guia de dimensionamento de estruturas de concreto - viga

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO TECNOLGICO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

GUIA DE DIMENSIONAMENTO

DE VIGA DE CONCRETO ARMADO

DE ACORDO COM A NBR 6118

Fernando Musso Junior [email protected]

2010/1

Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto 2

PROGRAMA DETALHADO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO I (EST01058) PROGRAMA: 1 - INTRODUO 2 - ELEMENTOS ESTRUTURAIS BSICOS 3 - PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 4 - AES NAS ESTRUTURAS 5 - ESTADOS LIMITES 6 - DIRETRIZES DE DURABILIDADE 7 - VIGA DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR 8 - VIGA DIMENSIONAMENTO A FORA CORTANTE 9 - VIGA DIMENSIONAMENTO A MOMENTO TOROR 10 - VIGA DISPOSIES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS 11 - VIGA VERIFICAO DE FLECHAS BIBLIOGRAFIA: 1 - ARAJO, J. M. Curso de Concreto Armado. v. 1 a 4. 2a ed. Rio Grande: Dunas, 2003. 2 - MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A. G.; CABR, F. M. Hormign Armado. 14a ed. Barcelona: Gustavo Gili, 2000. 3 - LEONHARDT, F.; MNNIG, E. Construes de concreto. v. 1 a 6. 1a ed. Rio de Janeiro: Intercincia, 1977. 4 - MOSLEY, B.; BUNGEY, J.;HULSE, R. Reinforced Concrete Design to Eurocode 2. 6a ed. New York: Palgrave Macmillan, 2007. 5 - ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. Projeto de estruturas de concreto - Procedimento: NBR 6118. Rio de Janeiro, 2004. 6 - ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. Cargas para o clculo de estruturas de edificaes - Procedimento: NBR 6120. Rio de Janeiro, 1980. 7 - ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. Barras e fios de ao destinados a armaduras para concreto armado - Especificao: NBR 7480. Rio de Janeiro, 1996. 8 - ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. Aes e segurana nas estruturas - Procedimento: NBR 8681. Rio de Janeiro, 2003. AVALIAES: 2 PROVAS PARCIAIS E PROVA FINAL P1 (07/05); P2 (25/06); PF (07/07)


ELEMENTOS ESTRUTURAIS BSICOS Tipo Definio Elemento Esquema Definio

Viga

elemento linear em que a flexo preponderante

Pilar

elemento linear de eixo reto, usualmente disposto na vertical, em que a fora normal de compresso preponderante; a maior dimenso da seo transversal menor ou igual a 5 vezes a menor dimenso

Tirante

elemento linear de eixo reto em que a fora normal de trao preponderante

Line

ar

o co

mpr

imen

to l

ongi

tudi

nal

m

aior

ou

igua

l a

trs

veze

s a

mai

or d

imen

so

da s

eo

tran

sver

sal

Arco

elemento curvo em que a fora normal de compresso preponderante, agindo ou no com flexo

Laje

elemento de superfcie plana sujeito principalmente a aes normais a seu plano; o lado menor maior ou igual a 5 vezes a espessura

Viga-parede

elemento de superfcie plana sujeito principalmente a aes contidas em seu plano; o comprimento menor que trs vezes a maior dimenso da seo transversal

Casca

elemento de superfcie no plana

Supe

rfc

ie

uma

dim

ens

o, u

sual

men

te c

ham

ada

espe

ssur

a,

re

lativ

amen

te p

eque

na e

m fa

ce d

as d

emai

s

Pilar-parede

elemento de superfcie plana ou casca cilndrica, usualmente disposto na vertical, em que a fora normal de compresso preponderante; a maior dimenso da seo transversal maior que 5 vezes a menor dimenso

Sapata

elemento de volume usado para transmitir ao solo as cargas de fundao

Volu

me

trs

dim

ens

es s

o

sign

ifica

tivas

Bloco sobre estacas

elemento de volume usado para transmitir s estacas as cargas de fundao

Fonte: NBR 6118


DIMENSES LIMITES DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS

Fonte: NBR 6118


PROPRIEDADES DO CONCRETO

Ecs 4760fck1/2 MPa mdulo de elasticidade secante do concreto

fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistncia mdia do concreto trao

fcd fck/1,4 resistncia de clculo do concreto compresso

Gc 0,4Ecs mdulo de elasticidade transversal do concreto

fck resistncia caracterstica do concreto compresso aos 28 dias

c 10-5/oC coeficiente de dilatao trmica do concreto

fctk 0,7fctm resistncia caracterstica do concreto trao

0,2 coeficiente de poisson do concreto

fctd fctk/1,4 resistncia de clculo do concreto trao

c 2400 kg/m3 concreto simples 2500 kg/m3 concreto armado massa especfica do concreto

Propriedades do concreto em funo de sua classe Classe C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 equao fck MPa 15 20 25 30 35 40 45 50 fcd MPa 10,71 14,29 17,86 21,43 25,00 28,57 32,14 35,71 fck/1,4 fctm MPa 1,825 2,210 2,565 2,896 3,210 3,509 3,795 4,072 0,3fck2/3 fctk MPa 1,277 1,547 1,795 2,028 2,247 2,456 2,657 2,850 0,7fctm fctd MPa 0,912 1,105 1,282 1,448 1,605 1,754 1,898 2,036 fctk/1,4 Ecs MPa 18435 21287 23800 26072 28161 30105 31931 33658 4760fck1/2 Gc MPa 7374 8515 9520 10429 11264 12042 12772 13463 0,4Ecs

Obs.: C20 ou superior concreto armado (C15 s para fundaes e obras provisrias) C25 ou superior concreto protendido Diagrama simplificado retangular do concreto comprimido ( = 0,8 e = 0,85)

Coeficiente de fluncia e deformao de retrao do concreto

Fonte: NBR 6118


PROPRIEDADES DO AO

Es 210000 MPa mdulo de elasticidade do ao

s 10-5/oC coeficiente de dilatao trmica do ao

fyd fyk/1,15 resistncia de clculo de escoamento do ao trao

yd fyd/Es deformao de escoamento do ao

fyk resistncia caracterstica de escoamento do ao trao

s 7850 kg/m3 massa especfica do ao

Propriedades do ao em funo de sua categoria Categoria CA-25 CA-50 CA-60 equao fyk MPa 250 500 600 fyd Mpa 217,4 434,8 521,7 fyk/1,15 yd Mpa 0,1035% 0,2070% 0,2484% fyd/Es

Caractersticas de fios e barras 4.1.1 Classificam-se como barras os produtos de dimetro nominal 5 ou superior, obtidos exclusivamente por laminao a quente, e classificam-se como fios aqueles de dimetro nominal 10 ou inferior, obtidos por trefilao ou processo equivalente. 4.1.2 De acordo com o valor caracterstico da resistncia de escoamento, as barras de ao so classificadas nas categorias CA-25 e CA-50, e os fios de ao na categoria CA-60.

Fonte: NBR 7480 Coeficiente de conformao superficial do ao

Fonte: NBR 6118


AES NAS ESTRUTURAS

Fonte: NBR 8681


PESO ESPECFICO DOS MATERIAIS DE CONSTRUO

Fonte: NBR 6120


MOMENTO FLETOR EM DIVERSOS SISTEMAS DE VIGAS ( = a/L; = b/L)

Sistema

Carga Mmx; xo/L Mmx; xo/L Mdir Mmx; xo/L Mesq Mdir Mesq

5,0;8

pL2 375,0;128pL9 2

8pL2 5,0;

24pL2

12pL2

12pL2

2pL2

577,0;

39pL2 447,0;

515pL2

15pL2 548,0;

64,46pL2

30pL2

20pL2

3pL2

423,0;

39pL2 329,0;

65,23pL2

120pL7 2 452,0;

64,46pL2

20pL2

30pL2

6pL2

5,0;

4PL 5,0;

32PL5

16PL3 5,0;

8PL

8PL

8PL

2PL

;PL ;PL2

3 2 PL2

1 2 ;PL2 22 PL2 PL2 PL FORA CORTANTE EM DIVERSOS SISTEMAS DE VIGAS ( = a/L; = b/L)

