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IPAC 2020 UNAH Multipolos Eléctricos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURASFACULTAD DE CIENCIASESCUELA DE FÍSICA

Guía para práctica virtual de Multipolos Eléctricos

1. IntroducciónEn ocasiones, el estudio de una distribución de cargas puede ser complicado debido a su posición en el espacio,

a su forma, densidad de cargas, entre otros factores. Sin embargo, si la los puntos de campo de interés son suficien-temente lejanos a dicha distribución, este estudio puede ser simplificado considerando la distribución de cargas realcomo una superposición de distintas configuraciones de cargas más sencillas. Esta simplificación toma la forma deuna aproximación del potencial escalar, transformándolo en una serie de potencias donde cada término representala contribución al potencial de estas configuraciones simplificadas. A esta serie de potencias se le llama la expansiónmultipolar o expansión en multipolos del potencial escalar.

2. ObjetivosFamiliarizar al estudiante con la expansión multipolar del potencial escalar y su significado.

Observar las contribuciones al potencial escalar de los primeros tres términmos (monopolo, dipolo y cuadri-polo) y compararlas con el potencial exacto de la distribución.

Obtener una aproximación del campo eléctrico utilizando la aproximación multipolar del potencial escalar.

3. Marco TeóricoCuando una distribución de carga se observa a largas distancias, no es tan fácil observar a detalle la distribución

de cargas, de manera que esta se observaría -aproximadamente- como una carga puntual. Por tanto, bajo estascircunstancias, el potencial de la distribución de cargas se podría aproximar como el de una carga puntual.

De esta idea, se esperaría que se pueda aproximar el comportamiento de una distribución de cargas (en estecaso, más específicamente el potencial escalar de esta) como el de una distribución de cargas más sencilla. Sin em-bargo, si la distancia no es suficientemente grande, la aproximación como una carga puntual no necesariamentesea adecuada, auque esto no elimine la posibilidad de aproximarlo como una distribución de cargas más sencillas.En este caso, se realiza la llamada expansión multipolar del potencial, donde se aproxima el potencial como una seriede potencia en función de la posición de punto de campo.

La expansión multipolar del potencial escalar para una distribución de cargas puntuales está dada por la ecua-ción:

φ(r) =1

4πε0

∞∑k=0

(1

rk+1

[N∑i=1

qi rki Pk(cos θi)

])(1)

En esta ecuación, r representa la magnitud del vector de posición del punto de campo, ri la posición de la cargapuntual qi, θi el ángulo que se forma entre el vector r y ri y Pl es el Polinomio de Legendre de orden l y la suma-toria interna se realiza sobre todas las cargas. Si la distribución de cargas fuera continua, qi se convertiría en undiferencial de carga y la sumatoria sobre i en una integral sobre ese diferencial de carga (tal como en todas lasdefiniciones de este documento).

Para el desarrollomatemático completo de la expansión, se puede referir a (Wangsness, 2001) y (Griffiths, 2013).

Escuela de Física - CU 1 Laboratorio FS-321


El primer término de la sumatoria, para k = 0 es llamado el término monopolar; el segundo, para k = 1, esllamado el término dipolar; el tercero, para k = 2, es llamado el término cuadripolar y así sucesivamente.

Así, la expresión para el potencial se convierte en:

φ(r) = φM (r) + φD(r) + φQ(r) + · · · (2)

Ademas, se puede asociar un campo eléctrico a cada uno de estos términos (esto sería, una contribución monopolaral campo eléctrico, dipolar, etc...), recordando que E = −∇φ. Así, se encuentra que:

E = (−∇φM︸︷︷︸EM

) + (−∇φD︸︷︷︸ED

) + (−∇φQ︸︷︷︸EQ

) + · · · (3)

Para facilitar el cálculo de cada uno de estos términos, se puede simplifcar la expresión de cos θi utilizando elproducto punto entre r y ri:

r · ri = r ri cos θi

Comúnmente, el término predominante es el monopolar; sin embargo, si la distribución de cargas se asemejamucho a un dipolo perfecto (por ejemplo), todos los términos, a excepción del dipolar, tenderán a cero, de maneraque predominará el término dipolar. Lo mismo ocurre con el cuadripolar y los demás términos.

