henrique peixoto de souza almeida engenharia mecânica da … · 2019. 4. 2. · almeida, henrique...

Henrique Peixoto de Souza Almeida

Rio de Janeiro

Março 2019

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia Mecânica da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro.

Orientador: Prof. Doc. Marcelo Colaço

Almeida, Henrique Peixoto de Souza

Estimativa de Condutividade Térmica em Sólidos via

Técnicas de Problemas Inversos/Henrique Peixoto de Souza

Almeida – Rio de Janeiro: UFRJ/ESCOLA POLITÉCNICA,

2019.

VI, 37 p. 29,7cm.

Orientador: Marcelo José Colaço

Projeto de Graduação – UFRJ/ POLI/ Engenharia

Mecânica, 2019.

Referências Bibliográficas: p. 43.

1. Problemas Inversos 2. Condutividade Térmica 3.

Método dos Volumes Finitos. 4. Método BFGS. I. Colaço,

Marcelo José. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica. III.

Estimativa de Condutividade Térmica em Sólidos via

Técnicas de Problemas Inversos.

iii

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.

Estimativa de Condutividade Térmica em Sólidos via Técnicas de Problemas Inversos


Março/2019

Orientador: Prof. Marcelo José Colaço

Curso: Engenharia Mecânica

Neste trabalho é apresentada uma aplicação de problemas inversos que visa a

determinação de propriedades físicas de materiais que variam espacialmente. O problema

inverso consiste em determinar a distribuição de condutividade térmica no material a

partir de uma distribuição de temperatura conhecida ou medida. Um solver de volumes

finitos é usado para resolver o problema direto. A solução do problema inverso é obtida

pela minimização da norma da diferença entre a temperatura conhecida e a temperatura

obtida pelo solver. O problema de minimização é resolvido pelo método BFGS pré-

condicionado e com modificações para acomodar restrições de caixa.

Palavras-chave: Problema Inverso, BFGS, Condução de Calor, Regime Permanente,

Método dos Volumes Finitos

iv

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Engineer.

Solid’s Heat Conductivity Estimate via Inverse Problems Technique

Inverse Determination of Heat Conductivity in Solids


March/2019

Advisor: Prof. Marcelo José Colaço

Course: Mechanical Engineering

This work presents an application of inverse problems to determine materials physical

properties that vary spatially. The inverse problem consists on determining the thermal

conductivity distribution in the material using some known or measured temperature

distribution. A solver of finite volumes method solves the direct problem. The solution to

the inverse problem is the minimization of the norm of the difference between the known

temperature distribution and the temperature distribution obtained by the solver. To solve

the minimization problem a pre conditioned BFGS solver with modifications to impose

box restrictions is used.

Keywords: Inverse Problem, BFGS, Heat Conduction, Steady State, Finite Volumes

Method

v

Sumário

1. Introdução 7

2. Fundamentos Teóricos 9

2.1. Condução de Calor 9

2.2. Método dos Volumes Finitos 10

2.3. Método BFGS 18

2.3.1. Método BFGS com Restrições de Caixa 21

2.3.2. Método BFGS Pré-Condicionado 23

3. Problema Físico 25

3.1. Verificação do Código Computacional do Método de Volumes Finitos 27

3.2. Verificação do Código Computacional do Método BFGS 30

4. Resultados e Discussão 33

4.1. Caso 1 34

4.2. Caso 2 37

4.3. Caso 3 39

5. Conclusões 41

6. Referências 43

vi

1.Introdução

Na engenharia, conhecer as propriedades físicas de materiais é de fundamental

importância para que se faça a aplicação correta do mesmo. Por exemplo, identificar

defeitos de fabricação em materiais com antecedência, como no caso de bolhas no interior

de peças fundidas, ajuda a prevenir falhas durante a operação da peça. Outros exemplos

em que o conhecimento de propriedades do material mostra sua importância são nos

métodos de fabricação que induzem variação espacial das propriedades físicas de

materiais a fim de proporcionar outras características globais, como é no caso dos aços

martensíticos cuja variação de concentração de carbono no seu interior aumenta a sua

dureza. Dito isso, é notável que tanto conhecer quanto manipular propriedades físicas de

materiais é uma prática recorrente na engenharia. Entretanto, a tarefa de identificar

propriedades físicas no interior de materiais é difícil se houver interesse em preservar o

material em questão. A classe de problemas inversos procura resolver o problema de

identificar tais propriedades físicas de forma não intrusiva.

Problemas inversos utilizam medições sobre o material e equações que regem fenômenos

físicos no mesmo com a finalidade de determinar suas propriedades físicas. No presente

trabalho, é desenvolvido um método com o objetivo determinar a condutividade térmica

de um material a partir de alguma distribuição de temperatura em regime permanente no

seu interior e de alguma condição de contorno. O problema direto para o caso de condução

de calor bidimensional em regime permanente, equação (1), fornece 𝑇(𝑥, 𝑦) a partir de

𝐾(𝑥, 𝑦) e da condição de contorno, equação (2).

𝜵 ∙ (𝐾(𝑥, 𝑦)𝜵𝑇(𝑥, 𝑦)) = 0 ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉 (1)

−𝐾(𝑥, 𝑦)𝜵𝑇(𝑥, 𝑦) ∙ �̂� = 𝑞(𝑥, 𝑦) ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝑉 (2)

7

No caso do problema inverso, a temperatura 𝑇(𝑥, 𝑦) é conhecida no interior do domínio

𝑉 e na superfície 𝜕𝑉 do domínio e a condutividade térmica 𝐾(𝑥, 𝑦) é a variável a ser

determinada. O problema inverso pode ser aplicado com duas finalidades. Se forem

realizadas medições sobre um material para determinar a distribuição 𝑇(𝑥, 𝑦) no seu

interior, então a solução do problema inverso fornece 𝐾(𝑥, 𝑦) do material. Caso a

distribuição 𝑇(𝑥, 𝑦) seja uma variável de projeto, escolhida para alguma aplicação de

interesse, então a solução do problema inverso fornece 𝐾(𝑥, 𝑦) que, aplicado ao problema

direto, equação (1), produz a distribuição de temperaturas 𝑇(𝑥, 𝑦) dada como variável de

projeto.

Existem diversos métodos para solução de problemas inversos. O trabalho de Alberto P.

Calderón [1],publicado originalmente em “Seminar on Numerical Analysis and its

Application to Continuum Physics” no Rio de Janeiro em 1980, procura resolver o

problema inverso da equação (1) com condições de contorno de Dirichlet para obter a

condutividade térmica 𝐾(𝑥, 𝑦)a partir de análises funcionais e de hipóteses razoáveis que

aproximem a solução. Outros trabalhos, como o de Redy et al [2], buscam definir a

condutividade térmica 𝐾(𝑥, 𝑦) a partir de algumas hipóteses detalhadas sobre o seu

comportamento, uma expansão da distribuição de temperatura 𝑇(𝑥, 𝑦) em uma base de

funções radiais e medições da temperatura 𝑇(𝑥, 𝑦) no contorno do domínio.

O objetivo do presente trabalho é propor uma metodologia para solução de problemas

inversos que contemplem o fenômeno físico das equações (1) e (2) para domínios

retangulares bidimensionais. A metodologia envolve a minimização de uma função cujo

mínimo global seja a condutividade térmica de referência, ou seja, que se aplicada no

problema direto induz o campo de temperatura de referência. O texto é dividido em quatro

partes. A primeira parte apresenta os fundamentos teóricos dos métodos usados no

trabalho, a saber, o Método dos Volumes Finitos (MVF) e o Método Broyden–Fletcher–

8

Goldfarb–Shanno (BFGS). A segunda parte desenvolve a solução do problema inverso.

Os códigos computacionais que implementam os métodos MVF e BFGS são verificados.

A terceira parte apresenta os resultados de três problemas inversos resolvidos pela

metodologia adotada. A quarta parte apresenta uma análise dos resultados e propõe

possíveis melhorias.

2.Fundamentos Teóricos

Neste capítulo constam os desenvolvimentos dos conceitos e métodos utilizados nesse

trabalho. Este capítulo é dividido em três partes. A primeira parte aborda o modelo da

equação de condução de calor e a formulação fisicamente formal do problema direto, a

segunda parte descreve a aplicação do método de volumes finitos a um problema de

condução de calor e a terceira parte trata do método de otimização BFGS. Ao final deste

capítulo teremos a base conceitual para articular essas três partes para resolver o problema

inverso de interesse.

