média,suavizando muito, desta forma, o efeito de variações abruptas. Mas, o uso de mais amostras de entrada tem,como efeito indesejado, aumento no hardware necessário para implementar o sistema (ou maior tempo de cálculoem implementações em software).

A seguir, são apresentadas definições úteis relacionadas a sistemas de tempo discreto.


n x[n] y[n]

0 81 82 83 204 95 86 97 98 69 910 911 912 1013 1014 615 1016 1017 1018 1719 1020 1021 922 1023 1024 1125 10

Tabela 5: Tabela para o exercício 34.

3.1 Sistemas com Memória x Sistemas sem Memória

Um sistema com memória é aquele que deve usar algum tipo de elemento de memorização, como registradores(no caso de implementação em hardware) ou variáveis (no caso de implementação em software), por precisarde valores de entrada ou de saída anteriores para calcular cada amostra de saída. O sistema atrasador e o demédia móvel são deste tipo.

Um sistema sem memória, para calcular a amostra de saída em um certo instante, só usa a amostra deentrada do mesmo instante. Como ele não precisa de amostras passadas, não precisa de memória. Exemplo:um sistema que calculasse o negativo de cada amostra que lhe viesse à entrada, y[n] = −x[n]. (Normalmente,sistemas de processamento digital de sinais lidam com valores negativos usando a representação binária emcomplemento de dois.) Uma realização deste sistema em hardware usaria apenas lógica combinatória, semregistradores.

3.2 Sistemas Lineares x Sistemas Não Lineares

Se um sistema for linear, dada uma constante K e dada uma sequência x[n],

T{Kx[n]} = KT{x[n]} (18)

e, dadas as sequências x1[n] e x2[n]:

T{x1[n] + x2[n]} = T{x1[n]} + T{x2[n]} (19)

Disto decorre que, dadas constantes K1 e K2,


T{K1x1[n] + K2x2[n]} = K1T{x1[n]} + K2T{x2[n]} (20)

Assim, os sistemas lineares seguem o princípio da superposição: para se calcular o efeito, na saída, daaplicação de uma soma de sequências à entrada, basta que, inicialmente, calculem-se os efeitos de cada entradaindividualmente e que, finalmente, somem-se estes efeitos à saída.

Como exemplos de sistemas lineares, têm-se o atrasador e o sistema de média móvel.Qualquer sistema que não respeite a equação 20 é não linear.

Exercício 35Verifique que o sistema que implementa y[n] = {x[n]}2 não é linear.

Sempre que possível, deve-se procurar projetar sistemas lineares, devido à maior facilidade de se lidarmatematicamente com eles do que com os não lineares.

3.3 Sistemas Variantes no Tempo x Sistemas Invariantes no Tempo

Um sistema variante no tempo é tal que, para ele, existe pelo menos uma sequência de entrada x1[n] para aqual ele fornece uma certa y1[n] e que, se, à sua entrada, for aplicada uma entrada x2[n] que seja uma versãoatrasada de x1[n], x2[n] = x1[n−n0], sua saída não será uma versão atrasada de y1[n], ou seja, y2[n] 6= y1[n−n0].

Pode ocorrer de um sistema variante no tempo calcular suas amostras de saída de forma variável com otempo. Por exemplo, se um sistema calcular sua saída usando y[n] = m0x[n]+m1x[n− 1], sendo os coeficientesm0 e m1 variáveis com o tempo, ele será um sistema variante no tempo. Neste caso, poderia acontecer de, porexemplo, no instante n = 0, m0 = 3 e m1 = 7 e, mais tarde, no instante n = 1, m0 = 13 e m1 = 2.

Um sistema variante no tempo pode ter até mesmo a forma de calcular sua saída variando no tempo. Porexemplo, ele poderia passar um tempo usando a expressão y[n] = m0x[n]+m1x[n− 1] e, depois, poderia passara usar y[n] = m0x[n] + m1x[n − 1] + m2x[n − 2].

Exercício 36Demonstre que o sistema que implementa a equação y[n] = x[2n] é variante no tempo.

Um sistema invariante no tempo é tal que, se for aplicada a ele uma sequência de entrada x1[n] para aqual ele forneça uma certa y1[n], se, à sua entrada, for aplicada uma x2[n] que seja uma versão atrasada dex1[n], x2[n] = x1[n−n0], sua saída será, simplesmente, uma versão atrasada de y1[n], ou seja, y2[n] = y1[n−n0],com atraso igual ao de x2[n] em relação a x1[n]. Para que isto ocorra, o sistema deverá calcular cada amostrade saída usando sempre a mesma forma de cálculo, todo o tempo (mesma equação e mesmos coeficientes).

Exercício 37Verifique que o sistema de média móvel é invariante no tempo.

Sistemas invariantes no tempo são de tratamento matemático mais simples do que os variantes no tempo.

3.4 Sistemas Causais x Sistemas Não Causais

Um sistema causal é aquele que calcula a amostra de saída em cada instante usando apenas valores de entradado mesmo instante, de instantes anteriores ou valores de saída anteriores. Exemplo de equação de um sistemacausal: y[n] = 1

2x[n] − 14x[n − 2] + 1

8y[n − 1].


Um sistema não causal calcula a amostra de saída em um certo instante usando alguma amostra de entradaou de saída futura. Exemplo de equação de um sistema não causal: y[n] = 1

2x[n] − 14x[n + 2] + 1

8y[n − 1]. (Nocálculo da saída atual, ele usa uma entrada futura.)

Sistemas não causais não podem funcionar em tempo real, já que, para calcular cada valor de saída, elesteriam de adivinhar algum valor futuro de entrada ou de saída. Porém, quando se projeta um sistema deprocessamento digital de sinais, pode ocorrer de o projetista descobrir que a equação que o sistema deveriaimplementar para satisfazer às especificações do projeto deveria ser do tipo não causal. Neste caso, para seobter um sistema realizável, estas especificações deveriam ser alteradas, substituídas por outras que permitissema obtenção de um sistema causal que as satisfizesse. Isto ocorre, por exemplo, no projeto de um filtro passa-baixas ideal, tanto em tempo contínuo quanto em tempo discreto. Um tal filtro seria não causal. (Ele seráestudado adiante.) Assim, não pode ser realizado. Mas, bons filtros, com características parecidas com a doideal, podem ser realizados.

Exercício 38O sistema de média móvel definido pela equação 17 é causal? Por que?

Exercício 39Escreva a equação de um sistema de média móvel não causal.

3.5 Estabilidade de Sistemas

Um sistema é estável, no sentido entrada limitada, saída limitada, se e somente se, para qualquer sequênciade entrada com valores limitados recebida, ele produzir uma sequência de saída com valores limitados. Assim,se:

|x[n]| ≤ Lx < ∞, ∀n (21)

com Lx sendo o limite dos valores absolutos da sequência x[n], então:

|y[n]| ≤ Ly < ∞, ∀n (22)

com Ly sendo o limite dos valores absolutos da sequência y[n]. Note que o valor de Lx não precisa ser igual aode Ly.

