identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

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Ângulos Notáveis O estudo da trigonometria é fundamentado nas relações existentes entre ângulos e medidas. No triângulo retângulo, essas relações são constantemente trabalhadas e alguns ângulos presentes nesse tipo de triângulo são usados com maior frequência, eles recebem o nome de ângulos notáveis e seus valores são de 30º, 45º e 60º. Vamos relembrar as relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente. Para demonstrarmos as relações trigonométricas no triângulo retângulo dos ângulos 30°e 60°, é preciso obter um triângulo que tenha esses dois ângulos. Observe o triângulo equilátero (todos os ângulos internos são iguais a 60º) ABC de lado igual a x, é preciso calcular o valor da sua altura. Traçar sua altura é o mesmo que traçar a bissetriz do ângulo A e a mediatriz da base BC. Para calcular a sua altura, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo AHC: Com o valor da altura em função de x e utilizando o triângulo retângulo AHC, podemos determinar as relações trigonométricas dos ângulos de 30° e de 60º no triângulo AHC.

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Page 1: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Ângulos Notáveis O estudo da trigonometria é fundamentado nas relações existentes entre ângulos e

medidas. No triângulo retângulo, essas relações são constantemente trabalhadas e alguns

ângulos presentes nesse tipo de triângulo são usados com maior frequência, eles recebem o

nome de ângulos notáveis e seus valores são de 30º, 45º e 60º.

Vamos relembrar as relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo: seno,

cosseno e tangente.

Para demonstrarmos as relações trigonométricas no triângulo retângulo dos ângulos 30°e

60°, é preciso obter um triângulo que tenha esses dois ângulos.

Observe o triângulo equilátero (todos os ângulos internos são iguais a 60º) ABC de lado

igual a x, é preciso calcular o valor da sua altura. Traçar sua altura é o mesmo que traçar a

bissetriz do ângulo A e a mediatriz da base BC.

Para calcular a sua altura, basta aplicar o Teorema

de Pitágoras no triângulo AHC:

Com o valor da altura em função de x e utilizando o triângulo retângulo AHC, podemos

determinar as relações trigonométricas dos ângulos de 30° e de 60º no triângulo AHC.

Page 2: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Como o triângulo equilátero não possui ângulo de 45°, precisamos traçar a diagonal do

quadrado formando dois triângulos retângulos, a diagonal é uma bissetriz, ou seja, divide o

ângulo de 90º em dois de 45º. Veja como:

Dado o quadrado ABCD de lado x e diagonal

d.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no

triângulo ABD, iremos descobrir um valor

para a diagonal (d) em função de x.

Assim, com o valor da diagonal é possível calcular o valor das relações trigonométricas do

triângulo retângulo ABD com o ângulo de 45°.

Com base em algumas deduções geométricas e cálculos matemáticos, conseguimos calcular

as relações trigonométricas seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º do

triângulo retângulo. A partir dos cálculos efetuados construímos a seguinte tabela de

relações trigonométricas:

Page 3: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Arcos com Mais de uma Volta

Temos que uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π rad, de

acordo com a ilustração a seguir:

Note que o círculo possui raio medindo uma unidade e é dividido em quatro quadrantes,

facilitando a localização dos ângulos trigonométricos, de acordo com a seguinte situação:

1º quadrante: abscissa positiva e ordenada positiva → 0º < α < 90º.

2º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 90º < α < 180º.

3º quadrante: abscissa negativa e ordenada negativa → 180º < α < 270º.

4º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 270º < α < 360º.

Nos estudos trigonométricos existem arcos que possuem medidas maiores que 360º, isto é,

eles possuem mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 360º ou 2π rad,

com base nessa informação podemos reduzi-lo à primeira volta, realizando o seguinte

cálculo: dividir a medida do arco em graus por 360º (volta completa), o resto da divisão será

a menor determinação positiva do arco. Dessa forma, a determinação principal do arco em

um dos quadrantes fica mais fácil.

Exemplo 1

Determinar a localização principal do arco de 4380º utilizando a regra prática.

4380º : 360º é correspondente a 4320º + 60º, portanto, o resto da divisão é igual a 60º que é

a determinação principal do arco, dessa forma, sua extremidade pertence ao 1º quadrante.

Exemplo 2

Qual a determinação principal do arco com medida igual a 1190º?

1190º : 360º, a divisão possui resultado igual a 3 e resto 110, concluímos que o arco possui

três voltas completas e extremidade no ângulo de 110º, pertencendo ao 2º quadrante.

