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Universidade Federal do Espírito SantoCentro de Ciências Agrárias – CCA UFESDepartamento de Computação
Lógica Computacional 1Site: http://jeiks.net E-mail: [email protected]
Método Dedutivo
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Método Dedutivo
● Todas as implicações e equivalências foram demonstradas até hoje pelo Método das Tabelas Verdade.
● Outra forma mais eficiente é denominada “Método Dedutivo”
● Para apresentá-lo, serão expostos exemplos e será utilizada a Álgebra das Proposições.
● Nos exemplos serão utilizadas– As proposições simples:
● p, q, r, t (verdadeira) e c (falsa).
– E as proposições compostas:● P, Q, R, T (tautologia) e C (contradição).
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Exemplificação do Método Dedutivo
● Demonstre as implicações:
(i) c Þ p (ii) p Þ t
p é uma proposição qualquer,
c é uma proposição com valor de Falsidade e
t é uma proposição com valor de Verdade.● Então sua demonstração é:
(i) c → p Û ~c p ∨p Û t p ∨p Û t
(ii)p → t Û ~p t ∨p Û t
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Exemplificação do Método Dedutivo
● Demonstre a implicação: p q ∧q Þ p (Simplificação)– Demonstração:
1. p q → p∧q
2. ~(p q) p∧q ∨p
3. ~p ~q p∨p ∨p
4. (~p p) ~q∨p ∨p
5. T ~q∨p
6. T
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Exemplificação do Método Dedutivo
● Demonstre a implicação: p Þ p q (Adição)∨p – Demonstração:
1. p → p q∨p
2. ?
3. ?
4. ?
5. ?
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Exemplificação do Método Dedutivo
● Demonstre a implicação: (p → q) p ∧q Þ q– Demonstração
1. (p → q) p∧q
2. (~p q) p∨p ∧q
3. (~p p) (q p)∧q ∨p ∨p
4. C (q p)∨p ∧q
5. q p∧q
6. q
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Exemplificação do Método Dedutivo
● Demonstre as seguintes implicações:
a) (p → q) ~q ∧q Þ ~p (Modus tollens)
b) (p q) ~p ∨p ∧q Þ q (Silogismo Disjuntivo)
c) p q ∧q Þ p q∨p
d) p Þ q → q
e) p Þ ~p → q
f) p → q Þ p r → q∧q
g) p → q Û p ~q → c ∧q (Redução a absurdo)
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Exemplificação do Método Dedutivo
● Demonstre as seguintes implicações:
h) p → q Û p q → q∨p
i) (p → q) (p → ~q) ∧q Û ~p
j) p q → r ∧q Û p → (q → r) (Exportação-Importação)
k) (p → r) (q → r) ∧q Û p q → r∨p
l) (p → q) (p → r) ∧q Û p → q r∨p
m) (p → r) (q → s) ∨p Û p q → r s∧q ∨p
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Redução do Número de Conectivos
● ∧q , → e ↔ exprimem-se em termos de ~ e :∨p
* p ∧ q ⇔ ~~p ∧ ~~q ⇔ ~(~p ∨ ~q)
* p → q ⇔ ~p ∨ q
* p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)
⇔ ~(~(~p ∨ q) ∨ ~(~q ∨ p))● ∨p , → e ↔ exprimem-se em termos de ~ e :∧q
* p ∨ q ⇔ ~~p ∨ ~~q ⇔ ~(~p ∧ ~q)
* p → q ⇔ ~p ∨ q ⇔ ~(p ∧ ~q)
* p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)
⇔ ~(p ∧ ~q) ∧ ~(~p ∧ q)
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Redução de Número de Conectivos
● ∧q , e ↔ exprimem-se em termos de ~ e →:∨p
* p ∧ q ⇔ ~(~p ∨ ~q) ⇔ ~(p → ~q)
* p ∨ q ⇔ ~~p ∨ q ⇔ ~p → q
* p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)
⇔ ~( (p → q) → ~(q → p) )
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Forma Normal das Proposições
● Uma proposição está na Forma Normal (FN) se e somente se, quando muito, contém os conectivos ~,
e .∧q ∨p ● Exemplos:
~p ∧ ~q , ~(~p ∨ ~q) , (p ∧ q) ∨ r● Toda proposição pode ser levada para uma FN. Pra
tal, basta eliminar os conectivos → e ↔. Exemplos:
* p → q por ~p ∨ q
* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)
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Forma Normal das Proposições
● Existem duas espécies de FN para uma proposição:– Forma Normal Conjuntiva (FNC);– Forma Normal Disjuntiva (FND).