Realizando la sustitución recién mencionada y, considerando esto, se estudiará cada uno de los términos porseparado.

3.1. Término MonopolarDe la ecuación 1, se obtiene el término monopolar:

φM (r) =1

4πε0 r

(N∑i=1

qi P0(cos θi)

)

φM (r) =Q

4πε0 r(4)

La expresión final en la ecuación 4 se obtuvo reemplazando P0 por la expresión del polinomio de Legendrede orden 0 (P0(x) = 1). Además, se definió la cantidad Q (llamada momento monopolar) como la carga total delsistema:

Q =

N∑i=1

qi (5)

La contribución al potencial del término monopolar es el potencial de la distribución de cargas si esta concen-trara toda su carga Q en el origen.

3.2. Término DipolarEl segundo término de la ecuación 1 es:

φD(r) =1

4πε0 r2

(N∑i=1

qi ri P1(cos θi)

)

Utilizando el polinomio de Legendre de orden 1 (P1(x) = x) y el producto punto mencionado anteriormente,



esta expresión se convierte en:

φD(r) =1

4πε0 r2

(N∑i=1

qi ri cos θi

)

φD(r) =1

4πε0 r2

(N∑i=1

qi ri cos θi

)

φD(r) =1

4πε0 r2

[r ·

(N∑i=1

qi ri

)]φD(r) =

r · p4πε0 r3

(6)

Donde hemos definido el momento dipolar p de la distribución de cargas como:

p =

N∑i=0

qi ri (7)

Este término corresponde a la contribución al potencial de un dipolo centrado en el origen. Un dipolo consisteen dos cargas puntuales de igual magnitud y distinto signo separadas a una distancia definida. En este caso, el dipolose centra en el origen y se considera la distancia de las cargas puntuales como despreciable; además, el momentodipolar coincide con la línea que una las dos cargas, con dirección de la negativa a la positiva.

3.3. Término CuadripolarEl tercer término de la ecuación 1 es:

φQ(r) =1

4πε0 r3

(N∑i=1

qi r2i P2(cos θi)

)

Reemplazando el polinomio de Legendre de orden 2 (P2(x) = (3x2− 1)/2) y el producto punto, esto resulta:

φQ(r) =1

8πε0 r3

N∑i=1

qi[3 (ri · r)2i − r2i

](8)

Con algo de álgebra y definiendo una nueva cantidad, esto se convierte en:

φQ(r) =1

8πε0 r5

∑i=x,y,z

∑k=x,y,z

j k Qjk

(9)

Donde, como se mencionó, se ha definido el tensor de momento cuadripolar con elementos Qjk. Cada uno de estoselementos del tensor se define por la ecuación:

Qjk =

N∑i=1

qi (3 ji ki − r2i δjk) (10)

δjk =

{1 j = k0 j 6= k

(11)

Donde para simplificar la expresión se utiliza la delta de kronecker (δjk).

Los elementos del tensor de momento cuadripolar pueden ordenar en una matriz de 3×3 de la siguiente forma: Qxx Qxy Qxz

Qyx Qyy Qyz

Qzx Qzy Qzz



Los elementos de este tensor tienen las siguientes propiedades:

Qjk = Qkj

0 =∑

i=x,y,z

Qii

Que, dicho de otra forma, implican que la matriz que se mostró anteriormente es simétrica y tiene traza nula.

Este término corresponde a la contribución al potencial de un cuadripolo. Un cuadripolo es un arreglo de cuatrocargas puntuales en las esquinas de un cuadrado con signos iguales en diagonal y magnitudes iguales. El términocuadripolar representa un cuadripolo de lados despreciables.

3.4. EjemploComo ejemplo, se encontrarán las 3 contribuciones de potenciales de la distribución de cargas en la imagen 1

Figura 1: Distribución de cargas a analizar

Las cargas se enumerarán de izquierda a derecha del 1 al 4.

Primero, se calculará la contribución monopolar al potencial, empezando por el momento monopolar.

