i ae f e l d o método dedutivo e s o s...

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U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d o E s p í r i t o S a n t o C C A U F E S Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Agrárias – CCA UFES Departamento de Computação Lógica Computacional 1 Site: http://jeiks.net E-mail: [email protected] Método Dedutivo

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Universidade Federal do Espírito SantoCentro de Ciências Agrárias – CCA UFESDepartamento de Computação

Lógica Computacional 1Site: http://jeiks.net E-mail: [email protected]

Método Dedutivo

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Método Dedutivo

● Todas as implicações e equivalências foram demonstradas até hoje pelo Método das Tabelas Verdade.

● Outra forma mais eficiente é denominada “Método Dedutivo”

● Para apresentá-lo, serão expostos exemplos e será utilizada a Álgebra das Proposições.

● Nos exemplos serão utilizadas– As proposições simples:

● p, q, r, t (verdadeira) e c (falsa).

– E as proposições compostas:● P, Q, R, T (tautologia) e C (contradição).

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Exemplificação do Método Dedutivo

● Demonstre as implicações:

(i) c Þ p (ii) p Þ t

p é uma proposição qualquer,

c é uma proposição com valor de Falsidade e

t é uma proposição com valor de Verdade.● Então sua demonstração é:

(i) c → p Û ~c p ∨p Û t p ∨p Û t

(ii)p → t Û ~p t ∨p Û t

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Exemplificação do Método Dedutivo

● Demonstre a implicação: p q ∧q Þ p (Simplificação)– Demonstração:

1. p q → p∧q

2. ~(p q) p∧q ∨p

3. ~p ~q p∨p ∨p

4. (~p p) ~q∨p ∨p

5. T ~q∨p

6. T

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Exemplificação do Método Dedutivo

● Demonstre a implicação: p Þ p q (Adição)∨p – Demonstração:

1. p → p q∨p

2. ?

3. ?

4. ?

5. ?

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Exemplificação do Método Dedutivo

● Demonstre a implicação: (p → q) p ∧q Þ q– Demonstração

1. (p → q) p∧q

2. (~p q) p∨p ∧q

3. (~p p) (q p)∧q ∨p ∨p

4. C (q p)∨p ∧q

5. q p∧q

6. q

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Exemplificação do Método Dedutivo

● Demonstre as seguintes implicações:

a) (p → q) ~q ∧q Þ ~p (Modus tollens)

b) (p q) ~p ∨p ∧q Þ q (Silogismo Disjuntivo)

c) p q ∧q Þ p q∨p

d) p Þ q → q

e) p Þ ~p → q

f) p → q Þ p r → q∧q

g) p → q Û p ~q → c ∧q (Redução a absurdo)

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Exemplificação do Método Dedutivo

● Demonstre as seguintes implicações:

h) p → q Û p q → q∨p

i) (p → q) (p → ~q) ∧q Û ~p

j) p q → r ∧q Û p → (q → r) (Exportação-Importação)

k) (p → r) (q → r) ∧q Û p q → r∨p

l) (p → q) (p → r) ∧q Û p → q r∨p

m) (p → r) (q → s) ∨p Û p q → r s∧q ∨p

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Redução do Número de Conectivos

● ∧q , → e ↔ exprimem-se em termos de ~ e :∨p

* p ∧ q ⇔ ~~p ∧ ~~q ⇔ ~(~p ∨ ~q)

* p → q ⇔ ~p ∨ q

* p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)

⇔ ~(~(~p ∨ q) ∨ ~(~q ∨ p))● ∨p , → e ↔ exprimem-se em termos de ~ e :∧q

* p ∨ q ⇔ ~~p ∨ ~~q ⇔ ~(~p ∧ ~q)

* p → q ⇔ ~p ∨ q ⇔ ~(p ∧ ~q)

* p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)

⇔ ~(p ∧ ~q) ∧ ~(~p ∧ q)

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Redução de Número de Conectivos

● ∧q , e ↔ exprimem-se em termos de ~ e →:∨p

* p ∧ q ⇔ ~(~p ∨ ~q) ⇔ ~(p → ~q)

* p ∨ q ⇔ ~~p ∨ q ⇔ ~p → q

* p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)

⇔ ~( (p → q) → ~(q → p) )

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Forma Normal das Proposições

● Uma proposição está na Forma Normal (FN) se e somente se, quando muito, contém os conectivos ~,

e .∧q ∨p ● Exemplos:

~p ∧ ~q , ~(~p ∨ ~q) , (p ∧ q) ∨ r● Toda proposição pode ser levada para uma FN. Pra

tal, basta eliminar os conectivos → e ↔. Exemplos:

* p → q por ~p ∨ q

* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

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Forma Normal das Proposições

● Existem duas espécies de FN para uma proposição:– Forma Normal Conjuntiva (FNC);– Forma Normal Disjuntiva (FND).