Sistema

Carga Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq

2pL

2pL

8pL3

8pL5

2pL

2pL pL

6

pL 3

pL 10pL

5pL2 pL15,0 pL35,0

2pL

3

pL 6

pL 40pL11

40pL9 pL35,0 pL15,0

2pL

2P

2P

16P5

16P11

2P

2P P

P P P

23 2 P

23 2 P)23( 2 P)23( 2 P

DEFORMAES EM DIVERSOS SISTEMAS DE VIGAS ( = a/L; = b/L)

Sistema

Carga mx; xo/L mx; xo/L mx; xo/L dir

5,0;EI384

pL5 4 422,0;EI6,184

pL4 5,0;EI384

pL4 EI8

pL4

519,0;

EIpL00652,0

4

447,0;EI3,419

pL4 525,0;EI2,764

pL4 EI120

pL11 4

481,0;

EIpL00652,0

4

402,0;EI1,328

pL4 475,0;EI2,764

pL4 EI30

pL4

5,0;

EI48PL3 447,0;

EI548PL3 5,0;

EI192PL3

EI48PL5 3

5,0;

EI48PL)43( 32 - -

EI6PL)3( 32

MOMENTO TOROR EM DIVERSOS SISTEMAS DE VIGAS ( = a/L; = b/L)

Carga

Sistema Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir

2tL

2tL

6tL

3tL

3tL

6tL

2T

2T T T

Tesq Tesq Tesq Tesq Tesq tL 2

tL 2tL T T

Elaborado por Fernando Musso Junior

a b

L/2

a b

L/2

a b

L/2

L/2 a b


ESTADOS LIMITES DE UMA ESTRUTURA

Fonte: NBR 8681


DIRETRIZES DE DURABILIDADE DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO

Fonte: NBR 6118


ESTADO LIMITE LTIMO DE RESISTNCIA MOMENTO FLETOR (ELU-M) SEO RETANGULAR Diagramas - do ao e do concreto comprimido e domnios de deformao da seo Armadura simples (necessidade de armadura longitudinal apenas na zona tracionada da seo) Equaes de equilbrio e de compatibilidade Problemas propostos = 0,85; = 0,8 (a) )x5,0d(fxbCzM0M cdRd === (b) cdydsx fxbCfAF0F ====

d3,5

5,3xxxyd

34lim +== (4a)

s

ydyd E

f= ; Es = 210 GPa (5) obs.: para aumentar a ductilidade da seo a NBR 6118 (14.6.4.3) admite, 0,5d (fck < 35 MPa) (4b) 0,4d (fck > 35 MPa

= 0,85; = 0,8 (1) Limite para uso de armadura simples (MRd = Md,lim) (x = xlim) em (a): )x5,0d(fxbM limcdlimlim,d = (2) (x = xlim) em (b): ydcdlimlim,s f/fxbA = (3) A - Dimensionamento da armadura As (MRd = MSd) Dados: MSd < Md,lim, b, d, fcd, fyd Obter: As

de (a):

= cd2Sd

fbdM211dx (6) (raiz eq. 2o grau)

em (b): ydcds f/fxbA = (7) ( )bhf/f035,0%;15,0mximoAA ydcdmn,ss = (8) B - Verificao do momento fletor resistente Dados: b, d, As < As,lim, fcd, fyd Obter: MRd de (b): )fb/(fAx cdyds = (9) em (a): )x5,0d(fxbM cdRd = (10)

Armadura dupla (necessidade de armadura longitudinal nas zonas tracionada e comprimida da seo) Equaes de equilbrio e de compatibilidade Problemas propostos = 0,85; = 0,8 (a) MMM lim,dRd += (b) )dd(AM sds = (c) sdsydlim,syds AfAfA += (d)

limlim

s

x5,3

dx=

(e) )f;E(mnimo ydsssd =

A - Dimensionamento de As e As' (MRd = MSd) Dados: MSd > Md,lim, b, d, d', fcd, fyd Obter: As; As' de (a): lim,dSd MMM = (11); Md,lim ver (2) em (b):

)dd(MM

Asd

lim,dSds

= (12) onde: )f;E(mnimo ydsssd = (13) com limlims x/)dx(5,3 = (14) de (c)/fyd: ydsdslim,ss f/AAA += (15); As,lim ver (3)

bh%4AAA mx,sss =+ (16) B - Verificao do momento fletor resistente Dados: b, d, As > As,lim, As', fcd, fyd Obter: MRd de (a): MMM lim,dRd += (17); Md,lim ver (2) de (b): )dd(AM sds = (18); 'sd ver (13)

Tabela 2 - Armadura longitudinal mnima (As,mn) e armadura longitudinal limite (As,lim) fck MPa 20 25 30 35 40 45 50

As,mn/(bh); fyk = 500 MPa (8) 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% 0,230% 0,259% 0,288% As,lim/(bd); fyk = 500 MPa (3) 1,404% 1,755% 2,106% 2,457% 2,808% 3,159% 3,510%

Tabela 3 - Profundidade limite da linha neutra(xlim) Disposio da armadura longitudinal na viga ao fyd MPa = fyk/1,15 yd (5) x34/d (4) dag mm

CA-25 217,39 0,1035% 0,7717 b0 9,5 CA-50 434,78 0,2070% 0,6283 b1 19 CA-60 521,74 0,2484% 0,5848

b2 25 Armadura de pele (h > 60 cm) As,pele = 0,10%bh (19) (em cada face lateral e com espaamento < 20 cm) Elaborado por Fernando Musso Junior

x

MRd

x

F = Asfyd

C = bxfcdz = d-0,5x

fcd

h d

b

As l. neutra

xlim

d'

d

b

As l. neutra

MRd

Asfyd

sdsA =

sdsA

sdsA

Md-d

As,limfyd

Md,lim

xlim +

fcd fcd As

xlim = x34

c = 3,5

s = yd

d

d'

s'

av > mx.(20 mm; ; 0,5dag) ah > mx.(20 mm; ; 1,2dag) yo < 10%h

ah

av

s tan = Es 10

s

yd = fyd/Es

fyd

-3,5 -yd

-fyd

- ao

10 s

-3,5 yd c 04 3

2 x 34

A

B

Md dhAs'

As

b

linha neutra

simplificado

x x

parablico

fcd - concreto domnios de deformaoseo

d'

s'fcd 2 e 3 ruptura dctil (s > yd) 4 ruptura frgil (s < yd)

xlim = xduc

xlim = x34

c = 3,5

s = yd

d


DIMENSIONAMENTO MOMENTO FLETOR

ah mximo(2 cm; ; 1,2dag) espaamento livre mnimo horizontal entre barras


av mximo(2 cm; ; 0,5dag) espaamento livre mnimo vertical entre barras da armadura longitudinal


Ac bh rea da seo transversal


As rea da seo da armadura longitudinal tracionada h altura da seo transversal As rea da seo da armadura longitudinal comprimida Md 1,4(MG + MQ)

momento fletor solicitante de clculo As,mn rea da seo mnima da armadura longitudinal

tracionada Md,lim momento fletor resistente de clculo

mximo com armadura simples As,lim rea da seo da armadura tracionada

correspondente a Md,lim MG momento fletor da ao permanente G

b largura da seo transversal MQ momento fletor da ao varivel Q dag dimetro do agregado grado (b1=19mm;b2=25mm) x profundidade da linha neutra no estdio 3 d altura til da seo transversal

distncia do centride da armadura tracionada borda comprimida da seo transversal

xlim profundidade mxima da linha neutra para ruptura dctil da seo (ruptura com aviso)

d distncia do centride da armadura comprimida borda comprimida da seo transversal

s encurtamento da armadura comprimida dlim altura til mnima da seo com armadura simples yd fyd/Es - deformao de escoamento do ao Es 210000 MPa - mdulo de elasticidade do ao dimetro da barra da armadura longitudinal fcd fck/1,4

resistncia de clculo do concreto compresso sd tenso de compresso na armadura

comprimida A Momento fletor resistente de clculo mximo com armadura simples (dados b e d, obter Md,lim e As,lim)

fck < 35 MPa > 35 MPa xlim 0,5d 0,4d A1

Md,lim cd2fbd272,0 cd

2fbd22848,0 A2

As,lim ydcd f/bdf34,0 ydcd f/bdf272,0 A3

B Dimensionamento da altura til mnima da seo com armadura simples (dados Md e b, obter dlim) fck < 35 MPa > 35 MPa

dlim cd

d

bf272,0M

cd

d

bf22848,0M B1

C - Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Md, b e d, obter As e As) Armadura Simples (Md < Md,lim; x < xlim)

