historia y filosofia de las matematicas

ndice

PREFACIO DEL AUTOR................................................................................................................11

CAPITULO I ....................................................................................................................................15MATEMTICAS EN EGIPTO Y MESOPOTAMIA......................................................................15

Influjo emprico y prctico en los orgenes de las matemticas...................................................161.1 Egipcios..............................................................................................................................17

1.2 Babilonios...............................................................................................................................231.3 Biografas................................................................................................................................28

Ahmes......................................................................................................................................281.4 Sntesis, anlisis, investigacin...............................................................................................28

CAPITULO II....................................................................................................................................29EL MUNDO GRIEGO PRESOCRTICO.......................................................................................29

2.1 Los griegos..............................................................................................................................31Mileto.......................................................................................................................................31La historia griega......................................................................................................................32

2.2 Escuelas de pensamiento.........................................................................................................34Thales y la escuela jnica.........................................................................................................34Cosmologa..............................................................................................................................36Pitgoras...................................................................................................................................37La escuela eletica....................................................................................................................44

2.3 Los 3 problemas de la Antigedad..........................................................................................462.4 Biografas................................................................................................................................47

Pitgoras de Samos .................................................................................................................47Thales de Mileto.......................................................................................................................48

2.5 Sntesis, anlisis, investigacin...............................................................................................52

CAPITULO III..................................................................................................................................55ATENAS...........................................................................................................................................55

3.1 Los sofistas y Scrates............................................................................................................573.2 Platn......................................................................................................................................583.3 Eudoxo de Cnido.....................................................................................................................613.4 Aristteles...............................................................................................................................623.5 Biografas................................................................................................................................653.6 Sntesis, anlisis, investigacin...............................................................................................68

CAPITULO IV..................................................................................................................................71EUCLIDES Y APOLONIO...............................................................................................................71...........................................................................................................................................................71

4.1 Euclides...................................................................................................................................71Los Elementos..........................................................................................................................73

Postulados............................................................................................................................74Nociones comunes...............................................................................................................74

4.2 Apolonio.................................................................................................................................814.3 Anexo: Libro V de los Elementos de Euclides, teoremas.......................................................844.4 Biografas ...............................................................................................................................894.5 Sntesis, anlisis, investigacin...............................................................................................89

CAPITULO V....................................................................................................................................92EL MUNDO ALEJANDRINO.........................................................................................................92

5.1 Los Alejandrinos.....................................................................................................................925.2 Arqumedes.............................................................................................................................94

El mtodo de Exhauscin.........................................................................................................96Polgonos y crculos.................................................................................................................98El infinito.................................................................................................................................98Un ejemplo...............................................................................................................................99Otros resultados......................................................................................................................102El mtodo...............................................................................................................................103

5.3 Hern.....................................................................................................................................1055.4 Trigonometra.......................................................................................................................1065.5 lgebra y aritmtica..............................................................................................................108

Diofanto..................................................................................................................................109Pappus....................................................................................................................................110

5.6 Otras ciencias........................................................................................................................1115.7 Biografas .............................................................................................................................1135.8 Sntesis, anlisis, investigacin.............................................................................................115

CAPITULO VI................................................................................................................................118COSMOLOGA Y ASTRONOMA GRIEGAS.............................................................................118

6.1 Visiones cosmolgicas..........................................................................................................119Eudoxo...................................................................................................................................119Herclides...............................................................................................................................120Aristteles..............................................................................................................................120Aristarco.................................................................................................................................121Apolonio, Hiparco..................................................................................................................122

6.2 Ptolomeo...............................................................................................................................123El Almagesto..........................................................................................................................126

6.3 Un balance sobre las matemticas alejandrinas....................................................................1266.4 Biografas..............................................................................................................................1296.5 Sntesis, anlisis, investigacin.............................................................................................130

CAPITULO VII...............................................................................................................................133MATEMTICAS CHINAS............................................................................................................133

7.1 Una visin panormica de la cultura matemtica china........................................................133Varillas...................................................................................................................................134Chiu Chang.............................................................................................................................135

7.2 Resultados relevantes............................................................................................................136Un balance..............................................................................................................................137

7.3 Sntesis, anlisis, investigacin.............................................................................................138

CAPITULO VIII..............................................................................................................................139MATEMTICAS EN LA INDIA...................................................................................................139

8.1 Matemticas vdicas.............................................................................................................139La seccin urea.....................................................................................................................141

8.2 Periodos Jainista y Bakhshali................................................................................................143Jainista....................................................................................................................................143Bakhshali................................................................................................................................143

8.3 El periodo clsico..................................................................................................................1448.4 La escuela de Kerala.............................................................................................................1478.5 Biografas..............................................................................................................................1488.6 Sntesis, anlisis, investigacin.............................................................................................149

CAPITULO IX................................................................................................................................150EL INFLUJO RABE.....................................................................................................................150

9.1 La cultura rabe.....................................................................................................................1519.2 Las matemticas rabes.........................................................................................................154

Al-Khwarizmi........................................................................................................................155Ibn Qurra................................................................................................................................156Omar Khayyam......................................................................................................................157Otros resultados......................................................................................................................158Trigonometra.........................................................................................................................158

9.3 Un balance............................................................................................................................1599.4 Biografas..............................................................................................................................1619.5 Sntesis, anlisis, investigacin.............................................................................................164

CAPITULO X..................................................................................................................................166LA EDAD MEDIA EUROPEA......................................................................................................166

10.1 Romanos.............................................................................................................................16810.2 La Edad Media europea......................................................................................................170

Las traducciones.....................................................................................................................171Un primer "contacto''..............................................................................................................172Crticas...................................................................................................................................174

10.3 Las matemticas medievales...............................................................................................17610.4 Biografas............................................................................................................................17710.5 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................180

CAPITULO XI................................................................................................................................182MATEMTICAS EN EL RENACIMIENTO................................................................................182

11.1 En el camino hacia una nueva sociedad..............................................................................182Un proceso mltiple...............................................................................................................183Cambios intelectuales y tcnicos............................................................................................184Ideas y actitudes nuevas.........................................................................................................186

11.2 Las matemticas del Renacimiento.....................................................................................18611.3 La Perspectiva.....................................................................................................................18811.4 Mapas..................................................................................................................................19011.5 Astronoma y matemticas..................................................................................................19011.6 Trigonometra.....................................................................................................................19211.7 Aritmtica y lgebra............................................................................................................194

Las ecuaciones de tercer y cuarto grados...............................................................................196El progreso en los smbolos...................................................................................................198Vieta.......................................................................................................................................198

11.8 Logaritmos: un resultado relevante.....................................................................................19911.9 Una nueva relacin.............................................................................................................19911.10 Biografas..........................................................................................................................20011.11 Sntesis, anlisis, investigacin.........................................................................................209

CAPITULO XII...............................................................................................................................212LA NUEVA COSMOLOGA.........................................................................................................212

12.1 La Revolucin Cientfica como un proceso mltiple.........................................................212La astronoma.........................................................................................................................213

12.2 Coprnico............................................................................................................................21412.3 Kepler..................................................................................................................................22012.4 Galileo.................................................................................................................................22312.5 Biografas............................................................................................................................22912.6 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................231

