hidraulica de pocos

Elementos de Hidrologia Aplicada 11. gua Subterrnea - Hidrulica de Poos

Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Jnior

208

11. GUA SUBTERRNEA / HIDRULICA DE POOS

11.1. Introduo. Caractersticas dos meios porosos

Neste captulo, so estudados os escoamentos da gua atravs de meios porosos, dando-se

particular nfase hidrulica de poos. Adverte-se que no se aprofundam os estudos sobre a

interao entre as duas fases, lquida e slida, por ser esse assunto mais ligado Mecnica dos

Slidos.

Os meios porosos podem ser naturais ou artificiais. Os meios porosos naturais so

fundamentalmente os aluvies1, constitudos por material granular, ou as rochas compactas

fissuradas. Os meios porosos artificiais so os aterros, dos quais tm especial importncia as

barragens de terra.

Conceitos de homogeneidade e isotropia

Os conceitos de homogeneidade e isotropia so fundamentais para o estudo terico do e a

compreenso do escoamento da gua em meio poroso.

Diz-se que um meio poroso homogneo quando, em qualquer ponto do seu interior, a

resistncia ao escoamento, em relao a uma dada direo, a mesma. Dadas s irregularidades

existentes nos meios porosos naturais, necessrio definir uma escala de homogeneidade. Como

exemplo, pode-se dizer que um aluvio com gros de cerca de 1 mm de dimetro ser

considerado homogneo escala do dm2; j um macio rochoso s poder ser considerado

homogneo para dimenses da ordem de 100 vezes a maior dimenso dos blocos.

Um meio poroso istropo quando a resistncia ao escoamento (ou outra propriedade

fsica) for a mesma em todas as direes que se considere. Em verdade, a maioria dos meios

porosos naturais so anistropos. Com efeito, no caso de rochas fissuradas, as fissuras de origem

tectnica, isto , as fendas resultantes de deformaes da crosta terrestre devidas s foras

internas, so, em geral, orientadas segundo direes paralelas, perpendiculares s compresses

que lhes deram origem; assim, a rocha tem o aspecto de paraleleppedos cortados por fissuras

paralelas, que constituem uma direo mais favorvel o escoamento o regime do escoamento

depender da geometria das fissuras e do material de enchimento das mesmas. Tambm nas

formaes sedimentares, a intercalao de camadas de diferentes caractersticas e o prprio peso

das camadas permite, no seu conjunto, maior facilidade ao escoamento no sentido horizontal,

sendo por isso, da mesma forma, anistropos. No entanto, esses meios podero ser considerados

homogneos, desde que se estabelea, como visto acima, uma escala de homogeneidade

suficientemente grande.

Um meio constitudo por material granular caracterizado, do ponto de vista geomtrico,

por vrios parmetros, conforme indicados na seo 11.4.

1 Depsitos de cascalho, areia e argila que se formam junto s margens ou na foz dos rios, como resultado do

trabalho de eroso.



209

11.2. gua subterrnea

11.2.1 - Origem

No incio do presente curso, no estudo do ciclo hidrolgico, foi explicada a origem da

gua subterrnea (Figura 11.1). Pela atual viso do ciclo hidrolgico, a formao dos lenis

subterrneos tem origem na infiltrao e na percolao das guas pluviais e superficiais, que se

faz atravs das camadas permeveis, das falhas existentes nas estratificaes, das fendas, de

discordncias de camadas geolgicas, etc. Embora este seja o conceito universalmente aceito,

nem sempre foi assim. Como curiosidade, apresentam-se algumas teorias que j foram aceitas

em tempos remotos, mesmo antes de Cristo, para explicar a ocorrncia da gua subterrnea.

Figura 11.1 Ciclo hidrolgico e a ocorrncia da gua subterrnea

Segundo Plato2 (sculo V a.C.), haveria um grande abismo no fundo do mar,

estendendo-se sob a terra. Para explicar o ciclo hidrolgico e o fato do nvel do mar manter-se

constante, por mais gua que para ele aflusse, o filsofo justificava que do abismo a gua

penetraria terra adentro e seria sorvida pelo solo.

Para Descartes3 (1630 d.C.), existiriam cavernas subterrneas que, recebendo a gua do

mar, permitiriam a sua evaporao. A gua evaporada, ao se condensar, impregnaria as camadas

do subsolo para formar a gua subterrnea.

Foi no sculo I a.C., com Vitrvio4, que pela primeira vez se considerou que as guas

subterrneas poderiam ter sua origem nas guas de chuva. Contudo, a aceitao da teoria ocorreu

somente muito mais tarde, j no sculo XVII, a partir de experincias e medies conduzidas por

Mariotte5, na Frana.

2 Filsofo grego (427 a.C. 347 a.C.)

3 Ren Descartes, filsofo e matemtico francs (1596 1650).

4 Marcus Vitruvius Pollio, arquiteto e engenheiro romano do sc. I a.C.

5 Edme Mariotte, padre e cientista francs que se dedicou ao campo da fsica (1620 1684).



210

11.2.2 - Distribuio

Num balano esttico, pode-se dizer que a gua subterrnea corresponde a

aproximadamente 0,6% de toda a gua presente no globo terrestre. Contudo, considerada a sua

importncia para o uso humano, na forma de gua doce, a gua subterrnea responde por 97% do

volume global da gua doce. Essa gua subterrnea constitui, em muitas regies, a principal

forma de aproveitamento pelo homem, seno a nica.6

por meio da prospeco geofsica que a ocorrncia da gua subterrnea conhecida.

Faz-se, a seguir, um breve estudo da distribuio da gua nas formaes geolgicas situadas

abaixo da crosta terrestre.

A parte superior da crosta, denominada zona de fratura da rocha, normalmente porosa

at certa profundidade. Seus poros ou aberturas podem estar total ou parcialmente cheios de

gua.

A camada superior do solo, onde os espaos intergranulares esto parcialmente ocupados

pela gua, denominada zona de aerao. camada situada imediatamente abaixo se denomina

zona de saturao (Figura 11.2). Por efeito da capilaridade, a gua eleva-se acima do nvel da

zona de saturao, formando a gua capilar (ou franja capilar). A altura da elevao capilar

depende da dimenso dos interstcios e pode atingir valores desde 0,6m a 3,0m nas argilas, ou

apenas alguns milmetros de altura em areias grossas.

Figura 11.2 Representao esquemtica da distribuio da gua subterrnea

Acima da gua capilar pode-se encontrar gua higroscpica ou gua pelicular, fixada por

adsoro superfcie das partculas do solo. Mais acima, junto superfcie, encontra-se a gua

de infiltrao (gua do solo, utilizada pelas plantas), com ocorrncia posterior s chuvas e que

desce para o lenol pela ao da gravidade.

Para fins de aproveitamento hdrico, a zona de saturao a mais importante. Ela pode

ser considerada como um vasto reservatrio, ou um conjunto de reservatrios naturais, cuja

capacidade de armazenamento definida pelo volume total dos poros existentes nas rochas que,

nesta zona, se encontram completamente cheios de gua.

6 A obteno da gua subterrnea para fins de aproveitamento domstico, industrial, ou mesmo para irrigao,

assunto tratado como mais profundidade no estudo da captao ou aproveitamento da gua subterrnea, nas

disciplinas de Saneamento para engenheiros civis e ambientais.



211

A espessura da zona de saturao variada, sendo funo de uma srie de fatores. Para

determinar essa espessura requer-se o conhecimento da geologia local, da disponibilidade de

poros nas formaes geolgicas e da capacidade de recarregamento e movimento da gua, que se

processa na zona desde as reas de recarregamento at as reas ou pontos de descarga.

11.3. Aquferos

Os aquferos so formaes ou camadas geolgicas que contm a gua no seu interior

(zona saturada) em quantidade suficiente para permitir o seu aproveitamento econmico. Assim,

uma unidade geolgica ser considerada um aqufero quando, possuindo poros cheios de gua,

permitir que a gua se escoe pelos espaos intergranulares at poos ou fontes, com uma vazo

de sada capaz de, por exemplo, suprir o abastecimento de gua de uma comunidade. Neste

conceito, diferem de um outro tipo de armazenamento encontrado nos espaos livres das rochas

(s vezes tambm denominado aqufero), como nas rochas calcrias, onde a gua pode se mover

livremente atravs das fendas, cavernas, etc., que so caractersticas destas rochas7.