=

cd2

d

fbd425,0M

11d25,1x C1

ydcds f/bxf68,0A = C2 ccydcdmn,s A%15,0A)f/f(035,0A = C3

fck MPa 20 25 30 35 40 As,mn/Ac 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% 0,230% obs.: fyk = 500 MPa (ao CA-50)

Armadura Dupla (Md > Md,lim; x = xlim)

)'dd(fMM

AAyd

lim,ddlim,ss

+= C4

)'dd('MM

'Ads

lim,dds

= C5

ydds f' = se s > yd; 'E' ssds = se s < yd C6 fck < 35 MPa > 35 MPa s )d/'d5,0(007,0 )d/'d4,0(00875,0 C7

D - Momento fletor resistente de clculo com armadura simples (dados As < As,lim , b e d, obter Md)

cd

yds

bf68,0fA

x = D1

)x4,0d(bxf68,0M cdd = D2


DISTRIBUIO DA ARMADURA LONGITUDINAL NA SEO T1 - rea da seo transversal de Q barras longitudinais (cm2)

Dimetro da barra (mm) Q 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 1 0,20 0,31 0,50 0,79 1,23 2,01 3,14 3,80 4,91 2 0,39 0,62 1,01 1,57 2,45 4,02 6,28 7,60 9,82 3 0,59 0,94 1,51 2,36 3,68 6,03 9,42 11,40 14,73 4 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 5 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 6 1,18 1,87 3,02 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 7 1,37 2,18 3,52 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 8 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 9 1,77 2,81 4,52 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44,18 10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 11 2,16 3,43 5,53 8,64 13,50 22,12 34,56 41,81 54,00 12 2,36 3,74 6,03 9,42 14,73 24,13 37,70 45,62 58,90 13 2,55 4,05 6,53 10,21 15,95 26,14 40,84 49,42 63,81 14 2,75 4,36 7,04 11,00 17,18 28,15 43,98 53,22 68,72 15 2,95 4,68 7,54 11,78 18,41 30,16 47,12 57,02 73,63 16 3,14 4,99 8,04 12,57 19,63 32,17 50,27 60,82 78,54 17 3,34 5,30 8,55 13,35 20,86 34,18 53,41 64,62 83,45 18 3,53 5,61 9,05 14,14 22,09 36,19 56,55 68,42 88,36 19 3,73 5,92 9,55 14,92 23,32 38,20 59,69 72,23 93,27 20 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 40,21 62,83 76,03 98,17 21 4,12 6,55 10,56 16,49 25,77 42,22 65,97 79,83 103,08 22 4,32 6,86 11,06 17,28 27,00 44,23 69,12 83,63 107,99 23 4,52 7,17 11,56 18,06 28,23 46,24 72,26 87,43 112,90 24 4,71 7,48 12,06 18,85 29,45 48,25 75,40 91,23 117,81 25 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 50,27 78,54 95,03 122,72

T2 - Nmero mximo de barras por camada (estribo de 2 ramos) nb,mx = INT[1+(b-2ct-2t-)/(ah+)] ah = MXIMO(2 cm; ; 1,2dag) ct cm 2,5 dag mm 19

Largura da seo (cm) mm t mm 10 12 15 20 25 30 35 40 45 50 ah cm 5 2 2 3 5 6 8 10 11 13 15

6,3 1 2 3 5 6 8 10 11 13 14 8 1 2 3 5 6 8 9 11 13 14 8

10 1 2 3 4 6 8 9 11 13 14

2,28

5 1 2 3 4 6 8 9 11 12 14 6,3 1 2 3 4 6 7 9 10 12 14 8 1 2 3 4 6 7 9 10 12 13 10

10 1 2 3 4 6 7 9 10 12 13

2,28

5 1 2 3 4 6 7 8 10 11 13 6,3 1 2 3 4 5 7 8 10 11 13 8 1 2 3 4 5 7 8 10 11 12 12,5

10 1 2 2 4 5 7 8 9 11 12

2,28

5 1 2 2 4 5 6 8 9 10 11 6,3 1 2 2 4 5 6 7 9 10 11 8 1 1 2 4 5 6 7 9 10 11 16

10 1 1 2 3 5 6 7 9 10 11

2,28

5 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 6,3 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 8 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 20

10 1 1 2 3 4 5 7 8 9 10

2,28

5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6,3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25

10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2,50

obs.: t o dimetro da armadura transversal (estribos) ct o cobrimento de concreto da armadura transversal T3 - Nmero mximo de camadas

nc,mx = INT[1+(2x10%h)/(av+)] av = MXIMO(2 cm; ; 0,5dag) dag mm 19 Altura da seo (cm) mm 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100 av cm

8 3 3 3 4 4 4 5 6 6 7 8 2,0 10 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 7 2,0

12,5 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 2,0 16 2 2 3 3 3 4 4 4 5 6 6 2,0 20 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 6 2,0 25 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 2,5


TABELA DE DIMENSIONAMENTO MOMENTO FLETOR DE SEO 20 x 60 cm; fck = 25 MPa; AO CA-50



TABELA Md-As DE DIMENSIONAMENTO DE VIGA MOMENTO FLETOR



PARMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR



ESTADO LIMITE LTIMO DE RESISTNCIA MOMENTO FLETOR (ELU-M) SEO T Armadura Simples (MSd < Md,lim) Profundidade limite da linha neutra (xlim) e Momento fletor limite para armad. simples (Md,lim)

Situao de clculo 2 Toda mesa e parte da alma comprimidas (MSd > MRf)

(a1) d3,5

5,3xxyd

34lim +== ; syd

yd Ef=

ou para aumentar a ductilidade da seo:

(a2) MPa35fparad4,0xMPa35fparad5,0x

cklim

cklim

>==

(b) caso hf > xlim , de (d) com x = xlim: )x5,0d(fxbM limcdlimflim,d = caso hf < xlim , de (f) = (h) + (j) com x = xlim: +=+= )h5,0d(fh)bb(MMM fcdfwfwalim,d )x5,0d(fxb limcdlimw +

(f) waSd MMM += (g) was AAA +=

Momento fletor resistente da mesa (flange) de viga de seo T (MRf)

Momento fletor resistente das abas de viga de seo T (Ma) e rea de ao correspondente (Aa)

(c) )h5,0d(fhbCzM0M fcdffRf ===

(h) )h5,0d(fh)bb(CzM0M fcdfwfa === (i) cdfwfydax fh)bb(CfAF0F ====

Situao de clculo 1 Parte da mesa ou toda mesa comprimida (MSd < MRf)

Momento fletor resistente da alma de viga de seo T (Mw) e rea de ao correspondente (Aw)

(d) )x5,0d(fxbCzM0M cdfSd === (e) cdfydsx fxbCfAF0F ====

(j) )x5,0d(fxbCzM0M cdww === (k) cdwydwx fxbCfAF0F ====

Problema proposto (MSd < MRf) Problema proposto (MSd > MRf) A - Dimensionamento da armadura As Dados: MSd < MRf, bf, hf, bw, d, fcd, fyd Obter: As = 0,85; = 0,8 (1) de (c): )h5,0d(fhbM fcdffRf = (2)

de (d):

= cd2fSd

fdbM211dx (3) (raiz eq.2ograu)

em (e): ydcdfs f/fxbA = (4) ( ) cydcdmn,ss Af/f024,0%;15,0mximoAA = (5) onde: hbh)bb(A wfwfc += (6)

A - Dimensionamento da armadura As Dados: MSd > MRf, bf, hf, bw, d, fcd, fyd Obter: As = 0,85; = 0,8 (7); )h5,0d(fhbM fcdffRf = (8) de (h): )h5,0d(fh)bb(M fcdfwfa = (9) de (f): aSdw MMM = (10) de (i): ydcdfwfa f/fh)bb(A = (11)

de (j):

= cd2ww

fdbM211dx (12) (raiz eq.2ogr)

em (k): ydcdww f/fxbA = (13); de (g): was AAA += (14) ( ) cydcdmn,ss Af/f024,0%;15,0mximoAA = (15) onde: hbh)bb(A wfwfc += (16)


x

MRf

x=hf

F = Asfyd

C = bfhffcd

z = d - 0,5hf

fcd

h d

bf

As l. neutra

bw

hf x

Ma

x=hf

F = Aafyd

C = (bf - bw)hffcdz = d - 0,5hf

fcd

h d

bf - bw

Aa l. neutra

bw

hf

x

Mw

x

F = Awfyd

C = bwxfcd

z = d - 0,5x

fcd

h d

Awl. neutra

bw

hf x

MSd

x

F = Asfyd

C = bfxfcd

z = d-0,5x

fcd

h d

bf

As l. neutra

bw

hf

Ma h d

bf

As

bw

hf

(abas)