Exercício 40O sistema de média móvel definido pela equação 17 é estável? Por que?

Exercício 41O sistema definido pela equação y[n] = x[n] + y[n − 1] é estável? Por que?

3.6 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo

Devido à relativa facilidade de tratamento matemático que possuem, os sistemas de maior interesse em proces-samento digital de sinais são os lineares invariantes no tempo (ou seja, os que são tanto lineares quanto


invariantes no tempo). Serão referenciados, neste texto, como sistemas LIT.Um sistema LIT pode ter seu comportamento completamente caracterizado pela sua resposta ao impulso,

chamada de resposta impulsiva, simbolizada como h[n].

Exercício 42Qual é a resposta impulsiva do sistema que implementa a equação y[n] = x[n − 2]?

Exercício 43

Qual é a resposta impulsiva do sistema de cálculo de média móvel, que implementa y[n] = 14{x[n] + x[n − 1] +

x[n − 2] + x[n − 3]}?

Para se compreender este fato, suponha que um certo sistema LIT, chamado aqui de sistema X, tenhaa resposta impulsiva hipotética dada na tabela 6. (Suponha que todos os valores de h[n] em instantes nãotabelados sejam nulos.) Isto significa que, se, à entrada do sistema X, for aplicada uma única amostra não nulano instante zero, com valor unitário (ou seja, a entrada é o impulso, δ[n]), o sistema apresentará, à saída, asequência h[n] dada na tabela 6.

n δ[n] h[n]

-2 0 0-1 0 00 1 31 0 52 0 23 0 14 0 05 0 0

Tabela 6: Valores não nulos da resposta impulsiva hipotética de um certo sistema X

Suponha, agora, que ao sistema X, seja aplicada a sequência de entrada dada na tabela 7.

n x[n]

-2 0-1 00 41 52 -23 104 05 0

Tabela 7: Valores não nulos de uma certa sequência de entrada aplicada ao sistema X

O problema, então, é calcular-se a sequência de saída, y[n], causada pela aplicação, ao sistema X, dasequência de entrada x[n] dada na tabela 7.

Para se resolver este problema, explora-se o fato de que o sistema X é LIT, usando-se as seguintes etapas:

1. Decompõe-se a sequência de entrada x[n] em várias sequências, cada uma contendo somente uma amostranão nula, conforme a tabela 8. Verifique que x[n] = x0[n] + x1[n] + x2[n] + x3[n].


2. Calcula-se a resposta do sistema X para cada uma destas sequências simples, de xo[n] a x3[n], sendoaplicadas à sua entrada. A resposta do sistema a x0[n] será chamada y0[n], a resposta a x1[n] será y1[n]etc.

3. Devido à linearidade do sistema (equação 19), sua resposta a x[n] = x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n] será igualà soma das respostas individuais, y[n] = y0[n] + y1[n] + y2[n] + y3[n].

n x[n] x0[n] x1[n] x2[n] x3[n]

-2 0 0 0 0 0-1 0 0 0 0 00 4 4 0 0 01 5 0 5 0 02 -2 0 0 -2 03 10 0 0 0 104 0 0 0 0 05 0 0 0 0 0

Tabela 8: Decomposição de uma sequência de entrada x[n] em várias sequências

Para se calcular cada resposta individual no item 2, explora-se a linearidade e a invariância no tempo dosistema.

Iniciando-se pelo cálculo de y0[n], como ele é a resposta do sistema X à entrada x0[n] = 4δ[n], por linearidade,y0[n] = 4h[n]. Ou seja, como x0[n] é um impulso multiplicado por 4, a saída que x0[n] causa é 4 vezes a saídacausada pelo impulso, a qual é a resposta impulsiva, h[n]. Este resultado é mostrado na tabela 9.

n xo[n] h[n] y0[n] = 4h[n]

-2 0 0 0-1 0 0 00 4 3 121 0 5 202 0 2 83 0 1 44 0 0 05 0 0 0

Tabela 9: Resposta y0[n] do sistema X à sequência x0[n]

No cálculo de y1[n], que é a resposta a x1[n], deve-se notar que x1[n] = 5δ[n − 1], ou seja, x1[n] equivalea um impulso atrasado e multiplicado por 5. Pela linearidade, a resposta a este impulso multiplicado por 5deve ser igual à h[n] multiplicada por 5. Mas, como este impulso está com atraso unitário, deve-se não sómultiplicar h[n] por 5, mas, também, atrasá-la em uma unidade em n. Assim, a resposta a x1[n] = 5δ[n − 1]será y1[n] = 5h[n − 1], conforme a tabela 10.

Seguindo-se a mesma lógica, a resposta a x2[n] = −2δ[n − 2] é y2[n] = −2h[n − 2], conforme a tabela 11.A resposta a x3[n] = 10δ[n − 3] é y3[n] = 10h[n − 3], conforme a tabela 12.Finalmente, a resposta y[n] à entrada x[n] é calculada como y[n] = y0[n] + y1[n] + y2[n] + y3[n], conforme a

tabela 13.

Exercício 44Seguindo o procedimento anterior, calcule a resposta y[n] fornecida pelo sistema X anterior quando ele recebera entrada x[n] dada na tabela 14.


n x1[n] h[n] y1[n] = 5h[n − 1]

-2 0 0 0-1 0 0 00 0 3 01 5 5 152 0 2 253 0 1 104 0 0 55 0 0 0


n x2[n] h[n] y2[n] = −2h[n − 2]

-2 0 0 0-1 0 0 00 0 3 01 0 5 02 -2 2 -63 0 1 -104 0 0 -45 0 0 -2


O procedimento aqui apresentado para o cálculo da sequência de saída de um sistema LIT pode ser gener-alizado como:

y[n] = . . . + x[0]h[n] + x[1]h[n − 1] + x[2]h[n − 2] + x[3]h[n − 3] + . . .

⇒ y[n] =

∞∑

k=−∞

x[k]h[n − k] (23)

⇒ y[n] = x[n] ∗ h[n]

A operação que calcula y[n] a partir de x[n] e de h[n], dada pela equação 23, é chamada de convolução

de x[n] com h[n]. Portanto, pode-se dizer que um sistema LIT realiza uma convolução de sua entrada com suaresposta impulsiva. O símbolo usado para a operação convolução é o asterisco.

