IA841 – Modelagem de Sólidos

Espaços Geométricos

Farin: Capítulo 2

Espaço Euclidiano

http://www.rab3d.com/tut_blen_started.php

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http://www.mathsisfun.com/algebra/vectors-dot-product.html

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Regra de mão-direita

Sistema de Referência

Transformações Euclidianas

• As distâncias e os ângulos são preservados.– Translações– Rotações– Reflexões– Plano de deslizamento (glide): reflexão

seguida por uma translação

• ↔ Transformações rígidas

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Representação dos Pontosn valores escalares no espaço Rn

Coordenadas cartesianasCoordenadas polaresCoordenadas cilíndricasCoordenadas esféricas

y

Cartesianas

x

R

Polares

θ

Esféricas

Valores escalares podem ser medidas lineares ou angulares

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v

Vetores

Q3=(x,y)

“Diferença” entre 2 pontosv = Qi – Pi

Magnitude (|v|)Orientação (sentido e direção)

P2

Q2

Q4

Q1

P4

P1

P3

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As coordenadas dos pontos variam com a escolha do referencial?

É conveniente para modelagem geométrica?

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Espaço Afim

w⃗ =αu u⃗+αv v⃗

Base: ( v⃗1 , v⃗ 2 ,… , v⃗n )

P−0=∑i=1

n

γi v⃗ i

P= 0+∑i=1

n

γi v⃗ i

Combinação Linear :

Pontos como a origem O deslocada

coordenadas afins

Se vi forem versores e O a origem, então as

coordenadas afins coincidem com as coordenadas cartesianas.

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ExemploBase em coordenadas cartesianas:

O⃗A=(X 1

Y 1 ) ,O⃗B=(X 2

Y 2)

Pontos em coordenadas afins:

O= (0,0 ) ,A= (1,0 ) ,B= (0,1 )

P'= ( p,0 ) ,Q'= (0,q )

P= ( x1, y1 ) ,Q= ( x2, y2 )

Para qualquer ponto sobre P'Q' :

x (X 1

Y 1 )+y(X 2

Y 2)=tP'+ (1− t ) Q'=tp (X 1

Y 1)+ (1−t ) q (X 2

Y 2)

xp+

yq=

tpp

+(1−t )q

q=t+1−t=1

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Área em coord. afinsx1p

+y1q

=1→x1p

=1−y1q

→1p=

(1− y1q )

x1

x2p

+y2q

=1→x2p

=1−y2q

→1p=

(1− y2q )

x2

(1− y1q )

x1=

(1− y2q )

x2→q=

x1 y2−x 2 y1x1− x2

PQP'Q'

=x1− x2

p

OP'OA

=p1

=pOQ'OB

=q1=q=

x1 y2−x 2 y1x1−x2

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Área em coord. afins● Cevianas: Razão entre as áreas é igual a razão dos segmentos do lado oposto.

OPQOP'Q'

=PQP'Q'

,OP'Q'OAQ'

=OP'OA

,OAQ'OAB

=OQ'OB

OPQOAB

=PQP'Q'

OP'OA

OQ'OB

Assim

x1− x2p

px1 y2−x 2 y1

x1−x2

x1 y2− x2 y1=( x1 y1x 2 y 2 )

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Área de um triângulo qualquer

P''= ( x1−x3, y1− y3 )Q''= ( x2−x3, y 2− y3)

Pontos em coordenadas afins:

P= ( x1, y1) ;Q= ( x2, y 2) ;R= ( x3, y3 )

RPQOAB

=RP''Q''OAB

=( x1− x3 y1− y3x2− x3 y2− y3 )=(

x1 y1 1

x2 y2 1x3 y3 1 )

Se a base é definida pelos versores, OAB = ½!

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Combinação Baricêntrica

http://www.flipcode.com/archives/3D_Geometry_Primer_Chapter_1-Issue_09_Barycentric_Combinations.shtml

Q−O=∑i=0

n−1

αi ( P i−O )=∑i= 0

n−1

αi P i−∑i=0

n−1

αiO=∑i=0

n−1

αi P i−O

Q=O+∑i=0

n−1

αi ( P i−O )

Q=∑i=0

n−1

αi P i

∑i= 0

n−1

αi=1

Coordenadas baricêntricas

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Triângulo como referência

Q

1=ABCABC

=( PBC+APC+ABP )