=

bf - bw

Aa

hf

+

bw

Aw

x MSd Mw

(alma)


LARGURA COLABORANTE DE VIGA DE SEO T

Definio de a para clculo da largura colaborante bf

Fonte: NBR 6118


ESTADO LIMITE LTIMO DE RESISTNCIA FORA CORTANTE (ELU-V) Comportamento elstico de viga submetida fora cortante Modelo resistente de viga de concreto armado submetida fora cortante Equaes de equilbrio Problemas propostos Compresso diagonal = 0,6(1-fck/250) fck em MPa (a) === sencosfbzCsenV0F cd2Rdy Trao transversal (b)

csw3Rdy VVV0F +== (c) = cotf

sAzV ywdswsw

= 0,6(1-fck/250) fck em MPa (1) Modelos de clculo Modelo 1: = 45 e bdf6,0VV ctd1cc == (2) Modelo 2: 30 < < 45; 2cc VV = (3) se VSd < Vc1: 1c2c VV = (4a) se VSd > Vc1: 1c

1c2Rd

Sd2Rd2c VVV

VVV

= (4b); VRd2 ver (5)

A1 - Limitao da compresso no concreto Dados: VSd, b, z = 0,9d, fcd, Verificar: VSd < VRd2 de (a): = 2senfbz5,0VV cd2RdSd (5) A2 - Dimensionamento da armadura Asw (VRd3 = VSd) Dados: VSd, b, z = 0,9d, fcd, fywd, fctd, Obter: Asw de (b): cSdsw VVV = em (c): = cotf)s/A(zVV ywdswcSd

=cotzf

s)VV(Aywd

cSdsw (6) ; Vc ver (2) ou (3)

bsff2,0AAywk

ctmmn,swsw = (7)

B - Verificao da fora cortante resistente Dados: Asw, b, z = 0,9d, fcd, fywd, fctd, Obter: VRd VRd2 ver (5) de (b): csw3Rd VVV += (7); Vc ver (2) ou (3) de (c): = cotf

sAzV ywdswsw (9)

]V;V[mnimoV 3Rd2RdRd = (10) Tabela 2 - Parmetros diversos

fck MPa 20 25 30 35 40 45 50 fcd = fck/c MPa; c = 1,4 14,29 17,86 21,43 25,00 28,57 32,14 35,71 fctm = 0,3fck2/3 MPa (11) 2,210 2,565 2,896 3,210 3,509 3,795 4,072 fctk = 0,7fctm MPa (12) 1,547 1,795 2,028 2,247 2,456 2,657 2,850

fctd = fctk/c MPa; c = 1,4 1,105 1,282 1,448 1,605 1,754 1,898 2,036 = 0,6(1 - fck/250) fck em MPa (1) 0,552 0,540 0,528 0,516 0,504 0,492 0,480

Vc1/(bd) kN/cm2; z = 0,9d 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 0,1053 0,1139 0,1221 VRd2/(bd) kN/cm2; z = 0,9d; = 30o 0,307 0,376 0,441 0,503 0,561 0,616 0,668 VRd2/(bd) kN/cm2; z = 0,9d; = 45o 0,355 0,434 0,509 0,581 0,648 0,712 0,771

Asw,mn/(bs); fywk = 500 MPa 0,088% 0,103% 0,116% 0,128% 0,140% 0,152% 0,163% Disposio da armadura transversal na viga Espaamento longitudinal mximo entre estribos Espaamento transversal mximo entre ramos


st,mx (14)

2RdSd V20,0Vse);cm80;d(mn 2RdSd V20,0Vse);cm35;d6,0(mn >

t > 5 mm < b/10

2RdSd V67,0Vse);cm30;d6,0(mn 2RdSd V67,0Vse);cm20;d3,0(mn >

sl,mx (13)

t c 2

t c

t c

trao compresso

fissura

b

h Asw d C = b(zcos)fcd

zcos

F

biela

MRd

VRd2

z = 0,9d

b

h Asw d

Vsw = (zcot/s)Aswfywd

estribo

fissura

s

zcot VRd3

Vc z = 0,9d

MRd


DIMENSIONAMENTO FORA CORTANTE COM ARMADURA TRANSVERSAL

Asw rea da seo da armadura transversal (estribos)


Asw,mn rea da seo mnima da armadura transversal h altura da seo transversal

b largura da seo transversal s 100 cm (para obter Asw em cm2/m) espaamento longitudinal entre estribos

d altura til da seo transversal distncia do centride da armadura tracionada borda comprimida da seo transversal

Vc fora cortante resistente de clculo por mecanismos complementares


Vd 1,4(VG + VQ) fora cortante solicitante de clculo


VRd2 fora cortante resistente de clculo mxima por compresso diagonal das bielas de concreto

fctd fctk/1,4 resistncia de clculo do concreto trao

VG fora cortante da ao permanente G

fctk 0,7fctm resistncia caracterstica do concreto trao

VQ fora cortante da ao varivel Q


0,6(1 fck/250); fck em MPa coeficiente de reduo da resistncia do concreto fissurado por fora cortante


ngulo das bielas comprimidas de concreto

A Fora cortante resistente de clculo mxima (dados b e d, obter VRd2; Vd < VRd2) mod simplificado ( = 45o) refinado ( = 30o-45o) VRd2 cdfbd45,0 2senfbd45,0 cd A1 fck MPa 20 25 30 35 40

0,552 0,540 0,528 0,516 0,504

bdV 2Rd 45o 0,355 0,434 0,509 0,581 0,648

bdV 2Rd 30o 0,307 0,376 0,441 0,503 0,561

obs.: VRd2/(bd) em kN/cm2 B Dimensionamento da armadura transversal (dados Vd, b e d, calcular Asw)

mod simplificado ( = 45o) refinado ( = 30o-45o)

Asw yd

Cd

df9,0s)VV(

cotdf9,0

s)VV(

yd

Cd B1

se od VV se od VV > VC oV

oV oo2Rd

d2Rd VVVVV

B2

oV 3/2ckctd bdf09,0bdf6,0 = B3

Asw,mn yk

3/2ck

yk

ctm

ffbs06,0

ffbs2,0 = B4

obs.: fck e fyk em MPa fck Mpa 20 25 30 35 40 VO/(bd) 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 0,1053 Asw,mn

bs 0,088% 0,103% 0,116% 0,128% 0,140%

obs.: VO/(bd) em kN/cm2 e fyk = 500 MPa (ao CA-50) C Espaamento longitudinal mximo entre estribos

Vd < 0,67VRd2 Vd > 0,67VRd2 sl,mx mnimo(0,6d; 30 cm) mnimo(0,3d; 20 cm) C1

D Espaamento transversal mximo entre ramos do estribo Vd < 0,2VRd2 Vd > 0,2VRd2

st,mx mnimo(d; 80 cm) mnimo(0,6d; 35 cm) D1


DIMETRO E ESPAAMENTO LONGITUDINAL DA ARMADURA TRANSVERSAL T1 - rea da seo transversal de estribos de 2 ramos (cm2/m)

Dimetro da barra (mm) Dimetro da barra (mm) s cm 5 6,3 8 10 12,5

s cm 5 6,3 8 10 12,5

7 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06 19 2,07 3,28 5,29 8,27 12,92 8 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 20 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 9 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 21 1,87 2,97 4,79 7,48 11,69

10 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 22 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 11 3,57 5,67 9,14 14,28 22,31 23 1,71 2,71 4,37 6,83 10,67 12 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 24 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 13 3,02 4,80 7,73 12,08 18,88 25 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 14 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 26 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 15 2,62 4,16 6,70 10,47 16,36 27 1,45 2,31 3,72 5,82 9,09 16 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 28 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 17 2,31 3,67 5,91 9,24 14,44 29 1,35 2,15 3,47 5,42 8,46 18 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 30 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18

T2 - rea da seo transversal de estribos de 3 ramos (cm2/m) Dimetro da barra (mm) Dimetro da barra (mm) s cm