CAPITULO XIII..............................................................................................................................237NUEVOS MTODOS EN LAS CIENCIAS..................................................................................237

13.1 Bacon..................................................................................................................................238Experiencia y tradiciones artesanales.....................................................................................238Los mtodos en la ciencia y las matemticas.........................................................................239

13.2 Descartes.............................................................................................................................239El mtodo...............................................................................................................................240Las matemticas.....................................................................................................................240Ruptura con el pensamiento medieval...................................................................................241nfasis diferentes...................................................................................................................241

13.3 Galileo.................................................................................................................................242La descripcin matemtica.....................................................................................................243Galileo y Descartes.................................................................................................................245Matemticas y experiencia.....................................................................................................246

13.4 Universidades y sociedades cientficas...............................................................................24713.5 Biografas............................................................................................................................249

13.6 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................252

CAPITULO XIV.............................................................................................................................256REVOLUCIN EN LA GEOMETRA..........................................................................................256

14.1 Geometra proyectiva..........................................................................................................25714.2 Geometra de coordenadas..................................................................................................258

Oresme...................................................................................................................................258Relacin entre lgebra y geometra........................................................................................259Vieta.......................................................................................................................................259Fermat....................................................................................................................................260Descartes................................................................................................................................261Diferencias entre Fermat y Descartes?.................................................................................262Wallis y Barrow.....................................................................................................................263Anlisis, sntesis, lgebra.......................................................................................................264

14.3 lgebra y geometra: una perspectiva.................................................................................26414.4 Biografas............................................................................................................................26614.5 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................269

CAPITULO XV...............................................................................................................................270EL CLCULO INFINITESIMAL..................................................................................................270

15.1 Hacia el clculo...................................................................................................................271Fermat y la tangente...............................................................................................................271Barrow....................................................................................................................................272reas y curvas........................................................................................................................273La funcin: un concepto clave...............................................................................................274Wallis y Huygens...................................................................................................................275

15.2 Newton................................................................................................................................277Crticas...................................................................................................................................281

15.3 Leibniz................................................................................................................................28415.4 Newton y Leibniz................................................................................................................28815.6 Biografas............................................................................................................................29015.7 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................293

CAPITULO XVI.............................................................................................................................295EULER Y SU TIEMPO..................................................................................................................295

16.1 Las matemticas del siglo XVIII........................................................................................29516.2 Los Bernoulli......................................................................................................................29716.3 Euler....................................................................................................................................29916.4 Biografas............................................................................................................................30316.5 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................307

CAPITULO XVII............................................................................................................................308LAS MATEMTICAS EN FRANCIA..........................................................................................308

17.1 Clairaut, d'Alembert, de Moivre, Bzout............................................................................30917.2 En torno a la Revolucin.....................................................................................................310

Monge....................................................................................................................................311

Carnot.....................................................................................................................................312Legendre.................................................................................................................................313Lagrange.................................................................................................................................314Laplace...................................................................................................................................315Fourier, Poisson......................................................................................................................318

17.3 Cauchy, Galois....................................................................................................................320Cauchy....................................................................................................................................320Galois.....................................................................................................................................321

17.4 La segunda mitad del siglo XIX.........................................................................................322Hermite, Darboux, Liouville..................................................................................................322Poincar..................................................................................................................................325

17.5 Biografas............................................................................................................................32617.6 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................336

CAPITULO XVIII...........................................................................................................................338LAS MATEMTICAS EN ALEMANIA.......................................................................................338

18.1 Gauss...................................................................................................................................33918.2 Jacobi, Dirichlet..................................................................................................................341

Jacobi......................................................................................................................................341Dirichlet..................................................................................................................................341

18.3 Riemann..............................................................................................................................34218.4 Weierstrass..........................................................................................................................34418.5 La escuela de Berln............................................................................................................344

Kummer..................................................................................................................................344Kronecker...............................................................................................................................345Dedekind................................................................................................................................346

18.6 Cantor..................................................................................................................................34718.7 Klein y el Programa de Erlanger.........................................................................................34918.8 Hilbert.................................................................................................................................35018.9 Biografas............................................................................................................................35318.10 Sntesis, anlisis, investigacin.........................................................................................363

CAPITULO XIX.............................................................................................................................367LAS MATEMTICAS EN LAS ISLAS BRITNICAS...............................................................367

19.1 En el siglo XVIII.................................................................................................................367Maclaurin, Taylor...................................................................................................................367Implicaciones de la polmica.................................................................................................368

19.2 Siglo XIX............................................................................................................................369Peacock, De Morgan, Babbage, Herschel..............................................................................369Green, Hamilton.....................................................................................................................369Cayley, Sylvester, Salmon.....................................................................................................370Clifford...................................................................................................................................371Boole, Peirce..........................................................................................................................371


CAPITULO XX...............................................................................................................................376EL LGEBRA DEL SIGLO XIX...................................................................................................376 ........................................................................................................................................................376

20.1 Los grupos...........................................................................................................................37620.2 "Aritmetizacin" del lgebra...............................................................................................38320.3 Los hipercomplejos.............................................................................................................38520.4 Matrices y determinantes....................................................................................................39020.5 Biografas............................................................................................................................39920.6 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................402

CAPITULO XXI.............................................................................................................................404LAS GEOMETRAS DEL SIGLO XIX.........................................................................................404

21.1 Sinttica y algebraica..........................................................................................................40521.2 No euclidianas.....................................................................................................................40921.3 La geometra diferencial.....................................................................................................41321.4 El "Programa de Erlanger"..................................................................................................41821.5 La topologa........................................................................................................................42321.6 Biografas............................................................................................................................42721.7 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................437

CAPITULO XXII............................................................................................................................445EL RIGOR EN LAS MATEMTICAS..........................................................................................445

22.1 Bolzano y Cauchy...............................................................................................................446Bolzano..................................................................................................................................446Cauchy....................................................................................................................................447

22.2 Weierstrass..........................................................................................................................45022.3 Aritmetizacin del anlisis..................................................................................................452

Mray y Weierstrass...............................................................................................................452Dedekind................................................................................................................................453Cantor.....................................................................................................................................454

22.4 Rigor: una perspectiva histrica..........................................................................................45522.5 Biografas............................................................................................................................45622.6 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................459

CAPITULO XXIII...........................................................................................................................460FILOSOFA Y MATEMTICAS EN LA GRECIA ANTIGUA...................................................460

23.1 Perspectiva general.............................................................................................................46023.2 Platn y las Formas.............................................................................................................46323.3 Matemticas y universales en Aristteles...........................................................................46723.4 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................470

CAPITULO XXIV..........................................................................................................................474RACIONALISMO Y MATEMTICAS EN LA MODERNIDAD...............................................474

24.1 Un panorama general..........................................................................................................475En la Edad Media...................................................................................................................475El Empirismo.........................................................................................................................476

El siglo XVII..........................................................................................................................476El Racionalismo.....................................................................................................................477

24.2 Descartes.............................................................................................................................478El mtodo en la filosofa........................................................................................................478El mundo en Descartes...........................................................................................................481Matemticas y metafsica.......................................................................................................481Sobre las matemticas............................................................................................................483Una matemtica universal......................................................................................................484