Page 4: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Arcos Côngruos

Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. Uma

regra prática eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se a

diferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 360º, isto é, a diferença entre as

medidas dos arcos dividida por 360º precisa ter resto igual a zero.

Exemplo 3

Verifique se os arcos de medidas 6230º e 8390º são côngruos.

8390º – 6230º = 2160

2160º / 360º = 6 e resto igual a zero. Portanto, os arcos medindo 6230º e 8390º são côngruos.

Exemplo 4

Confira se os arcos de medidas 2010º e 900º são côngruos.

2010º – 900º = 1110º

1110º / 360º = 3 e resto igual a 30. Portanto, os arcos não são côngruos.

As Razões Inversas do Seno, Cosseno e da Tangente

As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente estão associadas ao triângulo retângulo e

às relações entre os catetos e a hipotenusa. Essas relações são constituídas de acordo com as

seguintes razões:

seno

cosseno

tangente

Essas razões trigonométricas possuem inversas que são nomeadas cossecante, secante e

cotangente.

A inversa do seno é a cossecante (cossec).

A inversa do cosseno é a secante (sec).

Page 5: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

A inversa da tangente é a cotangente (cotg).

As razões inversas de seno, cosseno e tangente podem ser representadas pelas seguintes

expressões:

cossecante

secante

cotangente

O conhecimento das razões trigonométricas e de suas inversas auxiliará nos estudos ligados

às relações fundamentais entre as funções de um mesmo arco, relações derivadas e ao

desenvolvimento das identidades trigonométricas.

As razões recíprocas do seno, do co-seno e da tangente

O cálculo das funções trigonométricas seno, co-seno, tangente é encontrado levando em

consideração um triângulo retângulo que possui uma hipotenusa e dois catetos, assim:

Sen x = cateto oposto ao ângulo x

Hipotenusa

Cos x = cateto adjacente ao ângulo x

Hipotenusa

Tg x = cateto oposto ao ângulo x

cateto adjacente ao ângulo x

Invertendo cada uma das funções trigonométricas (razões trigonométricas) citadas acima,

será possível encontrar as suas recíprocas, que serão nomeadas como:

• A recíproca do seno é co-secante (cossec)

Cossec x = Hipotenusa

cateto oposto ao ângulo x

• A recíproca do co-seno é secante (sec)

Sec x = Hipotenusa

cateto adjacente ao ângulo x

• A recíproca da tangente é co-tangente (cotg)

Page 6: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Cotg x = cateto adjacente ao ângulo x

cateto oposto ao ângulo x

Como essas recíprocas são razões inversas às razões seno, co-seno e tangente, elas devem ser

indicadas da seguinte forma:

Cossec x = 1

Sen x

Sec x = 1

Cos x

Cotg x = 1 = cos x

Tg x Sen x

Circunferência trigonométrica

A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo

uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a

origem dos arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas,

dessa forma, este ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o

círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os

números reais α relacionados a um único ponto P. Os sentidos dos arcos trigonométricos

estão de acordo com as seguintes definições:

Se α = 0, P coincide com A.

Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário.

Se α < 0, o sentido do círculo será horário.

O comprimento do arco AP será o módulo de α.

Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciais

para a determinação principal de arcos trigonométricos:

Page 7: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o

ângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no

círculo para determinarmos a sua imagem.

Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-

horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.

Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas

no sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6

= 2π – 5π/6.

Page 8: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Equação trigonométrica

Para que exista uma equação qualquer é preciso que tenha pelo menos uma incógnita e uma

igualdade.

Agora, para ser uma equação trigonométrica é preciso que, além de ter essas características

gerais, é preciso que a função trigonométrica seja a função de uma incógnita.

sen x = cos 2x

sen 2x – cos 4x = 0

4 . sen3 x – 3 . sen x = 0

São exemplos de equações trigonométricas, pois a incógnita pertence à função

trigonométrica.

x2 + sen 30° . (x + 1) = 15

Esse é um exemplo de equação do segundo grau e não de uma equação trigonométrica, pois a

incógnita não pertence à função trigonométrica.

Grande parte das equações trigonométricas é escrita na forma de equações trigonométricas

elementares ou equações trigonométricas fundamentais, representadas da seguinte forma:

sen x = sen a

cos x = cos a

tg x = tag a

Cada uma dessas equações acima possui um tipo de solução, ou seja, de um conjunto de

valores que a incógnita deverá assumir em cada equação.

