há anatocismo na tabela price - oziel chaves

H anatocismo na Tabela Price?http://jus.com.br/revista/texto/737Publicado em 10/2000

Oziel Chaves (http://jus.com.br/revista/autor/oziel-chaves)

1) Introduo

A resposta NO. Como demonstrarei a seguir.

Como Perito Judicial, tenho visto afirmaes contrrias, mas sem comprovao lgica e tcnico-cientfica. Alis, exatamente porque ela no existe.

Essas afirmaes so da seguinte ordem:

- Existe capitalizao como "comprova" a definio constante do livro do Prof. Jos Dutra Vieira Sobrinho, no seu importante livro de Matemtica Financeira.

- A capitalizao existe por o clculo do Valor Presente se faz aplicando taxas de juros compostas, ou exponenciais.

- H capitalizao porque a TIR-Taxa Interna de Retorno aplica a taxa composta ou exponencial.

- A capitalizao est "demonstrada" pelo fato de que existe a expresso (1+i)n na frmula.

Essas concluses partem de dois equvocos, a saber:

- A falta de definio precisa, ou at mesmo de conhecimento, dos conceitos de "capitalizao" e de "amortizao", ou plano de pagamento de emprstimos e financiamentos.

- A aplicao de frmulas matemticas que no dizem respeito ao que pretendem provar.

O Autor deste artigo comea afirmando que frmulas matemticas so abstraes que precisam ser comprovadas "ex-post".

a recomendvel postura cartesiana no seu primeiro princpio da lgica, o conhecido como "princpio da evidncia" ou "princpio da dvida sistemtica".

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As afirmaes no so verdades apenas porque foram ditas por algum que tenha credibilidade; exigem comprovao.

As frmulas matemticas, tambm, precisam ser comprovadas.

2) Capitalizao

Tanto a capitalizao como a amortizao tm definies e regras prprias que as diferenciam e que no se confundem. So processos diferentes.

O sempre citado Prof. Jos Dutra Vieira Sobrinho omite, no seu livro, a definio de amortizao. Mas assim define a capitalizao:

"Capitalizao composta aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido de juros acumulados at o perodo anterior. Neste regime de capitalizao a taxavaria exponencialmente em funo do tempo,"

Como consequncia dessa definio, a capitalizao consiste em que os saldos em determinado momento so sempre maiores que no momento anterior.

Ou, como ensina Puccini (Abelardo deLima, Matemtica Financeira Objetiva e Aplicada Ed,.Saraiva, 6 ed. 1999, pg. 14):

"os juros de cada perodo so somados ao capital para o clculo de novos juros no perodo seguinte."

A quantia de R$ 10.000,00 aplicada a 8% por perodo, em quatro perodos, apresenta os seguintes saldos ao final de cada perodo considerado, no regime de capitalizao composta:

Perodos Saldo inicial Juros de 8% Saldo Final

1 R$ 10.000,00 R$ 800,00 R$ 10.800,00

2 R$ 10.800,00 R$ 864,00 R$ 11.664,00

3 R$ 11.664,00 R$ 933,12 R$ 12.597,12

4 R$ 12.597,12 R$ 1.007,77 R$ 13.604,89

Observa-se que tanto os juros como os saldos ao final de cada perodo so crescentes, o que no ocorre nos sistemas de amortizao, como se ver adiante.

O crescimento do saldo se faz de forma geomtrica, ou exponencial, de razo igual a 8%.



Para se obter o montante, ou seja, a soma do principal e juros ao final, aplica-se a conhecida frmula (1+i)n

Esta frmula foi deduzida da realidade prtica, ou, em palavras mais simples, de como se comporta o andamento do clculo na operao.

No caso em estudo, (1+i)n igual a:

.(1+8,08)4 = 1,360489

i = taxa de juros em forma unitria

n = nmero de perodos.

Multiplicando-se o valor inicial de R$ 10.000,00 por 1,360489, encontra-se exatamente a quantia de R$ 13.604,89, como acima demonstrado no quadro.

O mesmo ocorre quando se pretende aplicar, em perodos iguais e sucessivos, uma determinada quantia a juros compostos ou capitalizados. O saldo ao final de cada perodo tambm sempre crescente.