24.3 Spinoza................................................................................................................................48624.4 Leibniz................................................................................................................................487

Dos principios........................................................................................................................488Verdades.................................................................................................................................489Sobre las matemticas............................................................................................................490

24.5 Kant.....................................................................................................................................491El papel del sujeto..................................................................................................................492Construccin e intuicin.........................................................................................................493Kant y Descartes.....................................................................................................................494Balance...................................................................................................................................495


CAPITULO XXV............................................................................................................................500MATEMTICAS, FILOSOFA Y LGICA.................................................................................500

25.1 Las nuevas matemticas de los siglos XVIII y XIX...........................................................50125.2 Matemticas y filosofa.......................................................................................................50425.3 Lgica y matemticas.........................................................................................................50625.4 Biografas............................................................................................................................50825.5 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................510

CAPITULO XXVI..........................................................................................................................512LOS FUNDAMENTOS DE LAS MATEMTICAS.....................................................................512

26.1 El logicismo........................................................................................................................513La evidencia lgica como fundamento...................................................................................514Paradojas................................................................................................................................515

26.2 El intuicionismo..................................................................................................................51626.3 El formalismo......................................................................................................................518

Sistemas formales...................................................................................................................519El convencionalismo..............................................................................................................520En busca de la certeza............................................................................................................521

26.4 Gdel...................................................................................................................................521Implicaciones.........................................................................................................................522

26.5 Falibilismo e infalibilismo en las matemticas...................................................................523Diversidad matemtica...........................................................................................................524Contra el absolutismo e infalibilismo.....................................................................................525Relevancia para la Educacin Matemtica.............................................................................526

26.6 Biografas............................................................................................................................527

26.7 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................531

CAPITULO XXVII.........................................................................................................................537USOS DE LA HISTORIA EN LA EDUCACIN MATEMTICA.............................................537

27.1 Relevancia de la historia en la educacin cientfica y matemtica.....................................53727.2 Ideologa y prctica matemtica.........................................................................................53927.3 Filosofas e historia de las matemticas..............................................................................54027.4 Historia y educacin matemtica........................................................................................54327.5 Anexo: internalismo y externalismo en la Historia de la Ciencia.......................................54627.6 Biografas............................................................................................................................54927.7 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................554

CAPITULO XXVIII........................................................................................................................557QU SON LAS MATEMTICAS?..............................................................................................557

28.1 Las comunidades matemticas............................................................................................558Objetividad y subjetividad.....................................................................................................558La contextualizacin y el influjo externo...............................................................................559Sociocultura y transdisciplina................................................................................................560

28.2 Diversidad matemtica........................................................................................................560Diversidad y unidad...............................................................................................................560

28.3 Es la matemtica a priori?.................................................................................................56128.4 La naturaleza de las matemticas........................................................................................56228.5 Epistemologa matemtica..................................................................................................56428.6 Posiciones falibilistas en la filosofa de las matemticas....................................................565

Kitcher....................................................................................................................................566Ernest y el constructivismo social..........................................................................................569

28.7 Un balance final..................................................................................................................57128.8 Biografas............................................................................................................................57228.9 Sntesis, anlisis, investigacin...........................................................................................573

SOBRE EL AUTOR........................................................................................................................580

BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS ............................................................................................582

PREFACIO DEL AUTOR

Estimada amiga, estimado amigo:

El libro que usted tiene en sus manos, busca ofrecer una visin panormica de la historia y filosofa de las matemticas. Se trata apenas de una introduccin a los mltiples temas que estas disciplinas contienen y provocan. En algunos casos, no obstante, daremos un tratamiento ms detallado; en otros buscaremos extraer las implicaciones filosficas o pedaggicas. Pero en general preservaremos un sentido muy amplio. A quines va dirigido? A todo pblico. Los requisitos tericos o tcnicos son deliberadamente pocos para permitir que est al alcance de la mayora de las personas interesadas. No es un libro para especialistas. Tratamos de brindar una perspectiva cultural de la evolucin de los quehaceres matemticos. No obstante, probablemente, los estudiantes, profesores o estudiosos de las matemticas podrn obtener un provecho mayor de esta obra. Ms an, las secciones de sntesis, anlisis e investigacin que acompaan cada captulo permiten realizar profundizaciones importantes para quien as lo desee. Depender de los profesores o de las instituciones, o de los deseos de cada cual, el uso que se le d a esta obra. De hecho, se pueden seguir varias secuencias de lectura o estudio vlidas plenamente.Nuestro libro integra desde el tratamiento propiamente matemtico y el histrico de las matemticas, pasando por la interpretacin de entornos sociohistricos o culturales ms amplios, hasta referencias biogrficas especficas. Se trata de una obra polifactica y multidimensional. El libro est dividido en partes, captulos, secciones y subsecciones, para favorecer la estructura de los contenidos y el manejo didctico de la obra. No obstante, se puede notar la existencia de asuntos que tocan varios captulos, aunque dentro de objetivos intelectuales distintos. Pusimos al final dos partes de filosofa, pero, tambin, debo decirlo, de muchas maneras: hay filosofa en todas partes. Esta obra posee una vocacin filosfica. Hemos querido transmitir una visin de las matemticas (y de los problemas filosficos que stas plantean) estimulante, crtica, y, debemos enfatizarlo, inacabada. Buscamos persistentemente mostrar el carcter humano y social, terrenal, vital, de las matemticas. En toda la obra, usted encontrar la oportunidad para acompaarnos en este viaje con sus propias opiniones y comentarios.

11

Espero que nuestro libro pueda ser un valioso instrumento para motivarle en el estudio de las matemticas, en su enseanza aprendizaje, y sobre todo en su aprecio por estas disciplinas; las matemticas son una de las ms importantes aventuras intelectuales que ha realizado la humanidad, se trata de un derrotero lleno siempre de avances y retrocesos, angustias, xitos, fracasos, ilusiones y esperanzas; como todo en la vida. Y, adems, espero que esta experiencia pueda ser un dilogo. No dude en comunicarse y conversar conmigo. Aprovechemos el entorno tecnolgico que nos proporciona esta compleja y rica poca; vivimos un extraordinario escenario que, sin duda, nos aleja precipitadamente de la Modernidad hacia un nuevo universo de posibilidades y retos.

Cordialmente

ngel Ruiz

12

PRIMERA PARTE

EN LA ANTUGEDAD

En esta primera parte nos interesa hacer un bosquejo de la historia las matemticas en la Antigedad. Vamos a concentrarnos en los aportes de la Grecia Antigua, una gran civilizacin que constituye un fundamento de la cultura occidental y de la sociedad mundial que vivimos. Iniciamos con los aportes las caractersticas intelectuales y matemticas de los egipcios y mesopotmicos , cuya influencia en los desarrollos griegos se dar de una forma permanente, aunque con grados distintos en las diferentes etapas de su evolucin. Ms an, en las grandes civilizaciones de la Edad del Bronce encontramos los primeros elementos del desenvolvimiento de una visin cientfica y cultural que constituye una importante herencia para la humanidad. En lo que se refiere a las matemticas y las ciencias en general, la civilizacin griega, ya parte de la Edad del Hierro, represent un salto cualitativo. Un nfasis en la bsqueda de explicaciones naturalistas, fue un primer paso. Actitudes y mtodos deductivos y demostrativos en las matemticas, es otro elemento. Hay que aadir importantes resultados en la mecnica, la cosmologa, la hidrosttica, la ptica y otras partes del conocimiento. Estos aportes van a estar siempre rodeados de dimensiones religiosas, msticas, ideolgicas y filosficas. En muchas ocasiones, es imposible separar la indagacin de carcter cientfico de aquellas derivadas de otras fuentes de la cultura social.