Em geral, os aquferos podem ser classificados como freticos e artesianos. Os aquferos

freticos8 originam-se das guas de chuva que se infiltram atravs das camadas permeveis do

terreno at encontrar uma camada impermevel. Saturando as camadas porosas logo acima, a

gua pode permanecer em repouso ou deslocar-se, de acordo com a configurao geomtrica do

terreno. Nos aquferos freticos, tambm chamados aquferos livres, a gua que enche os poros

da formao geolgica na regio que se situa no topo da parte saturada est submetida presso

atmosfrica (Figura 11.3). Assim, tudo se passa como se a gua estivesse ocupando um

reservatrio aberto. Pode ocorrer ainda, a formao de um aqufero ou lenol suspenso, quando

uma formao impermevel aparece entre a zona saturada e a superfcie do terreno, dando

origem reteno de guas de infiltrao acima desta formao.

Figura 11.3 Representao esquemtica da ocorrncia do aqufero fretico e sua inter-relao com os cursos

dgua: num caso, recebendo a alimentao do curso dgua (tpico de regio rida cortada por rio perene) e,

em outro, alimentando as nascentes do curso dgua (comum em regies montanhosas).

Para qualquer camada que se considere dentro do aqufero fretico, a carga hidrulica na

mesma ser igual profundidade medida a partir do nvel esttico (nvel fretico). Assim,

quando um poo perfurado num aqufero fretico, o nvel dgua dentro dele atingir o nvel

esttico do aqufero. O poo que retira a gua do lenol fretico dito poo fretico (Figura

11.4).

7 Nestes casos de rochas calcrias, as guas superficiais podem passar subitamente por estas formaes, formando

verdadeiros rios subterrneos que, por sua vez, podem aflorar bruscamente, passando s correntes superficiais. 8 O termo fretico vem da palavra grega phreatos, que significa poo, pelo fato de que desse lenol que se

abastecem os poos comuns.



212

Figura 11.4 Representao do poo fretico e da carga hidrulica em um ponto do lenol.

Os poos freticos so normalmente escavados. So, tambm, chamados de poos

ordinrios, isto , poos comuns ou domsticos. Em geral, so rasos e de grandes dimetros: as

profundidades compreendidas entre 3 e 20 metros e os dimetros entre 1 e 2 metros.9 A vazo

que eles so capazes de fornecer relativamente pequena, o que sugere a sua utilidade apenas

para o consumo humano ou uso domstico e, raramente, para uso industrial e irrigao. Embora

a gua possa ser de boa qualidade, h inmeros registros de ocorrncia de gua salobra e,

mesmo, contaminada.

O aqufero dito confinado, ou artesiano10

, quando se situa entre camadas impermeveis.

Em consequncia, os aquferos confinados tm a gua submetida a presso superior

atmosfrica. Nestes, a gua provm, geralmente, de infiltraes distantes, ocorridas em regies

de cotas mais elevadas (brejos, lagos, rios, chuva ou neve nas serras, etc.).

Na Figura 11.5, apresenta-se um esquema que permite classificar e visualizar a

ocorrncia dos diferentes tipos de aquferos. V-se, por exemplo, que o aqufero designado como

AQUFERO A fretico, pois o nvel da gua neste coincide com o nvel atingido no poo de

observao: no aqufero fretico ou livre, superfcie livre corresponde, sempre, presso igual

atmosfrica. A Figura 11.5 mostra, tambm, que o AQUFERO B, inicialmente fretico na zona

(a), atinge, a jusante, uma regio compreendida entre duas camadas impermeveis, zonas (b) e

(d), comportando-se, portanto, como artesiano ou confinado.

Quando uma das camadas que limita o aqufero semipermevel, este pode perder ou

receber gua atravs dela. Este fenmeno denominado drenana11

e o aqufero correspondente

dito semiconfinado. O AQUFERO B da Figura 11.5 tambm se comporta desta forma em duas

regies, indicadas como zonas (c) e (e).

Os poos que retiram gua de um aqufero artesiano so chamados de poos artesianos.

Nestes, a gua ascende at atingir o nvel da linha piezomtrica. Se a piezomtrica estiver acima

do terreno, a gua jorrar (poo jorrante). Caso contrrio, estando a piezomtrica abaixo do nvel

do terreno, a gua no jorrar. Para alguns, o poo considerado artesiano apenas quando ele

jorra e, sendo no jorrante, ele seria caracterizado como "semiartesiano". Na Figura 11.5, so

visualizadas as ocorrncias dos poos artesianos jorrante e no jorrante.

9 Atualmente, podem ser encontrados poos freticos tubulares (pequenos dimetros) perfurados mecanicamente at

profundidades bem maiores. 10

O termo artesiano deriva do nome Artois, que uma regio da Frana onde so frequentes as ocorrncias desse

tipo de aqufero. 11

Traduo tcnica do termo leakage, em ingls.



213

Figura 11.5 Esquema para a visualizao da ocorrncia e classificao dos aquferos

O lenol artesiano alcanado por meio de poos tubulares, que tm pequeno dimetro

(geralmente entre 6 e 10 polegadas), podendo estar a pequenas profundidades (algumas dezenas

de metros) ou a grandes profundidades (at centenas de metros). Ao se fazer uma perfurao,

podem ser encontrados vrios lenis sobrepostos, com distintas capacidades de armazenamento

e diferentes qualidades da gua. Quando se atinge um rico lenol artesiano, a gua normalmente

suficiente para o abastecimento de bairros residenciais e/ou indstrias e, at mesmo, para uso

na irrigao. Em geral essa gua de boa qualidade, embora, nos casos de poos profundos,

possa apresentar-se como salobra.

11.4. Propriedades dos aquferos e parmetros que caracterizam a relao solo - gua

Os aquferos desempenham duas diferentes funes: a de reservao e a de conduo da

gua. Assim, os poros, em seu conjunto, se comportam ora como um reservatrio, ora como um

conduto que transporta a gua entre dois pontos submetidos a um gradiente hidrulico. A gua

contida num aqufero se desloca, consequentemente, em condies de escoamento hidrulico

semelhantes s de um reservatrio em marcha.

A eficincia de um aqufero como fonte de suprimento de gua depende de propriedades

intimamente ligadas s duas funes que ele desempenha. As propriedades relacionadas com a

capacidade de reservao so a porosidade e a produo especfica (ou suprimento especfico),

enquanto as propriedades associadas funo de conduo da gua so a condutividade

hidrulica (ou permeabilidade) e a transmissividade. Definem-se, a seguir, estes e alguns outros

parmetros importantes.

a) Porosidade

A porosidade, n, a percentagem de vazios (poros) existentes no material, isto ,

%100V

V%100

totalvolume

vaziosdos volumen

t

p . (01)



214

O volume total, Vt, dado pela soma do volume dos poros (vazios), Vp, com o volume dos

gros, Vg, isto , Vt = Vp + Vg.

Quando um material se encontra saturado, todos os seus vazios ficam preenchidos com

gua. Desse modo, o volume de gua de saturao obtido multiplicando-se a porosidade pelo

volume do material, isto ,

(volume de saturao) = n (volume do material). (02)

A porosidade depende do tamanho, da forma, do grau de uniformidade e da arrumao

dos gros que compem o material.

Quando a granulometria do material uniforme, a porosidade maior que em se tratando

de partculas de tamanhos diferentes, pois neste caso as menores ocupam os vazios deixados

pelas maiores. V-se, pois, que existe alguma ligao da porosidade com aquilo que

conceituado como coeficiente de uniformidade.

De um modo geral, considera-se:

%

%

%

%

%

20 areia e pedregulho

25 pedregulho

35 areia

45 argila

20n grande, porosidade

%

%%%

5 denso calcreo

15 arenito 20n5 mdia, porosidade

%% 1 granito quartzito, 5n pequena, porosidade

Obs.: Os valores mdios de porosidade de uma srie de materiais so apresentados na coluna (2)

da Tabela 11.1. O coeficiente de porosidade mdio determinado em ensaios de laboratrio

realizados com amostra do solo do aqufero, adequadamente coletada de acordo com

procedimento rotineiro.

b) Produo especfica ou suprimento especfico (ou porosidade efetiva)

Embora a porosidade informe sobre a quantidade de gua que o aqufero capaz de

armazenar, esta no representa a quantidade de gua que ele poder fornecer, pois a ao da

gravidade incapaz de retirar de um material toda a sua gua da saturao: uma parcela desta

gua ficar retida nos interstcios devido atrao molecular da pelcula que envolve os gros.