ABC=

PBCABC

+APCABC

+ABPABC

=aA+aB+aC

Coordenadas baricêntricas ↔ Coordenadas ariais

CQQA

=QBCQAB

=PCQPQA

→QBCPQA=PCQQAB

QBCPQA−PCQPQA=PCQQAB−PCQPQAPQA (QBC−PCQ )=PCQ (QAB−PQA )

PCQPQA

=QBC−PCQQAB−PQA

=PBCPAB

=aAaC

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Coordenadas Homogêneas

P=t1 A2+t 2 B2+t 3C 2

P=t1 ( Ai )+t2 (B i )+t 3 (C i )

P=t1 ( μA2 )+t 2 ( μB2 )+t3 ( μC 2 )

P= ( μt1 ) A2+( μt2 ) B2+ ( μt3)C 2

(t1 ,t2 ,t3 )= ( μt1 ,μt2 ,μt3) μ≠0

Forma normalizada é a mais utilizada: t1+t2+t3=1

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Baricêntricas → Cartesianas

(xyz )=(

x1 x2 x3y1 y2 y 3z1 z 2 z 3

)(t 1t 2t 3

)

Coordenadas baricêntricas

Coordenadascartesianas

Pontos de referência em coordenadas cartesianas/afins

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Cartesianas → Baricêntricas

(xyz )=(

x1 x2 x3y1 y2 y 3z1 z 2 z 3

)(α1α 2

1−α1−α2)

x=α1 x1+α2 x2+(1−α1−α2) x3=α1(x1−x3)+α2( x2−x3)+ x3y=α1 y1+α2 y2+(1−α1−α2) y3=α1( y1− y3)+α2( y2− y3)+ y3z=α1 z1+α2 z2+(1−α1−α2) z3=α1( z1− z3)+α2( z2−z3)+ z3

(xyz )=(

x1−x3 x2−x 3 x 3y1− y3 y2− y3 y3z1−z 3 z 2−z 3 z3

)(α1α21

) (α1α21)=M−1(

xyz )

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Baricêntricas → Afins

P

Baricêntricas Afins

P (t1,t2,t3) (x,y)

A (0,0,1) (0,0)

B (1,0,0) (1,0)

C (0,1,0) (0,1)

t1=PCAABC

=∣x y0 1∣=x

t 2=PABABC

=∣1 0x y∣= y

t3=1−t1−t 2=1−x− y

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Representação de Vetores

Q1=∑i=0

n−1

αi P i ,∑i= 0

n−1

αi=1

Q2=∑i= 0

n−1

β i P i ,∑i= 0

n−1

β i=1

Q⃗=Q2−Q1=∑i= 0

n−1

αi P i−∑i=0

n−1

β i P i

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Pontos e Vetores

http://www.idav.ucdavis.edu/education/GraphicsNotes/Affine-Space-Axioms/Affine-Space-Axioms.html

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Transformações Afins• A razão entre as distâncias é preservada, ou

seja, as coordenadas baricêntricas são preservadas.

– Translação

– Transformações lineares• Rotação• Mudança de escala• Cisalhamento• Reflexão

• Preserva o paralelismo

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Transformações AfinsNotação Matricial

Transformação Linear Translação

Coordenadas Homogêneas = pontos Rn representados por (n+1) escalares

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Como modelar tais efeitos visuais?

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Coordenadas Baricêntricas/Afins

Coordenadas Projetivas

Coordenadas Homogêneas

Espaço Projetivo

Reta no infinito

Generalização

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Espaço Projetivo + Usado

Ponto(x/w,y/w,z/w,1), ou seja, projeção de (x,y,z,w), sobre o plano w=1 com centro de projeção na origem.

Vetor“diferença” de 2 pontos homogeneizados Quarta coordenada(w) é nula lim (x/w,y/w,z/w,w/w) = (∞,∞,∞,1)W0

na direção (x,y,z)

(x,y,z,w)

Plano afim

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Razão Cruzada

cr ( A,B,C,D )=razão (A,B,D )

razão (A,C,D )

Orazão(A , B , D)=OABOBD

=ABBD

razão(A ,C , D)=OACOCD

=ACCD

cr (A , B ,C , D)=cr (A' , B ' ,C ' , D ' )→ABAC

CDBD

=A' B 'A ' C '

C ' D 'B ' D '

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Transformações ProjetivasNotação Matricial

● Razão cruzada é preservada

Transformação Linear Translação

Projetiva

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Transformações

http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/affine.htm