A convolução é uma operação comutativa, ou seja,

x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n] (24)

Assim, se, para um sistema LIT, forem trocados, entre si, os papéis da entrada e da resposta impulsiva, suasequência de saída não se alterará. Isto pode ser verificado, usando-se a mudança de variáveis m = n − k naequação 23:


n x3[n] h[n] y3[n] = 10h[n − 3]

-2 0 0 0-1 0 0 00 0 3 01 0 5 02 0 2 03 10 1 304 0 0 505 0 0 206 0 0 10


n y0[n] y1[n] y2[n] y3[n] y[n]

-1 0 0 0 0 00 12 0 0 0 121 20 15 0 0 352 8 25 -6 0 273 4 10 -10 30 344 0 5 -4 50 515 0 0 -2 20 186 0 0 0 10 107 0 0 0 0 0

Tabela 13: Resposta y[n] do sistema X composta pelas respostas individuais anteriores

y[n] = x[n] ∗ h[n]

⇒ y[n] =

∞∑

k=−∞

x[k]h[n − k]

⇒ y[n] =

∞∑

m=−∞

x[n − m]h[m]

⇒ y[n] =

∞∑

m=−∞

h[m]x[n − m]

⇒ y[n] = h[n] ∗ x[n] (25)

3.6.1 Estabilidade de Sistemas LIT

A estabilidade de sistemas foi definida na seção 3.5. No projeto de um sistema de processamento digital desinais, é importante que se garanta que o sistema obtido seja estável, porque um sistema instável pode ter seusvalores de saída crescendo sem limites, mesmo com os valores da sequência de entrada mantidos numa faixalimitada. Como um sistema de processamento digital de sinais representa cada valor manipulado usando umnúmero finito de bits, um sistema instável, com o tempo, poderia começar a tentar apresentar, à saída, valoresque estivessem fora de sua faixa de valores representáveis. A partir deste momento, ele passaria a cometer erros,fornecendo valores errados à saída e, possivelmente, usando estes valores errados nos seus próximos cálculos (nocaso de ele usar valores de saída anteriores para calcular a saída atual).

Para se encontrar a condição necessária para que um sistema LIT seja estável, parte-se da equação 25,aplicando-a ao cálculo do módulo de cada amostra de saída:


n x[n]

-2 0-1 00 31 -12 203 54 35 0

Tabela 14: Sequência de entrada para o exercício 44

No Octave, a função conv calcula a convolução de duas sequências. Para que ela seja realizadasobre as duas sequências do exemplo mostrado nesta seção, deve-se seguir o procedimento:

octave > h = [3 5 2 1]octave > x = [4 5 − 2 10]octave > y = conv(h, x)

Aqui, foi dada, pelo usuário, a resposta impulsiva, h[n], e a entrada, x[n]. O Octave, então,calculou a convolução daquelas duas sequências. Deve-se lembrar que os índices usados peloOctave começam em 1, enquanto que, no exemplo desta seção, começavam em 0. Porém, asequência de valores da saída fica correta, embora deslocada, no tempo, em relação à destetexto.

|y[n]| =

∣

∣

∣

∣

∣

∞∑

m=−∞

h[m]x[n − m]

∣

∣

∣

∣

∣

≤∞∑

m=−∞

|h[m]||x[n − m]| (26)

Na equação 26, se a sequência x[n] tiver valores limitados, cujos módulos não superarem um certo valor Lx,ter-se-á:

|y[n]| ≤∞∑

m=−∞

|h[m]||x[n − m]| ≤∞∑

m=−∞

|h[m]|Lx = Lx

∞∑

m=−∞

|h[m]| (27)

Assim, para que y[n] tenha valores limitados, deve-se ter:

∞∑

m=−∞

|h[m]| < ∞ (28)

Exercício 45Usando-se a condição 28, verifique se o sistema que implementa a equação y[n] = x[n − 2] é estável.

Exercício 46

Usando-se a condição 28, verifique se o sistema que implementa a equação y[n] = 14{x[n] + x[n− 1] + x[n− 2] +

x[n − 3]} é estável.


Exercício 47Usando-se a condição 28, verifique se o sistema LIT cuja resposta impulsiva é dada na tabela 6 é estável. Casopositivo, se a sequência à sua entrada tiver valores limitados a 3, qual será o módulo do maior valor possível àsua saída?

Exercício 48Qual é a resposta impulsiva do sistema dado pela equação y[n] = x[n] + y[n− 1]? Ele é estável? Caso positivo,se a sequência à sua entrada tiver valores limitados a 3, qual será o módulo do maior valor possível à sua saída?(Considere que y[n] = 0 para n < 0.)

Exercício 49

Qual é a resposta impulsiva do sistema dado pela equação y[n] = x[n]+ 12y[n−1]? Ele é estável? Caso positivo,

se a sequência à sua entrada tiver valores limitados a 3, qual será o módulo do maior valor possível à sua saída?(Considere que y[n] = 0 para n < 0.)

3.6.2 Causalidade de Sistemas LIT

Um sistema LIT é causal se sua resposta impulsiva começar no instante zero ou após o instante zero. Se aresposta impulsiva começar antes do instante zero, o sistema não é causal.

Se, num projeto, for obtido um sistema S1 não causal, se sua resposta impulsiva h1[n] começar num certoinstante ni, com −∞ < ni < 0, será possível obter-se um novo sistema S2, com comportamento semelhante aode S1, porém causal, fazendo-se com que a resposta impulsiva h2[n] seja uma versão atrasada de h1[n], de talforma que h2[n] comece no instante zero ou depois de zero.

Exercício 50Se um sistema tiver em sua resposta impulsiva, como únicas amostras não nulas, h[−2] = 3, h[0] = 10 eh[1] = −2, como poderia ser a resposta impulsiva de um sistema causal semelhante a ele?

A utilidade desta técnica consiste em se obter um sistema realizável em tempo real (causal) a partir de umsistema não realizável em tempo real (não causal). O efeito negativo da aplicação desta técnica é o sistemaresultante ter, em seu funcionamento, um atraso em relação ao sistema original.

Esta técnica só pode ser aplicada se a resposta impulsiva do sistema não causal começar em um ni 6= −∞.Se esta resposta impulsiva começar em −∞, não será possível a obtenção de um sistema causal semelhanteapenas por atraso da resposta impulsiva.

3.7 Equações de Diferenças Lineares a Coeficientes Constantes

Uma tal equação é da forma:

N∑

k=0

aky[n − k] =M∑

k=0

bkx[n − k] (29)

com os ak e bk constantes. Assim, uma equação desta forma representa um cálculo envolvendo amostras deentrada e de saída de vários instantes, cada uma delas multiplicada por uma constante.

Um exemplo de equação de diferenças linear a coeficientes constantes é:


3y[n] + 5y[n − 1] = 4x[n] − 10x[n − 2] + x[n − 5] (30)

na qual, no membro da esquerda, estão amostras da saída, de dois instantes, cada uma multiplicada por umcoeficiente constante e, no membro da direita, estão três amostras de entrada, de instantes diferentes, cada umamultiplicada por um coeficiente.

A maioria dos sistemas de processamento digital de sinais são projetados para implementar equações destetipo, porque, se y[n] = 0 para todos os instantes anteriores à aplicação da primeira amostra x[n] 6= 0, estasequações correspondem a sistemas lineares e invariantes no tempo, sendo fáceis de se tratar matematicamentee de se realizar em hardware ou em software. Sua realização em hardware exige apenas elementos de memória(para guardar amostras passadas de entrada e de saída), multiplicadores e somadores. Em software, bastaque estejam disponíveis variáveis em número suficiente para a memorização das amostras passadas e estejamdisponíveis operações de multiplicação e de adição.

