hogben euclides sem lagrimas

7/21/2019 HOGBEN Euclides Sem Lagrimas

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•

CAPITULO

IV

~ U L I D E S

SEM LÁGRIMAS

ou

Q _

e

se

F_oâe azer

com a Geometria

'Nos cat)ífulos anteriores, esforçamo-nos por fazer

uma

.recóns·

tifitlção,

em

parte imaginada,

do

mundo

de

antanho, o mundo em que

os homens começavam apenas a balbuciar a linguagem das grandezas.

Até cêrca de 2000 a.

C., muito

pouco se fêz no sentido

de

inventar

princípios gerais relativos à contagem e me.diçiio das coisas. A lite·

ratura

matemática

ainda

não existia. As realizações arquitetônicas

de nossos antepassados impressionam-nos bem mais que as poucas

tabuletas de aritmética comercial desenterradas em Nippur, ou o papiro

que encerra hHlo quanto conhecemos :acêrca

da

sabedoria sacerdotal

da civilização do Nilo. A grande pirâmide de Queops foi o grande

monumento que êles

ergueram

àquelas momentosas verdades sôbrc

triângulos, que

transmitiam

de bôca em bôca, sacerdotes a n o v i ç o ~

mestres rle obras a aprendizes , escravos artífices aos seus filhos. Por

tentoso monumento Talvez

ainda

exista, no dia em que deixarmos de

aprender como os gregos construíram a

sua grande

pirâmide de lógica,

não menos rígida e inabalável ... Não resta a menor dúvida que

ns mquitctos dos templos e os coletores de impostos já haviam adquirida

a prEltica de

traçar

modelos na areia

para

orientá-los na

arte

de medir

sombras

e dimensões, muito antes de aparecerem os primeiros homens

que col ecionaram as figuras traçadas e tentaram formular os princí

pios fundamentais das artes construtivas. O traçado na areia con

tinuou a ser,

por

séculos e séculos, o único método resolutivo do

:;

problemas geométricos. Arquimedes, o maior matemático da anti

guidade, estava a fazer desenhos na areia, quando foi massacrado pela>

legiões romanas. Os métodos pelos quais os homens fizeram as

primeiras construções geométricas, com o auxílio de cordas e cavilhas,

tio de prumo e nivel

d'água,

são bem mais notáveis que os livros

sôbrc êles escritos.

Aos chineses cabe a glória de terem sido os primeiros a lançar

as

bases ele uma

literatura

de grandeza s. A medida que o tempo passa,

mais 11os capacitamos

do

quanto lhes devemos. A ilustração que

r e p r o c l u z i l ~ o s na Fig .

19,

basta para

justificar

a nosr-a crença de <Jue,

' i

· I

l

. EUCLIDES SEM LÁGRIMAS

121 .

meio milênio antes dos gregos, êles

lá

haviam

descobertd

regras gerai'

importantíssimas relativas às figuds. Também sôbre os números,

descobriram muitas causas interessantes misturadas,

porém,

com bo1

dose de bobagens. P a r e c ~ provável que já conhecessem as famílias nu

merais, tão importantes na moderna estatística. Lamentàvelmentc,

apenas uma pequena parcela de seus conhecimentos chegou até nós. ú

resto se perdeu. Como as duas bibliotecas de

Alexandria,

as primitivas

bibliotecas chinesas foram incendiadas. Esta calamidade não foi

obr&

da guerra. O incêndio foi propo sitado, tal como a

destruição

da

cultura alemã pelo chanceler Hitler. Ordenou-o um imperador que

acreditava, como Bernard Shaw, que os homens haveriam de escreve

melhor se lessem um pouco ·menos.

· A princípio os chineses gozavam

de

pelo menos uma vantagem

sôbre as primeiras civilizações européias. Os scus o rganizadores

calendários constituíam uma casta cerimonial menos fechada. :Ries

eram tipos mais leigos.

Não

sabemos porque os chineses não cumpri·

ram as suas promessas mais antigas; potlcmos apenas

conjeturar

sõbre

alguns dos seus obstáculos, Uma das razões, pode ter sido o fato da

sua educação ter começado cedo demais. Além disto, êles estavam

carregados com

uma

complicada escrita de hicroglifos, imprópria para

exprimir coisas simples de maneira simples. Por isso, êles

llão

foram

adiante.

Qs

gregos que, possivelmente, aprenderam muito dêles, não

tinham

nem o obstáculo da casta sacerdotal, nem o de

uma

educação custosa.

Enquanto os chineses escreviam seus primeiros livros

de

matemática,

C

continente grego era invadido por certas tribos nômades provindas

do norte. :Rsses inv aso res arianos eram originários de desoladas es

tepes, de raras noites estreladas. Não conheciam a arte

de

escrever.

Ignoravam as

artes da construção

e do comércio. Não dispunham

de pesos e medidas.

Só

o que sabiam fazer era assolar as costas da

Asia Menor, onde

fundaram

pequeninos reinos, como a

Lidia,

insig

nificantes cidades-estados, como Mileto, bem no ex t

remo

da

g r a n t l ~

cadeia de portos comerciais fundados pelos maiore s comerciantes

c

navegadores da antiguidade. Foi por intermédio dos fenícios-semitas

que o homem nórdico contraiu a sua primeira

divida para com

os

judeus. Dívida, esta, d aluno para professor. Com êles

aprendeu

a . er, a escrever, a contar.

Sua

própria

ignorância

facilitou-lhe re·

nunciar

à

complicada

escrita

pictórica .e aos

ideogramas

que embar

gavam o progresso das primitivas civilizações do Egito e da China.

Lançou mão dos velhos símbolos, para representar

a,s

sonoridades de

sua língua mais simples. Adotou um bom alfabeto, com que começou

a compor frases claras e simples. Como

não

o

esmagassem

tradiçõe'

de ~ e r . i m o n i a i s complicados, podia sondar os segredos sacerdotais com

=\lr qsgl l9.e, ~ l l

:vez de 9 fa:zer · o n ~

~ e y e r § n c i J . ,

N i n g u ~ ~ h c n s ~



1?.2

MARAVILHAS DA MATEMÁTICA

nara que

no

princípio era o Verbo . No princípio era o

Caos.

·p;

ordem,

fê

-la êle, depois de se familiarizar

com

o

caos.

Não sabemos se êstes selvagens nórdicos que ocuparam o nor

deste mediterrâneo tinham olhos azuis e cabelos louros. Só sabemos

r

1

ue

nada, em absoluto, justifica a crença que as realizações científicas

ela

c i v i l i z a ~ ã o grega eram fruto

de

seu equipamento racial.

Os

dois

famosos funclàdores da geometria grega, Tales (640-549

a.

C.) e

Pitágoras ( 587-507

a.

C.)

eram

-ambos

de

origem fenícia . A ciência

e a matemática só penetraram no continente grego, quando êste já se

e n c o n t r a ~ no fim

de

seu período de formação. Introdl)ziu-as na

côrte de Péricles, Aspásia, sua amante, cidadã de Mileto, cidade do

litoral da Ásia Menor. Mileto era a pátria

de:

Tales. Foi a convite

da favorita que Anaxágoras transpôs o mar Jônio e pisou o continente

grego. Pitágora s e Empédocles, os primeiros que estudaram o vácuo,

viviam na Itália e na Sicília . Demócrito, o especulador do átomo,

morava em Abclera, entre a

Ási-a

Menor e o continente grego. A

cstrêla da ciência grega já se punha no horizonte,

qua

·ndo o culto da

filosof ia começou. Grega nunca fôra, no sentido continental da pa

lavra. E a princípio,

nem

sequer o fôra no sentido racial.

A origem tiriana de Pitágoras talvez explique

os

sinais evi

'1entes de influência chinesa encontrados em seus escritos, objeto do

próximo capítulo. Pitágoras muito viajara pela Ásia. Nos

d i a ~

de

st1a

mocidade, entrara em contato com a grande comunidade co

mercial, portão das rotas comerciais

do

interior asiático. Quanto a

fales que viveu numa ilha

ou

numa comunidade costeira,

sem

castas

viajado, conhecera o Egito; aplicara

os

p r i ~ í p i o s que imaginara à me

dição da altura da Grande Pirâmide; predissera o eclipse ocorrido a

28

de maio de 585

a.

C.; fizera experiências com o âmbar; foi o primeirn

a observar

as

atrações magnéticas e estudara o

Íman.

Não cultiva\·a

a matemática como instrumento de perfeição espiritual. Provàvel

mente ficaria muito surpreendido se

lhe

dissessem que ela poJia servir

~ a r a isto. A situação

gc<Jgráfica

valeu a

êsses

gregos jônios (como

Tales que viveu numa ilha

ou

numa comunidade costeira, sem

c a s t a ~

preexistentes de comissários eclesiásticos), uma grande vantagem sô

hre seus contemporâneos chineses. Bem a podemos vislumbrar

num

f r : ~ g n w n t o

do primeiro grande materialista sôbre o qual

K-arl

Marx

escreveu a sua tese doutoral. Eis

as

palavras de Demócrito:

De todos os meus contemporâneos,

fui

o que mais viajou, o

que mais conhecett a terra; visitei as regiões mais remotas, estudei

s

clima·s mais diversos,

os

mais variados países, ouvi mais ge·nte.

~ i n g u é m

me venceu em construções e demonstrações geométricas,

uem

mesmo os

geÔI _letras do

Egito, entre os quais passei

cinco

longos

anos . . . .

EUCLIDES SEM

LÁGRIMAS I

. '

r' ' Não é de admirar qüe Platão - para quem a geometria era

um

éXercício do intelecto desencarnado - desejasse ver incendiadas tôdas

as obras de Demócrito. 'Eernard Shaw elogiou a sabeDoria

do

César

Fascista que assistiu, sem pestanejar, ao incêndio da Biblioteca de

j\Jexandria e à conseqüente destruição dos sessenta traraclos de De

mócrito e de tôdas as realizações astronômicas dos alexandrinos. O

mesmo fogo destruiu, por certo, também, muita conversa-fiada inútil

e prejudicial. Os males

do

intelectualismo grego, êstes, porém, so

breviveram à destruição das chamas. Os bens, ficaram nas cinzas.

'As únicas realizações substanciais que nos restaram foram a ciê ncia

corrompida de Aristóteles e a geometria platônica, levada por E ucli

des para Alex-andria.

Foi êste Euclides

quem

declarou, certo dia, não haver est rada

real para a matemátic-a. Disse-o a um rei, mas é provável

que

também

o dissesse a

seus

alunos. E quando um dêles

lhe

perguntou para

que servia a geometria, o mestre mandou um escravo dar-lhe u

ma

moeda a fim de que êle tivesse uma compensação pelo seu trabalho.

Não obstante a opinião de Euclides, a ativa sociedade cosmopolita ele

Alexandria não tardou a encontrar

uma

utilidade para a sua geometria.

Outro tanto

f a r e m o ~ nós.

AS

LIMITAÇOES

DE

EUCLIDES

Nossa geração presenciou uma verdadeira revol11ção

no

conceito

clássico do geometria. Hoje, associâmo-la principalmente aos nomes

de Ernst Ma ch e Einstein. Já sabemos que a geometria de Euclides

não é a

que

melhor nos faculta a medição do espaço. Isto não quer

dizer que não seja, ainda, um conhecimento útil. Sempre o foi e

ainda o é. As novas descobertas mostraram apen-as que ela tem suas

limitações. Julgo conveniente mencionar, desde logo, algumas, ao

invés de relegá-las tôdas para o fim

do

livro. Para muitos propósitos,

a geometria grega ainda é o melhor instrumento à nossa disposição.

Qualquer balança

de

venda é de mais serventia,

no

lar, que uma ba

lança química. A própria delicadeza desta,

que

lhe permite estimar

as dimensões do átomo, torna-a inconveniente para usos domésticos.

Pois bem, aprendemos, ainda hoje, a geometria

de

E11clides,

para usos

domésticos. A geometria dos seus mestres jônios fundava-se, origi

nàriamente, na observação de como os homens construíam casas e

loteavam a terra. Ela

cessa

de ser útii

1

quando se trata

de de

termi

nar a posiçãl)

da

mais distante nebulosa

ila

constelação

da

Ursa Maior.

Essas nebulosas distam de

nós

mais de trezentos anos luz. A luz,

com sua velocidade de dezoito milhões de quilômetros por minuto, leva

t ~ e z e p t o s l lOS

para percorrer q espaço que delas nos se).lara.

i .

•

.

/



124 MARAVILHAS DA MATEMÁTICA

Não nos surpreenderão essas limitações, se levarmos em c<Jnta

o fato de ser a geometria grega circunscrita pelo seu ambiente social.

Já

vimos que a aritmética grega não lograva descobrir o resultado

da corrida de Aquiles e da tartar uga. A geometria grega tampouco.

Originária da prática de desenhar na areia e de construir .coisas per

manentes, tais como edifícios e navios, esta geometria não levava em .

consideração a existência do tempo. Suas linhas, ângulos e figuras,

uam

todos fixos. Porisso, quando recorremos a suas figuras imu

táveis para orientar-nos na medição de um mundo eminentemente

mutável, temos de recolher, às pressas, aquilo que os gregos expur

garam das figuras. Nada há de tão sólido que possa permanecer

exatamente tal corno é. Quando afirmamos que a superfície do

Brasil

é

de 8 500 000 quilô metros quadrados, admitimos que suas

fronteiras não se alterarão, pelo menos durante o período em que

pretend emos u sar est a in formação, como também que o volume da

terra permaneça inalterável.

Na

realidade, o mundo encolhe

à

mé·

dida que vai esfriando. Seu encolhimento

é

sensível num período de

várias eras geológicas.

. .

I

I

I

I

I

I

:

Area

200x200

g unidades quadradas

<

I

I

I

I

I

I

I

'

Perímetro

-

800

unidad•s

-.

-_-

_

_ _

_

. . . , z o o ~ - - -

_ _

Area-

100x300 unidades

quadradas

Perímetro-

800

unidade

:

..

-.-

__-_-

_ _-_ _-_

- _ - : - 3 ~ 0 ~ 0 - - - - - - _ -___-_-__-_-_ .J

.

Fir. 28 - A RELATIVIDADE DO TAMANHO E A S I RVENTIA SOOIAL.

I

6

o

I

I

Quando afirmamos que determinada cabca tem

um

certo volume,

referimo-nos a u a medida suposta invariável entre a ocasião de sua

manuf atura e a de sua destruição. Como o fator t mpo não interessa

na utilização particular que daremos a esta informação, ou desprezâ

mo-Io, ou isolàmo-lo do es.P lço. Quando asseveramos que determi

nado terreno tem tal superfície (ou área), não levamos em considera

ção o fato de a terra encolher-se p<Jr resfriamento. Nem mesmo as

pessoas interessadas

na

exploração do subsolo, por bem saberem que

não se pode cavar até o centro da terra, muito menos interferir com

os antípodas, levam em conta a profundidade dos terrenos que adqui

rem. Os primeiros homens que procuraram medir áreas não estavam

inte.ressados em explorar o subsolo; sim em saber quantos grãQs po

denam

semear em seus campos, quantos poderiam colhêr, ou quantas

EUCLIDES

SEM LÁGRIMAS

UI

ovelhas e reses pôr a pastar. Foi apenas quando tiveram de construir

cercados para proteger seus rebanhos, vinhas e templos - onde

propiciavam

os

deuses, senhores da chuva, das estações, do sol -

~ u e de.P"lraram com um novo problema. A Figura 28 mostra como

um cercado do .mesmo tamanho pode circunscrever dois terrenos

ou

lotes

de

áreas diferentes. No primeiro, o número de grãos que

se

podem semear, ou o número de ovelhas que se podem tosquiar, é um

têrço maior que n segundo. Quando medimos comprimentos, des

prezamos esta particularidade, que em nada afeta a construção do

cercado. O comprimento

é

a dimensão que interessa ao construtor

de muros. A área, a dimensão que interessa aos semeadores. O

volume, a dimensão que interessa aos que trocam leite e vinho. O inte

lectual grego não percebia a relatividade que existia entre a dimensão t

a utilização social. . Os anatomistas das figuras criam haver chegado ao

extremo limite da dissecação, quando isolaram a linha, o ângulo e o

ponto (isto

é,

a posição

de

onde partem as linhas). Eram êstes os

elementos imutáveis, exteriores ao tempo, e pois, eternos. A partir

desta base inabalável, bem podia a razão alçar seu vôo e conquistar.

aôzinha, o resto

da

verdade. A linha era o comprimento, na sua

pureza e simplicidade. O ponto, a posição, na sua pureza e simpli

cidade.

Bem outra

é

nossa atitude. Para nós - conforme observou

Oscar Wilde - nunca a verdade é simples, e raram ente pura. Os

gregos estudavam a anatomia dos objetos mortos. A anatomia sur

giu antes que o homem pudesse c<Jnceber a fisi<Jiogia do corpo vivo,

móvel, mutável. E ela que nos ensina a localização dos órgãos do

corpo, e que nos diz como orientar-nos dentr o dêste corpo. A geo·

metria das figuras planas ensina-nos a orientar-nos por entre as fi

guras planas. A anatomia expõe a naturez a do cadáve r dissecando-o.

A geometria expõe a natureza das figuras planas dissecando-as. Nem

todos

os

liv.ros de anatomia partem do mesmo ponto. Tampouco

de ~ e o m e t r a

b s e r v a

n d o - . s ~ como os órgãos das figuras planas

- hnhas, angulos e superf1c1es - são reunidos entre si,

p<Jdemos

começar de onde nos aprouver, isto é, de acôrdo com o que admiti

mos como es.tabelecido. Não existem verdades eternas, das quais

devemos part1r. As regras enunciadas sôbre as figuras planas, co

mo sô?re as figura.s sólidas, são tôdas verdades aproximadas, quan

do aplicadas

à

med1ção de um mundo em mutação. São tôdas exce

lentes modelos para orientar-nos nas obras de construção e de di

visão da terra. Até certo ponto, prestam-se muito bem para a

d ~ s c r i ç ã o do macrocosmo das estrêlas. Demócrito não perdeu os

cmco anos que passou entre os egípcios, observando a sua maneira

de construir e de dividir o ~ e r r e n o , para transmitir os princípios a

seus concidadãos.



126


A geometria, objeto dêste capítulo, é a que trata das figuras que

se podem traçar com régua e compasso, seguncjo a prescrição platô

nica . Assim sendo, a perfeita igualdade encontrada entre os números

inteiros, machos ou fêmeas, da aritmética grega, não tem cabimento.

Os ângulos, áreas e linhas que aqui figuram, só podem ser represen

tados por números esticáveis, isto

é,

pelos números que se aplicam

a medições reais. A expressão AB

=

CD não significa

a

linha

AB

é

exatamente

igual à linha

CD ,

pois que não se podem fazer

l i n h a ~

exat<nnente iguais a régua e a compasso. Sua tradução correta é

a seguinte: Medi AB para obterdes o comprimento de CD com

a precisão necessária .

Os

gregos não estavam acostumados a presenciar variações radi

cais e rápidas de costumes. Contavam o tempo com relógios s o l a r e ~

ampulhetas. Não possuíam nenhum aparelho físico, capaz de medir

mtervalos de tempo in feri ores àquele que leva um ôvo para cozinhar .

Era, pois , natural que julgassem a medição do espaço completamente

independente da medição do tempo. A arquitetura, a agrimensura

e o comércio, haviam secularizado o espaço nos países que os mate

máticos gregos visitavam, mas o registro do tempo ainda era,

em

grande parte, prerrogat iva da casta sacerdotal. E a geometria grega

.não se ressentia desta usurpação. O próprio Arquimedes, que apren·

dera

geometria no Egito e aplicava-a à construção de rodas e alavan

cas,

cria

que a reta

é

necessàriamente reta por ser o caminho m:üs

curto entre

dois pontos. Isto, que

é

verdade para a mor parte das

finalidades práticas, não é uma verdade inevitável, eterna. E por

que não o é, diz-nos o biologista.

Há

uma parte de nosso ouvido

interno sensível

à

influência da gravidade. Graças a ela o gato cai sem·

pre, exatame·nte, sôbre as quatro patas e o peixe se mantém de barriga

para baixo. Se agitarmos o fluído que enche o nosso ouvido interno

- como quando giramos ràpidamente o corpo - ficaremos tontos, sem

saber se o teto é ch l.o ou se o chão

é

teto. O c a m a r ã ~ ; ~ possui um

órgão idêntico. Se o enchormos de limalha de aço, o camarão obede

cerá à atração de um magneto, ao invés de à gravidade. Se as linhas

do campo magnético forem curvas, jamais o camarão poderá nadar

segundo uma reta.

Para

êle, o caminho mais curto entre dois pontos

será uma curva. As mais simples estimativas sôbre o comprimento

de uma linha, envolvem

moviment ção

dos músculos dos olhos .

De·

pendem, pois, do tempo e

elo

espaço. Tôdas as ilusões óticas sôbre

distâncias provém

do

fato de elas nos obrigarem a forçar os olhos a

fazer um movimento a que não estão afeitos. No mundo real da

biologia, tamanho e movimento são entidades inseparáveis.

Ao

abandono do fator tempo deve o método de Euclides uma.

outra limit>ação,

a que só seremos sensíveis quando estudarmos, como

os.

á r ~ b e s

a compor sentenças em linguagem matemática. Na época

EUCLIDES SEM LAGRIMAS

m

em que êstes usavam figuras planas, como os gregos, para reproduzir

em escala os objetos de seus problemas de cálculo, não tardaram a

observar uma curiosa discrepância. Os modelos que traçavam só

eram capazes de dar urna resposta a cada pergunta . Mas há pergun

tas que admitem várias respostas e os árabes conheciam suficiente

mente os números para saber que, em muitos casos, dois e mais

clêles

podem ser respostas igualmente satisfatórias a determinadas perguntas.