2.1. Condução de Calor

Condução de calor é um dos modos fundamentais de transferência de calor. Segundo

Incropera [3], “condução se refere ao transporte de energia em um meio devido a um

gradiente de temperatura”. Essa definição está em consonância com a lei de Fourier para

condução de calor, expressa na equação (3) para o caso (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 bidimensional.

𝒒(𝑥, 𝑦, 𝑡) = −𝐾(𝑥, 𝑦)𝛁𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡) (3)

A lei de Fourier estabelece a relação entre o vetor taxa de fluxo de calor 𝒒:ℝ3 → ℝ2 e o

vetor gradiente de temperatura 𝛁𝑇:ℝ3 → ℝ2 para um dado material com condutividade

térmica 𝐾:ℝ2 → ℝ. Enfatiza-se que o gradiente é um operador definido nas variáveis

9

espaciais (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2. A equação (4) enuncia a conservação de energia na forma integral,

para um volume de controle 𝑉 com superfície de controle 𝜕𝑉 e vetor normal �̂� ∈ ℝ2.

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝜌𝑐𝑃𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)𝑑𝑉𝑉

+ ∫ 𝒒(𝑥, 𝑦, 𝑡) ∙ �̂�𝑑𝑆𝜕𝑉

= 0 (4)

A operação 𝒖 ∙ 𝒗 denota o produto escalar entre os vetores 𝒖, 𝒗 ∈ ℝ2. O problema de

condução de calor abordado neste trabalho é de regime permanente, portanto derivadas

temporais são nulas. Também são desconsideradas variações na massa específica 𝜌 e no

calor específico 𝑐𝑃 do material. A equação (5) é obtida ao aplicar a definição da equação

(3) na equação (4).

−∫ 𝐾(𝑥, 𝑦)𝛁𝑇(𝑥, 𝑦) ∙ �̂�𝑑𝑆𝜕𝑉

= 0 (5)

Agora aplica-se o teorema da divergência à integral sobre a superfície de controle 𝜕𝑉.

∫ 𝐾(𝑥, 𝑦)𝛁𝑇(𝑥, 𝑦) ∙ �̂�𝑑𝑆𝜕𝑉

= ∫ 𝛁 ∙ (𝐾(𝑥, 𝑦)𝛁𝑇(𝑥, 𝑦))𝑑𝑉𝑉

= 0 (6)

Como o resultado da equação é nulo para qualquer domínio 𝑉, então conclui-se que o

integrando é nulo. Com isso chega-se à equação de condução de calor (7).

𝛁 ∙ (𝐾(𝑥, 𝑦)𝛁𝑇(𝑥, 𝑦)) = 0 ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉 (7)

Essa equação é a formulação geral do problema condução de calor em regime permanente

e sem termos fonte no volume de controle 𝑉. O problema tem solução se forem definidas

as condições de contorno. A próxima seção aborda a solução numérica dessa equação via

o Método dos Volumes Finitos.

2.2. Método dos Volumes Finitos

O Método dos Volumes Finitos é um método numérico para solucionar para equações

diferenciais parciais. Maliska [4] define que a obtenção das equações aproximadas

10

consiste na “realização de balanços da propriedade em questão nos volumes elementares,

ou volumes finitos”. Para o caso de condução de calor, a propriedade a ser balanceada é

a energia, conforme foi feito na seção anterior. O volume elementar e a indexação espacial

das variáveis estão representados na Figura 1.

Figura 1 – Volume elementar e seu esquema de indexação das variáveis.

Esse esquema de indexação das variáveis é o mesmo usado por Maliska [4]. As letras

maiúsculas N, S, E, W representam o centro dos volumes elementares vizinhos ao volume

elementar centrado em P nas direções norte, sul, leste e oeste, respectivamente. As letras

minúsculas n, s, e, w representam as faces do volume elementar centrado em P nas

direções norte, sul, leste e oeste, respectivamente. Denota-se, por exemplo, 𝐾𝑒 como o

11

valor da função da condutividade térmica 𝐾(𝑥, 𝑦) avaliada na fronteira leste do volume

elementar, nesse caso no ponto (𝑥𝑒 , 𝑦𝑒). Assumindo que o valor da condutividade térmica

𝐾(𝑥, 𝑦) só é conhecida no ponto interior (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) dos volumes elementares, então seu

valor nas fronteiras são calculados de acordo com as equações (8) a (11). O cálculo é a

média harmônica da condutividade térmica de volumes elementares vizinhos que

compartilham a mesma fronteira.

2

𝐾𝑒=

1

𝐾𝑃+

1

𝐾𝐸 (8)

2

𝐾𝑤=

1

𝐾𝑃+

1

𝐾𝑊 (9)

2

𝐾𝑛=

1

𝐾𝑃+

1

𝐾𝑁 (10)

2

𝐾𝑠=

1

𝐾𝑃+

1

𝐾𝑆 (11)

Agora aplicaremos o balanço de energia, equação (5), ao volume elementar 𝑉. Duas

hipóteses são adotadas para simplificação do balanço de energia. A primeira hipótese é

admitir que a temperatura do volume elementar é igual ao seu valor no ponto 𝑃 e tem

valor constante no seu interior. A segunda hipótese é admitir que o fluxo de calor é

constante em cada fronteira do volume elementar, Figura 1, desde que essa fronteira não

pertença à superfície 𝜕𝑉. Com essas hipóteses, a equação (5) é simplificada.

∫ 𝒒(𝑥𝑒 , 𝑦) ∙ �̂�𝑑𝑦

𝑒

+ ∫ 𝒒(𝑥𝑤, 𝑦) ∙ �̂�𝑑𝑦

𝑤

+

+∫ 𝒒(𝑥, 𝑦𝑛) ∙ �̂�𝑑𝑥𝑛+ ∫ 𝒒(𝑥, 𝑦𝑠) ∙ �̂�𝑑𝑥𝑠

= 0 (12)

(−∆𝑦 𝐾𝑒𝜕𝑇

𝜕𝑥|𝑒+ ∆𝑦 𝐾𝑤

𝜕𝑇

𝜕𝑥|𝑤− ∆𝑥 𝐾𝑛

𝜕𝑇

𝜕𝑦|𝑛+ ∆𝑥 𝐾𝑠

𝜕𝑇

𝜕𝑦|𝑠) = 0 (13)

12

As derivadas espaciais são aproximadas por diferenças finitas centradas, vide equações

(14) a (17).

𝜕𝑇

𝜕𝑥|

𝑒=

𝑇𝐸− 𝑇𝑃

∆𝑥 (14)

𝜕𝑇

𝜕𝑥|

𝑤=

𝑇𝑃− 𝑇𝑊

∆𝑥 (15)

𝜕𝑇

𝜕𝑦|

𝑛=

𝑇𝑁− 𝑇𝑃

∆𝑦 (16)

𝜕𝑇

𝜕𝑦|

𝑠=

𝑇𝑃− 𝑇𝑆

∆𝑦 (17)

Agora são substituídas as derivadas da equação (13) pelas suas respectivas aproximações,

o que resulta na equação (18).

(∆𝑦 𝐾𝑒 (𝑇𝑃−𝑇𝐸)

∆𝑥+ ∆𝑦 𝐾𝑤

(𝑇𝑃− 𝑇𝑊)

∆𝑥+ ∆𝑥 𝐾𝑛

( 𝑇𝑃−𝑇𝑁)

∆𝑦+ ∆𝑥 𝐾𝑠

(𝑇𝑃− 𝑇𝑆)

∆𝑦) = 0 (18)

Reagrupando os termos, obtêm-se finalmente a equação (19). Essa é a equação geral para

os volumes elementares no interior do domínio 𝑉.

𝐴𝑃𝑇𝑃 = 𝐴𝑒𝑇𝐸 + 𝐴𝑤𝑇𝑊 + 𝐴𝑛𝑇𝑁 + 𝐴𝑠𝑇𝑆 (19)

𝐴𝑒 = 𝐾𝑒∆𝑦

∆𝑥 (20)

𝐴𝑤 = 𝐾𝑤∆𝑦

∆𝑥 (21)

𝐴𝑛 = 𝐾𝑛∆𝑥

∆𝑦 (22)

𝐴𝑠 = 𝐾𝑠∆𝑥

∆𝑦 (23)

𝐴𝑃 = 𝐴𝑒 + 𝐴𝑤 + 𝐴𝑛 + 𝐴𝑠 (24)

13

As condições de contorno que serão avaliadas neste trabalho são de segundo tipo, que

prescrevem fluxo de calor. As equações (25) a (32) enunciam as condições de contorno

com fluxo prescrito 𝑞(𝑥, 𝑦) para os casos nos quais os volumes elementares fazem

fronteira com o contorno do domínio 𝜕𝑉, o que ocorre em no máximo duas superfícies

do volume elementar. A operação feita para determinar essas equações é substituir os

termos correspondentes aos fluxos da equação (13) pelo fluxo prescrito 𝑞(𝑥, 𝑦) para as

superfícies do volume elementar que coincidem com o contorno do domínio. A notação

para o produto escalar 𝒒(𝑥𝑒 , 𝑦) ∙ �̂�𝒆 do fluxo de calor com, por exemplo, a superfície leste

do volume de controle 𝑉 é abreviada para 𝑞𝑒(𝑥𝑒 , 𝑦).