Na prática, é comum que estas equações sejam escritas isolando-se y[n] no membro da esquerda, para quefique explícita a forma de se calcular cada amostra de saída a partir de amostras de saída anteriores e dasamostras de entrada. Assim, a equação 30 fica:

y[n] = −5

3y[n − 1] +

4

3x[n] − 10

3x[n − 2] +

1

3x[n − 5] (31)

Exercício 51Se um sistema implementar a equação

y[n] =1

2y[n − 1] + x[n] (32)

qual será sua sequência de saída, para 0 ≤ n ≤ 8, se y[n] = 0 para n < 0 e se as únicas amostras não nulas dex[n] forem x[0] = 200 e x[1] = 100?

Um sistema que, para calcular cada amostra de saída, só utilize amostras de entrada (atual e anteriores)tem resposta impulsiva com duração finita, ou seja, a partir de um certo instante, todas as amostras de h[n]são nulas. Este tipo de sistema é chamado sistema FIR, da sigla em inglês para resposta impulsiva com

duração finita, finite impulse response.Um sistema que tenha resposta impulsiva com duração infinita, ou seja, resposta impulsiva que nunca

se estabiliza em zero, é chamado sistema IIR, de infinite impulse response. Para que um sistema seja IIR, eledeve calcular cada amostra de saída usando alguma amostra de saída anterior.

3.8 Representação no Domínio da Frequência

Se um sistema LIT receber, à sua entrada, uma sequência senoidal, ele fornecerá, à saída, uma sequência tambémsenoidal, com a mesma frequência que a da entrada, mas podendo ter outra amplitude e outra fase. Assim, daentrada para a saída, neste caso, o sistema mantém a forma e a frequência do sinal.

Para se verificar isto, deve-se lembrar que uma sequência senoidal, A cos(ωn), pode ser escrita como A2 (e+jωn+

e−jωn). Então, para se calcular a saída fornecida pelo sistema LIT quando sua entrada for uma senoide, usando-se a linearidade, podem-se calcular suas saídas para e+jωn, para e−jωn, somarem-se estes resultados e, finalmente,multiplicar-se esta soma por A

2 .Partindo-se da equação 25 da convolução e usando-se, como entrada, x[n] = e+jωn, tem-se:


y[n] =∞∑

m=−∞

h[m]x[n − m]

⇒ y[n] =

∞∑

m=−∞

h[m]e+jω(n−m)

⇒ y[n] =

∞∑

m=−∞

h[m]e+jωne−jωm

⇒ y[n] = e+jωn

(

∞∑

m=−∞

h[m]e−jωm

)

(33)

Assim, vê-se que a saída y[n] tem a mesma forma e+jωn da entrada, estando esta multiplicada pelo fatorentre parênteses, o qual é um número complexo. O módulo deste número complexo determina a alteração naamplitude da senoide da entrada para a saída. O ângulo deste número complexo determina a defasagem entreas senoides de entrada e de saída. Desta forma, o valor entre parênteses é a chamada resposta em frequência

do sistema LIT, simbolizada por H(ejω):

H(ejω) =∞∑

m=−∞

h[m]e−jωm (34)

Com isto, uma forma de se caracterizar um sistema LIT é por meio de sua resposta em frequência , a qualespecifica como o sistema reage a cada possível senoide aplicada à sua entrada, em termos de modificação, daentrada para a saída, da amplitude e da fase desta senoide.

Nos parágrafos anteriores, já está calculada y[n] para entrada e+jωn. Se a entrada for e−jωn (outra compo-nente do cosseno, A cos(ωn) = A

2 (e+jωn + e−jωn)), seguindo-se procedimento semelhante ao anterior, obtém-se

y[n] =

∞∑

m=−∞

h[m]x[n − m]

⇒ y[n] =

∞∑

m=−∞

h[m]e−jω(n−m)

⇒ y[n] =∞∑

m=−∞

h[m]e−jωne+jωm

⇒ y[n] = e−jωn

(

∞∑

m=−∞

h[m]e+jωm

)

(35)

Assim, por linearidade, para se obter a resposta de um sistema LIT a uma senoide do tipo A cos(ωn) =A2 (e+jωn + e−jωn), soma-se sua resposta para e+jωn, dada em (33), com sua resposta a e−jωn, dada em (35) emultiplica-se, finalmente, esta soma por A

2 . Isto resulta:

y[n] =A

2

{

e+jωn

(

∞∑

m=−∞

h[m]e−jωm

)

+ e−jωn

(

∞∑

m=−∞

h[m]e+jωm

)}

(36)

Já foi visto que a primeira somatória de (36) é, usualmente, escrita como H(ejω) (resposta em frequência).Como H(ejω) é um número complexo, pode ser escrito como:

H(ejω) = |H(ejω)|∠H(ejω) (37)

Para qualquer sequência h[n] de números reais, a segunda somatória de (36) tem o mesmo módulo daprimeira somatória, mas tem fase oposta. Assim, a segunda somatória é o complexo conjugado da primeira.


Então, indicando-se a fase da primeira somatória como ejφ, a fase da segunda somatória será e−jφ. Usando-seestes fatos, a equação 36 pode ser reescrita como:

y[n] =A

2{e+jωn|H(ejω)|ejφ + e−jωn|H(ejω)|e−jφ} (38)

Desta equação, pode-se verificar que, realmente, quando a entrada de um sistema LIT for senoidal, sua saídatambém o será, com a mesma frequência, mas podendo ter outra amplitude e outra fase:

y[n] =A

2{e+jωn|H(ejω)|ejφ + e−jωn|H(ejω)|e−jφ}

⇒ y[n] = |H(ejω)|A2{e+jωnejφ + e−jωne−jφ}

⇒ y[n] = |H(ejω)|A2{e+j(ωn+φ) + e−j(ωn+φ)}

⇒ y[n] = |H(ejω)|A cos(ωn + φ) (39)

Para que faça sentido o uso da informação sobre a resposta em frequência de um sistema LIT, deve-se terinformação detalhada sobre como é a sequência de entrada do sistema em termos de frequências, ou seja, deve-se supor que a sequência de entrada seja formada por uma sobreposição de senoides, com várias frequências,amplitudes e fases, mesmo que esta sequência de entrada não tenha sido formada fisicamente desta maneira.

Como exemplo de aplicação, um filtro passa-baixas é um sistema que tem uma resposta em frequência comatenuação das senoides de frequências altas em relação às senoides de frequências baixas. Ele permite quesenoides de baixas frequências “passem” de sua entrada para sua saída mais facilmente do que senoides defrequências altas.

Exercício 52Calcule e interprete a resposta em frequência de um sistema atrasador que implemente y[n] = x[n − 2].

Exercício 53Calcule e interprete a resposta em frequência de um sistema de média móvel que implemente

y[n] =1

2(x[n] + x[n − 1])

Simule seu funcionamento com o Octave.

Exercício 54Calcule e interprete a resposta em frequência de um sistema de média móvel que implemente

y[n] =1

4(x[n] + x[n − 1] + x[n − 2] + x[n − 3])

Simule seu funcionamento com o Octave.