13

Concentramos nuestra descripcin primeramente en lo que hemos llamado el mundo presocrtico . Aqu nos interesa repasar algunas de las actitudes naturalistas jnicas, pero sobre todo, puesto que se trata de la historia de las matemticas, los asuntos en torno a la escuela pitagrica y la eletica. En segundo lugar, seguimos a la evolucin socio poltica, histrica, de la civilizacin griega, y estudiamos las matemticas en la ciudad -Estado de Atenas. sta misma vivi diferentes momentos, lo que a veces no se consigna con precisin. No obstante, lo que nos va a interesar sobre todo van a ser los aportes o las ideas de dos grandes filsofos: Platn y Aristteles. Nos parece ms apropiado en ese contexto inscribir la obra de ese gran matemtico llamado Eudoxo. Para dar fin a esta etapa clsica de la civilizacin griega no podemos dejar de darle relevancia a los trabajos de Euclides y Apolonio, que de muchas maneras tuvieron un papel paradigmtico en torno a la prctica de las matemticas. El siguiente periodo es el del mundo alejandrino o helenstico, que emerge despus de la conquista macedonia y la muerte de Alejandro el Grande. El inters para las ciencias y las matemticas nos refiere fundamentalmente a aquella parte del imperio de Alejandro en Egipto, aunque debe mencionarse que en el mundo selucida se desarrollaron importantes tradiciones culturales. De primera entrada, deber subrayarse el hecho de que la cultura alrededor de la ciudad de Alejandra se desarroll exactamente en un lugar que fue el mismo de una gran civilizacin de la Edad del Bronce. Las influencias interacciones culturales que esto puede suponer son muchas. Tambin, es posible establecer diferentes fase en este perodo. Son muchas las figuras importantes de las matemticas de esta poca, pero nos concentraremos en la de Arqumedes, Ptolomeo, Diofanto y Pappus. Y, repetimos, queremos trasmitir una visin general de lo que fue el periodo. Mucho de las matemticas de la antigedad griega podra decirse que fue, ms que nada, astronoma, tanto por la fuente de sus problemas, sus mtodos, sus motivaciones, como por el influjo de las visiones del universo y la realidad que la condicionaron. Tal vez deba hablarse de cosmo matemticas o astro matemticas . El nfasis en la geometra hara ms bien decir astro geometra o cosmo geometra . Por eso mismo, hemos destinado un captulo a algunas de las visiones cosmolgicas de la antigedad griega, por supuesto, rematando en ese importante resultado, desde un punto de vista astronmico y matemtico, que fue el trabajo de Ptolomeo. Con la visin que buscamos en esta parte ya podremos entonces empezar el camino intelectual para estudiar la historia de las matemticas en la sociedad moderna. Antes, sin embargo, tendremos que incursionar en el influjo de otras culturas del planeta y, tambin, en las caractersticas del escenario cultural y matemtico de la Europa medieval.

14

CAPITULO I

MATEMTICAS EN EGIPTO Y MESOPOTAMIA

Dnde o cmo nacen las matemticas? Es toda una discusin. Sin embargo, hay una pregunta previa: qu son las matemticas? Si no se responde sta ltima, la otra no se puede contestar con rigor, porque podramos recorrer historias diferentes segn lo que creamos son las matemticas. Hay mltiples posibilidades. Sin embargo, la respuesta a qu son las matemticas no es fcil. Reflexione un poco: tratan las matemticas de los conocimientos obtenidos solamente por deduccin lgica u otros recursos se podran admitir? Sin demostraciones no hay matemtica? Y, aun ms: qu son demostraciones vlidas? Tienen las matemticas objetos de estudio fsicos o mentales? Cmo son y dnde estn los objetos de las matemticas? Son las matemticas una ciencia natural? Son las matemticas un lenguaje? Se descubren o construyen las matemticas?

Rostro egipcio del ao 1 350 a. C.

15

La reflexin y el debate sobre la naturaleza de las matemticas son muy importantes, pero resulta ms apropiado que los realicemos poco a poco a lo largo de todo nuestro libro. La realidad es que, ms o menos, todos sabemos a qu se refieren las matemticas. Y es preferible que primeramente ampliemos nuestra visin sobre estos quehaceres que en la historia se han considerado matemticos para luego buscar mayor claridad sobre la naturaleza de stos.

Influjo emprico y prctico en los orgenes de las matemticasPodemos decir que las matemticas en las civilizaciones primitivas, en gran medida, refieren al clculo de terrenos, a la decoracin en cermica, al comercio ms trivial, a los modelos y diseos en la ropa o al recuento del correr del tiempo en la vida cotidiana. Esto no debe, sin embargo, verse con malos ojos. Porque se trata de un sentido ntimo de las matemticas, imbricadas en la prctica humana, inmersas interactivamente en su entorno. En relacin con las culturas orientales primitivas, seala Struik: "La matemtica Oriental se origin como una ciencia prctica para facilitar el cmputo del calendario, la administracin de las cosechas, la organizacin de trabajos pblicos, y la recolecta de impuestos. El nfasis inicial estaba naturalmente en la aritmtica prctica y la medicin. Sin embargo, una ciencia cultivada durante siglos por un oficio especial cuya tarea no slo es aplicarlo sino tambin para instruir en sus secretos, desarrolla tendencias hacia la abstraccin. Gradualmente, llegar a ser estudiada en s misma. La aritmtica no slo evolucion hacia el lgebra porque permiti cmputos prcticos mejores, pero tambin porque era el resultado natural de una ciencia cultivada y desarrollada en las escuelas de escribas. Por estas mismas razones, la medicin se desarroll hacia los principios -pero no ms- de una geometra terica.'' [Struik, A Concise History of Mathematics, p. 18] Muchas de las matemticas en las culturas orientales deben buscarse en esas realizaciones prcticas precisamente, para evaluar el conocimiento matemtico de que disponan. Dos de las civilizaciones de la Edad del Bronce relevantes para la historia de las ciencias y las matemticas, importantes nutrientes de las matemticas griegas, fueron la egipcia y la babilnica, pueblos que ocuparon regiones alrededor de importantes ros: respectivamente, alrededor del Nilo y alrededor del Tigris y ufrates. En el caso de estos ltimos, es necesario decir que no se trataba de una sola civilizacin sino, ms bien, de varios pueblos alrededor de las regiones mencionadas. A pesar de ello, se considera que, en relacin con las matemticas, hubo cierta continuidad y una tradicin desde los tiempos ms remotos hasta la conquista de esos territorios por parte de los macedonios.