Q =

4∑i=1

qi

= 1C + (−1C) + 1C + (−1C) = 0C

Utilizando este resultado y el vector de posición en dos dimenciones r(x, y) = x x + y y, se encuentra el potencialmonopolar:

φM (r) =1

4πε0

Q

(x2 + y2)1/2

= 0

Ahora, se calculará la contribución dipolar al potencial, empezando por el momento dipolar. De la distribución decargas en la figura 1, se obtienen los vectores de posición de cada una de las cargas:

r1 = (−2 x + −1 y)m r2 = (−1 x + −2 y)m

r3 = (1 x + 2 y)m r4 = (2 x + 1 y)m



Así, el momento dipolar, sería:

p =

4∑i=1

qiri

= (1C)(−2 x + −1 y)m + (−1C)(−1 x + −2 y)m + (1C)(1 x + 2 y)m + (−1C)(2 x + 1 y)m

= (−2 x + 2 y) C ·m

De la definición de potencial dipolar, se necesita p · r.

p · r = [(−2 x + 2 y) · (x x + y y)] C ·m= (−2x + 2 y) C ·m

De manera que el potencial dipolar es:

φD(r) =1

4πε0

−2x + 2 y

(x2 + y2)3/2C ·m

Seguidamente, se calculará la contribución cuadripolar al potencial, empezado por calcular el tensor de mo-mento cuadripolar. Utilizando las definiciones de las ecuaciones (10) y (11) las componentes de este tensor sedeterminarían de la siguiente manera:

Qxx =

N∑i=1

qi (3xi xi − r2i δxx)

= (1C)(3(−2m)(−2m)− 5m2) + (−1C)(3(−1m)(−1m)− 5m2) + (1C)(3(1m)(1m)− 5m2)

+(−1C)(3(2m)(2m)− 5m2)

= 0

Qyy =

N∑i=1

qi (3 yi yi − r2i δyy)

= (1C)(3(−1m)(−1m)− 5m2) + (−1C)(3(−2m)(−2m)− 5m2) + (1C)(3(2m)(2m)− 5m2)

+(1C)(3(1m)(1m)− 5m2)

= 0

De las propiedades:

Qzz = −Qxx −Qyy = 0

Qxy =

N∑i=1

qi (3xi yi − r2i δxy)

= (1C)(3(−2m)(−1m)) + (−1C)(3(−1m)(−2m)) + (1C)(3(1m)(2m)) + (−1C)(3(2m)(1m))

= 0

Qxz =

N∑i=1

qi (3xi zi − r2i δxz)

= (1C)(3(−2m)(0m)) + (−1C)(3(−1m)(0m)) + (1C)(3(1m)(0m)) + (−1C)(3(2m)(0m))

= 0



Qyz =

N∑i=1

qi (3 yi zi − r2i δyz)

= (1C)(3(−1m)(0m)) + (−1C)(3(−2m)(0m)) + (1C)(3(2m)(0m)) + (−1C)(3(1m)(0m))

= 0

De las propiedades:

Qxy = Qyx = 0

Qxz = Qzx = 0

Qyz = Qzy = 0

Así, el tensor de momento cuadripolar se puede representar como: 0 0 00 0 00 0 0

El potencial cuadripolar sería:

φQ(r) =1

8πε0 r5

∑i=x,y,z

∑k=x,y,z

j k Qjk

=

1

8πε0 r5[(x)(x)(Qxx) + (y)(y)(Qyy) + (z)(z)(Qzz) + 2(x)(y)(Qxy)

+2(x)(z)(Qxz) + 2(y)(z)(Qyz)]

= 0

Cabe mencionar que en esta expresión, x, y y z son las componentes del vector de campo r y no se debe con-fundir con las componentes de los vectores posición de las cargas.

Por último, el potencial eléctrico aproximado es igual a la suma de los términos monopolar, dipolar y cuadri-polar:

φ(r) = φM (r) + φD(r) + φQ(r)

=1

4πε0

−2x + 2 y

(x2 + y2)3/2C ·m

4. Uso del simulador:El uso del simulador es opcional para que pueda comprobar los cálculos realizados en cada uno de los ejercicios.