Exercício 55Usando a equação 34, verifique que a resposta em frequência é periódica em frequência, com período de 2π.


Uma sequência de comandos que pode ser usada para se ver um gráfico do módulo e um gráficoda fase de H(ejω) do exercício 53 é:

octave1 > h = 1/2 ∗ [1 1]octave2 > [H,w] = freqz(h)octave3 > plot(w, abs(H))octave4 > plot(w, angle(H))

O comando 1 define a resposta impulsiva do sistema. O comando 2 faz com que seja calculadaa resposta em frequência deste sistema e que seu resultado seja memorizado em dois vetores:H e w. O vetor w, que tem o papel de ω, memoriza as frequências angulares, em radianos,para as quais a resposta em frequência foi calculada. O vetor H memoriza os valores de H(ejω)correspondentes às frequências de w. O comando 3 faz com que seja apresentado o gráfico domódulo (abs) de H(ejω). Finalmente, o comando 4 faz com que seja apresentado o gráfico dafase (angle) de H(ejω).

Como a resposta em frequência é periódica em frequência, com período de 2π, basta que ela seja especificadanum intervalo de frequências com largura de 2π. A resposta para qualquer frequência fora deste intervalo é igualà resposta para alguma frequência dentro dele. Usualmente, ela é especificada para o intervalo 0 ≤ ω < 2π oupara −π < ω ≤ π. Como exemplo, a resposta em frequência de um filtro passa-baixas é mostrada na figura 14.

|Hfpb(ejω)|

1

−ωc ωc−π π

Figura 14: Resposta em frequência de um filtro passa-baixas

3.9 Representação de Sequências por Transformada de Fourier

Em tempo contínuo, a decomposição de um sinal em senoides é feita usando-se a série de Fourier ou a transfor-mada de Fourier, apresentada em livros de Circuitos Elétricos e de Sistemas de Comunicação, tais como [4]. Deforma semelhante, sequências podem ser representadas por uma transformada de Fourier adaptada ao tempodiscreto.

A transformada de Fourier de tempo discreto é definida como:

X(ejω) =

∞∑

n=−∞

x[n]e−jωn (40)

em que x[n] é a sequência a ser transformada, ω é uma frequência angular e X(ejω) é o resultado da transformadapara esta ω. X(ejω) é uma função que informa, para cada ω, com que intensidade e com que fase uma senoidecom frequência ω está presente na sequência x[n]. X(ejω) é chamada de espectro de x[n].

Para se entender por que a expressão 46 “revela” quais frequências estão presentes numa certa sequênciax[n], supõe-se que uma certa sequência a ser analisada seja:

x[n] = 3ej π

2n + 3e−j π

2n + 5ej π

3n + 5e−j π

3n, 0 ≤ n < 12 (41)


e que x[n] = 0 fora deste intervalo. Nesta expressão para x[n], podem-se identificar dois cossenos: um comω = π

2 e o outro com ω = π3 . (Lembre-se de como o cosseno pode ser escrito como combinação de exponenciais

complexas.)Supõe-se, então, que alguém que não conheça esta expressão para x[n], mas que conheça a sua sequência de

valores numéricos (eles podem ter sido medidos) queira descobrir quais são as senoides que formam esta x[n].Para se descobrir se a x[n] de (41) tem uma componente do tipo ejωn com, por exemplo, ω = π

2 , calcula-sea expressão 46 usando-se aquela x[n] e ω = π

2 , obtendo-se:

X(ej π

2 ) =∑

∞

n=−∞x[n]e−j π

2n

⇒ X(ej π

2 ) =∑11

n=0(3ej π

2n + 3e−j π

2n + 5ej π

3n + 5e−j π

3n)e−j π

2n

⇒ X(ej π

2 ) =∑11

n=0(3ej π

2ne−j π

2n + 3e−j π

2ne−j π

2n + 5ej π

3ne−j π

2n + 5e−j π

3ne−j π

2n)

⇒ X(ej π

2 ) =∑11

n=0(3ej π

2n−j π

2n + 3e−j π

2n−j π

2n + 5ej π

3n−j π

2n + 5e−j π

3n−j π

2n)

⇒ X(ej π

2 ) =∑11

n=0(3ej0n + 3e−jπn + 5e−j π

6n + 5e−j 5π

6n)

⇒ X(ej π

2 ) =∑11

n=0(3 + 3e−jπn + 5e−j π

6n + 5e−j 5π

6n)

⇒ X(ej π

2 ) =∑11

n=0 3 +∑11

n=0 3e−jπn +∑11

n=0 5e−j π

6n +

∑11n=0 5e−j 5π

6n

⇒ X(ej π

2 ) = 36 + 3∑11

n=0 e−jπn + 5∑11

n=0 e−j π

6n + 5

∑11n=0 e−j 5π

6n

⇒ X(ej π

2 ) = 36 + 0 + 0 + 0

⇒ X(ej π

2 ) = 36 (42)

Exercício 56Por que, ao final do cálculo feito em (42), as três últimas somatórias resultaram 0?

Em (42), viu-se que, quando se procurou em x[n] uma exponencial complexa que tivesse a frequência ω = π2 ,

as somatórias relacionadas a componentes de outras frequências resultaram 0, enquanto a somatória relacionadaà própria componente ω = π

2 resultou 36. Este valor 36 está relacionado à presença de uma componente comω = π

2 em x[n]. De fato, a sequência exponencial com frequência ω = π2 está presente em x[n] com comprimento

12 (a sequência só era não nula para 0 ≤ n < 12). O resultado 36 veio de uma somatória de 12 valores iguaisa 3. Assim, neste caso, o coeficiente 3 da exponencial complexa de frequência ω = π

2 é revelado como sendo3612 = 3. Portanto, a aplicação da transformada de Fourier à x[n] permite que seja revelado o coeficiente de ej π

2n

em x[n].Se ej π

2n estivesse presente com maior duração dentro de x[n], o resultado obtido para X(ej π

2 ) seria propor-cionalmente maior. Por exemplo, se ej π

2n estivesse presente em x[n] com duração de 24 instantes (ao invés de

12), X(ej π

2 ) resultaria 72 (ao invés de 36). Mas, o coeficiente de ej π

2n continuaria sendo revelado como tendo o

valor 3, já que 7224 = 3. Portanto, o resultado da transformada de Fourier para uma dada frequência depende não

só do coeficiente da exponencial complexa correspondente dentro de x[n], mas depende, também, da duraçãodesta exponencial complexa dentro de x[n].

Exercício 57Calcule X(ej π

3 ) para a x[n] dada em (41). Interprete o resultado.

O que faz com que a transformada de Fourier consiga revelar a presença de uma certa exponencial complexaejωxn dentro de uma sequência é que a multiplicação desta exponencial por e−jωxn resulta ejωxne−jωxn = 1,como visto em (42). E a somatória destes valores 1 cresce ao longo da duração da sequência. Por outro lado,para frequências diferentes da procurada, o expoente de e não se anula. Neste caso, a somatória de valores destaexponencial complexa ao longo da duração da sequência oscila, ao invés de crescer continuamente.