Aplica-se, no caso, a frmula do FAC=Fator de Acumulao Capital, que assim se expressa:

FAC = [(1+i)n l] : i

3) Amortizao

Assim como os sistemas de capitalizao, os sistemas de amortizao, tambm, se regem por regras prprias que os livros, normalmente, omitem, causando dificuldades conceituais aos estudantes.

Certamente os autores imaginam que os estudantes tm capacidade de anlise suficiente para no confundir os dois sistemas, por possuirem caractersticas to claras e diferentes.

Lapponi (Juan Carlos), um importante engenheiro e matemtico argentino (Doutor pela Politcnica de S.Paulo e professor de cursos de ps-graduao na FGV-SP e IBMEC-Instituto Brasileiro do Mercado de Capitais), assim esclarece as regras das Amortizaes, ou plano de pagamentos de emprstimos e financiamentos, no seu interessante livro "Matemtica Financeira usando Excel 5 e 7" (pg,.269).

So duas regras que devem ser obedecidas para que o sistema seja considerado como de amortizao, com os seus corolrios lgicos:



1 Regra:

O valor de cada prestao formado por duas parcelas, uma delas a devoluo do principal ou parte dele, denominada Amortizao, e a outra parcela so os Juros que representam o custo do emprstimo; isto :

Prestao = Amortizao + Juros = AM + J

2 Regra:

-O valor dos juros de cada prestao so sempre calculados sobre o saldo devedor do emprstimo, aplicando uma determinada taxa de juros.

-Da segunda regra obtivemos as seguintes concluses:

a) No pagamento de cada prestao o devedor paga juros integrais sobre o valor do saldo devedor no incio do perodo que est pagando.

b) Aps o pagamento da prestao, e no mesmo dia, o devedor deve somente a parte do capital que ainda no foi amortizado; nesse dia, os juros esto zerados.

c) Em cada data de pagamento, o valor da prestao deve ser maior que o valor dos juros devidos nessa data.

d) Um plano corretamente construido no pode ter nenhuma prestao com valor menor que o valor dos juros calculados sobre o saldo devedor. Portanto, o valor da primeira prestao ser sempre maior que o valor dos juros sobre o valor financiado.

As duas consequncias das letras a) e b) no so novas. J esto inseridas no art. 993 do Cdigo Civil Brasileiro de 1916, tempo suficiente para que alguns juristas e peritos no continuem a ter dvidas sobre a inexistncia da capitalizao, ou a prtica do anatocismo, nos sistemas de amortizao. Diz o art. 993:

"Art. 993 Havendo capital e juros vencidos, o pagamento imputar-se- primeiro nos juros vencidos, e, depois, no capital, salvo estipulao em contrario, ou se o credor passar a quitao por conta do capital."

4) Sistemas de Amortizao

Os matemticos com especializao financeira podem criar qualquer tipo de plano de amortizao de emprstimos e financiamentos, dos mais simples ou mais sofisticados.

Os mais simples e mais usuais podem ser agrupados em trs classificaes:



- sistemas de juros constantes (conhecido como sistema americano de amortizao);

- sistemas de amortizaes constantes, denominado SAC e que tem como uma de suas variantes a sistema SACRE, adotado atualmente pela Caixa Econmica Federal.

- sistemas de prestaes constantes, tambm conhecidos como sistema francs de amortizaes ou Tabela Price.

deste ltimo que passarei a me ocupar..

5) A Tabela Price

O denominado sistema Price prope-se a determinar o valor de uma prestao constante, ou seja, igual, para cada um dos pagamentos em cada vencimento.

O valor de cada prestao pode ser calculado tanto atravs de de um "coeficiente multiplicador", mais conhecido como FRC=Fator de Recuperao de Capital, como de um "coeficiente divisor"; ambos levam ao mesmo resultado, qual seja, o valor da prestao peridica.

Os coeficientes multiplicadores so obtidos da aplicao das frmulas:

FRC = [(1+i)n x i] : [(1+i)n 1) ou de

FRC = i: [1 (1+i)-n]

Onde:

i = taxa de juros na forma unitria;

n = perodos

Essa segunda frmula se obtm pela simplificao algbrica da primeira, atravs da

diviso do dividendo e do divisor pela expresso (1+i)n, comum aos dois.