16

file:///D:/Oscar/CIMM/Libros/Historia y filosof?a de las matem?ticas/Parte8/Cap27/Parte06_27.htm#Struikfile:///D:/Oscar/CIMM/Libros/Historia y filosof?a de las matem?ticas/Parte8/Cap27/Parte06_27.htm#Struik

Nefertiti y familia.

1.1 EgipciosLa historia de las matemticas en Egipto, aunque diferente de la de los babilonios, no trascendi los lmites prcticos y la evidencia emprica en sus construcciones tericas.

Gran pirmide, vista area.

Segn la opinin de los historiadores, Egipto nace alrededor del ao cuatro mil a.C. y su mximo esplendor se dio alrededor del ao 2 500 a.C. Al igual que con Mesopotamia, la civilizacin sigui un curso que se vera drsticamente alterado solo hasta la conquista macedonia.

Las principales referencias que tenemos en relacin con las matemticas egipcias son documentos escritos sobre papiro, un material frgil, por lo que realmente se tiene muy poca base para una descripcin precisa de la naturaleza y los lmites de la cultura y las matemticas de esta civilizacin.

17

Papiro de Rhind.

Uno de los papiros sobrevivientes es el llamado papiro de Mosc (se encuentra en el Museo de Bellas Artes de Mosc), otro el papiro Rhind -en honor de Henry Rhind- tambin llamado el papiro Ahmes, el nombre supuestamente del autor (este ltimo en el Museo Britnico). Se ha cifrado el ao 1 650 a.C. para este ltimo, y 1 850 a.C. para el primer papiro.

Papiro de Mosc.

En relacin con el primero, aparecen 87 problemas y sus soluciones, en el segundo 25.

18

file:///D:/Oscar/CIMM/Libros/Historia y filosof?a de las matem?ticas/Parte1/Cap01/Parte03_01.htm#Ahmes

Nmeros en Egipto.

Segn la opinin de los historiadores, las matemticas que aparecen en estos papiros ya eran conocidas por lo menos desde el ao 3 500 a.C. Struik hace la siguiente valoracin sobre el carcter de estos problemas:

"Estos problemas ya eran erudicin antigua cuando los manuscritos fueron compilados, pero hay papiros ms pequeos de una fecha mucho ms reciente incluso de los tiempos romanos, que no muestran ninguna diferencia en su aproximacin. La matemtica que ellos profesan es basada en un sistema decimal de numeracin con signos especiales para cada unidad decimal mayor, un sistema con el que nosotros estamos familiarizados a travs del sistema romano que sigue el mismo principio: . Sobre la base de este sistema los egipcios desarrollaron aritmtica de un carcter predominantemente aditivo, que significa que su tendencia principal era reducir toda la multiplicacin a las sumas repetidas. Por ejemplo, la multiplicacin por 13 era obtenida multiplicando primero por 2, luego por 4, entonces por 8, y agregando los resultados de la multiplicacin por 4 y 8 al nmero original.'' [Struik, D.: A Concise History of Mathematics, p. 20].

Amenhotep.

19

file:///D:/Oscar/CIMM/Libros/Historia y filosof?a de las matem?ticas/Parte8/Cap27/Parte06_27.htm#Struikfile:///D:/Oscar/CIMM/Libros/Historia y filosof?a de las matem?ticas/Parte8/Cap27/Parte06_27.htm#Struik

Es conocido el hecho de que la escritura egipcia era realizada por medio de los jeroglficos, lo que tambin suceda con los smbolos numricos. Sin embargo, se puede considerar que usaron 3 sistemas de notacin diferentes: jeroglfico, hiertico y demtico. El primero mediante imgenes, el segundo simblico, y el tercero una adaptacin de la notacin hiertica. Se afirma que los dos primeros se usaron desde temprano en la historia egipcia, y precisamente el segundo aparece en los papiros mencionados. La ltima notacin habra sido relevante en los periodos griego y romano de los egipcios.

Los egipcios posean una aritmtica bsicamente aditiva, es decir, por ejemplo, reducan la divisin y la multiplicacin a sumas. En la notacin jeroglfica usaron smbolos especficos para las potencias de 10. En la hiertica, tambin se usaba las potencias del 10, pero con menos smbolos.

La notacin jeroglfica fue sustituida por la hiertica.

Nmeros egipcios, ejemplos.

Ahora bien, la multiplicacin solo requera conocer la suma y la multiplicacin por 2.

Otro detalle interesante es que, salvo en algunos casos, descomponan todas las fracciones en las

llamadas fracciones unitarias. Por ejemplo, como . En el papiro de Ahmes aparece

una tabla con la descomposicin de fracciones de la forma en fracciones de la unidad. Incluye, entre otros,

A travs de esta descomposicin los egipcios realizaban operaciones aritmticas con todas las fracciones, en particular multiplicaciones y divisiones. Sin embargo, era un proceso complicado.

20

file:///D:/Oscar/CIMM/Libros/Historia y filosof?a de las matem?ticas/Parte1/Cap01/Parte03_01.htm#Ahmes

Para dividir usaban un mtodo parecido al del mnimo comn denominador.

Por otro lado, se piensa que tampoco tuvieron mucha conciencia sobre la naturaleza de los nmeros irracionales.

El mtodo de las fracciones de la unidad permita ciertas aplicaciones prcticas. En el papiro de Ahmes, en relacin con la distribucin de panes y al pago a los empleados de un templo.

Los papiros mencionados contenan algo similar a lo que son las ecuaciones lineales en una incgnita. El problema 72 del papiro de Ahmes es:

Si tenemos que intercambiar 100 panes de pesu 10 por un determinado nmero de panes de pesu 45, cul es este nmero determinado?

Hay ecuaciones equivalentes a Y tambin sistemas como:

Tambin situaciones como

Aunque, debe decirse, siempre expresadas de una manera verbal.

Al igual que con los babilonios encontramos progresiones aritmticas y geomtricas.

Sin embargo, no usaron mucho simbolismo.

En relacin con la geometra, la opinin ms generalizada es que la usaban, al igual que los babilonios, como un instrumento para resolver problemas prcticos. La aritmtica y la geometra no aparecan separadas; ms bien, lo que se daba era una aplicacin de lgebra y aritmtica a problemas relacionados con figuras geomtricas que emergan en situaciones del entorno.

Museo Egipcio en El Cairo.

21

file:///D:/Oscar/CIMM/Libros/Historia y filosof?a de las matem?ticas/Parte1/Cap01/Parte03_01.htm#Ahmesfile:///D:/Oscar/CIMM/Libros/Historia y filosof?a de las matem?ticas/Parte1/Cap01/Parte03_01.htm#Ahmes

Tenan una regla para obtener el rea de un crculo; por lo tanto, un mtodo para aproximar

Segn Herodoto, los resultados geomtricos de los egipcios estaban vinculados a asuntos relativos a la propiedad de la tierra creados por las crecidas del ro Nilo. Aqu encontramos procedimientos para calcular reas de rectngulos, tringulos y trapezoides e, incluso, mecanismos para el clculo del rea de un crculo. Se sabe que, tambin, tenan procedimientos para calcular volmenes de cubos, cilindros y otras figuras. En particular, un tronco de pirmide cuadrada.

Aparecen tripletes pitagricos, por lo que alguna familiaridad deban tener con el teorema de Pitgoras.