A discrepância observada

era

devida a uma razão muito simples: não

terem as figuras de Euclides, posição determinada. Com efeito, a

geometria grega considerava idênticas, coisas evidentemente diversas .

Não desprezava apenas o tempo, também a posição . Foi só quando

a determinação do

ponto

de um navio no mar inspirou uma nova

geometria, que o fator tempo se incorporou definitivamente à ciência

geométrica. Mostra -nos a Fi g. 26 que Aquiles só ·alcançou a tarta

ruga quando êste fator tempo entrou nas cogitações geométricas.

O estudo desta limitação leva-nos às primeiras definições usadas

na dissecação das figuras planas, isto

é,

às instruções que nos ensinam

oomo deit ar o cadáver e aplicar o escalpêlo. A geometr ia de

Eu-

nfado

~

: » > · · · · · · ~

csnslre

Flr.

29

IM OIMA.

-

Dolo

trilnculOI

podem

••• eemelhont

quonto A om• l•to 6

l r 01 t rh lnguloo eqnlvolenlea) e, no

enlanto,

dlverooo qnonto ao

t•m•nho.

EM BAIXO. -

oh

triAnruloa podem t er

a mesm&

fo11na e o

mo mo

t:uu ohoj

lo

o ~ n ~ IÓ t&rlo completamente equir.lon\u .., livorom a moomo podçll.o,



llll

MARAVILHAS DA :MATEMATICA

clides admitia que as figuras podiam ser análog-as quanto à forma,

ao tamanho ou a ambos. Quando análogas em forma e tamanho,

Euclides as considerava completamente iguais. Figura s limitadas por

retas são análogas quanto

à

forma, ou semelh ntes (observe-se o uso

desta palavra) quando têm os ângulos equivalentes. São análogas

em tamanho quando, tanto seus lados como seus ângulos, são equi

valentes e encerram superfícies equivalentes. Dois triângulos Podem

encerrar áreas equivalentes, sem que por isso tenham os lados e

ân

gulos equivalentes. A Fig . 29 mostra-nos que, se quisermos usar

as figuras comQ modelos do mundo real, devemos atentar

para

outra

característica importante, além do tamanho e da forma.

· Não perderemos tempo em discutir a utilidade das tentativas eu

clideanas de demonstrar quando dois triângulos têm o mesmo tamanho.

Euclides começou a sua dissecação pelo ponto mais difícil. O pro

cedimento mais lógico é principiar por inquirir de que dados preci

samos para .

traçar

um triângulo, uma vez decidida a sua posição.

Mesmo f artmdo de Un:t ll. l9. ixo

_(Fig.

30)

1

possíy:e traçai: gu.at o

COMO BK TRACA. UM TRIANGULO

o)

Oonheeem·Jo os eomprimentoa doa trila Ladoo.

,. Conhe.·.•m·IO OI comprimenl<>a do doi• lodos • o tamanho do

a n ~ t o

e-.

preendtdo entre êlo1. .. ..

(•)

Conhecem

-se _ comprimento tle um lado e

os tamanhoa

doa dois nruJ

01

q u

" ~ ~ l r o a do11 Jadoo formam com o Lado oonhocldo,

\ ~ f

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41 I

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Uli DAS PRIMlllinAS MANEinAS Dlll UTILIZAR O O.A.SO ~ ) ,

ATRIBUJDA A ' 'ALES

F i ~ .

30

EUCLIDES SEM LÁGRIMAS

2A

.

triângulos, a menos que nos informem qual a posição desejada.

'A

Fig.

30(a)

apresenta dois dêsses triângulos

PQ.Ssíveis,

de que os outros

dois não são mais que inversões. A anato mia doas figuras planas,

segundo a geometria grega, é útil como modêlo do mundo real, porque

revela a equivalência de ângulos, linhas e superfícies fàcilmente m.e-

díveis, com ângulos, linhas e superfícies, difíceis de medir.

As

verdades

aproximadas que apresenta, não são mais que processos de se medir

quantidades insuscetíveis de medição direta. Para descobrir essas

verdades aproximadas, o grego se valia de verdadeiros

truques

de

dissecação, tais como dividir a figura em t riângulos, reconhecer quais

os completamente iguais, e deduzir, dêsses, quais as - inhas e ângulos

equivalentes. Pela s razõ:es apresC' ltadas

"na

página

77

é impossível

descobrir quais os elementos exatamente iguais das figuras traçadas

a régua e compasso. Contornamos êste obstáculo esquecendo a frase

"completamente iguais,

ou

iguais

em

todos os respeitos", e passaremos

a classificar os triângulos em semelhantes (angulos iguais) e não-

semelhantes, equivalentes em área

ou

não equivalentes em área, equi

valentes em tamanho (lados, ângulos e áreas equivalentes) e

não

equivalentes em tamanho. Para serem iguais em todos os respeitos,

os triângulos precisam de ter outra característica comum: a posição.

Dois triângulos equivalentes quanto

à

forma,

à

área, ao tamanho e

à posição, são perfeitamente idênticos, isto é, se con fundem.

Triân-

gulos equivalentes em tamanho, distintos e diversos em posição, po

dem diferir de duas maneiras, conforme sejam

ou

não invertidos, um

em relação ao outro, como reflexos

num

espelho.

O contôrno de dois triângulos que sejam imagens refletidas, I»

dem coincidir, se êlcs forem de vidro ou de tecido estampado, com o

mesmo padrão, de ambos os lados. Se porém, o padrão fôr

diferente

nos dois lados do tecido,

ou

se o vidro fôr espelhado num

loado

só, os

contôrnos não mais coincidirão.

Uma

vez decidida a posição do triângulo , fácil

será

traçá-lo, desde

que se tenha uma das três informações

já

indicadas (Fig. 30).

A primeira informação é o comprimento dos três lados. Conhecidos

os

t ~ ê s

ados de um triângulo, para construí-lo, começa-se por traçar

o pnmetro, depois, com a abertura do compasso igual ao comprimento

de cada um dos outros, traçam-se dois arcos de círculo em tôrnú das

extremidades do primeiro lado traçado. A intersecção dos dois arcos

de círculo

é

a única

extremidade

possível dos outros dois lados.

Se

a soma dos dois lados fôr menor que o primeiro,

os

dois arcos não

se cortarão e o triângulo será impossível.

1hte

método se baseia

no fato de ser a distância de qualquer ponto de uma

circunferência

a seu centro, igual à distância de qualquer outro ponto ao centro

comum.

Esta

definição da circunferência outra

co

isa não é senão a

exposição de

CQWO, J . p r ~ n c í p i o ,

o homem 'traçava círculos 11a' areia -



130

M R VILH S D M TEMáTIC

com duas hastes de madeira (uma das quais era fixada), - unidas

por um pedaço

de corda

(Fig.

18) .

A s egunda in formação necess ária ao traçado de um triângulo

a

do

comprimento

de

dois lados e do ângulo por êles formado.

Co

nhecidos êstes dados, fácil é traçar o triângulo, sendo para isto bas

tante

unir

por uma reta a extremidade dos dois lados conhecidos . Se

o ângulo fôr

maior

que dois ângulos retos, não

será

possível construir

um triângulo que o contenha como elemento seu .

A terceira

in formação que possibilita o traç ado de um tr iângulo

é

o conhecimento de um dos lados e dos dois ângulos a êle adjacentes.

O

triângulo

será

possível se a soma dos dois ângulos conhecidos não

exceder dois retos .

Traçados

os ângulos,

será

o bastante prolongar

as retas que os limitam até se encontrarem. A

Fig

.

30

mostra como

êste processo serviu, desde longa data,

para

a determinação gráfica

da

distância

de

um navio a um ponto da c.osta. ·

Vistos os

três

processos de se construir um triângulo a partir de

tres espécie

ele

informações, podemos enunciar três regras que

ex·

põem as conexões existentes entre os elementos de uma figura, uma

vez . dissecada em

triângulos:

R egra N •

1

dos

Trin11g11los

- Triângulos

de lados equivalentea,

·são

equivalentes em tamanho.

Regra N

0

2 dos TrilÍ11gulos

-

Dois triângulos são equivalentes

em tamanho

se, em um dêles, dois lados e o ângulo com

preendido

entre êles, forem equivalentes aos do outro triân

gulo.

Regra

N • 3

dos Triângulos. -

Dois triângulos serão equiva

lentes em tamanho se um lado e os dois ângulos adjacentes

do

primeiro forem equivalentes a um lado e aos dois ângulos

adjacentes do segundo.

A geometria euclideana tem uma terceira limitação que a

toma

dcsnecessàriamente complicada.

O

geômetra jônio Tales demonstrou

que a relação existente entre os lados correspondentes de dois

triân

gulos semelhantes é sempre a mesma, independente do compri·

mento dêsses lados.

Em

capítulo posterior veremos como êste teorema

permitiu a determinação

da altura

da Grande Pirâmide. Não nos

deve

surpreender,

aliás, o fato de ter sido esta verdade descoberta

em época tão remota. Muito embora ainda não a houvesse formulado,

o homem de

antanho

já

-agia como se a conhecesse, sempre que usava

a geometria para fazer figuras em escala. Reconhecida a veracidade

do teorema, não

é

di ficil deduzir de seu enunciado corolários de

grnnde utilidade. A razão principal

da

complexidade de Euclides

é

tei: c o ~ c a ~ ( )

as

r azões no f m seu ljyro,

i l ~

i l Y ~ S lº pri lcípio,

lllUCLIDES SEM

LAGRIMAS

131

A

causa dêste retardamento

é

fácil de compreender. Euclides tinha

os

movimentos embaraçados pela · cultura social em que vivia. O

m u n ~ ~ dos g ~ e g . o s não era um mundo de juros, consumos de gasolina,

e analtses qmm1cas. As razões não eram entidades famil iares.

Re

presentavam um processo de divisão comumente efetuado num apa

relho muito rígido, o ábaco.

Os

alunos

de

Euclides não podiam

compreendê-las como nós.

Sua dificuldade é, aliás, bem desculpável. Sup onha-se que saibamos

que

o consumo de gasolina de um automóvel é de um litro por 8 qui

lômetros. Para obter o número de quilômetros que se

pod-em

percorrer

sem reabastecimento, basta.multiplicar o número de litros existentes

no tanque,

por

8. Para obter o número

de

litros necessários a uma

viagem, basta dividir o número de quilômetros que se pretende per

correr por

8. Ambos os processos são extremamente fáceis, em nossa

aritmética.

Mas

a aritmética do ábaco

era

diferente. A multiplica

ção de um número próprio por outro

dá

sempre um resultado exato,

obtível

por

adições reiteradas (Fig. 6). Dividir um número próprio

por

outro

equivale a achar quantas vêzes se pode tirar um do outro.

No efetuar desta operação, sobravam, em geral, algumas contas no

Abaco. Raramente se encontrava uma resposta exata. Por isso a

divisão era uma operação muito mais difícil de

se

compreender na

queles tempos, em que os homens julgavam que um número, para ser

~ a i , precisava ser próprio. O próprio Euclides viu-se obrigado a

consagrar todo um livro (o Livro V)

,

à ilustração daquelas regras

tão simples de proporção que, no capítulo precedente, condensamos

na chamada regra diagonal.

Se

desenhardes dois triângulos retân-

I

I

I

I

I

'

Alrura de

50 m ~ r r o s

I

I

I

I

I

25

<---·--

· 75

melros-----·-, .

- - · · - - - · · · - · - - - - - - - - \ 5 O m e l r o s · · · · · · · ~ ~

Plano do horizonre base

l .

. E'J,. 81.

-

DECLIVID DE

DE UM POR TRts .

Bo õ lnrulo formado pela utroda eom o nlvol do horl<On\o 6

A,

t..nrenl<l do A c:: .

8

.. A

flrura

6 também

um h l e r o ~ l l o da dlvlsllo por

B

Para ulilid.·l•

eomo

hl,

muque

o ndmero

de unldadea

a dl;idlr

a6bre

a

l ioh ·

ba••

o moça

a

porpoodicular .

I

elaro que a

perpondicukr valorl

- do

nlor

Npruentado

na bau,

•

I

·-

' •



\

MARAVILHAS

DA

MATEMÁTICA

gulas, o primeiro com

4

centímetros de base por 3 de altura, o segtmdo

com 8 centímetros por 6 de altura e se os comparardes, percebereis,

sem dificuldade, que dois triângulos com lados correspondentes na

mesma razão, não é fenômeno menos compreensível que o de uma

motocicleta ter o mesmo co nsumo de gasol na, 11a S e x t a - ~ ~ i a

Paixão e num dia de Carnaval.

Uma

das relações existentes entre os lados

de

um triângulo

'é,

na vida moderna, quanti dade mui familiar. Encontr âmo-la escrita

à margem das vias férreas e das estradas de rodagem nas imediações

<las

rampas perigosas. Uma declividade de

1

por

10

quer dizer

que se desenhardes

em

escala, um triângulo retângulo, um lado re

presentando o declive da estrada ou da montanha (hipotenusa), outro

representando o nível do horizonte (base), Q ~ ~ ~ Ç ~ g , p e r p e ~ 9 J I > r

a altura

é

um décimo da base, ou: · ·

altura

1

base 10

Em matemática, costuma-se chamar esta razllo, tangente (to â -

gulo

(A)

formado pelo declive com o plano

do

horizonte, e repre

sentá-la

p e l ~

abreviatura

tg A,

que significa:

"Procurai

o número

correspondente a A na tábua das tangentes" (1). Há dois ramos

da matemática particularmente interessados em declividades. 'A tri·

gonometria as tabula, de modo que é sempre possível calcular o valor

de uma distância difícil ou impossível de medir diretamente (como,

por exemplo, a distância da terra à lua) desde que se possa medir o

ângulo e alguma

outra

distância

(por

exemplo, a distância

entre dms pontos

da

terra).

Isto

equivale a utilizar o conhecimento

d.o consumo de gasolina de um automóvel para calcular quantos qui

lometros se pode percorrer sem reabastecimento, ou de qu'3.1ltOS litros

se precisa para percorrer determinada distância, . · .

.

.O

ramo mate_m.ática denominado cálculo diferencial, especia

hza-se em med1r declividades que vergam;

é

comparável a uma arit

mética especializada em calcular distâncias, a partir do consumo de

gasolina de um automóvel que tem o tanque :vasàndo. Se Euclides

fizesse uma idéia

da

importância que as razões assumiriam

o

futuro

de certo faria mais por inseri-las - =<)mo .fazemos. ,......, nas p r i m e i ~

p á g i n ~

Qe

se\

C l ~ S Q

g e o J 1 e ~ r a . -

(1) Se consultarm os uma tAbua de

linhas

trlgonomêtrlcaa naturnla,

veremos

que a tangente de 6'7'

ê

quase

en.tamente 0,1,

Assim a

r a m p ~

de 1

p o ~

10, c o ~ r e s p o n d e a

u m ~ d e c l l y l ~ a e §.'1'

1

.. · · · ·

·

-

d EUCLIDES SEM LAGRIMAS

133

fo TODO DE EUCLIDES

Se eu fôsse o Doutor Watson, e Sherlock Holmes, como era seu

costume, me dissesse: ccê conhece os meus métodos, Watson",

retrucaria, incontinenti: - "Ignoro-os, meu senhor.

Faça

o favor

de mos explicar". Euclides, como ·vimos, valia-se de um truque para

descobrir as conexões existentes entre os vários órgãos (linhas, ângu

los e superfícies) das figura s morta s: dissecava-as em triângulos. Co

nhecidos

um

ou dois lados de cada, não precisava veri ficar a equiva

lência dos ângulos para declarar a equivalência dos triângulos. O

grau pastoril, baseado no calendário das estações, não tem o menor

'r,J.lor

para o reconhecimento da equivalência dos ângulos. Os geô

metras das cidades-estados usavam, para .comparar o tamanho dos

ângulos, o chamado ângulo urbano dos const rutores de templos. ( Fig.

~ 2 ) : A 4 e . H J 1 Í S ~ Q de ângulo reto proposta por Euclides equivale a

Nível

de bô/ha

io e prumo

Horizonle

l lr. 82. - OOMO BE APRENDE A SOMAR

NGUL09,

dizer que o espaço compreendido entre o fio de prumo e o nível do ho

rizonte é o mesmo em qualquer direção. Não é preciso passar cinco anos

entre

os

sábios

do

Egito para descobr ir esta verdade. Dois ângul-os

perfazem um ângulo reto (900) se um representa a inclinação de uma

estaca oblíqua sôbre o horizonte, e o outro a inclinação

da

mesma

estaca em relação a

um

fio de prumo. Se estudardes as legendas da

Fig. 33, pouca dificuldade tereis em apreender as duas regras que a

geometria aplica ao reconhecimento

da

equivalência dos ângulos. Ei-las:

Regra N • 1 dos A11gulos

-

Quando duas retas ·se encontram

sôbre o mesmo ponto de uma terceira, a s oma dos três ân

gulos formados é igual a dois retos, ou 180>.

' ~ e g r a

N • 2

dos A1tgulos - Quando duas retas se c;ortam, os

ângulos o ~ o s t o s pelo y ~ r t i c e são iguais.



MARAVILHAS

DA

MATEMÁTICA

Duas

outras

regras aplicáveis ao reconhecimento

da

equivalência

de dois ângulos, evocam ao espírito uma

quarta

limitação

da

geometria

de Euclides. Euclides defini a as paralelas como retas que, por mais

que se prolonguem, jamais se encontrarão. Esta definição, depois

ele conduzir-nos

ao sétimo céu, abandona-nos, como Platão, no espaço.

Porque a verdade é que não conhecemos nenhuma superfície tão plana

que nos

permita

prolongar indefinidamente duas linhas, conservan

do -as retas. Nossos desenhos são feitos em pedaços tão reduzidos

da terra que, em comparação com o restante, nos parecem realmente

planos.

A

moderna astronomia ensina-nos que não . seriam as para

lelas euclideanas o gênero de linhas capazes de alcançar as mais remotas

estrêlas, se êste emprêgo lhes déssemos. Muito mais lógico é começar

por itHluirir como se pode reconhecer quando duas linhas são paralelas.

Uma das maneiras de se fazer êste reconhecimento é fixar

que duas vigas são paralelas, quando igualmente inclinadas ~ ô r e uma

terceira em que ambas se apóiam, ou, em linguagem técnica, quando os

ângulos con:espondentes são equivalentes

(Fig. 33).

:Voltando à Fig. 12

(I) REGRA N.• 1 DOS ANGUJ ·OB.

O Anrulo do melo 6 90• -o U • •

ou

18 °

c

Os tt·h nrulo• junto perfazem

(180 - •

+ +

c =

180°

11)

REGRA N.• 2 DOS ANGUL09,

A

IIJuro

foi deunh•4• duu Yh . '

<:omp rando ·as TemM que:

·

18 ° a

=

18 ° c ,'

a

c.

P:s lngnloe a e c

l o chamad

o• a

•

iuloo

opoo\oo pelo y611loo.

(i

)

111)

AS

DUAS REGRAS DAS

PARALELAS.

(o)

Vorlflt11ndo o

poral

cllomo do duu

vl,oo

.

bl Moolrando quaio

oo lnrul

o• equivalent.eo, qulaquer quó

tolam tu l

poaloen.

Fie

. sa

EUCLIDES SEM L l G R I M ~

135

. .

\

e comparando-a com a Fig. 33, vereis que êste é o princípio

em

que se

baseia a utilização do astrolábio,

na

medição do ângulo que uma colina

ou uma

estréia fazem com o horizonte. A

REGRA

N .• 2 DOS ÂN

GULOS in forma -nos que também os ângulos alternos inte

n1os (a

e c

na Fig.

33) são equivalentes, o que nos

dá

duas ·novas

regras

sôbre

~ n u l o s equivalentes:

Regra N .•

do

Paralelismo. -

Quando

uma

reta corta

duas

paralelas, os ângulos correspondc11les que

forma

são equi

valentes.

Reg T a N .• 2 do Paralelismo. -

Quando

uma reta corta duas

paralelas, forma ângulos altcrnos intemos equivalentes.

Quanto à equivalência de duas l inhas - evidente quando se

trata de lados correspondentes de triângulos equivalentes, ou de la

dos do mesmo quadrado, ou de lados equivalentes

de

um

triângulo

i sósceles - há u'a maneira de descobri-la, já usada neste livro. Uma

segu·nda regra, aliás, existe, que nem mencionaríamos, se não nos

aju

d a s ~ a safar-nos de uma grande dificuldade. Para verificar a equi

valência de dois triângulos, é indispensável reconhecer ao menos um

lado equivalente. Se dissecamos

uma

figura, em que somos incapazes de

reconhecer um lado equivalente sequer, cumpre-nos desmembrá-la em

dois triângulos,

por

meio de

uma

reta qualquer.

Os

dois triângulos for

mados

terão

necessàriamente um lado em comum, o que quer dizer

que

um

dos lados do primeiro

triângulo

será equivalente a

um

dos

lados do sugundo. '

Euclides usava um terceiro

truque

,

para

nós desnecessário.

Po

demos contr.ntar-nos com as duas regras que daremos a seguir . A

que um dos lados do primeiro triângulo será equivalente a um dos lados

do segundo.

Regra N .•

das

Retas. -

Duas

retas são equivalentes, quando

raios do mesmo círculo.