Para su uso correcto debe seguir el siguiente procedimiento:

Abra el archivo .nb que le proporciones su instructor, que contiene el programa para simular el desarrollomultipolar de configuraciones de cargas puntuales. Inicialmente se verá como en la siguiente imagen:



Figura 2: Archivo abierto

Presione el botón Enable Dynamics el cual se indica en la imagen para permitir la simulación

Seguidamente desplácese hacia abajo, SIN ALTERAR EL CÓDIGO, hasta que se muestre el ambientemanipulable que se muestra en la siguiente imagen:

Figura 3: Inicio de ambiente manipulable del programa

Lo siguiente a realizar es construir la configuración de cargas puntuales que se le pide en el ejercicio, modi-ficando las coordenadas y el valor de las cargas, como se ilustra:



Figura 4: Modificación de valor de carga y sus coordenadas

Para hacer esto de forma correcta siga los siguientes pasos:

• No agregue mas cargas sin antes modificar la primera.• Modifique primero las coordenadas de su primer carga. Para ello dé click en cualquiera de las casillasde las coordenadas, y asigne el valor numérico correspondiente, seguidamente ingréselo presionandoEnter. Observará que el programa toma un tiempo para cargar su entrada, como en la siguiente figura:

Figura 5: Espera de que cargue el programa

Esto sucede cada vez que usted manipula algo en el programa, así que se recomienda esperar en cadamomento que ejecute alguna modificación para evitar con mas posibilidades que el programa deje deresponder.

• Posteriormente despliegue los controles de animación para asignar valor numérico a la carga enCoulombs,dando click al boton [+] que se muestra en la siguiente imagen:



Figura 6: Mostrando controles de animación

Luego en la casilla que se muestra asigne el valor y presione Enter. NOTA: El programa solo permiteusar valores de -1 a 1C.

• Una vez seguro de los realizado anteriormente puede asignar otra carga, dando click en Agregar unacarga:

Figura 7: Agregar una carga

• Modifique nuevamente las coordenadas de la carga agregada y su valor en Coulombs. Note que nole es posible modificar las coordenadas de la carga anterior. Por lo cual si desea modificar de nuevo laubicación de la primera carga, debe eliminar la segunda, dando click en Eliminar una Carga

Figura 8: Modificando segunda carga

• De la misma manera asigne las demás cargas que le pida el ejercicio y modifique sus coordenadas y susvalores en Coulombs. Verá que el simulador le muestra gráficamente su configuración:



Figura 9: Configuración lista

Desplácese hacia abajo, el programa le muestra un gráfico del potencial escalar determinado a partir de ladefinición formal:

Figura 10: Potencial escalar por definición



Luego mas abajo puede ver cada momento multipolar de nuestro estudio dando click respectivamente en losbotones:monopolar, dipolar y cuadripolar

Figura 11: Momento monopolar

Figura 12: Momento dipolar

Figura 13: Momento cuadripolar

Además puede ver la expresión de la aproximación multipolar del Potencial Eléctrico y el Campo Eléctricocorrespondiente presionando los botones: potencial y campo

Figura 14: Expresión del desarrollo multipolar del potencial eléctrico



Figura 15: Expresión del campo eléctrico

Desplazándosemas abajo podrá observar la comparación gráficamente de cada término del potencial eléctricodel desarrollo multipolar versus el potencial calculador por su definición exacta.

Figura 16: Comparación gráfica del término monopolar del potencial

Figura 17: Comparación gráfica del término dipolar del potencial

Nota importante: Si durante la simulación el programa deja de responder, debe cerrar el archivo y volvera abrirlo, empezando la configuración desde el inicio.



5. Instrucciones para entregaLa tarea se entregará de manera grupal en los mismos grupos en que se elaboró el informe anterior. En caso

de no seguir las instrucciones en este documento, su tarea no tendrá valor.

El informe deberá constar de las siguientes partes (cualquier cosa que no esté mencionada no va en el informe):

a) Portada: Debe incluir los nombres de todos los integrantes con número de cuenta, su sección de laboratorio,fecha de entrega, número de práctica, etc... (No necesarimente en ese orden).

b) Cálculos: Debe incluir el procedimiento realizado y los resultados de cada uno de los ejercicios realizados enWolfram Mathematica.

c) Cuestionario: Responder el cuestionario que se encuentra en este documento.

