MIGUEL ÂNGELO D’AGOSTIN

HOMOGEINIZAÇÃO DE PLACAS CORRUGADAS

Monografia apresentada ao Departa-

mento de Engenharia Mecânica da Es-

cola de Engenharia da Universidade

Federal do Rio Grande do Sul, como

parte dos requisitos para obtenção do

diploma de Engenheiro Mecânico.

Orientadores: Prof. Dr. Ignácio Iturrioz

André Kramer Souto (Doutorando - UFRGS)

Porto Alegre

2005

2

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Escola de Engenharia

Departamento de Engenharia Mecânica

HOMOGEINIZAÇÃO DE PLACAS CORRUGADAS

MIGUEL ÂNGELO D’AGOSTIN

ESTA MONOGRAFIA FOI JULGADA ADEQUADA COMO PARTE DOS RE-

QUISITOS PARA A OBTENÇÃO DO DIPLOMA DE

ENGENHEIRO MECÂNICO APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELA BANCA EXAMINADORA DO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Prof. Francis Henrique Ramos França

Coordenador do Curso de Engenharia Mecânica

BANCA EXAMINADORA:

Prof. Dr.

UFRGS / DEMEC

Prof. Dr.

UFRGS / DEMEC

Prof. Dr.

UFRGS / DEMEC

Porto Alegre

2005

3

AGRADECIMENTOS

Agradeço...

aos meus orientadores, Prof. Dr. Ignácio Iturrioz, por toda a atenção, incentivo e ensinamen-

tos e André (Doutorando – UFRGS), pela a ajuda nos ensaios práticos.

aos meus pais Mario e Nilda e meus irmãos Giovanni e Graziella cujo apoio, carinho e com-

preensão ajudaram na realização deste trabalho.

a todos meus amigos, pelo incentivo e momentos de descontração nos momentos difíceis.

a funcionaria Julia do departamento de engenharia mecânica, pela atenção prestada durante o

semestre.

4

D’AGOSTIN, M. A. Homogeneização de Placas Corrugadas. 22f. 2005. Monografia (Tra-

balho de Conclusão do Curso de Engenharia Mecânica) – Departamento de Engenharia Me-

cânica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2005.

RESUMO

Chapas metálicas têm grande aplicação em estruturas de engenharia, como: telhados,

containeres estruturas de prédios e silos são os casos mais conhecidos. Uma forma de realizar

a modelagem deste tipo de estrutura é tratando a mesma como uma placa fina, homogênea

ortotrópica de espessura constante. Diversos trabalhos teóricos tem mostrado já a algum tem-

po que a aproximação de uma estrutura corrugada por seu equivalente ortotrópico é possível e

traz benefícios quanto a tempo de análise e custos. Neste trabalho se realiza uma análise das

expressões sugeridas para o cálculo das propriedades desta placa ortotrópica equivalente.

PALAVRAS-CHAVE: chapas corrugadas, equivalente ortotrópico, chapas corrugadas.

5

D’AGOSTIN, M. A. Homogenization of Corrugated Plates. 2005. 22f. Monografia (Traba-

lho de Conclusão do Curso de Engenharia Mecânica) – Departamento de Engenharia Mecâni-

ca, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2004.

ABSTRACT

Thin plates and shells are extensively used in various engineering structures. A few examples

of stiffened plate structures are roofs, containers, steel chimneys, pipes, side shell of ships,

and bridges. Rigorous analysis involving plates lying in different planes will entail the re-

quirement of high core memory of the computer. The solution thus obtained is both time con-

suming and costly. The approach of using the theory of orthotropic plates has been considered

by many investigators. The analysis of corrugated plates is based on the assumption that they

can be analyzed as thin, equivalent orthotropic plate of uniform thickness. This approached

results in a substantial saving in computational time and effort. The proposal here is the anal-

ysis of the expressions for the equivalent rigidities of orthotropic plates.

