1

2

I. INTRODUÇÃO

1.1. Generalidades

Qualquer sistema real opera sempre em ambientes onde a incerteza impera, principalmente quando o

sistema envolve, pela sua natureza, ações humanas imprevisíveis ou desgaste natural de máquina. Os modelos

determinísticos certamente contribuem para a compreensão, em um nível básico, do comportamento dinâmico

de um sistema. No entanto, por não poderem lidar com a incerteza, acabamos por ser insuficientes nos

processos de tomada de decisão. Assim, recorre-se a Processos Estocásticos como uma forma de regularidade

que eles apresentam para serem descritos por modelos probabilísticos.

Pode definir-se um Processo Estocástico ( em inglês, “Stochastic Process” ou “Random Process”) como um

conjunto de variáveis aleatórias indexadas a um variável (geralmente a variável tempo), sendo representado

por { ( ) }. Estabelecendo o paralelismo com o caso determinístico, onde uma função toma valores bem definidos

ao longo do tempo, um processo estocástico toma valores aleatórios ao longo do tempo. Aos valores que ( ) pode

assumir chamam-se estados e ao seu conjunto x espaços de estados.

Como exemplos de processos estocásticos, poderemos considerar:

1) ( ) representa o estado de uma máquina (ligada/desligada) no memento t;

2) ( ) representa o número de clientes em uma loja no instante t;

3) ( ) representa o número de máquinas defeituosa no final de um dia t;

4) ( ) representa a cotação de uma ação na bolsa de valores no final de um dia t;

5) ( ) representa o nível de estoque de uma determinada peça no final de um dia t;

6) ( ) representa a condição de funcionamento de um componente no instante t;

Os Processos Estocásticos representam sistemas nos quais o estado muda ao longo do tempo. Estas

mudanças não são totalmente previsíveis, mas elas estão associadas a distribuição de probabilidade. Diversos

fenómenos reais admitem a modelagem através dos processos estocásticos. Vejamos alguns:

Exemplo 7 (cadeia de montagem) Os produtos finais de uma cadeia de montagem, após uma supervisão à

que são submetidos, podem ser considerados defeituosos ou não. Se o n-ésimo produto não tiver defeito,

fazemos , caso contrario . Suponha que um produto é defeituoso independentemente dos

outros produtos e que a probabilidade de que isto aconteça é p , então é uma sequência de

variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) Bernoulli com parâmetros p de sucesso.

Exemplo 8 (Estoque). Uma pequena loja de equipamentos eletrodomésticos vende um modelo tipo de

máquina de lavar roupa. No entanto ela somente pode ter em estoque no máximo cinco unidades. Então se no

final do dia a loja tem no estoque somente uma unidade ou nenhuma, o gerente manda buscar tantas unidades

quantas forem necessárias para ter cinco na loja no dia seguinte antes de iniciar o expediente. Vamos chamar

de a quantidade de unidades na loja no final do n-ésimo dia. Elas podem ser consideradas variáveis

aleatórias (v.a.), pois é razoável supor que não temos como prever a quantidade de máquinas de lavar que

serão compradas a cada dia.

3

Exemplo 9 (Mobilidade social) Consideremos a história de várias gerações de uma família que ao longo do

tempo tem somente um filho. Neste modelo simples, a observação da classe social (alta, média ou baixa) da

família para cada geração permitiria descrever sua evolução social ao longo do tempo. Se tivermos uma

sociedade composta por famílias deste tipo, podemos escolher ao acaso uma família e para cada geração n

chamar de à quantidade que valerá 1 se fora família de classe alta, 2 se ela for de classe média e 3 se for de

classe baixa. Desta forma, cada será uma variável aleatória e a sua evolução ao longo do tempo, permitirá

tirar conclusões sobre mudanças na estrutura da sociedade.

Exemplo 10 (Lucro de uma companhia seguradora). Suponha que uma seguradora recebe c unidades

monetárias (u.m.) pelo total dos prêmios que ela cobra dos segurados dentro de uma determinada carteira por

período de tempo (mês, semestre, por exemplo). Assuma também que a seguradora coleta os prêmios

regularmente e que as indenizações pagas quando os sinistros ocorrem. Além disto, não vamos considerar aqui

eventuais despesas administrativas, ganhos ou perdas por investimentos, etecetera. Desta forma, a reserva

desta seguradora será afetada somente pela cobrança dos prêmios ou por pagamentos de indenizações na

ocorrências de sinistros. Em particular, o lucro da companhia no n-ésimo período ser c − Zn u.m., sendo Zn o

valor total de indenizações pago pela seguradora nesse período. Se chamarmos de Ln ao lucro da seguradora

desde que essa carteira começa a operar até o final do n-ésimo período, teremos que

∑

O comportamento desta quantidade ao longo do tempo influenciará na saúde financeira da seguradora.