(𝐴𝑃 − 𝐴𝑤 − 𝐴𝑠)𝑇𝑃 = 𝐴𝑒𝑇𝐸 + 𝐴𝑛𝑇𝑁 + ∫ 𝑞𝑠(𝑥, 𝑦𝑠)𝑑𝑥𝑠

+ ∫ 𝑞𝑤(𝑥𝑤, 𝑦)𝑑𝑦𝑤

(25)

(𝐴𝑃 − 𝐴𝑠)𝑇𝑃 = 𝐴𝑒𝑇𝐸 + 𝐴𝑤𝑇𝑊 + 𝐴𝑛𝑇𝑁 + ∫ 𝑞𝑠(𝑥, 𝑦𝑠)𝑑𝑥𝑠

(26)

(𝐴𝑃 − 𝐴𝑒 − 𝐴𝑠)𝑇𝑃 = 𝐴𝑤𝑇𝑊 + 𝐴𝑛𝑇𝑁 + ∫ 𝑞𝑠(𝑥, 𝑦𝑠)𝑑𝑥𝑠

− ∫ 𝑞𝑒(𝑥𝑒 , 𝑦)𝑑𝑦𝑒

(27)

(𝐴𝑃 − 𝐴𝑤)𝑇𝑃 = 𝐴𝑒𝑇𝐸 + 𝐴𝑛𝑇𝑁 + 𝐴𝑠𝑇𝑆 + ∫ 𝑞𝑤(𝑥𝑤, 𝑦)𝑑𝑦𝑤

(28)

(𝐴𝑃 − 𝐴𝑒)𝑇𝑃 = 𝐴𝑤𝑇𝑊 + 𝐴𝑛𝑇𝑁 + 𝐴𝑠𝑇𝑆 − ∫ 𝑞𝑒(𝑥𝑒 , 𝑦)𝑑𝑦𝑒

(29)

(𝐴𝑃 − 𝐴𝑤 − 𝐴𝑛)𝑇𝑃 = 𝐴𝑒𝑇𝐸 + 𝐴𝑠𝑇𝑆 + ∫ 𝑞𝑤(𝑥𝑤, 𝑦)𝑑𝑦𝑤

− ∫ 𝑞𝑛(𝑥, 𝑦𝑛)𝑑𝑥𝑛

(30)

(𝐴𝑃 − 𝐴𝑛)𝑇𝑃 = 𝐴𝑒𝑇𝐸 + 𝐴𝑤𝑇𝑊 + 𝐴𝑠𝑇𝑆 − ∫ 𝑞𝑛(𝑥, 𝑦𝑛)𝑑𝑥𝑛

(31)

(𝐴𝑃 − 𝐴𝑒 − 𝐴𝑛)𝑇𝑃 = 𝐴𝑤𝑇𝑊 + 𝐴𝑠𝑇𝑆 − ∫ 𝑞𝑛(𝑥, 𝑦𝑛)𝑑𝑥𝑛

− ∫ 𝑞𝑒(𝑥𝑒 , 𝑦)𝑑𝑦𝑒

(32)

Para facilitar o entendimento das equações (25) a (32), a Tabela 1 faz a equivalência entre

os casos dos volumes elementares que fazem fronteira com o domínio 𝑉 e as equações

anteriores.

14

Tabela 1 – Tabela para equivalência entre as equações (25) a (32) e os casos de volumes

elementares cujas fronteiras coincidem com as do domínio 𝑉.

Equação Coordenadas x e y

Fronteiras coincidentes com a

superfície do domínio

26 𝑥 = 0; 𝑦 = 0; Sul e Oeste

27 𝑦 = 0; Sul

28 𝑥 = 𝑋; 𝑦 = 0; Sul e Leste

29 𝑥 = 0; Oeste

30 𝑥 = 𝑋; Leste

31 𝑥 = 0; 𝑦 = 𝑌; Oeste e Norte

32 𝑦 = 𝑌; Norte

33 𝑥 = 𝑋; 𝑦 = 𝑌; Norte e Leste

As integrais das equações (25) a (32) foram calculadas com uma aproximação de segunda

ordem do fluxo de calor na respectiva fronteira de acordo o método de Simpson, equação

(33). Nessa equação é exemplificada a aproximação da integral para a fronteira leste 𝑒 do

volume elementar.

∫ 𝒒(𝑥𝑒 , 𝑦) ∙ �̂�𝑑𝑦

𝑒

≈∆𝑦

6[𝑞𝑒(𝑥𝑒 , 𝑦𝑠) + 4𝑞𝑒(𝑥𝑒 , 𝑦𝑃) + 𝑞𝑒(𝑥𝑒, 𝑦𝑛)] +

+𝑂(∆𝑦5

90

𝜕4𝑞𝒆

𝜕𝑦4(𝑥𝑒 , 𝑦𝑃)) (33)

Note que o erro de truncamento é calculado no ponto médio (𝑥𝑒 , 𝑦𝑃) do volume

elementar. Esse cuidado com a integral se justifica pela imposição natural de que a soma

dos fluxos na fronteira do volume de controle 𝑉 = [0, 𝑋] × [0, 𝑌] deve dar zero, de acordo

conservação de energia, equação (12). Portanto uma boa aproximação deve propagar

15

menos erro devido ao truncamento da integração numérica do calor nas fronteiras do

domínio, o que permite que o cálculo permaneça preciso para valores ∆𝑥 e ∆𝑦 mais

variados.

O conjunto das equações (19) e (25) a (32) forma um sistema linear 𝑨𝒖 = 𝒃 cuja solução

𝒖 ∈ ℝ𝑛 fornece o vetor que representa o campo de temperatura no domínio. A matriz 𝑨 ∈

ℝ𝑛×𝑛 é definida pelos termos que multiplicam 𝑇 nas equações anteriores e o vetor 𝒃 ∈

ℝ𝑛 resulta do restante dos termos que não multiplicam 𝑇, como as integrais do fluxo de

calor 𝒒(𝑥, 𝑦) para as equações do contorno 𝜕𝑉 e zero para as equações no interior de 𝑉,

visto que não há termo fonte. É importante notar que a matriz 𝐴 possui um autovalor nulo

𝜆0 = 0 associado ao autovetor 𝒖𝟎 = (1,… , 1)𝑇 que corresponde à solução constante

𝑇(𝑥, 𝑦) = �̅� para todo (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉, �̅� ∈ ℝ. Esse resultado pode ser conferido substituindo

o autovetor 𝒖𝟎 na equação (19).

É trivial que 𝒖𝟎 não é solução para o problema, porém todas as soluções de 𝑨𝒖 = 𝒃

somadas de 𝒖𝟎 ainda são solução de 𝑨𝒖 = 𝒃, conforme mostram as equações (34) a (36).

𝑨(𝒖 + 𝒖𝟎) = 𝒃 (34)

𝑨𝒖 + 𝑨𝒖𝟎 = 𝒃 (35)

𝑨𝒖 = 𝒃 (36)

Para resolver esse problema é utilizado o null-space method ou método do espaço nulo

traduzido livremente, segundo [5]. Esse método consiste em resolver o sistema 𝑨𝒖 = 𝒃

impondo a restrição de 𝑮𝒖 = 𝒄, tal que 𝑮 ∈ ℝ𝑚×𝑛 e 𝒄 ∈ ℝ𝑚, conforme mostra a equação

(37). Para representar o problema de condução de calor, podemos escolher 𝑮 =1

𝑛𝒖𝟎 =

1

𝑛(1, … , 1)𝑇 ∈ ℝ1𝑋𝑛 e 𝒄 = �̅� ∈ ℝ onde �̅� é a temperatura média no domínio.