Regro N .• 2 das Retas. - Se

unirdes por

uma

reta dois dos

vértices

de

uma figura, dividi-la-eis em 2 figuras t endo

um

lado comum: a reta. que traçastes .

Haverá,

assim, ao menos

um

lado da primeira figura, equivalente a

um

lado da se

gunda.

Para compldar o nosso estu(lo sôbre a dissecação, só nos ·falta

saber dissecar o círculo. O círculo pode

ser

dissecado, ou em

setores

'(o que se faz traçando-se

os raios),

ou em

s e g m e t ~ l o s circulares

(o que se faz unindo-se por

uma reta

dois pontos

da circunferên

cia). A face curva dos setores e segmentos circulares chama-se

arco, Uma reta que, partindo de um ponto da circunferênc\a ; passa



186


pelo

centro do círculo_ vai terminar no outro extremo da drcunferên·

cia, chama-se d í â m ~ t r o ; sua propriedade é dividir o círculo

em

duas

partes iguais, os semi-círculos.

Até agora, ainda não falamos sôbre o retângulo. Nãd obstante,

um elemento imprescindível na dissecação das figuras. Par a traçá-lo,

é suficiente saber que é uma figura fechada, limitada por quatro retas

paralelas duas a duas, e

que

possui um ângulo reto. · A

Regra N.•

1 do

Paralelismo mostra-nos, porém, que, nos quadriláteros desta

natureza,

se

:Uill

ângu o reto,

os

outros três

~ a l l b ~ U 1

Q

~ e r o .

{ ~ J : ·

34,

(f))

. ~

/ Arco

\

r P Paralela a

o

AH

1:1 3

.,"t>

~ : : .

o 3

ª

\90°

c

0

A Compnmento B

dado

(e)

(b)

(d)

I F I

:(rrr)

aça

llt-1

:

:para ter

DC

r·-

paralela

a

AB:--

I

d

' - ~ · • . I C\

' ( i i ) [ ] ( ; ; ) · --

Meça

AD

· Faça lb-l l

perpen- para ter C

dicu lar

a

B

•, •,

paralela

' b •

·····--

a

, .

. . L ~ . f i . _ Q

l (i)

Meça AB

1 .

< >

I

Fie.

H. - ANATOMIA DO OIIÚJULO I DO RBlTANGULO.

LF.I ASNOTA. - Paro to-açar

o• lados parel<loo

utlllu a REGRA n • 1 DAS PARJ.

' r & ~ l . o o m c ç a o d o por

h16r

4 ~ o • .

P•rllodo

dh t t modo,

TOl'il

q u ~ lodo• 01

o ~ ; u l o ;

i

EUCLIDES SEM LÃGRIMAS

131

. São muito

poucas

as regras geométricas

que

permitiram

aos su

~ e s s o r e s

dos gregos inventar linguagens de grandezas mais úteis

e·

menos trabalhosas tais

como

a trigonometria e a álgebra. Par a nós,

1erá suficiente uma dúzia delas. Dispo-las-emos em três classes, se

gundo o contexto social em

que se

originaram. Euclides denominava

teorema

a apresentação

de

uma regra acêrca

de

figuras. Segundo ·o.

materialista Demócrito, chama-la-emas demonstração. Grupa-las-emcs.

;egundo o

modo

pelo

qual

foram primeiro usadas e reconhecidas, assim:

Quatro demonstrações de agrimensura, quatro demonstrações de

medi-

'ões de sombras,

com

propósitos arquitetônicos e quatro demonstraçõe

óe astronomia, ou de ciência calendária. Antes, porém, cumpre apren

der a aplicar as três regras sôbre triângulos, para

que

possamos

com

preender os três métodos de dissecação que essas demonstrações tn·

~ o l v e m .

Não . s ~ P?de ser anatomista sem antes aprender

a

usar

mstrumentos Cirurg1cos.

REGRAS DE DISSECAÇÃO

(a) Como

dissecar tmgulo ém

dois

ri11gulos equivalentes.

( Bissecção).

,Vimos, no Capítul_o

2,

que êste problema surgiu quando os

arqtutetos de templos tiveram de traçar o meridiano sôbre a areia

p ~ r a

que

o templo ficasse

~ o r r e t a m e n t e

orientado. Comparai a Fig:

J:J (a) com a F1g. 9. A F1g. 35 mostra-nos

como

êles determinavam

k l i ~ ~ a L e s t e - O e s t ~ , _in_dicadora _do poente no dia da grandt: festa da

lertii1dade: o Equmocw da Pnmavera. Os dois triângulos BOP e-

t\OP são

e q ~ i v a l e n t e s

porque

os

três lados do primeiro são equiva

lentes aos tres lados do segundo. Como os raios dos três círculos

traçados em tôrno dos pontos

A, B

e O são equivalentes (pois gue

desenhados

Com

o

mesmo

pedaço

de

corda), · ·

BP = P}

BO = A O

OP = OP

(Regra N.

0

1 das Relns)

(Regra N.

0

2 das Retas)

Assim,

dois

triângulos

BOP

e

AOP

sendo

eq

uivalentes em

~ m a n h o o angulo BOP formado por BO e OP é equivalente a<>

a ~ g u l o

A_?P

for,mado

pelos

lados correspondentes AO e OP . Na

figura o angulo e de 85°, mas, para qualquer ângulo, o método seria

D mesmo.

, ( b) C o m ~ baixar

mna

perpendiwlar sôbre

Ht.tla

reta.

_

O

~ e ~ o d o se b a ~ e 1 a ua observação do oscilar do fio de prumo. O fio

md1ca a vertical quando na posição média de suas

o s ~ l a _ ~ > _ \ i í e s .

Na



138

MARAVILHAS

DA MATEM1TICA

figura

35

b),

P é o ponto de

que

se deseja

baixar

uma perpendicular

sâbre a reta CD .

Em

primeiro lugar, traça-se um círculo qualquer,.

com centro em P , que corte a reta CD nos pontos A e B . Depois,

acha-se a bissetriz isto é, faz-se a bissecção) do ângulo PAB me·

diante o primeiro método

de

bis secção: traça-se , assim,

PO

.

E'

claro que os ângulos OPB e OPA

s ~ r ã o

equivalente

s.

Comparando

os

dois triângulos

BOP

e

AOP

vemos

que:

PA

PB

(Rrgra N.• 1

das

Retas)

PO

PO (Regra N . 2 das Retas)

Angulo APO Ângulo OPB

p

I

)o

x

I

/

I

C __ A

_

Bolu ndo, do ponto P, nma

porpend icullu.

I

/

I

II

; ; '

I

o)

Leftnt&ndo, do ponto

P

41

uma

et

uma perpendicular.

Fi . 35. - REGRAS DE BISSECÇ.lO.

EUCLIDES SEM L GRlMAS I

13,

Segundo a Regra N.• 2

dos

Triângulos, os dois triângulos são

r quivalentes em tamanho, portanto, o ângulo POB, formado por PO e

OB, é equivalente ao ângulo POA formado pelos lados correspon

dentes PO e OA. Quando uma reta incide sôbre

outra

formando

dois ângulos equivalentes, êsses dois ângulos

são

necessàriamente

retos. Assim sendo, PO é perpendicular a CD, isto é, forma com

CD um ângulo reto.

(c) Como

levantar,

de

u ponto de

uma

reta,

uma

perpendi-

cular a ela - O problema consiste em achar o ponto

de

suspensão

do fio de prumo que, em sua posição vertical, passaria pelo ponto

do

.-qual se quer levantar a perpendicular. Na •figura

35

(c) P é o

ponto de onde se deseja levantar a perpendicular à reta AB, isto é,

levantar uma reta que forme com AB um ângulo reto. Começa-se

por traçar, com centro em P, um círculo de raio r que corte AB em

C e D. Depois, com centro em

C,

traça-se um círculo maior, de raio R,

e o mesmo círculo, com centro em D. Os triângulos COP e DOP

terão, em virtude da Regra N .• 1 dos Trrongulos, equivalentes pois:

CO

R=

DO

P r DP

OP OP

Nestes dois triângulos equivalentes, os ângulos OPD e OPC são

eorrespondentes, e pois, equivalentes. Assim sendo,

OP

forma com

AB um ângulo reto. . ·

Antes de darmos início às nossas demonstrações o leitor dcvt

decorar as nove regras que enunciamos : as 3 regras dos triângulos,

as 2 dos ângulos, as 2 de ·paralelismo e as 2 das retas.

QUATRO DEMONSTRAÇOIDS DE AGRIMENSURA

As três primeiras .demonstrações apresentadas por Euclides nos

livros I,

II

e VI, já eram conhecidas pelos Egípcios e Sumerianos

há dois mil anos . A última, apresentada no

II

Livro,

é,

provàvel

rnente, de origem greg-a e muito mais recente.

Referem

-se tôdas l·

medição das áreas e naturalmente foram inspiradas pelo cálculo da

superffcie de tratos de terra.

Partindo

da primitiva unidade de me

dida, o espaço plano contido num quadrado, podemos mostrar como

se calcula a área de um retângulo, pela soma de

uma

trama de

~ u d r d o s e, também, como obter um retângulo duas vêzes maior

que um triângulo retângulo dado. Isto nos permite calcular a área

Cle qualquer triângulo retângulo . A seg'Uir demonstramos que qual

quer

triângulo pode ser subdividido em dois triângulos retângulos.

Isto

nos permite calcular a área de qualquer triângt:lo. Q ualquer

'figura limira.da

por

lados retos pode

ser

subdividida em triângulos



HO


(F

. 36) Com êste conhecimento podemos medir a superfí cie de

g.

.

qualquer terreno, seja qual fôr a sua

fonm,

desde que tenha lados

retos, 9. tru9.ue de Eucli<:les, é,

P:9is,

o método do agrimensor.

'Ir.

Sabendo oaleular

a

&ru dt 11m \riln(ulo qulquer, :POdtmOI medir • 111plll llole 44

•••1quer terreno deidfl QUI llmlt.ad.o por

ltnbu

re\11

Além de modelos de medição de terra, essas demonstrações são

modelos do modo de se efetuar cálculos. A segunda e última, por

exemplo, sugerem algumas maneiras de abreviar o trabalho no ábaco.

Mais tarde, essas mesmas demonstrações levaram os Arabes a inventar

as regras de cálculo que hoje usamos. Chamâmo-la s de Algebra.

Conquanto

poss-a

parecer mais lógico partir da conexão existente entre

o retângulo e o quadrado, começaremos por estudar a

relação entre

o triângulo retângulo e o retângulo, porque para demonstrar como

se calcula a área do retângulo, precisaremos de algo que depende da

referida relação.

Demonstração

1

A

diagonal do retângulo divide-o em dois triângulos retângulos

equivalentes .

Na Fig. 37, AC

é,a

diagonal do retângulo ABCD. Vimos que

todos

os

ângulos do retângulo são retos. (Fig. 34). Assim sendo, os

triângulos ABC e

ADC

são retân:;:ulos, e nêles:

(I) AC = d =AC (Regra N • 2

das

Retas)

{II)

ângulo CAB

=

ângulo

ACD

(Regra

N •

2

de

Paralelismo,

vide

Fig. 33) (iii)

{III)

ângulo BCA = ângulo CAD (Regrq N • 2

de

Paralelismo, vide

Fig. 33) (iii)

Comparando

(v)

da Fig. 37 com (c) da Fig. 30, vemos, pela

Regra

N •

3 de

Triâ gulos que os triângulos ABC ( ADC são equi

.

EUCLIDES

SEM LÁGRIMAS

141

valentes. Podemos ainda exprim ir a mesma conclusão dizendo

que:

•SabetJdo calcular a área de um retângulo, poderemos calcular a área de

q wlq er triângulo retângulo, construi do o retângulo, wjo comprimen-

to e largura, sejam equivaletltes

aos

dois catetos.

Desta demonstração

decorrem do is corolários muito importantes:

(a)

Os lados opostos

de

um retâ gulo são equivalentes. -

Como

os dois triângulos são equivalentes em tamanho, os lados correspon

dentes AB,

AC

e

DC

(AC sendo lado comum aos dois ângulos equi

valentes CAB e

ACD)

são equivalentes.

Quanto

aos lados corres

pondentes,

AD

e BC, também são iguais.

(b) As perpmdiculares que mmn duas paralelas são equivalentes.

- A figura

37

(vi) mostra porque AB e

DE

são paralelas. Sendo

AD e BC perpendiculares, fqrmam ângulos correspondentes equiva

lentes

(Regra N .• 1 de Paralelismo),

e são, pois, paralel as. Assim

sendo, ABCD tem lados opostos paralelos, e como tem

também

um

ângulo reto,

é

um retângulo.

Portanto

os lados opostos

1\P e BC

equivalentes. ·

(i)

~ o B

u

~ C Q

Q,

D Paralela a

C

AB

: : , ~ - - -

D (iii)

C',,

(i

v)

. . A

(i

)

~ B

D C

A dissecção consiste

em traçar a

diagona

o

u '

' \ . ,.. .

. · o·b·. . · ~ . J

••

...

a

cf_\ 41

: uii) ;

Fi,.

37, -

DEMONSTRA.CAO 1,



142

MARAVILHAS DA MATEM.lTICA

Demonstração 2

Se se divide um lado de um retângulo em dois segmentos quais

quer, sua área total será equivalente à soma das áreas dos retângulm

formados pelo lado não-dividido e cada segmento do lado dividido'' .

O

lado AB de comprimento B, do retângulo representado na Fig

38

(i)

é dividido em três segmentos

AP,

PQ e QB, com l m e uni

dades de comprimento, respectivamente. A Fig. 38 (ii) mostra romo

faz a dissecação, baixando dos pontos P e Q perpendiculares

ao

lado

oposto.

Isto

divide a figura em três retângu los. Como os ladm

opostos do retângulo são equivalentes (Demonstração 1 (a)), as per

pendiculares são equivalentes a H, lado inteiro do retângulo. E'

evidente, pois, que:

A área

de

todo o retângulo H por B = Soma das áreas

doe

retângulos H por l, H por m e H por tt.

A P

Q

B

t

I

I rtlângulo completo

H

'

j H

por

B

t

Lê--,- _-_.•-. ---.-_-;8::---.-----------------._

- . ~ - · t t

unidades •

•

: ~ a L - - ~ ~ - - ~ ~ - - t

c

----- . ·- -- -

Hp r I

H

por

m

(i

)

(iv)

l \ Area

da

wângulo I

const1tuida

dt J faixaa

retangulares,

~ ~ ~

I

I

I

Hporn

H

I

I

I

I

I

,

(iii) v)

· --------- b

________

__ .

t

~ - - a - - - . . ~ - - -

b

- a - - - ~

I

I

h

·I

I

I

t ~ ~ - - - - - - - - - ~

(vii)

Cada faixa rem , de

largura

1

untdade, e

é

dividida em x

quadrados de unidade

de

lado.

(vr) Perfazendo

rodo y

vézes x

unidades quadradas

de nrcn.

i'lr

,

SB

-

DlliMONSTRAÇl.O

I,

EUCLIDES SEM L.tGRI.

MAS

141

Imaginemo-nos egípcios ou sumerianos. Cumpre-nos descobrir

l nossa própria custa que a palavra

por

significa o mesmo que

multiplicar .

Para

descobri-lo desenhamos um retângulo

em

es

cala (Fig. 38 (iii)) e dividimos um dos lados em x unidades de com

primento e o outro em y unidades de comprimento (compare-se a

Fig.

24

em que x = 4 e

y

= 3) . Se atentardes nas figuras 38 iv,

v e vi) , vereis que podemos escrever :

HB unidades de área

= (Hl

+ Hm + Hn) unidades de área,

e como

podemos, ainda, escrever :

H I+ m + n) =

Hl +

Hm

+

Hn

Se subtrairmos o pequeno retângulo h por a em (vii) do retân

cuJo

h

por b obteremos, do mesmo modo:

h b a) = hb -

ha

{fi)

Essas duas conclusões podem ser usadas para abri:viar o trabalho

de multiplicação no ábaco. A princípio,

m u l t i p l i ~ r

36 por 25

s i ~ i

fica.va rontar

25

vêzes

36

sem recolocar as mtssangas na postçao

primitiva. Na Idade Média, quando

já

se começava a usar os

meros arábicos, mas ainda r:ão era hábito decorar a tabuada de multt

plieação,

a tábua de multiplicação por 2 já era sabida de cor e

usada na efetuação de uma multiplicação muito simples, a chamada

d t ~ p l i c a ç ã o . Graças a (a) podemos escrever:

36 X 25

=

36

(16

+ + )

E efetuar a operação por partes, assim:

36

X 2=

36

+

36

36 X

4= 72

72

36 X

8 = 144 + 144

36 X

16

=

288 + 288

36 X 16 = 576

36

X 8 288

36

X 1 -

36

900

72

144

288

=

576



144

MARAVILHAS DA MATEMA.TICA

Na antiguidade, outro método

de

multiplicar parece ter encon

trado. alguma aceitação, pois que os povos primitivos, - como as

de N1ppur o demonstram - deram-se

ao

trabalho

de

compilar

tábua&

de quadrados. E' lícito escrever:

25 X

36 =

25

(25 +

1)

E, da mesma maneira:

25 X

36 =

25

2

+

11 · (25)

=

25'

+

11 · (11

+

4)

- 25

2

+

1p

+

11 . (14) = 25

2

+

1P

+

11 . (11

+

)

25

2

+

1

p

+

1

p

+

3 (

11)

-

25• +

1

2 +

1

2 + 3 ( 3+ 3+

3

+ )

-

25

2

+ 11' + 1)2 + 3• + 3

2

+ 3

2

+ 3 . (2)

E, consult-ando a tábua de quadrados, teríamos:

625

+

121

+

121

+

9

+

9

+

9

+

6

sendo a última operação efetuada

de

cabeça.

A arlição final, feita

no

ábaco, daria o re&ultado correto 900.

A

área

de

um

triângulo é a mel'ade

do

produto

de um

lado

pela

perpendicular baixada do vértice oposto",

, Partindo do espaço plano encerrado num quadrado, oomo medida

da area, aprendemos a calcular a área de um - retângulo e a de um

triângulo retângulo. Vamos agora aprender a calcular a área (A)

de

um

triângulo qualquer. A dissecação ·a fazer é muito simple,

(Fig

.

39).

(i) Se nenhum dos ângulos é maior que 90", baixa-se uma per

pendicular

do

vértice sôbre

a

base. Isto subdivide o triângulo em

2

triâng

ulos

retângulos. Cada

um

dêles ,

em

virtude

d

Demonstração

1,

equiv

ale

a metade da área

de

um retângulo. E

como

a área de um

retângulo, em virtude da Demonstração 2, é igual ao produto

dos

lados

Mas, v1mos

que

A = px + PY

-

flx

+

PY

= p (x

+

y) Dem . 2(a)'

A -- H

( ; r+ y)

ou A Hb

EUCLIDI lS SEM LÁGRIMAS

HG

(ii)

Se um

dos ângulos fôr maior que 90", baixa-se uma per

pendicular sôbre o prolongamento da base (como na Fig . 39(ii)).

Teremos:

A

=

p (b +

) -

x

=

= (Jb + x

- t

x

ou A = pb

(a)

Além de ensinar a medir a área de um triângulo, esta

demonstração contribui para a descoberta

de

um princípio importan

tíssimo

de

"medição de sombras" (Dem.

7).

Se um triângulo (área

A) tem por base B unidades de

comprim< nto

e por altura p e outro

triângulo (área

a)

tem por

lYase

b unidades

de

comprimento e

a

mesma altura p a relação existente entre suas áreas pode ser expressa

dêste modo_

A

a

B

b

Isto

e

a razão das 'áreas le triângulos de

meS11W

aliura, é iguaL

d

razão de suas

bases.

Para

a importa·ntíssima demonstração a que

nos referimos, precisamos saber reconhecer quando dois triângulos

têm

a mesma altura. Para isto existem duas regras:

(b) TriâtJglllos com base sôbre a mesma

,-el

a e

v ~ r t i e s

110

mesmo ponto, têm necessàriamet1te a mesma altura.

E' o

que se pode

ver na Fig.

39

(iv). Os triângulos ABC,

ABE

,

AED, ADC, AEC e ABD têm todos a mesma altura.

(c) Os triâllgJtlos de base comum terão trecessàriametJte a mes-

tna altura, se os se11s vértices se acharem todos sôbre uma

mesm<1

l-inha,

paralela d base.

E'

o

que se vê

na

Fig

.

39

(iii). Vimos, na Demonstração

1 (b)

que as perpendiculares que unem duas paralelas

são

equivalentes.

Demonstração 4 (Como dissecar

um

quadrado)

Se se

divide o lado

de um

quadrado em dois segmentos, a área

rio quadrado será equivalente

à

soma das áreas

el

os quadrados cujos

lados são os dois segmentos, mais duas vêzes a área

do

retângulo de

lados iguais

aos

dois segmentos".

Um quadrado é um retângulo de lados equivalentes (o que seria

imediatamente perceptível , não fôsse a confusão dos têrmos). Na

Fig. 40 (i), dividiu-se o lado AB do quadrado grande em dois seg

mentos, AP (de y unidades de comprimento) e PB

(d

e

.t'

uniclaclcs

de comprimento) . Portanto, o comprimento

AB

é

(.t' +

y). O

mesmo

se fêz

ao

lado BC. Dos pontos P e

Q,

baixaram-se perpen-



l

MARAVILHAS DA MATEM·ATICA

-.-x-- ..

------1}-----

(i)

p

.-----·

b+Jf

,,_.,,.