A sequência x[n] pode ser recuperada a partir de X(ejω) usando-se a transformada inversa de Fourier,definida como:

x[n] =1

2π

∫ π

−π

X(ejω)ejωn dω (43)

A demonstração de que a equação 43 é a transformação inversa da equação 46 é apresentada em [1].Da equação 43, vê-se que a resposta impulsiva h[n] de um sistema é a transformada inversa de Fourier da

resposta em frequência deste sistema.A equação 43 permite que se calcule a sequência de amostras x[n] cuja transformada de Fourier é uma certa

X(ejω) conhecida. Isto é usado em processos de compactação de dados. Se uma longa sequência de amostrasfor formada por umas poucas componentes senoidais, pode ser vantajoso se armazenar em uma memória digitaluma descrição de X(ejω), ao invés de se memorizarem os próprios valores lidos das amostras, x[n]. Nestatécnica, então, primeiro é lida e memorizada a longa sequência de amostras x[n]. Em seguida, é calculada atransformada de Fourier de x[n]. Os resultados desta X(ejω), então, são memorizados e as amostras originaisx[n] são descartadas. Se for necessário recuperar-se x[n], basta que se calcule a transformada inversa de X(ejω),usando-se a equação 43.

Uma aplicação popular da transformada de Fourier é a codificação de som no formato MP3 [5]. Nestatécnica, uma sequência de amostras de som x[n] a ser compactada é subdividida em subsequências x1[n], x2[n]etc., que duram, cada uma, uma fração de segundo. Cada uma destas subsequências sofre uma transformadade Fourier, resultando X1(e

jω), X2(ejω) etc. O resultado da transformada de Fourier de cada trecho indica

o conteúdo em frequências deste trecho. São, então, removidas as componentes com frequências inaudíveis decada trecho. E, ainda, em cada trecho, é identificada a senoide com maior energia. As senoides que não seriamaudíveis no mesmo trecho devido à presença simultânea desta senoide muito mais forte também são removidas.Então, para cada trecho, são memorizadas, no domínio da frequência, apenas as senoides remanescentes. Nestamemorização, ainda é usada uma técnica genérica de compactação de arquivos digitais.

O Teorema da Convolução se aplica a sequências e a suas transformadas de Fourier, ou seja, se

x[n]F−→ X(ejω)

e

h[n]F−→ H(ejω)

(em que a notaçãoF−→ representa a transformada de Fourier), se uma sequência y[n] for o resultado da convolução

destas x[n] e h[n], ou seja,

y[n] =

∞∑

k=−∞

x[k]h[n − k] = x[n] ∗ y[n]

então

Y (ejω) = X(ejω)H(ejω)

ou seja, convolução no domínio do tempo corresponde a multiplicação no domínio de frequência. Uma demon-stração deste teorema é apresentada em [1].

3.10 Transformada de Fourier Discreta

A transformada de Fourier discreta é uma transformada de Fourier calculada apenas para sequências x[n] deduração finita. É muito comum que se refiram a ela pela sua sigla em inglês, DFT. Ela é chamada de “discreta”porque apresenta o resultado da transformada de Fourier apenas para um número finito de frequências e nãopara todos os valores de frequência, como acontece com a transformada de Fourier contínua. O número defrequências para as quais a DFT apresenta resultados é igual ao número de valores de x[n] usados no cálculo destatransformada. Por exemplo, se a sequência x[n] a ser transformada tiver apenas 10 valores, a DFT fornecerá uma


sequência contendo, também, 10 valores. Estes valores gerados pela DFT são amostras igualmente espaçadasem frequência do espectro contínuo de x[n].

A DFT tem grande utilidade prática, por ser, em geral, de cálculo mais rápido do que um cálculo analíticoda transformada de Fourier contínua e, mesmo assim, fornecer amostras exatas do espectro contínuo do sinaltransformado. Quanto menos amostras de uma x[n] forem usadas no cálculo da DFT, maior será a rapidez destecálculo, mas serão obtidas menos amostras do espectro. Inversamente, se muitas amostras de x[n] forem usadasno cálculo da DFT, maior será o trabalho nos cálculos, mas se obterá uma melhor visualização do espectro(mais amostras dele).

A DFT é definida como:

X[k] =N−1∑

n=0

x[n]e−j 2π

Nkn (44)

em que x[n] é a sequência de duração finita a ser transformada e X[k] é o resultado da transformação. X[k] éuma sequência que contém amostras uniformemente espaçadas, em frequência, do espectro X(ejω) de x[n]. Adiferença de frequência angular entre duas amostras seguidas de X(ejω) contidas em X[k] é de 2π

N, em que N é

o número de amostras da sequência x[n] usadas no cálculo de X[k]. Assim, por exemplo, se N = 10, a diferençade frequência angular entre amostras de X(ejω) contidas em X[k] será de 2π

10 . Então, para N = 10, X[0] tem ovalor de X(ejω) para ω = 0 2π

10 = 0 rad. X[1] tem o valor de X(ejω) para ω = 1 2π10 = 2π

10 rad e assim por diante,até X[9], que tem o valor de X(ejω) para ω = 9 2π

10 rad. Para k = 10, o valor obtido para X[k], X[10], seria ode X(ejω) para ω = 10 2π

10 = 2π rad, o qual equivale ao valor obtido para ω = 0 rad, X[0], já que X(ejω) éperiódico em frequência, com período de 2π. Por isto, só são de interesse os valores de X[k] em número igualao número de amostras de x[n] usadas no cálculo. Valores de X[k] fora da faixa de interesse são sempre iguaisa valores de X[k] normalmente calculados.

A figura 15 é um gráfico do módulo da transformada de Fourier contínua de uma sequência, apresentadoem linha contínua, sobreposto ao gráfico do módulo da DFT da mesma sequência, apresentado como hastes.A sequência utilizada nesta transformação tinha comprimento de oito amostras, tendo as quatro primeirasamostras o valor 1 e as quatro últimas o valor 0. (Esta sequência não é mostrada na figura.) Como a sequênciaa ser transformada tinha oito amostras, com a DFT, obtiveram-se oito amostras de seu espectro contínuo. Vê-se,na figura 15, que os resultados da DFT coincidem com os do espectro contínuo.

A transformada de Fourier discreta inversa é calculada como:

x[n] =1

N

N−1∑

k=0

X[k]ej 2π

Nkn (45)

Aqui, X[k] é um espectro discreto conhecido. x[n] é a sequência correspondente a este espectro. N é ocomprimento de x[n] e é, assim, o número de valores não redundantes de X[k].

Atualmente, a DFT é calculada, para longas sequências, em programas de computador e em circuitos inte-grados, usando-se algoritmos rápidos chamados de FFT (do inglês “Fast Fourier Transform” ou Transformada

Rápida de Fourier). A FFT usa recursão e se aproveita do fato de que fatores do tipo ej 2π

Nkn são periódicos

em k e em n, evitando, com isto, que eles sejam recalculados muitas vezes. Resultados parciais de fatoresdeste tipo já calculados são reaproveitados ao máximo. Cita-se o matemático Gauss como um dos primeiros adescrever a FFT, em 1805 [1].