16

[𝑨 𝑮𝑇

𝑮 𝟎] [𝒖𝒗] = [

𝒃𝒄] (37)

Suponha que, para a equação 𝑮𝒖 = 𝒄, conhecemos uma solução �̅� ∈ ℝ𝑛 como por

exemplo �̅� = �̅�𝒖𝟎 = �̅�(1,… , 1)𝑇, e que 𝑾 = [𝑤1 … 𝑤𝑝] ∈ 𝑅𝑛×𝑝 é a matriz cujas 𝑝

colunas são base para o núcleo 𝑁(𝑮), ou seja, 𝑮𝑾 = 0. Define-se a variável �̂� ∈ ℝ𝑛 de

acordo com a equação (38). Portanto, resolver o sistema da equação (37) equivale resolver

o sistema da equação (39).

[�̂�𝒗] = [

𝒖𝒗] − [

�̅�𝟎] (38)

[𝑨 𝑮𝑇

𝑮 𝟎] [�̂�𝒗] = [

𝒃𝒄] − [𝑨 𝑮𝑇

𝑮 𝟎] [�̅�𝟎] = [

𝒃 − 𝑨�̅�𝟎

] (39)

A equação (39) mostra que 𝑮�̂� = 0, o que significa que �̂� ∈ 𝑁(𝑮) e, portanto, pode ser

escrito como �̂� = 𝑾𝒘 onde 𝒘 ∈ ℝ𝑝. Note que �̅� é múltiplo do autovetor de 𝐴 associado

ao autovalor nulo, portanto 𝑨�̅� = 0.

𝑨𝑾𝒘+𝑮𝑇𝒗 = 𝒃 (40)

𝑾𝑇𝑨𝑾𝒘+ (𝑮𝑾)𝑇𝒗 = 𝑾𝑇𝒃 (41)

{(𝑾𝑇𝑨𝑾)𝒘 = 𝑾𝑇𝒃𝒖 = �̅� +𝑾𝒘

(42)

Esse método de solução possibilita calcular o campo de temperatura 𝑇, obtido pelo

sistema de equações (42) impondo uma temperatura média �̅�. No capítulo 3 o código

computacional de método dos volumes finitos é verificado em comparação com uma

solução analítica.

17

2.3. Método BFGS

O método de otimização Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno (BFGS) é amplamente

utilizado em implementações de algoritmos para problemas de grande porte. Esta seção

apresenta o método BFGS pré-condicionado e com modificações para atender a restrições

de caixa. Essas modificações são baseadas nas referências [6] e [7]. Primeiro o método

BFGS irrestrito clássico é apresentado, em seguida são explicadas as devidas

modificações ao método.

Métodos de programação sequencial minimizam uma função objetivo 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ com

mínimo em 𝒙∗ ∈ ℝ𝑛 a partir de uma sequência {𝒙𝑘}𝑘=1𝑁 ⊂ ℝ𝑛 tal que ‖𝒙𝑁 − 𝒙∗‖ < 𝜀,

onde 𝜀 ∈ ℝ é uma tolerância e 𝑁 ∈ ℕ o número de iterações. Para tal, o método de

programação sequencial determina a direção de busca 𝒅𝑘 ∈ ℝ𝑛 e o tamanho do passo

𝑡𝑘 ∈ ℝ a cada iteração, de forma que a sequência {𝒙𝑘}𝑘=1𝑁 seja gerada pela equação de

recursividade 𝒙𝑘+1 = 𝒙𝑘 + 𝑡𝑘𝒅𝑘. O método BFGS pode ser classificado, segundo [8],

como um método de programação sequencial quadrática (PSQ)

Todo método PSQ encontra a direção de busca 𝒅𝑘 ∈ ℝ𝑛 que minimiza uma aproximação

quadrática 𝑓𝑘+1 da função objetivo em torno de cada ponto gerado pela sequência de

iterações do algoritmo em questão, equação (43).

𝑚𝑖𝑛𝒅 ∈ ℝ𝑛

𝑓𝑘+1 = 𝑓𝑘 + 𝒅𝑇𝛁𝑓𝑘 +1

2𝒅𝑇𝛁𝟐𝑓𝑘𝒅 (43)

Sob condições apropriadas, cuja demonstração pode ser encontrada na referência [8], a

minimização das sucessivas aproximações quadráticas da função objetivo 𝑓(𝒙) converge

para o mínimo global. Denota-se 𝑓𝑘 como a função objetivo 𝑓(𝒙) avaliada no ponto 𝒙 =

𝒙𝑘.

18

Se a matriz hessiana 𝛁𝟐𝑓𝑘 ∈ ℝ𝑛×𝑛 da função 𝑓(𝒙𝑘) for positiva definida, então o

minimizador global 𝒅𝑘 do problema é obtido pela solução do sistema linear da equação

(44).

𝛁𝟐𝑓𝑘𝒅𝑘 = −𝛁𝑓𝑘 (44)

O método que, a cada iteração, calcula a hessiana analiticamente é chamado método de

Newton, enquanto os que calculam uma aproximação da hessiana são chamados de

métodos quasi Newton. A razão de existirem métodos quasi Newton deve-se ao fato de

que o cálculo da matriz hessiana pode ser um procedimento computacionalmente custoso,

de forma que a aproximação da hessiana se torna uma opção mais viável. O método BFGS

pertence à classe dos métodos quasi Newton e, portanto, aproxima a inversa da hessiana

como 𝑯𝑘 ∈ ℝ𝑛×𝑛, cuja fórmula de atualização é dada pela equação (47).

𝒑𝑘 = 𝒙𝑘+1 − 𝒙𝑘 (45)

𝒒𝑘 = 𝛁𝑓𝑘+1 − 𝛁𝑓𝑘 (46)

𝑯𝑘+1 = 𝑯𝑘 + (1 +𝒒𝑘

𝑇𝑯𝑘𝒒𝑘

𝒑𝑘𝑇𝒒𝑘)𝒑𝑘𝒑𝑘

𝑇

𝒑𝑘𝑇𝒒𝑘−𝒑𝑘𝒒𝑘

𝑇𝑯𝑘+𝑯𝑘𝒒𝑘𝒑𝑘

𝑇

𝒑𝑘𝑇𝒒𝑘

(47)

Para o método BFGS, a direção de busca que minimiza a aproximação quadrática de 𝑓(𝒙)

é dada pela equação (48). Nessa equação, 𝑯𝑘 aproxima a inversa da hessiana (𝛁𝟐𝑓𝑘)−1.

𝒅𝑘 = −𝑯𝑘𝛁𝑓𝑘 (48)

Uma vez que a direção de busca 𝒅𝑘 está definida, é feita uma busca linear para determinar

o tamanho do passo 𝑡𝑘. A busca linear minimiza um segundo problema intermediário,

equação (49).

𝑚𝑖𝑛𝑡 ∈ ℝ

𝑓(𝒙𝑘 + 𝑡𝒅𝑘) (49)

19

Note que esse problema não trata mais da aproximação quadrática mas da própria 𝑓(𝒙),

que pode ser não linear. Chamamos de 𝑡𝑘 o minimizador de 𝑓(𝒙𝑘 + 𝑡𝒅𝑘). Segundo [8],

métodos de busca linear geralmente procuram o passo que atenda simultaneamente ao

primeiro e segundo critério de Wolfe, equações (50) e (51), respectivamente.

𝑓(𝒙𝑘 + 𝑡𝒅𝑘) ≤ 𝑓𝑘 + 𝜂1𝑡𝛁𝑓𝑘𝑇𝒅𝑘 (50)

𝛁𝑓𝑇(𝒙𝑘 + 𝑡𝒅𝑘)𝒅𝑘 ≥ 𝜂2𝑡𝛁𝑓𝑘𝑇𝒅𝑘 (51)

Porém, o algoritmo de busca linear usado neste trabalho é o backtracking, cuja condição

de aceitação do passo 𝑡𝑘 é dada apenas pelo primeiro critério de Wolfe, equação (50).

Atender o primeiro critério de Wolfe significa garantir que haja um decréscimo da função

objetivo após o passo. A Tabela 2 mostra o pseudocódigo para o algoritmo de

backtracking.

Tabela 2 – Pseudoalgoritmo do método de busca linear backtracking.