6. Ejercicios6.1. Cálculos a realizar en cada ejercicio:

Cada uno de los ejercicios es una distribución de cargas puntuales. Deberán realizar cada uno de estos enWolfram Mathematica, indicando debidamente cada uno de los incisos que se les solicita, además de indicar elresultado:

1. Deberán calcular el momento monopolar y el momento dipolar.

2. Con los resultados del inciso anterior, deberán encontrar la contribución al potencial por parte del términomonopolar y dipolar.

3. Encontrar el potencial eléctrico considerando las contribuciones encontradas en el inciso anterior

4. Encontrar el campo eléctrico correspondiente al potencial del inciso anterior. (Recuerden considerar la de-pendencia r = r(x, y)).

5. Realizar una sola gráfica de superficies equipotenciales del potencial eléctrico encontrado con junto a unagráfica de líneas de campo de su campo eléctrico respectivo.

La simulación que se les provee les servirá para realizar la comprobación de todos los resultado que encuentren,procuren utilizarla antes de entregar estos resultados.

6.2. Ejercicios:Realizar los cálculos descritos anteriormente para cada una de las distribuciones de carga que se muestran a

continuación. Además, utilizando ListPlot, realizar un bosquejo de la distribución de cargas en el que las cargaspositivas se vean de color rojo y las cargas negativas de color azul.

Carga x (m) y (m) q (C)q1 1 3 0.8q2 -1 -3 -0.3

Ejercicio # 1

Carga x (m) y (m) q (C)q1 1 3 0.8q2 1 -3 0.3

Ejercicio # 2

Carga x (m) y (m) q (C)q1 3 -0.5 -0.8q2 3 0.5 -0.3q3 0 0 1

Ejercicio # 3

Carga x (m) y (m) q (C)q1 3 -4 -0.8q2 3 4 0.8q3 -5 -4 -0.4q4 -5 4 0.4

Ejercicio # 4



Carga x (m) y (m) q (C)q1 3 -4 0.8q2 3 4 0.8q3 -5 -4 -0.4q4 -5 4 -0.4

Ejercicio # 5

Carga x (m) y (m) q (C)q1 3 4 0.8q2 -5 -2 0.4q3 4 -3 0.3q4 -2 4 0.2

Ejercicio # 6

Carga x (m) y (m) q (C)q1 -3 4 0.8q2 5 -2 0.4q3 -4 3 0.3

Ejercicio # 7

Carga x (m) y (m) q (C)q1 3 4 0.8q2 5 2 0.4q3 -4 -3 -0.3

Ejercicio # 8

7. CuestionarioResponda las siguientes preguntas

1. De las distribuciones de carga que eligió para trabajar, solo viendo la distribución de cargas, ¿qué terminoespera ud. que predomine en cada distribución: monopolar, dipolar o cuadripolar?

2. Según el potencial y el campo que ud. encontró, ¿a qué considera que se asemeja más cada una: unmonopolo,dipolo o cuadripolo?

Luego, escoja dos ejercicios y para dos de los ejercicios que escogió (conmomentomonopolar y dipolar distintosde cero), realice el siguiente procedimiento:

1. Agregue una carga en una posición arbitraria (es decir, sin definir la posición) el momento monopolar de sudistribución nueva (la del ejercicio junto con la carga nueva) y determine la magnitud y signo de esa cargapara que la distribución tenga momento monopolar nulo. ¿Puede ser cero el momento dipolar sin definir laposición de su carga nueva?

2. Encuentre la posición que la carga encontrada en el inciso anterior debe tener para que el momento dipolarde su distribución sea cero.

3. Ahora que el momento monopolar y dipolar de su distribución son nulos, la contribución al potencial deestos términos también lo es. ¿Esto implica que el potencial es, en efecto, cero? ¿Por qué o por qué no?Auxiliarse de la simulación para responder esta pregunta, de ser necesario.

ReferenciasGriffiths, D. J. (2013). Introduction to Electrodynamics. Pearson, 4 edition.

Wangsness, R. K. (2001). Campos Electromagnéticos. Limusa, 1 edition.


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