A produo especfica (ou porosidade efetiva), Pe, de um material granular justamente

a percentagem de sua gua de saturao que se liberta pela ao da gravidade:

%% 100amostra da Volume

saturada amostra da livremente drenado gua de Vol.100

V

VPe

t

d . (03)

O volume drenado, Vd, corresponde parcela do volume de vazios ocupada pela gua circulvel

(removvel) sob a ao da gravidade. Assim, Pe mede a porcentagem do volume de um solo

disponvel para o armazenamento temporrio da gua.

Para calcular a produo especfica, coloca-se o material seco num cilindro de fundo

afunilado e provido de torneira (inicialmente fechada) que, em seguida, saturado. Abrindo-se

totalmente a torneira, a gua comea a escoar-se com vazo decrescente, at formar um

escoamento em gotas. Quando as ltimas se distanciarem muito umas das outras no tempo, mede



215

o volume de gua liberada sob a ao da gravidade. Dividindo-se o volume de gua liberada sob

a ao da gravidade pelo volume total tem-se:

Pe = (volume libertado) (volume total) x 100%

Pelos valores lanados nas colunas (2) e (3) da Tabela 11.1, observa-se, que a argila, que

tem a maior porosidade mdia (em torno de 45%), possui produo especfica de somente 3%. A

principal razo para justificar este fato est associada ao diminuto tamanho dos gros e,

consequentemente, dos poros da argila que retm grande parcela de gua de saturao.

c) Reteno especfica

A reteno especfica, Re, tambm expressa em porcentagem, a parcela da gua de

saturao que no consegue se libertar da unidade de volume do material saturado, sob a ao da

gravidade. , portanto, a diferena entre a porosidade e a produo especfica do material. Ou

eRPen . (04)

A reteno especfica tanto maior quanto menor for o tamanho das partculas pois,

assim sendo, maior ser a superfcie total das mesmas e, consequentemente, maior tambm ser a

ao molecular de reteno da gua.

d) Coeficiente de permeabilidade experincia de Darcy

A propriedade interligada com a funo de conduo da gua do aqufero a

permeabilidade, K, que pode ser definida como a capacidade do meio poroso transmitir a

gua. A grandeza que informa sobre a capacidade do meio poroso transmitir a gua o

coeficiente de permeabilidade que, por definio, representa a quantidade de gua que, na

unidade de tempo, passa pela seo do material de rea unitria, quando perda de carga por

unidade de comprimento (perda de carga unitria) corresponde unidade. Esta definio deriva

da prpria equao de Darcy.

Na Tabela 11.1 apresentam-se valores mdios do coeficiente de permeabilidade K de

diferentes materiais, juntamente com a porosidade e a produo especfica.

Tabela 11.1 Valores mdios de algumas propriedades ligadas s funes de reservao e de conduo dos

aquferos

(1) (2) (3) (4)

Materiais Porosidade, n

(%)

Produo especfica,

Pe

(%)

Coeficiente de

permeabilidade, K

(m/dia)

Argila 45 3 0,04

Areia 35 25 35

Pedregulho 25 22 200

Pedregulho e areia 20 16 80

Arenito 15 8 30

Calcrio denso 5 2 0,04

Quartzito, granito 1 0,5 0,004



216

Da hidrulica, sabe-se que o movimento da gua de um ponto a outro do aqufero

ocorrer quando existir uma diferena de carga entre estes pontos. A experincia de Darcy12

(1856) mostrou que no escoamento laminar da gua em um meio poroso a velocidade aparente

proporcional perda de carga unitria: V i. Ou,

iKV , (05)

sendo V = velocidade mdia aparente da gua atravs do material; K = coeficiente de

permeabilidade (com dimenso LT-1

); e i = perda de carga unitria (adimensional). Portanto, K

tem dimenso de velocidade13

.

A vazo atravs de uma seo de rea A transversal ao escoamento Q = VA. Ou

AiKQ (06)

sendo a perda de carga unitria (gradiente hidrulico) i dada por

x

hi

. (07)

O coeficiente de permeabilidade K medido em laboratrio com o uso de um

permemetro, cujo princpio est representado na Figura 11.6. Esse permemetro, que reproduz a

experincia de Darcy, permite a obteno da perda de carga unitria, i. Essa perda de carga

obtida da leitura dos piezmetros, h1 e h2, cujas tomadas de presso encontram-se separadas pela

distncia L: i = (h1 h2) / L.

Figura 11.6 Esquema ilustrativo da experincia de Darcy (permemetro de carga constante)

12

Henry Philibert Gaspard Darcy (1803 1858), engenheiro francs. 13

Escreve-se [K] = [V] = LT-1



217

Obs.: O coeficiente de permeabilidade funo das propriedades do fluido e do meio poroso.

Esta dependncia pode ser mostrada rapidamente recorrendo-se equao de Navier-Stokes, da

Mecnica dos Fluidos para o escoamento laminar entre duas placas paralelas, que uma equao

correspondente de Hagen-Poiseuille e que pode escrita na forma:

2Ab

Q12

dx

dhi

, (08)

sendo = viscosidade dinmica do fluido; = peso especfico do fluido; b = distncia entre as

placas; e A = rea da seo transversal ao escoamento, cuja vazo Q. Como, segundo Darcy,

AKQi , resulta

12

gb

12

bK

22

. (09)

De maneira alternativa, esta demonstrao poderia ser feita com o uso da frmula

universal para a perda de carga no escoamento laminar (tambm conhecida como equao de

Darcy-Weisbach). Por esta equao,

g2

V

d

1fi

2

, (10)

sendo f o fator de atrito e d um dimetro caracterstico dos poros. Para o regime laminar,

Recf , sendo c = constante e Re = nmero de Reynolds dV . Da, a expresso para a

perda unitria se reescreve como:

2gd2

cVi

, ou i

c

gd2V

2

. (11)

Donde,

g2

Kc

dg2K 0

2

, (12)

sendo

220 dccdK . (13)

O termo K0 denominado permeabilidade intrnseca.

A medio do coeficiente K em laboratrio pode ser feita, ainda, com o emprego do

permemetro de carga varivel, particularmente para solos argilosos. Esquematicamente,

representa-se o permemetro de carga varivel na Figura 11.7. Conforme o esquema, aplicando-

se a lei de Darcy para um tempo genrico t:

LthAKtQ . (14)

Mas,

dtdhatQ , (15)

o que permite escrever:

L

hAK

dt

dha , ou .dt

La

AK

h

dh



218

Figura 11.7 Esquema ilustrativo do funcionamento do permemetro de carga varivel

Integrando, deste o tempo t1, onde h = h1, at um instante t2 = t1 + t, em que h = h2, ou seja,

2

1

2

1

t

t

h

h

dt La

AK

h

dh

obtm-se

tLa

AK

h

h

1

2

ln ,

que permite obter o coeficiente de permeabilidade14

:

2

1

2

1

h

h

tA

La3032K ou

h

h

tA

LaK log

,ln

. (16)

e) Armazenamento especfico e coeficiente de armazenamento

- Coeficiente de armazenamento, S

O volume de gua liberado por um aqufero, que se caracteriza pela sua produo

especfica, avaliado atravs do seu coeficiente de armazenamento, S, que a parcela de gua

libertada por um prisma vertical de base unitria e com a mesma altura do aqufero, quando a

altura piezomtrica reduzida de um comprimento unitrio. O coeficiente de armazenamento S

adimensional.

14

Valores mdios de K para alguns tipos de materiais so dados na Tabela 11.1.



219

(a) aqufero fretico

(b) aqufero artesiano

Figura 11.8 Visualizao dos prismas de base unitria para a definio dos coeficientes de armazenamento

em aquferos fretico (figura a) e artesiano (figura b)

O coeficiente de armazenamento S expressa a capacidade de armazenamento til de um

aqufero, por unidade de rea horizontal. Nos lenis freticos, S aproxima-se do valor da

produo especfica (ou porosidade efetiva), conforme ilustram os dados da Tabela 11.1. Valores

mdios tpicos deste parmetro em aquferos freticos esto compreendidos na faixa

0,01



220

Desta equao, define-se T como a vazo que escoa atravs de uma seo vertical do

aqufero com largura de 1 metro, quando a perda de carga unitria igual unidade. A ttulo de

ilustrao, a Figura 11.9 mostra a relao entre os coeficientes de transmissividade e

permeabilidade.