Mucho de lo que hicieron los egipcios en matemticas est vinculado a transacciones comerciales, edificaciones, clculo de superficies, medidas de terrenos, y a diversos asuntos de naturaleza prctica en sociedades asentadas bsicamente en la agricultura.

Mscara egipcia.

En relacin con la astronoma, la opinin es que su nivel estaba por debajo de los babilonios. No obstante, se reconoce que los egipcios lograron una determinacin del ao y un calendario bastante tiles. Lo que s llama la atencin es una combinacin de astronoma y geometra para la edificacin de templos que son hasta nuestros das un smbolo emblemtico de esta civilizacin: las pirmides.

Vamos ahora a incursionar en otra gran cultura.

Nmeros cuneiformes.

22

file:///D:/Oscar/CIMM/Libros/Historia y filosof?a de las matem?ticas/Parte1/Cap02/Parte04_02.htm#Pitagoras

1.2 BabiloniosLos registros que se tienen son de naturaleza arqueolgica, en arcilla, y, por supuesto, se encuentran limitados de muchas maneras. No nos permiten una visin exacta de las caractersticas en que se desarrollaron cultural y matemticamente. En relacin con Mesopotamia, los registros ms antiguos datan del 3 500 a.C. y terminan en el 539 a.C, fecha en la que estos territorios fueron conquistados por Persia.

Neoasirios.

Hay alrededor de 500 000 tablillas de arcilla que constituyen las fuentes principales de la cultura babilnica, y entre ellas unas 500 son de inters para las matemticas. La mayora de los registros de que se dispone son del periodo llamado Antiguo, ms o menos alrededor del 2 500 a.C.

El sistema cuneiforme de escritura fue descifrado a mediados del siglo XIX por George Frederick Grotefend y Henry Creswicke Rawlinson.

La aritmtica ms desarrollada en la civilizacin Mesopotmica fue la Acadiana. Dos de las caractersticas ms importantes de su sistema numrico fueron la base 60 y la notacin posicional. No obstante, debe sealarse que los babilonios no usaban solamente la base 60. En ocasiones, apareca la base 10, pero otras bases tambin. Al igual que sucede con otras culturas y sistemas numricos, con los babilonios se dio una forma combinada de sistemas numricos determinados por circunstancias histricas o incluso regionales. En lo que s parece haber consenso es que se dio el uso bastante sistemtico de la base 60 para todos los clculos relacionados con la astronoma. Esto debe subrayarse:

"Tanto el sistema sexagesimal como el sistema del valor del lugar han permanecido en posesin permanente de la humanidad. Nuestra divisin presente de la hora en 60 minutos y 3 600 segundos data de los sumerios, al igual que nuestra divisin del crculo en 360 grados, cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Hay razn para creer que esta opcin de 60 en lugar de 10 como una unidad ocurri en un esfuerzo por unificar sistemas de medida, aunque el hecho de que

23

http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/Libros/Historia%20y%20Filosofia/Notas%20HTML/P17.Sistema%20sexagesimal/P17.SISTEMA%20SEXAGESIMAL.htm

60 tiene muchos divisores tambin puede haber jugado un papel. Acerca del sistema del valor posicional, su importancia permanente se ha comparado con el alfabeto (ambas invenciones reemplazaron un simbolismo complejo por un mtodo fcilmente entendible por muchas personas). Es razonable suponer que hindes y griegos obtuvieron las rutas de las caravanas hacia Babilonia; tambin sabemos que los acadmicos musulmanes lo describieron como una invencin india. La tradicin babilnica, sin embargo, puede haber influido en la aceptacin tarda del sistema posicional.'' [Struik, A Concise History of Mathematics, p. 26].

No posean sin embargo el cero, ni tampoco algn smbolo para expresar la diferencia entre la parte entera y la fraccionaria de un nmero. Estos problemas implicaban cierto nivel de ambigedad en el sistema numrico. De hecho, se afirma que -aunque lo usaban- no se trataba de un sistema posicional absoluto.

Para los babilonios, los smbolos fundamentales eran del 1 al 10 y los nmeros del 1 al 59 se formaban combinando algunos de estos smbolos.

Fracciones cuneiformes.

Sumar y restar era un proceso de poner o quitar smbolos.

La multiplicacin se haca ms o menos como se hace hoy; de hecho, dividir era multiplicar por el inverso. Usaban tablas para obtener los inversos.

En algunos problemas concretos aparecen las progresiones aritmtica y geomtrica.

Se sabe tambin que los babilonios podan expresar cuadrados, cubos, races cuadradas, cbicas; eso s: a travs de tablas. En efecto, por medio de las tablas podan resolver ecuaciones de la forma:

Tambin resolvan la ecuacin como nosotros lo haramos.

Los babilonios estaban en posesin de la frmula cuadrtica. Resolvan ecuaciones como

siempre con y .

24

file:///D:/Oscar/CIMM/Libros/Historia y filosof?a de las matem?ticas/Parte8/Cap27/Parte06_27.htm#Struik

Tambin hay ejemplos de solucin de la general

Existen otros ejemplos de ecuaciones con 3 incgnitas, pero simples.

con y

No tenan nmeros negativos, por lo tanto, no eran aceptadas las races de ecuaciones cuadrticas con soluciones negativas.

No obstante, se supone que s podan calcular con nmeros irracionales. De hecho, realizaron un

clculo aproximado asombroso: el de la Una tablilla ubicada actualmente en la Universidad de Yale, nos indica que los babilonios lograron desarrollar un algoritmo para determinar

aproximadamente el valor de mediante la expresin

Este algoritmo permiti obtener la siguiente aproximacin:

De qu manera los babilonios obtuvieron esta expresin? El anlisis de las tablillas babilnicas permite conjeturar el procedimiento utilizado.

en tablilla babilnica.

25

Es importante subrayar que los problemas algebraicos slo podan establecerse y, por supuesto, resolverse, de una manera verbal.

En ocasiones, los babilonios emplearon smbolos para las incgnitas pero sin conciencia sobre el significado de ello.

En lo que se refiere a la geometra, para los babilonios sta no se estudiaba por s misma, no se consideraba tampoco una disciplina separada, y siempre en relacin directa con problemas concretos surgidos del entorno. Sin embargo, conocan las reas de rectngulos, de tringulos rectngulos, issceles, trapecios (un lado perpedicular a dos paralelos).

Se conoce el uso de algunos tripletes pitagricos. Es decir, se puede decir que conocan y usaban el teorema de Pitgoras. Por ejemplo, hay un problema en una tablilla que se encontr en Susa que plantea:

Hallar el radio del crculo circunscrito al tringulo de lados 50, 50 y 60.

La solucin usaba el teorema. Hay otro registro ms o menos del ao 1 000 a.C. en que se ofrece una solucin ms detallada y con una lgica geomtrica innegable:

Hallar la longitud y anchura de la siguiente figura, dadas 0;45 (0,75) y diagonal 1;15 (1,25). [El ";'' es la notacin del investigador Otto Neugebauer para separar la parte entera de la fraccionaria, nuestra coma, solo que en forma sexagesimal (en su libro Mathematische Keilschrift-Texte).]

rea babilnica, 1 000 a.C.

Tenan conocimiento de algunas propiedades de los tringulos semejantes.