(i

)

8

(i

i ) (iv

INr. Si. - DElfONSTRAOlO 8

· J f · • · .

c

J

d i ~ u l r e s

aos lados opostos. Cada uma delas aivide o quadrado

m

d_01s retângulos. Fácil é deduzir o comprimento dos lados das quatro

f1gurás formadas, atendendo-se ao fato de que os lados opostos

de u

retângulo são equivalentes.

A

á r e ~

do

quadrado maior

é

AB

X

BA, ou

.

x

+

y)•.

~ o s -

tra- _105

a 1gura que: ·

x +

2

unidades de área

=

x• + . ry + ) das mesmas unidades de área,

isto é:

EUCLIDES SEM LÃGnTMAS

H l

Por

l1J1Ya

demonstração iemelhante

(Fig

. 40

(ii)),

chega-se

a;

x•

y• = x - y ) x + x - y ) y

Aplicando-se a Demonstração 2 (a):

x

1 -

y

=

x

y)

(x

+

)

Veremos no capítulo 7 que as espécies de multiplicação repre

sentadas hieroglificamente por estas figuras desempenharam um papel

muito importante na descoberta da Algebra.

Será

conveniente para

o leitor conferir pessoalmente essas regras de multiplicação, efe

tuando-as em exemplos numéricos, verbi gratia:

(a) (3 + 4)3 = 7• =

3 +

2

(3

X 4)

+

4

1

- (9 + 4

+

16) = 49

(b) 7

1

-

4 = 33 - 7 - 4) (7

+

4)

Esta demonstração não é mais que simples aplicação da regra d(

calcular a área de um retângulo. Ignora-se se,

em

outros tempos,

o homem a utilizou em seus trabalhos de agrimensura. Utilizavam-na

os

antigos

para

abreviar o trabalho de · multiplicação no ábaco,

ins-

i )

'

I

xz =

x(

x-y)

__ ___

_

__

· ·

· · ~

(i

1'11.

(0,

- DEMONSTRAQlO

(.

Erumento imprescindível enquanto não se inventou uma: e5crita. nu·

mera que possi·bilitasse os cálculos diretos. Nicômaco de Alexan

dria

(100

d. _

CJ

explica com() se utilizava a dernogs ralãp, 9uan.do



148

M R V I L H ~

DA

MATEMATICA

os

matemáticos (que dizer

do

homem do povo?) ainda

não

sabiam

a tábua de

multiplicar. Vejamos dois exemplos:

(a)

Para multiplicar 37 por 25, achava-se o número eqüidis

tante de ambos (isto

é,

o número

do

meio) -

no

caso

em

aprêço

- e depois escrevia-se: · · ·

37

X 25

=

(31-6)(31+6)

Isto feito, o único trabalho é procurar o quadrado de

31

e o (te 6

nas velhas tábuas de quadrados - como as encontradas em Nippur

(2000 a. C.) e subtrair o segundo do primeiro, o qne é muito mais

simples que

os

métodos apresentados para ilustrar o uso da Demons

tração

2.

37X25=3l2-6 =925 (Confira o resultado). Agora,

vamos proceder

à

multiplicação de

36

por

25

. Não existe número

inteiro eqüidistante dos dois fatôres, de modo que se tem de usar o

número

mais

próximo de

36, como

por exemplo:

36

X 25 = (37

- 1 ) 25 =

(37 X 25 -

25

(Dem. 2 b))

=

3p - 6· · - 25

=

900

O número eqüidistante

de

dois outros dados é denominado mé w

aritmética

·

Não há quantidade,

em

tôda a linguagem

de

grandezas,

mais

mal empregada pelos políticos,

do que

ela . Se a e b são d o i ~

números, sua média aritmética

é

( a+ b);

se a

37 e

=

25, a

média aritmética será (37

+

25) = (62) = 31. Para

os

valores

36 e 25 a média aritmética será 30 .

(b Esta forma de abreviar o trabalho

no

ábaco acentuou a

necessidade

de boas

tábuas de quadrados. O interessante é que a

mesma fórmula

pode

simplificar-lhes o cômputo. Suponha-se, por ·

exemplo,

que já

conhecemos os quadrados dos números

de

1 a 100,

e queremos estender a tabela até valores maiores, segundo a reco

mendação

do

próprio Nicômaco. Para obter o quadrado de

wn

nú

mero maior de 100, por exemplo, 118, procede-se assim:

(118)

2

(118)

2

-

(18)

2

=

(118-18)

(118

+

18)

.(100) (136)

+

(18)

2

=

13 924

Multiplicar por

dez,

cem,

mil

ou qualquer outro múltiplo de dez,

no ábaco, é muito mais simples

que

multiplicar por outro número

qualquer, pelo menos para os que adotam a escrita decimal. Assim

sendo, o processo que acabamos

de

apresentar permite

o lte1:

sul-

tados <:O l} uma rapidez muilo maior.


149

QUATRO DEMONSTRAÇOES DE MEDl?ÃO DE SOMBRAS

Para

nós,

produtos urbanos da civilização nórdica, h a b i ~ u a d o s a

morar em

casas de

grandes janelas, dotadas

de

todo o conforto

mo-

derno,

com

gás, luz elétrica, relógios e até

m.esmo

(ao m e ~ o s p ~ r a

os

mais

felizes) geladeiras

e

aspiradores

de po, be _1 .c

.

usta_

I m a ~ m a r

a

importância

que

tinham luz e sombra, ~ a s v e l h ~ s c i V I h ~ a ç o e s c;Iadoras

das primeiras cidades de pedra. . ~ o J e em dm, precisamos m v e n t a ~

experiências

que

mostrem aos menmos que a luz, atravess.ando uma

fresta caminha segundo uma trajetóri a reta, e que

os

raws

do sol

são

p ~ r a l e l o s . Os primeiros habitantes de cidades, que tinham a p e n a ~

por janelas estreitos orifícios pelos quais a luz .d?

sol

e o l u ~ r

coavam fazendo cintilar a poeira 'em suspensão, vivtam na abundancta

da

lu

z

~ o l a r

que projetava sombras

l o n ~ a s

e nítidas, b e m . , d e f i t ~ i d a s na

areia. Não precisavam de quem lhes dtssesse que a luz c a m m h ~ se-

gundo trajetórias retas" ou que. ~ a i o s de ~ u z provindos de objetos

muito distantes formam entre

st

angulos tao pequenos que

bem

se

pode considerá-los paralelos P.odiam. percebê-lo à própria custa,

a qnalquer hora do dia

ou

da nmte

(Ftg. 41).

Quando Tales visitou o Egito e calculou a altura da G r a n ~ e

Pirâmide meuindo-lhe a sombra, a velha civilização do Nilo

já

havia

sucumbido, sucessivamente, aos assírios e .aos h i t i t a ~ Conquant? ~ o s

afirmem as crônicas de seu tempo ter e ~ e . m a r a v 1 l ~ a d o os egipctos

com

êste proceder,

não

resta a menor duvida que ele empregara o

U

Quanto

nuta

dhh nto um corpo celeste, menor .o

l n ~ l n .

~ 1 1 L i l D ~ l o s niM

.

d•

kla prov enien te de a ns extremidades. Quando a

du;

tnn

c

ll\ c 1\ l ln granüe, os I

paruom

'P&taleloa. O

l.ngulo existente entre o a

doi pontos . maia

a { a . t a d ~ s

do

d 1 ~ ~

aolar,

ou lnnr.r (t. l

com, 6 ob ervado da

t rra) é de np

cna .

me10

grau,

l l p r o ~ t m e . d a m e n t e .

O .

par•tellamo

doa raios do a.ol ou da lua .ora um

c t m e n ~ o

comunisstmo para. o•

llomen. quo .iriam a n \ o ~ da i n v e n ç ~ o do ndro, em easa• de 1anolas alt.aa • oalr&Jkt.



160

M R VILH S

D

M TEMJTIC

mesmo

pnnCJpiO de

medição arquitetôniL-a adotado

pelos

construtores

das pirâmides. A arte de medir sombras era uma das grandes arte

da antiguidade. A geometria do triângulo resultou da prática da

medição da sombra para fins arquitetônicos, clo mesmo modo

que

a

geometria do retângulo resultou da prática de medir a superfície dos

terrenos, com o fito

de

taxar o pequeno lavrador. A geometria es·

tava

em

pleno florescer, no Egito e na Mesopotâmia, quando

oo

povot

nórrl i

cos

erigiram aquêles drculos e avenidas de pedra que ainda hoje

se

podem ver em Devon

f'.

Cornwall, províncias a que aportavam GS

navios fenícios em busca de estanho. Aliás,

em

tôdas

as

regiões

em

que êste metal era abundante, encontram-se ruínas de inúmeras aldeias

totalmente constituídas de choupanas de pedra. Os nórdicos, como

os bantus, jamais construíram templos ou cidades por iniciativa

prÓ·

pria. O atra so dos habitantes da Europa setentrional

não

era devido

à sua estupidez - como cria Aristóteles, o apóstolo da escravatura, -

ou como ensinava o culto Said de Toledo na época em que os mouros

construíam

m ~ g n í f i o s lYalneários

destinados a serem destmídos

pelos

mesmos conquistadores nórdicos que, expulsan{lo os judeus, introdu

dram na arte espanhola o odor de santidade

que

ela até hoje conse

rva.

Aristóteles e Said tinham tanta razão em desprezar o nórdico, quanto

os civili zados modernos que espezinham

os

bantus. Todos êsses cri·

ticos severos esquecem-

se de

tomar

em

consideração

as

condições

ma

teriais que possibilitaram o advento das civilizações. Todo progresso

era impossível. antes de se descobrir a arte de registrar o tempo.

Nas regiões em

que

o quadrante solar não podia ser mais

que

um

enfeite de jarrlim, a vida metropolitana e a lavoura

pouco

progrediram

tté o dia em que uma casta sacerdotal estrangeira introduziu um

relógio-de-vela, destinado a marcar a hora das matinas e das vésperas.

As quatro demonstrações que seguem figuram, respedivamen·

le, no I (

5,

6, 8)

e sexto

(7)

livros

de

Euclides.

As

três primeiras

1

conhecia-as o fenício Tales. A última ainda hoje se acha associada

ao

no

me

de Pitágoras, outro fenício, conqüanto não

nos

faltem motivoa

para crer que

êle

a aprendeu dos chineses. Ao explicá-las, preten·

demos dar exemplos de sua utilização na arquitetura e na agrimensura

e mostrar como, mais tarde,

os

alexandrinos aplicaram-nas à repre

senta

çã

o dos céus.

A

primeira - de tôdas a

mais

simples - .não

tem

aplicação direta. Sua importância reside no fato

de

contribuir

para a compreensão das outras três.

Demo11stra.ção 5

A

soma dos três ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos

retos".

Para rlemonstrar esta verdade, tudo o que

temos

a fazer é apoiar

o vértice de

um

triângulo numa barra reta e

~ ? : i r á l o

até que o lado

1

I

l

EUOLIDES SEM LAGR'J.MAS

l bl

- ·-

oposto fique paralelo à barra. Na Fig.

42

(i), (ii) e (iii),

as

legen

d:u esclarecem o processo, que se pode resumir como segue:

A. + B C

=

D C + E

Regra N • 2 de Paralelismo)

D C E =

180

Regra N • 1 dos ngnlos Fig. 33 (i)).

A demonstração é tão simples que aproveitaremos o ensejo

pa1a

aplicar

como é

usada para ilustrar

os

princípios da medição de

som

bras, expostos nas três demonstrações que seguem.

a) Dois

t r i â n g ~ t l os

séW equivalentes quat1do

I

êtn

14tn lado

'

dois

â11gulos

equit•alet1tes.

A regra confere

com

a que aprendemos páginas atrás, a chamada

Regra N •

j

dos Triângulos, que

afirma

que

se pode traçar

um

triân

gulo, conhecidos o lado

a

e

os

ângulos B e

C.

E,

se

invés

de

.B. r

C

se conhecesse A (ângulo oposto

ao

lado a conhecido) e B, facii·

mente se calcularia o ângulo C da maneira seguinte:

A+ B C= 180•

C

=

18 )<>

- (A+ B)

rir .

62. - DElÚ)NBTRAO.lO

J



5

MARAVILHAS DA MATEMATICA

isto é, se A

fôr

600 e B =

60•,

C será

180•-

(600 600) ou

C= 60 .

Se

A

fôr

45•

e

B =

00,

C

será igual a

1800- (45• 900),

isto

é

45•. Se A fôr 3Ü e B = 00, C será

igual a

6()<>,

Reciprocamente,

conhecidos A C, podemos calcular B. Por exemplo, se A fôr fJ:J

C= 900,

B

=

1800-

A+

C), isto

é,

30•.

(

b)

Conhecido um dos ângulos não-retos de um triângulo

1 8 t ~ g u l o

A), conhece-se, ipso-facto, o

outro

ângulo não-reto 90•-A).

Isto, aliás, não

é

novidade. Se os três ângulos de um triângulo

valem

respe<:tj_va.mente

A, 900 e

90• -

A), sua soma vale

~ •

ist9

A

900

90• - A

=

1800

Os

três lados do triângulo .retângulo têm denominações especiai .

O lado maior, oposto

ao

ângulo reto, chama-se

hipotenusa.

Sendo A

um dos ângulos não-retos, o lado que lhe

é

oposto se chama

altura.

O terceiro lado se

chama base. E

evidente que

as

denominações

base

e

alt11ra

dependem da posição do triângulo e que a altura, com

referência ao ângulo

90•-

A,

é

a base com referência a A, e vice

versa.

(Fig.

42 (iv), (v) e (vi)).

(c) Triângulos

t·ctâ11gulos

ccrm o mesmo

ângttlo

agudo são se-

tndha1.1t_s isto equiâug_[os ~ F i g :

43

_i))_.

i)

(i )

90

i

v)

9 0 ~

hê -A

rir 43

·i


153

(d) Triâ11g1úos

retângulos que

c o l o c ~ d o s

vértice sôbre vértice

(como na Fig. 43 (i

i)),

ficarem

com as

lnpote1111sas e um .dos lados

t li11ha são semelhantes, isto

á,

eqiiiângulos (Fig.

43

1 ~ ) .

(e) A perpendicular, baixada ângulo reto. ôbre a l u p ~ t e n u s a

divide o triângulo retângulo

em do1s

outros trtangulos retangulos,

semelhantes entre si e

ao

triângulo primitivo. .

Eis

o que apresenta a Fig .

43

(iii) e (iv).

E

êste um dos

ma1s

importantes truques

para

a dissccaçã.o de triângulos.

A

A

A

[(a)

O Triângulo E q t ~ i l á t a o

b) O

Triângulo

Retângulo

isósceles

Flr. U. - DEMONSTRAÇÃO .5.



154

MARAVILHAS

DA MATEMÁTICA

Demonstração 6

"Se dois lados de um triângulo são equiva'lentes, os ângulos que

lhes são opostos, também são equivalentes;

e,

se dois ângulos são

equivalentes, os lados opostos também o serão".

A demonstração enuncia, pois, uma dupla verdade, mas

a r l i s ~ -

cação é a mesma para ambas . Disseca-se o triângulo

em

dois, divi

dindo-se o ângulo formado pelos lados equivalentes (isto

é,

o ângulo

não-equivalente

do

triângulo) pela sua bissetriz, segundo a primeira

regra de dissecação.

(i)

Se nos afiançam que AB

= I=

AC {Fig.

44 (i)),

com•

parando os triângulos

ADP

e

APC

verificamos

que:

AB

= l =

AC

Ângulo BA P -

a =

Ângulo CAP

AP -

AP

(elemento comum)

Portanto, segundo a

Regra N.•

2 de Triâ11gulos os

dois triân·

gulos são equivalentes. Isto quer dizer que seus lados e ângulos

corre spondent es são equivalentes. Assim sendo, o ângulo ACB, opos·

to a AB,

é

equivalente ao ângulo ABC, oposto

ao

lado equivalente

AC.

(ii) Se nos afianç-am (Fig.

44

(ii)),

que

os

ângulos B (ABC)

e

C

(ACB)

são equivalentes, teremos :

ABC

DAP

AP

ACB (segundo nos informam)

a= CAP

AP (elemento comum)

Mas, vimos na Demonstração 5 (n) que dois triângulos são equi·

valentes quando têm um lado e dois ângulos correspondentes equiva

lentes. Assim sendo,

os

triângulos

APB

e

APC

são equivalentes.

Portanto, o lado AB oposto

ao

ângulo ACB é equivalente ao lado

correspondente AC, oposto

ao

ângulo equivalente ABC. Antes de

mostrarmos como

se poclc

utilizar êstc conhecimento para calcular a

altma de

um barranco pela somhra projetada, ou para

dar

a um

e<li

fício a altura que

se

deseja, vejamos

como

esta demonstração

nos

fornece um método mui simples de traçar ângulos de 300, f:JJ e 45•

(Vide Fig . 44, na sua parte inferior).

(a) Como traçar â t ~ g u l o s

d e

30• e

60•. - Podemos construir

um triângulo equilátero (triângulo que tem

os

três lados iguais),

dobrando

uma

corda dividida por

nós,

em três segmentos iguais. Pelo

que acabamos de aprender, se os três lados são equivalentes (com·

primento l), os três ângulos também o serão. E como os três per-

\

r

I

I

I

I

I

I

I

I


Como se

mede a a cum

de um b rr nco

l lr

•

.

-

MEDINDO

A

SOMBRA PARA OALOULAR

A

ALTURA.

155

O elroulo que rodtia o

~ q u s o o b l ~ o o

1nlar te.m como ra;o o comprimento

ct.

tr6prlo obelisco de maneira que qul\ndo o 8ol atinro a alLura de 4.5• aôbre o h ori110nk

• 1ombra tanrenci1 a

circunferência

tracada

fazem 1800 cada um dêles é igual a um têrço de 1800 isto é, flY .

Se

atentardes para a Fig.

44 (i),

vereis que, como os triângulos

ABP

é

ACP

são equivalentes, o lado

BP

é equivalente ao lado correspon

dente, PC, isto

é,

P divide BC

em

duas partes equh'alen.tes . No

triângulo eqi.tiláter<> dissecado similarmente

na

parte inferior da fi

gura,

vemos

que

os

lados opostos aos ângulos

de 30•,

valem

-I.

Basta

pois

unir o vértice .de um triângulo equilátero ao meio do lado oposto,

para se obter um ângulo de 300. Os dois ângulos formados sôbre

o

lado oposto, de cada lado desta bissetriz, valem 90 . (Demonstra

ção

5).

b) Como traçar âng11los de 45•. -

A demonstração 5 (b)

mostrou-nos que,

se

um dos ângulos de um triângulo retângulo, vale

45•, o outro também vale 45•. Assim sendo, todo o triângulo retâQ

gulo com um ângulo agudo de 45•, tem necessàriamente dois ângulos

equivalentes

e, pois

, dois lados equivalentes. Uma

vez

traçado um

ângulo reto, para obter um ângulo de 45•, basta medir distâncias equi

valentes

l),

aplicá-las sôbre a altura e sôbre a base e unir as extre

midades. Os geômetras e arquitetos egípcios faziam o mesmo com

bastonetes e cordas sôbre a areia. Nós outros, f azêmo-lo com tachi

nhas e barbante, sôbre a pranche-ta de desenho.

A utilidade desta demonstração (outrora chamada, a

Pons Asi-

norum,

isto

é,

a ponte dos burros - porque

os

burros que a ensina

vam davam-se a todos os cuidados para destruir a ponte que a liga

ao mundo real) - vêmo-la na Fig. 45. Quando o sol alcança a

altura de sôbre o horizoote

(a 45• do

zen i e, por conseguinte),

i



156

MARAVILHAS

DA

MATEMATICA

os

raios "de luz,

0

barranco

e a sombra, o ~ . ' o raio de .luz, a

s . o ~ b r a

e

qualquer objeto elevado, formam um t n a n g u l ~ retangulo 1sosceles.

Isto quer dizer que, neste momento, compnmento

da

sombra

equivalente à

altura do

barranco.

Um processo dt medir

a

altura d

gr nde

Pirãmidt,

lll n S

c h

Fir . 's l

• Sombra

... · ~ scac &

···

·········p-r,-

l ..

__

_

·

Q t i i i ~ õ

i

iõmliri

tõõft

ii

blrõuli

d e ~

a

lo icu l

à

ai

tu

ra da. est 1ca ;

altura (h)

da pil·nmide é

obtida

om ndo o

con1prim

' n la

d

som.1

ora (8) IIIOIWO da >Ali (b)

1

Quondo

0

col ~ 1 1 & i 45' ,abrii o

borizonh, a

jlllura

d

plr&mlde

I

lcuol aõ

õomp>im• lo •ombn m6ia

l ' • l • d ~

da buo,

Para: l t â ~ i ~

. ~ t i i r i i {

altura: por êste m é t o d ~ indireto, finca-se

um bastonete na areia e espera-se

oaté

que o compnmento da sombra

seja igual à

a l t u r a

bastonete· Neste momento, mede-se a som?ra

do

barranco, e ipso-facto, obtém-se a

s ~ : .

a ~ t u r a . A c 0 1 ~ t e c e ,

porem;

que na região em que se edificaram as ptramtdes, o sol so alcança

de altura ao meio-dia, em dois dias do ano.

Naturalmente

era Im

possível esperar estas

duas raras

ocasiões, para t o ~ a r a altura . das

pirâmides. E' muito mais incômod? e demorado f ~ c a r e s p e r a ~ d o a

data propícia, que aprender a segumte demonstraçao, que ensma a

u s a ~ ) process() para quall U . : ~ n g u < : l 9o

~ Q \ .

~ o r y c n t u r a

a c h ~ . r ·

i .