1 𝐼𝑁𝐼𝑇 𝑘 = 0; 𝑘𝑚𝑎𝑥 ∈ ℕ; 𝑡0 ∈ ℝ+; 𝜐 ∈ (0, 1]; 𝜂 ∈ (0, 1];

2 𝑊𝐻𝐼𝐿𝐸 𝑓(𝑥𝑘 + 𝑡𝑘𝑑𝑘) ≥ 𝑓𝑘 + 𝜂𝑡𝑘∇𝑓𝑘𝑇𝑑𝑘 𝐴𝑁𝐷 𝑘 < 𝑘𝑚𝑎𝑥

3 𝑡𝑘 = 𝜐𝑡𝑘

4 𝑘 = 𝑘 + 1

5 𝐸𝑁𝐷

Ao fim da busca linear, estão definidos 𝑡𝑘 e 𝒅𝑘 que minimizam 𝑓(𝒙𝑘 + 𝑡𝑘𝒅𝑘) obtidos

pelo método BFGS. A seguir são discutidas as modificações feitas nesse método para

possibilitar que sejam impostas restrições de caixa ao problema de otimização de acordo

com [6].

20

2.3.1. Método BFGS com Restrições de Caixa

Sejam 𝒍, 𝒖 ∈ ℝ𝑛 os limites inferior e superior da variável 𝒙 ∈ ℝ𝑛, respectivamente.

Primeiramente definimos os conjuntos de índices 𝐼1𝑘 e 𝐼2

𝑘, conforme mostram as equações

(52) e (54). A união desses dois conjuntos forma o conjunto de índices das variáveis fixas

𝐼𝑘 = 𝐼1𝑘 ∪ 𝐼2

𝑘, ou seja, são os índices das variáveis que não são atualizadas na próxima

iteração.

𝐼1𝑘 = {𝑖 |𝑥𝑖

𝑘 = 𝑙𝑖 ⋀ 𝜕𝑖𝑓(𝒙𝑘) > 0 𝑂𝑈 𝑥𝑖

𝑘 = 𝑢𝑖 ⋀ 𝜕𝑖𝑓(𝒙𝑘) < 0} (52)

O conjunto 𝐼1𝑘 reúne os índices das variáveis de 𝒙𝑘 que apresentam valor negativo na

direção de descida, ou seja, que apresentariam decréscimo na função objetivo caso

transgredissem as restrições de caixa. Como deseja-se impor que 𝒍 ≤ 𝒙𝑘 ≤ 𝒖, então essas

variáveis são fixadas. 𝜕𝑖𝑓(𝒙𝑘) é a notação para o iésimo elemento do gradiente 𝛁𝑓𝑘 da

função objetivo.

�̅�𝑖𝑗𝑘 = {

𝐻𝑖𝑗𝑘 𝑠𝑒 𝑖, 𝑗 ∉ 𝐼1

𝑘

0 (53)

𝐼2𝑘 = {𝑖 |𝑥𝑖

𝑘 = 𝑙𝑖 ⋀ [�̅�𝑘𝛁𝑓𝑘]𝑖 > 0 𝑂𝑈 𝑥𝑖

𝑘 = 𝑢𝑖 ⋀ [�̅�𝑘𝛁𝑓𝑘]𝑖 < 0} (54)

O conjunto 𝐼2𝑘 reúne os índices das variáveis de 𝒙𝑘 que não estão incluídos em 𝐼1

𝑘 mas

que precisam ser restritos pois o passo �̅�𝑘 = −�̅�𝑘𝛁𝑓𝑘 faria com que 𝒙𝑘+1 transgredisse

restrições de caixa. Note que a matriz �̅� é definida pelas linhas e colunas cujos índices

não pertencem ao conjunto 𝐼1𝑘. A união dos conjuntos 𝐼1

𝑘 e 𝐼2𝑘 forma o conjunto de

variáveis fixas 𝐼𝑘, que nos permite definir a matriz inversa da hessiana modificada �̂�𝑘 de

acordo com a equação (55).

�̂�𝑖𝑗𝑘 = {

𝐻𝑖𝑗𝑘 𝑠𝑒 𝑖, 𝑗 ∉ 𝐼𝑘

0 (55)

21

Agora define-se o passo projetado. Defina 𝑃𝛺(𝒙) como a projeção ortogonal de 𝒙 no

conjunto convexo 𝛺 = [𝒍, 𝒖]. No caso das restrições de caixa, a projeção ortogonal de 𝒙

em 𝛺 equivale à função da equação (56).

𝑃𝑖 = {

𝑢𝑖 𝑠𝑒 𝑥𝑖 > 𝑢𝑖𝑙𝑖 𝑠𝑒 𝑥𝑖 < 𝑙𝑖

𝑥𝑖

(56)

Finalmente, é definido o passo projetado de acordo com a equação (58).

�̂�𝑘 = −�̂�𝑘𝛁𝑓𝑘 (57)

𝒙𝑘+1 = 𝑃𝛺(𝒙𝑘 + 𝑡𝑘�̂�𝑘) (58)

É importante ressaltar que, durante a busca linear, o primeiro critério de Wolfe deve ser

avaliado de acordo com a equação (59), que leva em consideração o passo projetado.

𝑓(𝑃𝛺(𝒙𝑘 + 𝑡�̂�𝑘)) ≤ 𝑓𝑘 + 𝜂1𝑡𝛁𝑓

𝑘𝑇�̂�𝑘 (59)

Com essas modificações, é garantido que todos os passos do método BFGS estarão

incluídos na região viável imposta pelas restrições de caixa.

22

2.3.2. Método BFGS Pré-Condicionado

Agora que o método BFGS para restrições de caixa está bem definido, propõe-se um pré-

condicionador para o método de otimização. O objetivo do pré-condicionador é mitigar

problemas de precisão numérica da máquina durante a otimização, o que pode ser causado

pela escala das variáveis envolvidas. A referência [7] propõe o pré-condicionador

espectral 𝑫𝑘 = 𝛾𝑘𝑰 ∈ ℝ𝑛×𝑛 tal que 𝛾𝑘 ∈ ℝ. Obtêm-se 𝑫𝑘 pela solução do problema de

minimização da equação (60) e representa a melhor aproximação da inversa da Hessiana.

𝑚𝑖𝑛𝛾𝑘 ∈ ℝ

‖𝒑𝑘 −𝑫𝑘𝒒𝑘‖ (60)

A solução 𝛾𝑘 desse problema é dada pela equação (61). Com essa modificação, a equação

de atualização da matriz 𝑯𝑘 passa a ser dada pela equação (64).

𝛾𝑘 =𝒑𝑘

𝑇𝒒𝑘

‖𝒒𝑘‖2 (61)

𝒑𝑘 = 𝒙𝑘+1 − 𝒙𝑘 (62)

�̂�𝑘 = 𝛾𝑘(𝛁𝑓𝑘+1 − 𝛁𝑓𝑘) (63)

�̂�𝑘+1 = �̂�𝑘 + (1 +�̂�𝑘

𝑇�̂�𝑘�̂�𝑘

𝒑𝑘𝑇�̂�𝑘)𝒑𝑘𝒑𝑘

𝑇

𝒑𝑘𝑇�̂�𝑘−𝒑𝑘�̂�𝑘

𝑇�̂�𝑘+�̂�𝑘�̂�𝑘𝒑𝑘

𝑇

𝒑𝑘𝑇�̂�𝑘

(64)

A Tabela 3 mostra um pseudocódigo para o algoritmo de otimização BFGS.

23

Tabela 3 – Pseudoalgoritmo do método de otimização BFGS com modificações.

01 𝐼𝑁𝐼𝑇 𝐻0 = 𝐼𝑛; 𝑘 = 0; 𝑘𝑚𝑎𝑥 ∈ ℕ; 𝑥0 ∈ ℝ𝑛; 𝜀 > 0;

02 [𝑓𝑘, ∇𝑓𝑘] = 𝐹(𝑥𝑘)

03 𝑊𝐻𝐼𝐿𝐸 𝑘 < 𝑘𝑚𝑎𝑥 𝐴𝑁𝐷 ‖∇𝑓𝑘‖ > 𝜀

04 𝐼𝑘 = 𝑓𝑖𝑥𝑒𝑑𝑠𝑒𝑡(𝑥𝑘, ∇𝑓𝑘, 𝑙, 𝑢)

05 �̂�𝑖𝑗𝑘 = {

𝐻𝑖𝑗𝑘 𝑠𝑒 𝑖, 𝑗 ∉ 𝐼𝑘

0

06 �̂�𝑘 = −�̂�𝑘∇𝑓𝑘

07 𝑡𝑘 = 𝑏𝑎𝑐𝑘𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑖𝑛𝑔(𝑓𝑘, ∇𝑓𝑘, 𝑑𝑘, 𝑙, 𝑢)