Se dice que conocan el siguiente teorema:

"En un tringulo rectngulo, al trazar una perpendicular desde el ngulo recto hasta la hipotenusa, los tringulos que se forman a cada lado de esta perpendicular son semejantes entre s y al tringulo entero''.

26

http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/Libros/Historia%20y%20Filosofia/Notas%20HTML/P21.Circulo%20circunscrito%20al%20triangulo/P21.Circulo%20circunscrito%20al%20triangulo.htm

Trapezoide babilonio.

Ese teorema lo consigna Euclides. Algunos autores opinan que sobre esto Euclides tuvo que haber tomado fuentes babilnicas.

De manera general, en las matemticas babilonias tanto en la aritmtica, el lgebra como en la geometra, las reglas eran establecidas por la prueba y el error, con sustento en la experiencia prctica. No hay evidencia de la idea de estructura lgica, o la de la demostracin, o de la necesidad de ofrecer una justificacin ms all de lo que la prctica o la evidencia fsica permitan.

Si se posee la mentalidad deductiva y axiomtica que impondr Grecia y que luego permeara Europa, se empujara una tendencia a considerar este tipo de resultados como elementales o rudimentarios. Sin embargo, aqu hay un debate. Por ejemplo, porque los mtodos de demostracin que se pueden asumir como vlidos no necesariamente deben establecerse solamente por el recurso a la deduccin a partir de primeros principios, por ms valiosa y necesaria que sta pueda ser. La repeticin sistemtica, el uso, la contrastacin con ejemplos o la bsqueda de contraejemplos podran ser alternativas para asegurar la validez de un resultado.

En todo caso, aunque en geometra hay, tambin, resultados relevantes, en cuanto al lgebra y la aritmtica, no se puede negar que posean una impresionante sabidura. Como veremos, el lgebra y la aritmtica se veran sometidos a criterios ms bien de naturaleza ideolgica en el mundo griego, debilitando su progreso.

Si queremos resumir las contribuciones de estas dos civilizaciones en las matemticas, babilonia y egipcia, debemos sealar una aritmtica esencialmente de nmeros enteros y de fracciones, aunque hay clculo aproximado de irracionales, notacin posicional, muy poco simbolismo, relevante desarrollo del lgebra y la aritmtica en los babilonios, una geometra que consista esencialmente de frmulas empricas, pero que manejaban resultados que luego seran retomados por los griegos (aunque de otra manera). No aparece la idea de prueba o demostracin de la forma como la conocemos en la visin occidental y con los ojos de modernidad, o, en general, la preocupacin por una estructura lgica, terica. Esto ser importante a la hora de evaluar con justicia la contribucin de la civilizacin griega a las matemticas y a la ciencia.

27

1.3 Biografas

AhmesAhmes naci alrededor del ao 1680 a. C. en Egipto.

Fue el escriba que hizo el famoso Papiro Rhinds, considerado la base del legado matemtico del antiguo Egipto y encontrado por el escocs Alexander Henry Rhinds en 1 858. A pesar de esto, Ahmes nunca se proclam como el autor del papiro sino slo como el escriba y adems agregaba que el trabajo haba sido escrito mucho tiempo antes.

En 1 863, el papiro lleg al Museo Britnico y es muchas veces llamado el Papiro Ahmes, en honor al escriba que muri alrededor del ao 1 620 a. C. en Egipto.

1.4 Sntesis, anlisis, investigacin1. Escriba un pequeo ensayo de 2 o 3 pginas explicando lo que usted piensa que son las

matemticas.

2. Obtenga un atlas con los mapas del mundo. Fotocopie los mapas con las regiones que corresponderan a Egipto y a Mesopotamia. Si puede consiga un atlas histrico para estudiar la situacin geogrfica de las etapas en la evolucin de egipcios y mesopotmicos en los albores de la civilizacin.

3. Investigue la historia de los pueblos asentados en Egipto y Mesopotamia. En no ms de tres pginas haga un resumen de las etapas de su historia.

4. Explique la relacin entre las crecidas del Nilo y las matemticas en Egipto.

5. Explique el concepto de fraccin unitaria. D 3 ejemplos, que no estn en el libro, de fracciones no unitarias que se descomponen en sumas de unitarias.

6. Cmo afectaba las matemticas babilnicas que no tuvieran smbolo cero y notacin para separar la parte entera de la fraccionaria?

7. Explique sintticamente las ventajas o desventajas de los mtodos de prueba-error y deduccin para el progreso de las matemticas.

8. Ha sido opinin persistente la superioridad de las matemticas mesopotmicas en relacin con las egipcias, como lo afirma Struik:

"La matemtica mesopotmica alcanz un nivel mucho ms alto al que la matemtica egipcia obtuvo alguna vez. Aqu nosotros podemos descubrir progresos incluso en el curso de siglos. Ya los textos ms viejos, desde el ltimo periodo Sumerio (la tercera dinasta de Ur, c. 2 100 a.C.), muestran una habilidad computacional . Estos textos contienen tablas de multiplicar en las que un sistema sexagesimal bien desarrollado de numeracin se sobrepuso en un sistema decimal original; hay smbolos cuneiformes que indican 1, 60, 3 600, y tambin

28

file:///D:/Oscar/CIMM/Libros/Historia y filosof?a de las matem?ticas/Parte8/Cap27/Parte06_27.htm#Struik

CAPITULO II

EL MUNDO GRIEGO PRESOCRTICO

Es imposible negar la gran contribucin de la civilizacin griega a la cultura y la ciencia del mundo; tanto que a veces se subestima el papel jugado por otros pueblos y civilizaciones. El influjo griego es un componente fundamental de la cultura occidental, y de muchas maneras esas contribuciones a lo largo de la historia fueron retomadas, asumidas, sobrestimadas, reconstruidas, corregidas, ampliadas, manipuladas.

Palacio de Minos en Knossos, 16 siglos antes de Cristo.

29

Para las matemticas, este influjo es particularmente importante. Primero, porque fueron muchas la contribuciones que en este campo realizaron. Segundo, porque varias dimensiones de lo que son las matemticas llevan el sello griego: sus concepciones, matices, mtodos. De hecho, como sucede en todas las disciplinas cognoscitivas, no son productos aislados al margen de las comunidades especficas, ms bien, todo lo contrario: llevan la impronta de sus creadores. Puesto de otra forma: hicieron matemticas y ayudaron sustancialmente a definir sus lmites, sus mtodos, sus objetos. Son varios los momentos y escenarios dentro de la civilizacin griega que nos interesa considerar. El primero refiere al mundo anterior al filsofo Scrates, el segundo aquel que gira alrededor de la ciudad de Atenas, el tercero el sumergido en el periodo que abri Alejandro el Grande: el mundo alejandrino o helenstico. La figura de Scrates no la usamos como demarcacin debido a la relevancia de este filsofo, tantas veces sobrestimada, sino porque simboliza un giro importante en el pensamiento y especialmente en la filosofa griegas, un cambio de objeto: del mundo circundante al hombre y la sociedad. Este giro suele asociarse a circunstancias polticas ms generales. Y no siempre los autores coinciden en su signo: positivo o negativo. Para algunos, en una de las etapas, al ser derrotada Atenas por Esparta, se abri una poca de retroceso y conservadurismo, y las ciencias en general se vieron debilitadas. No encontraran un mejor momento hasta que se inici otra fase, la alejandrina. Para otros, es el apogeo de la filosofa y el pensamiento, un cambio de foco trascendental y decisivo.