'

.

;

EUCLIDES

SEM LÁGRIMAS

57

des demasiado longa, consolai-vos pensando

no

tempo que, graças

a ·ela, economizareis mais

tarde

.

A Fig. 46 é o projeto de um quadrante solar que qualquer pessoa

pode construir

num

terraço ou num quintal e que lhe permitirá -

p;>mo mais tarde vereis - calcular a altura da casa, sua latitude

L

s

IS parafuso

o

Nível de

bõlha

l ir

. 46. -

PROJETO

DE UM QUADRANTE IMPROVISADO.

longitude, a hora e o quanto a terra parece oscilar em seu eixo du

rante o ano (isto

é,

a inclinação

da

órbita em relação aos polos,

chamada, pelos astrônomos, - obliqüidade da eclíptica).

DemoJJslração 7

A relação dos lados correspondentes dos triângulos semelhantes

é

a mesma".

A dissecação que vamos fazer é manhosa e em três est

{tg

ios. A

esquerda da Fig. 47, traçaram-se dois triângulos semelhãntes, ABC e

DEF,

de modo que se pudesse observar a equivalência dos ângulos .

Quando queremos demonstrar algo de novo, a

pr

imeira coisa que deve

mos fazer é perguntar-nos o que já sabemos sôbre o objeto de nossa

demonstração. No caso em aprêço, êste objeto são as re lações, ou ra-

zões Até então, a única coisa que sôbre elas sabemos é que as áreas de

triângulos da mesma altura estão na mesma razão que suas respec

tivas bases (Demonstração

3).

Assim sendo, temos de achar

triân-

gulos cujas bases sejam lados correspondentes nos dois triângulos que

estamos

oa

comparar. Para isto, comecemos colocando os dois triân

gulos na mesma figura.

(i)

Figura

da direita: Aplica-se o comprimento DF sôbrc

AC,

a partir de A, e obtém-se assim AH, equivalente a DF. Em seguida



15S

~ I A i l A V I L H A S DA MATEMÁTICA

A

o

A

A

ti

F

E ir.

7.

- DEMONSTRAQAO 1.

traça-se GH, paralela a BC. Comparando os triângulos AGH e

ABC. verificamos que os ângulos:

GAH

= BAC

GAH =

EDF (·.·os

triângulos ABC e

DEF

são semelhante )

AHG = ACB

L

AGH = ABC

f Regra N.• 1 de

aralelismo

AHG

=

DFE; e AGH

=

DEF ·: os triângulos ABC e

DEF

são semelhantes).

Assim, comparando os triângulos DEF e AGH temos;

ângulo EDF = ângulo GAH

DF = AH (por construção)

ângulo

DFE =

ângulo AHG

Em virtude

da Regra N.• 3 dos Triângulos,

DEF

AGH sl o

equivalentes,

GH = EF

e

AG

=DE

o)

(ii) Na Demonstração 3 aprendemos que triângulos

que

têm

base sôbre a mesma reta e o vértice oposto sôbre uma paralela à base,

terão necessàriamente a mesma altura. Dêste fato

nos

valeremos, para

darmos o próximo passo. Traçando

as l i n ~ s

que unem os pontos

GC e

HB

(Fig.

47 à

direita) e pondo a figura de cabeça para baixo

(como na Fig.

48

(ii), percebe-se imediatamente que (Demonstração

3

c)

Fig.

39

(iii)):

Área do Triângulo BGH = Área do Triângulo GCH

,(b)

EUCLIDES

SEM

LÁGRIMAS

151

(i)

(i )

A

A

G A

G

~

Flc. 48. - DEMONSTllAQÃO 1 (Coc .lnuaç lo).

(iii) Na Demonstração 3 aprendemos, também, que os triângu

los cujos bases estão sôbre uma reta

e

cujos vértices opostos, coinci

dam t e r ã ~ necessàriamente, a mesma altura. Podemos obter dois pa-

res de trtangulos nestas condições, incorporando o triângulo AGH,

primeiro ao triângulo GHB e depois ao triângulo GCH. E' claro que:

Área

dos

triângulos AGH+BGH =Área dos triângulos AGH+GCH

ou

Área do triângulo AHB

=Área

do triângulo AGC c)

Os triângulos AHB e AGH, assim como AGH e AGC, têm a

mesma altura (Demonstração 3 b)). Assim sendo, e em virtude da

Demonstração

3 (a) -

que afirma que

as

áreas dos triângulos de

mesma altura estão na mesma razão

que

as suas bases - podemos

escrever:

Área AHB

Área

AGH

=

AB

AG

e

Área AGC

Área AGH

Como as

áreas

de AHB

e AGC são equivalentes,

AB

AC

H

AC

AH



·•

160

MARAVILHAS DA MATEJMATICA

;Em yjrtude de . a), (pág. 157),

. AB

AC

E

DF

Ou. em virtude regra diagonal (pág. 105).

AB

DE

AC

DF

Dissecação semelhante, permite demonstrar que:

BC

EF

BC

EF

AC DF

ou

AB DE

A Fig. 49 mostra-nos como Thales utilizou esta relação para

medir a altura da Grande Pirâmide de Queops, evitando esperar um

dos dias em que o sol meridiano atingisse a altura de 4So sôbre o hori·

zonte. Fincou um bastão no solo, bem na extremidade da sombra

da pirâmide. Bastão, raio de sol e sombra formavam um triângulo,

de ângulos iguais a 90°, A e 90

° -

A. A altura da pirâmide, os raios

de sol e a sombra acrescida da metade

da

base formavam outro, de

ângulos equivalentes. Como os dois triângulo s são semelhantes, os

lados corrcspond.entes estão entre s1 na mesma razão, isto

~ _ ;

H

b

+ s

p

s

Aplicando a regra diagonal, obtém-se para a altura da ~ i r â m i d e :

A altura do bastão (p), a base b) e as duas sombras

· s

e S

podem ser fàciimentc medidas ao meio-dia de qualquer data.

O mesmo método pode servir para determinar a altura de qualquer

objeto inacessível. Também podemos calcular a distância a que

encontra de nós, desde que possamos medir o ângulo que o seu tôpo

faz com o horizonte (usando para isto um teodolito como o da Fig.

12 .

A maneira mais rudimentar de determinar êsses elementos é fazer uma

figura em escala. Era êste o método displicente dos ~ r e g o s Mas

existe um método melhor que o precedente: o da geometria socializada

11

trigonometria _

ta

~ o m ~ a costu lla 110S chamar) dos ~ e x a n d r i n o s :

j

I

t

1

EUCLIDES SEM. LAGRIMAS

161

v r

de medir

Plr

. 40. -

OOMO

TALES MEDIU A

ALTURA DA GRANDE

PI l.AMIDE.

O Anruto A 6 a lnclinaçlio

do ool

oObre

o horizonte

ao meio·

dia

o

ê,

poio, e

m e w ~ para

amboa oa

lrillogulo ,

Consiste em se organizar, de uma vez para tôdas, uma tabela das

razões entre o bastão e somiJra, para vários ângulos de inclinação. Se

voltardes à

Fig

. 31, vereis que a relação entre bastão e sombra para

um ângulo de inclinação, A, é o que, na linguagem dicionária da tri-

gonometria, se denomina tg A. Isto significa: "Procurai um nú-

mero num dicionário (tábua de tangentes) organizado de uma vez para

tôdas, ao invés de vos dar ao trabalho de fazer uma figuro em escala

cada vez que quiserdes estimar uma altura ou uma distància". Se

volt'<lrdes à Fig. 4 (i), recordareis que todos os triângulos retângulos

que têm o mesmo ângulo . A são semelhantes. Assim sendo, a razão

entre altura e base (isto

é,

bastão e sombra, t'ambém chamada

declividade)

é

sempre a mesma, desde que A

seja

o mesmo. Só existe

um número que a representa para cada valor particular de A. A De·

monstração 7 nos mostra que, quando A é fixo, também o é a razão

suaisqucr )aºgs ~ o r ~ e s ~ 1 1 ~ c n t e s )Um r i ª n ~ u l o ~ ~ t â n ~ U l Q .



IGZ

MARAVILHAS

DA MATEMÁTICA

Os gregos, porém, foram incapazes de

dar

êste passo decisivo que

tran

sportou a matemática de uma fase de displicência para a de uma

economia colet iva de

fi

guras. Em páginas posteriores, veremos como

o de

ram

os alexandrinos, quando o utilizarmos para med ir a distância

da terra à lua , com muito mais facilidade do que se tivéssemos de medir

a distância de Londres a Edimburgo. Encontraremos menor dificul

dade em compreender o processo se nos formos, desde Jogo, familia

rizando com

os

nomes dos três dicionários usados. Chamam-se, res

pect ivamente, tábu a de tangentes, de senos e de co-senos. As r

az

ões

entr

e

os

lados do triângulo retângulo, mais comume·nte usadas são a.s

seguintes: '

altura

ha se

=

tgA

altura

-

seu A

hipotenusa

base

-

hipotenusa

cosA

Os inversos destas razões denoniinani-se: ·

co

g A êosec

A

e

sec

·

A,

respetivamente. Assim, a

otrr

A é igual

à

base dividida pela

altura, a cosec A, à hipotenusa dividida pela altura, e a

secA

à hi

potenusa dividid-a pela base.

Existe uma tabela para cada uma dessas razões . Tão fácil

consultá-las, quanto a um horário de trens. Na tábua de senos, uma

coluna,

tal

como a coluna dos horários de trens, dá a

hora

da partida,

aliás, o ângulo

A .

Outra coluna, tal como a coluna da hora

da

chegada" - dá o

número

desejado, sen A. Quanto à

c o n s t r u ~ ã o

dessas tábuas,

será

objeto de outro capítulo.

Por

hora, limit-ar-nos-emos

a dar uma idéia do processo. Um dos métodos possíveis seria traçar

um grande

número de

triângulos retângulos, cada um com um ângulo

agudo

di f

·eren. e (diversos valores de A)" e medir, cuidadosamente, os

lados, anotando

os

resultados. Mas o processo, além de trabalhoso e

demorado,

não

seria suficientemente preciso, porque, neste mundo im

perf

eito,

todo

o cuidadô

é

pouco e nunca a primeira tentativa é a

mais perfeita. Ademais, já sabemos o suficiente para obter os mes

mos resultados, com mai or rapidez e precisão . Conquanto sr.m a

intenção expressa de fazê-lo ,

já

coletivizamos as razões de alguns

ângulos, embora muitos nos faltem

para

completar a tabela.

Podemos

apreciar o nosso progresso, atentando para uma fubela

muito comum, conl< a que regi ltra as várias etapas de wna :viagem

de

trel l- ·

EUCLIDES SIDM L1GR:lM ( \S

163

, I

Partida

da Esta-

çlio de

Waverley

Chegada

a

(Edlmburgu)

--

I

. M.

Newcaatle

y,,. J

Londres

3.0

-

6.45

-

4.30

6.30

- -

5.15

-

-

11 58

~ e c o m p a r a ~ d e s

os

desenhos da Fig . 50 com os da p a r t ~ in feri ar

da F'fr· 44, v e r e ~ s que bem se pode organizar uma tabela semelhante,

assim:

lngulG

(A)

(Gre.\18)

Tg A Sen A

Coa A

ObservarGis, também, duas coisas que muito facilitam a confecção

d s tábuas:

(1) sen A = cos (90'>-

A

cosA

=

sen 90 - A)

Vide demonstração 5 (b

tg = ( :

=

z -

_ _ X

:..)

h b

Denwnitração 8

· O quadrado da hipotenusa: de um triângulo retângulo

·é

igual à

1oma dos quadrados da base e da altura".

1\

dissecação 'necessária a esta demonstração já ·roi explicada na

Demonstração 5 (e) e na

Fi g

. 43. A altura bai xada dô ângulo reto

sôbre a hipotenusa divide o triân gulo retângulo em dois outros tam

bém r e ~ â n g u l o s semelhantes entre si e ao triângulo p r i m i t i v ~ Só

P

gue f. zemos na Fig.

51 f o ~

dispô-los de maneira a

q,ue

se

~ o s s a



I

164

j

l

I

/ ·

; 60

·Ijz · -

cos.

60

o=

1

z

MARAVILHAB DA MATEMATICA

l 'lr

.

so

cetier,

à

primeira vista, qüais

os

ladós e ângulos corres(>Ondenfes.

virtude

de

_iii)

na

Fig.

51:

c a

,(l)emonstração n

a

=

ex

(Regra diagonal,

pág. 1 0 4 ~

Em virtude

fle

(iv), e por motivos

a n á l o g o s ~

b y

c b

b

2

= cy

Em

J

I

.

"

·

'

.

3

EUCLIDES

SEM LÁGRIMAS

165

Combinando

os dois

resultados, e

como c = x

+ , vemos ,que:

a

2

+ b = ex +

cy

·

a•

+

b c (x

+

)

(Demonstração 2).

·:.

=

b . c•

(i)

p

X

(i )

(i i

51. - DEMONSTRAÇÃO 8,

J'ambém se

observa, na

figura,

que

f

y

-

-

X

p

e

pois

pt = xy

ou

p

l x y

Nesta última expressão,

p se

denomina médi geomftrica

ou

mé-

dia proporcio11al de x

e

y

Assim, a média geométrica

de

3 e

27

é

- I

y3

X

27,

isto é,

y

81 =

9. A

média

aritmética

dos mesmos

números

seria:

(3 + 27)

=

5.

Em noventa e nove por cento das vêzes

em

que

os

políticos útdem a médias, esquecem de dizer a qual se referem.

Há

muitas espécies de

médias, cada

uma C Jm cmprêg:o

particular.

•



166

MARAVILHAS

DA MATJiJMATICA

E sta demonstração é

ela

maior importância na determinação das

razões

dos ângulos. Dev e

is

lembrar-vos (e,

se já

esquecestes, recor

d : ~ i o na

Fig. 44)

qu

e

quando os ângulos de um triângulo valem

300,

60' ou 90 , a hipotenusa (c)

é

o dôbro do lado (a) oposto ao ângulo

de

3()

.

Para

obter o terceiro lado ( b , atribuímos à hipotenusa

valor

1,

e ao invés de escrevermos:

ou então

escrevemos:

•

=

a

+

b

2

p

0·)· = b•

1 t = t =

b

b=V

Num

iriângulo retângulo de 45° . a base e a altura são equivalentes.

Assim sendo,

para

obtermos a hipotenusa

(c)

podemos escrever:

,.

=

1

+

p

=

2

, =

vz

Poclemos, pois, encher os espaços em branco do nosso

horário

de

tangentes, senos e co-senos

(Fig.

52) :

ngulo·

45•

~ n g c n t e

1

' J

v .

Seno

1

2

1

\/2

\ /3

2

00

-aeno

V3

2

1

~ / 2

1

2

Os geõrnehas gregos nunca tiveram a idéia de organizar 1tma

tábua como esta, e menos ainda de estendê-la a todos os graus. Assim

sendo, deixaremos para mais tarde a explicação de como se pode

organizar uma tábua. Entrementes , é importante observar que nada

mais nos amarra ao ohelisco solar. Os geômetras gregos dispunham

de meios de medir alturas sem recorrer sombra. Quando se possui

um simples teodolito (vide Fig. 12), pode-se a f a s t a r s e ~ ~ ~ metros da

ElUCLIDlllS SEM

LAGRIMAS

161

base do b a r r a n c ~ representado na Fig . 45, até avistar

0

cume do mesmo,

a 300 de elevaçao. Chamando h a altura do barranco

,

h 1

= · ou

;ç

h

v3

Se o observador volrn a aproximar-se do barranco, e caminha y

metros até avistar-lhe o cume a

60°,

h -

- =

v 3 ou h

= y . y l

y

Nem são essas as únicas utilizações da tabela trigonométrica.

Suponha-se que não se pode subir ao cume do barranco nem aproxi

mar-se de sua base.

Isto

não impede que se calcule a

sua

altura.

Para fazê-lo, basta obter a distância horizontal entre os dois p o t ~

dos quais se visa o cume do barranco aos

30°

e 6()<> respectivamente.

(Vide Fig.

53).

i

/

/

.f

I

/

/

I

6 o

l 1

Ir U• = 1 i oen 46• =

;

oa 45• =

v 'i 1

vã l

lc 80•

=Vã: Hn GO• = :

M 60• =

2

l l

ã

c SO• ;: ;

8 •

;:::: -

CO

UO

:::.

-

vã a



..

168


No

fim dêste capítulo inquiriremos porque os gregos, podendo

organizar um dicionário de ângulos, não o f ~ z e r a m . C u m ~ r ~ observar,

a êste respeito, que, na confecção de úma tabua desta espec1e, o mate·

mático e sbarra inevitàvelmente com quantidade : como ..J2

e V3

(aproximadamente

1,414

e

1 , 7 ~ ~ ,

inexprimíveis

c o ~

os n ú ~ e r o s de

que dispunham. O homem pratico - que quando nao tem .cao, caça

com

0

gato - tinha de resolver o

p r o b l e m ~ ,

ou bem com f1guras.

areia ( Fig. 55) , ou com

outro

gênero de f1guras baseadas na

med1a

geométrica. Explicá-las-emos mais tarde.

Q U ~ T R O

DEMONSTRAÇOES DE ASTRONOMIA

Para aperfeiçoa r o método de . medir distâncias i n a c e s ~ í v e i ~

por

meio

de

ângulos e distâncias C() lhecJdos - como na determmaçao

4a

: ~ : : : _ - _ - _ - _ - _ - _ - _ - _

_ - _ _ _ _ _ _ ;

_ _ ::::

: :. : : : :

Jl r 63 - OOMO

SE MEDE

A ALTURA DE UM BARRANCO QUANDO

' . . NAO SE TEM ACESSO

A. SUA

BASE.

N o

18

pode madir a; ou

ti,

mu pode-se

ms.d

ir d

= - u).

: .

o :-

d) =

h 1 -

h - h

~ · .

- = OU b · j 8 =

j

= v B o u J =

' vã

7 v8

- h

b · l / 3 d =

vã

Multiplicando ambo1 os membros pol'

v

temo1:

3 " - d v =h

~ h =

·t vs

v' 3

b

=

- · -

.

2

E ' êsto, em ossência, o método

de

so medir •

d l s l ~ n c i • d& lua

A

lerra.

8

. .

•M I

I·

I

t

TI:UCLIDES SEM LÁGRIMAS

lU .

altura do barranco - é necessário conhecer um pouco melhor a fig1,1ra ,

chamada círculo. A geometria do círculo

é obra

dos fazedores de

calendários.

Não

se sabe, com certeza, o quanto os gregos lhes

d e v ~ m .

A segunda demonstração, que segue,

é

atribuída a Tales... As

três primeiras são objeto do 3.•

Livro

de Euclides, e a quarta, do livro

12•. O

princípio, em que esta se baseia , era certamente conhecid()

desde a mais remota antiguidade, ou, pelo me ·nos, desde que os homens

começaram a fazer rodas para carros

de

boi e carros de· guerra . s

sacerdotes e artífices egípcios já o conheciam em

1500

a. C.

Quando o fenício Tales descobriu como se inscreve um triângulo

retângulo num semicírculo, sacrificou

um

novilho aos deuses. Foi,

certamente, um mau negócio para o novil·ho e, em tlltima análise, foi

também um mau négócio para os deuses. A navegação sem

terra

à vista só se tot"nou possível quando os homens começaram a orientar

os seus navios pela órbita das estréias.

Foram

os fenícios que

t r a . r u ~

formaram a estréia Polar dos sacerdotes na estréia Polar dos mari

nheiros. Foram êles que começaram -a secularização do calendário. Os

homens já mediam a latitude e a longitude da esfera celeste das estré

Ias, antes de sa·berem representar, em mapas, a superfície esférica da

·; ·

,

.

.-·-

_ç-- . .

. . . 1 \ . , •' J

I

. ' · ( ·

· ~· · : · : : ~

J ; _ ~ ~.....,_

~ · " ~ ' :

..

........... ....... - : : : - - . ..... .

..

_..... .....

........

., .... ' ~ ~ _ r . ; :

~

_ / / ~ ~ - =

~ ' '

..

~ ~ ~

. . _ . .

....

~ ~ ~

....-

· ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ - - . . : : : : : : : : : ; = ~ - ___

- - ~ -

1 / ( Í t ~ ~ ~

o t1r1{,/lt,ví

t,lftt

1

~

' ' · .. lllq

Fir. -

OOMO

SE

MEDE A IoAROURA

DE

UM RIO,

P ô d e ~ taur um inatrumento muito dmples fixando uma T ~ g 1 1 a de madeira • .,

eentro de um . traneferidor, dBixando·n girar livremente . Fixa-se nas

dues

extrornidadu

da

drua , & l m

como

base

do .transferidor, quatro

ganchos

(como os usado.a para

luatenh.r

O

JI&Ua de cortina),

que

llrvam

de ocularu

pa.ra a

visada Do t : ~ o n t o

A de

nma daa marre

nJ

, eaeolhe·se. um objeto (uma A.r vore, por exemplo). na margem o p o s . ~

O,

Pondo

o hroço

móvel

•

90•,

lr•ça

·se

um,

re h

·

hese porpcn<liculnr

•

AO

eslicando

um•

eorda

no

P_'Oiongam•nto do

tunoferidor

. Cnminh&·se

sôhr

c•ln r ei• •t6'

0

ponto

B,

de

onde

••

aviSte

O

oegundo

um

ângulo de

30•.

