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4ª Aula Prática (de Exercícios) de Sistemas e Sinais (LEIC – Alameda – 2005/06)

(aula prática da semana de 7-11/Novembro/2005)

Sumário:

• Convolução (cont.); • Aproximação de equações diferenciais pelo método de

Euler progressivo; • Série de Fourier de sinais contínuos no tempo.

• Convolução

Exercício 1:

Considere os seguintes sistemas LIT, com respostas impulsivas dadas por h(.) e entradas dadas por x(.). Determine a saída y(.) para cada sistema. a)

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )10

- funçao escalao unitariocom: 0 1

n

n

h n u n

x n u n u n

u n

β

α

βα β

=

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦⎧⎪

< <⎨⎪ ≠⎩

b)

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

3 2

com: - funçao escalao unitario

t

t

h t e u t

x t e u t u t

u t

−

−

=

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

2

c)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

10

2 7

com: - funçao escalao unitario

h n u n u n

x n u n u n

u n

= − −

= − − −

Solução:

( )

0 , 11 , 2 6

5 , 7 1116 , 12 16

0 , 17

nn n

y n nn n

n

≤⎧⎪ − ≤ ≤⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪− + ≤ ≤⎪

≥⎪⎩

d)

( )1 , 1 2 , 00 , caso contrario

nh n n

= ±⎧⎪= =⎨⎪⎩

( )

2 , 0 3 , 1

2 , 1 0 , caso contrario

nn

x nn

=⎧⎪ =⎪= ⎨− =⎪⎪⎩

3

Solução:

( )

0 , 2 2 , 1 7 , 0 6 , 11 , 22 ,

nnn

y n nn

≤ −= −=

= =− =− 3 0 , 4

nn

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪

=⎪⎪ ≥⎩

e) Considere um sistema LIT com a seguinte resposta ao impulso:

( )1 , 0 4 50 , caso contrario

nh n

⎧ ≤ ≤⎪= ⎨⎪⎩

Determine uma expressão que relacione a saída y(n), deste sistema, com uma entrada arbitrária x(n). Solução:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 3 2 15

y n x n x n x n x n x n⎡ ⎤= − + − + − + − +⎣ ⎦

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Exercício 2:

Considere um sistema representado em modelo de espaço de estados contínuo. O sistema possui ordem N, uma saída y(t), e duas entradas x1(t) e x2(t). Assuma que a segunda entrada é obtida por realimentação de estado, com x2(t) = - Ks(t), em que K é um vector linha de dimensão N. Determine uma aproximação discreta do modelo de estado utilizando o método de Euler progressivo com um período de amostragem Ta. Exercício 3:

Um sinal contínuo e periódico x(t) possui valores reais e período fundamental de T0 = 8 segundos. Os coeficientes da série de Fourier (expressa na forma exponencial) de x(t) que não são nulos, são os seguintes:

X1= X -1= 2 e X3= X*-3= 4j

Expresse x(t) na forma de soma de cosenos, i.e.:

( )0 0

2cosk kk

x t A k tTπ φ

∞

=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

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Exercício 4:

Seja x1(t) um sinal contínuo e periódico com frequência fundamental w1 e coeficientes de Fourier (na forma exp.) Xk

1. Sabendo que: x2(t) = x1(t - 1) + x1(1 - t) a) Relacione a frequência fundamental w2 de x2(t), com w1. b) Encontre a relação entre os coeficientes da série de Fourier de x2(t) e de x1(t), i.e. relacione Xk

2 com Xk

1.

Exercício 5:

Determine os coeficientes da série de Fourier (na forma exp.), i.e. Xk, do seguinte sinal periódico:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

t

x(t)

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Solução:

1 cos 2 cos , com 03 3

0 , com 0k

k k kX jk

k

π ππ

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ≠⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎣ ⎦⎪ =⎩