5 6,3 8 10 12,5 s cm

5 6,3 8 10 12,5 7 8,41 13,36 21,54 33,66 52,59 19 3,10 4,92 7,94 12,40 19,38 8 7,36 11,69 18,85 29,45 46,02 20 2,95 4,68 7,54 11,78 18,41 9 6,54 10,39 16,76 26,18 40,91 21 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53

10 5,89 9,35 15,08 23,56 36,82 22 2,68 4,25 6,85 10,71 16,73 11 5,35 8,50 13,71 21,42 33,47 23 2,56 4,07 6,56 10,24 16,01 12 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 24 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 13 4,53 7,19 11,60 18,12 28,32 25 2,36 3,74 6,03 9,42 14,73 14 4,21 6,68 10,77 16,83 26,30 26 2,27 3,60 5,80 9,06 14,16 15 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 27 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 16 3,68 5,84 9,42 14,73 23,01 28 2,10 3,34 5,39 8,41 13,15 17 3,46 5,50 8,87 13,86 21,66 29 2,03 3,22 5,20 8,12 12,70 18 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 30 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27


5 6,3 8 10 12,5 s cm

5 6,3 8 10 12,5 7 11,22 17,81 28,72 44,88 70,12 19 4,13 6,56 10,58 16,53 25,84 8 9,82 15,59 25,13 39,27 61,36 20 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 9 8,73 13,85 22,34 34,91 54,54 21 3,74 5,94 9,57 14,96 23,37

10 7,85 12,47 20,11 31,42 49,09 22 3,57 5,67 9,14 14,28 22,31 11 7,14 11,34 18,28 28,56 44,62 23 3,41 5,42 8,74 13,66 21,34 12 6,54 10,39 16,76 26,18 40,91 24 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 13 6,04 9,59 15,47 24,17 37,76 25 3,14 4,99 8,04 12,57 19,63 14 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06 26 3,02 4,80 7,73 12,08 18,88 15 5,24 8,31 13,40 20,94 32,72 27 2,91 4,62 7,45 11,64 18,18 16 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 28 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 17 4,62 7,33 11,83 18,48 28,87 29 2,71 4,30 6,93 10,83 16,93 18 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 30 2,62 4,16 6,70 10,47 16,36


5 6,3 8 10 12,5 s cm

5 6,3 8 10 12,5 7 16,83 26,72 43,08 67,32 105,19 19 6,20 9,84 15,87 24,80 38,75 8 14,73 23,38 37,70 58,90 92,04 20 5,89 9,35 15,08 23,56 36,82 9 13,09 20,78 33,51 52,36 81,81 21 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06

10 11,78 18,70 30,16 47,12 73,63 22 5,35 8,50 13,71 21,42 33,47 11 10,71 17,00 27,42 42,84 66,94 23 5,12 8,13 13,11 20,49 32,01 12 9,82 15,59 25,13 39,27 61,36 24 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 13 9,06 14,39 23,20 36,25 56,64 25 4,71 7,48 12,06 18,85 29,45 14 8,41 13,36 21,54 33,66 52,59 26 4,53 7,19 11,60 18,12 28,32 15 7,85 12,47 20,11 31,42 49,09 27 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 16 7,36 11,69 18,85 29,45 46,02 28 4,21 6,68 10,77 16,83 26,30 17 6,93 11,00 17,74 27,72 43,31 29 4,06 6,45 10,40 16,25 25,39 18 6,54 10,39 16,76 26,18 40,91 30 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54


TABELA DE DIMENSIONAMENTO FORA CORTANTE DE SEO 20 x 60 cm; fck = 25 MPa; AO CA-50 MODELO SIMPLIFICADO = 45o



TABELA DE DIMENSIONAMENTO FORA CORTANTE DE SEO 20 x 60 cm; fck = 25 MPa; AO CA-50 MODELO REFINADO = 30o



TABELA Vd-Asw DE DIMENSIONAMENTO DE VIGA FORA CORTANTE - SIMPLIFICADO



TABELA Vd-Asw DE DIMENSIONAMENTO DE VIGA FORA CORTANTE - REFINADO



DISPOSIES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS NA VIGA

ah espaamento livre mnimo horizontal entre barras da armadura longitudinal

d distncia do centride da armadura tracionada borda tracionada da seo transversal

av espaamento livre mnimo vertical entre barras da armadura longitudinal


As rea da seo da armadura longitudinal tracionada


As rea da seo da armadura longitudinal comprimida


As,mn rea da seo mnima da armadura longitudinal fyd fyk/1,15 resistncia de clculo de escoamento do ao trao

As,mx rea da seo mxima da armadura longitudinal fyk resistncia caracterstica de escoamento do ao trao

As,pele rea da seo da armadura de pele h altura da seo transversal b largura da seo transversal sl,mx espaamento longitudinal mximo da armadura

transversal ct cobrimento de concreto da armadura

transversal Vd fora cortante solicitante de clculo


VRd2 fora cortante resistente de clculo mxima por compresso diagonal das bielas de concreto

dag dimetro do agregado grado dimetro da barra da armadura longitudinal dc distncia do centride da armadura tracionada

ao centro da armadura da primeira camada t dimetro da barra da armadura transversal


Disposio das armaduras longitudinal e transversal na seo

b

av > mx(20 mm; ; 0,5dag) ah > mx(20 mm; ; 1,2dag)

ct

5 mm < t < b/10

h d

dc < 10%h

d

d

As,pele > 0,10%bh (se h > 60 cm)

< d/3 < 20 cm

As

As

2 camada

dag 9,5 mm (brita 0) 19 mm (brita 1) 25 mm (brita 2)

> t

Armadura longitudinal As > As,mn

bh%15,0

bhff035,0Ayd

cdmn,s

=

As + As < As,mx As,mx = 4%bh (fora da emenda)

5t > 5 cm

t 3,5t

b 2ct Ao CA-50

2Rdd V67,0Vse);cm30;d6,0(mn 2Rdd V67,0Vse);cm20;d3,0(mn >

sl,mx

Armadura transversal Asw > Asw,mn

bsff

2,0Ayk

ctmmn,sw =


ANCORAGEM POR ADERNCIA DAS BARRAS DA ARMADURA LONGITUDINAL Zona de boa e m aderncia para as armaduras

Resistncia de aderncia de clculo - fbd (fyk = 500 MPa; < 32 mm e c = 1,4) )MPa()2(f2363,0f);1(f3375,0f 3/2ckm,bd

3/2ckboa,bd ==

Concreto C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 zona boa 2,49 2,89 3,26 3,61 3,95 4,27 4,58 zona m 1,74 2,02 2,28 2,53 2,76 2,99 3,21

Comprimento de ancoragem bsico - lb,bs (fyk = 500 MPa, < 32 mm, s = 1,15 e c = 1,4)

Concreto C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 zona boa 43,7 37,7 33,4 30,1 27,5 25,5 23,7 zona m 62,4 53,8 47,7 43,0 39,3 36,4 33,9

Deslocamento lateral do diagrama de momentos fletores - al

Comprimento das barras da armadura longitudinal e ancoragem da armadura inferior nos apoios

(a) em (b): T1z = M1 + 0,5Vzcot ou T1z = M1 + V.al = M1 + M onde: al = 0,5zcot e M = V.al Concluso: o momento fletor na seo 1 (T1z) igual a M1 acrescido de V.al o que equivalente a uma translao lateral al do diagrama de momentos fletores (ver fig. abaixo)

C

z T1

z

zcot M2

V

M2 = T1z + 0,5Vzcot (b)

o V V

zcot

M2

V

M2 = M1 + Vzcot (a)

o

M1 1 2 1

h h 30

h 30

armaduras

h < 30 cm 30 < h < 60 cm h > 60 cm zona m

zona boa

)3(f4f

lolog4

Amas

fAl

bd

ydbs,b

2

s

ydsbs,b

==

=fbd

lb,bs yds fA

lb,nec > lb,mn

apoio externo

B B 10 10

M al

A A lb,bs lb,bs

M al

B B

A A lb,bs lb,bs

10 10

Md

Md deslocado de al

deslocamento lateral do diagrama de momentos

al = 0,5zcot; z = 0,9d (4) = 30 = 45 al 0,78d 0,45d

= inclinao da biela

>10

apoio interno

As,int > As,vo/3 se lMintl As,vo/4 se lMintl>Mvo/2

Mv

o

Min

t

As,vo

As,ext > As,vo/3

lb,nec= 1lb,bsext,syd

d

Af2cotV

1,0(ancoragem reta) 0,7(ancor. com gancho) lb,mn = mx(0,3lb,bs; 10; 10cm)