Os coeficientes divisores provm do inverso das duas frmulas acima, como segue:

FRC = [(1+i)n l] : [(1+i)n x i] ou de

FRC = [1 (1+i) n] : i

Alerta-se que essas frmulas so vlidas apenas quando os perodos de vencimentos correspondem ao perodo da taxa. comum a sua aplicao por perodos de 30 dias.

Normalmente, o sistema financeiro fixa os vencimentos na mesma data de cada ms, sem a preocupao quanto ao nmero de dias decorridos entre dois vencimentos.



Entretanto, um bom nmero de bancos vem fixando a sua taxa para cada perodo de 30 (trinta) dias, "pro rata temporis"; assim, aplicam taxas diversas, proporcionais ao nmero de dias efetivamente ocorrido entre dois vencimentos consecutivos (30, 31, 28 ou 29 dias).

Nesses casos, a frmula correta para determinar o coeficiente divisor a seguinte:

Coeficiente divisor do principal = (1+i) m/n

Onde:

i = taxa de juros para cada perodo de 30 dias;

m = frequncia acumulada dos dias decorridos entre os vencimentos at data considerada

n = 30 dias.

6) As discusses colocadas inicialmente

6.1) O clculo do Valor Presente (VP) e da Taxa Interna de Retorno (TIR)

Alguns Peritos tm aplicado a frmula do Valor Presente, ou Valor Atual, na tentativa de comprovar, por induo, a existncia de capitalizao composta.

Incidem em dois erros, a saber:

- a frmula tem aplicabilidade, apenas, para se obter o valor presente, na data inicial ou focal, no momento "0", de uma srie de pagamentos peridicos, uniformes ou no. uma frmula usada na anlise de investimentos,

- taxa acumulada, ou geomtrica, no o mesmo que juros capitalizados

- o valor presente de cada parcela de amortizao, quando do clculo do Valor Presente, se apresenta correto apenas no sentido inverso.

Pode-se estabelecer um plano de pagamentos com taxas geomtricas, ou acumuladas, sem que ocorra capitalizao de juros.

O que a Smula 121 do E.STF verbera a capitalizao de juros, quando prescreve:

"121. vedada a capitalizao de juros, ainda que expressamente contratada.".



Assim, se temos um plano de pagamentos cujos vencimentos ocorram a 45 dias, 50 dias e 38 dias de cada vencimento a partir da data inicial, e a taxa de juros de 3% para cada perodo de 30 dias, as taxas nesses perodos sero:

DiasTaxas

45 dias 4,53%

50 dias 5,05%

38 dias 3,82%

So taxas aplicveis "pro rata temporis", por dias corridos.

O fato de se aplicar taxas diversas calculadas de forma geomtrica no implica, necessariamente, na prtica do anatocismo.

Demonstro, utilizando o sistema americano de amortizaes, para um financiamento de R$ 10.000,00, utilizando os prazos acima mencionados:

.primeiro vencimento a 45 dias, taxa 4,53% sobre R$ 10.000,00:

Juros de R$ 453,00 pago no mesmo dia do dbito, permanecendo o saldo devedor de R$ 10.000,00.

.segundo vencimento a 50 dias do primeiro vencimento, taxa de 5,05%:

Juros de R$ 505,00, debitado no vencimento e pago na mesma data, restando saldo devedor inicial de R$ 10.000,00.

.terceiro vencimento a 38 dias do segundo, taxa de 3,81%:

Juros de R$ 382,00 debitado no vencimento e pago na mesma data, desta vez juntamente com o dbito de principal: R$ 10.382,00.

No ocorreu a prtica do anatocismo, pois os juros foram pagos e no capitalizados. Os juros foram contados, sempre, sobre o principal do financiamento.

Anatocismo consiste em:

"Capitalizao de juros, vencendo novos juros. a contagem de juros sobre juros j produzidos pelo capital empregado." (cfr. Novo Dicionrio Jurdico Brasileiro, do jurista Jos Nufel)

a clssica definio de juros compostos.



a prtica de clculo de juros sobre juros e no de taxas sobre taxas.