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Forma Normal Conjuntiva
● Uma proposição está na Forma Normal Conjuntiva (FNC) se e somente se atendem as seguintes condições:
1. Contém somente os conectivos ~, , e ;∧q ∨p
2. ~ não aparece repetido, sobre si mesmo, como ~~. Além disso, não tem alcance sobre e , só incidindo sobre letras ∧q ∨p proposicionais;
3. não tem alcance sobre , ou seja, não pode ocorrer algo ∨p ∧q do tipo: p (q r).∨p ∧q
● Exemplos de FNC:
~p ∨ ~q , ~p ∧ q ∧ r , (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ ~r)
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Exemplo
● Determinar a FNC da proposição:
~( ( (p q) ~q ∨p ∧q ) (q r) )∨p ∧q
Resolução:
1. ~( (p q) ~q ∨p ∧q ) ~(q r)∧q ∧q
2. ( ~(p q) ~~q ) (~q ~r)∨p ∨p ∧q ∨p
3. ( (~p ~q) q ) (~q ~r)∧q ∨p ∧q ∨p
4. (~p q) (~q q) (~q ~r)∨p ∧q ∨p ∧q ∨p – Se quiser continuar, como (~q q) é Tautologia, ela pode ∨p
ser retirada da fórmula, formando a equivalente:
5. (~p q) (~q ~r)∨p ∧q ∨p
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Exercício
● Determine a FNC da proposição:
(p → q) ↔ (~q → ~p)
Resolução:
1. (~p q) ↔ (~~q ~p)∨p ∨p
2. (~p q) ↔ (q ~p)∨p ∨p
3. …
4. …
.
* p → q por ~p ∨ q* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)* p → q por ~p ∨ q* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)
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Exercício
● Determine a FNC da proposição:
(p → q) ↔ (~q → ~p)
Resolução:
1. (~p q) ↔ (~~q ~p)∨p ∨p
2. (~p q) ↔ (q ~p)∨p ∨p
3. (~(~p q) (q ~p)) ((~p q) ~(q ~p))∨p ∨p ∨p ∧q ∨p ∨p ∨p
4. …
.
* p → q por ~p ∨ q* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)* p → q por ~p ∨ q* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)
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Exercício
● Determine a FNC da proposição:
p ↔ q ~r∨p
Resolução:
1. …
* p → q por ~p ∨ q* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)* p → q por ~p ∨ q* p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)
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Forma Normal Disjuntiva
● Uma proposição está na Forma Normal Disjuntiva (FND) se e somente se atendem as seguintes condições:
1. Contém somente os conectivos ~, , e ;∧q ∨p
2. ~ não aparece repetido, sobre si mesmo, como ~~. Além disso, não tem alcance sobre e , só incidindo sobre letras ∧q ∨p proposicionais;
3. não tem alcance sobre , ou seja, não pode ocorrer algo ∧q ∨p do tipo: p (q r).∧q ∨p
● Exemplos de FND:
~p ∨ q , p ∨ (~q ∧ r) , (~p ∧ q) ∨ (~q ∧ ~r)
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Exemplo
● Determinar a FND da proposição:
(p → q) (q → p)∧q
Resolução:
1. (~p q) (~q p)∨p ∧q ∨p
2. ((~p q) ~q) ((~p q) p)∨p ∧q ∨p ∨p ∧q
3. (~p ~q) (q ~q) (~p p) (q p)∧q ∨p ∧q ∨p ∧q ∨p ∧q
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Exercício
● Determine a FND da proposição
~(((p q) ~q) (q r))∨p ∧q ∨p ∧q
Resolução:
1. comece resolvendo o De Morgan...
2.
3.
4.
5.
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Princípio da Dualidade● Seja uma proposição somente com os conectivos: ~, e .∧q ∨p
Ex.: p ∧q (p ∨p q) p⇔ p● A proposição que resulta trocando:
– cada símbolo de por (E por OU) e∧q ∨p – cada símbolo de por (OU por E).∨p ∧q
Ex.: p ∨p (p ∧q q) p⇔ p● Chama-se dual.● O princípio da dualidade é:
– Se P e Q são proposições equivalentes que só contém os conectivos ~, e ,∧q ∨p
– então as suas duais respectivas P1 e Q1 também são equivalentes.
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Exercícios
● Obtenha a dual da expressão abaixo:
~p q r (q r) ~p∨p ∨p ⇔ p ∨p ∨p
● Agora, faça a tabela verdade da expressão original e da sua dual e prove as equivalências existentes.