hist. da lógica

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Sobre a histria da lgica, a lgica clssica e o surgimento das lgicas no-clssicas1tala Maria Loffredo DOttaviano Centro de Lgica, Epistemologia e Histria da Cincia UNICAMP, CLE / IFCH itala@cle.unicamp.br Hrcules de Araujo Feitosa Departamento de Matemtica UNESP, Faculdade de Cincias haf@fc.unesp.br

Introduo A lgica, cincia do raciocnio dedutivo, estuda a relao de conseqncia dedutiva, tratando entre outras coisas das inferncias vlidas; ou seja, das inferncias cujas concluses tm que ser verdadeiras quando as premissas o so. A lgica pode, portanto, ser considerada como o estudo da razo ou o estudo do raciocnio. O objetivo da lgica consiste, ento, na meno e estudo dos princpios lgicos usados no raciocnio dedutivo. Sob essa concepo, temos a lgica dedutiva. Podemos, entretanto, considerar uma outra lgica, a lgica indutiva, que se ocupa no das inferncias vlidas, mas das inferncias verossmeis. Consideremos o seguinte argumento: O sol tem nascido todos os dias. Logo, o sol nascer amanh. Obviamente este argumento no dedutivo e, portanto, no logicamente vlido. A(s) premissa(s), ainda que verdadeira(s), no implica(m) logicamente a concluso, embora esta possua uma certa plausibilidade. A lgica contempornea tem se convertido em disciplina matemtica, a lgica matemtica, com caractersticas prprias, dedutiva; o estudo do tipo de raciocnio feito pelos matemticos. Nesse sentido, para estudarmos o tipo de enfoque da lgica matemtica, devemos examinar os mtodos utilizados pelos matemticos. A lgica, particularmente sob a acepo dedutiva, constitui a cincia subjacente s investigaes no domnio do puramente racional. Porm, existe uma nica razo? Existe uma nica lgica? Um dos objetivos deste texto consiste em discutir essas duas questes. Faremos uma sntese, sucinta, sobre o desenvolvimento da lgica at o princpio do sculo XX. Discutiremos a crise dos paradoxos e o surgimento das lgicas no-clssicas. Os lgicos contemporneos edificam linguagens artificiais adequadas para lidar com a relao de conseqncia, linguagens essas que possuem duas dimenses relevantes: a sinttica e a semntica. Para trabalharmos numa teoria formal, necessrio explicitarmos sua linguagem: seus smbolos e as regras de combinao s quais esto sujeitos estes smbolos, para a construo dos termos e frmulas (expresses bem formadas). Entre as frmulas bem formadas da linguagem so especificados os axiomas (leis bsicas). As regras independem do significado dos smbolos. Atravs dos axiomas e regras de deduo, so demonstrados os teoremas da teoria. Este trabalho corresponde a uma verso, com pequenas alteraes, do texto produzido pelos autores para o mini-curso Histria da lgica e o surgimento das lgicas no-clssicas, ministrado pela professora tala no V Seminrio Nacional de Histria da Matemtica, ocorrido na UNESP, Rio Claro, em abril de 2003.1

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dimenso combinatria de uma linguagem, chamamos de dimenso sinttica. A dimenso semntica de uma linguagem leva em considerao os objetos extralingsticos, aos quais os smbolos e expresses da linguagem se referem, e o significado dos mesmos. Lida com os conceitos de estrutura, validade de frmulas e modelo. As teorias contemporneas, construdas sobre linguagens, axiomas lgicos, axiomas no-lgicos especficos e regras de deduo, so constitudas pela teoria formal axiomtica e pela semntica. Os resultados relativos completude, consistncia, decidibilidade, metateoremas importantes, estabelecem a relao entre essas duas dimenses. Entretanto, at princpios do sculo XX, havia uma nica lgica: pura, formal ou terica, fundada por Aristteles (384 a 322 a. C.) e cujo sistematizador mais importante foi Frege (1848-1925). 1. Um pouco de histria e os paradoxos auto-referenciais Apresentamos nesta seo aspectos da histria da lgica e uma discusso de alguns dos famosos paradoxos auto-referenciais. 1.1. De Aristteles ao final do sculo XIX e a sistematizao da lgica clssica A histria da lgica antiga inicia-se propriamente com Aristteles, no sculo IV a. C. (384-322 a. C.). Na antiguidade, os gregos foram preponderantes no cultivo, prtica e gosto pelo argumento. Entre os predecessores de Aristteles (Plato, sem dvida) devemos chamar a ateno para o trabalho dos sofistas, classe de tutores privados da Grcia antiga; e convm mencionarmos que paradoxos e argumentos falaciosos, argumentos que, de premissas aparentemente verdadeiras e por passos aparentemente vlidos, levam a concluses aparentemente falsas, eram conhecidos na Grcia antiga. A maior parte da contribuio relevante de Aristteles, para a lgica, encontra-se no grupo de trabalhos conhecidos como Organon, mais especificamente nos Analytica Priora e no De Interpretatione. Aristteles criou a teoria do silogisimo e axiomatizou-a de diversas formas. Iniciou o desenvolvimento da lgica modal, lidando com as noes de necessidade, possibilidade e contingncia: uma sentena A contingente se A no necessria, porm no impossvel. famosa a questo dos futuros contingentes de Aristteles. Exemplo: Haver uma batalha naval amanh. 1.1.1. Teoria dos silogismos A teoria dos silogismos constitui um dos primeiros sistemas dedutivos j propostos. Filsofos e historiadores da lgica consideram a teoria do silogismo como a mais importante descoberta em toda a histria da lgica formal, pois no constitui apenas a primeira teoria dedutiva, mas tambm um dos primeiros sistemas axiomticos construdos. Modernamente, podemos interpret-la como um fragmento da lgica de primeira ordem, ou seja, do clculo de predicados de primeira ordem. Consideremos, de imediato, como intuitivamente claro em termos pr-formais, o uso de variveis e smbolos de predicados e o significado dos operadores lgicos para: existencial (, existe), universal (, para todo), negao (, no), conjuno (, e), disjuno (, ou), condicional ( se ... ento), e bicondicional (, equivalente ou se, e somente se). A teoria dos silogismos, em sua linguagem, lida com termos (substantivos ou idias), que podem ser termos gerais, ou termos singulares; e com predicados. So exemplos de termos gerais: homem, nmero, etc; so exemplos de termos singulares: Scrates,