KEYWORDS: folded plates, equivalent orthotropic, corrugated sheet

6

SUMÁRIO

RESUMO 4

ABSTRACT 5

1. INTRODUÇÃO 8

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 9

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 9

3.1 Teoria das Placas Ortotrópicas 9

3.2 Homogeneização das Pacas Corrugadas 11

3.2.1 Homogeneização de Placas Corrugadas Trapezoidais 11

3.2.2 Homogeneização de Placas Corrugadas em Forma de Onda 12

3.3 Método dos Elementos Finitos 12

4. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA 12

5. METODOLOGIA 13

5.1 Verificação das Propriedades Equivalentes Ortotrópicas 13

5.1.1 Cálculo das Propriedades Ortotrópicas e Dimensões 13

5.1.2 Condições de Contorno 14

5.1.3 Aplicação da Carga 14

5.2 Analise por Elementos Finitos 14

5.3 Análise do Modelo Experimental 15

6. ANÁLISES E RESULTADOS 16

6.1 Análise dos Modelo Equivalentes Ortotrópicos 16

6.2 Análise das Freqüências Naturais 18

6.3 Resultados do Experimento Prático 19

7

6.3.1 Comparação entre Modelo Experimental e Homogeneizado 19

6.3.2 Verificação da Influência da Espessura 20

7. CONCLUSÕES 20

8. REFERÊNCIAS 21

8

1. INTRODUÇÃO

Estruturas enrijidecidas são encontradas em grande quantidade na natureza, como por

exemplo: conchas do mar, folhas, vegetais, etc.

O grande uso de estruturas com elementos enrigecedores começou no século dezenove,

principalmente com a aplicação de placas de aços em cascos de navios, com o desenvolvi-

mento de pontes de aço e estruturas de aeronaves. Estes elementos enrigecedores representa-

vam uma pequena parte no peso da estrutura, porém tinham grande influência na performance

destas estruturas quando submetidas a diferentes carregamentos. Na figura 1 podemos ver

alguns exemplos de estruturas enrijidecidas, Troitsky (1976).

Figura 1 - Exemplos de extruturas com enrijidecedores

Hoje em dia placas e cascas são largamente usadas em varias estruturas da engenharia.

Elas são enrijidecidas de diversas maneiras para obter uma maior resistência com uma quanti-

dade relativamente menor de material, satisfazendo o objetivo de um mínimo peso para a es-

trutura. E em algumas vezes a aparência obtida destas estruturas é um bônus. Alguns exem-

plos de estruturas com placas enrijidecidas podem ser encontrados em chaminés de aço, tubu-

lações, pontes, cascos de navios, silos, recobrimento de contêineres, telhados, entre outros. As

Figuras de 2 a 4 mostram alguns exemplos de aplicação de chapas corrugadas.

Figura 2 - Estrutura de prédios

Figura 3 – Silos

Figura 4 - Container

A análise por elementos finitos de placas corrugadas requer longos períodos de simula-

ção o que representa grande custo para o projeto. Como uma alternativa para essa análise, tem

sido proposta uma aproximação por um modelo equivalente ortotrópico, como pode ser visto

na figura 5.

Figura 5 – Modelo de um elemento da folha equivalente corrugada pelo equivalente ortotrópico plano de

tensão . (a) atual elemento. (b) equivalente ortotrópico

9

O objetivo neste trabalho é realizar a homogeneização de placas corrugadas criando

uma placa ortotrópica equivalente. Verificar as expressões utilizadas para o cálculo das pro-

priedades desta equivalência.

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Diversos pesquisadores, como Mang (1976), comprovam ser válidas aproximações uti-

lizando a teoria de placas ortotrópicas.

No levantamento bibliográfico referente a homogeneização de placas corrugadas, depa-

ra-se com uma grande dificuldade de encontrar trabalhos que tratem de alguns casos de perfis

como o trapezoidal. Das bibliografias pesquisadas, pôde-se verificar que a teoria de placas

ortotrópicas é usualmente apresentada para o caso de chapas corrugadas com os perfis em

forma de onda. Timoshenko (1959), Troitsky (1976). Nestas bibliografias podem ser encon-

tradas também, expressões para a rigidez flexional de placas corrugadas com perfil em forma

de onda ou para outras aplicações como placas com reforçadores cruzados eqüidistantes entre

outras configurações. Porém nada se encontrou nestas bibliografias em relação a uma chapa

com perfil trapezoidal.

Briassoulis (1986) propôs uma derivação de novas expressões para o cálculo das pro-

priedades de um modelo equivalente ortotrópico, para uma placa corrugada com perfil em

forma de onda. Em seu trabalho são calculadas as rigidezes, por uma análise de elementos

finitos pela imposição de um estado de deformação e então são comparadas com valores obti-

dos com expressões da literatura. Quando foi necessário, novas expressões foram obtidas u-

sando expressões derivadas do teorema de Castigliano.