Mede-se

AB. liDO é,

pois um iriAngulo

reU.ngulo

em

qne: •

1

Ao= -

no

2

• AB =

Auim,

AO,

t•rrura

do rio,

é

Igual o

AR

va

vs

2

80



170

MARAVILHAS

DA MATEMÁTJiCA

\

terra. Sistematizando

a medição do círculo, os gregos jônios lançaram

as Wa.ses da geografià alexandrina e separaram, de um golpe, a astro

logia da astronomia.

A

crença

na esfericidade da terra era, de longa data, muito po

pular

entre aquêles povos navegadores. Figurava, como assunto de

primeira importância, nos ensinamentos do fenício Pitágoras. Os

fazedores

de

calendários o sabiam, pois estavam acostumados a

ver

o

disco circular- sombm da

terra

- nos eclipses tu·nares.

Os

povos na

vegadores não" tardaram a perceber que a esfericidade terráquea explica

muito hem algo que todos os marinheiros viam quando se aproxima

vam

ou

se

afastavam da

costa.

Viam

as montanhas emergirem da .<

águas,

quando

demandav am o pôrto. Viam o teto dos edifícios mer

gulharem

no

mar,

quando se

afastavam

(Fig . 59). Naqueles tempos

remotos

em

que a luz artificial era um luxo. bastava uma viagem

pel(l

Mediterrâneo,

pam convencer àqueles intrépidos

marujos

que, no verãn

os

dias

se alongam e as noites encurtam, o

contrário

do

que

sucede

no inverno. Muito antes

das

naus fenícias se afoitarem

pam

além

do

Báltico e das costas

de

Devon, Bion, discípulo do materialista De·

mócrito, falava a seus alunos numa terra em que o sol jart1ais se punha

A

geometria

explorou o Círculo Artico muito antes

QUe

os navios

levassem o civilizado a apreciar o sol da meia-noite na região polar.

Nesl'a época, porém, a geometria

grega já

se

transformara

em passa

tempo

de uma classe privilegiada e escravagista.

~ o r

cerebral e

Fl r

. 55 . -

MtTODO

GRAFIOO

DE

OALCULAR

RAIZES

QUADRADAS,

Enquanlo um dos eatel.<>s do

trilngulo

rotlngulo 6 Igual • 1, o outro nle, nooonol·

"amonh,

1,

.,;2; y3,

vT

v ,

ele• .

A8Sim,

pela recra

•

1

<=

111

+

cl ll<a:

•• =

11

+ Jl

= : • c: . ;3

••• ::: 1

1

+

('1/Z)' =

8

. ' . AI = 1/B

a S =

1' +

('1/S)I

=

4 : ••

= v•

... = 1

1

+ cv•l'

:

5

, ',

•• <: v& ato,

•

I

I

EUCLIDID9 IDM L OJI.lMAS

171

labor manual

r e f l e t i a ~

a estratifi<:ação das classes sociais.

Justamente

q u a n ~ o acabara de cr.lar um novo J ~ s t r u m e n t o para o homem conquistat:

o un .verso _em que VI a

g c o ~ n ~ ~ n a

degenerou num mero passatempo.

E so d e p o 1 ~

de

d e s t r u ~ f a

a 9Y z,ação gre ga, os .rutos

da

geometria

g:reg:a

g : ~ m ) l a r a m ,

·

Qemcnstra ão

2

' ' Q ~ a l q u e r

r e t ~

que apenas toca a circunferência '(tange'nte)', ·é

p e r p e n d t c u ~ ~ r ~ é l O

_ue

une. Q ~ e n t r o q cít:Cl)lo

aq

pontq em

que

a

r e ~ 9 toca • · ·

. 'A

~ a ~ e i r a

mais simples de se

demonstmr

a veracidade dêste pos

t u l a d ~

e a

t u;trada

na

_F1g

. 56 •

Quando

o fio de

prumo

roça, apenas,

o honzonte, e perpendtcular a ele. Se o fizermos oscilar (ou oscilar

um pêndulo

de

comprimento equivalente, fixo no mesmo ponto de

suspensão) êle descreverá o

arco

de

um

círculo que apenas roça o

horizonte. O raio de uma roda, cujo terminal está em contato com

o chão, descreve um ângulo reto

até

o momento

em

que atinge uma

;JOsi_ção pa_ralela

ao

solo. A Fig. 57 apresent a a demonst ração mate

mática mats comumente encontrada nos livros

de

geometria elementar.

- ' ~

por

êste motivo a incluímos aqui.

Se

o leitor não simpatiza com ela,

d e t x ~ - a de lado.. A ver?.ad: é a demonstraçãq rimitq Jll( ' QS

CO J:Y .l<;;eQte ~ u e

~ : K P

e . f ~ 1 ~ a çQt qtana.

ri . 50, -

.0.

PRIN01PIO

DA

T A N G ~ ' ; W I A ILUSTRADO PELO FIO Dll

l'UU.M,Q lil

l 'h:LO

l ' ~ N D U L O , . .

'(i)' Na Fig. 57 (a), OP é uma perpendicular baixada do ct:ntro

c i r c ~ f 1 J e . t : ê n c i a s§b.t:e.

a

C O ~ a f\J?

J:'ios

t l â n g : u ~

AOP

B0f

1

i



17Z

.· MARAVILHAS DA MATEMATICÁ

AO =r::::: BO.

Em

virtude da Demonstração 6, o ângulo

=

x

=ângulo

OBP. Comparando

os dois

triângulos,

temos_

~ n g u l ~ ,OPA

=

900

=

ângul() ,OPB .

·i 1 ,OP =

,OP,

ângulo BOP.

= 90•- x = ãngulo

AOP,

Em virtude da Regra N.• 3

rjos Triâ11gttlos os dois

triângulos

são

equivalentes, e AP = PB.

ii)

,Vejamos

a Fig.

57

b}. AB, agora,

é

evidentemente menor

e mais próximo da circunferência. OA e OB

são

ainda equivalentes,

mas OP não muito menor

que

OA ou

OB,

Também os ângulos OAP,

e OBP são equivalentes e

mais

próximos

de um

ângulo reto.

· .(iii).

.Na

Fig. ~ Z .

ic)_ h:

f

-ª

estªQ

mtJ tQ

~ ~ l ?

pról{imos ~ u e r.as

; a) ·

tb

c)

- - - - - - ~

" '

/ '

. \

I

J \

I

o

P

p

\

\

', /

.........

____

. .

...

Flr. 87. - D E ~ f O N S T R A . C X O O.

POR QUE A TANGENTE

DE UM

J.NGULO TEM

1.:STE

NO.MI I.

A palav

l

a

tangenl

v t ~

do Terbo iatlno

tangue,

tocar. A

f i ~ : u n

moalra por

qtll

motivo ê a valnvro. uuda, tanto para de11ign1r uma ra.a:4o angular, como para i ~ n a r

quahauer rl)ta quo aven·aa Wque o circulo.

PQ

tg

-

OQ

Bc o drculo

Liver como

raio a

unids.Je

OQ 1

unido.de de

comprlmonto)

A:= PQ

·i

l

"

EUCLIDES

SEM LÁGRIMAS

173

precedentes.

Já é

difícil distinguit

A,

P e B.

'A re:fa

AB

quaSe

roça o círculo. Quando ela o

roç-ar,

apenas,

OP se

confundirá com

OA

e

OB. Assim

sendo, o ângulo OAP será indestinguível

de um

ângulo

reto,

pois

confundir-se-á com o ângulo OPB, e o ângulo OAC será,

pois,

um

ângulo reto. Também o ângulo OBP, que se aproxima do

ângulo OPA, idênticamente, confundir-se-á com

um

ângulo reto. O

mesmo sucederá

com

o ângulo OBD.

Inúmeras são

as

aplicações desta demonstração. Duas aelas me

recem referência especial. A primeira, fundada no fato da luz cami

t ~ ª t :

e TI

\ ~ 1 h a

reta, é a seguinte

1 SuJ>onha-sc um o b s c ~ v a ~ o t : situa4,q

.Estrêla

no zênite ác A

• ·

··

·

~ d i s t â n c i a zenítal__:;;;

il

Fie.

58 <•>

no

nível aó rríar; a

re ta que liga

o

observa

dor a

qft lqfier Jioitto

í:lo

horizonte, é perpendicular

d

reta

qtte

o liga ao centro

da

terra.

Dal

o fato

de

zênite, observador e centro

da

terra, estarem sempre sôbre

uma mesma reta Fig. 58) . Pelo mesma razão, o

fio

de prumo, em

qualquer ponto da superfície da terra, dponta para o seu centro.

t ~ \

/\o pen etrarem

ft

fttmosfcra

tenoe.he,

O Talos dt\

1 n ~ 111\o T i a d o s htô

6

nlfratndos, do modo quo o distAncia nnita.l verda1l elra da estrêla a.o na.s

t:er

&

pôr'

n io 6

ex-atament-e

goa •

\



174

MARAVIJsHAS

DA

MATEMáTICA

,. " ~ L 1 d e - s e u i i l ~ z a r esta demonstração para calcular a distância a que

se _av1sta um obJeto de altura conhecida, e pois, entre outras coisas.

estimar a que distância costa ( ncontra um navio. ·

Q.istât1cia ao l orizo11k

'. '·-r

Na

Figura o observador está eni ');, e BC é ri objefõ

éliJfante

Jp?r exemplo,

u a

montanha ou um navio), de

que

apenas se

pode

a Y . I s ~ a t :

.bor)a 9o g1astro,

B,

estando

)

restante abaixq

~

.

D

- ~ ~

c q j ~

:<rr=QA

'

centro da

terr l

BC-altura áo

navro

'l1:

, f i ~ .

-

A

TANGENTlll DA

LINHA DO

HORIZONTm.

horizonte ÀB.

Como

a

luz caminha segundo linhas retas, reta

é

a

linha que , partindo de B, roça a circunferência da terra em A. Assim

sendo, o ângulo BAD

é

um ângulo reto. Aplicando a

D e m o n s t r a ~ ~ Q

8

tem-se:1

~ ~ 2

:f-

.

f..D, =

DB2

(DC CB)•

;:::: DC

2

.+ ZDC •

CB

+:

CBa

EUCLiDES SEM LáGRIMAS

E como AO e DC são ambos raios da terra, AD = r = DC

AB

2

AD

2

=

AD• 2DC • CB

CBa

AB

=

ZDC • CB CB•

m

. O t a m a n d ~ AB - distância

do

objeto no momento eni que

desaparece

aba1xo

do honzonte - d e BC (sua altura se fôsse com-

pletamênte

:visível)

h

temos: ' · ·

d

2

= 2rh

a

1

h

2r.+ 11)

Como as mais altas montanhas têm cêrca de 8

000

metros de altura

e o raio da circunferência da terra cêrca de 6 300 quilômetros o valor

.(r+

h)

não pode diferir de r p<ir mais de 1 por mil. N a t u ~ a l m e n t e

• altura h

do

navio

é

extremamente pequena, comparada.

çpm

r,

le

DlogO J,UC rodemos djzer qUe _2r

+ h =

2r, e pois

d = 2hr

Isto mostra a que distância deve estar uma elevação de

600 metros

de

altura,

no

momento

em

que

se

afunda para

um

observador

s i t u a ~ W

no níve do

mar, · .

····

· · · . · ·

600

d" 2 X X 6

300

1000

- 1,2 X 6 300

d = V,l,Z

X 6 300

=

87

{aproximadamente).

d =

quilômetros

; drcunferêtlcia aa terra

A. R. Wallace, nome associado ad

de

Oarwin na grande contra·

vérsia evolucionista, c o m e ~ o u

a

vida

como

agrimensor e sugeriu um

método muito simples de

se

inedir o raio da circunferência terrestre.

Duas. estacas (Fig. 60), com as extremidades superiores, A e B, se

paradas por uma distância med ida AB num canal reto, são fincadas

no solo até

ficarem

ambas à mesma

altura

h sôbre o nível das águas.

Exatamente a

meio

das rluas estacas, finca-se uma terceira,

de

maneira

· . que sua extremidade superior, D, fique sôbre a linha de visada de A

para

B. Como

a superflcie da terra e,

pois

, a das águas do canal, é,

lato, encur:vada, ll a l ~ u r l l ;H

.

de R pôbre o níyel ~ a s águas será um

,.



178

' - · .

MARAVILHAS

DA

MATEM TICA

Flr. 80. - "MtTODO DO OANA.L" DE MEDIR A. OIROUNB'ERflNOIA DA TERR.t.

pouco menor que h Medindo-se li, H e BD, fncil será achar

o

raio

da circunferência da

terra

aplicando as Demonstrações

ª·

Como

'AC

=

r+

11 =

BC

o t r i ~ n g u l ~ fi:B.C um triângulo isósceles, em que

AQ

=

AB

= DB

•"ssirri sendo, CD é perpendicular

a

AB (Demonstração 6)

e

õ

triângulo J2BC é um triângulo retângulo. ~ o r t a t } t 1 f Q e ~ n o n s t r a ç ã o ,

...

.

•t

DB'

+ DC

= BC

2

DB•

+

r+H)

2

= .(r+h)

DB• +

r•

+ 2rH + lP

= r•

.

+ 2rll

+

pn• .+

H

2

- h

2

= 2rh -

2rH -

= 2r

h -H )

DB• + H'- h

2

h -H )

.

j

.

I

• 1

4

'

,

• i

.

j

I

EUCLIDES

SEM LAGRIMAS

177

Como a distância DB

é

muito gf ande, comparada com a altura

das

estacas, podemos desprezar

(H

2

- h

2

) e

fazer_;

r-

2

h -H )

- t

AB•

h - H)

.

-j{;j: Esrrêla Polar

' i.

I

I

I

I

I I

I I

I

l

I

I I I :

I

I

I

I I I

i I

I

I

I

Q. *

I I

I I Q : . \ I I

I

I

l \ I

I I oª I I I

I

2 . . ~ I I

Q 0

I

i

i I

i I

I

I I I

I

Paio N. i : ) - - -

I

900-:

'._

d.zl

d.z.

L a r i r u d ~

'

'

-9QOI

1

90°

L -d .z. \

Equador

'Ir.

~ 1 .

- DETERli INAQAO DA. LATITUDE

PELA

ESTRI' T,A POT, A'R

(HEMISF'l':R.IO NORTE) .

. A a Jura (&or;ulo aôbre o horizonte) da

.. rêla

Polar

ê

Igu al

lalilude

do ob

.

Tadorl

p u

o ambos

e q u i v : ~ . l ~ w

a goo

Delerm inação

ila

LatiiHde

Tôd

as

as estrêlas parecem

g1

rar, de leste para oeste, segundo

círculos concêntricos a um eixo que passa por um ponto chamado pólo

celeste. Hoje, explicamos êste fato dizendo que a terra gira em tôrno

de um eixo que passa pelo seu centro, ·seus pólos, e pelo pólo celeste,



178

MARAVILHAS DA)fATEMATICA

etri direção oposta à do movimento aparente dos corpos celestes. W

maior parte das estrêlas põem-se abaixo do horizonte, e só são visíveis

à noite durante parte

do

ano, mas as estrêlas mui próximas do pólo,

como as constelações do Cruzeiro do Sul, Triângulo Austral, Ave do

Paraíso Oitante. nunca se oõem

~ - ~

latitu< l sul,

p < ; p n a m : ~ . l º - Q y •

Tri6ngufo

/Lu,lra/ .. y

l

o do

P. ul

/' -

1900

Zênict

P'ir.

81

A.

-

DETERMINAÇÃO DA LATITUDE PEJ,O CRUZEIRO DO SUL

P'ZLJI

SHlMA DO OlTANTE . (HEMISFtRIO BUL).

A

iJUuri

( l n ~ l o ollbre o horizonte) da e a t r ê l ~ Slgmi do Oltanto, ck ponU

lnado

no

P r o 1 n n ~ - a . m e n t o

do

braço ms or do Oruuiro e a

qu-atro v us

f.at.

oomprf.

m ent o - 6 • l•titudo do nbso1'Vr.dor. A latitude 6 I(Ull a 90• wenoa • dlol&ncl& IIUltal

da SiilllA do Oit...n.te.

slveís qtiase a noite inteira, acima do pólo em algumas estações, abaixo,

em outras.

No

hemisfério sul, a Sigma do Oitante, acha-se tão

pró-

xima do pólo celeste que parece não muda.r de lugar.

Fica

quase no

( l r O ~ O n ~ n t q

do ~ Ó ( o S U ~ com O centro da terra. Çomo OS raios dê

\

I

I

I

l

1

\

I

t

• j


179

luz das estréias são paralelos, os raios que nos envia a Sigma do

Oitante são paralelos ao eixo da terra. Nas Figs.

61

e 61 A, podeis

obserwr que a latitude

de

um lugar

é

o ângulo (altura) que o pólo ce

leste forma cor:1 o horizonte. Assim sendo, fácil

é

descobrir, nas noites

límpidas, qual a latitude da casa em que morais: ba·sta ir ao jardim

e med:r a "aJ.turn" da Sigma do Oitante com um astrolábio (Fig. 12).

Atualmente a estrêla Sigma do Oitante (que figura na Bandeira Bra

sileira, representando o Distrito Federal) gira em um círculo de apenas

1•

de raio, jsto

_

, nunca se afasta mais 1 do pólo

~ l e s t e .

Zênite

Assim sendo sua altura nunca será mais de 1° maior, ou

meno.J

de

t•

menor que a 'vossa latitude. Sendo a circunferênc ia da terra

?e

40 000

quilômetros,

0

processo que acabamos de

d e s c r ~ v e r

fornecer-a a. v.ossa

distância ao Equador com um êrro não .supenor a 40 000 qut.lome

t os _ _ 360" isto é 111 quilômetros aproxanadamente. Se d e s e J a r ~ e s

.:Wor.

p r e i ~ ã o

tomai a ~ é d i a aritmética de duas o b s e r y a ~ õ e s e tas

180


{

i

EUCLIDES

SEl\1

LÃGRIMAS



à m:sma h_ora, p o r é ~ distanciJdas de seis meses, pois que, nesta

ocasta.o a S1gma do

Ottante

ocupará um local oposto, mas na mesma

quantidade,

da

primeira observação. · Se não souberdes achar

0

pólo

sul celeste pela

Sigma

do Oitante, utilizai o Cruzeiro do Sul. Eis

0

processo. -:- Acha-se o pólo súl celeste, aproximadamente, prolongando

lado

m a t ~ r

da cruz ( e?trêlas

f

a e gama)

e

tomando quatro vêzes

este c_ompnmento, a partir d? pe ~ a m a ) . A altura dêste ponto, com

o

honzonte

de vosso lugar, e a Latitude procurada

(Fig.

61 A).

Provàvelmente gostareis de saber determinar também a vossa lon

~ t u ~ e

(Fig.

6 3 ~

..

.

Hoje

em dia, isto

é

muito simples, porque

os

navios

chspoem relogws de precisão, capazes de manter a hora de Green.

Fl r. 68. - Dll:TI':RMlNACõ.O DA LONGITUDE

n l m e l o - d i ~ o aol ae ach·a cxataoaenLa a6bro a l-

nha que une

oa

ponto• norte

1

pr H:tl o n ~ o n t : . b 11to ê, s ~ b r e o meridie.no de lonl'hndo do oburvador. Na firura , ..

mo-

o lv

re

o meradiano

de Greenwich

, portanto

ao melo

-dia

em Gre.enwlch' S.

0

~ s a r v : d o r •e

encontra

o 30° l e ~ t e de Greenwi-ch,

8

te.rra girou de s

d-68de

Qu

1

•

J l u ~ l o n : O ~ P ~ : : r J o ~ l mti&rcou deJO <iJa.. Completcu, p o ~ s , vir6sima p ~ r . t e de 1ue

reTo

·

eo}ar marce 14 he Sar-as, e t n e . n e a n ~ quo, ao

meto-dJ&

de Greeuwich, o qn&dr&n.&t

60

•

ora , o o obse1 va?o.r

est6.

a

60°

e. oeste, a terra ter

i

ainda de l ru

&nt&s qui J eol corte

o

ecu m e n d 1 ~ u o

(o

merldi-&no J.ocal)

ia:to

é um

aexto

da

IUe

tefolucAo

de 24

boraa; o

quadrante

&olar do observador m1uo.arÀ, pols, 's ht'ru

da

m•nhi.

wich d ~ r ~ n t e a viagem inteira, e podem a qualquer momento, escutá-la

pelo_

~ a d 1 0 .

Chama-se

meio -dia

o momento em que o sol corta

0

mendtano e a l c ~ n ç a ~ pois, a sua maior altura.

Se

o nosso quadrante

solar ~ a r ~ a mew-cha uma 1 ~ r a após ser meio-dia em Greenwich,

0

SOJ ter a VIajado - COillO diZJa111 OS a nt igos - mai s 15° para oeste,

i

i

l

·

)

r

i

J

1St

ou a terra girado mais 15° para leste, entre

os

dois meio-dias . Esta-

mos, pois,

15°

a Oeste de Greenwich.

Os

povos da antiguidade des

cobriram que a hora do quadrante solar não coincide com a de outros

pontos da terra, observando a ocorrência dos eclipses ou a ocasião em

que um planeta passava por sôbre o disco lunar. Os babilônios

tinham

relógios de areia,· ou ampulhetas, e podiam, pois, observar o tempo

transcorrido entre o meio-dia de unia certa

data

e o princípio ou fim

de um ecl ipse, ou ocultação. Antes da invenção dos cronômetros, êste

era o melhor processo de determinar a longitu de. Se, num certo lugar,

se observava o início de um eclipse lunar, oito

horas

depois

do

meio-dia

klcal, e

em

outro, 9 horas depois, o meio-dia, no segundo lugar,

ocorria f

t

horas mais cedo que no primeiro. (Vide

Fig

. 116

A)

.