08 𝑥𝑘+1 = 𝑃𝛺(𝑥𝑘 + 𝑡𝑘�̂�𝑘)

09 [𝑓𝑘+1, ∇𝑓𝑘+1] = 𝐹(𝑥𝑘+1)

10 𝑝𝑘 = 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘; 𝑞𝑘 = ∇𝑓𝑘+1 − ∇𝑓𝑘; 𝛾𝑘 =𝑝𝑘

𝑇𝑞𝑘

‖𝑞𝑘‖2

11 �̂�𝑘 = 𝛾𝑘(∇𝑓𝑘+1 − ∇𝑓𝑘)

12 �̂�𝑘+1 = �̂�𝑘 +𝑝𝑘𝑝𝑘

𝑇

𝑝𝑘𝑇�̂�𝑘(1 +

�̂�𝑘𝑇�̂�𝑘�̂�𝑘

𝑝𝑘𝑇�̂�𝑘) −

𝑝𝑘�̂�𝑘𝑇�̂�𝑘+�̂�𝑘�̂�𝑘𝑝𝑘

𝑇

𝑝𝑘𝑇�̂�𝑘

13 𝑘 = 𝑘 + 1

14 𝐸𝑁𝐷

No capítulo seguinte os códigos computacionais do método BFGS e do método dos

volumes finitos são verificados com problemas de otimização clássicos da literatura.

24

3.Problema Físico

O objetivo deste trabalho é resolver o problema inverso que estima a condutividade

térmica em um domínio retangular 𝑉 = [0, 𝑋] × [0, 𝑌] a partir de uma distribuição de

temperatura e condições de contorno no seu bordo. Neste capítulo se encontram a

metodologia adotada para solução desse problema e a verificação dos códigos

computacionais de otimização e de volumes finitos usados no trabalho. Os resultados

obtidos pela metodologia empregada na solução do problema inverso constam no

próximo capítulo. Primeiramente, é feita a discretização do domínio em 𝑁 volumes

elementares na direção 𝑥 e 𝑀 volumes elementares na direção 𝑦.

∆𝑥 = 𝑋/𝑁; (65)

∆𝑦 = 𝑌/𝑀; (66)

𝑥𝑗 = (𝑗 −1

2) ∆𝑥; (67)

𝑦𝑖 = (𝑖 −1

2)∆𝑦; (68)

Definimos então as matrizes �̅� ∈ ℝ𝑀×𝑁 e �̅�∗ ∈ ℝ𝑀×𝑁, que são a condutividade térmica

e a temperatura avaliados nos pontos centrais dos volumes elementares (𝑥𝑗 , 𝑦𝑖) para 𝑖 =

1, … ,𝑀 e 𝑗 = 1,… ,𝑁, respectivamente. Por questões de compatibilidade com o algoritmo

de otimização, as matrizes �̅� e �̅�∗ são transformadas nos vetores 𝑲,𝑻∗ ∈ ℝ𝑛 tal que 𝑛 =

𝑀𝑁. Em seguida, são definidas as funções 𝑻:ℝ𝑛 → ℝ𝑛 e 𝑨:ℝ𝑛 → ℝ𝑛×𝑛 tal que

𝑨(𝑲)𝑻(𝑲) = 𝒃, que são obtidas pelo código computacional do método de volumes

finitos. Visto que o objetivo do problema inverso é determinar 𝑲∗ ∈ ℝ𝑛 tal que a

distribuição temperatura seja igual à distribuição de temperatura de referência, ou seja,

𝑻(𝑲∗) = 𝑻∗ ∈ ℝ𝑛, é definida a função objetivo 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ. A solução do problema

25

inverso é dada pela solução do problema de minimização da função objetivo 𝑓(𝑲),

equação (69), sujeito às restrições das equações (70) e (71).

𝑚𝑖𝑛𝑲 ∈ ℝ𝑛

𝑓(𝑲) = ‖𝑻∗ − 𝑻(𝑲)‖2 (69)

𝑠. 𝑎. 𝒍 ≤ 𝑲 ≤ 𝒖 (70)

𝑨(𝑲)𝑻(𝑲) = 𝒃 (71)

O cálculo da derivada da função objetivo é dado pela equação (72).

𝛁𝑲𝑓(𝑲) = 2𝛁𝑲𝑻(𝑲)(𝑻(𝑲) − 𝑻∗) (72)

Na equação (72), o termo 𝛁𝑲𝑻(𝑲) = {𝑴 ∈ ℝ𝑛×𝑛| 𝑀𝑖𝑗 =𝜕𝑇𝑗

𝜕𝐾𝑖(𝑲)} é a matriz de derivadas

da função 𝑻(𝑲), que é calculado de acordo com o sistema de equações (73), que é obtida

ao derivar o sistema de equações (42).

{

(𝑾𝑇𝑨𝑾)𝒘 = 𝑾𝑇𝒃

(𝑾𝑇𝑨𝑾)𝜕𝒘

𝜕𝐾𝑖= −(𝑾𝑇 𝜕𝑨

𝜕𝐾𝑖𝑾)𝒘

𝜕𝑻

𝜕𝐾𝑖= 𝑾

𝜕𝒘

𝜕𝐾𝑖

(73)

Apesar da formulação para condução de calor, a metodologia usada aqui também se aplica

a outros fenômenos físicos, como a solicitação de uma estrutura em regime elástico com

forças de superfície prescritas no contorno. Em outras palavras, os resultados obtidos

neste trabalho podem ser extrapolados para outros fenômenos físicos semelhantes ao de

condução de calor que são regidos pelo mesmo problema direto, equação (1). A seguir

são apresentados os testes que verificam os códigos computacionais para solução do

problema via método dos volumes finitos e para otimização via método BFGS.

26

3.1. Verificação do Código Computacional do

Método de Volumes Finitos

Esta seção mostra a verificação do código computacional que resolve o problema direto

de condução de calor em regime permanente via método dos volumes finitos. A partir da

condutividade térmica 𝐾(𝑥, 𝑦) dada pela equação (74) onde 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ, é conhecida a

distribuição de temperatura 𝑇(𝑥, 𝑦), equação (75), obtida analiticamente pela solução do

problema direto. Esse é um caso retirado da referência [2], no qual se utiliza as mesmas

expressões para verificar a acurácia do método.

𝐾(𝑥, 𝑦) = (𝐴 + 𝑥)(𝐵 + 𝑦) ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉 (74)

𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝐴 + 𝑥)2 − (𝐵 + 𝑦)2 ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉 (75)

As condições de contorno para cada superfície do domínio 𝑉 = [0, 𝑋] × [0, 𝑌] são dadas

pelas equações (76) a (79).

𝐾(0, 𝑦)𝜕𝑇

𝜕𝑥(0, 𝑦) = 2𝐴2(𝐵 + 𝑦) em 𝑥 = 0, 𝑦 = [0, 𝑌] (76)

−𝐾(𝑋, 𝑦)𝜕𝑇

𝜕𝑥(𝑋, 𝑦) = −2(𝐴 + 𝑋)2(𝐵 + 𝑦) em 𝑥 = 𝑋, 𝑦 = [0, 𝑌] (77)

𝐾(𝑥, 0)𝜕𝑇

𝜕𝑦(𝑥, 0) = −2(𝐴 + 𝑥)𝐵2 em 𝑥 = [0, 𝑋], 𝑦 = 0 (78)

−𝐾(𝑥, 𝑌)𝜕𝑇

𝜕𝑦(𝑥, 𝑌) = 2(𝐴 + 𝑥)(𝐵 + 𝑌)2 em 𝑥 = [0, 𝑋], 𝑦 = 𝑌 (79)

A verificação do código computacional é feita a partir da comparação da distribuição de

temperatura obtida pelo código computacional com a distribuição de temperatura obtida

pela solução analítica. Esse procedimento é repetido para três malhas com refinamentos

diferentes, de forma que seja demonstrado que há convergência de malha. As figuras 2, 3

27

e 4 mostram os resultados do código computacional em (a) e o desvio percentual em

relação à solução analítica em (b) para tais malhas. Os valores das constantes utilizadas

são 𝐴 = 15, 𝐵 = 15, 𝑋 = 10 e 𝑌 = 2.

Figura 2 – (a) Campo de temperatura calculado e (b) desvio percentual em relação à

solução analítica para uma malha de 10 volumes por 10 volumes.