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dois, etc; so exemplos de predicados: mortal, par, etc. A teoria dos silogismos trata de proposies categricas, no sentido de incondicionais; e de proposies singulares. Todo homem mortal um exemplo de proposio categrica; e Scrates mortal e Pedro um homem so exemplos de proposies singulares. H quatro tipos de proposies categricas, que diferem entre si em qualidade, pois afirmam ou negam; e em quantidade, pois so universais ou particulares. So os seguintes os quatros tipos de proposies: Afirmao universal: Todos os S so P. Notao: A Negao universal: Nenhum S P. Notao: E Afirmao particular: Alguns S so P. Notao: I Negao particular: Alguns S no so P. Notao: O Aristteles estabeleceu as relaes entre esses quatro tipos de proposies categricas atravs de seu famoso quadrado das proposies:A ContrriasContraditrias

E

Subalternas

Subalternas

Contraditrias

I

Sub-contrrias

O

A e O, e I e E so contraditrias. No podem ser ambas verdadeiras; e no podem ser ambas falsas. A e E so contrrias. No podem ser ambas verdadeiras; mas podem ser ambas falsas. I e O so subcontrrias. No podem ser ambas falsas; mas podem ser ambas verdadeiras. I subalterna de A e O subalterna de E. Se A verdadeira, ento I verdadeira. Se E verdadeira, ento O verdadeira. O que um silogismo? Um silogismo uma regra de inferncia que deduz uma proposio categrica a concluso a partir de duas outras, chamadas premissas. Cada uma das premissas contm um termo comum com a concluso o termo maior e o termo menor, respectivamente; e um termo comum com a outra premissa o termo mdio.

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Exemplo de silogismo: Todo animal mortal. (Premissa maior contm o termo maior (mortal) e o termo mdio (animal)) Todo homem um animal. (Premissa menor contm o termo menor (homem) e o termo mdio (animal)) Todo homem mortal. (Concluso contm o termo menor (homem) e o termo maior (mortal)). Observamos que mortal, o termo maior da premissa maior, o predicado da concluso; homem, o termo menor da premissa menor, o sujeito da concluso; e animal o termo mdio. Os silogismos esto divididos em figuras, de acordo com a colocao do termo mdio nas premissas. So quatro as figuras possveis, sendo as trs primeiras devidas a Aristteles e a ltima acrescentada posteriormente: Figura 1 MP SM SP Figura 2 PM SM SP Figura 3 MP MS SP Figura 4 PM MS SP

Dentro de cada figura, os silogismos se dividem em modos, de acordo com a combinao, quantidade e qualidade, isto , de acordo com a presena das proposies categricas A, E, I ou O. O exemplo acima um caso da Figura 1, modo A A A, ou, mais especificamente: M S S A A A P M P

Segundo a interpretao do lgico e filsofo polons J. Lukasiewicz, na verdade, Aristteles lida com o silogismo como um condicional, cujo antecedente uma conjuno de duas proposies categricas e o conseqente uma terceira proposio categrica. A tradio diz que o silogismo um conjunto de trs afirmaes categricas, duas das quais so as premissas e a terceira a concluso. Assim sendo, um silogismo vlido pode ter premissas verdadeiras e concluso verdadeira; uma premissa falsa e concluso verdadeira; e uma premissa falsa e concluso falsa. Um silogismo, portanto, para ser vlido, no pode ter premissas verdadeiras e concluso falsa. Um exemplo clssico de silogismo vlido o seguinte: Todos os homens so mortais. Scrates homem. Logo, Scrates mortal. Apresentamos, a seguir, um exemplo de silogismo no vlido: Cada homem um ser vivo. Algum bpede um ser vivo. Nenhum homem um ser vivo.

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