Page 9: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Equações do Tipo sen x = a

Equações trigonométricas são igualdades que evolvem uma ou mais funções trigonométricas

de arcos incógnitos. Para a resolução de equações trigonométricas não existe um processo

único, o que devemos fazer é tentar reduzi-las a equações mais simples, do tipo senx = α,

cosx = α e tgx = α, denominadas equações fundamentais. Das três equações citadas vamos

abordar os conceitos e as formas de resolução da equação senx = α.

As equações trigonométricas na forma senx = α possui soluções no intervalo –1 ≤ x ≤ 1. A

determinação dos valores de x que satisfazem esse tipo de equação obedecerá à seguinte

propriedade: Se dois arcos têm senos iguais, então eles são côngruos ou suplementares.

Consideremos x = α uma solução da equação sen x = α. As outras possíveis soluções são os

arcos côngruos ao arco α ou ao arco π – α. Então: sen x = sen α. Observe a representação no

ciclo trigonométrico:

Concluímos que:

x = α + 2kπ, com k Є Z ou x = π – α + 2kπ, com k Є Z

Exemplo

Resolva a equação: sen x = √3/2

Sabemos pela tabela de razões trigonométricas que √3/2 corresponde ao seno do ângulo de

60º. Então:

sen x = √3/2 → sen x = π/3 (π/3 = 180º/3 = 60º)

Dessa forma, a equação senx = √3/2 possui como solução todos os arcos côngruos ao arco π/3

ou ao arco π – π/3. Observe ilustração:

Page 10: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Concluímos que as possíveis soluções da equação sen x = √3/2 são:

x = π/3 + 2kπ, com k Є Z ou x = 2π/3 + 2kπ, com k Є Z

Equações e Inequações Trigonométricas

O que difere a equação e inequação trigonométrica das outras é que elas possuem funções

trigonométricas das incógnitas.

Função trigonométrica é a relação feita entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo.

Essas relações recebem o nome de seno, co-seno, tangente, co-secante, secante, co-tangente.

►Veja alguns exemplos de quando uma equação é trigonométrica e quando ela não é

trigonométrica.

sen x + cos y = 3 é uma equação trigonométrica, pois as incógnitas x e y possuem funções

trigonométricas.

x + tg30º - y2 + cos60º = √3 não é uma equação trigonométrica, pois as funções

trigonométricas não pertencem às incógnitas, ou seja, as incógnitas independem das funções

trigonométricas.

►Veja agora exemplos de inequações trigonométricas e quando uma inequação não é

trigonométrica por que possui funções trigonométricas.

sen x > √3 é uma inequação trigonométrica pois função trigonométrica é função de uma

incógnita.

(sen 30°) . x + 1 > 2 não é uma função trigonométrica, pois função trigonométrica não é uma

função da incógnita.

Page 11: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Fórmulas de adição de arcos

Ao somarmos dois ângulos e calcularmos uma função trigonométrica deles percebemos que

não obteremos o mesmo resultamos se antes de somarmos esses ângulos aplicarmos a

propriedade da adição em alguns casos, ou seja, nem sempre podemos aplicar a seguinte

propriedade cos (x + y) = cos x + cos y. Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:

cos (π + π) = cos (2π + π) = cos (3π) = cos 270º = 0

2 2 2

cos (π + π) = cos π + cos π = cos 180° + cos 90º = -1 . 0 = 0

2 2

Nesse exemplo foi possível obter o mesmo resultado, mas veja o exemplo abaixo:

Exemplo 2:

cos (π + π) = cos (2π) = cos 270º = 0

3 3 3

cos (π + π) = cos π + cos π = cos 60º + cos 60º = 1 + 1 = 1

3 3 3 3

Verificamos que a igualdade cos (x + y) = cos x + cos y não é verdadeira para qualquer valor

que x e y assumir, por isso que concluímos que as igualdades:

sen(x + y) = sen x + sen y

sen (x – y) = sen x -sen y

cos (x + y) = cos x + cos y

cos(x - y) = cos x + cos y

tg(x + y) = tg x + tg y

tg(x - y) = tg x + tg y

São igualdades que não são verdadeiras para qualquer valor que x e y assumirem, assim veja

as verdadeiras igualdades para o cálculo da adição ou diferença de arcos do seno, cosseno e

tangente.

• sen(x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x • sen(x - y) = sen x . cos y – sen y . cos x • cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y • cos (x – y) = cos x . cos y + sen x . sen y

• tg (x + y) = tg x + tg y 1 – tg x . tg y • tg (x - y) = tg x - tg y 1 + tg x . tg y

Page 12: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Função trigonométrica do arco metade

O cálculo das funções trigonométricas do arco metade será feito considerando a fórmula do

cosseno do arco duplo (cos 2β = cos2 β – sen2 β) e a relação fundamental da trigonometria

(sen2 β + cos2 β = 1).