Figura 11.9 - Relao entre os coeficientes de transmissividade, T, e de permeabilidade, K.

Exemplo 11.1 (Equao de Darcy)

Um lenol fretico tem espessura mdia de 3,6m e constitudo de areia com coeficiente de

permeabilidade igual a 40m/dia. Dois poos perfurados neste lenol, afastados entre si de 20m e

situados ao longo de uma mesma linha de corrente permitiram que se constatasse um desnvel de

1,20m na superfcie do lenol, conforme indica a Figura 11.10. Com base nessas informaes,

calcular:

a) a vazo de escoamento do lenol, por metro linear de largura;

b) o comprimento mnimo que dever ter uma galeria de infiltrao, instalada transversalmente

s linhas de corrente, de modo a se poder captar a vazo de 6/s, supondo-se que se aproveite totalmente a gua em escoamento.

Soluo:

a) Da equao de Darcy, iAKQ .

Como A = mw, ento iwmKQ .

Ou, imKw

Qq . Conhecidos,

K = 40 m/dia = 40/(243600) m/s,

m = 3,6m e i = 1,2/20 m/m, vem

ms

m101

20

2163

360024

40q

34

,, ,

ou q = 0,1 /(ms).

Figura 11.10 - Esquema para o problema exemplo 11.1



221

b) para Q = 6/s L = Q/q = 6/0,1 L=60m.

Exemplo 11.2

Estabelecer a expresso da vazo, por unidade de largura, para o escoamento horizontal num

aqufero artesiano em direo a uma vala, sendo m a espessura mdia do aqufero e K o

coeficiente de permeabilidade. (V. Figura 11.11)

Soluo:

Da equao de Darcy, iAKQ .

Como A = mw, xHi ,

x

HmK

w

Qq

, ou

x

HTq

.

Figura 11.11 - Esquema para o problema exemplo 11.2

11.5. Hidrulica de poos

Neste subcaptulo, o tratamento dado ao problema da hidrulica subterrnea

fundamentalmente voltado para o seu aproveitamento.

A captao da gua subterrnea pode ser feita longitudinalmente, atravs de galerias

como no caso do problema exemplo 11.1, ou radialmente, por meio de poos. Esta ltima forma

de captao se caracteriza por provocar o escoamento que se processa radialmente no interior do

macio poroso que contm o aqufero (ou lenol dgua subterrneo).

A captao feita por meio de poos pode ser realizada: a) com o aproveitamento do

aqufero fretico, que o primeiro a ser encontrado quando se faz uma escavao e que,

conforme j visto, contm a gua no interior do macio poroso sujeita presso atmosfrica; ou

b) com o aproveitamento do aqufero artesiano, onde a presso da gua superior atmosfrica

por se encontrar confinada entre camadas impermeveis. De acordo com o aqufero que se utiliza

como fonte de suprimento, o poo ento denominado fretico ou artesiano.

A ttulo de ilustrao, na Figura 11.12 apresenta-se um poo fretico sofrendo a ao de

um bombeamento com a vazo constante Q. Nesta figura, nota-se que na vizinhana do poo o

nvel dgua do lenol fretico apresenta-se rebaixado. A primeira quantidade de gua retirada

por meio do bombeamento proveniente do armazenamento existente no aqufero em volta do

poo. medida que o bombeamento prossegue, uma quantidade maior de gua procedente de

regies cada vez mais afastadas removida, produzindo-se depresses no nvel dgua do

aqufero que constituem o que se denomina cone de depresso.

A profundidade de um poo de captao varia de acordo com a situao do aqufero em

relao superfcie do solo.



222

Figura 11.12 Rebaixamento e curva de depresso devido ao bombeamento em poo fretico

11.5.1 Terminologia

Na hidrulica de poos utilizada a terminologia abaixo, com suas definies:

a) Nvel esttico do poo: o nvel de equilbrio da gua no poo quando este no est sob a ao de bombeamento, nem sob a influncia de bombeamento anterior, e nem sob a

influncia da ao de bombeamento que se processa (ou se processou) nas suas imediaes.

Observaes:

i) nos poos freticos, o nvel esttico corresponde ao nvel do lenol.

ii) nos poos artesianos, o nvel esttico situa-se sempre acima do nvel do lenol e,

mesmo, acima do nvel do terreno quando o poo jorrante.

b) Nvel dinmico do poo: o nvel da gua no poo quando este est sendo bombeado, ou sofrendo a ao de um bombeamento anterior ou de um bombeamento nas suas imediaes.

Observaes:

i) Em qualquer poo (fretico ou artesiano), o nvel dinmico fica abaixo do nvel

esttico, tanto mais quanto maior for a vazo de bombeamento.

ii) O nvel dinmico de maior importncia o que corresponde vazo de projeto (vazo

a ser fornecida pelo poo). Sua determinao constitui um dos aspectos importantes a

considerar na hidrulica de poos.

c) Regime de equilbrio: aquele em que o nvel dinmico fica estacionrio depois de determinado tempo de bombeamento, por tornar-se a vazo do poo igual da bomba.

d) Regime no-equilibrado: o que se inicia com o bombeamento, prosseguindo com o abaixamento do nvel dinmico at ser atingido o regime de equilbrio. Cessado o

bombeamento, reinicia um novo regime no-equilibrado, que dura at a recuperao total do

poo, quando novamente atingido o nvel esttico.

e) Tempo de recuperao: o tempo decorrido, desde que cessado o bombeamento, at o instante em que o nvel dinmico, que vai sempre subindo, atinge a posio do nvel esttico.

f) Profundidade do nvel esttico: a distncia medida a partir da superfcie do terreno at o nvel esttico do poo.



223

Observao: Pela definio acima, no caso de poo jorrante, a profundidade do nvel esttico

ser negativa.

g) Profundidade do nvel dinmico: a distncia que se mede do nvel do terreno at o nvel dinmico do poo.

h) Depresso, abaixamento ou rebaixamento de nvel: a diferena de cota entre o nvel esttico e o nvel dinmico do poo.

i) Superfcie de depresso: nos poos freticos, a superfcie que resulta da depresso de nvel do lenol em decorrncia de bombeamento. Sua forma aproximada a da superfcie lateral

de um tronco de cone invertido, cuja base menor a seo do poo na posio do nvel

dinmico.

Observaes:

i) Nos poos artesianos, a superfcie de depresso imaginria e constitui o lugar

geomtrico dos pontos piezomtricos que sofrem depresso em decorrncia de

bombeamento.

ii) A superfcie de depresso funo da vazo de bombeamento.

j) Curva de depresso: a curva que se obtm da interseo da superfcie de depresso com um plano vertical que passa pelo eixo do poo.

Os dois ramos da curva de depresso so geralmente assimtricos, assimetria que mais

acentuada no plano vertical paralelo ao deslocamento da gua subterrnea, sobretudo em

lenis freticos.

Observao: possvel traar a curva de depresso de um poo, desde que sejam abertos outros

poos com ele alinhados e que em todos seja determinado o nvel dinmico de equilbrio,

por ocasio do bombeamento no poo em estudo.

k) Zona de influncia: a zona abrangida pela superfcie de depresso de um poo. tanto maior quanto maior for a vazo de bombeamento.

Observao: Qualquer outro poo que seja aberto nesta zona de influncia ficar com seu nvel

deprimido, em decorrncia do bombeamento do primeiro, depresso essa tanto maior quanto

mais prximo ficar um poo do outro.

11.5.2 Bombeamento em poos freticos e artesianos

Conforme visto, de acordo com o aqufero do qual se promove o bombeamento da gua,

o poo pode ser denominado fretico ou artesiano. O bombeamento produz as depresses do

nvel dgua do aqufero (ou da superfcie piezomtrica, em caso de artesiano), constituindo o

chamado cone de depresso. O raio desse cone, denominado raio de influncia, uma funo

da vazo de bombeamento, e tambm varia com o tempo de bombeamento. O raio de influncia,

bem como a depresso de nvel, cresce com o tempo de bombeamento, em taxas decrescentes,

at que a capacidade de recarregamento do aqufero se equilibre com a vazo de bombeamento.