A FFT de uma dada sequência x é calculada usando-se o comando fft(x). O resultado é umasequência com o mesmo comprimento de x, contendo amostras do espectro de x.


-1

0

1

2

3

4

5

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

mod

ulo

do e

spec

tro

omega(rad)

Figura 15: Módulo de uma DFT e de uma transformada de Fourier contínua da mesma sequência

Exercício 58No Octave, gere uma sequência de instantes, com o comandooctave> n=[0:11]Em seguida, especifique uma frequência ω = π

2 , comoctave> omega=pi/2Então, gere uma senoide, com (usando x minúsculo)octave> x=cos(omega*n)Calcule e memorize a FFT de x com (usando X maiúsculo)octave> X=fft(x)Visualize o módulo desta FFT comoctave> stem(n,abs(X))Interprete o resultado.

Exercício 59No exercício anterior, o eixo x do gráfico mostrava os instantes n. Modifique a escala do eixo x, para que elapasse a mostrar ω, com os comandos:octave> eixox=2*pi/12*noctave> stem(eixox,abs(X))Verifique os valores de ω em que ficaram as raias não nulas do espectro.


Exercício 60Repita o procedimento anterior para: ω = π

4 , ω = π8 e ω = π. Interprete os resultados.

Exercício 61Repita o procedimento anterior para sequências mais longas, para mais instantes, usando o programa para oOctave:

n=[0:99];omega=input("omega=");x=cos(omega*n);X=fft(x);eixox=2*pi/100*n;stem(eixox,abs(X))

para vários valores de ω. Interprete os resultados.

Exercício 62Verifique o espectro de uma sequência x que consista numa soma de duas senoides, com diferentes frequênciase diferentes amplitudes.

A FFT inversa de um espectro discreto X é calculada usando-se o comando ifft(X). O resultadoé uma sequência temporal com o mesmo comprimento de X, a qual é a sequência de amostrascujo espectro discreto é X.

4 Transformada Z

A transformada Z é uma generalização da transformada de Fourier. Uma de suas utilidades é ter notação maissimples do que a transformada de Fourier. Outra utilidade é a de facilitar a visualização de propriedades desistemas de tempo discreto.

A transformada de Fourier foi definida na seção 3.9 como:

X(ejω) =

∞∑

n=−∞

x[n]e−jωn (46)

Na definição da transformada Z, troca-se a expressão ejω da transformada de Fourier por uma variável complexaz, obtendo-se:

X(z) =∞∑

n=−∞

x[n]z−n (47)

Na definição da transformada Z, z é uma variável complexa que pode assumir qualquer valor. Quanto àexpressão ejω, ela também é um número complexo, mas só pode assumir valores cujo módulo valha 1. Assim,a transformada de Fourier e a transformada Z só coincidem quando o módulo da variável z for restrito a 1.


De forma similar à usada com a transformada de Fourier, uma notação usada para se indicar um par formadopor uma sequência e sua transformada Z é:

x[n]Z−→ X(z) (48)

Exercício 63Qual é a transformada Z da sequência dada na tabela 14?

Vê-se que a transformada Z de uma sequência apresenta cada valor desta sequência multiplicado pela variávelz elevada ao negativo do instante daquele valor na sequência.

Exercício 64Qual é a transformada Z de uma versão atrasada da sequência do exercício anterior (considere atraso unitário)?

Vê-se que atrasar uma sequência em uma unidade de tempo corresponde a multiplicá-la por z−1 no domínioz. Atrasá-la de k unidades de tempo corresponde a multiplicá-la por z−k. Adiantá-la corresponde a multiplicá-lapor z elevada a um expoente positivo, cujo valor é o número de unidades de tempo de adiantamento.

Exercício 65Se a transformada Z de uma sequência x[n] for chamada de X(z), qual será a transformada Z da sequência12x[n − 3]?

Exercício 66Se a transformada Z de uma sequência x[n] for chamada de X(z), qual será a transformada Z da sequênciax[n] − 1

3x[n − 1] + 12x[n − 3]?

Exercício 67Se a transformada Z de uma sequência x[n] for chamada de X(z) e a transformada Z de uma sequência y[n] forchamada de Y (z), qual será a transformada Z da equação y[n] = x[n] − 1

3x[n − 1] + 12x[n − 3] − 1

10y[n − 2]?

4.1 Transformada Z e Equações de Diferenças

Conforme visto na seção 3.7, muitos sistemas de tempo discreto são projetados para implementar equações dediferenças do tipo:

N∑

k=0

aky[n − k] =M∑

k=0

bkx[n − k] (49)

A transformada Z da equação 49 é:


∑N

k=0 akz−kY (z) =∑M

k=0 bkz−kX(z)

⇒ Y (z)(∑N

k=0 akz−k) = X(z)(∑M

k=0 bkz−k)

⇒ H(z) = Y (z)X(z) =

P

M

k=0bkz−k

P

N

k=0akz−k

(50)

em que H(z) é a função de transferência do sistema, no domínio z.

Exercício 68Qual é a função de transferência no domínio z do sistema que implementa

y[n] = x[n] − 1

3x[n − 1] +

1

2x[n − 3] − 1

10y[n − 2] ?

Exercício 69Qual é a função de transferência no domínio z do sistema que implementa

y[n] = x[n] − 1

3x[n − 1] +

1

2x[n − 3] ?

A H(z) de um sistema que implementa uma equação de diferenças pode ser escrita de forma que seunumerador e seu denominador apareçam como produtos de fatores do tipo (z − k), com k sendo um númerocomplexo constante. Escrita desta forma, a H(z) revela diretamente seus zeros e seus polos. Um zero de H(z)é um valor de z que faz com que a H(z) assuma valor zero. Assim, um zero é um valor de z que faz com queo numerador de H(z) assuma valor zero. Um polo de H(z) é um valor de z que faz com que a H(z) assumavalor tendendo a infinito. Assim, um polo é um valor de z que faz com que o denominador de H(z) assumavalor zero.

Exercício 70Quais são os zeros e os polos da função de transferência dada abaixo?

H(z) =(z − 0, 5)(z + 0, 5)

z(z − 0, 8)

Escreva uma equação de diferenças correspondente.

Exercício 71Quais são os zeros e os polos da função de transferência dada abaixo?

H(z) =1 + 0, 1z−1 − 0, 12z−2

1 − 0, 6z−1 + 0, 25z−2

Escreva uma equação de diferenças correspondente.


Para se obterem as raízes de um polinômio p(x), por exemplo, p(x) = x2 − 5x + 6, deve-sefornecer este polinômio montando-se um vetor com seus coeficientes, usando-se:octave > p = [1 − 5 6]e deve-se, em seguida, usar o comando roots:octave > roots(p)

Exercício 72Escreva uma equação de diferenças cuja H(z) tenha um único zero em 0,8 e tenha dois polos, em ±0, 7i.