Samanta (1999) faz a primeira abordagem de uma análise não linear para uma placa

corrugada com perfil trapezoidal. Em seu trabalho são calculadas expressões para o cálculo da

rigidez extensional para placas com este tipo de perfil, através de métodos de conservação de

energia. As expressões para o cálculo da rigidez flexional são referenciada no trabalho de Sa-

manta (1999), obtidas de uma tese de pós-doutorado, MacFarland (1967). A análise não linear

por elementos finitos proposta no trabalho de Samanta, realizada com uma combinação de

dois elementos finitos. Um elemento triangular plano de tensões e um elemento de flexão. Em

seu trabalho, ele utiliza esta mesma combinação de elementos para realizar uma análise não

linear de um modelo equivalente de placas corrugadas. Outro estudo realizado pelo autor na

análise não linear de outros tipos de estrutura de placa enrijidecidas com vigas, Samanta

(1999).

A homogeneização de placas corrugadas em um modelo de placa ortotrópico, requer a

determinação a determinação das propriedades das constantes de rigidez elásticas para a placa

equivalente ortotrópica, Ahmed (2000).

3. FUNDAMENTAÇAO TEÓRICA

3.1 TEORIA DE PLACAS ORTOTRÓPICAS

A ortotropia é um caso particular da anisotropia. Um material é chamado ortotrópico

quando apresenta simetria de suas propriedades elásticas relativamente a três planos ortogo-

nais. Tratando-se de uma placa fina, esta apresenta diferentes propriedades elásticas em duas

direções ortogonais, Timoshenko (1959). A madeira é um exemplo típico deste tipo de mate-

rial. Como se sabe o módulo de elasticidade da madeira na direção das fibras é consideravel-

mente maior que o módulo nas direções perpendiculares a fibra, Troitsky (1976).

10

Consideremos uma placa ortotrópica, conforme mostrada na figura 5 (b). Assumimos

que a placa é perfeitamente elástica, contínua e homogênea, obedecendo a lei de Hooke. A

placa possui diferentes propriedades elásticas em duas direções ortogonais, x e y, e nenhuma

força de corpo existe.

A placa quando submetida a ação de um carregamento obedecerá a seguinte hipótese de

que não haverá deformação no plano central da placa. Este plano permanece neutro de acordo

com a teoria de Kirchoff, Oñate (1995).

Assumindo que a placa é fina e que quando submetida a um carregamento a deforma-

ção sofrida é pequena, então podemos negligenciar os efeitos da tensão na direção z.

Tomando-se o plano xy como plano de coordenada. A relação entre tensão e deforma-

ção, pode ser representada pelas seguintes equações, Timoshenko (1959).

(1)

Onde E’x, E’y, G’xy e E”x são as constantes elásticas a serem definidas.

Como pode ser visto são necessários neste caso quatro constantes para caracterizar as

propriedades elásticas do material. Para pequenas deformações, admitindo-se que as secções

permaneçam planas após a deformação, resultam as seguintes equações para as componentes

de deformação, Timoshenko (1959).

2

2

xzx

2

2

yzy

yxzxy

2

2 (2)

Substituindo (2) em (1) tem-se as seguintes equações de tensão:

2

2

2

2

"'y

Ex

Ez xx

2

2

2

2

"'x

Ey

Ez yy

(3)

yxGzxy

2

2

Usando as equações (3), tem-se as expressões para momentos representados na figura 6.

Onde Mx e My são os momentos fletores das tensões σx e σy, e Mxy é um momento produzido

pela tensão tangencial τxy, Oñate (1995):

2

2

2

22

2 yD

xDzdzM vx

h

h xx

2

2

2

22

2 xD

yDzdzM vy

h

h yy

(4)

yxDzdzM xy

h

h xyxy

22

2

2

Nas quais:

xyxy

xvyyy

yvxxx

G

EE

EE

Figura 6 - Representação das tensões

11

12

' 3hED x

x 12

' 3hED

y

y 12

" 3hEDv

12

3GhDxy (5)

De Timoshenko (1959), temos a seguinte equação diferencial de equilíbrio:

qy

Dyx

Hx

D yx

4

4

22

4

4

4

2

(6)

Onde: H = Dv+2Dxy

A equação (6) pode ser aplicada na investigação de placas não isotrópicas e eventual-

mente em casos de materiais não homogêneos, tais como: lajes de concreto, a qual tem dife-

rentes rigidezes flexionais em duas direções perpendiculares, Timoshenko (1959).