5 se < 20mm 8 se > 20mm

armadura de montagem

> 8 p gancho

ao CA-50

tan = V = M/al

M1

M1

1

armadura positiva

armadura negativa

p


ESTADO LIMITE LTIMO DE RESISTNCIA MOMENTO TOROR (ELU-T) Modelo resistente de viga de concreto armado submetida momento toror Equaes de equilbrio Problemas propostos Compresso diagonal = 0,5(1-fck/250) fck em MPa

(a) === sencosfytCsenyA2T0F cdeeee2Rdy (b) yde

e

sx fyu

AFcosC0F === (c) === tan)cosC(CsenyA2T0F ee4Rdy Trao transversal

(d) ywdsw

ee

e

3Rdy fAs

cotyyA2

T0F ==

= 0,5(1-fck/250) fck em MPa (1) Seo vazada equivalente de espessura te te = mnimo[mximo(2c1; A/u); b/2; h/2] (2) c1 = ct + t + /2 (3) Ae = (b - te)(h - te) (4) ue = 2[(b - te) + (h - te)] (5) Modelos de clculo Modelo 1: = 45 (6) Modelo 2: 30 < < 45 (7) A1 - Limitao da compresso no concreto Dados: Ae, te, fcd, Verificar: TSd < TRd2 de (a): = 2senftATT cdee2RdSd (8) A2 - Dimensionamento da armadura As (TRd4 = TSd) Dados: TSd, Ae, ue, fyd, Obter: As (em ue) (b) em (c): = tanf

uA

A2T

yde

s

e

Sd

= tanfA2uTA

yde

eSds (9)

A3 - Dimensionamento da armadura Asw (TRd3 = TSd) Dados: TSd, Ae, s, fywd, Obter: Asw (por face) de (d): = cotf

sA

A2T

ywdsw

e

Sd

= cotfA2sTA

ywde

Sdsw (10)

B - Verificao do momento toror resistente Dados: As Asw, te, fcd, fyd, fywd, Obter: TRd de (a): = 2senftAT cdee2Rd (11) de (d): = cotf

sAA2T ywdswe3Rd (12)

(b) em (c): = tanfuAA2T yd

e

se4Rd (13)

]T;T;T[mnimoT 4Rd3Rd2RdRd = (14) Momento toror associado fora cortante e momento fletor a) a capacidade resistente da seo submetida

momento toror e fora cortante limitada capacidade de compresso das bielas de concreto

1VV

TT

2Rd

Sd

2Rd

Sd + (15) = 2senftAT cdee2Rd (16) = 2senfbd45,0V cd2Rd (17)

b) a armadura transversal do momento toror deve ser acrescentada armadura transversal da fora cortante;

c) na zona tracionada pelo momento fletor, a armadura longitudinal do momento toror deve ser acrescentada armadura longitudinal do momento fletor

Disposio das armaduras na viga Espaamento longitudinal mximo entre estribos Distribuio da armadura longitudinal e dimetros


fissura

ee

2Rd yA2

T

ee

4Rd yA2

T C = te(yecos)fcd

yecos

F/2 = (As/ue)yefyd/2

biela

F/2 b

h Asw

d

Ae, ue te

ye

A, u

TRd

ee

3Rd yA2

T

b

h Asw

d

Ae, ue te

estribo

fissura

s

yecot

(yecot/s)Aswfywd

ye

A, u

TRd

frmula de Bredt tenso tangencial te espessura da parede

torodefluxocte)t( e == ee2ee1 x)t(V;y)t(V ==

eeee2e1 yxA;yVxVT =+= = ee A)t(2T

ee A2

T)t( =

seo real

T

te

V2

T ye

xe

V1

V2

V1

seo de clculo

T

T

fissura armadura transversal

biela de concreto

arm. longitudinal

t

t

c

c

< 35 cm

t > 5 mm < b/10

45o

> t (b < h)

sl,mx 67,0

VV

TTse);cm30;d6,0(mn

2Rd

Sd

2Rd

Sd +

67,0VV

TTse);cm20;d3,0(mn

2Rd

Sd

2Rd

Sd >+


DIMENSIONAMENTO MOMENTO TOROR

Ac bh rea da seo transversal

h altura da seo transversal

Ae xeye rea limitada pela linha mdia da seo vazada

s 100 cm (para obter Asw em cm2/m) espaamento longitudinal entre estribos

As rea da seo da armadura longitudinal tracionada te mximo(Ac/u; 2c1); < b/2; < h/2 espessura da parede da seo vazada

As,mn rea da seo mnima da armadura longitudinal no permetro ue

Td 1,4(TG + TQ) momento toror solicitante de clculo

Asw rea da seo da armadura transversal (estribos) TG momento toror da ao permanente G Asw,mn rea da seo mnima da armadura transversal TQ momento toror da ao varivel Q

b largura da seo transversal TRd2 momento toror resistente de clculo mximo por compresso diagonal das bielas de concreto

c1 cm52/c tt ++ distncia entre a face exterior da seo e o eixo da barra de canto da armadura longitudinal

u 2(b + h) permetro da seo transversal

ct cobrimento do estribo ue 2(xe + ye) permetro da rea Ae


xe b te largura da rea Ae


ye h te altura da rea Ae


dimetro da armadura longitudinal fctm 0,3fck2/3 (fck em Mpa)

resistncia mdia do concreto trao t dimetro da armadura transversal


0,5(1 fck/250); fck em MPa coeficiente de reduo da resistncia do concreto fissurado por momento toror


ngulo das bielas comprimidas de concreto A Momento toror resistente de clculo mximo (dados b e h, obter TRd2; Td < TRd2) mod simplificado ( = 45o) refinado ( = 30o-45o) TRd2 cdee ftA 2senftA cdee A1 fck Mpa 20 25 30 35 40

0,460 0,450 0,440 0,430 0,420

ee

2Rd

tAT 45o 0,657 0,804 0,943 1,075 1,200

ee

2Rd

tAT 30o 0,569 0,696 0,817 0,931 1,039

obs.: TRd2/(Aete) em kN/cm2 B Dimensionamento da armadura transversal (dados Td, b e h, calcular Asw por face) mod simplificado ( = 45o) refinado ( = 30o-45o) Asw

yde

d

fA2sT cotfA2

sT

yde

d B1

Asw,mn yk

3/2ck

eyk

ctme f

fst06,0

ff

st2,0 = (fck em MPa) B2

C Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Td, b e h, calcular As total no permetro ue) mod simplificado ( = 45o) refinado ( = 30o-45o) As

yde

ed

fA2uT tanfA2

uT

yde

ed C1

As,mn yk

3/2ck

eeyk

ctmee f

fut06,0

ff

ut2,0 = (fck em MPa) C2

D Espaamento longitudinal mximo entre estribos Td < 0,67TRd2 Td > 0,67TRd2

sl,mx mnimo(0,6d; 30 cm) mnimo(0,3d; 20 cm) D1


DIMENSIONAMENTO MOMENTO TOROR COM FORA CORTANTE E MOMENTO FLETOR A Verificao da compresso diagonal do concreto (dados Vd, Td, b e h, verificar se Vd/VRd2 + Td/TRd2 < 1) mod simplificado ( = 45o) refinado ( = 30o-45o) VRd2 cdfbd45,0 2senfbd45,0 cd A1 fck MPa 20 25 30 35 40

0,552 0,540 0,528 0,516 0,504 mod simplificado ( = 45o) refinado ( = 30o-45o) TRd2 cdee ftA 2senftA cdee A2 fck Mpa 20 25 30 35 40

0,460 0,450 0,440 0,430 0,420 Superposio de Fora Cortante e Momento Toror

1TT

VV

2Rd

d

2Rd

d + A3

B Dimensionamento da armadura transversal (dados Vd, Td, b, d e h, calcular Asw total)

mod simplificado ( = 45o) refinado ( = 30o-45o)

Asw,V yd

cd

df9,0s)VV(

cotdf9,0

s)VV(

yd

cd B1

se od VV se od VV > VC oV

oV oo2Rd

d2Rd VVVVV

B2

oV 3/2ckctd bdf09,0bdf6,0 = B3 mod simplificado ( = 45o) refinado ( = 30o-45o) Asw,T

por face yde

d

fA2sT cotfA2

sT

yde

d B4

Superposio de Armaduras Transversais T,swV,swtotal,sw A2AA += B5

C Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Md, Td, b, d e h, calcular As em cada face da seo) fck < 35 Mpa > 35 Mpa xlim 0,5d 0,4d C1