11.5.2.1 Regime de equilbrio

De acordo com o que j foi mencionado, o cone de depresso pra de crescer quando se

estabelece uma situao de equilbrio: a vazo de bombeamento iguala-se capacidade de

recarregamento.

Thiem, estudando as variaes do cone de depresso dentro do regime de equilbrio,

estabeleceu as expresses que correlacionam estas variaes com a vazo de bombeamento dos

poos freticos e artesianos. As frmulas de Thiem, adiante demonstradas, pressupem que a



224

granulometria do aqufero invarivel, bem como a sua espessura, e que o poo atinge o limite

inferior do aqufero (caso em que denominado poo completo). As frmulas de Thiem

admitem, ainda, que a gua no aqufero se desloca em regime laminar segundo linhas radiais que

tm por centro o eixo do poo.

11.5.2.1.1 Regime de equilbrio Poo fretico

A Figura 11.13 representa um poo fretico completo durante bombeamento sob vazo

constante. A figura contm os elementos necessrios para a obteno da equao de Thiem.

Figura 11.13 Poo fretico sob a ao de bombeamento com vazo constante



225

Na ilustrao, o regime o de equilbrio: o rebaixamento s invarivel no tempo. Em

volta do poo, o aqufero mostra-se rebaixado em forma de funil (cone de depresso).

A obteno da curva que traduz o rebaixamento do lenol dentro da zona de influncia do

bombeamento pode ser feita com base na equao de Darcy. Para isto, considera-se uma

superfcie cilndrica imaginria situada distncia genrica r do eixo do poo, atravs da qual

escoa a gua bombeada do aqufero. Para essa superfcie, pode-se escrever:

hr2A

drdhi AiKAVQ

hdhK2r

drQ

dr

dhhrK2Q (21)

A Eq. (21) a equao diferencial da superfcie de depresso (ou do cone de depresso).

Ela pode ser integrada entre dois limites quaisquer, tais como (R0, h0) e (r, h):

h

h

2r

R

h

h

r

R 0

000

2

hK2 r Q hdh K2

r

drQ ln

2

h

2

hK2

R

rQ

2

0

2

0

ln

202

0

2

0

2

0

hh

R

r3032

Khh

R

r

KQ

log,ln

. (22)

A Eq. (22) pode, ainda, ser escrita em termos das depresses de nvel, s. Para tal, faz-se:

smh e 00 smh , donde

202

0

2

0

2

0

smsm

R

r3032

Ksmsm

R

r

KQ

log,ln

. (23)

Expresso para o raio de influncia, Ri (aqufero fretico)

Para obter uma expresso para o raio de influncia Ri, a Eq. (21) integrada desde (R0,

h0) at (Ri, m):

202

0

i

2

0

2

0

i

smm

R

Rln

Khm

R

Rln

KQ

donde,

002020

i ssm2Q

Ksmm

Q

K

R

R

ln , e

000i ssm2Q

KRR

lnln , (24)

expresso que permite obter Ri, a partir de valores conhecidos de R0, Q, K, m, s0.

Expresso para o coeficiente de permeabilidade, K (aqufero fretico)

Considere-se o bombeamento do poo fretico com a vazo Q, e os rebaixamentos s1 e s2

no regime de equilbrio, medidos nos poos de observao PO1 e PO2 (Figura 11.14). A

integrao da Eq. (21) entre os limites (R1, h1) e (R2, h2) permite escrever:



226

2122

1

2

hh

R

R

KQ

ln

, ou

212212

2

1

2

2

12

2

1

2

2

12

smsm

RRlogQ303,2

smsm

RRlnQ

hh

RRlnQK

, (25)

que a expresso de clculo do coeficiente K em aqufero fretico, com base nos rebaixamentos

em dois poos de observao (que funcionam como piezmetros).

Caso o poo PO1 se confunda com o poo sendo bombeado, a distncia R1 passa a ser o

raio do poo R0 e a depresso s1 transforma-se na depresso do nvel dinmico de equilbrio s0

para a vazo Q. Nesse caso, calcula-se K segundo a expresso

2020

smsm

RRQ3032K

log,, (26)

na qual R e s so referidos ao poo nico de observao.

Figura 11.14 Bombeamento de poo fretico obteno do coeficiente de permeabilidade com base nas

leituras em dois poos de observao

Observaes:

i) Os valores do coeficiente de permeabilidade K so geralmente mais precisos quando

definidos pelas determinaes relativas a dois poos de observao, j que ocorre uma perda de

carga na entrada do poo bombeado. Todavia, a utilizao de um s poo de observao, ao

invs de dois, mais cmoda e econmica. Esta observao aplica-se tambm para o caso de

poos em aquferos artesianos.

ii) A boa prtica sugere a obteno de um coeficiente de permeabilidade mdio, K . Para

isso, so necessrios vrios piezmetros (poos de observao) dispostos como na Figura 11.15.

No caso de utilizao de 4 piezmetros, recomenda-se que eles sejam dispostos com os seguintes



227

afastamentos: o primeiro a 1m do eixo do poo bombeado; o segundo a 2m do primeiro

piezmetro; o terceiro a 5m de afastamento do segundo; e o quarto a 10m do terceiro piezmetro.

Figura 11.15 Esquema ilustrativo do uso de 4 poos de observao para a obteno de um coeficiente de

permeabilidade mdio do aqufero.

Aplicando-se sucessivamente a Eq. (25) para os pares de piezmetros i e j (1 e 2, 1 e 3, 1

e 4, 2 e 3, 2 e 4, 3 e 4), pode-se determinar vrios valores de Ki,j que permitem a obteno do

coeficiente de permeabilidade mdio. Para os quatro piezmetros do esquema da Figura 11.15,

434232413121 KKKKKK6

1K ,,,,,, , (27)

Generalizando, para N de poos de observao,

j,iK

!2N!2

!N

1K . (28)

11.5.2.1.2 Regime de equilbrio Poo artesiano

A Figura 11.16 representa, agora, um poo artesiano durante o bombeamento com uma

vazo constante Q, em regime de equilbrio: o rebaixamento da superfcie piezomtrica, em cada

posio r, mantm-se invarivel no tempo. O cone de depresso representado na figura constitui,

na verdade, uma superfcie imaginria (embora esta superfcie possa ser materializada por meio

da instalao de piezmetros cravados no aqufero: os piezmetros permitem a obteno dos

nveis virtuais acima do aqufero, de modo semelhante ao do poo fretico).



228

Figura 11.16 Poo artesiano sob bombeamento com vazo constante

De acordo com a lei de Darcy aplicada a uma superfcie cilndrica situada a uma distncia

r do eixo do poo (Figura 11.16), atravs da qual a gua escoa com a vazo igual de

bombeamento (regime de equilbrio), pode-se escrever:

AiKAVQ , onde mr 2A ;dr

dhi ,

ou

dhmk2r

drQ

dr

dhmrk2Q . (29)



229

Se a Eq. (29) integrada entre os limites do poo, (R0, h0), e uma regio que sofre a

influncia do bombeamento, (r, h), tem-se

00

h

0h

r

0R hhmK2

R

rlnQ dh mk2

r

drQ .

Em termos das depresses da superfcie piezomtrica:

00 sHh ; sHh sshh 00 .

Da,

ss

R

rlog303,2

mK2ss

R

rln

mK2Q 0

0

0

0

. (30)

A Eq. (30) a conhecida equao de Thiem para aquferos artesianos.

Expresso para o raio de influncia, Ri (aqufero artesiano)

Para a Eq. (29) integrada entre os limites (R0, h0) e (Ri, H):

0

0

i

hH

R

Rln

mK2Q

.

Mas, Hh0 = s0, que corresponde ao rebaixamento do nvel dinmico de equilbrio. Logo,

0

0

i

s

R

R

mK2Q

ln

, (31)

expresso que mostra que a vazo que se pode extrair de um poo artesiano proporcional ao

desnvel s0 = (H h0 ). Esta equao, todavia, s aplicvel para desnveis (depresses)

relativamente fracos e inferiores a 1/4(Hm), isto , para s0 < (Hm)/4.