28

(a) (b)

(a) (b)



Os resultados mostram que o código computacional desenvolvido obtêm soluções que,

em relação à solução analítica, apresentam desvios percentuais máximos em torno de

0.06% para a malha com 100 elementos da Figura 2, 0.015% para a malha com 400

elementos da Figura 3 e 0.006% para a malha com 900 elementos da Figura 4. É possível

notar que o desvio percentual máximo em relação à solução analítica decresce com o

refinamento da malha, o que permite afirmar que o código está verificado.

29

(a) (b)

3.2. Verificação do Código Computacional do

Método BFGS

Esta seção mostra a verificação do código computacional que resolve problemas de

otimização via método BFGS. A verificação é feita a partir da análise do desempenho do

código computacional para solução de quatro problemas de minimização reconhecidos

pela literatura. Os quatro problemas envolvem a minimização irrestrita da função de

Rosenbrook, equação (80), de Easom, equação (81), de Goldstein-Price, equação (82) e

six-hump camel back, equação (83).

𝑓(𝑥, 𝑦) = (1 − 𝑥)2 + 100(𝑦 − 𝑥2)2 (80)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑦) 𝑒𝑥𝑝(−(𝑥 − 𝜋)2 − (𝑦 − 𝜋)2) (81)

𝑓(𝑥, 𝑦) = [1 + (𝑥 + 𝑦 + 1)2(19 − 14𝑥 + 3𝑥2 − 14𝑦 + 6𝑥𝑦 + 3𝑦2)][30 + +(2𝑥 −

3𝑦)2(18 − 32𝑥 + 12𝑥2 + 48𝑦 − 36𝑥𝑦 + 27𝑦2)] (82)

𝑓(𝑥, 𝑦) = (4 − 2.1𝑥2 +𝑥4

3) 𝑥2 + 𝑥𝑦 + (−4 + 4𝑦2)𝑦2 (83)

A seguir estão os resultados obtidos pelo código computacional ao minimizar as funções

citadas anteriormente. As figuras 5, 6, 7 e 8 mostram em (a) o gráfico do logaritmo do

resíduo 𝜀𝑘 = √(𝑥𝑘 − 𝑥∗)2 + (𝑦𝑘 − 𝑦∗)2 no eixo vertical pela iteração no eixo horizontal

e em (b) o gráfico em curvas de níveis do logaritmo da função objetivo com a sequência

{(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)}𝑘=1𝑁 gerada pelo algoritmo proposto em magenta.

30

Figura 5 – Resultado da minimização da função de Rosenbrook

Figura 6 – Resultado da minimização da função de Easom.

(a) (b)

(a) (b)

31

Figura 7 – Resultado da minimização da função de Goldstein-Price.

Figura 8 – Resultado da minimização da função six-hump camel back.

Os resultados do código computacional apresentam resíduo de 3 × 10−9 para a função de

Rosenbrook, 1 × 10−8 para a função de Easom, 3 × 10−9 para a função de Goldstein-

Price e 1 × 10−9 para a função six-hump camel back em comparação com o mínimo

global. Visto que os resíduos têm ordem de grandeza de 10−8 ou menos, é possível

afirmar que o algoritmo converge para o mínimo global e, portanto, está verificado.

32

(a) (b)

(a) (b)

4.Resultados e Discussão

Neste capítulo são apresentados três problemas inversos solucionados pela metodologia

descrita no capítulo anterior. Dois desses problemas são casos utilizados do trabalho de

Reddy et al [2] para verificar a acurácia do código computacional para problemas inversos

desenvolvido no dito trabalho. O último problema consiste em determinar a

condutividade térmica que foi gerada aleatoriamente entre os limites superior e inferior,

o que apesar de não ter equivalência com um problema real, permite observar como o

método lida com gradientes acentuados do vetor 𝑲∗. No primeiro caso, é conhecida a

expressão analítica para a temperatura de referência, enquanto que nos demais casos a

temperatura de referência é obtida pela solução do problema direto via MVF a partir da

condutividade térmica de referência. Os casos têm geometrias diferentes a fim de conferir

se esse fator pode interferir nos resultados. O objetivo deste capítulo é fornecer conteúdo

para que se possa discutir e tirar conclusões e sobre o método adotado.

Um primeiro ponto a ser levantado é o tempo de processamento da solução do problema

direto via MVF. A Figura 9 mostra o tempo de processamento do problema direto para

malhas com diferentes números de elementos em um computador com processador Intel®

Core™ i3-4170 CPU 3.70GHz e sistema operacional de 64 bits.

33

Figura 9 – Gráfico de tempo de processamento do problema direto em segundos pelo

número de elementos da malha.

O gráfico mostra que o tempo de processamento apresenta um crescimento exponencial

de acordo com o número de elementos na malha. Por conta disso, o custo do uso de malhas

muito refinadas para resolver o problema inverso proposto pode se tornar impeditivo.

4.1. Caso 1

O primeiro caso consiste em determinar a condutividade térmica 𝐾(𝑥, 𝑦), cuja solução é

dada pela equação (74), a partir da distribuição de temperatura 𝑇(𝑥, 𝑦) da equação (75).

As condições de contorno são dadas pelas equações (76) a (79). Estas funções foram as

mesmas usadas para verificação do código computacional de volumes finitos, que resolve

o problema direto, mas agora resolvemos o problema inverso. Visto que nesse caso a

expressão analítica tanto para a distribuição de temperatura quanto para a distribuição de

condutividade térmica são analíticas, é possível estimar o erro de precisão do MVF e

como esse erro afeta a solução do problema inverso.

Para esse teste foram usados os valores 𝐾𝑚𝑖𝑛 = 14, 𝐾𝑚𝑎𝑥 = 415, 𝐴 = 15, 𝐵 = 15, 𝑉 =

[0, 10] × [0, 2] e uma malha de 10 elementos na direção 𝑥 por 10 elementos na direção

34

𝑦. A Figura 10 mostra em (a) a condutividade térmica obtida pelo código computacional

e em (b) o desvio absoluto entre a condutividade térmica calculada pela equação (74) e a

obtida pelo código computacional.

Figura 10 – (a) Resultado do primeiro caso obtido pelo código computacional para

solução de problemas inversos e (b) o desvio absoluto da solução em relação à

referência.

É importante notar que os vértices dos gráficos na Figura 10, bem como os nas figuras

dos demais casos, são os pontos centrais dos volumes elementares da malha. A figura

mostra que o desvio absoluto máximo está em torno de 5 W/mK, o que equivale a um

desvio percentual em torno de 1%. A seguir é feita uma análise de como o erro de precisão

do MVF afeta a solução para o problema inverso pela metodologia adotada.

Para sustentar essa análise, ao longo das iterações do processo de otimização, foram

avaliados os desvios 𝛼𝑖 e 𝛽𝑖 de acordo com as equações (84) e (85) , respectivamente.

Note que 𝑓(𝑲) = 𝛼𝑖2. Nessas equações o sub índice 𝑖 enumerado ao longo das iterações,

𝑲𝑖 é a condutividade térmica, 𝑻𝒊 = 𝑻(𝑲𝑖) + 𝜹(𝑲𝑖) é a distribuição de temperaturas

calculado pelo MVF onde 𝑻(𝑲𝑖) é a solução analítica e 𝜹(𝑲𝑖) o erro de precisão do MVF.

35

(a) (b)

𝑻∗ = 𝑻(𝑲∗) e 𝑲∗ são a distribuição de temperatura e de condutividade térmica calculadas

analiticamente pelas expressões (75) e (74), respectivamente.

𝛼𝑖 = ‖𝑻∗ − 𝑻𝒊‖ (84)

𝛽𝑖 = ‖𝑲∗ −𝑲𝒊‖ (85)

A influência do erro de precisão 𝜹(𝑲𝑖) do MVF na função objetivo 𝑓(𝑲) é desenvolvida

ao longo das equações (86) a (88).

𝑓(𝑲𝑖) = 𝛼𝑖2 = ‖𝑻∗ − 𝑻𝒊‖

2 (86)

𝑓(𝑲𝑖) = ‖𝑻∗ − 𝑻(𝑲𝑖) − 𝜹(𝑲𝑖) ‖

2 (87)

𝑓(𝑲𝑖) = ‖𝑻∗ − 𝑻(𝑲𝑖)‖

2+‖𝜹(𝑲𝑖) ‖2 + 2(𝑻(𝑲𝑖) − 𝑻

∗)𝑇𝜹(𝑲𝑖) (88)

Para um dado 𝑲0 distante da solução 𝑲∗, pode-se admitir que 𝑓(𝑲0) ≈ ‖𝑻∗ − 𝑻(𝑲0)‖

2,

de forma que os demais termos ‖𝜹(𝑲0) ‖2 + 2(𝑻(𝑲0) − 𝑻

∗)𝑇𝜹(𝑲0) ≈ 0 sejam

desprezíveis. Ao longo das iterações, à medida que 𝑲𝒊 → 𝑲∗, a função objetivo passa a

sofrer mais influência dos demais termos, de forma que a sequência {𝑲𝑖}𝒊=𝟏𝑵 passe a deixar

de aproximar da solução 𝑲∗. O resultado disso é visto no gráfico da Figura 11, no qual

constam os desvios 𝛼𝑖 e 𝛽𝑖 ao longo das iterações do processo de otimização para o

primeiro caso.