3.2 HOMOGEINIZAÇÃO DE PLACAS CORRUGADAS

A análise teórica de uma placa corrugada é baseada assumindo que esta pode ser anali-

sada como uma fina placa equivalente ortotrópica de espessura uniforme. Expressões analíti-

cas para obter a rigidez do equivalente ortotrópico de placas corrugadas apresentadas na lite-

ratura são obtidas analiticamente, em muitos casos através de métodos de conservação de e-

nergia. De Samanta (1999), temos que a relação entre tensão-deformação para uma placa orto-

trópica pode ser escrita como:

xy

y

x

xy

yv

vx

xy

y

x

Evv

EE

EE

)1(00

0

0

)1(

1

21

21

(6)

3.2.1 Homogeneização de Placas Corrugadas Trapezoidais

As expressões para cálculos das rigidezes de uma chapa corrugada trapezoidal foram

obtidas de Samanta (1999). Como um primeiro passo neste trabalho, analisaremos aqui so-

mente as equações referentes a rigidez flexional (7). Que são validas para pequenos desloca-

mentos (analise linear).

)1(6

0

12

3

3

vc

sEtD

c

EID

D

s

cEtD

xy

y

y

v

x

(7)

Onde Iy é o momento de inércia de um modulo cruzando seu eixo neutro. A figura 8

mostra o perfil, em linha mais escura, para o calculo do momento de inércia.

Figura 7 - Representação de um corrugado trapezoidal (em

linha grossa se verifica o que chamamos de módulo)

12

As variáveis “c”,”t”, “f” e “s” estão associadas a geometria do perfil da chapa corruga-

da.. Onde “c” é o comprimento de meia onda, “t” é espessura, “f” é a distancia do eixo até a

linha de cento do perfil e “s”é o comprimento ao longo de um módulo do perfil. Conforme

pode-se verificar na figura 7.

3.2.2 Homogeneização de Placas Corrugadas em Forma de Onda

Para o modelo equivalente ortotrópico de uma chapa corrugada em forma de onda fo-

ram utilizadas as desenvolvidas no trabalho de Briassoulis (1986). Onde “c” é o comprimento

de meia onda, “t” é espessura, “f” é a distancia do eixo até a linha de cento do perfil. A figura

8 mostra um as dimensões do perfil em forma de onda.

2

3

112

Et

s

cDx

112

2)1(12

3

2

2

3

EtDxy

vDxD

Etf

v

EtD

v

y

(8)

Para o cálculo de “s”, (comprimento ao longo de um módulo do perfil), temos de Timo-

shenko (1959) a seguinte expressão (8).

2

22

41

c

fcs

(9)

3.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

O método de elementos finitos é um método numérico que permite resolver em forma

aproximada problemas de valores de contorno, apresentados na sua forma integral. Especifi-

cadamente no caso da mecânica esta forma integral pode ser o princípio de trabalhos virtuais,

principio de energia potencial mínima. Essencialmente o método dos elementos finitos consis-

te em discretizar o domínio em estudo em porções chamadas elementos, sendo que a solução

do problema dentro do domínio elemental, é idealizado utilizando funções de interpolação

como referência física deste tema, Zienkiewicz (1971).

4. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA

Neste trabalho se propõe realizar a homogeneização de estruturas corrugadas por um

modelo ortotrópico. Será analisado o comportamento de modelos equivalentes ortotrópico de

estruturas corrugadas com perfis em forma de ondas e trapezoidais. Para isso serão calculados

valores de rigidez para um modelo equivalente ortotrópico e a verificação das propriedades

mecânicas dos mesmos.

Será realizada a análise linear através de um programa de elementos finitos. A análise

linear é válida para pequenas deformações, e é o primeiro passo para o estudo da homogenei-

zação destas estruturas. Serão analisados dois diferentes tipos de telhas corrugadas conforme

pode ser visto nas figuras 9 e 10. Também será feito uma análise experimental com uma telha

corrugada trapezoidal, a fim de verificar comparar com o modelo obtido por elementos fini-

tos.

Figura 8 - Perfil em forma de onda

13

A análise das freqüências naturais também é realizada, a fim de verificar o comporta-

mento da aproximação proposta.

Figura 9 - Telha corrugada com perfil em forma de

onda

Figura 10 - Telha corrugada com perfil trapezoidal

5. METODOLOGIA

5.1 VERIFICAÇÃO DAS PROPRIEDADES EQUIVALENTES ORTOTROPICAS

Para verificação das expressões referentes a homogeneização da chapa corrugada em

uma placa ortotrópica, foram inicialmente analisados dois modelos de chapas corrugadas.