Para encontrar as fórmulas das funções trigonométricas (cos, sen e tg) do arco metade,

iremos considerar um arco qualquer x e o seu arco metade sendo x/2.

• Cos (x/2).

Sabendo que cos 2 β = cos2 β – sen2 β, substituindo sen2 β por sen2 β = 1 - cos2 β, teremos:

cos 2 β = cos2 β – 1 - cos2 β = 2cos2 β - 1, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:

Cos x =2cos2 (x/2) – 1

Isolando cos2 (x/2), teremos:

cos2 (x/2) = cos x + 1

2

Portando, o cosseno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:

• Sen x/2

Sabendo que cos 2β = cos2 β – sen2 β, substituindo cos2 β por cos2 β = 1 - sen2 β, teremos:

cos 2 β = 1 - sen2 β - sen2 β = 1- 2sen2 β, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:

Cos x = 1- 2 sen2 (x/2)

Isolando sen2 (x/2), teremos:

sen2 (x/2) = 1 - cos x

2

Portando, o seno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:

Page 13: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

• Tg (x/2)

Sabendo que tg β = sen β. Podemos dizer que:

cos β

Tg (x/2) = sen (x/2).

cos (x/2)

Portando, a tangente do arco metade será calculada pela seguinte fórmula:

Funções Trigonométricas

Função Seno

Chama-se função seno a função definida de R em R por f (x) = sen x. Para analisar a função

seno, podemos observar a extremidade de um arco percorrendo a circunferência

trigonométrica no sentido anti-horário.

Função do Tipo f(x) = α sem (ax)

Page 14: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Função Cosseno

É a função definida de R em R por f (x) = cos x

Função tangente

Função tangente é a função definida para x ≠ π/2 + kπ, k pertencendo a Z por f (x) = tg x.

Enquanto as funções seno e cosseno têm períodos iguais a 2π, a função tangente tem período

igual a π.

Função Cotangente, Secante e Cossecante

O período da função cotangente é igual a π. f(x) = cotg x

Page 15: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

O período da função secante é igual a 2π.

O período da função cossecante é igual a 2π.

Page 16: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Funções trigonométricas do arco duplo

Considere um arco da circunferência trigonométrica que mede 45°, o seu arco duplo é um

arco de 90°, mas isso não significa que o valor das funções trigonométricas (seno, cosseno e

tangente) do arco duplo seja o dobro das do arco, por exemplo:

Se o arco for igual a 30º, o seu arco duplo será 60º. O sen 30º = 1/2, o sen 60º = √3/2,

portanto, percebemos que por mais que 60º seja o dobro de 30°, o sen 60º não é o dobro do

sen 30º. Podemos aplicar essa mesma situação com vários outros arcos e funções

trigonométricas, contudo iremos chegar à mesma conclusão.

De uma maneira geral considere um arco qualquer de medida β, o seu arco duplo será 2β,

portanto, sen β ≠ sen 2β, ou seja, sen 2β ≠ 2 . sen β.

Assim, para encontrar o valor das funções trigonométricas de um arco duplo (sen 2β, cos 2β e

tg 2β) teremos que seguir algumas relações, entre um arco β e o seu arco duplo 2β.

Essas relações serão feitas através das funções trigonométricas da adição de arcos. Veja

como:

• Cos 2β

Segundo a adição de arcos, cos 2β é igual a:

cos 2β = cos (β + β) = cos β . cos β – sen β . sen β

Unindo os termos semelhantes teremos:

cos 2β = cos (β + β) = cos2 β – sen2 β

Portanto, o cálculo do cos 2β será feito através da seguinte fórmula:

cos 2β = cos2 β – sen2 β

• Sen 2β

Segundo a adição de arcos, sen 2β é igual a:

Sen 2β = sen(β + β) = sen β . cos β + sen β . cos β

Colocando os termos semelhantes em evidência teremos:

Sen 2β = sen(β + β) = 2 . sen β . cos β

Portanto, o cálculo do sen 2β será feito através da seguinte fórmula:

Sen 2β = 2 . sen β . cos β

Page 17: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

• tg 2β

Segundo a adição de arcos, tg 2β é igual a:

tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β

1 – tg x . tg β

Unindo os termos semelhantes teremos:

tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ

1 – tg2β

Portanto, o cálculo do tg 2β será feito através da seguinte fórmula:

tg 2β = 2 tgβ

1 – tg2β

Identificando os Quadrantes do Ciclo Trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada, com raio unitário, associada a um

sistema de coordenadas cartesianas. O centro da circunferência coincide com a origem do

sistema cartesiano. Dessa forma, o círculo fica dividido em quatro quadrantes, identificados

de acordo com o sentido anti-horário a partir do ponto A.