A expresso para o raio de influncia, com base na Eq. (31), d:

00i0

0

i sQ

mK2RR s

Q

mK2

R

Rexpln (32)

Expresso para o coeficiente de permeabilidade, K (aqufero artesiano)

Na Figura 11.17 representam-se o poo artesiano sob bombeamento e dois poos de

observao (piezmetros), PO1 e PO2, que distam R1 e R2 do eixo do poo bombeado. Os

rebaixamentos da superfcie piezomtrica correspondentes aos poos PO1 e PO2 so,

respectivamente, s1=Hh1 e s2=Hh2, sendo H a altura do plano de carga esttico referida

camada impermevel inferior do aqufero artesiano.

Para a Eq. (29) integrada entre os limites (R1, h1) e (R2, h2) obtm-se:

12

21

12

21

12

12

RRlog303,2

ssmK2

RRln

ssmK2

RRln

hhmK2Q

(33)

pois (h2 h1) = (H s2) (H s1) = (s1 s2).



230

Figura 11.17 Bombeamento de poo artesiano obteno do coeficiente de permeabilidade com base nas

leituras em dois poos de observao

Explicitando em termos de K:

21

12

21

12

ssm2

RRlogQ303,2

ssm2

RRlnQK

(34)

que a expresso para o clculo do coeficiente de permeabilidade K do aqufero artesiano com

base nos rebaixamentos em 2 poos de observao.

Novamente, aqui so vlidas as mesmas observaes feitas no estudo da permeabilidade

do aqufero fretico. So vlidas, tambm, as Eqs. (27) e (28) para a obteno de um coeficiente

de permeabilidade mdio quando se utilizam vrios poos de observao.

11.5.2.1.3 Interferncia de poos

A interferncia de dois poos ocorre quando, estando ambos submetidos ao

bombeamento, suas zonas de influncia coincidem parcialmente. Na prtica, para que no haja

interferncia entre dois poos que funcionaro simultaneamente com a mesma vazo Q, procura-

se determinar a distncia mnima que deve existir entre eles. Para tanto, utilizam-se as equaes

de Thiem para obter o raio de influncia Ri, na forma das Eq. (24) ou (32), conforme o aqufero

seja fretico ou artesiano. Para que um poo no esteja localizado na regio de influncia do

outro, a distncia mnima entre eles ser ento 2xRi. Se os poos se distanciarem um do outro de

um valor inferior a 2xRi, forosamente haver interferncia.

11.5.2.2 Regime no equilibrado

O regime no equilibrado (regime no permanente), que se inicia com o bombeamento,

caracteriza-se pelo rebaixamento do nvel dinmico e termina quando o regime de equilbrio

atingido: o nvel dgua do poo, inicialmente no nvel esttico, estabiliza-se no nvel dinmico

de equilbrio sob a vazo de bombeamento constante.



231

Para escoamentos permanentes, admitindo-se a gua incompressvel e a estrutura do

aqufero indeformvel, pode ser mostrado que o laplaciano da carga hidrulica nulo: 2h = 0

(aqufero de espessura e permeabilidade constantes). Ou, em coordenadas cartesianas,

0y

h

x

h2

2

2

2

.

Em coordenadas polares,

0r

h

r

1

r

h2

2

.

Na realidade, ao se iniciar a explotao da gua de um aqufero artesiano, uma parcela

importante da alimentao do poo provm da descompresso da gua na zona de reduo de

presso e de compactao do estado saturado. Essa ao atinge gradualmente as regies mais

afastadas do local de bombeamento na medida em que se prolonga no tempo o processo de

extrao da gua. Em um aqufero de extenso infinita, as condies de equilbrio no podero

ser atingidas em um tempo finito.

Para as condies de escoamento no permanente (regime no equilibrado) em um

aqufero compressvel, a aplicao da equao da continuidade a um volume de controle

concntrico com um poo, produz a equao diferencial

thShT 2 (35)

Em coordenadas cilndricas:

t

h

T

S

r

h

r

1

r

h2

2

(36)

em que S = coeficiente de armazenamento, adimensional; T = coeficiente de transmissividade,

T= L2 T

-1; e h a carga hidrulica (h = z + p/), h= L.

A Eq. (36) pode, ainda, ser escrita em termos do rebaixamento s (s = H h, para o

aqufero artesiano). Assim:

t

s

T

S

r

s

r

1

r

s2

2

(37)

Frmula de Theis

O resultado da integrao, que exprime o rebaixamento da superfcie piezomtrica em um

poo de observao situado distncia r do ponto de bombeamento (Figura 11.18), em funo do

tempo, conhecido como frmula de Theis15

, obtido da analogia entre o escoamento da gua

subterrnea e a conduo de calor, considerando as condies iniciais e de contorno:

T2

Q

r

srlim iii

0t,s (ii)

00,rs i

0r

(38)

A clssica soluo apresentada por Theis do tipo:

15

Frmula obtida por Charles Vernon Theis em trabalho desenvolvido para o US Geological Survey, em 1935,

apoiando-se na literatura existente para a transferncia de calor, com o auxlio matemtico de C. I. Lubin.



232

du u

e

T4

QhHs

u

u

(39)

ou

uWT4

Qs

(40)

onde

uW funo do poo duu

e

u

u

(41)

sendo

Tt4

Sru

2

. (42)

Os valores de W(u) podem ser encontrados pelo desenvolvimento da srie convergente:

!44

u

!33

uuuuln5772,0du

u

e)u(W

432

u

u

(43)

Com base nesta srie, podem ser construdas tabelas de valores da funo do poo W(u) em

funo da varivel u, definida pela Eq. (42). Uma tabela muito utilizada a Tabela 11.2 de

Wenzel.

Figura 11.18 Poo artesiano submetido a bombeamento sob vazo constante e rebaixamento s observado

em poo de observao localizado distncia r do eixo do poo bombeado.



233

Tabela 11.2 - Tabela de Wenzel (1942) para os valores da funo do poo, W(u), em termos de u.

u 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0

x 1 0,219 0,049 0,013 0,0038 0,00114 0,00036 0,00012 0,000038 0,000012

x 10-1 1,82 1,22 0,91 0,70 0,56 0,45 0,37 0,31 0,26

x 10-2 4,04 3,35 2,96 2,68 2,48 2,30 2,15 2,03 1,92

x 10-3 6,33 5,64 5,23 4,95 4,73 4,54 4,39 4,26 4,14

x 10-4 8,63 7,94 7,53 7,25 7,02 6,84 6,69 6,55 6,44

x 10-5 10,95 10,24 9,84 9,55 9,33 9,14 8,99 8,86 8,74

x 10-6 13,24 12,55 12,14 11,85 11,63 11,45 11,29 11,16 11,04

x 10-7 15,54 14,85 14,44 14,15 13,93 13,75 13,60 13,46 13,34

x 10-8 17,84 17,15 16,74 16,46 16,23 16,05 15,90 15,76 15,65

x 10-9 20,15 19,45 19,05 18,76 18,54 18,35 18,20 18,07 17,95

x 10-10 22,45 21,76 21,06 20,84 20,66 20,66 20,50 20,37 20,25

x 10-11 24,75 24,06 23,65 23,36 23,14 22,96 22,81 22,67 22,55

x 10-12 27,05 26,36 25,95 25,66 25,44 25,26 25,11 24,97 24,86

x 10-13 29,36 28,66 28,26 27,97 27,75 27,56 27,41 27,28 27,16

x 10-14 31,66 30,97 30,56 30,27 30,05 29,87 29,71 29,58 29,46

x 10-15 33,96 33,27 32,86 32,58 32,35 32,17 32,02 31,88 31,76

Tt4Sru 2

Frmula de Theis modificada por Jacob

Estudos realizados por C. E. Jacob (1940) em torno da equao de Theis (Eq. 40) para o

regime no equilibrado levaram-no a concluir que, para valores suficientemente pequenos de u,

pode-se considerar, com boa aproximao, a Eq. (43) limitada aos seus dois primeiros termos:

u57720duu

euW

u

u

ln,

. (44)

Assim, para um tempo suficientemente longo (o que equivale a u pequeno), Jacob reescreveu a

equao de Theis na forma aproximada:

u57720T4

QuW

T4

Qs ln,

. (45)

Fazendo-se 0,5772 = ln x, tem-se x = 0,56147. Logo,

u561470u561470u57720 ,lnln,lnln, .

Ento,

u

561470

T

Q

4

3032

e

u561470

T4

Q

u

561470

T4

Qs

,log

,

log

,log,ln

.