Como se pode constatar pelos exemplos apresentados, há casos em que o tempo é considerado de forma

discreta ( ... no final do dia t) e outros em que é tomado de modo contínuo (... no instante t). A variável tempo

é, por definição, uma variável contínua, a qual pode ser “discretizada” se os fenómenos forem observados a

intervalos regulares. Outra constatação que se pode fazer é que os “estados” tanto são valores que a variável

( ) pode assumir (número de clientes, número de máquinas, etc.) como estados (máquinas defeituosas,

máquinas em funcionamento, etc.).

Chamaremos processo estocástico a qualquer família de variáveis aleatória ( ) , com t ϵ T e sendo T algum

espaço de parâmetros. Quando T é enumerável diremos que o processo estocástico correspondente é a tempo

discreto. Se T for um intervalo, o processo estocástico será chamado a tempo contínuo. Os valores que tornam

as variáveis do processo serão chamados de estados e o conjunto E destes valores será o espaço de estados. Os

processos estocásticos podem ter espaço de estados discreto ou espaço de estados contínuo em

correspondência com a natureza do conjunto E. Nos exemplos 1 e 7 temos E={0,1}, no exemplo 8,

E={0,1,2,3,4,5}, no exemplo 9, E={1,2,3}...

OBS.: O comportamento probabilístico de um processo estocástico está caracterizado pelas relações de

dependência entre distribuições conjuntas e suas marginais.

Exemplo 11: Consideremos os vetores aleatórios discretos (X1,X2) e (Y1, Y2) com funções de probabilidade

conjunta:

X1 \ X2 0 1 Y1 \ Y2 0 1

0 1/4 1/4 e

0 0 1/2

Estas funções de probabilidade são diferentes, no entanto as marginais coincidem.

4

1 1/4 1/4 1 1/2 0

1.2. Classificação dos Processos Estocásticos

Para classificar os processos estocásticos analisam-se (i) o espaço de estados, (ii) a natureza do conjunto T

e (iii) as características estatísticas da variáveis que definem o processo.

(i) Espaços de estados

Se “x” for um conjunto de estados finito ou contável ( x = {0, 1, 2, ... }, ou seja, o conjunto de inteiros não-

negativos), ( ) é um “espaço de estados discretos” ou, como é usualmente referido , uma “cadeia”. Para

qualquer outro caso, o processo é designado por “processo de estados contínuos”.

Dos exemplos apresentados, os exemplos 1, 2 e 6 são “cadeias” enquanto que o restante podem ser “processos de

estados contínuos”.

(ii) Variável temporal

Se o conjunto T, que específica os valores da variável t, for finito ou contável, ( ) é um “processo em

tempo discreto” e anotação usada é { ( ) }. Neste caso, T é normalmente o conjunto dos inteiro não-

negativos. Em caso contrário ( ) é designado por “processo em tempo contínuo”, sendo usada a notação { ( ) } .

Dos exemplos apresentado, os exemplos 3, 4 e 5 são “processo em tempo discreto” uma vez que representam

quantidades observadas dia a dia, enquanto que os restantes são processos estocásticos em tempo contínuo por

representarem fenómenos observados em qualquer momento do dia (do tempo).

(iii) Características estatísticas das variáveis aleatórias

Um processo estocástico diz-se estacionário se o seu comportamento estocástico for independente do

tempo, ou seja, se a função distribuição da(s) v.a. que o define(m) não variar no tempo.

Um processo estocástico diz-se Markoviano ou de Markov se for estacionário e obedecer a propriedade de

Markov ou da “perda de memoria”, isso é, se o seu comportamento futuro apenas for condicionado pelo estado

presente, independentemente do seu histórico ou dos estados passados. De fato, para um processo de Markov

é completamente irrelevante qualquer informação sobre estados passados ou sobre o tempo de permanência

no estado presente. Em um processo estocástico as transições entre estados são causadas pela ocorrência de

acontecimentos ou eventos, pelo que a variável aleatória diretamente restringida pela propriedade de ausência

de memória é o tempo entre acontecimentos sucessivos (em inglês “interenvent time”). Dados que, como

iremos ver mais a diante, a única distribuição contínua que apresenta esta propriedade é a distribuição

exponencial, num processo de Markov todos os tempos entre acontecimentos sucessivos tem de ser

exponencialmente distribuídos.

Um processo estocástico de Semi-Markov é uma generalização de um processo de Markov, já que para

aquele, a informação sobre o tempo de permanência no estado atual deixa de ser irrelevante; contínua,

contudo a ser irrelevante para o comportamento futuro qualquer informação sobre dos estados dos passados.