Md,lim cd2fbd272,0 cd

2fbd22848,0 C2

Armadura Simples (Md < Md,lim; x < xlim)

=

cd2

d

fbd425,0M

11d25,1x C3

yd

cdM,s f

fbx68,0A = (face tracionada) C4

mod simplificado ( = 45o) refinado ( = 30o-45o) As,T em eu yde

ed

fA2uT tanfA2

uT

yde

ed C5

Superposio de Armaduras Longitudinais

e

eT,sMporcomprimidaface,s u

xAA = C6

e

eT,slateralfacecada,s u

yAA = C7

e

eT,sM,sMportracionadaface,s u

xAAA += C8

D Espaamento longitudinal mximo entre estribos

67,0TT

VV

2Rd

d

2Rd

d + 67,0TT

VV

2Rd

d

2Rd

d >+

sl,mx mnimo(0,6d; 30 cm) mnimo(0,3d; 20 cm) D1


DISTRIBUIO DAS ARMADURAS LONGITUDINAL E TRANSVERSAL NA SEO T1 - rea da seo transversal de Q barras longitudinais (cm2)

Q Dimetro da barra (mm) 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 2 0,39 0,62 1,01 1,57 2,45 4,02 6,28 7,60 9,82 3 0,59 0,94 1,51 2,36 3,68 6,03 9,42 11,40 14,73 4 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 5 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 6 1,18 1,87 3,02 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 7 1,37 2,18 3,52 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 8 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 9 1,77 2,81 4,52 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44,18

10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 11 2,16 3,43 5,53 8,64 13,50 22,12 34,56 41,81 54,00 12 2,36 3,74 6,03 9,42 14,73 24,13 37,70 45,62 58,90 13 2,55 4,05 6,53 10,21 15,95 26,14 40,84 49,42 63,81 14 2,75 4,36 7,04 11,00 17,18 28,15 43,98 53,22 68,72 15 2,95 4,68 7,54 11,78 18,41 30,16 47,12 57,02 73,63 16 3,14 4,99 8,04 12,57 19,63 32,17 50,27 60,82 78,54 17 3,34 5,30 8,55 13,35 20,86 34,18 53,41 64,62 83,45 18 3,53 5,61 9,05 14,14 22,09 36,19 56,55 68,42 88,36 19 3,73 5,92 9,55 14,92 23,32 38,20 59,69 72,23 93,27 20 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 40,21 62,83 76,03 98,17 21 4,12 6,55 10,56 16,49 25,77 42,22 65,97 79,83 103,08 22 4,32 6,86 11,06 17,28 27,00 44,23 69,12 83,63 107,99 23 4,52 7,17 11,56 18,06 28,23 46,24 72,26 87,43 112,90 24 4,71 7,48 12,06 18,85 29,45 48,25 75,40 91,23 117,81 25 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 50,27 78,54 95,03 122,72 26 5,11 8,10 13,07 20,42 31,91 52,28 81,68 98,83 127,63 27 5,30 8,42 13,57 21,21 33,13 54,29 84,82 102,64 132,54 28 5,50 8,73 14,07 21,99 34,36 56,30 87,96 106,44 137,44 29 5,69 9,04 14,58 22,78 35,59 58,31 91,11 110,24 142,35 30 5,89 9,35 15,08 23,56 36,82 60,32 94,25 114,04 147,26 31 6,09 9,66 15,58 24,35 38,04 62,33 97,39 117,84 152,17 32 6,28 9,98 16,08 25,13 39,27 64,34 100,53 121,64 157,08

T2 - rea da seo transversal de estribos de 1 ramo (cm2/m) Dimetro da barra (mm) Dimetro da barra (mm) s cm

5 6,3 8 10 12,5 s cm

5 6,3 8 10 12,5 7 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 19 1,03 1,64 2,65 4,13 6,46 8 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 20 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 9 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 21 0,93 1,48 2,39 3,74 5,84

10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 22 0,89 1,42 2,28 3,57 5,58 11 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 23 0,85 1,36 2,19 3,41 5,34 12 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 24 0,82 1,30 2,09 3,27 5,11 13 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 25 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 14 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 26 0,76 1,20 1,93 3,02 4,72 15 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18 27 0,73 1,15 1,86 2,91 4,55 16 1,23 1,95 3,14 4,91 7,67 28 0,70 1,11 1,80 2,80 4,38 17 1,15 1,83 2,96 4,62 7,22 29 0,68 1,07 1,73 2,71 4,23 18 1,09 1,73 2,79 4,36 6,82 30 0,65 1,04 1,68 2,62 4,09


5 6,3 8 10 12,5 s cm

5 6,3 8 10 12,5 7 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06 19 2,07 3,28 5,29 8,27 12,92 8 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 20 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 9 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 21 1,87 2,97 4,79 7,48 11,69

10 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 22 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 11 3,57 5,67 9,14 14,28 22,31 23 1,71 2,71 4,37 6,83 10,67 12 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 24 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 13 3,02 4,80 7,73 12,08 18,88 25 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 14 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 26 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 15 2,62 4,16 6,70 10,47 16,36 27 1,45 2,31 3,72 5,82 9,09 16 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 28 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 17 2,31 3,67 5,91 9,24 14,44 29 1,35 2,15 3,47 5,42 8,46 18 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 30 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18


TABELA DE DIMENSIONAMENTO MOMENTO TOROR DE SEO 20 x 60 cm; fck = 25 MPa; AO CA-50 MODELO SIMPLIFICADO = 45o



TABELA DE DIMENSIONAMENTO MOMENTO TOROR DE SEO 20 x 60 cm; fck = 25 MPa; AO CA-50 MODELO REFINADO = 30o



TABELA Td-Asw-Asl DE DIMENSIONAMENTO DE VIGA MOMENTO TOROR - SIMPLIFICADO



TABELA Td-Asw-Asl DE DIMENSIONAMENTO DE VIGA MOMENTO TOROR - REFINADO



ESTADO LIMITE DE SERVIO DE DEFORMAO (ELS-DEF)

Princpio dos trabalhos virtuais

= x dxEI )x(M)x(M (1) Mdulo de elasticidade secante do concreto Ecs

ckcs f4760E = MPa (2a) Mdulo de elasticidade do ao Es MPa210000Es = (2b)

Momento de inrcia efetivo Ie

+

= c23

rc

3r

e I;IMM

1IMM

mnI (3)

Ic momento de inrcia da seo bruta I2 momento de inrcia da seo fissurada Mr momento de fissurao da seo M momento fletor que atua na seo para combinao de ao considerada

Momento de inrcia efetivo mdio Iem Vo Critrio nec(1) Iem(2)(3)

vo 1 ou 2 (Ie)v 1 0,85(Ie)v+0,15(Ie)e1 contnuo ponderado 2 0,70(Ie)v+ 0,15[(Ie)e1+(Ie)e2]

balano apoio 1 (Ie)e1 (1) nmero de extremos contnuos (2) v - vo; e1 - extremo contnuo 1; e2 - extremo contnuo 2 (3) considerao do momento de inrcia constante na viga

Componentes das flechas ime,QP flecha imediata da ao quase permanente (G+2Q) dif,QP flecha diferida da fluncia e retrao = fime,QP Q flecha da ao varivel (Q) lim flecha limite cf contraflecha

Tabela 1 - Verificao da segurana < lim Razo Flecha lim(2)

efeito visual desagradvel

Total(1) ime,QP+ dif,QP 250

L

vibrao indesejvel

Ao Varivel Q 350

L

dano alvenaria

Aps Alvenaria dif,QP

cm1;500Lmn

(1) flecha total excessiva pode ser parcialmente compensada por contraflecha < L / 350 (2) no caso de balano, L o dobro do balano

Tabela 2 - Parmetros para flecha imediata e flecha diferida Componente

da flecha Combinao

de ao Mom fletor Inrcia

G permanente (G) MG Ie,G R rara (G+Q) MR Ie,R Q R - G

ime

ime,QP quase permanente (G+2Q) MQP Ie,QP

Tabela 3 - Parcela quase permanente da ao varivel (2Q)