Lembrando que Tt4Sru 2 , vem



234

Sr

tT5614704

T

Q1830s

2

,log

,

ou

Sr

tT252

T

Q1830s

2

,log

, . (46)

A Eq. (46) a frmula de Theis simplificada por Jacob para o rebaixamento em um poo de

observao distncia r do poo sob bombeamento. A frmula vlida para t suficientemente

grande (ou u pequeno). Na prtica, para u < 0,01, os valores da Eq. (46) so praticamente

idnticos aos da Eq. (39).

11.5.2.2.1 Determinao dos coeficientes de transmissividade (T) e armazenamento (S) com

base na frmula de Theis simplificada por Jacob

Processo tempo-abaixamento

As caractersticas de um aqufero podem ser determinadas a partir do levantamento de um

conjunto de pares de valores do rebaixamento e tempo correspondente, (si, ti), sendo o tempo

contado a partir do incio do bombeamento. Este mtodo de determinao das caractersticas do

aqufero conhecido como processo tempo-abaixamento.

Para uma representao grfica conveniente, os rebaixamentos observados em funo do

tempo so plotados em papel monolog: os valores dos rebaixamentos s so lanados em

ordenada, na escala aritmtica, e os valores dos tempos de observao t em abscissa, na escala

logartmica. Para grandes perodos de durao (que implica em pequenos valores de u), os dados

dispem-se segundo uma reta.

Com efeito, reescrevendo-se a Eq. (46),

Sr

T252

T

Q1830t

T

Q1830s

2

,log

,log

, (47)

que do tipo y = ax + b. Pela Eq. (47), a declividade da reta em grfico de s versus log t igual a

0,183Q/T. O coeficiente de transmissividade pode ser calculado a partir de dois pares de valores

de s e t, situados sobre a reta s = f (log t):

- para o instante t1, Sr

T252

T

Q1830t

T

Q1830s

211

,log

,log

,

- para o instante t2, Sr

T252

T

Q1830t

T

Q1830s

222

,log

,log

, .

Fazendo s2 s1, resulta

1

212

t

t

T

Q1830ss log

,

e

1

2

12 t

t

ss

Q1830T log

,

. (48)

Se, por convenincia, escolhido t2 = 10t1,

12 ss

Q1830T

,. (48.1)



235

Na Figura 11.19 so representados os rebaixamentos s1 e s2 no poo de observao,

correspondentes aos instantes t1 e t2 como acima indicado.

Figura 11.19 Rebaixamentos observados em um poo de observao em dois instantes sucessivos.

O coeficiente de armazenamento tambm pode ser estimado com base em construo

grfica de s versus log t (ou de s versus t, em papel monolog). Por exemplo, no grfico em papel

monolog (Figura 11.20), extrapola-se a tendncia linear para obter o tempo t0 correspondente ao

rebaixamento s = 0. Assim, com base na Eq. (46), para s = 0 (rebaixamento nulo), tem-se

1Sr

Tt2522

0 ,

,

uma vez que Q0. Conhecido o coeficiente T, pode-se escrever

2

0

r

Tt252S

, . (49)

Figura 11.20 Construo da curva rebaixamento versus tempo em papel monolog para a obteno dos

coeficientes de transmissividade, T, e armazenamento, S.



236

Pela sua simplicidade, as Equaes (48) e (49) devidas a Jacob constituem uma

ferramenta til para a determinao das caractersticas do aqufero. Numa alternativa

construo grfica, pode-se tambm empregar a anlise de regresso para obter os coeficientes T

e S, contanto que se utilizem valores suficientemente grandes de t que garantam u < 0,01.

11.5.2.2.2 Determinao dos coeficientes de transmissividade (T) e armazenamento (S) com

base na expresso geral de Theis

Quando o tempo de durao do bombeamento no suficientemente longo para permitir

a definio da assntota logartmica (V. Figura 11.20), deve-se fazer uso da expresso geral de

Theis, dada pela Eq. (39) ou Eq. (40).

Para essa condio, Theis desenvolveu um mtodo grfico baseado na proporcionalidade

entre W(u) e s e entre u e r2/t:

t

rCu

T4

S

t

ru

sCuW uWT4

Qs

2

2

2

1

(50)

O mtodo consiste em comparar a curva descritiva do comportamento de W(u) em funo

de u (chamada curva-tipo), traada em papel log-log (ou papel bi-log), com a curva

experimental de s em funo de r2/t, desenhada na mesma escala. Assim, ao trmino do teste de

bombeamento, com os pares de valores dos rebaixamentos em funo do tempo obtidos no poo

de observao, procede- se da seguinte forma:

a) em papel loglog transparente, plotam-se os pares de valores de s e r2/t, onde r a distncia entre os eixos dos poos de observao e de bombeamento e t o tempo em que medido o

rebaixamento s;

b) em papel loglog opaco, lanam-se os pares de valores de W(u) e u, isto , constri-se a curva tipo. (Observar que o tamanho de cada ciclo do papel log-log deve ser igual ao

correspondente do grfico anterior);

c) em seguida, sobrepem-se os dois grficos (naturalmente, com o papel transparente sobre o papel opaco), mantendo-se os eixos W(u) e s(t) paralelos. Ajusta-se o papel transparente at

que a maioria dos rebaixamentos observados caia sobre a curva tipo. (Observar que os

eixos correspondentes devem manter-se paralelos durante o deslocamento em busca do

melhor ajuste);

d) seleciona-se um ponto arbitrrio (no necessariamente sobre a curva tipo) e anotam-se, para este ponto, os valores de u e W(u) do papel opaco, e os correspondentes r

2/t e s do papel

transparente. Esses pontos so designados u0 e W0(u), e (r2/t)0 e s0;

e) finalmente, calculam-se os coeficientes de transmissividade, T, e armazenamento, com o uso das Equaes (40) e (42) e as coordenadas acima determinadas:

uWs4

QT 0

0 (51)

e

0

2

0

tr

uT4S . (52)



237

Cumpre observar que os mtodos de Theis e Jacob aplicam-se, a rigor, a aquferos

artesianos. A sua utilizao em aquferos livres (poos freticos) poder fornecer valores

aceitveis se os rebaixamentos de nvel forem pequenos relativamente espessura do lenol.

Exemplo 11.3

Ao lado de um poo artesiano (A), com o dimetro de 8 pol (200mm), foi instalado um poo de

observao (B), situado distncia entre eixos de 110m. Posta uma bomba a funcionar no poo

(A) com vazo constante de 120m3/h, o nvel dinmico no poo de observao sofreu os

rebaixamentos indicados na Tabela 11.3. Pelo processo de tempo-abaixamento, determinar: a) os

coeficientes de transmissividade e armazenamento; e b) a depresso de nvel do poo (A) para

uma vazo de projeto de 180m3/h.

Tabela 11.3 Valores de depresso do nvel de gua no poo de observao (B)

tempo

(min)

depresso

(cm)

tempo

(min)

depresso

(cm)

tempo

(min)

depresso

(cm)

1,0 4,3 9,0 29,3 50,0 54,0

2,0 10,2 10,0 31,2 60,0 57,2

3,0 14,3 12,0 32,8 80,0 60,5

4,0 18,0 15,0 36,2 100,0 64,4

5,0 22,7 20,0 40,3 120,0 67,3

6,0 23,5 25,0 43,7 240,0 78,0

7,0 25,2 30,0 45,9

8,0 26,8 40,0 50,8

Soluo:

Dados: R0 = 100 mm = 0,1 m

r = 110 m

Qb = 120 m3/h

Rebaixamento s, em funo do tempo, conforme a Tabela 11.3.

Pede-se: coeficientes de transmissividade (T) e armazenamento (S);

sp = ? para Q = 180 m3/h (de projeto)

Calcula-se, inicialmente, o coeficiente de transmissividade, T:

- para t = t1 Sr

Tt252

T

Q1830ss

2

1b1

,log

,

- para t = t2 Sr

Tt252

T

Q1830ss

2

2b2

,log

,

- 1

2

12

b

1

2b

12t

t

ss

Q1830T

t

t

T

Q1830ss log

,log

,

.