36

Figura 11 – Gráfico dos desvios 𝛼𝑖 e 𝛽𝑖 ao longo das iterações do processo de

otimização.

O gráfico mostra que o desvio 𝛽𝑖 passa a apresentar valor constante perto da iteração

cento e cinquenta enquanto o desvio 𝛼𝑖 continua a diminuir. Isso ocorre pois o algoritmo

BFGS continua a minimizar a função objetivo 𝑓(𝑲𝑖) = ‖𝑻∗ − 𝑻𝑖‖

2 mas sem representar

uma aproximação de 𝑲𝑖 para 𝑲∗, conforme foi explicado anteriormente. Portanto, o erro

de precisão 𝜹(𝑲𝑖) é um fator limitante para a precisão da resposta 𝑲𝑁.

4.2. Caso 2

A condutividade térmica a ser determinada neste caso é dada pela da equação (89). O

objetivo deste caso é testar a precisão da solução do problema inverso quando a solução

analítica apresenta um gradiente acentuado.

𝐾(𝑥, 𝑦) = 𝐾𝑚𝑖𝑛 + (𝐾𝑚𝑎𝑥 −𝐾𝑚𝑖𝑛) [𝑥

𝑋−

𝐴

2𝜋𝑠𝑖𝑛 (2𝜋

𝑥

𝑋)] [

𝑦

𝑌−

𝐵

2𝜋𝑠𝑖𝑛 (𝜋

𝑦

𝑌)] (89)

Para esse teste foram usados os valores 𝐾𝑚𝑖𝑛 = 2500, 𝐾𝑚𝑎𝑥 = 5000, 𝐴 = 0.85 , 𝐵 =

0.85, 𝑉 = [0, 10−2] × [0, 10−2] e uma malha de 12 elementos na direção 𝑥 por 12

elementos na direção 𝑦. Note que a geometria do volume 𝑉 possui dimensões menores

36 37

que o caso anterior. O objetivo disso é analisar se o resultado apresenta efeitos colaterais

com a diminuição dos valores numéricos. As condições de contorno são dadas pelas

equações (90) a (93).

𝐾(0, 𝑦)𝜕𝑇

𝜕𝑥(0, 𝑦) = 106 (1 −

𝑦

𝑌) (90)


𝜕𝑥(𝑋, 𝑦) = 106 𝑦

𝑌 (91)

𝐾(𝑥, 0)𝜕𝑇

𝜕𝑦(𝑥, 0) = 106 (1 −

𝑥

𝑋) (92)


𝜕𝑦(𝑥, 𝑌) = 106 𝑥

𝑋 (93)

A Figura 10 mostra em (a) a condutividade térmica obtida pelo código computacional e

em (b) o desvio absoluto entre a condutividade térmica calculada pela equação (89) e a

obtida pelo código computacional.

Figura 10 – (a) Resultado do segundo caso obtido pelo código computacional para


referência.

(a) (b)

38

O resultado deste caso mostra desvio absoluto máximo de cerca de 35W/mK. Apesar

desse valor ser grande, observa-se que o desvio em termos percentuais tem a mesma

ordem de grandeza que no caso 1, em torno de 1%. Esse caso portanto não foi afetado

pelas dimensões menores do volume 𝑉.

4.3. Caso 3

Para este caso, o valor da condutividade térmica avaliada em cada volume elementar foi

gerado aleatoriamente entre os limitantes inferior e superior. O objetivo deste caso é testar

o desempenho do método proposto para casos em que tanto a condutividade térmica no

material quanto as condições de contorno apresentam variações abruptas.

Para esse teste foram usados os valores 𝐾𝑚𝑖𝑛 = 14, 𝐾𝑚𝑎𝑥 = 340, 𝑉 = [0, 1] × [0, 1] para

uma malha de 6 elementos na direção 𝑥 por 6 elementos na direção 𝑦. As condições de

contorno são dadas pelas equações (94)4) a (97).

𝐾(0, 𝑦)𝜕𝑇

𝜕𝑥(0, 𝑦) = 106𝑠𝑖𝑛 (2𝜋

𝑦

𝑌) (94)


𝜕𝑥(𝑋, 𝑦) = 106 (1 − sin (2𝜋

𝑦

𝑌)) (95)

𝐾(𝑥, 0)𝜕𝑇

𝜕𝑦(𝑥, 0) = 106sin (2𝜋

𝑥

𝑋) (96)


𝜕𝑦(𝑥, 𝑌) = 106 (1 − 𝑠𝑖𝑛 (2𝜋

𝑥

𝑋)) (97)

A Figura 13 mostra em (a) a condutividade térmica obtida pelo código computacional e

em (b) o desvio absoluto entre a condutividade térmica e a obtida pelo código

computacional.

39

Figura 13 – (a) Resultado do terceiro caso obtido pelo código computacional para


referência.

Esse resultado mostra que o método consegue uma solução com desvio absoluto máximo

em torno de 10W/mK mesmo que em condições consideradas adversas, tais quais um

gradiente de condutividade térmica elevado no interior do domínio e condições de

contorno senoidais com grande amplitude. O desvio percentual máximo deste caso é de

cerca de 3%, o que é próximo do desvio percentual máximo obtido para o caso 1, de 1%.

Isso mostra que o método de solução para problemas inversos proposto tem versatilidade

quanto à complexidade da solução e das condições de contorno sem que isso acarrete

perda de precisão.

40

(a) (b)

5.Conclusões

Este trabalho propõe um método de solução para problemas inversos que consiste em

minimizar a norma da diferença entre uma temperatura conhecida ou medida e a

temperatura calculada a partir da condutividade térmica. A solução do problema inverso

fornece a distribuição da condutividade térmica no interior do material. Os resultados

obtidos no capítulo anterior mostram que o método proposto tem versatilidade, pois

consegue resolver problemas inversos com configurações variadas, e tem acurácia em

torno de 5%.

Entretanto, a escolha do método de solução do problema direto, o Método dos Volumes

Finitos, impõe limites ao método de solução de problemas inversos em dois aspectos. O

primeiro aspecto é o tempo de processamento da solução do problema direto, que cresce

demais para malhas muito refinadas. O segundo aspecto limitante do método é dado pelo

erro de precisão do MVF denotado por 𝜹(𝑲), conforme foi explicado no caso 1. A função

objetivo adotada pelo método de solução do problema inverso é 𝑓(𝑲) = ‖𝑻∗ − 𝑻(𝑲) −

𝜹(𝑲)‖2. Conforme a função objetivo é minimizada, a influência do erro de precisão do

MVF cresce em relação à diferença 𝑻∗ − 𝑻(𝑲). Logo, o algoritmo de otimização BFGS

passa a sofrer interferência do erro de precisão do MVF o que faz com que a sequência

{𝑲𝑖}𝒊=𝟏𝑵 deixe de convergir para a solução 𝑲∗.

Portanto, o MVF usado para solução do problema direto limita o potencial do método

proposto para solução de problemas inversos nos aspectos de tempo de processamento e

de precisão. A viabilidade do método pode ser lograda com a adoção de outro método de

solução para o problema direto.

41

Uma alteração para que a modelagem do problema se adeque melhor a situações reais é

levar em consideração possíveis ruídos na leitura da temperatura de referência. Visto que

ruídos são inerentes a qualquer medição, levar em conta os seus efeitos no resultado do

problema inverso tornaria o problema mais adequado a situações reais. Além disso, o

estudo do efeito desses ruídos permitiria compreender a estabilidade da solução obtida

pela metodologia proposta.

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6.Referências

[1] A. Calderón, "On an Inverse Boudary Value Problem," Computational & Applied

Mathematics volume 25 n. 2-3, pp. 133-138, 2006.

[2] S. Reddy, "Inverse Determination of Spatially Varying Material Coefficients in Solid

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henrique peixoto de souza almeida engenharia mecânica da … · 2019. 4. 2. · almeida, henrique...

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