Q = Carga acidental de edifcios 2 edifcio residencial 0,3 edifcio comercial, de escritrios 0,4 biblioteca, oficina, garagem 0,6 ponte rodoviria, passarela 0,3

Fator f (fluncia e retrao do concreto)

'501)t()t( o

f += (4);

bd'A

' s= (5); =

i

oiio

P

tPt (6)

32,0t t)996,0(68,0)70t( = ; 2)70t( => ; t (meses) (7) Tabela 4 Parmetro (t)

t meses 1 3 6 12 > 70 (t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00

t tempo, em meses, quando se deseja calcular a flecha toi idade do concreto, em meses, ao se aplicar a carga Pi As rea comprimida de ao no vo; no apoio se balano

Utilizao de coeficientes kime Seja ela a flecha elstica obtida com Ecs e Ic (seo bruta) logo:

QP,ecimeelaimeQP,ime I/Ik;k == ; Ie,QP calculado com MQP (8) QP,imefQP,dif = (9)

Momento de fissurao Mr o valor do momento fletor que produz na

seo bruta (seco de concreto desprezando armadura) uma tenso igual

a fctf na fibra extrema tracionada ctfcr fWM = (10)

Wc mdulo resistente da seo bruta em relao a fibra extrema tracionada tc y/I= (11) Ic mom. de inrcia da seo bruta yt distncia do centride fibra extrema tracionada fctf resistncia do concreto trao na

flexo (mdulo de ruptura) (MPa) )Rseo(f45,0 3/2ck= (12a) )Tseo(f36,0 3/2ck= (12b)

Tabela 5 Parmetros diversos fck MPa 20 25 30 35 40 45 50

Ecs MPa (2) 21287 23800 26072 28161 30105 31931 33658 n = Es/Ecs (13) 9,865 8,824 8,055 7,457 6,976 6,577 6,239

fctf MPa (seo R) (12a) 3,32 3,85 4,34 4,81 5,26 5,69 6,11 Elaborado por Fernando Musso Junior

ime,QP

lim

cf

dif,QP


VERIFICAO DE FLECHAS

As rea da seo da armadura longitudinal tracionada Ie momento de inrcia efetivo da seo As rea da seo da armadura longitudinal comprimida L vo entre apoios b largura da seo transversal MQP MG + 2MQ (momento no vo)

momento fletor quase permanente da ao quase permanente pQP

bf largura da mesa da seo T MG momento fletor da ao permanente G bw largura da nervura da seo T MQ momento fletor da ao varivel Q d altura til da seo transversal

distncia do centride da armadura tracionada borda comprimida da seo transversal

Mr Wcfctf momento fletor de fissurao


n Es/Ecs razo entre os mdulos de elasticidade do ao e do concreto

Ecs 4760fck1/2 MPa mdulo de elasticidade secante do concreto

pQP G + 2Q ao quase permanente

Es 210000 MPa - mdulo de elasticidade do ao x2 profundidade da linha neutra no estdio 2 fck resistncia caracterstica do concreto compresso

aos 28 dias xc profundidade da linha neutra da seo bruta

distncia do centride da seo bruta fibra extrema comprimida

fctf fctm resistncia do concreto trao na flexo

Wc Ic/yt (bh2/6 para seo retangular) mdulo resistente da seo bruta


yt h - xc distncia do centride da seo bruta fibra extrema tracionada

h altura da seo transversal

1,2 para seo T ou duplo T 1,5 para seo retangular

hf altura da mesa da seo T

f coeficiente para levar em conta a fluncia do concreto no clculo da flecha diferida

I2 momento de inrcia da seo no estdio 2 2 0,3 para edifcios residenciais 0,4 para edifcios comerciais, de escritrios, estaes e edifcios pblicos 0,6 para bibliotecas, oficinas e garagens fator de reduo da ao varivel para combinao de ao quase permanente

Ic momento de inrcia da seo bruta As/(bd) taxa geomtrica de armadura longitudinal comprimida

A Flecha elstica (flecha obtida com p = pQP, E = Ecs e I = Ic) elsticaf A1

B Flecha imediata (flecha do elemento ao entrar em carga)

e

celsticaimediata I

Iff = B1

seo fissurada (MQP > Mr)

2

3

QP

rc

3

QP

re IM

M1I

MM

I

+

= (BRANSON) B2

seo no fissurada (MQP < Mr) ce II = B3

C Flecha diferida (flecha do efeito da fluncia do concreto) imediatafdiferida ff = C1

'501)t()t( o

f += C2

32,0t t)996,0(68,0)70t( = ; 2)70t( => ; t (meses) C3 t meses 1 3 6 12 > 70

(t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00 D Flecha total

itelimdiferidaimediatatotal ffff += D1 E Flecha limite (limitar efeito visual desagradvel)

250/Lf itelim = (L = 2Lbal no caso de balano) E1


SEO EQUIVALENTE DE CONCRETO (SEO HOMOGENEIZADA OU SEO TRANSFORMADA)

No estado limite de servio de deformaes (ELS-DEF), tanto o concreto quanto o ao tem comportamento x linear. Assim, a rea [A+(n-1)As] uma rea fictcia s de concreto (seo equivalente), que quando submetida a tenso c resulta na mesma carga P que atua na seo real composta de concreto e ao

MOMENTO DE INRCIA DA SEO BRUTA IC E MOMENTO DE INRCIA DA SEO FISSURADA I2

Seo real Seo bruta de concreto Seo fissurada (estdio 2 puro)

Arm

adur

a S

impl

es

)a2/(]aa4aa[x 131

2222 += (3)

2/ba1 = s2 nAa = dnAa s3 =

22s

32

2 )xd(nA3bx

I += (4)

Arm

adur

a D

upla

2hxc = (1)

12bhI

3

c = (2)

)a2/(]aa4aa[x 131

2222 += (5)

2/ba1 = ss2 A)1n(nAa += dA)1n(dnAa ss3 =

22s

22s

32

2 )dx(A)1n()xd(nA3bx

I ++=(6)

Arm

adur

a S

impl

es

f131

2222 h)a2/(]aa4aa[x >+= (9)

2/ba w1 = sfwf2 nAh)bb(a +=

dnA2/h)bb(a s2

fwf3 =

22s

2f

2fwf

3fwf

32w

2

)xd(nA2h

xh)bb(

12h)bb(

3xb

I

+

+

++=

(10)

Arm

adur

a D

upla

++=

fwfw

2fwf

2w

c h)bb(hbh)bb(hb

21x (7)

2f

cfwf

3fwf

2

cw

3w

c

2hxh)bb(

12h)bb(

x2hhb

12hbI

+

++

+

+=

(8)

f131

2222 h)a2/(]aa4aa[x >+= (11)

2/ba w1 = ssfwf2 A)1n(nAh)bb(a ++=

dA)1n(dnA2/h)bb(a ss2

fwf3 +=

++

+

++=

22s

2f

2fwf

3fwf

32w

2

)xd(nA2h

xh)bb(

12h)bb(

3xb

I

22s )dx(A)1n( +

(12) Obs.: +==== )AI(inrciademomentoI;A/Aixneutralinhadadeprofundidax 2iiiii

d h As

b

d h As

As

b

d

bw

As

bf

hf d h

h

b

xc

LN

bw

bf

hf

h

xc

LN

bw

As

bf

hf d d

h As

bw

nAs

bf hf

d d

x2

(n-1)As

LN

dnAs

b

x2 LN

bw

nAs

bf

hf d x2

LN

d

(n-1)As

nAs

b

dx2

LN

cs

scc

cs

ss

cs

cc

s

ss E

Enonden

EE

EE======

]A)1n(A[)nAA(AnAAAP scsccscccsscc +=+=+=+=

nAs

P As

Ac A

(n-1)As

P s = c

s Es

1 s ao

c Ecs

1 c concreto

Ac

A real equivalente


VIGA COM LARGURA = 20 cm e fck = 25 MPa - BIAPOIADA



VIGA COM LARGURA = 20 cm e fck = 25 MPa APOIADA E ENGASTADA



VIGA COM LARGURA = 20 cm e fck = 25 MPa - BIENGASTADA



FLECHAS BSICAS

Fonte: CEB Design Manual on Cracking and Deformations Lausanne Suia 1985 ANEXO 4.2.2


FLECHAS BSICAS (Continuao)



CARACTERSTICAS DE SEO T


guia de dimensionamento de estruturas de concreto - viga

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