Logo, o segundo lugar achava-se a 1

t

X

15° =

22 t a Leste do pri

meiro.

Os gregos jamais lograram construir mapas baseados em latitude

e longitude. Isto só foi conseguido quando a geometria grega se

transferiu para o grande centro navegador do mundo

cl

ássico, a cidade

de Alexandria.

Demonstração 10

As retas que unem as extremidades de um diâmetro a qualquer

ponto da circunferência, formam

um

ângulo reto" .

As Figs. 64 (

b), c)

e (

d)

mostram como fazer a dissecção . O

raio

do

semicírculo. na

Fig

. 64, tem

r

unidades de comprimento. A

marcha da demonstração é a seguinte:

a + b + c

180•

• + b + (.t + y)

180•

x

+ y)

+

(x

+ y

180•

Zc

180•

c 90•

Esta demonstração nos ensina a determinar grà ficamente (isto é,

por meio de uma figura), a média geométrica de dois números quais

quer (Fig. 64 (e)). Podemos, pois, utilizá-la como

hi

erogli f o para

a obtenção de raízes quadradas, com mais precisão que pelo método

da Fig.

55.

Na

Demonstração 8

(Vide

Fig.

51

achamos que:

P =

\ xy

Para

acharmos v

ry

(Vide Fig. 51 precisamos construir um

ângulo reto, cuja altura, baixada do ângulo réto .CP. unidades de com·

,



182

liA TI.AVILIL\ S DA

. li

A E : ~ I . í '\'fCA

(b)

A

A Dem, 6

mostra porque

R • d

(e)

r

OC

une

oo

rt Hrl»

d)

C·

A Dem . 6

.mourq

porque O·b

x- 2 y•l

'Raio do Círculo

-1/Z (

x +

IJ)

u

I 1 Z

Poro oehor .o i mêdio geom6trlco do 1 e 2 (lato 6

v2J, lofteren

·•• am

tr Anrül

(

1+2 1

ret lorulo num

H>mi dreulo cujo T io A a

mêdia

arlt.mMloa

i.8to 6 c::

1

- •

P.oro oc

hor

yB

por

êate m6todo, t o ~ o · o o :

1

::z:::B: =2; r=

2

64 ,

- DE'MONSTRAQ O 1 0.

I I

primenfo)' divida a hipotenusa em

x

e

y

unidades de comprimento.

Suponha-se que desejamos determinar o valor de

v

Se x =

7

e

=

, y

=

7. Assim, traço uma linha de 8 unidades de compri

mento e levanto uma perpendicular a 1 unidade de um dos extremos,

ou a 7 do outro . Fazendo centro no meio da reta, traço um semicírculo

de 4 unidades de raio, e ligo os extremos da reta-base aos pontos em

. EUCLIDES SEM LA.GRIMAS

183

que o círculo corta a perpend\cular. Qbten)lQ assim llm

â n ~ l o

eto,

e ) yalor p_

· \ ..

.

.

- . t ~ " " ~ ~ · r - : - · - - ~ ~ - - - - - r · - - - - - . , . .

Demcnslração 11

J'ic. 55. - DEMONSTRAQ O 11,

O

= 180'

-

a

(D em. 5)

b =

c (l>em.

6)

: +

c =

2

"Se construímos dois triângulos retângulos do mesmo lado

de

uma perpendicular baixada sôbre o diâmetro de um semicírculo, unindo

Q ponto em que ela toca a circunferência ao centro e

à

extremidade

·lO diâmetro, o ângulo no centro é duas vêzes o ângulo da extremidade

lo diâmetro".

A Fig. 65 ilustra perfeitamente

a

marcha das operações. .

Pbser·

;ando .que C =

180"-

a e que:

a

b

c

180•

b

c

-

180• a

, .

2c

180 - a

.

-

2c

-

c

c

-

tC

Esta

demonstração é muito importante, pois que serviu - com?

veremos adiante - para a cqnstrução do primeiro dicionário

a l e x a n d ~ L -

no de senos. A Fig. 66 mostra-nos como traçar, na plancha do quadran

te solar (Fig.

46)

círculos correspondentes a um grande número de ân-

6"los, a partir daqueles que

já

sabemos traçar

(ex

. : 60•, 30• ou

45•). A

Fig.

65

A ~ n d i c a outros ângulos, a partir dos quais se podem traçar

outra série

de

~ Í r c u l o s ,

prÓprtOS

pat ª f f i < ~ Í [ Q ~ J g U Ç l p ~ o j e t a < o ?.cio

obelisco. · · · -·

D mwn rlração

12

"A relação entre a circunferência

e

seu diâmetro

é

a mesma em

círculos".



18t

I\IARAVILHAS DA MATEMÁTICA

Isto equivale a dizer que a circunferência

é

"tantas vêzes o

diâmetro, seja qual fôr o tamanho do círculo. A relação, aliás, é

um

número esticável, como yZ e como êle se porta na medição .

Como não pode ser representado na mesma forma sumária que um

decimal repetido (dízima periódica), representamo-lo pelo pronome n.

Mais

tarde veremos que seu valor é proximàmente 3

t.

A demons·

Fir. 65 A. -

OOMO

SE OllTtM

AKGULOS de 67 li

•

e 76•,

O o doi o &nguloa

A

oiln equivalenlec

na

o

uu

fiiUUI (Demonolraçno O), Aebam·

11

a.eua T&Iorot pela

l Jemonf\Lratlo

6

tração que a êle nos conduz, relaciona a medida do triângulo com a

do círculo. Ensina a calcular a circunferência de u:na roda, conhecido

o seu raio, ou que comprimento precisamos dar a êstc

para

construir

uma roda que gire tantas vêzes por quilômetro. Nela se baseia o

ciclümetro (o primeiro modêlo de ciclômdro apareceu em Alexandria,

cêrca de

100

a. C.) e o indicador de velocidade, ou velocímetro . A ela

se deve, também, o fundamento de tôdas as grandes medições da terra,

do sal e da lua. Conhecida a circunferência da t ~ l a (calculada pelo

processo tão simples exposto na pág . 247), esta demonstração nos

permite calcular-lhe o raio e também a circunferência de qualquer

círculo de latitude. Sem o n não haveria Colombo nem George Ste

phenson.

Tudo

nos leva a crer que a medição da círculo foi sugerida pelas

figuras poligonais ou pelos círculos traçados (pois que são tão fáceis

de fazer) na superfície convexa da argila, na mesa da ceramista.

As figuras como as representadas na ú7, sugerindo luz e sombra, sol

e lua, eclipse e claridade meridiana, realidades sempre presentes de

labor e devoção no mundo de antanho, são reminiscências dos padrões

geométricos que adornavam os vasos antigos (coma os famosos vasos

de Chipre, cêrca 1000 a. C.).

Outra

possibilidade, é porém, que a

medição do círculo t enha provindo do método babilônico de inscrever

um hexágono na circunferência, provàvelmente para dividir a faixa

da eclíptica nas seis primitivas constelações do zodíaco. · -

.,

/

'\

,1

I,

r

l

_

EUCLIDES

S-EM LAGRIMAS

185

Observando a Fig. 67, nota-se , imediatamente, t rês coisas:

a)

'A

circunferê-ncia e a área de um círculo são, a um tempo, menores

que o perímetro e a área do polígono que a circunsc reve, e maiores

que as de um polí gono nela inscrito. (

b Um

polígono que circuns-

J

ç ~ c u l o

.(lados tangentes ao círculo), ou um p o l í g o ~ 1 0 ~ i :

'ir. ee.

- COMO

SE CALIBRA

O

qUADRANTE SOLAR.

l'•nindo doa hruloo de 67 h

•

e 75• (obtidos n& lig, 65

A)

pod6111oa olilift

67

1

/ . • ; ss :Y •

. ••

eunscrito por um círculo (vértices sôbre a circunfe rência) pode ser

ílecomposto em tantos triâng-ulos retângulos quantos são os seL1s lados

vêzes dois; (c) A soma dos ângulos centrais de tod as êsses triângulos

retângulos, perfaz

3 6 ~

.



186

MARAVILHAS DA MATEMÁTICA .,.

Observando a

Fig. 68, vereis como se pode traçar

um

polígono

de

n

lados iguais, inscrito

num

círculo de raio

r

(unidades de compri

mento)

ou

circunscrito a um círculo de raio

R

(unidades de comprimen

to). Começamos por colocar o ângulo A no centro; depois, vamos

~ o c a n ~ o o

a

lado,

211

triângulos equivalentes, .ora encostados .eela

?nl r<>no

< e c

hc oe

lr;uaia,

o o n . t l ~ u d o do

. ·a

t.riAnv;uloa reUn-:ulos de

360'

l

:

gulo

;

)ntr.al o:: 4.5•,

Pol tona

do 8

loodaa

eqnl•

. ~ ~ . l c . n t u , eonatituldo de 15

triingulo rct&ngulo• ooa

Anruloa cr.ntrl\i

rle

sno•

- ·- =

22 ~ · .

16

~ l ã iiie6rridõ eiitri

áola quorlrn•lo• (pollronOI

do ' ll.do•

irWiil),

.

Circulo oncorri4o ont.ri

pol <onOI oil

I l d.N

e q \ l i V f l i l l i U l ~

Ofreulõ êiieomc õ iiitri

1 1J01I&onoa

do

I 1 <101

• q u i u l . e ~

Fi1.

&7. -

DA RODA

DO OLEIRO AO VALOR

DI :

IC.

hipotenusa,

ora

pela base, até retornarmos

ao

ponto de onde partimos.

Como os ângulos centrais perfazem 360•, e são todos equtvalentes,

'podemos escreyer_;

3600

2u

1-

j •

i

I

.I

· EUCLIDES

SEM

LÃGRIMAb

.

181

. Observemos agorã a Fig. 69. 0'emos,

a

esquerda:,

a

is círculos

circunscrevendo dois poligonos de lados equivalentes. A direita, dois

polígonos de lados equivalentes circunscrevendo dois círculos concên

tricos. Na

figura,

t1

é

igual

a 6. Em

cada figura, traçaram-se os

dois polígonos de modo ,que

95

loze triângulos retângulos

em que

podem

ser dissecados fiquem com os mesmos ângulos agudos. Como

J < K f o ~ os triângulos r e ~ â . n g l ) Q s

me mq ~ n g u o

agudq ~ ~ o s e D - e h a n t ~

Como

sr

comtrôi

u polígono dt

a lados

inscrito

nu círculo

dr

raio .

r • hlporenusà

360"

A·ZI]

li) Como , consrr6i um ·

poligono

de n lado drcunJmlo

t

u

círculo dt

raio

R

i lr. u

(Demonstração

S c)), a

razão dos lados correspondentes

do triân

gulos maior e menor

é

a mesma. (Demonstração 7 . Chamando r o

raio do círculo pe_ueno,

e

R o círculo granQe

a

iB:U .a ga ~ ~ u ~ ~ ~ a

Ul()stra-nos

que_;

PB

OB

-

,

PB

R

P

-

pb

t:

Zn

X

PB ZR

2t' X pb_

f :

8S

MARAVILHAS DA MATBlMATlCA


189



Como os polígonos circunscritos são ambos con:tituídos de

triângulos retângulos, os seus perímetros valem.

Zn

ve;_es

pb

isto

é

PB. Assim, chamando C o perímetro

do

maiOr e c o

do

. m c t ~ o r

o.

0

diâmetro

do

círculo maior

e o do

menor, podemos

e s c ~ e v c r

D C c

,

d

ou

D

d

F

-

A

FIGUitA ILUSTRA A REJ,AÇAO Jl'lXA EXISTENTE

ENTRE

O Pl l•

i t l ~ Ú : i · i w

OU

l OLIGONO INSCRITO

é o que inscreve) E O DJ,\Ml :'J'RO DO.

CIRCULO.

isto é, a razão

do

diâmetro do círcu:o circunscrevedor para o

p e r í m e t r ~

dos polígonos

de

11 lados equ ivalentes,

é

sempre a mesma, quando 11

\)

Da figura da direita, tiramos:

pa

PA PO PA

ou

-

pO

PO

pO

pa

2

X

PA)

ZR

D

=

211

X

lPa)

2r

d

Assim, chamando

C

e

c

os perímetro s dos dois polígonos cir

Çttnscrevedores, teremos;

c

D

I

c

d

Tamh<:\m é

eX'ato,

pois, que a razão do perímetro de um poligono

( e

11 lados iguais para o diâmetro

do cí

rculo inscrito, é a mesma em

todos os círculos .

Voltando à Fig. 67 vereis que, se se aumentar o número de

lados, o perímetro (e a área) do polígono de dentro aproximar-se-ão

'do perímetro (e da área) polígono de fom, e amhos diferirão

menos

do

perímetro (ou área) do círculo que passa entre ambos. Se

se continuar a fazer polígonos insc-;·itos. e circunscritos com um número

de lados cada vez maior, c h e g a ~ s e á mais e mais a uma figura cada

vez mais indistinguível do círctlo. Como a razão entre o perímetro de

polígonos semelhantes, circ•,nscritos c o diâmetro, é a mesma em

todos

os

círculos,

e

a razão

e n t ~ e

o perímetro ele po.Jígonos inscritos se

melhantes

e

o diâmetro é a mesma em todos os círcnlos, a rnzão,

entre a circnnferência (pedmetro)

(c) rlo

círculo

c o

seu diâmetro,

é

a

mesma

em

todos

os

círculos. Chamando esta razão ,

x,

teremos:

c

ou

m

Zm::

ri

Só depois de e ~ t u d : 1 : a utilização ele :t:, procuraremos

um

meio

de obter-lhe um valot· p r e c i ~ o . Não obstante, para sati sfazer a cu

riosidade do leitor, depois

de

tanto trabalho , apre

se

ntaremos o método

mais simples e menos aproximado. Euclides nunca o utilizou, con

quanto. já

em

1 500

a.

C., os egípcios tivessem obtido para r o valor

3,16.

assaz satisfatório para operações

qur.

admitam n'a margem

de

1

%

de êrro.

Se

lhe tivésseis perguntado qual a vantag-em

em

conhe

cer êste valor.

êle

vos teria oferecido uma moeda, pelo vosso incômo

do. Ao

ui

e ~ t á a

O 'perímetro de ttlll quadrado que inscreve um círculo de diâmetro

d é igunl a 4d . Rasta traçá-lo para ver por que . Conseqüentemente,

a circunferência do circulo é men cr CJUe 4d. O polígono de seis lados

equivalentes constituído

ele

clc

ze triângulos retângulos

de

300

. Vimo;

que a altura dêsses triângulos

é

metade da hipotenusa (Demonstração

6). Para um polígono circunscrito

nutm

circunferência de raio d,

a hipotenusa (Vide Fig . 68. metade superior) é igual ao raio. Por

tanto, a alturn,

em

relação ao ângulo central,

é

igual a 1

d.

O perÍ·

metro do polígono de seis lados equivalentes é 12 vêzes êste valor,



100


isto

é,

3d A circunfe rência <lo circulo é, pois, i11enoi' que 4d e maior

que 3d O que equivale a dizer que

rc

fica entre 3 e ;\. ' :rc = 3,5

±

0,5),

Basta olhar

a

figura

pa

ra

ver que a circunferência: ao círculo

é

mais

próxima

do polígono hexagonal inscrito do que do quadrado que a

circunscreve.

rc é,

pois, maior do que 3 e mais próximo de 3 que de

Em

outras palavras , fica entre 3 e 3,5

·(lt =

3,25

±

0,25).

O btido um valor para lt, fácil é calcular a área de qualquer cir

cul ei . Observando a Fig . 68 (metade inferior), vê-se que a área do

, p o l í ~ O Qe n

lados que inscreve a circun erência

é: ·

n vêzes R

(altura)

{Demonstração 3):

1

R vêzes o perímetro

E quando

é

tão grande que mal se poâe 'disUnguir o poligot:to

Üci círculo,

= l._t..

itP.

E como D = 2R ' ·

''

-

1 ' W

:: ~ t K " '

C onhecido o raio

à

tétrã:,

n

nos faculta calcular-lhe a magnifuife

A Eucl ides devemos a demonstraç ão que nos permite fazê-lo. Nestr

capítu lo, omitimos qualquer referência à geometria das figuras sólida

por uma

única

ra

z

ão:

podem-se

obter

os mesmo resultados, com muito

menos trabalho, com outras espécies de matemática que soprepujaram

a geometria

grega

. O que aprendemos basta para fazermos uma idéia

das

origens dêsses desenvolvimentos posteriores. Se podemos deter·

minar a distância da terra à lua, pelo método a que

já

nos referimm

e

que

examinaremos, detalhadamente, mais adiante, podemos, tam

bém, pelo mesmo processo, determinar o raio da lua e calcular a sua

magni tude. D o r : ~ . v a . n . ( . e

l

tr.d. parte ativa em. todos

os

cálculos celeste.•

(Capítulo

6).

O CLíMAX D.A GEOMETRIA GREGA

'A geometria grega que, em 300 a . C. , Euclid es levou para Alexan

dria, já atingira o seu clímax. Constituíam-na todos os princípios de

qu e árabes e alexandrinos extrairiam as regras de cálculo e métOdm

mai·s econômicos de cartografia, astronomia , geografia, arquitetut'l\

e domésticos. A incapacidade dos gregos em fazerem descobertas no

'táveis, seguindo a luminosa trilha de Anaxágoras ou d e s e n v o l v e n d ~

as br ilhantes medições de Aristarco e Eratóstenes (Capítulo

6), fo:

devida ao fato de a geometria se ·

ter

transformado num passatempo

9e intelectuais, desinteressados nas realizações sociais de artesãos r

rnari nhejros.

Quando

def. rontados com quantidades como v3 ou n.

I

I

I

I •

I.

I

EUCLIDES

BEM

LAGRIJ

;\.s

lU

insuscetíveis de representação nos números próprios (ovelhas e reses)

de sua herança social, os gregos viam-se num dilema.

Para

cont01·

na-lo, poderiam, ou bem aumentar o seu vocabulário numeral - que

foi o que Arquimedes tentou; mais t rd e tornando-o mais adequado

à função de representar as imperfeições do conhecimento humano, ou

bem refugiar-se dentro de uma perfeição abstrata, banindo a medição

da geometria. Escolheram a última. Euclides jamais se refere, como

nós outros, a lados e áreas, ou a quadrados de números representativos

de comprimentos. Refere-se a lados, linhas e figuras. Não utiliza

números a b s t r a t ~ s como nós outros, para representar tantas uni

dades de medida. Só usava as letras como rótulos para linhas e fi

guras, e os números, como representações dos resultados dos cálculos

feitos no ábaco.

A doutrina platônica de que régua e compasso eram os únicos

instrumentos que o geômetra devia usar no traçado de suas figuras ,

é perfeitamente concorde com o conceito de matemática do grande

filósofo. Cie<linetria, para Platão, era um instrumento de perfeição

·espiritual. Não se pode esperar atingir a perfeição espiritual e di

vertir-se, ao mesmo tempo. Porta nto, nada mais natural, para os

adeptos desta estranha teor ia, que tornar a geometria tão difícil e

sensaborona quantq a acharam muitas gerações de colegiais. A geo

metr ia era a ocupação mais sublime dos Jazeres intelectU'ais. A graç a

do jôgo estava ·em tornar-lhe a:s regras o mais complicadas possíveis.

Da mas e bridg·11 de leilão eram diversões r e p u t d ~ demasiado banais

por aquêles intelectuais desempregados que adotavam o platonismo.

rues

desejavam xadr

ez

e bridge de contrato Homens que, como o ate

niense Arquitas, inventavam novos instrumentos para traçar curvas,

não eram bem recebidos, e muit.'as iniciativas interessantes foram bar-

radas por êste desfavor das classes superiores .

Tôda essa anarquia matemática, dissimula uma contradição fun

damental. As figuras são, no fim de contas, coisas que têm de ser

traçadas por sêres humanos imperfeitos com instrumentos não menQs

imperfeitos, e o próprio Euclides ensinava que só se deviam usar

construções (aliás, dissecções, tal como as chamamos) uma vez de

monstrada a possibilidade de efetuá-las com os dois instrumentos per

mitidos

(a

régua e o compasso). Foi o que fizemos nas nossas regras

preliminares de dissecção.

E'

exato dizer que não se pode dividir

uma reta nwn número inteiro de unidades exatamente iguais .Também

.\

exato

afirmar

(pgs. 75-85) que

os

materiais de experimentação

da

geometria grega, marcas no papel ou rabiscos na cêra e na areia, não

eram precisamente o material ideal pam representar algo exatame'nte

igual a outra coisa. · ·

·Depois

da

fundação da Universidade de Alex-andria ( cêrca 320

Ç..)_, m ~ ; ç ~ . M l < : Q ª g ~ e g q s pquço P.rog:ressQ izt:ra.JII . N_ossº

ger·

192

MARAVILHAS DA MATEMATICA

EUCLIDES SEM LáGRIMAS 193



radeiro olhar

à

matemática no continente grego, antes da queda de

Constantinopla, conquistada pelos turcos, revela o culto do quadrado

mágico (Fig. 70) que o bizantino Moschopoulos levou para a Itália no

décimo-_quinto século da nossa era. A gramática dos n ú m e r : º ~ l n o u

1

15

14

4

i

12

6

7

9

8

10

11

5

13 3

2

16

Fie. 70.

- O

QUADRADO

MAGIOO.

4. Traçai t:m triânc-ulo isósceles com um ângulo de

12Ü .

Se

os dois lados iguais têm, cada um. 1 unidade ele comprimento, achai

uma expressão para a área do triângulo. Qual a área, se os lados

iguais têm a m ~ i d a c l e s de comprimento?