5.1.1 Cálculo das Propriedades Ortotrópicas e Dimensões

Foram calculadas as propriedades ortotrópicas, utilizando as equações (7) e (8) e a se-

guir calculadas as propriedades mecânicas relacionando estes resultados com as expressões

(3). Os perfis corrugados estão representados nas figuras 11 e 12. A tabela 1 mostra as dimen-

sões dos perfis utilizadas no cálculo.

Figura 11 - Perfil do corrugado trapezoidal

Figura 12 - Perfil do corrugado em forma de onda

Tabela 1 - Propriedades mecânicas da chapa e dimensões dos perfis de corrugação

Para a chapa corrugada trapezoidal Para a chapa em forma de onda

Propriedades mecânicas

E = 210 GPa v = 0.3 E = 210 GPa v = 0.3

Dimensões

c = 50.8 mm f = 5.556 mm t = 6.35 mm θ = 45º c = 50.8 mm f = 5.556 mm t = 6.35 mm

As dimensões da placa ortotrópica são as mesmas da placa corrugada, Samanta (1999),

como pode ser visto na figura 13 e tabela 2.

Figura 13 - Em (a) modelo corrugado e em (b) seu modelo equivalente ortotrópico

14

Tabela 2 - Dimensões usadas nas análises das placas

Nº de corru-

gados

Nº de corruga-

dos para análise

(1/4 da folha)

Dimensões para a análise do problema (mm)

Modelo Trapezoidal Modelo Em forma de onda

a b a b

04 02 203.2 203.2 203.2 203.2

08 04 406.4 406.4 406.4 406.4

16 08 812.8 812.8 812.8 812.8

5.1.2 Condições de Contorno

Foram considerados dois tipos de engastes, a placa apoiada e a placa engastada. Na fi-

gura 12, tem-se a representação destes engastes para um quarto da placa.

Figura 14 - Condições de contorno. Em (a) a placa esta apoiada e em (b) a placa está engastada

5.1.3 Aplicação da Carga

Para verificação do deslocamento foi aplicada uma carga de valor 1000 N no centro da

placa. Como foi analisado apenas um quarto do modelo, a carga foi aplicada na extremidade

que representa o centro, conforme mostrado na figura 15.

Figura 15 - Aplicação da carga

5.2 Analise por Elementos Finitos

Para analise do modelo foi utilizado um programa de analise por elementos finitos,

ABAQUS. Foi utilizado um elemento de casca isoparamétrico linear de quatro nós para apli-

cação em casos gerais de placas. Para análise do modelo corrugado foram usadas as proprie-

dades isotrópicas. Para a análise por elementos finitos do modelo ortotrópico, foi feito um

modelo de placa plana e para a entrada dos dados se utilizou as propriedades mecânicas calcu-

ladas relacionando as expressões (5) com as de (7) e (8) dependendo da forma do corrugado.

Ainda utilizando o programa de elementos finitos foi calculado o primeiro modo de fre-

qüência natural para dois modelos de engastes da figura 14, porém considerando a folha intei-

ra, isto é, com os quatro lados apoiados ou engastados. As freqüências foram calculadas para

um modelo equivalente ortotrópico de com ângulos de inclinação “θ” de 45 graus com oito

15

corrugados. Também foi calculada a freqüência natural para um modelo representativo do

perfil analisado no modelo experimental, com quatro corrugados.

5.3 ANÁLISE DE MODELO EXPERIMENTAL

Como verificação cerificação das expressões utilizadas para a homogeneização da pla-

ca, foi realizado um ensaio experimental para uma telha trapezoidal conforme figura 16 para

usar como comparativo para um modelo equivalente ortotrópico.

Figura 16 - Dimensões da telha usada para ensaio prático

Em um segundo passo foi feito à análise experimental da placa. Uma telha trapezoidal

foi fixada sobre vigas com o uso de hastes galvanizadas com porca, arruela e anel de borra-

cha, conforme se pode verificar na figura 17. Para aplicação da carga foram usados dois tubos

quadrados de 40 mm x 40 mm x 3 mm com 1,86kg cada, que foram apoiados uniformemente

sobre as telhas com o auxílio de calços de isopor. Ainda para garantir a distribuição da carga

foi colocada uma tabua com 6 kg sobre os tubos. Acima da tabua foi colocado um garrafão

que foi cheio com água aplicando assim o carregamento. As figuras 17 e 18 mostram o posi-

cionamento deste carregamento.