Recorro, novamente, a Puccini (Abelardo de Lima..), um dos melhores e mais conceituados matemticos do Brasil, professor da FGV-Rio.

Ensina ele, no livro j citado, pg. 83, com grifos meus:

"No regime de juros compostos, os juros de cada perodo, quando no so pagos no final do perodo, devem ser somados ao capital."

evidente a ressalva do ilustre professor, dispensando demonstrao.

Logo, de acordo com a boa lgica, se os juros foram pagos no vencimento no h o que capitalizar.

No so as taxas de juros e nem os perodos de vencimentos que caracterizam a capitalizao composta. Os contratos, data vnia e salvo melhor entendimento, podem estabelecer livremente tanto as taxas aplicveis em cada perodo de vencimento, como os vencimentos, que no tm a obrigao de ser a cada 30 (trinta) dias.

O importante no adicionar juros ao principal e, sobre o montante (principal + juros), calcular novos juros.

Infelizmente, a maioria dos livros de matemtica financeira contm imprecises conceituais que levam a interpretaes falsas.

No que tange TIR-Taxa Interna de Retorno, esse clculo se destina a apurar qual a taxa efetiva de um fluxo de caixa, verificando, ao final, em que essa taxa diferente da taxa de atratividade prevista para um investimento.

Tal apurao da TIR feita por taxas compostas, ou que no significa, necessariamente, juros compostos, como j foi dito.

Como alis no poderia deixar de ser: a matemtica financeira cuida do valor do dinheiro no tempo.

No caso da Tabela Price, essa taxa previamente conhecida, dispensando novos clculos que apenas confirmam.

6.2) Alegao de que se existe (1 + i)n em uma frmula, h capitalizao composta

A alegao to pueril que nem mereceria contestao.

A frmula da gua :



gua = H2O

Ou seja, duas partculas de hidrognio e uma de oxignio.

Nem por isso gua s hidrognio ou s oxignio.

Analisando a frmula de clculo do valor da prestao pelo Sistema Price,verifica-se que

tanto no numerador como no denominador existe a expresso (1+i)n modificada.

No numerador, pelo "redutor" "i", e no denominador pela deduo de uma unidade (1) da expresso.

O conjunto da frmula que deve ser analisado, pois, por exemplo, (1+i)n no a mesma coisa que [(1+i)n x i].

Parece bastante claro que as duas frmulas no so iguais, no podendo, por isso mesmo, dizer-se que se trata de capitalizao.

7) O sistema Price e a prova do pudim

Este item completar a demonstrar de que no h capitalizao no denominado sistema PRICE.

Chegou a hora de provar que no h capitalizao, ou prtica do anatocismo, na denominada Tabela Price.

o que os economistas costumam chamar de "a prova do pudim": s se sabe se o pudim saboroso depois que se come.

Tomemos um caso hipottico de aplicao prtica com as seguintes caractersticas:

-Valor do financiamento: R$ 10.000,00

-Taxa de Juros: 2% ao ms

-Prazo: 4 anos

-Prestao: R$ 2.626,24 do tipo postecipada.

Obtida multiplicando o valor do financiamento pelo FRC-Fator de Recuperao de Capital de 0,262624.

Pode-se determinar, de antemo, as parcelas de juros e amortizaes contidas em cada prestao, cujas parcelas no so absolutamente iguais em cada vencimento.



Na Tabela Price (sistema francs de amortizaes) os juros so decrescentes, assim como o saldo devedor, enquanto as amortizaes so crescentes. Isso ocorre exatamente porque os juros no so capitalizados, mas contados apenas sobre o principal reduzido de amortizaes crescentes.

No exemplo em estudo, as parcelas de juros e amortizaes em cada parcela so as seguintes:

Prestao n Prestao Juros Amortizao

1 R$ 2.626,24 R$ 200,00 R$ 2.426,24

2 R$ 2.626,24 R$ 151,48 R$ 2.476,76

3 R$ 2.626,24 R$ 101,09 R$ 2.524,26

4 R$ 2.626,24 R$ 51,49 R$ 2.574,75

Essas quantias podem ser facilmente obtidas antecipadamente com o uso de uma calculadora financeira HP-12-C, ou por uma planilha em Excel.