Escolhendo se, da reta traada no papel mono-log (Figura 11.21), t1 e t2 tais que t2 = 10 t1 (log

t2/t1 = 1)

m3450cm534ss cm 564s min 100t

cm 030s min 10t12

22

11,,

,

,

Logo,



238

Figura 11.21 Curva rebaixamento versus tempo, em papel monolog, construda com os dados da Tabela

11.3, para a obteno dos coeficientes de transmissividade, T, e de armazenamento, S.

m

hm6563T

3450

1201830

ss

Q1830T

3

12

b ,,

,,

.

Pode-se, agora, determinar o coeficiente de armazenamento, S:

- Com base no modelo matemtico aproximado, para s = 0 t = t0

2

0

2

0

2

0b

r

Tt252S 1

Sr

Tt252

Sr

Tt252

T

Q18300s

,,,log

, ,

que a Eq. (49) anteriormente obtida. Do grfico da Figura 11.21 construdo em papel mono-log,

encontra-se t0 1,4min = 0,02333h. Ento,

0002760S 110

0233306563252

r

Tt252S

22

0 ,,,,,

.

Obtidos os valores de T e S, emprega-se a equao de Theis simplificada por Jacob para estimar

o rebaixamento no poo para a vazo de projeto de 180m3/h:

000276010

t6563252

6563

1801830

Sr

Tt252

T

Q1830s

22

p

projeto

p,,

,,log

,

,,log

,

t5175099253sp log,, .

Atribuindo-se valores crescentes a t, a partir de t=2h, constri-se a Tabela 11.4. Por estes

resultados, pode-se tomar, por segurana,

m05sp , .



239

Tabela 11.4 Evoluo da depresso de nvel em funo do bombeamento

tempo

(h)

depresso, sp

(m)

tempo

(h)

depresso, sp

(m)

tempo

(h)

depresso, sp

(m)

tempo

(h)

depresso, sp

(m)

2 4,15 12 4,55 22 4,69 32 4,77

4 4,30 14 4,59 24 4,71 34 4,79

6 4,40 16 4,62 26 4,73 36 4,80

8 4,46 18 4,64 28 4,74 38 4,81

10 4,51 20 4,67 30 4,76 40 4,82

BIBLIOGRAFIA

LEME, Franclio Paes (1984). Engenharia do Saneamento Ambiental. Rio de Janeiro: LTC Livros

Tcnicos e Cientficos Editora.

DAKER, Alberto (1983). Captao, Elevao e Melhoramento da gua. A gua na Agricultura 2o

volume, 6a edio. Livraria Freitas Bastos.

LENCASTRE, Armando (1983). Hidrulica Geral. Edio Luso-Brasileira. Hidroprojecto. Coimbra,

Portugal.

TUCCI, Carlos E. M. organizador (1993). Hidrologia: Cincia e Aplicao. Coleo ABRH de Recursos

Hdricos. Porto Alegre: Ed. da UFRGS; ABRH; EDUSP.

VILLELA, Swami Marcondes & MATTOS, Arthur (1975). Hidrologia Aplicada. S. Paulo: McGraw-Hill do

Brasil.

HAMMER, Mark J., (1986). Water and Wastewater Technology. John Wiley & Sons.



240

EXERCCIOS

11.1) Um poo est sendo utilizado para rebaixar o nvel do lenol fretico. Sabe-se que o

aqufero tem 20 metros de espessura mdia, permeabilidade K=15m/dia e armazenamento

S=0,005. Estimar o valor do rebaixamento a 7m de distncia do poo bombeado ao final de um

dia de bombeamento ininterrupto. Dado: vazo de bombeamento, Q=2.725m3/dia.

11.2) Um poo bombeado por um perodo muito longo com uma taxa de 74/s de um aqufero confinado. Uma diferena de elevao da superfcie piezomtrica de 1,42m observada em dois

piezmetros localizados s distncias de 6m e 46m do poo bombeado. Calcule a

transmissividade do aqufero.

11.3) Para o abastecimento de gua de uma cidade esto previstos trs poos artesianos, cada um

devendo fornecer a vazo de 36m3/h. Determinar a menor distncia que deve existir entre eles

para que no haja interferncia mtua. Considere os seguintes dados: coeficiente de

permeabilidade, K=0,13m/h; espessura mdia do lenol, m=19,20m; depresso do nvel

dinmico de equilbrio para a vazo dada, s0 = 15,70m; dimetro do poo, d0 = 150mm. R: 140m.

11.4) Para a determinao dos coeficientes de transmissividade (T) e armazenamento (S) de um

aqufero confinado, foi realizado um teste de bombeamento sob vazo de 2,0m3/min. Em um

poo de observao, cujo eixo dista do eixo do posto bombeado de 110m, foram medidos os

rebaixamentos ao longo do tempo, conforme a tabela abaixo. Calcular T e S pelo mtodo do

tempo-rebaixamento. R: T=1,06m2/min; S=2,76x10-4.

Tabela Valores da depresso do nvel dgua no poo de observao

tempo

(min)

depresso

(cm)

tempo

(min)

depresso

(cm)

tempo

(min)

depresso

(cm)

1 4,3 8 26,8 30 45,9

2 10,2 9 29,3 40 50,8

3 14,3 10 31,2 50 54,0

4 18,0 12 32,8 60 57,2

5 22,7 15 36,2 80 60,5

6 23,5 20 40,3 100 64,4

7 25,2 25 43,7 120 67,3

240 78,0

11.5) Durante um teste em um aqufero livre, foram obtidos os valores abaixo do rebaixamento

em funo do tempo em um poo de observao localizado a 20m do poo bombeado. Estimar

os coeficientes de transmissividade e armazenamento do aqufero, sabendo-se que a vazo de

bombeamento de 31,2/s. R: T=0,814m2/min; S=5,3x10-2

Tabela Valores da depresso do nvel dgua no poo de observao

tempo

(min)

Rebaixamento

(m)

tempo

(min)

Rebaixamento

(m)

tempo

(min)

Rebaixamento

(m)

4,5 0,025 26,5 0,180 258,0 0,530

7,5 0,050 36,0 0,220 408,0 0,620

8,5 0,055 64,0 0,300 488,0 0,640

16,0 0,110 97,0 0,370 513,0 0,650

24,0 0,170 162,0 0,450

11.6) Um aqufero foi ensaiado com a vazo de bombeamento do poo, Q=0,050m3/s. Em um

poo de observao, cujo eixo dista 100 metros do eixo do poo bombeado, registraram-se os

seguintes rebaixamentos ao longo do tempo de ensaio:



241

tempo Rebaixamento tempo Rebaixamento tempo Rebaixamento

5s 2,0mm 5min 0,29m 1h 0,58m

1min 0,12m 10min 0,37m 2h 0,66m

2min 0,19m 20min 0,45m 12h 0,87m

3min 0,23m 30min 0,50m 24h 0,95m

a) Determinar os coeficientes de transmissividade e armazenamento do aqufero. b) Caso se deseje rebaixar o lenol de 1,5m a uma distncia de 20 metros do local de

explorao, bombeando-se a mesma vazo, quanto tempo seria necessrio esperar desde o

incio do bombeamento?

11.7) Uma vazo constante de 4/s extrada de um poo artesiano. O rebaixamento num poo de observao situado distncia de 150m do poo de extrao foi medido como mostra a tabela

seguinte:

tempo (min) 0 10 15 30 60 90 120 rebaixamento (m) 0 0,16 0,25 0,42 0,62 0,73 0,85

Calcular os coeficientes de transmissividade e de armazenamento do aqufero:

a) com o uso da expresso geral de Theis; b) com a frmula simplificada de Jacob. c) Discutir os resultados.

11.8) Uma vazo constante de 3,14/s extrada de um poo artesiano num aqufero com coeficientes de transmissividade e armazenamento, respectivamente, T=0,0025m

2/s e S=0,0010.

Calcular o rebaixamento num poo de observao distante 100m do poo bombeado, aps

decorrido um intervalo de tempo, contado a partir do incio do bombeamento, de:

a) 1.000s; b) 10.000s; c) 100.000s. R: a) 0,022m; b) 0,182m; c) 0,404m

11.9) Para os mesmos dados de vazo, transmissividade e armazenamento do problema anterior,

obter os rebaixamentos aps decorrido um intervalo de tempo de 10.000s, para os poos de

observao distantes do poo de extrao de:

a) 10m; b) 200m. R: a) 0,633m; b) 0,070m

hidraulica de pocos

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