Escultura griega. Sea como sea, usted deber valorar las opiniones existentes con su propio criterio, hemos decidido usar el corte, por lo dems bastante clsico en la periodizacin histrica en filosofa, y abordar los asuntos que nos interesan en este libro.

30

2.1 Los griegosSe suele establecer el origen de la civilizacin griega unos 2800 aos antes de Cristo, en una regin que lleg ocupar el Asia Menor, la Grecia moderna continental, la parte sur de la pennsula italiana, una serie de islas del Mediterrneo y una parte del norte de frica.

Unos ocho siglos a.C. los griegos adoptaron el alfabeto fenicio, y tuvieron a su disposicin el papiro, con lo que multiplicaron las potencialidades de su construccin literaria y del desarrollo de su conciencia, proyeccin, e identidad culturales.

Uno de los elementos importantes de subrayar es una relacin comercial muy amplia entre los griegos con los egipcios y babilonios, que permiti la absorcin de resultados y tradiciones culturales en un nuevo contexto social, poltico y econmico. La influencia de estas viejas civilizaciones en los pueblos griegos debe tomarse como un punto de partida en la comprensin de los nuevos resultados en el conocimiento y en las matemticas en particular.

Tambin hay que mencionar el uso del hierro. Como resea Mason:

"Las nuevas posibilidades que suministraba la introduccin del hierro y la escritura alfabtica fueron explotadas con la mayor eficiencia por aquellas comunidades que emprendieron un comercio martimo o bien por quienes emergan directamente de la barbarie, sobrepasando as hasta cierto punto las tradiciones de la civilizacin de la edad de bronce. Los etruscos y los fenicios, que viajaron hacia el oeste, Asia Menor y el Oriente Medio hasta Italia y el norte de frica, eran marinos, pero perpetuaron algunas de las tradiciones de la edad de bronce de su tierra natal, tales como la costumbre de inspeccionar el hgado de los animales sacrificados para fines de adivinacin. Los romanos y los hebreos alcanzaron la civilizacin durante la edad de hierro, pero eran principalmente agricultores, no marinos, y no realizaron notables contribuciones al conocimiento cientfico. Slo los griegos constituan un pueblo que haba llegado a la civilizacin de la edad del hierro directamente de la barbarie y que emprendi un comercio martimo desde el principio.'' [Mason, Stephen: Historia de las Ciencias 1. La Ciencia Antigua, la Ciencia en Oriente y en la Europa Medieval, pg. 27]

MiletoUno de los lugares que tuvo que haber servido como puente entre culturas y pueblos fue Mileto, una ciudad jnica, conectada con los egipcios y fenicios a travs del comercio martimo y con los babilonios a travs de caravanas. Jonia fue tomada por los persas en el ao 540 a.C. pero Mileto preserv cierta independencia. En el ao 494 a.C. los persas aplastaron una rebelin jnica, cuya consecuencia fue una declinacin cultural de la regin. Aos despus, en el 479 a.C., Jonia fue recuperada por los griegos, pero nunca se recuperara el papel cultural que lleg a poseer en la regin.

31

Mycenae, Argolis, Grecia.

La historia griegaSe suele dividir la historia de la civilizacin griega en dos etapas diferentes: entre los aos 600 y 300 a.C., y entre los 300 a.C. y 600 d.C. La primera etapa es la llamada "clsica''; la segunda: la "helenstica'' o "alejandrina''. Tambin es posible hacer una distincin dentro del primer periodo: una subetapa antes del apogeo de Atenas, durante su apogeo, y una etapa posterior. Todo ello se consigna como Antigedad Clsica, aunque ms amplia para algunos autores: "Lo que llamamos Antigedad clsica -contando de Homero a Damascio- es un periodo de unos catorce siglos.'' [Sarton, George: Ciencia antigua y civilizacin moderna, p. 48]

Uno de los problemas ms serios para conocer e interpretar los resultados de la civilizacin griega en las matemticas y las ciencias son las fuentes, que en general son indirectas: se reducen a algunos cdices bizantinos escritos 500 o 1 500 aos despus, traducciones rabes y versiones latinas basadas en las obras rabes. En todos los casos no puede darse por seguro que los trabajos originales hayan sido preservados y, ms bien, es usual la presencia de comentarios crticos, adiciones muchas veces annimas, y un conjunto parcial, truncado, distorsionado. Esto obliga, de partida, a la prudencia en la consideracin del bagaje cultural de la Antigedad.

Se reconoce como las contribuciones ms importantes del periodo clsico los Elementos de Euclides y las Secciones Cnicas de Apolonio. Estas obras fueron escritas de una manera sistemtica y deductiva, y han sido asumidas como paradigma de las matemticas y su construccin. No obstante, adelantando criterios, debe decirse que se trata de obras que no ofrecen una referencia directa a los trescientos aos anteriores de construccin matemtica, ni a otras fuentes culturales, lo que debilita la naturaleza y los lmites de lo que se puede asumir como matemticas.

Uno de los hechos que debe subrayarse es la forma como se construyeron las ciencias y las matemticas en ese periodo, y descubrir que tanto en el periodo clsico como en el alejandrino se hicieron a travs de mecanismos sociales similares a los que se usan en la ciencia moderna: grupos de investigadores, normalmente pequeos, alrededor de figuras intelectuales dirigentes. Esto se

32

file:///D:/Oscar/CIMM/Libros/Historia y filosof?a de las matem?ticas/Parte1/Cap04/Parte04_04.htm#Apolonio

hizo as en varias ciudades a lo largo del conglomerado griego, y recordamos muchas veces solo las figuras dirigentes, aunque los contextos de descubrimiento y edificacin intelectuales deberan ser ms amplios.

Diosa serpiente, minoica del 1600 a.C.

No resulta extrao que la primera referencia que nos interesa en las matemticas griegas la hagamos en Jonia. El gran filsofo Bertrand Russell hace una valoracin que nos sita en este escenario histrico:

"Homero fue un producto perfecto de Jonia, o sea de una parte del Asia menor helnica y de las islas adyacentes. En cierta poca, durante el siglo Vl, hacia al final, los poemas helnicos adquirieron su forma actual. En ste empezaron tambin la ciencia, la filosofa y las matemticas griegas. Al propio tiempo ocurrieron acontecimientos de importancia fundamental en otras partes del mundo. Confucio, Buda y Zoroastro (la fecha de Zoroastro es muy hipottica, algunos la sitan en 1 000 a. C.), si existieron, pertenecen probablemente a dicho siglo. A mediados de l, el Imperio persa fue establecido por Ciro; hacia su final, las ciudades griegas de Jonia, a las que los persas haban concedido una autonoma limitada, iniciaron una rebelin, frustrada, que fue dominada por Daro, y los mejores de sus hombres fueron exiliados.'' [Russell, Bertrand: Historia de la filosofa Occidental, To

historia y filosofia de las matematicas

Education