5. Traçai gráficos que ilustrem as seguintes equações:

(2a

+

3b)

2

= 4a

2

+

12ab

+

9b

2

3a - 2b)

2

= 9a

2

- I2ab

+ 4b

1

(2a +

3b)

3 a -

2b)

= 6a

2

+

Sal'

- 6ú'

(2a

+

3b) 2 a -

3b)

=

4n

- 9ú

2

6. No últimp capítulo o leitor aprendeu a desenvolver expressõ.es

como

a+

b) e a- ú)2. Estas identidades podem servir

para

ele

var ao quadrado muitas outras expressões, como, por exemplo:

( x + Y + 1) = 1-t +

Yl

2

+

2 · 1 + Yi + 1

7

=

.t

2

+

2xy

+

y• +

2. r

+ 2y

+

1

~ u e ,

em geral, se escreve assim·:

Vifflllco••l•

que

qualquer

l i l i l ia, O<liun• ou

alaconal, ..

ma

u

;- -

InoonliO- numii-

uln·

1

[-

(x t _ x2-=-

=-

2xy

• prata Uo sér.ulo XVI, lh:t..e

quadrado

protegia o 1eu

pouuidor

oont.ra a p&lt.e. t:at..e mêt.odo T I T I I r I

t.arapêutit:o nilo ae confin.ave a

enfermidade.a

de

óri ,em

microbi•n6, ramb6m tdnha pre-

tençõ&.S psioanaUticss

. Hl

um

qua-drado

m (ico numa

plr I ed4

de uma d•a

mai.l

famoa.u

rravur

.

da Albrochl DUrer.

por onde começara, num misto de superstição e de palavras cruzadas.

N10 capítulo seguinte, veremos que os intelectuais gregos, defrontados

com a crise de sua cultura social, já se entregavam às palavras-cruza

das, muito antes de abolirem os números

da

geometria.

DESCOBERTAS E PERGUNTAS SOBRE O CAPtTULO •

l.

Dua.s retas se cortam, formando

os

ângulos A, B, C e D. Re

presentai, gràficamente,

os

outros três ângulos, quando A fôr igual

(i)

a 3Ü , (ii) a 6Ü ,

(iii)

a 45•.

2.

Um

triângulo tem três lados de comprimento a, b, c, opostos

aos três ângulos A, B e C. Prolongai o lado a até o ponto

E,

traçai

a figuro e achai o valor do ângulo ACE quando (i) A = 30•, B =45•

i

(ii) A = 45•, l3 =

75•.

Chamando o ângulo

ACE

de ângulo

externo

em

C, qual a

regra

geral que exprime a relação existente

entre

o

ângulo exterior de um triângulo c os dois ângulos internos opostos?

3. Traçai um triângu lo eqüilátero de 1 unidade de lado. Baixai

uma perpendicular de um vértice sôbre o lado oposto. Exprimí a

a área do triângulo em tênnos de a) sen

60 (b)

cos 30•. Se o

comprimento do lado _ôr a unidades, qual a sua área?

N ate-se que quando é mister empregar parêntesis uns dentro dos

outros. suhsti tu em-se os externos por colchêtes. para evitar confusão.

Achai , por êste processo, o valor das seguintes

expressões:

(.t +

y

+

2)2

x + y

- 2)

2

(2a

2

+

3y

2

)

2

(x•

+ y•)•

x 1

I )

2

x

- I )

2

(4a -

Sb)

xy )•

7. Basta inverter o processo para calcular as raízes das expres·

sões

elo

tipo

a•

±

2ab

+

b

2

Achai, pois, as raízes elas seguintes expressões:

9. r

2

+

42xy

+

49y"

a•

+

6a

+

9

4a

2

- 20ab + 1

25b

1

.t

2

- 2.t' + 1

l6a

2

- 72ab + 8lb

2

r

2

+

2x +

.:r

2

+

24xy + 144y•

194


r.



8. Val endo-vos da identidade (a+ b) a b) = a

1

, ._. b , achai

o valor das seguintes expressões:

(.r

+

1) (x - 1)

·

ex + 3) x - 3)

(ab +

1

(ab - 1) (a - b ) (a• + P

x

+ y

-

2) x +

y

+ 2)

9.

E'

de grande utilidade saber decompor em fatôres uma ex·

pressão complicada. Já sabeis decompor em fatôres expressões do

tipo :

a

2

+

2ab

+

b

2

•

A identidade

a -

b

2

= a

b)

a+

b

pres-

ta

-se para a decomposição em fatôres, de expressões " d i f e r c · n ç ~ de

dois .quadrados", como por exemplo":

(8x

2

)

2

- (9y)

- (8x

2

-

9y)

(8x

2

+

y)

P odeis, pois, decompor

em

fatôres, as seguintes expressões;

'

I

EUCLIDES SEM LlORIMAS

195

-· .14. Traçai quatro triângulos retângulos, com ângulos agudos de

t()ô,

300,

45• e 75• respectivamente. Em cada triângulo baixai uma

perpendicular do vértice sôbre a hipotenusa.

Em

cada caso, em que

ª lgulos a perpendicular divide o ângulo reto? ·

-· 15. :Uma escada, encostada a um muro vertical faz com êle um

ângulo de 30•. .Os pés da escada ficam a 3 metros da parede. Que

~ i , r a da parede alcança a escada e qual o seu comprimento?

e;

.16.

.Um guarda-roupa de 1,80 m de altura, fica num recinto cujo

Edo

é

inclinado.

A

distância mínima a que se pode

c o o c ~ - l o ~

Q,§Q

m da parede, Qual a inclinação do teto? ·

.fi

,

,17. ,Um telhado tem uma inclinação de 60•. Termina a 4,50 m

(Iõ solo.. ,Constrói-se uma extensão, até o telhado ~ i s a r a p e n ( l ~

1,5Q

m

clQ sold. Qual o comprimento da extensão? ·

· 18. AQ meio-dia,

um

poste telegráfico de Sm projeta uma sombra

de 500 c .l}, Ql a a . i l i s ~ ª c i a ~ m i t < l go âR l .Clise a, ~ ª b u a cJas

gentes).

x•

- 1 a

- (b

+

c)

.-. 19. 'Ao trieio-ôia, quando a distância zenital do sol

era 300,

a

(a

+

b)2 _

c• (x + y)2

_

1 sõinbra de um poste de iluminação tangenciava a base de uma escada de

- . - . - . - - - - 3 , 5 0 m, a êle encostada, bem no teu tô llQ,__Quanto mais long

-=o

s.:: :i

7

a-'a

ro - (b - c) .

1:

8

- y

8

sombra do poste, se a distância ~ e 1 ; 1 j t a l so f )sse 9Q• _Traça a

a• -

b•

a•

+

2nb + b - 1

81

-

x

x•

+

2xy

+

y

-

2

1

(x

+

2 - x- 1)•

1O. Achai o v-alor do terceiro ângulo de um triângulo, quan(lo

os dois outros têm os ·seguintes valores:

(I) 15•, 75•

.(III)

49•, 81•

(II)

30•,

90

" IV)

1100, 60

(V) 90•, 12•

11.

Se voltardes à Fig. 13, vereis o que se entende por distân

cia zenital (z) e altura

(a)

de um corpo celeste. Expli cai por que

_a =90• -

z e z

= 90• -

a.

12 . Se a altura da Sigma do Oitante é de 23• S. no Rio de

Janeiro , 26• S.

em

Curitiba e 30'S. em Pôr o Alegre, qual a sua

distância zen i a l

em

cada um dêstes lugares?

13. A estrêla Procion (alfa da Cão Menor) dista 9Sb do pólo

sul (medidos sôbre o merid iano ). Traça i figuras que mostrem sua

posição em relação ao pólo sul , em cada um dos três lugares citados

no problema precedente. Qual a sua distância zenital e a altura em

cada caso?

~ i g u r a . Pispensam-se cálculos).

-· 20. As

cinco horas da tarde, a sombra de um marco de lm ele

altura media 5m. Ao mesmo tempo,

a

sombra

d

um

b ª : ~ a . I } C O

111edia

óO :11· . Qual a altura do barranco? .

21.

:Um agrimensor deseja medir a largura de um rio que não

pode atravessar. Há, na margem oposta, um objeto bem visível, P.

De um

ponto A,

de

sua margem,

à

esquerda de P, o agrimensor mede

o ângulo entre a margem e a direção de

P

e acha

30•.

De um

outro ponto, B,

à

direita de P, o agrimensor faz o mesmo e acha 45•,

Depois mede AB e acha 20 metros. :rraç ai uma figura representativa

da situação e achai a largura do rio. (C have: Achai as relações entre

a altura baixadª r_ i Q ~ ) : : C b,I3_

e

os segmentos f>,B - e somai

QS ~ > e g m e n t o s ) .

22. U m ~ moeda de Cr$ 0,50 (0,02 m de diâmet ro)', colocada

a

i s t â n c i ~ de 0,50 m do ólho, encobrirá exatamente o disco solar ou

da lua. Adotando, para distância da terr a ao sol, o valor 1

50

milhões

de quilômetros, calculai o seu diâmetro. Adotando

para

Qiâme rQ

ga

Y l 1 9 ~ SQQ ~ u i l õ m e t r o s , calculai a sua ~ i s t ª ~ ç i < -

Se sen A

=

cos

60",

quanto vale A?,

Se sen A

= cos

45•, quanto vale A?

Se

cos A = sen 15•, quanto vale A?

§e

91s

ô ,:::: ª ,

_ q u a ~ t o

'ta e b:l

196

MARAVILHAS

DA MATEMÁTICA

EUCLIDES SEM LAGniMAS

197



- I

S

- -

3

- -

1

- ·

t • l t ,

_ sen ·= -

2

- çºs :r

;

2

t t ª º - º

ya_e a g -t l

Se

sen

x =

0,4 e cos

x

=

0,9,

quanto vale a tg x ?

Se c

os .-r

=

0,8

e sen x =

0,6,

quanto vale a tg x

?

gg =. 0, ?. ~ ~ 9 s , = sua l;Q

yª\e

ª

g

xl

. 1 1 i

25.

,Us-ai as tábuas

âe

·quadrados e raízes quadradas para achai:

Q e r c c [ ~ o

l a ~ Q go t r . ~ n 1 5 u l o

: ~ ª n ~ u 9 . ~ u j _ o s

lados conhecidos m c 4 e n ~ :J

;c

a

r

. 1 ~

trictrõs, 5 metros

,(ú):

3 centímetros, 1 c l t Í t t l e ~ r o ~

~ ( c ) ~ Q , O l ~ , 9

1

.?.

Qtiantos

\ra\º :C?

( l j ~ ~ : ~ ( ) S ~ ª ( )

p { l s . s ~ e i s

p ã ~ ª

()

terceiro )acici,

CJtl

~ a g a triângulo?,- ·- - · .

26. Construí duas figuras, com escalas rigorosas, que Y9ê

P , e ~ i ~ .

~ \ : . 1 tabular

os

quadrados dos números inteiros de 1

a 7.

i

, 27. Fazei construções geométricas

que vos

permitam

e a ~ l ª l

ªs méuias aritméticas e geométricas

de,

2 e

8,

l e 9, 4 e 16.

28. Qual a distância zen i al de uma estrêla razando o

h o r i z o n t e ~

Quando na passagem meridim.

1a,

Canopus - depois de Sirius, a estrêlaj

mais brilhante do céu - está 7• acima do ponto Sul do horizonte, n a ~

imediações

dà

Grande Pirâmide (Latitude,

30•).

Qual o ângulo entrq

Canopus e a Polar? Supondo fixo o ângulo formado por duas e s t r ê ~

las, quando ambas sôbre o mcri ia lo, <JUal

) í l , t i ~ \ I Q ~

T i a ~ ~ C C ~ t ú 9 ~

e Jl que· a n o p u s

é

visível?. ,

·29.

'A 21

de dezembro o

sol

acha-se sôbre o Trópico do Cá·

pricórnio (Latitude

23

"S.), Mostrai,

com

o auxílio

de

uma figura.

análoga às 61 e 62, qual a sua altura e sua distância zenital em Buenos

Aires ( Lat. 34• 1S.), no instante da su-a passagem meridiana, isto é,

a.o meio-dia. Qual a latituqe

~ n a i s

setentr onal,

<la

qua Q so y i ~ ~ < . ; ~

ao meio-dia desta data?

1

-

···

· 30. · Qual

a

altura

do

sol meridiano a

23 de

s e t e ' : n b ~ Q em N?Y< ,•

Iorque (Lat. 41• N.) e Rio de Janeiro (23• S.).

· 31: Numa ilha do Brasil, a sombr-a de um poste telegráfico

mais curta no instante em que o rádio dá, para hora de G r e e : ' . " ' c ~ .

14

horas e

14

minutos. - Qual

é

esta ilha e sua longitude?

--- 32. Dividí um polígono de x lados equivalentes em ,-r triângulo9

equivalentes

1

p-ara

( ) S l f . é J . .<ll C Q ~ n ~ , \ Q ~ 1 1 ~ ~ ~ ª d o ~ ª

r a s _ ~ g

2 x - 4

do

ângulo reto.

.t·

31 Qual a altura

de um

faro cuja u ~ ~

y síye

à º - i ~ t â n c ª

g

g u j l Ü . l < ~ I Q S

34.

Da borla do mastro

âe

i.tiii navio - a

20

metros sôbre o

nh·el do mar - pode-se avistar o cume

de

um

p r o m o n t ~ r ~ o ?

de 30

metros

de

altura. Qual a distância do navio ao promonton?. _

35.

Ao

meio-dia

de

determinada data,

as

sombras de dms postes

yerHcais, A e B de 1,50 m de altura, medem 0,974 m e

0 , 9 3 ~

m, respec;

tiYamente,

A fica 110 quilômetros ao norte

de

B.

Q u ~ l

o ralO da terra,-

36. Traçai um quadrado circunscrito a um Circulo ue 1 deCI•

r.

1

2tro

de

raio e mostrai que o seu perímetro

é

igual a 8 tg_ 45•.

' p o i s , traçai um qu-adrado inscrito no mesmo_ c í r c ~ t l o , e mostra que

0

seu

perímetro

é

igual a

8

sen

45•.

Mostrai, analogamente, que

_o

perímetro do hexágono circunscrito é

12

tg ~ O · , c que o do

~ e x a

g-ono inscrito

é

12 sen

300.

Descobri qual o ~ r ~ m e t ~ o de u';l

o c t o g ~ n o

i n ~ c r i t o e circunscrito, e

de um

dodecágono mscnto e c1rcunscnto.

(12 lados). , . _ . , . . . .

37. Calculai

os

valores numencos

dos

penmetros um ~ u a ·

( 1 r ~ ( l o , hexágono, octógono e dodecágono,

i n s c r i ~ o s

e circtmscnto;.

Tabulai os diversos valores, para ver entre quais f1ca n:, usando as ta

Luas de

senos e tangentes.

38. Mostrai que a área do quadrado circunscrito é 4 lg 45",

e :1

<1

0

quadrado inscrito

4 sen

45•

cos

45•. Quais

as

úrcas do b:xá-

gnno

inscrito e circunscrito? Achai uma exprcss_i\o geral

p-ara

a area

ce figuras inscritas e circunscritas

de

11 lados equivalentes, observanuo

360•

sue,

no

caso

do

quadrado, a área

é

4

tg

-8 - ..

39. Como

a área

ue

um círculo

de

unidade de raio

.é

n: ·cm·

2

=

lt

qtmndo r 1), usai

as e x p r e s s õ e ~

gerais

que

acabastes de

ob.tcr

para

achar

os

limites entre

os

quais f1ca

:t,

supondo-o entre as arcas do

polígono inscrito e circunscrito

de

180 1-auos iguai

s.

4D Adotando para o raio

da

terra o valor

de 6

300 quilômetros,

oual a distância entre dois lugares de mesma longitude, separados por

io de latitude?

41.

Qual a distância

de

dois pontos, ambos sôbre o Equador,

mas separados por 1 de longitude? _ • _

42.

Depois de navegar 320 quilômetros par:t oeste,

um

naviO

ve i fica

que

sua longitude se alterou de S•. Qual a sua l a t i t u d e ~

43. No dia do solstício

do

verão, o sol se acha exatamente sobre

o

Trópico

do

Capricórnio (Latitude

"S.);

no

solstício

do

inverno,

~ ô b r e o Trópico

do

Câncer (23

" N.).

Fazei uma figura mostrando

qual a inclinação do sol meridiano sôbre o horizonte de Pôrto Alerrre

(Latitude 30• 2' S.) a

21

de dezembro e 21

de

junho.

44. Mostrai, por meio

de

figuras, que a sombra

<lo

n i c i o - < l i ~ ser.l

pre

apont-a

para o sul

em

Curitiba (Lat.

25•

25' S.) ; em Florianópolis

,(Lat

..

. J ~

~ - ) . e P ô r ~ o

Alegre (3Q•

2'

S.).


199



1V8

MARAVILHAS

DA MATEMÁTICA:

45.

Como sa·beríeis, observando à sombra: solar

áo

fueio-:dia, a ü ~

ran.le o correr. d() ano, ser a yossa situaçãq geográ i e ~ _ ;

' ( a ) ~

r.J\.o

sul de

.66 ó

de I.:atitude Sul?,

(

b

'

Entre

os 66 o e

os

23 o de Latitude Sul?.

'(c)' Entre os

23

o de Latitude Su e º : q u a ~ o l

(d)

No

Polo

Sul

exatamente?

{e)' Sôbre o Círculo Antártico?

(f) Exatamente

sôbre o Trópico

do _ C a p r i < : ó r n i Ú . ~

g

r

Exatamente

sôbre o Equador?.

~ 6 .

Eni qtie latitudes

se r

·á a sombra solar ão meio-(1ia igt at l

altura do obelisco que a projeta (a ) ' a

21

de junho, (b) ·a 21 9e

março, (c) a 21 de dezembro? .

47. A 23

de setembro. o

cronômetro

de um navio marcava · .;

lioras

e 44 minutos (Hora

de

Greenwich),

no momento em que

o

sol

cortava o

meridiano

,

formando

um ângulo de 56° com ·o ponto norte

do horizonte.

Que

pôr o dem"·1dava êste navio?

(Usa

o mapa}.

48.

Se

Rio

de

Janeiro está

no meridiano de

43•

de Longituae

Oeste

e

Moscou no de

37 • de Longitude

Leste, qual será a )tora

ocal nestas cidades

quando

em Greenwich forem

21

horas?

49.

,Valendo-vos da

Demonstração 9

e da definição do círculo

(figura

constituÍda

por pontos eqüidistantes do Celllro), mostrai que

o centro é também o ponto de cruzamento das perpendiculares levan·

(<).4as do meio de duas

cordas

quaisquer do· círculo.

50. Como usaríeis êste conhecimento se quiséss·eis fazer a

t>ase

ae

üm

teodolito, como o

representado

na Figura

12,

com a tampa

ç i r ~ u l a r

·

de

um banquinho ou determinar o

centro

de

uma

lata circular?

i 51. Prolongai o lado BC do triângulo 'ABC

até

um ponto D

ê

fuostrai

que

o ângulo

ACD = < CAB + :: ABC. Quando

dois

observadores,

em

B e C, visam

um

objeto em

A,

o ângulo CAB cha·

ma-se

·paralaxe

em relação aos dois observadores. Explicai, partindo

da Demonstração 5,

porque a

paralaxe

de

um objeto

é

a diferença

e·ntre suas elevações medidas de B e de C, se A tiver

Q

mesmo

~ z . i m u t e

pa <l

JS

9,ois observadores.

FóRMULAS PARA

DECORAn

'

1'.

Num

triângulo

de

k.lle

b

(lado oposto

ao ãngillõ B) , um

laôo a

(oposto

ao ângulo

A)

e outro c (oposto ao ângulo q

e.

ª ~ \ P ~

li

_

perpe

ndicular

baixada

do ponto B sôbre a base b

': . :

~ ( I X

8, Aréa

=

j lrb

_(II) A : : Ç . -- _1800

------

Se B

(I)

(l i )

(UI)

C

= 90

A

A=90 -C

b

=

c• + a•

a

sen A = -

=

cos C

b

cosA

c

_

sen

C

b

tgA

g

c

2.

Num

círculo de raio

r (diâmetro

d)

Ciréunferência

=

Znr (ou

rul)_

Area = nr2

3.

Dois triângulos são

e q u i v a l e ~ t e s :

. (I) Se

têm os

três

lados eqmvalentes. . - . . . .

. (li) .

Se dois lados e o ângulo

c o m p n ~ e n d t d o

de

um

sao eqm·

valentes

aos dois lados e ângulo compreendtdo do outro. - .

.

(III) Se um lado e os dois

â n g u l ~ s

adjacentes de

um

sao

~ u t ·

yalentes a um lado e os dois ângulos adJacentes do

outro.

OBSERVAÇÃO AOS LEITORES BRASILEIROS

Lembramos aos leitores brasileiros, moradores e·ntre o

T r ~ p i ~

do Ca ricórnio e o Equador (2Ü" 30' S. e oo) I que a sombra soar

p r o j e t ~ d a

para

o Sul durante seis meses e

para

o Norte ~ u ~ a n ~ o s a d ~

tros seis meses, conforme o sol se ache ao norte

ou

ao su o u.

à

A nossa adaptação para o Hemisfério Sul

é,

normalmente, ~ : e f e n d a

latitude de ;P.ôrto Alegre.

Nº l_a 4a Edilôra ·

hogben euclides sem lagrimas

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