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Forma Normal Conjuntiva

● Uma proposição está na Forma Normal Conjuntiva (FNC) se e somente se atendem as seguintes condições:

1. Contém somente os conectivos ~, , e ;∧q ∨p

2. ~ não aparece repetido, sobre si mesmo, como ~~. Além disso, não tem alcance sobre e , só incidindo sobre letras ∧q ∨p proposicionais;

3. não tem alcance sobre , ou seja, não pode ocorrer algo ∨p ∧q do tipo: p (q r).∨p ∧q

● Exemplos de FNC:

~p ∨ ~q , ~p ∧ q ∧ r , (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ ~r)

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Exemplo

● Determinar a FNC da proposição:

~( ( (p q) ~q ∨p ∧q ) (q r) )∨p ∧q

Resolução:

1. ~( (p q) ~q ∨p ∧q ) ~(q r)∧q ∧q

2. ( ~(p q) ~~q ) (~q ~r)∨p ∨p ∧q ∨p

3. ( (~p ~q) q ) (~q ~r)∧q ∨p ∧q ∨p

4. (~p q) (~q q) (~q ~r)∨p ∧q ∨p ∧q ∨p – Se quiser continuar, como (~q q) é Tautologia, ela pode ∨p

ser retirada da fórmula, formando a equivalente:

5. (~p q) (~q ~r)∨p ∧q ∨p

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Exercício

● Determine a FNC da proposição:

(p → q) ↔ (~q → ~p)

Resolução:

1. (~p q) ↔ (~~q ~p)∨p ∨p

2. (~p q) ↔ (q ~p)∨p ∨p

3. …

4. …

.

* p → q por ~p ∨ q* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)* p → q por ~p ∨ q* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

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Exercício

● Determine a FNC da proposição:

(p → q) ↔ (~q → ~p)

Resolução:

1. (~p q) ↔ (~~q ~p)∨p ∨p

2. (~p q) ↔ (q ~p)∨p ∨p

3. (~(~p q) (q ~p)) ((~p q) ~(q ~p))∨p ∨p ∨p ∧q ∨p ∨p ∨p

4. …

.

* p → q por ~p ∨ q* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)* p → q por ~p ∨ q* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

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Exercício

● Determine a FNC da proposição:

p ↔ q ~r∨p

Resolução:

1. …

* p → q por ~p ∨ q* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)* p → q por ~p ∨ q* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

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Forma Normal Disjuntiva

● Uma proposição está na Forma Normal Disjuntiva (FND) se e somente se atendem as seguintes condições:

1. Contém somente os conectivos ~, , e ;∧q ∨p

2. ~ não aparece repetido, sobre si mesmo, como ~~. Além disso, não tem alcance sobre e , só incidindo sobre letras ∧q ∨p proposicionais;

3. não tem alcance sobre , ou seja, não pode ocorrer algo ∧q ∨p do tipo: p (q r).∧q ∨p

● Exemplos de FND:

~p ∨ q , p ∨ (~q ∧ r) , (~p ∧ q) ∨ (~q ∧ ~r)

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Exemplo

● Determinar a FND da proposição:

(p → q) (q → p)∧q

Resolução:

1. (~p q) (~q p)∨p ∧q ∨p

2. ((~p q) ~q) ((~p q) p)∨p ∧q ∨p ∨p ∧q

3. (~p ~q) (q ~q) (~p p) (q p)∧q ∨p ∧q ∨p ∧q ∨p ∧q

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Exercício

● Determine a FND da proposição

~(((p q) ~q) (q r))∨p ∧q ∨p ∧q

Resolução:

1. comece resolvendo o De Morgan...

2.

3.

4.

5.

6.

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Princípio da Dualidade● Seja uma proposição somente com os conectivos: ~, e .∧q ∨p

Ex.: p ∧q (p ∨p q) p⇔ p● A proposição que resulta trocando:

– cada símbolo de por (E por OU) e∧q ∨p – cada símbolo de por (OU por E).∨p ∧q

Ex.: p ∨p (p ∧q q) p⇔ p● Chama-se dual.● O princípio da dualidade é:

– Se P e Q são proposições equivalentes que só contém os conectivos ~, e ,∧q ∨p

– então as suas duais respectivas P1 e Q1 também são equivalentes.

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Exercícios

● Obtenha a dual da expressão abaixo:

~p q r (q r) ~p∨p ∨p ⇔ p ∨p ∨p

● Agora, faça a tabela verdade da expressão original e da sua dual e prove as equivalências existentes.