Figura 17 - Modelo prático de

uma telha trapezoidal

Figura 18 - Barras sobre as quais

foi aplicada a carga

Figura 19 - Uma placa de madei-

ra foi colocada sobre as barras e

sobre esta foi então aplicado o

carregamento

Para medir o deslocamento no eixo “z” foram colocados dois relógios comparadores

posicionados nos pontos centrais da telha conforme figuras 20, 21 e 22.

Com base nas equações (7) foram calculadas as propriedades de um equivalente orto-

trópico de uma telha trapezoidal. E a seguir foi feita a análise em elementos finitos aplicando

a condição de contorno de engastamento nas extremidades, porém com um grau livre para

rotação no eixo ao longo da linha do perfil. Foi analisado apenas o deslocamento no centro da

placa.

16

Figura 20 - Pontos de medição dos

deslocamentos

Figura 21 - Posicionamento dos

relógios

Figura 22 – Posições dos

relógios comparadores

A tabela 3 mostra as dimensões e propriedades mecânicas para o cálculo das proprieda-

des equivalentes ortotrópicas utilizando as expressões (7).

Tabela 3 - Propriedades da telha corrugada

Propriedades mecânicas E = 206 GPa v = 0.3

Dimensões c = 119.5 mm f = 20 mm t = 0.45 mm θ = 48º

Em um terceiro passo foi realizada a análise das propriedades ortotrópicas no programa

de elementos finitos da telha do experimento prático e re-analisada com algumas alterações

nas dimensões e espessuras. As propriedades e dimensões estão na tabela 4.

Tabela 4 – Propriedades do modelo da telha modificada

Propriedades mecânicas E = 206 GPa v = 0.3

Dimensões do Perfil c = 119.5 mm f = 20 mm t = 10 mm θ = 48º

Dimensões da chapa a = 956 mm b = 956 mm

Espessuras analisadas 10, 3, 2, 1.5, 1, 0.5 mm

6. RESULTADOS E ANÁLISES

6.1 ANALISE DOS MODELOS EQUIVALENTES ORTOTRÓPICOS

A tabela 5 mostra os resultados para a rigidez flexional para os dois modelos de chapas

corrugadas e as propriedades mecânicas obtidas a partir destes dados.

Tabela 5 Propriedades de rigidez flexional do modelo equivalente ortotrópico

Propriedades de rigidez flexional do equivalente ortotrópicas

Folha trapezoidal Folha em forma de onda

Dx 4.1085 E6 3.2330E6

Dy 4.3835 E7 2.5122E7

Dxy 7.5181 E6 4.8499E6

Propriedades Mecânicas para o equivalente ortotrópico

Ex 1.9255 E5 1.5153E5

Ey 2.0544 E6 1.1773E6

Gxy 3.5234 E5 2.2729E5

v 0.029 0.038

A primeira coisa que se verifica na simulação do modelo equivalente ortotrópico e a di-

ferença nos valores das tensões.

17

Figura 23 – Tensões de Von Misses para a placa trapezoidal

Nas figuras 23 e 24 pode-se ver a distribuição de tensões nos dois modelos. O valor das

tensões de Von Misses encontrados são maiores para o modelo homogeneizado, como que

cerca de duas vezes. O valor da tensão crítica em um ponto deve ser calculado utilizando os

resultados do modelo homogeneizado em expressões que relacionam com a geometria da fo-

lha corrugada. Estes cálculos não serão analisados neste trabalho.

Figura 24 – Tensões de Von Misses para a placa equivalente ortotrópica

A tabela 6 mostra os resultados para a análise do modelo equivalente da folha corrugada

em forma de onda. Os resultados mostram que uma boa aproximação entre os modelos.

Tabela 6 - Comparação entre modelos corrugados de uma folha em forma de onda

Carga 1000 N

Deslocamento

no centro da

placa. (mm)

Numero de corrugado para modelo em forma de onda.

Placa Apoiada

4 8 16

Ortot. Placa Err Ortot. Placa Err Ortot. Placa Err

0.649 0.759 14% 2.703 2.427 11% 10.096 10.775 6%

Placa Engastada

0.300 0.354 15% 1.141 0.994 14% 4.674 4.033 15%

Na Tabela 7 tem-se a comparação de rigidez em função do ângulo de inclinação do cor-

rugado mostrado na figura 11. Foram analisados três ângulos “θ” de 30, 45 e 60 graus. Pode-

se verificar o aumento da rigidez “Dy” e a diminuição “Dx” com o aumento da inclinação. A

Tabela 8 mostra a comparação entre os deslocamentos para um ponto central das três placas.

Pode-se notar que o erro diminui com o ângulo de inclinação do corrugado.