Na calculadora, para tanto, mantendo os valores inseridos no clculo das prestaes, em seguida:

Tecle 1 f AMORT, para obter os juros

Tecle X>< obtendo o valor da amortizao (tecla no cruzamento da Quarta linha com a Quarta coluna)

Tecle RCL PV obtendo o saldo devedor.

Prossiga no clculo teclando sempre 1, inicialmente e constate a exatido de cada parcela de juros, amortizao e do saldo devedor aps a amortizao, como demonstrado no clculo acima.

Para dirimir de vez eventuais dvidas, elaborei o demonstrativo contbil anexo, onde est demonstrado todo o andamento do financiamento hipottico analisado.

Verifica-se que:

o dbito de juros feito na data do vencimento de cada parcela, incidente sobre o saldo devedor anterior esses juros so pagos na mesma data, atravs do destaque da parcela a ele destinado, do t otal da prestao a diferena (parcela menos juros) destina-se amortizao do principal.

Os juros so sempre decrescentes, o que no ocorreria se houvesse capitalizao, quando eles seriam sempre crescentes.



As amortizaes so sempre crescentes, em progresso geomtrica cuja razo igual taxa de juros,.

Os saldos so decrescentes, da mesma forma dos juros, o que demonstra que os juros no so capitalizados.

Se o sistema Price for corretamente aplicado, com a correo incidindo igualmente sobre o valor de cada prestao e do saldo devedor, no ocorrer qualquer resduo ao final.

Pode acontecer que o saldo devedor seja crescente, em algum perodo do financiamento. Esse crescimento (que logo se reverter) se deve ao fato de que, no perodo, a correo monetria do saldo devedor foi maior que a parcela de amortizao. Mas o saldo final ser sempre igual a ZERO.

O Autor deste estudo se coloca a disposio para quaisquer esclarecimentos complementares, nos exames de dvidas sobre casos particulares, quando certamente demonstrar que erro no decorre do sistema denominado Price, para da sua indevida aplicao.

ANEXO

SISTEMA FRANCS DE AMORTIZAO (Tabela Price)Demonstrativo contbil da evoluo de um Financiamento como segue:

a) Valor = R$ 10.000,00b) Taxa de juros ao ms: 2%c) Prazo: 4 mesesd) Prestao: R$ 2.626,24

DatasHistrico Dbito Crdito Saldo

######## Dbito do financiamento 10.000,00 --- 10.000,00

######## Juros de 2% s/saldo devedor 200,00 --- 10.200,00

######## Parte da prest. De R$ 2.626,24

--- ----

--- em pagamento dos juros --- 200,00 10.000,00

######## Idem em amortizao --- 2.426,24 7.573,76

######## Juros de 2% s/saldo devedor 151,48 --- 7.725,24

######## Parte da prest. De R$ 2.626,24

--- ----





######## Juros de 2% s/saldo devedor 101,98 --- ---

######## Parte da prest.de R$ 2.626,24

--- --- ---



######## Juros de 2% s/saldo devedor 51,49 --- ---

######## Parte da prest.de R$ 2.626,24

--- --- ---


######## Idem em amortizao --- 2.574,75 (0,01)

Nota importante: Os nmeros que os juros debitados so pagos no mesmo dia do dbito, no so, portanto, capitalizados. No existe, assim, a prtica do anatocismo.

Autor

Informaes sobre o texto

Como citar este texto (NBR 6023:2002 ABNT):CHAVES, Oziel. H anatocismo na Tabela Price?. Jus Navigandi, Teresina, ano 5 (/revista/edicoes/2000), n. 46 (/revista/edicoes/2000/10/1), 1 (/revista/edicoes/2000/10/1) out. (/revista/edicoes/2000/10) 2000 (/revista/edicoes/2000) . Disponvel em: . Acesso em: 3 mar. 2013.

Oziel Chaves (http://jus.com.br/revista/autor/oziel-chaves)economista em So Paulo, perito judicial e auditor de contratos



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