Exercício 73Escreva uma equação de diferenças cuja H(z) tenha zeros em ±0, 8 e tenha polos em 0, 5 ± 0, 7i.

Para se obter um polinômio p(x) que possua certas raízes, por exemplo, 2 e 3, deve-se montarcom elas um vetor, usando-se:octave > raizes = [2 3]e deve-se, em seguida, usar o comando poly :octave > poly(raizes)O resultado será a sequência de coeficientes de um polinômio que possua as raízes fornecidas. Noresultado, o coeficiente dado mais à esquerda é o do termo de maior expoente. Neste exemplo,o resultado é:1 − 5 6o que significa que um polinômio cujas raízes são 2 e 3 éx2 − 5x + 6

4.2 Cálculo de Resposta em Frequência Usando a Transformada Z

Sabe-se que a transformada Z, H(z), e a transformada de Fourier, H(ejω), coincidem quando |z| = 1, já que|ejω| = 1 para qualquer valor de ω. Para qualquer valor de ω, ejω é um número complexo com módulo igual a1 e com ângulo igual a ω. Assim, para se avaliar H(ejω) para algum valor de ω, pode-se calcular ejω para esteω, fazer-se z igual a este valor de ejω e avaliar-se H(z) para este valor de z.

Exercício 74Dada a função de transferência:

H(z) =(z − 0, 5)(z + 0, 5)

z(z − 0, 8)

Qual é seu módulo e qual é sua fase para ω = 0? E para ω = π2 ? E para ω = π?

Pelo que se vê no exercício anterior, para se calcular aquela H(z) em várias frequências, calcula-se

H(ejω) =(ejω − 0, 5)(ejω + 0, 5)

ejω(ejω − 0, 8)

naquelas frequências.


Esta H(z) tem dois fatores correspondentes a seus zeros e dois fatores correspondentes a seus polos. Umdos fatores correspondentes a um zero é (z − 0, 5). Ele corresponde a um zero em +0, 5. Para um dado valorde z, o valor deste fator, obviamente, é a diferença entre o valor de z e o valor 0, 5, ou seja, é a diferençaentre o valor de z e o zero do fator. Por exemplo, para ω = 0, z = ej0 = 1, este termo assumirá o valor(z − 0, 5) = 1 − 0, 5 = 0, 5. E, para ω = π

2 , z = ej π

2 = j, (z − 0, 5) = j − 0, 5. Neste último caso, o módulo do

fator é |j − 0, 5| =√

0, 52 + 12 =√

1, 25. Este módulo é igual ao comprimento da linha pontilhada da figura 16,na qual kz representa o valor do zero deste fator. Vê-se que o comprimento desta linha é igual ao da linhatracejada, a qual liga z = j ao zero de valor 0, 5. Em geral, para uma dada frequência ω, o módulo de um fatordo tipo (z − kz), em que kz é um zero do sistema, é igual à distância entre z = ejω e kz. A fase θz deste fatortambém está indicada na figura.

ℜ

ℑplano complexo

kz

ω = π2 (z = j)j − kz

θzθz

|j − kz|

raio unitário

Figura 16: Visualização do efeito de um zero kz em H(z), para ω = π2

Exercício 75Usando a representação de um zero do sistema no plano complexo, calcule, usando desenhos, o módulo e a fasedo fator (z − 0, 5) para ω = 0, ω = π

2 e ω = π.

Exercício 76Usando a representação de um zero do sistema no plano complexo, calcule, usando desenhos, o módulo e a fasedo fator (z + 0, 5) para ω = 0, ω = π

2 e ω = π.

Vê-se que, quanto maior for a distância do ponto ejω a um zero do sistema, maior será a contribuição destezero para o ganho. Assim, no projeto de um sistema, devem-se colocar zeros próximos à circunferência unitária


(ou sobre ela) nas frequências para as quais se desejar baixo valor de ganho e vice-versa.O efeito de um polo sobre o módulo e a fase de H(z) pode ser visualizado de maneira semelhante à do efeito

de um zero. Mas, como o fator de um polo está no denominador de H(z), quando ejω estiver próximo a umpolo, o ganho correspondente será grande e vice-versa. Também por estar no denominador, o polo não deveráestar sobre a circunferência unitária, pois isto levaria a uma divisão por zero no cálculo do ganho (o ganhotenderia a infinito).

O ângulo correspondente a um polo, obtido na forma da figura 16, contribuirá para H(z) com o oposto deseu sinal, já que ele é um ângulo que está no denominador de um número complexo.

Exercício 77Usando a representação de um polo do sistema no plano complexo, calcule, usando desenhos, o módulo e a fasedo fator 1

(z+0,8) para ω = 0, ω = π2 e ω = π.

Exercício 78Usando a representação de um polo do sistema no plano complexo, calcule, usando desenhos, o módulo e a fasedo fator 1

zpara ω = 0, ω = π

2 e ω = π.

Exercício 79Um certo sistema tem, como zeros, z1 = 1, z2 = 0, 8j e z3 = −0, 8j. Seus polos são: p1 = −0, 2, p2 = −0, 2+0, 3je p2 = −0, 2 − 0, 3j. Esboce seu diagrama de zeros e polos no plano complexo. Esboce o gráfico do módulo deseu ganho em frequência. Este sistema tem característica passa-baixas? Passa-altas?

A seguinte sequência de comandos permite a visualização do módulo do ganho do sistema doexercício 79.

octave > z1 = 1;octave > z2 = 0.8j;octave > z3 = −0.8j;octave > p1 = −0.2;octave > p2 = −0.2 + 0.3j;octave > p3 = −0.2 − 0.3j;octave > zrs = [z1 z2 z3];octave > pls = [p1 p2 p3];octave > numerador = poly(zrs);octave > denominador = poly(pls);octave > [H,w] = freqz(numerador, denominador);octave > plot(w, abs(H))

Assim, para se obter um sistema com uma determinada característica de resposta em frequência, devem-secolocar zeros próximos às frequências para as quais se deseja ganho pequeno e polos próximos às frequênciaspara as quais se deseja ganho grande. Escolhidos os zeros e os polos, podem-se construir os polinômios donumerador e do denominador de H(z). Com a H(z) preparada desta forma, pode-se escrever a equação dediferenças correspondente. E, finalmente, tendo-se a equação de diferenças, pode-se implementar o sistema emhardware ou em software.


Referências

[1] OPPENHEIM,A.V., SCHAFER,R.W.Discrete-Time Signal ProcessingPrentice-Hall, 1989

[2] http://www.octave.org, acessado em 23/12/2008

[3] http://www.ti.com, acessado em 26/12/2008

[4] CARLSON,A.B.; CRILLY,P.; RUTLEDGE,J.Communication SystemsMcGraw-Hill, 2001

[5] http://www.mp3-converter.com/mp3codec, acessado em 17/05/2009

ifsp (prof. ricardo pires) - process amen to digital de sinais

Documents