18

Tabela 7 - Propriedades de rigidez em função do ângulo de inclinação para perfil trapezoidal

Rigidez flexional Modelo ortotrópico de uma folha corrugada com quatro corrugados.

θ 30º θ 45 º θ 60 º

Dx 4.2320 E6 4.1085 E6 3.9782 E6

Dy 3.7240E7 4.2102 E7 4.2144 E7

Dxy 7.2970 E6 7.5181 E6 7.7641 E6

Tabela 8 - Comparação entre os modelos corrugados trapezoidal e ortotrópico em função do angulo

Deslocamento

no centro da

placa

Modelo ortotrópico de uma folha corrugada com quatro corrugados

30º 45 º 60 º

Ortot. Placa Err Ortot. Placa Err Ortot. Placa Err

U (mm) 0.527 0.595 11% 0.501 0.553 9% 0.500 0.531 6%

Foram analisados os deslocamentos obtidos no ponto central da placa para uma carga

concentrada aplicada no centro da placa, conforme mostrado na Tabela 9. Fazendo a análise

destes dados verifica-se que o modelo equivalente ortotrópico tem uma melhor aproximação

com o aumento do número de corrugados e com a condição de contorno engastado.

Tabela 9 - Comparação entre os modelos ortotrópicos para uma folha corrugada trapezoidal

Deslocamento

no centro da

placa.Carga de

1000 N

Numero de corrugado para modelo trapezoidal.

Placa Apoiada Placa Apoiada Placa Apoiada

4 8 16

Ortot. Placa Err Ortot. Placa Err Ortot. Placa Err

U (mm) 0.501 0.553 9% 2.070 2.311 10% 8.627 9.395 8%

Placa Engastada Placa Engastada Placa Engastada

U (mm) 0.230 0.224 3% 0.958 0.912 5% 3.836 3.731 3%

6.2 ANÁLISE DAS FREQÜÊNCIAS NATURAIS

A análise do da freqüência natural é mostrada na Tabela 10 para o primeiro modo de

um modelo corrugado com angulo de inclinação de 45 graus e seu modelo homogeneizado. A

análise é para uma folha corrugada com oito corrugados. Nas figuras 23 e 24 pode-se ver a

simulação numérica para o primeiro modo.

Figura 25- Primeiro modo de freqüência para o

modelo corrugado

Figura 26 - Primeiro modo de freqüência para mo-

delo ortotrópico

Tabela 10 - Primeiro modo de freqüências naturais para modelos analisados

Modelo Vinculação Freqüências naturais - 1º Modo – (Hz)

Ortotrópica Placa Erro

19

Trapezoidal Apoiado 2.8018 2.8430 1.4 %

Engastado 5.3288 5.0856 4.7 %

Analisando os valores obtidos pode-se verificar que o equivalente ortotrópico tem um

melhor comportamento quando submetido a condições de contorno de apoiado.

6.3 RESULTADOS DO EXPERIMENTO PRÁTICO

A figura 27 mostra o gráfico obtido em ensaio prático. A curva topo, em azul, mede o

deslocamento na onda alta da folha e a curva base, em verde, na onda baixa da telha. Pode se

notar no gráfico, que os deslocamentos ficaram dentro do regime elástico do material.

Carga x Deformação

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 5 10 15 20 25 30

Carga (Kg)

Defo

rmação

(m

m)

Topo Base

Figura 27 - Curva obtida em ensaio prático

6.3.1 Comparação entre Modelo Experimental e Homogeneizado

De posse dos dados foi modelado um equivalente ortotrópico para a telha a fim de veri-

ficar a aplicação da aproximação pela homogeneização da telha. Os valores para a rigidez

flexional calculados estão descritos na tabela 11. Pode-se notar um elevado valor para a pro-

priedade elástica Ey. Tabela 11 - Propriedades do modelo experimental homogeneizado

Propriedades ortotrópicas do modelo

Rigidez flexional Dx Dy Dxy

1387 2.9171E7 2819

Propriedades

Mecânicas

Ex Ey Gxy ν

1.8276E5 3.8276E5 3.7122E5 0.0000142

Na tabela 12 pode-se comparar os resultados experimentais com os obtidos por elemen-

tos finitos para um modelo para um modelo ortotrópico. Verifica-se que o erro ficou em torno

de 11%. Os valores foram melhores que o esperado em virtude das dificuldades de simular as

condições de um ensaio real. Como por exemplo, condições de engastamento e aplicação de

carga.

