HISTÓRICO E ORIGEM DOS HISTÓRICO E ORIGEM DOS GRAFOSGRAFOS

Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes

Março - 2009

HISTÓRICO

A teoria de grafos tem uma origem relativamente recente (século XVIII) na história da matemática. Dentre os primeiros cientistas a trabalhar nesta área se destacam L. Euler, G. Kirchhoff e A. Cayley. A teoria de grafos tem extensiva utilização em matemática aplicada, pois demonstra ser uma poderosa ferramenta para a modelagem de diversas situações reais em, entre outros, física, química, biologia, engenharia e pesquisa operacional

As pontes de Konigsberg

O primeiro e mais famoso problema em teoria de grafos foi resolvido por Euler em 1736. Na cidade de Konigsberg sete pontes cruzam o rio Pregel estabelecendo ligações entre duas ilhas e entre as ilhas e as margens opostas do rio.

As pontes de Konigsberg

Será possível fazer um passeio pela cidade, começando e terminando no mesmo lugar, cruzando cada ponte exatamente uma vez?

As pontes de Konigsberg

Euler representou as relações graficamente. A cada margem e ilha associou um nó e a cada ponte um arco.

Grafo

AB

C

D

Grafo: é uma noção simples, abstrata e intuitiva, usada para representar a idéia de alguma espécie de relação entre os objetos. Graficamente, aparece representado por uma figura com nós ou vértices, significando os objetos, unidos por um traço denominado aresta configurando a relação imaginada.

Grafo

Pensamos em um grafo como um conjunto de pontos num plano ou no espaço e um conjunto de segmentos ou linhas (possivelmente curvas), sendo que cada linha junta dois pontos ou um ponto para si próprio.

Representação Matemática

Um grafo é representado matematicamente por:

G = (V,E)

Onde V é o conjunto de vértices e E é o conjunto de arestas ou ligações entre os vértices. (|V| = n, |E| = m).

Onde: n = |V| é a ordem do grafo m = |E| é o tamanho do grafo.

Se m = 0 o grafo é dito trivial.

Exemplo 1

A figura acima mostra o grafo G(V,E). Observe que laços (self-loops) são permitidos pela definição. Múltiplas linhas não são permitidas. Neste exemplo, V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e E = {{1,3}, {2,3},{3,4},{3,5},{6,6}}. È comum a utilização da variável vi ou xi, i = 1, 2, ..., n para a distinção dos nós (vértices). |V| = 6, |E| =5.

Exemplo 2 Seja o grafo G(V,A) dado por:

V = { p | p é uma pessoa }A = { (u,v) | < u é amigo de v > }

Seja o exemplo:V = { Maria, Pedro, Joana, Luiz }A = { (Maria, Pedro) , (Joana, Maria) , (Maria, Luiz), (Pedro, Luiz) , (Joana, Pedro) } Construa o grafo do exemplo acima.

Exemplo 2

Vértices e Arestas

Em um grafo não orientado G=(V,E), o conjunto de arestas E consiste em pares de vértices não ordenados. V={1,2,3,4,5,6} E={(1,2),(1,5),(2,5),(3,6)}

1 2 3

4 5 6

Aplicações práticas para grafos

Motores de busca de páginas WebVértices são as páginas HTML e as arestas

(direcionadas) são links ligando as páginas

Identificar proximidade entre duas páginas quaisquer

Identificar se uma página é acessível a partir de outra

Identificar o número de links para uma página (grau do vértice)

Aplicações práticas para grafos Roteamento de Carga

Vértices são pontos de entrega e as arestas (com pesos) são estradas

Descobrir a rota de entrega com menor custo

Identificar a rota mais rápida

Problema de Fluxo em Redes

Você poderia citar outras situações que poderiam ser modeladas através de Grafos?