5

A consequência é que os tempos entre acontecimentos sucessivos deixam de estar “restringidos” à distribuição

exponencial, podendo seguir qualquer distribuição de probabilidade.

De acordo com a relação entre os espaços de parâmetro T como tempo temos:

a) Estados Independentes: A relação de dependência entre variáveis aleatória mais simples que podemos

pensar a ausência dela, Chamaremos de processos de estados independentes a aqueles processos estocásticos

tal que todos os seus estados constituem uma família de variáveis aleatórias independentes. Um exemplo é o

processo de Bernoulli de parâmetro p.

b) Processos de Markov: consideraremos os instantes t1, t2, ... tn ϵ T, com t1 < t2 < ... < tn< t. Um processo X é

chamado de processo de Markov quando para todos a, b, a1, ..., an ϵ E vale

, - , -

Ou seja o estado depende da sua historia anterior nos instantes t1, t2, ... tn desde que se conheça o presente

e não do passado , assim utilizaremos o tempo presente para encontrar o tempo

futuro .

c) Martingais: Para os martingais vale o que pode ser previsto sobre o estado do processo num instante

futuro sendo que são conhecidos n estados anteriores é exatamente o estado no instante presente . Ex.:

Um exemplo de martingais aparece em jogos simples de azar como o seguinte. Suponhamos que no n-ésimo

lançamento de uma moeda honesta acrescentamos um valor A ao capital do jogador se sair cara, e subtraímos a

mesma quantidade se sair coroa. O jogador começa o jogo com capital igual a k e é admitido ter capital negativo.

Vamos supor também que os lançamentos são independentes.

Fazendo {

Teremos que o capital do jogador no instante do n-ésimo lançamento será

Se * + é um processo estocástico, então chamaremos de incremento correspondente ao intervalo (s,t) à

variável aleatória .

6

O processo tem incrementos estacionários quando a distribuição de depende dos instantes s e t e

para todos os ponto das distribuições s e t os valores dos incrementos sejam iguais. O processo de Poisson tem

incrementos estacionários e independentes.

Exemplo 12: Movimento Browniano

Em 1827, o botânico escocês Robert Brown observou e descreveu o movimento irregular executado por

pequenos grãos de pólen suspensos em água. Esta observação aparente mente sem muita importância, tornou-se

especialmente relevante alguns anos depois. Embora L. Bachelier em 1900 e A. Einstein em 1905 tenham sido os

primeiros a abordar quantitativamente o estudo deste fenômeno, foi o matemático norte americano Norbert

Wierner quem em 1923 estudou e formalizou rigorosamente o modelo matemático motivado no fenômeno físico do

movimento browniano. É por isso que ele é chamado de processo de Wiener ou movimento browniano, sendo que

este último dá ênfase ao processo físico.

Considerando o processo a tempo contínuo * + com espaço de estados E = r, que tem as seguintes

características:

( i ) ;

( ii ) X tem incrementos independentes;

( iii ) ( )

√ ( )∫

( )

,

i.e. ( );

( iv ) X possui trajetórias contínuas

X é conhecido como movimento Browniano em processo Estocástico de Wierner e tem incrementos

estacionários e independentes. Veja o gráfico a seguir:

Figura: 2 Trajetória do

movimento Browniano

7

Vejamos pro exemplo, como calcular a função distribuição de probabilidade conjunta de para dois

instantes fixados s e t tais que . Se fizermos

{

Usando a independência e a estacionariedade dos incrementos, teremos

( ) ( ) ( ) ,

(

√ {

})(

√ ( ) {

( )})

√ ( ) {

(

)}

O vetor ( ) segue a distribuição normal bivariada com vetor médio nulo e ( )

Exercícios:

1) Num cruzamento em T, aproximadamente 60% viram à direita. Defina X, como sento 1 ou 0 em dependendo

se o p-ésimo carro virou à direita ou esquerda. Suponha que os motoristas decidem para onde virar

independentemente um do outro. Então X = { * + é um processo estocástico de Bernolli com

probabilidade 0,6 de sucesso. Num certo dia um pedestre observou o que faziam 10 carros que passaram

consecutivamente e fez a anotação ( D, E, D, D, D, E, D, E, D, E ) , onde D=direita e E=esquerda. Quais seriam

os valores correspondente de;

a. b. c.

d. Represente em gráfico os instantes dos sucessos no processo de Bernoulli.

2) Para um processo de Bernoulli em p = 0,7 interprete e calcule as seguintes quantidades;

a. ( )

b. ( )

c. ( )