Tabela 12 - Comparação entre os resultados experimentais e por elementos finitos

Carga

(N)

Deslocamento no centro da placa U (mm)

Ensaio Experi-

mental

Elementos Finitos Erro

36.49 0.353 0.317 10 %

115.95 1.167 1.010 13 %

174.81 1.677 1.523 9 %

20

233.67 2.193 2.029 7 %

6.3.2 Verificação da Influência da Espessura

Pode-se verificar pela tabela 13 que com o aumento da espessura tem-se um aumento

na rigidez “Dy” por estar esta propriedade associada ao momento de inércia do perfil.

Tabela 13 - Variação das propriedades em função da espessura do modelo homogeneizado

Proprie-

dades

Espessuras (mm)

10 3 2 1.5 1 0.5

Dx 1.5230E7 4.1120E5 1.2184E5 5.1401E4 1.5230E4 1.9030E3

Dy 6.4149E8 1.8551E8 1.2343E8 9.2510E7 9.4271E7 3.0818E7

Dxy 3.0935E7 8.3520E5 2.4748E5 1,0442E5 3.0935E4 3.8660E3

Ex 1.8276E5 1.8276E5 1.8276E5 1.8276E5 1.8276E5 1.8276E5

Ey 7.6979E6 8.2458E7 3.7122E5 3.2892E5 1.3112E9 2.9587E9

Gxy 3.7122E5 3.7122E5 3.7122E5 3.7122E5 3.7122E5 3.7122E5

Pela tabela 14 verificamos a relação entre a espessura e a deformação para os modelos

corrugado e equivalente ortotrópico. Podemos verificar, nesta primeira análise, que o modelo

equivalente é valido até uma espessura mínima de 2 mm, quando comparado com os resulta-

dos obtidos na simulação da chapa corrugada.

Tabela 14 - Comparação entre o deslocamento em “z” em função da variação na espessura

Modelo

Analizado

Espessuras (mm)

10 3 2 1.5 1 0.5

Corrugado 1.228 7.801 15.01 25.02 56.59 309

Ortotrópico 1.077 7.935 15.03 12.72 28.81 126

Erro 12 % 1.7 % 1.3 % 49 % 49 % 59 %

7. CONCLUSÕES

Neste trabalho se construiu um modelo que equivalente de uma placa ortotrópica que

representar folhas dobradas que devido a sua geometria assumem um comportamento ortotró-

pico. Foram analisados diferentes tipos de geometria e verificada o desempenho destas em

termos de deslocamentos e primeiro modo de vibração. Durante a realização do trabalho foi

possível obter as seguintes conclusões:

a) Foi observado que o erro nas aproximações do modelo equivalente ortotrópico tende

a diminuir à medida que se aumenta o numero de módulos na placa, ou seja, quanto maior for

o modelo, melhores serão os resultados.

b) Foi observado que melhores aproximações para a condição de contorno de placa en-

gasta para a relação de deslocamento.

c) Em relação à freqüência natural de vibração foi observada uma boa aproximação do

modelo homogeneizado para o cálculo destas. Foi observado um erro menor quando calculada

para a condição de contorno apoiada nas quatro bordas. Talvez porque não esteja analisando

somente a rigidez flexional e não a extencional.

d) Quanto as tensões foi observado que estas tem um comportamento diferente nos dois

modelos, o que justiça um diferente valor para carga crítica.

21

e) Em relação ao modelo experimental, os resultados mostraram-se satisfatórios em

uma primeira análise. Muito melhores que os esperados uma vez que é muito difícil simular

as condições reais do experimento pelo grande número de variáveis envolvidas.

O tema desenvolvido aqui se mostrou se muito amplo em relação a teoria de cascas or-

totrópicas e suas aplicações. Assim como uma continuação para este trabalho pode-se sugerir

como um passo inicial aprofundar os estudos em relação a variações de comportamento como

variações na espessura e aplicar a teoria a outras formas de corrugados.

Um segundo ponto seria verificar as expressões que relacionam as tensões entre o mo-

delo homogeneizado por um modelo ortotrópico equivalente e o modelo de chapa dobrada.

Outro importante ponto a ser analisado é a análise não linear, relacionando assim a rigi-

dez extencional e a rigidez flexional. O que também validaria o modelo para análise de gran-

des deformações.

A partir daí então poderia se fazer análise de flambagem em vasos de pressão e etc.

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22

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www.engin.brown.edu/courses/En175/Abaqustut/abaqustut.htm. Acessado em 20 de março de

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