Considerando x a medida de um arco no ciclo trigonométrico, então os valores de x, tais que

0º < x < 360º, estão presentes nos seguintes quadrantes:

Primeiro quadrante: 0º < x < 90º

Page 18: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Segundo quadrante: 90º < x < 180º

Terceiro quadrante: 180º < x < 270º

Quarto quadrante: 270º < x < 360º

Os valores dos arcos também podem aparecer em radianos, 0 < x < 2π

Primeiro quadrante: 0 < x < π/2

Segundo quadrante: π/2 < x < π

Page 19: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Terceiro quadrante: π < x < 3π/2

Quarto quadrante: 3π/2 < x < 2π

É importante conhecer a localização dos ângulos nos quadrantes, isto facilitará a construção

dos arcos trigonométricos, pois cada ponto no ciclo está associado a um arco. Por exemplo:

O arco de medida π/6 rad ou 30º está localizado no 1º quadrante.

O arco de medida 3π/4 rad ou 135º está localizado no 2º quadrante.

O arco de medida 7π/6 rad ou 210º está localizado no 3º quadrante.

O arco de medida 5π/3 rad ou 300º está localizado no 4º quadrante.

O arco de medida π/3rad ou 60º está localizado no 1º quadrante.

Page 20: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Lei do cosseno

Utilizamos a lei dos cossenos nas situações envolvendo triângulos não retângulos, isto é, triângulos quaisquer. Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto as relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente não são válidas. Para determinarmos valores de medidas de ângulos e medidas de lados utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:

Exemplo 1 Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:

a² = b² + c² – 2 * b * c * cosӨ 7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º 49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5 49 = x² + 9 – 3x x² –3x – 40 = 0 Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos: x' = 8 e x" = – 5, por se tratar de medidas descartamos x" = –5 e utilizamos x' = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.

Page 21: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Exemplo 2 Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6

cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.

Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.

Aplicando a lei dos cossenos a = 7, b = 6 e c = 5 7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A 49 = 36 + 25 – 60 * cos A 49 – 36 – 25 = –60 * cos A –12 = –60 * cos A 12 = 60 * cos A 12/60 = cos A cos A = 0,2 O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.

Exemplo 3 Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da

figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.

cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5 x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * cos 60º x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5) x² = 125 + 50 x² = 175 √x² = √175 x = √5² * 7 x = 5√7 Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.

Page 22: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Aplicações Trigonométricas na Física

As aplicações das definições matemáticas são primordiais nos estudos físicos, pois através de

cálculos obtemos comprovações para as teorias relacionadas à Física. As funções

trigonométricas seno, cosseno e tangente estão presentes em diversos ramos da Física,

auxiliando nos cálculos relacionados à Cinemática, Dinâmica, Óptica entre outras. Dessa

forma, Matemática e Física caminham juntas com o objetivo único de fornecer

conhecimentos e ampliar novas pesquisas científicas. Veja através de exemplos resolvidos as

aplicações da Matemática na Física.

Exemplo 1 – Dinâmica

Fórmula que permite calcular o trabalho da força F no deslocamento d de um corpo:

τ = F * d * cos Ө

Determine o trabalho realizado pela força F de intensidade √3/3 num percurso de 2m, de

acordo com a ilustração, considerando que a superfície seja lisa. Use seno 30º = √3/2.

Exemplo 2 - Cinemática: Lançamento Oblíquo

A altura máxima atingida, o tempo de subida e o alcance horizontal são alguns dos elementos

que constituem um lançamento oblíquo. De acordo com o ângulo formado entre o

lançamento e a superfície o corpo, pode percorrer diferentes trajetórias. Caso a inclinação

(ângulo) aumente, o objeto logicamente atinge uma altura mais elevada e um alcance

horizontal menor; se o ângulo de inclinação diminui, a altura também diminui e o alcance

horizontal se torna maior.

Um objeto é lançado obliquamente no vácuo com velocidade inicial de 100m/s com uma

inclinação de 30º. Determine o tempo de subida, a altura máxima e o alcance horizontal do

objeto. Considere g = 10m/s².

Page 23: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Tempo de subida Altura máxima Alcance horizontal